Определение. Частными производными второго порядка от функции называются частные производные от ее частных производных первого порядка.

Обозначения частных производных второго порядка:

Для практических примеров справедливо следующее равенство:

Таким образом, через смешанные производные второго порядка очень удобно проверять правильность нахождения частных производных первого порядка.

Примеры.

а) Найти частные производные второго порядка функции

Решение.

1.Считаем переменную y

2. Полученную функцию еще раз продифференцируем по «икс», т.е. найдем вторую производную по «икс»:

3.Считаем переменную х константой, применяем правило дифференцирования суммы, правило вынесение постоянного множителя за знак производной и табличную производную степенной функции:

4. Полученную функцию еще раз продифференцируем по «игрек», т.е. найдем вторую производную по «игрек»:

5. Найдем смешанную производную «икс по игрек». Для этого первую производную по «икс» продифференцируем по «игрек».

5. Найдем смешанную производную «игрек по икс». Для этого первую производную по «игрек» продифференцируем по «икс».

б) Найти частные производные первого порядка функции Проверить, что Записать полный дифференциал первого порядка dz.

Решение.

1.Найдем частные производные первого порядка, применяя правила вычисления производной произведения, суммы, вынесения постоянного множителя за знак производной и табличные интегралы тригонометрических функций:

2. Найдем смешанные производные второго порядка:

3. Составим полный дифференциал первого порядка:

в) Показать, что данная функция удовлетворяет уравнению

Решение.

1.Найдем частную производную заданной функции по «икс»:

2. Умножим полученное выражение х 2 :

3. От полученной функции найдем частную производную по «икс»:

4. Найдем частную производную заданной функции по «игрек»:

5. Вычислим вторую производную по «игрек»:

6. Умножим полученную функцию на у 2 :

7. Вычтем из результата, полученного в п.5, результат п.6:

Что и требовалось показать.

Похожая информация:

1. V3: {{101}} 04.07.14. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами (общее решение)

Частные производные применяются в заданиях с функциями нескольких переменных. Правила нахождения точно такие же как и для функций одной переменной, с разницей лишь в том, что одну из переменных нужно считать в момент дифференцирования константой (постоянным числом).

Формула

Частные производные для функции двух переменных $ z(x,y) $ записываются в следующем виде $ z"_x, z"_y $ и находятся по формулам:

Частные производные первого порядка

$$ z"_x = \frac{\partial z}{\partial x} $$

$$ z"_y = \frac{\partial z}{\partial y} $$

Частные производные второго порядка

$$ z""_{xx} = \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial x} $$

$$ z""_{yy} = \frac{\partial^2 z}{\partial y \partial y} $$

Смешанная производная

$$ z""_{xy} = \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} $$

$$ z""_{yx} = \frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x} $$

Частная производная сложной функции

а) Пусть $ z (t) = f(x(t), y(t)) $, тогда производная сложной функции определяется по формуле:

$$ \frac{dz}{dt} = \frac{\partial z}{\partial x} \cdot \frac{dx}{dt} + \frac{\partial z}{\partial y} \cdot \frac{dy}{dt} $$

б) Пусть $ z (u,v) = z(x(u,v),y(u,v)) $, тогда частные производные функции находится по формуле:

$$ \frac{\partial z}{\partial u} = \frac{\partial z}{\partial x} \cdot \frac{\partial x}{\partial u} + \frac{\partial z}{\partial y} \cdot \frac{\partial y}{\partial u} $$

$$ \frac{\partial z}{\partial v} = \frac{\partial z}{\partial x} \cdot \frac{\partial x}{\partial v} + \frac{\partial z}{\partial y} \cdot \frac{\partial y}{\partial v} $$

Частные производные неявно заданной функции

а) Пусть $ F(x,y(x)) = 0 $, тогда $$ \frac{dy}{dx} = -\frac{f"_x}{f"_y} $$

б) Пусть $ F(x,y,z)=0 $, тогда $$ z"_x = - \frac{F"_x}{F"_z}; z"_y = - \frac{F"_y}{F"_z} $$

Примеры решений

Пример 1

Найти частные производные первого порядка $ z (x,y) = x^2 - y^2 + 4xy + 10 $

Решение

Для нахождения частной производной по $ x $ будем считать $ y $ постоянной величиной (числом): $$ z"_x = (x^2-y^2+4xy+10)"_x = 2x - 0 + 4y + 0 = 2x+4y $$ Для нахождения частной производной функции по $ y $ определим $ y $ константой: $$ z"_y = (x^2-y^2+4xy+10)"_y = -2y+4x $$ Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ

$$ z"_x = 2x+4y; z"_y = -2y+4x $$

Пример 2

Найти частные производные функции второго порядка $ z = e^{xy} $

Решение

Сперва нужно найти первый производные, а затем зная их можно найти производные второго порядка. Полагаем $ y $ константой: $$ z"_x = (e^{xy})"_x = e^{xy} \cdot (xy)"_x = ye^{xy} $$ Положим теперь $ x $ постоянной величиной: $$ z"_y = (e^{xy})"_y = e^{xy} \cdot (xy)"_y = xe^{xy} $$ Зная первые производные аналогично находим вторые. Устанавливаем $ y $ постоянной: $$ z""_{xx} = (z"_x)"_x = (ye^{xy})"_x = (y)"_x e^{xy} + y(e^{xy})"_x = 0 + ye^{xy}\cdot (xy)"_x = y^2e^{xy} $$ Задаем $ x $ постоянной: $$ z""_{yy} = (z"_y)"_y = (xe^{xy})"_y = (x)"_y e^{xy} + x(e^{xy})"_y = 0 + x^2e^{xy} = x^2e^{xy} $$ Теперь осталось найти смешанную производную. Можно продифференцировать $ z"_x $ по $ y $, а можно $ z"_y $ по $ x $, так как по теореме $ z""_{xy} = z""_{yx} $ $$ z""_{xy} = (z"_x)"_y = (ye^{xy})"_y = (y)"_y e^{xy} + y (e^{xy})"_y = ye^{xy}\cdot (xy)"_y = yxe^{xy} $$

Ответ

$$ z"_x = ye^{xy}; z"_y = xe^{xy}; z""_{xy} = yxe^{xy} $$

Пример 4

Пусть $ 3x^3z - 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5 = 0 $ задаёт неявную функцию $ F(x,y,z) = 0 $. Найти частные производные первого порядка.

Решение

Записываем функцию в формате: $ F(x,y,z) = 3x^3z - 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5 = 0 $ и находим производные: $$ z"_x (y,z - const) = (x^3 z - 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5)"_x = 3 x^2 z - 4 $$ $$ z"_y (x,y - const) = (x^3 z - 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5)"_y = 3z^2 $$

Ответ

$$ z"_x = 3x^2 z - 4; z"_y = 3z^2; $$

Определение 1.11 Пусть задана функция двух переменных z=z(x,y), (x,y)D . ТочкаM 0 (x 0 ;y 0 ) - внутренняя точка области D .

Если в D присутствует такая окрестность UM 0 точки M 0 , что для всех точек

то точка M 0 называется точкой локального максимума. А само значение z(M 0 ) - локальным максимумом.

А если же для всех точек

то точка M 0 называется точкой локального минимума функции z(x,y) . А само значение z(M 0 ) - локальным минимумом.

Локальный максимум и локальный минимум называются локальными экстремумами функции z(x,y) . На рис. 1.4 поясняется геометрический смысл локального максимума: M 0 - точка максимума, так как на поверхности z =z (x,y) соответствующая ей точка C 0 находится выше любой соседней точки C (в этом локальность максимума).

Заметим, что на поверхности в целом есть точки (например, В ), которые находятся выше C 0 , но эти точки (например, В ) не являются "соседними" с точкой C 0 .

В частности, точке В соответствует понятие глобального максимума:

Аналогично определяется и глобальный минимум:

Нахождение глобальных максимумов и минимумов будет рассмотрено в п.1.10.

Теорема 1.3 (необходимые условия экстремума).

Пусть задана функция z =z (x,y), (x,y)D . Точка M 0 (x 0 ;y 0 D - точка локального экстремума.

Если в этой точке существуют z" x и z" y , то

Геометрическое доказательство "очевидно". Если в точке C 0 на (рис.1.4) провести касательную плоскость, то она "естественно" пройдет горизонтально, т. е. под углом 0° к оси Ох и к оси Оу .

Тогда в соответствии с геометрическим смыслом частных производных (рис.1.3):

что и требовалось доказать.

Определение 1.12.

Если в точке M 0 выполняются условия (1.41), то она называется стационарной точкой функции z (x,y) .

Теорема 1.4 (достаточные условия экстремума).

Пусть задана z =z (x,y), (x,y)D , которая имеет частные производные второго порядка в некоторой окрестности точки M 0 (x 0 ,y 0 )D . Причем M 0 - стационарная точка (т. е. необходимые условия (1.41) выполнены). Вычислим:

Доказательство теоремы использует темы (формула Тейлора функции нескольких переменных и теория квадратичных форм), которые в этом пособии не рассматриваются.

Пример 1.13.

Исследовать на экстремум:

Решение

1. Найдём стационарные точки, решая систему (1.41):

то есть найдены четыре стационарные точки. 2.

по теореме 1.4 в точке – минимум. Причём

по теореме 1.4 в точке

Максимум. Причём

Пусть задана функция двух переменных. Дадим аргументу приращение, а аргумент оставим неизменным. Тогда функция получит приращение, которое называется частным приращением по переменной и обозначается:

Аналогично, фиксируя аргумент и придавая аргументу прираще-ние, получим частное приращение функции по переменной:

Величина называется полным прира-щениием функции в точке.

Определение 4. Частной производной функции двух переменных по одной из этих переменных называется предел отношения соответствующего частного приращения функции к приращению данной переменной, когда последнее стремится к нулю (если этот предел существует). Обозначается частная производная так: или, или.

Таким образом, по определению имеем:

Частные производные функции вычисляются по тем же правилам и формулам, что и функция одной переменной, при этом учитывается, что при дифференцировании по переменной, считается постоянной, а при дифференцировании по переменной постоянной считается.

Пример 3. Найти частные производные функций:

Решение. а) Чтобы найти считаем постоянной величиной и дифференцируем как функцию одной переменной:

Аналогично, считая постоянной величиной, находим:

Определение 5. Полным дифференциалом функции называется сумма произведений частных производных этой функции на приращения соответствующих независимых переменных, т.е.

Учитывая, что дифференциалы независимых переменных совпадают с их приращениями, т.е. , формулу полного дифференциала можно записать в виде

Пример 4. Найти полный дифференциал функции.

Решение. Так как, то по формуле полного дифференциала находим

Частные производные высших порядков

Частные производные и называют частными производными первого порядка или первыми частными производными.

Определение 6. Частными производными второго порядка функции называются частные производные от частных производных первого порядка.

Частных производных второго порядка четыре. Они обозначаются следующим образом:

Аналогично определяются частные производные 3-го, 4-го и более высоких порядков. Например, для функции имеем:

Частные производные второго или более высокого порядка, взятые по различным переменным, называются смешанными частными производными. Для функции таковыми являются производные. Заметим, что в случае, когда смешанные производные непрерывны, то имеет место равенство.

Пример 5. Найти частные производные второго порядка функции

Решение. Частные производные первого порядка для данной функции найдены в примере 3:

Дифференцируя и по переменным х и y, получим

И не нужно ничего искать: в нашей отдельной статье мы уже подготовили все для того, чтобы у вас это получилось. А сейчас речь пойдет о частных производных.

Добро пожаловать на наш телеграм-канал за полезной рассылкой и актуальными студенческими новостями.

Функция двух и более переменных

Прежде чем говорить о частных производных, нужно затронуть понятие функции нескольких переменных, без которого нет смысла в частной производной. В школе мы привыкли иметь дело с функциями одной переменной:

Производными таких функций мы и считали раньше. График функции одной переменной представляет собой линию на плоскости: прямую, параболу, гиперболу и т.д.

А что, если добавить еще одну переменную? Получится такая функция:

Это – функция двух независимых переменных x и y . График такой функции представляет собой поверхность в трехмерном пространстве: шар, гиперболоид, параболоид или еще какой-нибудь сферический конь в вакууме. Частные производные функции z по иксу и игреку соответственно записываются так:

Существуют также функции трех и более переменных. Правда, график такой функции нарисовать невозможно: для этого понадобилось бы как минимум четырехмерное пространство, которое невозможно изобразить.

Частная производная первого порядка

Запоминаем главное правило:

При вычислении частной производной по одной из переменных, вторая переменная принимается за константу. В остальном правила вычисления производной не меняются.

То есть, частная производная по сути ничем не отличается от обычной. Так что, держите перед глазами таблицу производных элементарных функций и правила вычисления обычных производных . Рассмотрим пример, чтобы стало совсем понятно. Допустим, нужно вычислить частные производные первого порядка следующей функции:

Сначала возьмем частную производную по иксу, считая игрек обычным числом:

Теперь считаем частную производную по игреку, принимая икс за константу:

Как видите, ничего сложного в этом нет, а успех с более сложными примерами – лишь дело практики.

Частная производная второго порядка

Как находится частная производная второго порядка? Так же, как и первого. Чтобы найти частные производные второго порядка, нужно просто взять производную от производной первого порядка. Вернемся к примеру выше и посчитаем частные производные второго порядка.

По игреку:

Частные производные третьего и высших порядков не отличаются по принципу вычисления. Систематизируем правила:

1. При дифференцировании по одной независимой переменной, вторая принимается за константу.
2. Производная второго порядка – это производная от производной первого порядка. Третьего порядка – производная от производной второго порядка и т.д.

Частные производные и полный дифференциал функции

Частый вопрос в практических заданиях – нахождение полного дифференциала функции. Для функции нескольких переменных полный дифференциал определяется, как главная линейная часть малого полного приращения функции относительно приращений аргументов.

Определение звучит громоздко, но с буквами все проще. Полный дифференциал первого порядка функции нескольких переменных выглядит так:

Зная, как считаются частные производные, нет никакой проблемы вычислить и полный дифференциал.

Частные производные – не такая уж и бесполезная тема. Например, дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка широко используются для математического описания реальных физических процессов.

Здесь мы дали лишь общее, поверхностное представление о частных производных первого и второго порядка. Вас интересует эта тема или остались конкретные вопросы? Задавайте их в комментариях и обращайтесь к экспертам профессионального студенческого сервиса за квалифицированной и скорой помощью в учебе. С нами вы не останетесь один на один с проблемой!