Показано как распознать обобщенное однородное дифференциальное уравнение. Рассмотрен способ решения обобщенного однородного дифференциального уравнения первого порядка. Дан пример подробного решения такого уравнения.

Содержание

Определение

Обобщенное однородное дифференциальное уравнение первого порядка - это уравнение вида:
, где α ≠ 0 , α ≠ 1 , f - функция.

Как определить, является ли дифференциальное уравнение обобщенным однородным

Для того, чтобы определить, является ли дифференциальное уравнение обобщенным однородным, нужно ввести постоянную t и сделать замену:
y → t α · y , x → t·x .
Если удастся выбрать такое значение α , при котором постоянная t сократится, то это - обобщенное однородное дифференциальное уравнение . Изменение производной y′ при такой замене имеет вид:
.

Пример

Определить, является ли данное уравнение обобщенным однородным:
.

Делаем замену y → t α · y , x → t·x , y′ → t α-1 y′ :
;
.
Разделим на t α+5 :
;
.
Уравнение не будет содержать t , если
4 α - 6 = 0 , α = 3/2 .
Поскольку при α = 3/2 , t сократилось, то это обобщенное однородное уравнение .

Метод решения

Рассмотрим обобщенное однородное дифференциальное уравнение первого порядка:
(1) .
Покажем, что оно приводится к однородному уравнению с помощью подстановки:
t = x α .
Действительно,
.
Отсюда
; .
(1) :
;
.

Это - однородное уравнение . Оно решается подстановкой:
y = z · t ,
где z - функция от t .
При решении задач, проще сразу применять подстановку:
y = z x α ,
где z - функция от x .

Пример решения обобщенного однородного дифференциального уравнения первого порядка

Решить дифференциальное уравнение
(П.1) .

Проверим, является ли данное уравнение обобщенным однородным. Для этого в (П.1) делаем замену:
y → t α · y , x → t·x , y′ → t α-1 y′ .
.
Разделим на t α :
.
t сократится, если положить α = -1 . Значит - это обобщенное однородное уравнение.

Делаем подстановку:
y = z x α = z x -1 ,
где z - функция от x .
.
Подставляем в исходное уравнение (П.1) :
(П.1) ;
;
.
Умножим на x и раскрываем скобки:
;
;
.
Разделяем переменные - умножим на dx и разделим на x z 2 . При z ≠ 0 имеем:
.
Интегрируем, пользуясь таблицей интегралов :
;
;
;
.
Потенцируем:
.
Заменим постоянную e C → C и уберем знак модуля, поскольку выбор нужного знака определяется выбором знака постоянной С :
.

Возвращаемся к переменной y . Подставляем z = xy :
.
Делим на x :
(П.2) .

Когда мы делили на z 2 , мы предполагали, что z ≠ 0 . Теперь рассмотрим решение z = xy = 0 , или y = 0 .
Поскольку при y = 0 , левая часть выражения (П.2) не определена, то к полученному общему интегралу, добавим решение y = 0 .

;
.

Использованная литература:
Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмин, Сборник задач по высшей математике, «Лань», 2003.

def 1 ДУ вида

называется однородным дифференциальным уравнением I порядка (ОДУ).

Th 1 Пусть для функции выполнены условия:

1) непрерывна при

Тогда ОДУ (1) имеет общий интеграл, который при задаётся формулой:

где - некоторая первообразная функции с – произвольная константа.

Замечание 1 Если при некоторых будет выполнено условие то в процессе решения ОДУ (1) могут быть потеряны решения вида к таким случаям надо относиться внимательнее и проверять каждый из них отдельно.

Таким образом из теоремы Th1 следует общий алгоритм решения ОДУ (1):

1) Сделать замену:

2) Таким образом, будет получено ДУ с разделяющимися переменными, которое следует проинтегрировать;

3) Вернуться к старым gпеременным;

4) Проверить значения , на их причастность к решению исходного ДУ , при которых будет выполнено условие

5) Записать ответ.

Пример 1 Решить ДУ (4).

Решение: ДУ (4) – это однородное дифференциальное уравнение, так как оно имеет вид (1). Сделаем замену (3), это приведёт уравнение (4) к виду:

Уравнение (5) – это общий интеграл ДУ (4).

Заметим, что при разделении переменных и делении на могли быть потеряны решения, однако не является решением ДУ (4), что легко проверяется непосредственной подстановкой в равенство (4), так как это значение не входит в область определения исходного ДУ.

Ответ:

Замечание 2 Иногда встречается запись ОДУ через дифференциалы переменных х и у. Рекомендуется от этой записи ДУ перейти к выражению через производную и только затем выполнять замену (3).

Дифференциальные уравнения, приводящиеся к однородным.

def 2 Функцию называют однородной функцией степени k в области , для которой будет выполнено равенство:

Вот наиболее часто встречающиеся типы ДУ, которые допускают приведение к виду (1) после различных преобразований.

1) где функция является однородной, степени нуль , то есть справедливо равенство: ДУ (6) легко приводится к виду (1), если положить , которое далее интегрируется с использованием замены (3).

2) (7), где функции являются однородными одной и той же степени k . ДУ вида (7) также интегрируется с помощью замены (3).

Пример 2 Решить ДУ (8).

Решение: Покажем, что ДУ (8) является однородным. Разделим на что возможно, так как не является решением ДУ (8).

Сделаем замену (3), это приведёт уравнение (9) к виду:

Уравнение (10) – это общий интеграл ДУ (8).

Заметим, что при разделении переменных и делении на могли быть потеряны решения, соответствующие значениям и . Проверим эти выражения. Подставим их в ДУ (8):



Ответ:

Интересно отметить, что при решении данного примера появляется функция называемая «знак» числа х (читается «сигнум икс »), определённая выражением:

Замечание 3 Приводить ДУ (6) или (7) к виду (1) не является обязательным, если очевидно, что ДУ является однородным, то можно и сразу произвести замену

3) ДУ вида (11), интегрируется как ОДУ если , при этом первоначально выполняют подстановку:

(12), где - решение системы: (13), а затем используют замену (3) для функции После получения общего интеграла возвращаются к переменным х и у .

Если же , то, полагая в уравнении (11) получим ДУ с разделяющимися переменными.

Пример 3 Решить задачу Коши (14).

Решение: Покажем, что ДУ (14) приводится к однородному ДУ и интегрируется по вышеуказанной схеме:

Решим неоднородную систему линейных алгебраических уравнений (15) методом Крамера:

Сделаем замену переменных и проинтегрируем полученное уравнение:

(16) – Общий интеграл ДУ (14). При разделении переменных могли быть потеряны решения при делении на выражение , которые могут быть получены в явном виде после решения квадратного уравнения . Однако, они учтены в общем интеграле (16) при

Найдём решение задачи Коши: подставим значения и в общий интеграл (16) и найдём с .

Таким образом, частный интеграл будет задаваться формулой:

Ответ:

4) Некоторые ДУ возможно привести к однородным для новой, пока неизвестной функции , если применить замену вида:

При этом число m подбирается из условия того, чтобы полученное уравнение, если это возможно, стало однородным какой-либо степени. Однако, если этого сделать нельзя, значит, рассматриваемое ДУ привести к однородному таким способом нельзя.

Пример 4 Решить ДУ . (18)

Решение: Покажем, что ДУ (18) приводится к однородному ДУ с помощью подстановки (17) и далее интегрируется с использованием замены (3):

Найдём с:

Таким образом, частное решение ДУ (24) имеет вид

Нажав на кнопку "Скачать архив", вы скачаете нужный вам файл совершенно бесплатно.
Перед скачиванием данного файла вспомните о тех хороших рефератах, контрольных, курсовых, дипломных работах, статьях и других документах, которые лежат невостребованными в вашем компьютере. Это ваш труд, он должен участвовать в развитии общества и приносить пользу людям. Найдите эти работы и отправьте в базу знаний.
Мы и все студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будем вам очень благодарны.

Чтобы скачать архив с документом, в поле, расположенное ниже, впишите пятизначное число и нажмите кнопку "Скачать архив"

Подобные документы

    Задачи Коши для дифференциальных уравнений. График решения дифференциального уравнения I порядка. Уравнения с разделяющимися переменными и приводящиеся к однородному. Однородные и неоднородные линейные уравнения первого порядка. Уравнение Бернулли.

    лекция , добавлен 18.08.2012

    Основные понятия теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Признак уравнения в полных дифференциалах, построение общего интеграла. Простейшие случаи нахождения интегрирующего множителя. Случай множителя, зависящего только от Х и только от Y.

    курсовая работа , добавлен 24.12.2014

    Особенности дифференциальных уравнений как соотношения между функциями и их производными. Доказательство теоремы существования и единственности решения. Примеры и алгоритм решения уравнений в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель в примерах.

    курсовая работа , добавлен 11.02.2014

    Дифференциальные уравнения Риккати. Общее решение линейного уравнения. Нахождение всех возможных решений дифференциального уравнения Бернулли. Решение уравнений с разделяющимися переменными. Общее и особое решения дифференциального уравнения Клеро.

    курсовая работа , добавлен 26.01.2015

    Уравнение с разделяющимися переменными. Однородные и линейные дифференциальные уравнения. Геометрические свойства интегральных кривых. Полный дифференциал функции двух переменных. Определение интеграла методами Бернулли и вариации произвольной постоянной.

    реферат , добавлен 24.08.2015

    Понятия и решения простейших дифференциальных уравнений и дифференциальных уравнений произвольного порядка, в том числе с постоянными аналитическими коэффициентами. Системы линейных уравнений. Асимптотическое поведение решений некоторых линейных систем.

    дипломная работа , добавлен 10.06.2010

    Общий интеграл уравнения, применение метода Лагранжа для решения неоднородного линейного уравнения с неизвестной функцией. Решение дифференциального уравнения в параметрической форме. Условие Эйлера, уравнение первого порядка в полных дифференциалах.

    контрольная работа , добавлен 02.11.2011

Дифференциальные уравнения 1-го порядка с разделяющимися переменными.

Определение. Дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение вида (3.1) или уравнение вида (3.2)

Для того, чтобы в уравнении (3.1) разделить переменные, т.е. привести это уравнение к так называемому уравнению с разделенными переменными, произвести следующие действия: ;

Теперь надо решить уравнение g(y)= 0 . Если оно имеет вещественное решение y=a, то y=a тоже будет решением уравнения (3.1).

Уравнение (3.2) приводится к уравнению с разделенными переменными делением на произведение :

, что позволяет получить общий интеграл уравнения (3.2): . (3.3)

Интегральные кривые (3.3) будут дополнены решениями , если такие решения существуют.

Однородные дифференциальные уравнения 1-го порядка.

Определение 1. Уравнение 1-го порядка называется однородным, если для его правой части при любых справедливо соотношение , называемое условием однородности функции двух переменных нулевого измерения.

Пример 1. Показать, что функция - однородная нулевого измерения.

Решение. ,

что и требовалось доказать.

Теорема. Любая функция - однородна и, наоборот, любая однородная функция нулевого измерения приводится к виду .

Доказательство. Первое утверждение теоремы очевидно, т.к. . Докажем второе утверждение. Положим , тогда для однородной функции , что и требовалось доказать.

Определение 2. Уравнение (4.1) в котором M и N – однородные функции одной и той же степени, т.е. обладают свойством при всех , называется однородным. Очевидно, что это уравнение всегда может быть приведено к виду (4.2) , хотя для его решения можно этого и не делать. Однородное уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными с помощью замены искомой функции y по формуле y=zx, где z(x) – новая искомая функция. Выполнив эту подстановку в уравнении (4.2), получим: или или .

Интегрируя, получаем общий интеграл уравнения относительно функции z(x) , который после повторной замены дает общий интеграл исходного уравнения. Кроме того, если - корни уравнения , то функции - решения однородного заданного уравнения. Если же , то уравнение (4.2) принимает вид

И становится уравнением с разделяющимися переменными. Его решениями являются полупрямые: .

Замечание. Иногда целесообразно вместо указанной выше подстановки использовать подстановку x=zy.

Обобщенное однородное уравнение.

Уравнение M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 называется обобщенным однородным, если удается подобрать такое число k , что левая часть этого уравнения становится однородной функцией некоторой степени m относительно x, y, dx и dy при условии, что x считается величиной первого измерения, y – k‑ го измерения, dx и dy – соответственно нулевого и (k-1) -го измерений. Например, таким будет уравнение . (6.1) Действительно при сделанном предположении относительно измерений x, y, dx и dy члены левой части и dy будут иметь соответственно измерения -2, 2k и k -1. Приравнивая их, получаем условие, которому должно удовлетворять искомое число k : -2 = 2k = k -1. Это условие выполняется при k = -1 (при таком k все члены левой части рассматриваемого уравнения будут иметь измерение -2). Следовательно, уравнение (6.1) является обобщенным однородным.

Дифференциальные уравнения в обобщенных функциях

Пусть существует уравнение. Если - обычная функция, то ее решение есть первообразная, то есть. Пусть теперь - обобщенная функция.

Определение. Обобщенная функция называется первообразной обобщенной функцией, если. Если - сингулярная обобщенная функция, то возможны случаи, когда ее первообразная - регулярная обобщенная функция. Например, первообразная является; первообразная является функция, а решение уравнения можно записать в виде: , где.

Есть линейное уравнение -го порядка с постоянными коэффициентами

где - обобщенная функция. Пусть - дифференциальный полином -го порядка.

Определение. Обобщенным решением дифференциального уравнения (8) называется обобщенная функция, для которой выполняется соотношение:

Если - непрерывная функция, тогда единственным решением уравнения (8) является классическое решение.

Определение. Фундаментальным решением уравнения (8) называется любая обобщенная функция такая, что.

Функция Грина - фундаментальное решение, удовлетворяющее граничному, начальному или асимптотическому условию.

Теорема. Решение уравнения (8) существует и имеет вид:

если только свертка определена.

Доказательство. Действительно, . По свойству свертки следует: .

Нетрудно увидеть, что фундаментальным решением этого уравнения является, так как

Свойства обобщенных производных

Операция дифференцирования линейна и непрерывна из в:

в, если в;

Каждая обобщенная функция бесконечно дифференцируема. Действительно, если, то; в свою очередь и т.д.;

Результат дифференцирования не зависит от порядка дифференцирования. Например, ;

Если и, то справедлива формула Лейбница дифференцирования произведения. Например, ;

Если обобщенная функция, то;

Если ряд, составленный из локально интегрируемых функций, сходится равномерно на каждом компакте, то его можно почленно дифференцировать любое число раз (как обобщенную функцию), и полученные ряды будут сходится в.

Пример. Пусть

Функция называется функцией Хевисайда или единичной функцией. Она локально интегрируема и потому может рассматриваться как обобщенная функция. Можно найти ее производную. Согласно определению, т.е. .

Обобщенные функция, отвечающие квадратичным формам с комплексными коэффициентами

До сих пор рассматривались исключительно квадратичные формы с вещественными коэффициентами. В этом пункте исследуется пространство всех квадратичных форм с комплексными коэффициентами.

Задачей является определение обобщенной функции, где - комплексное число. Однако в общем случае не будет однозначной аналитической функцией от. Поэтому в пространстве всех квадратичных форм выделяют «верхнюю полуплоскость» квадратичных форм с положительно определенной мнимой частью и определяют для них функцию. А именно, если квадратичная форма принадлежит этой «полуплоскости», то пологается, где. Такая функция является однозначной аналитической функцией от.

Можно сопоставить теперь функции обобщенную функцию:

где интегрирование ведется по всему пространству. Интеграл (13) сходится при и является в этой полуплоскости аналитической функцией от. Продолжая аналитически эту функцию, определяется функционал для других значений.

Для квадратичных форм с положительно определенной мнимой частью находятся особые точки функций и вычисляются вычеты этих функций в особых точках.

Обобщенная функция аналитически зависит не только от, но и от коэффициентов квадратичной формы. Тем самым, является аналитической функцией в верхней «полуплоскости» всех квадратичных форм вида, где есть положительно определенная форма. Следовательно, однозначно определяется своими значениями на «мнимой полуоси», т. е. на множестве квадратичных форм вида, где - положительно определенная форма.