До сих пор в центре нашего внимания был самый простой из многоугольников - треугольник. В этой главе будем изучать более сложные многоугольники, в основном различные виды четырёхугольников: параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат. Кроме того, в этой главе речь пойдёт о симметрии геометрических фигур, в том числе указанных четырёхугольников. Симметрия играет важную роль не только в геометрии, но и искусстве, архитектуре, технике. В окружающей обстановке мы видим немало симметричных предметов - фасады зданий, узоры на коврах и тканях, листья деревьев.
Рассмотрим фигуру, составленную из отрезков АВ, ВС, CD, ..., EF, FG так, что смежные отрезки (т. е. отрезки АВ и ВС, ВС и CD, ..., EF и FG) не лежат на одной прямой. Такая фигура называется ломаной ABCD...FG (рис. 150, а). Отрезки, из которых составлена ломаная, называются её звеньями , а концы этих отрезков - вершинами ломаной . Сумма длин всех звеньев называется длиной ломаной . Концы ломаной ABCD ... FG, т. е. точки А и G, могут быть различными, а могут совпадать (рис. 150, б). В последнем случае ломаная называется замкнутой , и её звенья FG и АВ также считаются смежными. Если несмежные звенья замкнутой ломаной не имеют общих точек, то эта ломаная называется многоугольником , её звенья называются сторонами многоугольника, а длина ломаной называется периметром многоугольника .
Рис. 150
Многоугольник с n вершинами называется n-угольником; он имеет n сторон. Примером многоугольника является треугольник. На рисунке 151 изображены четырёхугольник ABCD и шестиугольник А 1 А 2 А 3 А 4 А 5 А 6 .
Рис. 151
Фигура, изображённая на рисунке 152, не является многоугольником, так как несмежные отрезки С 1 C 5 и С 2 С 3 (а также С 3 С 4 и С 1 C 5) имеют общую точку.
Рис. 152
Две вершины многоугольника, принадлежащие одной стороне, называются соседними . Отрезок, соединяющий любые две несоседние вершины, называется диагональю многоугольника .
Любой многоугольник разделяет плоскость на две части, одна из которых называется внутренней , а другая - внешней областью многоугольника .
На рисунке 153 внутренние области многоугольников закрашены. Фигуру, состоящую из сторон многоугольника и его внутренней области, также называют многоугольником.
Рис. 153
Выпуклый многоугольник
Многоугольник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от каждой прямой, проходящей через две его соседние вершины.
На рисунке 154 многоугольник F 1 является выпуклым, а многоугольник F 2 - невыпуклым.
Рис. 154
Рассмотрим выпуклый n-угольник, изображённый на рисунке 155,а. Углы А n А 1 А 2 , А 1 А 2 А 3 , ..., А n-1 А n А 1 называются углами этого многоугольника. Найдём их сумму.
Рис. 155
Для этого соединим диагоналями вершину А 1 с другими вершинами. В результате получим n - 2 треугольника (рис. 155, б), сумма углов которых равна сумме углов n-угольника. Сумма углов каждого треугольника равна 180°, поэтому сумма углов многоугольника АхАг... Аn равна (n - 2) 180°.
Итак, сумма углов выпуклого п.-угольника равна (n - 2) 180° .
Внешним углом выпуклого многоугольника называется угол, смежный с углом многоугольника. Если при каждой вершине выпуклого многоугольника А 1 А 2 ... А n взять по одному внешнему углу, то сумма этих внешних углов окажется равной
180° - А 1 + 180° - А 2 + ... + 180° - А n =
= n 180° - (A 1 + А 2 +... + А n) =
= п 180° - (n - 2) 180° = 360°.
Таким образом, сумма внешних углов выпуклого многоугольника равна 360° .
Четырёхугольник
Каждый четырёхугольник имеет четыре вершины, четыре стороны и две диагонали (рис. 156). Две несмежные стороны четырёхугольника называются противоположными . Две вершины, не являющиеся соседними, также называются противоположными .
Рис. 156
Четырёхугольники бывают выпуклые и невыпуклые. На рисунке 156, о изображён выпуклый четырёхугольник, а на рисунке 156, б - невыпуклый.
Каждая диагональ выпуклого четырёхугольника разделяет его на два треугольника. Одна из диагоналей невыпуклого четырёхугольника также разделяет его на два треугольника (см. рис. 156, б).
Так как сумма углов выпуклого n-угольника равна (n - 2) 180°, то сумма углов выпуклого четырёхугольника равна 360° .
Задачи
363. Начертите выпуклые пятиугольник и шестиугольник. В каждом многоугольнике из какой-нибудь вершины проведите все диагонали. На сколько треугольников разделяют проведённые диагонали каждый многоугольник?
364. Найдите сумму углов выпуклого:
а) пятиугольника;
б) шестиугольника;
в) десятиугольника.
365. Сколько сторон имеет выпуклый многоугольник, каждый угол которого равен:
а) 90°;
б) 60°;
в) 120°;
г) 108°?
366. Найдите стороны четырёхугольника, если его периметр равен 8 см, а одна сторона больше каждой из других сторон соответственно на 3 мм, 4 мм и 5 мм.
367. Найдите стороны четырёхугольника, если его периметр равен 66 см, первая сторона больше второй на 8 см и на столько же меньше третьей стороны, а четвёртая - в три раза больше второй.
368. Найдите углы выпуклого четырёхугольника, если они равны друг другу.
369. Найдите углы А, В и С выпуклого четырёхугольника ABCD, если ∠A = ∠B = ∠C, a AD = 135°.
370. Найдите углы выпуклого четырёхугольника, если они пропорциональны числам 1, 2, 4, 5.
Ответы к задачам
364. а) 540°; б) 720°; в) 1440°.
365. а) Четыре; б) три; в) шесть; г) пять.
366. 23 мм, 20 мм, 19 мм, 18 мм.
367. 15 см, 7 см, 23 см, 21см.
368. 90°. 369. 75°. 370. 30°, 60°, 120°, 150°.
Цели:
- научить чертить, обозначать и называть углы, записывать название углов при помощи знака “? ” и букв;
- развивать математическую речь учащихся, умение устанавливать закономерности;
- совершенствовать навык использования чертежного инструмента - линейки, умение измерять и чертить отрезок заданной длины;
- воспитывать интерес к изучению математики.
Оборудование: аппликации из геометрических фигур, таблицы.
Ход урока
1. Актуализация знаний. - Посмотрите на аппликации и скажите, из каких геометрических фигур сделаны человечки? (Круг, овал, квадрат, прямоугольник, треугольник, четырехугольник.)
На какие группы можно разделить данные фигуры? (Фигуры с углами и фигуры без углов.)
Назовите геометрические фигуры “без углов”, т.е. фигуры, ограниченные кривыми замкнутыми линиями. (Овал и круг.)
Назовите фигуры из группы тех, что “с углами”. (Квадрат, прямоугольник, треугольник, шестиугольник.)
Как по-другому можно назвать квадрат и прямоугольник? (Четырехугольники.)
Как назвать одним термином геометрические фигуры “с углами”? (Многоугольники.)
Назовите виды многоугольников. (Четырехугольник, треугольник, пятиугольник, шестиугольник.)
От чего зависит название многоугольника? (От количества углов в нем.)
Итак, угол - это элемент многоугольника, но все-таки нужно уточнить, какая фигура называется многоугольником. Являются ли многоугольниками фигуры, изображающие шляпы человечков?
2. Выравнивание знаний.
Незнайка приготовил задание, какие линии он начертил." назовите их по именам. (Прямая а, отрезок АВ, луч ОМ.)
Какая линия называется прямой, отрезком, лучом? (Прямая -это линия, не имеющая начала и конца, которую нужно чертить по линейке. Отрезок-это часть прямой, которая имеет начало и конец. Луч-это часть прямой, которая имеет начало.)
Что общего между прямой, лучом, отрезком? (Луч и отрезок являются частью прямой.)
Чем они различаются? (Отрезок можно измерить, а прямую и луч измерить нельзя, они бесконечны.)
Чем отличаются прямая и луч? (Прямую можно продолжить в двух направлениях, а луч - только в одном. Ведь с другой стороны он ограничен точкой. Это начало луча.)
3. Построение углов.
Какие фигуры: прямую, луч или отрезок - нужно выбрать для построения угла? (Нужно выбрать два луча.)
Незнайка выбрал два луча.
Построил ли он угол? (Нет.)
Почему? (Незнайка не совместил начало лучей.)
Как должны располагаться лучи? (Лучи должны выходить из одной точки.)
Как называется эта точка? (Вершина угла.)
Как называются лучи? (Сторонами угла.)
Итак, что необходимо выбрать для построения угла? (Нужно выбрать точку и провести из нее два луча.)
Сейчас каждый из вас построит угол в тетради.
Каким инструментом будете пользоваться? (Линейкой.)
Обозначьте вершину красным карандашом, стороны - синим и зеленым.
Давайте попробуем дать формулировку углу. Что такое угол? (Угол - это геометрическая фигура, для построения которой нужно выбрать точку и провести из нее два луча.)
4. Постановка учебной задачи и ее решение.
Я очень рада, что сегодня на уроке присутствуют все 27 учеников нашего класса. Сколько углов вы построили? (Столько же, 27.)
Как же различать такое количество углов между собой? (Нужно дать углам имена.)
Как вы думаете, как можно обозначить угол? (Можно назвать вершина.)
Назовите угол, (Угол А)
А если я начерчу несколько углов с вершиной в точке А, то как их различать? (Надо как-то “полнее обозначать углы.)
У кого есть другие варианты обозначения? (Можно обозначить лучи: луч АВ и луч АС.)
Итак, мы обозначили угол, попробуйте назвать его, прочитайте имя. (Угол ВАС, угол CAB, угол АСВ, угол ABC, угол А.)
Нам нужно выбрать из предложенных вами правильные названия из данных. Для этого я предлагаю выйти к доске и показать угол.
(Дети по-разному показывают углы.)
Ребята, в математике принято показывать угол от одной из сторон к вершине и от вершины к стороне. Как вы думаете, какие из названных вами имен угла будут верными? (Угол ВАС, угол CAB, угол А.)
Правильно. Нужно запомнить, что букву, которой мы обозначаем вершину угла, необходимо называть второй.
Слово “угол” в математике обозначается таким знаком “? ”.
Итак, сколько букв может быть в имени угла? (Одна буква или три.)
Запишите название начерченного вами в тетради угла. Я запишу названия того угла, что на доске, а вы мне подскажете. (Угол ВАС, угол CAB, или просто угол А.)
Как записать названия углов, когда одна точка является началом нескольких лучей? (Сначала надо обозначить лучи, расставить буквы М, К, С, Д.)
Сколько углов получилось у нас? (Два, три, даже больше.)
Чтобы показать, какие углы нужно назвать, их обозначают дугами. Назовите и запишите углы, которые я обозначаю. (Угол МАК, угол САД, угол MAC.)
Есть ли еще углы на этом чертеже? (Да, угол МАД, угол КАД, угол САМ.)
При затруднении учитель показывает угол, и дети его называют. Это задание для “сильных” учеников, для их развития. Вслед за ними учатся и остальные.
5. Обобщение. Углубление знаний о многоугольнике.
Что надо помнить, называя и записывая углы? (Букву, обозначающую вершину, называем посередине.)
Как показывать угол? (Указкой надо “пройти” по лучу - от стороны к вершине, а потом от вершины - по другой стороне.)
6. Физминутка.
Я покажу карточки с геометрическими фигурами. Увидев многоугольник, вы должны присесть. Увидев фигуру, не являющуюся многоугольником, вы должны встать.
Раз, два, три, четыре, пять,
Все умеем мы считать,
Отдыхать умеем тоже –
Руки за спину положим
Голову поднимем выше
И легко-легко подышим.
7. Закрепление по учебнику.
Стр. 29 № 68. Запиши имена углов, используя этот знак “? ”. Данное задание выполняется комментировано.
Сколько имен может иметь один угол? (Три имени.)
8. Закрепление нового материала в группах. (Семь групп).
Каждой группе предлагается дать три варианта названия угла.
После выполнения задания командир группы отчитывается. Например:
9. Совершенствование устных вычислительных навыков.
Игра “Расшифруй слово”. Каждому значению выражения соответствует определенная буква. 4 - Г, 5 - Л, 6 - У, 7 - О.
10-8 + 4 = 6 У 2+7-5=4 Г 8-3+2=7 О 1+9-5=5 Л
Прочитайте слово. (Угол.)
10. Поиск углов в окружающей действительности.
Посмотрите внимательно вокруг и назовите предметы, в которых есть углы. (Доска, тетрадь, парта, окно и т.д.)
11. Итог.
Чему новому научились на уроке? (Научились обозначать углы.)
Сколько имен может иметь угол? (Три.)
Что обозначает буква, которая по счету называется второй? (Эта буква обозначает вершину угла.)
Все ли было понятно на уроке? Сможет ли каждый из вас назвать угол и правильно прочитать имя угла? Если да - поднимите карточку с восклицательным знаком, если нет - с вопросительным знаком.
Сегодня на уроке все активно помогали Незнайке помочь усвоить новую тему “Угол”, но еще и уточняли знания о многоугольниках. Что каждый из вас узнал нового о них? (Как удобнее чертить, какая у угла граница. Как показать угол. Чтобы показать многоугольник, его надо закрашивать.)
Дома начертите 3 угла и дайте им названия. Еще постройте многоугольник и покажите в нем углы, дайте имя.
Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.
Сбор и использование персональной информации
Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.
От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.
Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.
Какую персональную информацию мы собираем:
- Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.
Как мы используем вашу персональную информацию:
- Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
- Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
- Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
- Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.
Раскрытие информации третьим лицам
Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.
Исключения:
- В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
- В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.
Защита персональной информации
Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.
Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании
Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.
Данные геометрические фигуры окружают нас повсюду. Выпуклые многоугольники бывают природными, например, пчелиные соты или искусственными (созданными человеком). Эти фигуры используются в производстве различных видов покрытий, в живописи, архитектуре, украшениях и т.д. Выпуклые многоугольники обладают тем свойством, что все их точки располагаются по одну сторону от прямой, что проходит через пару соседних вершин этой геометрической фигуры. Существуют и другие определения. Выпуклым называется тот многоугольник, который расположен в единой полуплоскости относительно любой прямой, содержащей одну из его сторон.
В курсе элементарной геометрии всегда рассматриваются исключительно простые многоугольники. Чтобы понять все свойства таких необходимо разобраться с их природой. Для начала следует уяснить, что замкнутой называется любая линия, концы которой совпадают. Причем фигура, образованная ею, может иметь самые разные конфигурации. Многоугольником называют простую замкнутую ломаную линию, у которой соседние звенья не располагаются на одной прямой. Ее звенья и вершины являются, соответственно, сторонами и вершинами этой геометрической фигуры. Простая ломаная не должна иметь самопересечений.
Вершины многоугольника называют соседними, в том случае если они представляют собой концы одной из его сторон. Геометрическая фигура, у которой имеется n-е число вершин, а значит, и n-е количество сторон, называется n-угольником. Саму ломаную линию называют границей или контуром этой геометрической фигуры. Многоугольной плоскостью или плоским многоугольником называют конечную часть любой плоскости, им ограниченной. Соседними сторонами этой геометрической фигуры называют отрезки ломаной линии, исходящие из одной вершины. Они будут не соседними, если исходят их разных вершин многоугольника.
Другие определения выпуклых многоугольников
В элементарной геометрии существует еще несколько эквивалентных по своему значению определений, указывающих на то, какой многоугольник называется выпуклым. Причем все эти формулировки в одинаковой степени верны. Выпуклым считается тот многоугольник, у которого:
Каждый отрезок, что соединяет две любые точки внутри него, полностью лежит в нем;
Внутри него лежат все его диагонали;
Любой внутренний угол не превышает 180°.
Многоугольник всегда разбивает плоскость на 2 части. Одна из них - ограниченная (она может быть заключена в круг), а другая - неограниченная. Первую называют внутренней областью, а вторую - внешней областью этой геометрической фигуры. Данный многоугольник является пересечением (иными словами - общей составляющей) нескольких полуплоскостей. При этом каждый отрезок, имеющий концы в точках, которые принадлежат многоугольнику, полностью принадлежит ему.
Разновидности выпуклых многоугольников
Определение выпуклого многоугольника не указывает на то, что их существует множество видов. Причем у каждого из них имеются определенные критерии. Так, выпуклые многоугольники, у которых есть внутренний угол равный 180°, называются слабовыпуклыми. Выпуклая геометрическая фигура, что имеет три вершины, называется треугольником, четыре - четырехугольником, пять - пятиугольником и т. д. Каждый из выпуклых n-угольников отвечает следующему важнейшему требованию: n должно равняться или быть больше 3. Каждый из треугольников является выпуклым. Геометрическая фигура данного типа, у которой все вершины располагаются на одной окружности, называется вписанной в окружность. Выпуклый многоугольник называют описанным, если все его стороны около окружности прикасаются к ней. Два многоугольника называют равными только в том случае, когда при помощи наложения их можно совместить. Плоским многоугольником называют многоугольную плоскость (часть плоскости), что ограничена этой геометрической фигурой.
Правильные выпуклые многоугольники
Правильными многоугольниками называют геометрические фигуры с равными углами и сторонами. Внутри них имеется точка 0, которая находится на одинаковом расстоянии от каждой из его вершин. Ее называют центром этой геометрической фигуры. Отрезки, соединяющие центр с вершинами этой геометрической фигуры называют апофемами, а те, что соединяют точку 0 со сторонами - радиусами.
Правильный четырехугольник - квадрат. Правильный треугольник называют равносторонним. Для таких фигур существует следующее правило: каждый угол выпуклого многоугольника равен 180° * (n-2)/ n,
где n - число вершин этой выпуклой геометрической фигуры.
Площадь любого правильного многоугольника определяют по формуле:
где p равно половине суммы всех сторон данного многоугольника, а h равно длине апофемы.
Свойства выпуклых многоугольников
Выпуклые многоугольники имеют определенные свойства. Так, отрезок, который соединяет любые 2 точки такой геометрической фигуры, обязательно располагается в ней. Доказательство:
Предположим, что Р - данный выпуклый многоугольник. Берем 2 произвольные точки, например, А, В, которые принадлежат Р. По существующему определению выпуклого многоугольника эти точки расположены в одной стороне от прямой, что содержит любую сторону Р. Следовательно, АВ также имеет это свойство и содержится в Р. Выпуклый многоугольник всегда возможно разбить на несколько треугольников абсолютно всеми диагоналями, которые проведены из одной его вершины.
Углы выпуклых геометрических фигур
Углы выпуклого многоугольника - это углы, что образованы его сторонами. Внутренние углы находятся во внутренней области данной геометрической фигуры. Угол, что образован его сторонами, которые сходятся в одной вершине, называют углом выпуклого многоугольника. с внутренними углами данной геометрической фигуры, называют внешними. Каждый угол выпуклого многоугольника, расположенный внутри него, равен:
где х - величина внешнего угла. Эта простая формула действует в отношении любых геометрических фигур такого типа.
В общем случае, для внешних углов существует следующие правило: каждый угол выпуклого многоугольника равен разности между 180° и величиной внутреннего угла. Он может иметь значения в пределах от -180° до 180°. Следовательно, когда внутренний угол составляет 120°, внешний будет иметь величину в 60°.
Сумма углов выпуклых многоугольников
Сумма внутренних углов выпуклого многоугольника устанавливается по формуле:
где n - число вершин n-угольника.
Сумма углов выпуклого многоугольника вычисляется довольно просто. Рассмотрим любую такую геометрическую фигуру. Для определения суммы углов внутри выпуклого многоугольника необходимо соединить одну из его вершин с другими вершинами. В результате такого действия получается (n-2) треугольника. Известно, что сумма углов любых треугольников всегда равна 180°. Поскольку их количество в любом многоугольнике равняется (n-2), сумма внутренних углов такой фигуры равняется 180° х (n-2).
Сумма углов выпуклого многоугольника, а именно любых двух внутренних и смежных с ними внешних углов, у данной выпуклой геометрической фигуры всегда будет равна 180°. Исходя из этого, можно определить сумму всех ее углов:
Сумма внутренних углов составляет 180° * (n-2). Исходя из этого, сумму всех внешних углов данной фигуры устанавливают по формуле:
180° * n-180°-(n-2)= 360°.
Сумма внешних углов любого выпуклого многоугольника всегда будет равна 360° (независимо от количества его сторон).
Внешний угол выпуклого многоугольника в общем случае представляется разностью между 180° и величиной внутреннего угла.
Другие свойства выпуклого многоугольника
Помимо основных свойств данных геометрических фигур, у них есть и другие, которые возникают при манипуляциях с ними. Так, любой из многоугольников может быть разделен на несколько выпуклых n-угольников. Для этого необходимо продолжить каждую из его сторон и разрезать эту геометрическую фигуру вдоль этих прямых линий. Разбить любой многоугольник на несколько выпуклых частей можно и таким образом, чтобы вершины каждого из кусков совпадали со всеми его вершинами. Из такой геометрической фигуры можно очень просто сделать треугольники путем проведения всех диагоналей из одной вершины. Таким образом, любой многоугольник, в конечном счете, можно разбить на определенное количество треугольников, что оказывается весьма полезным при решении различных задач, связанных с такими геометрическими фигурами.
Периметр выпуклого многоугольника
Отрезки ломаной линии, называемые сторонами многоугольника, чаще всего обозначаются следующими буквами: ab, bc, cd, de, ea. Это стороны геометрической фигуры с вершинами a, b, c, d, e. Сумма длины всех сторон этого выпуклого многоугольника называют его периметром.
Окружность многоугольника
Выпуклые многоугольники могут быть вписанными и описанными. Окружность, касающаяся всех сторон этой геометрической фигуры, называется вписанной в нее. Такой многоугольник называют описанным. Центр окружности, которая вписана в многоугольник, представляет собой точку пересечения биссектрис всех углов внутри данной геометрической фигуры. Площадь такого многоугольника равняется:
где r - радиус вписанной окружности, а p - полупериметр данного многоугольника.
Окружность, содержащую вершины многоугольника, называют описанной около него. При этом данная выпуклая геометрическая фигура называется вписанной. Центр окружности, которая описана около такого многоугольника, представляет собой точку пересечения так называемых серединных перпендикуляров всех сторон.
Диагонали выпуклых геометрических фигур
Диагонали выпуклого многоугольника - это отрезки, которые соединяют не соседние вершины. Каждая из них лежит внутри этой геометрической фигуры. Число диагоналей такого n-угольника устанавливается по формуле:
N = n (n - 3)/ 2.
Число диагоналей выпуклого многоугольника играет важную роль в элементарной геометрии. Число треугольников (К), на которые возможно разбить каждый выпуклый многоугольник, вычисляется по следующей формуле:
Количество диагоналей выпуклого многоугольника всегда зависит от числа его вершин.
Разбиение выпуклого многоугольника
В некоторых случаях для решения геометрических задач необходимо разбить выпуклый многоугольник на несколько треугольников с непересекающимися диагоналями. Эту проблему можно решить путем выведения определенной формулы.
Определение задачи: назовем правильным некое разбиение выпуклого n-угольника на несколько треугольников диагоналями, пересекающимися только в вершинах этой геометрической фигуры.
Решение: Предположим, что Р1, Р2 , Р3 … , Pn - вершины этого n-угольника. Число Xn - количество его разбиений. Внимательно рассмотрим полученную диагональ геометрической фигуры Pi Pn. В любом из правильных разбиений Р1 Pn принадлежит определенному треугольнику Р1 Pi Pn, у которого 1 Пусть і = 2 будет одной группой правильных разбиений, всегда содержащей диагональ Р2 Pn. Количество разбиений, которые входят в нее, совпадает с числом разбиений (n-1)-угольника Р2 Р3 Р4… Pn. Иными словами, оно равняется Xn-1. Если і = 3, то эта другая группа разбиений будет всегда содержать диагонали Р3 Р1 и Р3 Pn. При этом количество правильных разбиений, что содержатся в данной группе, будет совпадать с числом разбиений (n-2)-угольника Р3 Р4… Pn. Другими словами, оно будет равняться Xn-2. Пусть і = 4, тогда среди треугольников правильное разбиение непременно будет содержать треугольник Р1 Р4 Pn, к которому будет примыкать четырехугольник Р1 Р2 Р3 Р4, (n-3)-угольник Р4 Р5… Pn. Количество правильных разбиений такого четырехугольника равняется Х4, а число разбиений (n-3)-угольника равняется Xn-3. Исходя из всего изложенного, можно сказать, что полное количество правильных разбиений, которые содержатся в данной группе, равняется Xn-3 Х4. Другие группы, у которых і = 4, 5, 6, 7… будут содержать Xn-4 Х5, Xn-5 Х6, Xn-6 Х7 … правильных разбиений. Пусть і = n-2, то количество правильных разбиений в данной группе будет совпадать с числом разбиений в группе, у которой i=2 (другими словами, равняется Xn-1). Так как Х1 = Х2 = 0, Х3=1, Х4=2…, то число всех разбиений выпуклого многоугольника равно: Xn = Xn-1 + Xn-2 + Xn-3 Х4 + Xn-4 Х5 + … + Х 5 Xn-4 + Х4 Xn-3 + Xn-2 + Xn-1. Х5 = Х4 + Х3 + Х4 = 5 Х6 = Х5 + Х4 + Х4 + Х5 = 14 Х7 = Х6 + Х5 + Х4 * Х4 + Х5 + Х6 = 42 Х8 = Х7 + Х6 + Х5 * Х4 + Х4 * Х5 + Х6 + Х7 = 132 При проверке частных случаев, можно прийти к предположению, что число диагоналей выпуклых n-угольников равняется произведению всех разбиений этой фигуры на (n-3). Доказательство данного предположения: представим, что P1n = Xn * (n-3), тогда любой n-угольник возможно разбить на (n-2)-треугольников. При этом из них может быть сложен (n-3)-четырехугольник. Наряду с этим, у каждого четырехугольника будет диагональ. Поскольку в этой выпуклой геометрической фигуре могут быть проведены две диагонали, это значит, что и в любых (n-3)-четырехугольниках возможно провести дополнительные диагонали (n-3). Исходя из этого, можно сделать вывод, что в любом правильном разбиении имеется возможность провести (n-3)-диагонали, отвечающие условиям этой задачи. Нередко при решении различных задач элементарной геометрии появляется необходимость определить площадь выпуклого многоугольника. Предположим, что (Xi. Yi), i = 1,2,3… n представляет собой последовательность координат всех соседних вершин многоугольника, не имеющего самопересечений. В этом случае его площадь вычисляется по такой формуле: S = ½ (∑ (X i + X i + 1) (Y i + Y i + 1)), где (Х 1 , Y 1) = (X n +1 , Y n + 1). Многоугольник — Математика 1 класс (Моро) Краткое описание:Количество правильных разбиений, пересекающих внутри одну диагональ
Площадь выпуклых многоугольников
Вы уже многое знаете о геометрии, но, наверное, хотите знать еще больше. Поэтому наше путешествие в удивительную страну Геометрию продолжается. Вам хорошо знакома такая фигура, как отрезок. А что получится, если три отрезка соединятся между собой? Верно, получится ломаная линия. Вы, конечно же, помните, что ломаные линии могут быть замкнутыми и незамкнутыми. Если три отрезка соединить в замкнутую ломаную линию, то получится … Догадались? Получится треугольник. А можно ли получить другие фигуры из ломаной линии? Конечно, можно! Все зависит от количества звеньев ломаной линии. Так, например, если звеньев будет четыре, то получится четырехугольник, пять звеньев – пятиугольник и так далее. А теперь подумайте, как мы можем назвать одним словом фигуры, образованные замкнутой ломаной линией? Воспользуйтесь подсказкой: у всех этих фигур звенья образуют разное количество углов. Такие фигуры мы назовем многоугольниками. Многоугольники встречаются вас на каждом шагу. Так, крышка парты – это четырехугольник, некоторые дорожные знаки – треугольники, клумбы могут пятиугольниками, шестиугольниками. Тема «Многоугольники» неисчерпаема. Вы встретитесь с ней не только в первом классе, но и будете постоянно встречаться с ней все время, пока обучаетесь в школе. Подружитесь с многоугольниками!
