– количество мальчиков среди 10 новорождённых.

Совершенно понятно, что это количество заранее не известно, и в очередном десятке родившихся детей может оказаться:

Либо мальчиков – один и только один из перечисленных вариантов.

И, дабы соблюсти форму, немного физкультуры:

– дальность прыжка в длину (в некоторых единицах) .

Её не в состоянии предугадать даже мастер спорта:)

Тем не менее, ваши гипотезы?

2) Непрерывная случайная величина – принимает все числовые значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка.

Примечание : в учебной литературе популярны аббревиатуры ДСВ и НСВ

Сначала разберём дискретную случайную величину, затем – непрерывную .

Закон распределения дискретной случайной величины

– этосоответствие между возможными значениями этой величины и их вероятностями. Чаще всего закон записывают таблицей:

Довольно часто встречается термин ряд распределения , но в некоторых ситуациях он звучит двусмысленно, и поэтому я буду придерживаться «закона».

А теперь очень важный момент : поскольку случайная величина обязательно примет одно из значений , то соответствующие события образуют полную группу и сумма вероятностей их наступления равна единице:

или, если записать свёрнуто:

Так, например, закон распределения вероятностей выпавших на кубике очков имеет следующий вид:

Без комментариев.

Возможно, у вас сложилось впечатление, что дискретная случайная величина может принимать только «хорошие» целые значения. Развеем иллюзию – они могут быть любыми:

Пример 1

Некоторая игра имеет следующий закон распределения выигрыша:

…наверное, вы давно мечтали о таких задачах:) Открою секрет – я тоже. В особенности после того, как завершил работу над теорией поля .

Решение : так как случайная величина может принять только одно из трёх значений, то соответствующие события образуют полную группу , а значит, сумма их вероятностей равна единице:

Разоблачаем «партизана»:

– таким образом, вероятность выигрыша условных единиц составляет 0,4.

Контроль: , в чём и требовалось убедиться.

Ответ :

Не редкость, когда закон распределения требуется составить самостоятельно. Для этого используют классическое определение вероятности , теоремы умножения / сложения вероятностей событий и другие фишки тервера :

Пример 2

В коробке находятся 50 лотерейных билетов, среди которых 12 выигрышных, причём 2 из них выигрывают по 1000 рублей, а остальные – по 100 рублей. Составить закон распределения случайной величины – размера выигрыша, если из коробки наугад извлекается один билет.

Решение : как вы заметили, значения случайной величины принято располагать в порядке их возрастания . Поэтому мы начинаем с самого маленького выигрыша, и именно рублей.

Всего таковых билетов 50 – 12 = 38, и по классическому определению :
– вероятность того, что наудачу извлечённый билет окажется безвыигрышным.

С остальными случаями всё просто. Вероятность выигрыша рублей составляет:

Проверка: – и это особенно приятный момент таких заданий!

Ответ : искомый закон распределения выигрыша:

Следующее задание для самостоятельного решения:

Пример 3

Вероятность того, что стрелок поразит мишень, равна . Составить закон распределения случайной величины – количества попаданий после 2 выстрелов.

…я знал, что вы по нему соскучились:) Вспоминаем теоремы умножения и сложения . Решение и ответ в конце урока.

Закон распределения полностью описывает случайную величину, однако на практике бывает полезно (а иногда и полезнее) знать лишь некоторые её числовые характеристики .

Математическое ожидание дискретной случайной величины

Говоря простым языком, это среднеожидаемое значение при многократном повторении испытаний. Пусть случайная величина принимает значения с вероятностями соответственно. Тогда математическое ожидание данной случайной величины равно сумме произведений всех её значений на соответствующие вероятности:

или в свёрнутом виде:

Вычислим, например, математическое ожидание случайной величины – количества выпавших на игральном кубике очков:

Теперь вспомним нашу гипотетическую игру:

Возникает вопрос: а выгодно ли вообще играть в эту игру? …у кого какие впечатления? Так ведь «навскидку» и не скажешь! Но на этот вопрос можно легко ответить, вычислив математическое ожидание, по сути – средневзвешенный по вероятностям выигрыш:

Таким образом, математическое ожидание данной игры проигрышно .

Не верь впечатлениям – верь цифрам!

Да, здесь можно выиграть 10 и даже 20-30 раз подряд, но на длинной дистанции нас ждёт неминуемое разорение. И я бы не советовал вам играть в такие игры:) Ну, может, только ради развлечения .

Из всего вышесказанного следует, что математическое ожидание – это уже НЕ СЛУЧАЙНАЯ величина.

Творческое задание для самостоятельного исследования:

Пример 4

Мистер Х играет в европейскую рулетку по следующей системе: постоянно ставит 100 рублей на «красное». Составить закон распределения случайной величины – его выигрыша. Вычислить математическое ожидание выигрыша и округлить его до копеек. Сколько в среднем проигрывает игрок с каждой поставленной сотни?

Справка : европейская рулетка содержит 18 красных, 18 чёрных и 1 зелёный сектор («зеро»). В случае выпадения «красного» игроку выплачивается удвоенная ставка, в противном случае она уходит в доход казино

Существует много других систем игры в рулетку, для которых можно составить свои таблицы вероятностей. Но это тот случай, когда нам не нужны никакие законы распределения и таблицы, ибо доподлинно установлено, что математическое ожидание игрока будет точно таким же. От системы к системе меняется лишь

Математи́ческое ожида́ние - среднее значение случайной величины (распределение вероятностей стационарной случайной величины) при стремлении количества выборок или количества измерений (иногда говорят - количества испытаний) её к бесконечности.

Среднее арифметическое одномерной случайной величины конечного числа испытаний обычно называют оценкой математического ожидания . При стремлении числа испытаний стационарного случайного процесса к бесконечности оценка математического ожидания стремится к математическому ожиданию.

Математическое ожидание - одно из основных понятий в теории вероятностей) .

Энциклопедичный YouTube

    1 / 5

    ✪ Математическое ожидание и дисперсия - bezbotvy

    ✪ Теория вероятностей 15: Математическое ожидание

    ✪ Математическое ожидание

    ✪ Математическое ожидание и дисперсия. Теория

    ✪ Математическое ожидание в трейдинге

    Субтитры

Определение

Пусть задано вероятностное пространство (Ω , A , P) {\displaystyle (\Omega ,{\mathfrak {A}},\mathbb {P})} и определённая на нём случайная величина X {\displaystyle X} . То есть, по определению, X: Ω → R {\displaystyle X\colon \Omega \to \mathbb {R} } - измеримая функция . Если существует интеграл Лебега от X {\displaystyle X} по пространству Ω {\displaystyle \Omega } , то он называется математическим ожиданием, или средним (ожидаемым) значением и обозначается M [ X ] {\displaystyle M[X]} или E [ X ] {\displaystyle \mathbb {E} [X]} .

M [ X ] = ∫ Ω X (ω) P (d ω) . {\displaystyle M[X]=\int \limits _{\Omega }\!X(\omega)\,\mathbb {P} (d\omega).}

Основные формулы для математического ожидания

M [ X ] = ∫ − ∞ ∞ x d F X (x) ; x ∈ R {\displaystyle M[X]=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\!x\,dF_{X}(x);x\in \mathbb {R} } .

Математическое ожидание дискретного распределения

P (X = x i) = p i , ∑ i = 1 ∞ p i = 1 {\displaystyle \mathbb {P} (X=x_{i})=p_{i},\;\sum \limits _{i=1}^{\infty }p_{i}=1} ,

то прямо из определения интеграла Лебега следует, что

M [ X ] = ∑ i = 1 ∞ x i p i {\displaystyle M[X]=\sum \limits _{i=1}^{\infty }x_{i}\,p_{i}} .

Математическое ожидание целочисленной величины

P (X = j) = p j , j = 0 , 1 , . . . ; ∑ j = 0 ∞ p j = 1 {\displaystyle \mathbb {P} (X=j)=p_{j},\;j=0,1,...;\quad \sum \limits _{j=0}^{\infty }p_{j}=1}

то её математическое ожидание может быть выражено через производящую функцию последовательности { p i } {\displaystyle \{p_{i}\}}

P (s) = ∑ k = 0 ∞ p k s k {\displaystyle P(s)=\sum _{k=0}^{\infty }\;p_{k}s^{k}}

как значение первой производной в единице: M [ X ] = P ′ (1) {\displaystyle M[X]=P"(1)} . Если математическое ожидание X {\displaystyle X} бесконечно, то lim s → 1 P ′ (s) = ∞ {\displaystyle \lim _{s\to 1}P"(s)=\infty } и мы будем писать P ′ (1) = M [ X ] = ∞ {\displaystyle P"(1)=M[X]=\infty }

Теперь возьмём производящую функцию Q (s) {\displaystyle Q(s)} последовательности «хвостов» распределения { q k } {\displaystyle \{q_{k}\}}

q k = P (X > k) = ∑ j = k + 1 ∞ p j ; Q (s) = ∑ k = 0 ∞ q k s k . {\displaystyle q_{k}=\mathbb {P} (X>k)=\sum _{j=k+1}^{\infty }{p_{j}};\quad Q(s)=\sum _{k=0}^{\infty }\;q_{k}s^{k}.}

Эта производящая функция связана с определённой ранее функцией P (s) {\displaystyle P(s)} свойством: Q (s) = 1 − P (s) 1 − s {\displaystyle Q(s)={\frac {1-P(s)}{1-s}}} при | s | < 1 {\displaystyle |s|<1} . Из этого по теореме о среднем следует, что математическое ожидание равно просто значению этой функции в единице:

M [ X ] = P ′ (1) = Q (1) {\displaystyle M[X]=P"(1)=Q(1)}

Математическое ожидание абсолютно непрерывного распределения

M [ X ] = ∫ − ∞ ∞ x f X (x) d x {\displaystyle M[X]=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\!xf_{X}(x)\,dx} .

Математическое ожидание случайного вектора

Пусть X = (X 1 , … , X n) ⊤ : Ω → R n {\displaystyle X=(X_{1},\dots ,X_{n})^{\top }\colon \Omega \to \mathbb {R} ^{n}} - случайный вектор. Тогда по определению

M [ X ] = (M [ X 1 ] , … , M [ X n ]) ⊤ {\displaystyle M[X]=(M,\dots ,M)^{\top }} ,

то есть математическое ожидание вектора определяется покомпонентно.

Математическое ожидание преобразования случайной величины

Пусть g: R → R {\displaystyle g\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} } - борелевская функция , такая что случайная величина Y = g (X) {\displaystyle Y=g(X)} имеет конечное математическое ожидание. Тогда для него справедлива формула

M [ g (X) ] = ∑ i = 1 ∞ g (x i) p i , {\displaystyle M\left=\sum \limits _{i=1}^{\infty }g(x_{i})p_{i},}

если X {\displaystyle X} имеет дискретное распределение;

M [ g (X) ] = ∫ − ∞ ∞ g (x) f X (x) d x , {\displaystyle M\left=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\!g(x)f_{X}(x)\,dx,}

если X {\displaystyle X} имеет абсолютно непрерывное распределение.

Если распределение P X {\displaystyle \mathbb {P} ^{X}} случайной величины X {\displaystyle X} общего вида, то

M [ g (X) ] = ∫ − ∞ ∞ g (x) P X (d x) . {\displaystyle M\left=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\!g(x)\,\mathbb {P} ^{X}(dx).}

В специальном случае, когда g (X) = X k {\displaystyle g(X)=X^{k}} , математическое ожидание M [ g (X) ] = M [ X k ] {\displaystyle M=M} называется k {\displaystyle k} -м моментом случайной величины.

Простейшие свойства математического ожидания

  • Математическое ожидание числа есть само число.
M [ a ] = a {\displaystyle M[a]=a} a ∈ R {\displaystyle a\in \mathbb {R} } - константа;
  • Математическое ожидание линейно, то есть
M [ a X + b Y ] = a M [ X ] + b M [ Y ] {\displaystyle M=aM[X]+bM[Y]} , где X , Y {\displaystyle X,Y} - случайные величины с конечным математическим ожиданием, а a , b ∈ R {\displaystyle a,b\in \mathbb {R} } - произвольные константы; 0 ⩽ M [ X ] ⩽ M [ Y ] {\displaystyle 0\leqslant M[X]\leqslant M[Y]} ; M [ X ] = M [ Y ] {\displaystyle M[X]=M[Y]} . M [ X Y ] = M [ X ] M [ Y ] {\displaystyle M=M[X]M[Y]} .

Математическим ожиданием (средним значением) случайной величины X , заданной на дискретном вероятностном пространстве, называется число m =M[X]=∑x i p i , если ряд сходится абсолютно.

Назначение сервиса . С помощью сервиса в онлайн режиме вычисляются математическое ожидание, дисперсия и среднеквадратическое отклонение (см. пример). Кроме этого строится график функции распределения F(X) .

Свойства математического ожидания случайной величины

  1. Математическое ожидание постоянной величины равно ей самой: M[C]=C , C – постоянная;
  2. M=C M[X]
  3. Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме их математических ожиданий: M=M[X]+M[Y]
  4. Математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий: M=M[X] M[Y] , если X и Y независимы.

Свойства дисперсии

  1. Дисперсия постоянной величины равна нулю: D(c)=0.
  2. Постоянный множитель можно вынести из-под знака дисперсии, возведя его в квадрат: D(k*X)= k 2 D(X).
  3. Если случайные величины X и Y независимы, то дисперсия суммы равна сумме дисперсий: D(X+Y)=D(X)+D(Y).
  4. Если случайные величины X и Y зависимы: D(X+Y)=DX+DY+2(X-M[X])(Y-M[Y])
  5. Для дисперсии справедлива вычислительная формула:
    D(X)=M(X 2)-(M(X)) 2

Пример . Известны математические ожидания и дисперсии двух независимых случайных величин X и Y: M(x)=8 , M(Y)=7 , D(X)=9 , D(Y)=6 . Найти математическое ожидание и дисперсию случайное величины Z=9X-8Y+7 .
Решение. Исходя из свойств математического ожидания: M(Z) = M(9X-8Y+7) = 9*M(X) - 8*M(Y) + M(7) = 9*8 - 8*7 + 7 = 23.
Исходя из свойств дисперсии: D(Z) = D(9X-8Y+7) = D(9X) - D(8Y) + D(7) = 9^2D(X) - 8^2D(Y) + 0 = 81*9 - 64*6 = 345

Алгоритм вычисления математического ожидания

Свойства дискретных случайных величин: все их значения можно перенумеровать натуральными числами; каждому значению сопоставить отличную от нуля вероятность.
  1. Поочередно умножаем пары: x i на p i .
  2. Складываем произведение каждой пары x i p i .
    Например, для n = 4: m = ∑x i p i = x 1 p 1 + x 2 p 2 + x 3 p 3 + x 4 p 4
Функция распределения дискретной случайной величины ступенчатая, она возрастает скачком в тех точках, вероятности которых положительны.

Пример №1 .

x i 1 3 4 7 9
p i 0.1 0.2 0.1 0.3 0.3

Математическое ожидание находим по формуле m = ∑x i p i .
Математическое ожидание M[X] .
M[x] = 1*0.1 + 3*0.2 + 4*0.1 + 7*0.3 + 9*0.3 = 5.9
Дисперсию находим по формуле d = ∑x 2 i p i - M[x] 2 .
Дисперсия D[X] .
D[X] = 1 2 *0.1 + 3 2 *0.2 + 4 2 *0.1 + 7 2 *0.3 + 9 2 *0.3 - 5.9 2 = 7.69
Среднее квадратическое отклонение σ(x) .
σ = sqrt(D[X]) = sqrt(7.69) = 2.78

Пример №2 . Дискретная случайная величина имеет следующий ряд распределения:

Х -10 -5 0 5 10
р а 0,32 2a 0,41 0,03
Найти величину a , математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение этой случайной величины.

Решение. Величину a находим из соотношения: Σp i = 1
Σp i = a + 0,32 + 2 a + 0,41 + 0,03 = 0,76 + 3 a = 1
0.76 + 3 a = 1 или 0.24=3 a , откуда a = 0.08

Пример №3 . Определить закон распределения дискретной случайной величины, если известна её дисперсия, причем х 1 x 1 =6; x 2 =9; x 3 =x; x 4 =15
p 1 =0,3; p 2 =0,3; p 3 =0,1; p 4 =0,3
d(x)=12,96

Решение.
Здесь надо составить формулу нахождения дисперсии d(x) :
d(x) = x 1 2 p 1 +x 2 2 p 2 +x 3 2 p 3 +x 4 2 p 4 -m(x) 2
где матожидание m(x)=x 1 p 1 +x 2 p 2 +x 3 p 3 +x 4 p 4
Для наших данных
m(x)=6*0,3+9*0,3+x 3 *0,1+15*0,3=9+0.1x 3
12,96 = 6 2 0,3+9 2 0,3+x 3 2 0,1+15 2 0,3-(9+0.1x 3) 2
или -9/100 (x 2 -20x+96)=0
Соответственно надо найти корни уравнения, причем их будет два.
x 3 =8, x 3 =12
Выбираем тот, который удовлетворяет условию х 1 x 3 =12

Закон распределения дискретной случайной величины
x 1 =6; x 2 =9; x 3 =12; x 4 =15
p 1 =0,3; p 2 =0,3; p 3 =0,1; p 4 =0,3

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности.

Пусть случайная величина может принимать только значения вероятности которых соответственно равны Тогда математическое ожидание случайной величины определяется равенством

Если дискретная случайная величина принимает счетное множество возможных значений, то

Причем математическое ожидание существует, если ряд в правой части равенства сходится абсолютно.

Замечание. Из определения следует, что математическое ожидание дискретной случайной величины есть неслучайная (постоянная) величина.

Определение математического ожидания в общем случае

Определим математическое ожидание случайной величины, распределение которой не обязательно дискретно. Начнем со случая неотрицательных случайных величин. Идея будет заключаться в том, чтобы аппроксимировать такие случайные величины с помощью дискретных, для которых математическое ожидание уже определено, а математическое ожидание положить равным пределу математических ожиданий приближающих ее дискретных случайных величин. Кстати, это очень полезная общая идея, состоящая в том, что некоторая характеристика сначала определяется для простых объектов, а затем для более сложных объектов она определяется с помощью аппроксимации их более простыми.

Лемма 1. Пусть есть произвольная неотрицательная случайная величина. Тогда существует последовательность дискретных случайных величин, таких, что


Доказательство. Разобьем полуось на равные отрезки длины и определим

Тогда свойства 1 и 2 легко следуют из определения случайной величины, и

Лемма 2. Пусть -неотрицательная случайная величина и и две последовательности дискретных случайных величин, обладающих свойствами 1-3 из леммы 1. Тогда

Доказательство. Отметим, что для неотрицательных случайных величин мы допускаем

В силу свойства 3 легко видеть, что существует последовательность положительных чисел, такая что

Отсюда следует, что

Используя свойства математических ожиданий для дискретных случайных величин, получаем

Переходя к пределу при получаем утверждение леммы 2.

Определение 1. Пусть - неотрицательная случайная величина, -последовательность дискретных случайных величин, обладающих свойствами 1-3 из леммы 1. Математическим ожиданием случайной величины называется число

Лемма 2 гарантирует, что не зависит от выбора аппроксимирующей последовательности.

Пусть теперь - произвольная случайная величина. Определим

Из определения и легко следует, что

Определение 2. Математическим ожиданием произвольной случайной величины называется число

Если хотя бы одно из чисел в правой части этого равенства конечно.

Свойства математического ожидания

Свойство 1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной:

Доказательство. Будем рассматривать постоянную как дискретную случайную величину, которая имеет одно возможное значение и принимает его с вероятностью следовательно,

Замечание 1. Определим произведение постоянной величины на дискретную случайную величину как дискретную случайную возможные значения которой равны произведениям постоянной на возможные значения; вероятности возможных значений равны вероятностям соответствующих возможных значений Например, если вероятность возможного значения равна то вероятность того, что величина примет значение также равна

Свойство 2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:

Доказательство. Пусть случайная величина задана законом распределения вероятностей:

Учитывая замечание 1, напишем закон распределения случайной величины

Замечание 2. Прежде, чем перейти к следующему свойству, укажем, что две случайные величины называют независимыми, если закон распределения одной из них не зависит от того, какие возможные значения приняла другая величина. В противном случае случайные величины зависимы. Несколько случайных величин называют взаимно независимыми, если законы распределения любого числа их них не зависят от того, какие возможные значения приняли остальные величины.

Замечание 3. Определим произведение независимых случайных величин и как случайную величину возможные значения которой равны произведениям каждого возможного значения на каждое возможное значение вероятности возможных значений произведения равны произведениям вероятностей возможных значений сомножителей. Например, если вероятность возможного значения равна, вероятность возможного значения равна то вероятность возможного значения равна

Свойство 3. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий:

Доказательство. Пусть независимые случайные величины и заданы своими законами распределения вероятностей:

Составим все значения, которые может принимать случайная величина Для этого перемножим все возможные значения на каждое возможное значение; в итоге получим и учитывая замечание 3, напишем закон распределения предполагая для простоты, что все возможные значения произведения различны (если это не так, то доказательство проводится аналогично):

Математическое ожидание равно сумме произведений всех возможных значений на их вероятности:

Следствие. Математическое ожидание произведения нескольких взаимно независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий.

Свойство 4. Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых:

Доказательство. Пусть случайные величины и заданы следующими законами распределения:

Составим все возможные значения величины Для этого к каждому возможному значению прибавим каждое возможное значение; получим Предположим для простоты, что эти возможные значения различны (если это не так, то доказательство проводится аналогично), и обозначим их вероятности соответственно через и

Математическое ожидание величины равно сумме произведений возможных значений на их вероятности:

Докажем, что Событие, состоящее в том, что примет значение (вероятность этого события равна), влечет за собой событие, которое состоит в том, что примет значение или (вероятность этого события по теореме сложения равна), и обратно. Отсюда и следует, что Аналогично доказываются равенства

Подставляя правые части этих равенств в соотношение (*), получим

или окончательно

Дисперсия и среднее квадратическое отклонение

На практике часто требуется оценить рассеяние возможных значений случайной величины вокруг ее среднего значения. Например, в артиллерии важно знать, насколько кучно лягут снаряды вблизи цели, которая должна быть поражена.

На первый взгляд может показаться, что для оценки рассеяния проще всего вычислить все возможные значения отклонения случайной величины и затем найти их среднее значение. Однако такой путь ничего не даст, так как среднее значение отклонения, т.е. для любой случайной величины равно нулю. Это свойство объясняется тем, что одни возможные отклонения положительны, а другие - отрицательны; в результате их взаимного погашения среднее значение отклонения равно нулю. Эти соображения говорят о целесообразности заменить возможные отклонения их абсолютными значениями или их квадратами. Так и поступают на деле. Правда, в случае, когда возможные отклонения заменяют их абсолютными значениями, приходится оперировать с абсолютными величинами, что приводит иногда к серьезным затруднениям. Поэтому чаще всего идут по другому пути, т.е. вычисляют среднее значение квадрата отклонения, которое и называется дисперсией.

В предыдущем мы привели ряд формул, позволяющих находить числовые характеристики функций, когда известны законы распределения аргументов. Однако во многих случаях для нахождения числовых характеристик функций не требуется знать даже законов распределения аргументов, а достаточно знать только некоторые их числовые характеристики; при этом мы вообще обходимся без каких бы то ни было законов распределения. Определение числовых характеристик функций по заданным числовым характеристикам аргументов широко применяется в теории вероятностей и позволяет значительно упрощать решение ряда задач. По преимуществу такие упрощенные методы относятся к линейным функциям; однако некоторые элементарные нелинейные функции также допускают подобный подход.

В настоящем мы изложим ряд теорем о числовых характеристиках функций, представляющих в своей совокупности весьма простой аппарат вычисления этих характеристик, применимый в широком круге условий.

1. Математическое ожидание неслучайной величины

Сформулированное свойство является достаточно очевидным; доказать его можно, рассматривая неслучайную величину как частный вид случайной, при одном возможном значении с вероятностью единица; тогда по общей формуле для математического ожидания:

.

2. Дисперсия неслучайной величины

Если - неслучайная величина, то

3. Вынесение неслучайной величины за знак математического ожидания

, (10.2.1)

т. е. неслучайную величину можно выносить за знак математического ожидания.

Доказательство.

а) Для прерывных величин

б) Для непрерывных величин

.

4. Вынесение неслучайной величины за знак дисперсии и среднего квадратического отклонения

Если - неслучайная величина, а - случайная, то

, (10.2.2)

т. е. неслучайную величину можно выносить за знак дисперсии, возводя ее в квадрат.

Доказательство. По определению дисперсии

Следствие

,

т. е. неслучайную величину можно выносить за знак среднего квадратического отклонения ее абсолютным значением. Доказательство получим, извлекая корень квадратный из формулы (10.2.2) и учитывая, что с.к.о. - существенно положительная величина.

5. Математическое ожидание суммы случайных величин

Докажем, что для любых двух случайных величин и

т. е. математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме их математических ожиданий.

Это свойство известно под названием теоремы сложения математических ожиданий.

Доказательство.

а) Пусть - система прерывных случайных величин. Применим к сумме случайных величин общую формулу (10.1.6) для математического ожидания функции двух аргументов:

.

Ho представляет собой не что иное, как полную вероятность того, что величина примет значение :

;

следовательно,

.

Аналогично докажем, что

,

и теорема доказана.

б) Пусть - система непрерывных случайных величин. По формуле (10.1.7)

. (10.2.4)

Преобразуем первый из интегралов (10.2.4):

;

аналогично

,

и теорема доказана.

Следует специально отметить, что теорема сложения математических ожиданий справедлива для любых случайных величин - как зависимых, так и независимых.

Теорема сложения математических ожиданий обобщается на произвольное число слагаемых:

, (10.2.5)

т. е. математическое ожидание суммы нескольких случайных величин равно сумме их математических ожиданий.

Для доказательства достаточно применить метод полной индукции.

6. Математическое ожидание линейной функции

Рассмотрим линейную функцию нескольких случайных аргументов :

где - неслучайные коэффициенты. Докажем, что

, (10.2.6)

т. е. математическое ожидание линейной функции равно той же линейной функции от математических ожиданий аргументов.

Доказательство. Пользуясь теоремой сложения м. о. и правилом вынесения неслучайной величины за знак м. о., получим:

.

7. Дисп ep сия суммы случайных величин

Дисперсия суммы двух случайных величин равна сумме их дисперсий плюс удвоенный корреляционный момент:

Доказательство. Обозначим

По теореме сложения математических ожиданий

Перейдем от случайных величин к соответствующим центрированным величинам . Вычитая почленно из равенства (10.2.8) равенство (10.2.9), имеем:

По определению дисперсии

что и требовалось доказать.

Формула (10.2.7) для дисперсии суммы может быть обобщена на любое число слагаемых:

, (10.2.10)

где - корреляционный момент величин , знак под суммой обозначает, что суммирование распространяется на все возможные попарные сочетания случайных величин .

Доказательство аналогично предыдущему и вытекает из формулы для квадрата многочлена.

Формула (10.2.10) может быть записана еще в другом виде:

, (10.2.11)

где двойная сумма распространяется на все элементы корреляционной матрицы системы величин , содержащей как корреляционные моменты, так и дисперсии.

Если все случайные величины , входящие в систему, некоррелированы (т. е. при ), формула (10.2.10) принимает вид:

, (10.2.12)

т. е. дисперсия суммы некоррелированных случайных величин равна сумме дисперсий слагаемых.

Это положение известно под названием теоремы сложения дисперсий.

8. Дисперсия линейной функции

Рассмотрим линейную функцию нескольких случайных величин.

где - неслучайные величины.

Докажем, что дисперсия этой линейной функции выражается формулой

, (10.2.13)

где - корреляционный момент величин , .

Доказательство. Введем обозначение:

. (10.2.14)

Применяя к правой части выражения (10.2.14) формулу (10.2.10) для дисперсии суммы и учитывая, что , получим:

где - корреляционный момент величин :

.

Вычислим этот момент. Имеем:

;

аналогично

Подставляя это выражение в (10.2.15), приходим к формуле (10.2.13).

В частном случае, когда все величины некоррелированны, формула (10.2.13) принимает вид:

, (10.2.16)

т. е. дисперсия линейной функции некоррелированных случайных величин равна сумме произведений квадратов коэффициентов на дисперсии соответствующих аргументов.

9. Математическое ожидание произведения случайных величин

Математическое ожидание произведения двух случайных величин равно произведению их математических ожиданий плюс корреляционный момент:

Доказательство. Будем исходить из определения корреляционного момента:

Преобразуем это выражение, пользуясь свойствами математического ожидания:

что, очевидно, равносильно формуле (10.2.17).

Если случайные величины некоррелированны , то формула (10.2.17) принимает вид:

т. е. математическое ожидание произведения двух некоррелированных случайных величин равно произведению их математических ожиданий.

Это положение известно под названием теоремы умножения математических ожиданий.

Формула (10.2.17) представляет собой не что иное, как выражение второго смешанного центрального момента системы через второй смешанный начальный момент и математические ожидания:

. (10.2.19)

Это выражение часто применяется на практике при вычислении корреляционного момента аналогично тому, как для одной случайной величины дисперсия часто вычисляется через второй начальный момент и математическое ожидание.

Теорема умножения математических ожиданий обобщается и на произвольное число сомножителей, только в этом случае для ее применения недостаточно того, чтобы величины были некоррелированны, а требуется, чтобы обращались в нуль и некоторые высшие смешанные моменты, число которых зависит от числа членов в произведении. Эти условия заведомо выполнены при независимости случайных величин, входящих в произведение. В этом случае

, (10.2.20)

т. е. математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий.

Это положение легко доказывается методом полной индукции.

10. Дисперсия произведения независимых случайных величин

Докажем, что для независимых величин

Доказательство. Обозначим . По определению дисперсии

Так как величины независимы, и

При независимых величины тоже независимы; следовательно,

,

Но есть не что иное, как второй начальный момент величины , и, следовательно, выражается через дисперсию:

;

аналогично

.

Подставляя эти выражения в формулу (10.2.22) и приводя подобные члены, приходим к формуле (10.2.21).

В случае, когда перемножаются центрированные случайные величины (величины с математическими ожиданиями, равными нулю), формула (10.2.21) принимает вид:

, (10.2.23)

т. е. дисперсия произведения независимых центрированных случайных величин равна произведению их дисперсий.

11. Высшие моменты суммы случайных величин

В некоторых случаях приходится вычислять высшие моменты суммы независимых случайных величин. Докажем некоторые относящиеся сюда соотношения.

1) Если величины независимы, то

Доказательство.

откуда по теореме умножения математических ожиданий

Но первый центральный момент для любой величины равен нулю; два средних члена обращаются в нуль, и формула (10.2.24) доказана.

Соотношение (10.2.24) методом индукции легко обобщается на произвольное число независимых слагаемых:

. (10.2.25)

2) Четвертый центральный момент суммы двух независимых случайных величин выражается формулой

где - дисперсии величин и .

Доказательство совершенно аналогично предыдущему.

Методом полной индукции легко доказать обобщение формулы (10.2.26) на произвольное число независимых слагаемых.