В геометрията площта на фигурата е една от основните числени характеристики на плоско тяло. Какво представлява дадена област, как да я определим за различни фигури, както и какви свойства има - ще разгледаме всички тези въпроси в тази статия.

Какво е област: определение

Площта на една фигура е броят на единичните квадрати в тази фигура; неформално казано, това е размерът на фигурата. Най-често областта на фигурата се обозначава като „S“. Тя може да бъде измерена с помощта на палитра или устройство за планиметър. Също така площта на фигура може да бъде изчислена, като се знаят основните й размери. Например площта на триъгълник може да се изчисли, като се използват три различни формули:

Площта на правоъгълник е равна на произведението на неговата ширина и дължина, а площта на кръг е равна на произведението на квадрата на радиуса и π \u003d 3,14.

Свойства на областта на формата

  • площта е равна на тази на равни фигури;
  • площта винаги е неотрицателна;
  • мерната единица за площ е площта на квадрат със страна, равна на 1 единица дължина;
  • ако фигурата е разделена на две части, тогава общата площ на фигурата е равна на сумата от площите на съставните й части;
  • фигурите, равни по площ, се наричат \u200b\u200bравни по размер;
  • ако една фигура принадлежи на друга фигура, тогава площта на първата не може да надвишава площта на втората.

Изчисляване на площта на дадена форма - Това е може би един от най-трудните проблеми в теорията на областите. В училищната геометрия те учат как да намират областите на основни геометрични фигури като например триъгълник, ромб, правоъгълник, трапец, кръг и т.н. Често обаче трябва да се занимавате с изчисляване на площите с по-сложни форми. Именно при решаването на такива задачи е много удобно да се използва интегрално смятане.

Определение.

Извит трапец се нарича някаква фигура G, ограничена от линиите y \u003d f (x), y \u003d 0, x \u003d a и x \u003d b, а функцията f (x) е непрекъсната върху сегмента [a; b] и не променя знака си върху него (Фиг. 1).Площта на извит трапец може да се означи S (G).

Определеният интеграл ʃ а b f (x) dx за функцията f (x), която е непрекъсната и неотрицателна на интервала [а; b], и е площта на съответния извит трапец.

Тоест, за да се намери площта на фигурата G, ограничена от линиите y \u003d f (x), y \u003d 0, x \u003d a и x \u003d b, е необходимо да се изчисли определеният интеграл ʃ abf (x) dx.

Поради това, S (G) \u003d ʃ a b f (x) dx.

Ако функцията y \u003d f (x) не е положителна на [a; b], тогава площта на извит трапец може да се намери по формулата S (G) \u003d -ʃ a b f (x) dx.

Пример 1.

Изчислете площта на фигурата, ограничена от линиите y \u003d x 3; y \u003d 1; x \u003d 2.

Решение.

Посочените редове образуват фигурата ABC, която се показва чрез щриховка фиг. 2.

Необходимата площ е равна на разликата между зоните на DACE извития трапец и квадрата DABE.

Използвайки формулата S \u003d ʃ и b f (x) dx \u003d S (b) - S (a), намираме границите на интегриране. За целта решаваме система от две уравнения:

(y \u003d x 3,
(y \u003d 1.

По този начин имаме x 1 \u003d 1 - долната граница и x \u003d 2 - горната граница.

И така, S \u003d S DACE - S DABE \u003d ʃ 1 2 x 3 dx - 1 \u003d x 4/4 | 1 2 - 1 \u003d (16 - 1) / 4 - 1 \u003d 11/4 (квадратни единици).

Отговор: 11/4 кв. единици

Пример 2.

Изчислете площта на фигурата, ограничена от линиите y \u003d √x; у \u003d 2; x \u003d 9.

Решение.

Дадените редове образуват фигура ABC, която е ограничена отгоре от графиката на функцията

y \u003d √x, а под графиката на функцията y \u003d 2. Получената цифра е показана чрез засенчване фиг. 3.

Необходимата площ е S \u003d ʃ a b (√x - 2). Нека намерим границите на интегриране: b \u003d 9, за да намерим a, решаваме системата от две уравнения:

(y \u003d √x,
(y \u003d 2.

По този начин имаме, че x \u003d 4 \u003d a е долната граница.

И така, S \u003d ∫ 4 9 (√x - 2) dx \u003d ∫ 4 9 √x dx –∫ 4 9 2dx \u003d 2/3 x√x | 4 9 - 2x | 4 9 \u003d (18 - 16/3) - (18 - 8) \u003d 2 2/3 (квадратни единици).

Отговор: S \u003d 2 2/3 кв. единици

Пример 3.

Изчислете площта на фигурата, ограничена от линиите y \u003d x 3 - 4x; y \u003d 0; x ≥ 0.

Решение.

Нека да изградим графика на функцията y \u003d x 3 - 4x за x ≥ 0. За целта намерете производната y ':

y '\u003d 3x 2 - 4, y' \u003d 0 при х \u003d ± 2 / √3 ≈ 1.1 са критични точки.

Ако изобразим критичните точки на числовата ос и подредим знаците на производната, тогава ще открием, че функцията намалява от нула до 2 / √3 и се увеличава от 2 / √3 до плюс безкрайност. Тогава x \u003d 2 / √3 е минимална точка, минималната стойност на функцията е min \u003d -16 / (3√3) ≈ -3.

Нека определим точките на пресичане на графиката с координатните оси:

ако x \u003d 0, тогава y \u003d 0, което означава, че A (0; 0) е пресечната точка с оста Oy;

ако y \u003d 0, тогава x 3 - 4x \u003d 0 или x (x 2 - 4) \u003d 0, или x (x - 2) (x + 2) \u003d 0, откъдето x 1 \u003d 0, x 2 \u003d 2, x 3 \u003d -2 (не е подходящо, тъй като x ≥ 0).

Точки A (0; 0) и B (2; 0) са пресечните точки на графиката с оста Ox.

Посочените редове образуват фигура на OAB, която се показва чрез щриховка фиг. 4.

Тъй като функцията y \u003d x 3 - 4x приема отрицателна стойност на (0; 2), тогава

S \u003d | ʃ 0 2 (x 3 - 4x) dx |.

Имаме: ʃ 0 2 (x 3 - 4x) dx \u003d (x 4/4 - 4x 2/2) | 0 2 \u003d -4, откъдето S \u003d 4 кв. единици

Отговор: S \u003d 4 кв. единици

Пример 4.

Намерете площта на фигурата, ограничена от параболата y \u003d 2x 2 - 2x + 1, правите линии x \u003d 0, y \u003d 0 и допирателната към тази парабола в точката с абсцисата x 0 \u003d 2.

Решение.

Първо съставяме уравнението на допирателната към параболата y \u003d 2x 2 - 2x + 1 в точката с абсцисата x₀ \u003d 2.

Тъй като производната y ’\u003d 4x - 2, то при x 0 \u003d 2 получаваме k \u003d y’ (2) \u003d 6.

Намерете ординатата на допирната точка: y 0 \u003d 2 2 2 - 2 2 + 1 \u003d 5.

Следователно уравнението на допирателната има вида: y - 5 \u003d 6 (x - 2) или y \u003d 6x - 7.

Нека нарисуваме фигура, ограничена от линии:

y \u003d 2x 2 - 2x + 1, y \u003d 0, x \u003d 0, y \u003d 6x - 7.

G y \u003d 2x 2 - 2x + 1 - парабола. Точки на пресичане с координатните оси: A (0; 1) - с оста Oy; с оста Ox - няма пресечни точки, защото уравнението 2x 2 - 2x + 1 \u003d 0 няма решения (D< 0). Найдем вершину параболы:

x b \u003d 2/4 \u003d 1/2;

y b \u003d 1/2, тоест върхът на точка парабола B има координати B (1/2; 1/2).

И така, фигурата, чиято площ искате да определите, се показва чрез излюпване фиг. пет.

Имаме: S О A В D \u003d S OABC - S ADBC.

Намерете координатите на точка D от условието:

6x - 7 \u003d 0, т.е. x \u003d 7/6, така че DC \u003d 2 - 7/6 \u003d 5/6.

Площта на триъгълника DBC се намира по формулата S ADBC \u200b\u200b\u003d 1/2 DC BC. Поради това,

S ADBC \u200b\u200b\u003d 1/2 5/6 5 \u003d 25/12 кв. единици

S OABC \u003d ʃ 0 2 (2x 2 - 2x + 1) dx \u003d (2x 3/3 - 2x 2/2 + x) | 0 2 \u003d 10/3 (квадратни единици).

Накрая получаваме: S О A В D \u003d S OABC - S ADBC \u200b\u200b\u003d 10/3 - 25/12 \u003d 5/4 \u003d 1 1/4 (квадратни единици).

Отговор: S \u003d 1 1/4 кв. единици

Анализирахме примери намиране на областите на фигури, ограничени от определени линии... За да решите успешно такива проблеми, трябва да можете да изграждате линии и графики на функции в равнината, да намирате точките на пресичане на линии, да прилагате формула за намиране на площта, което предполага наличието на умения и способности за изчисляване на определени интеграли.

сайт, с пълно или частично копиране на материала, се изисква връзка към източника.

Как да намерим областта на дадена форма?


Познаването и умението да се изчисляват площите с различни форми е необходимо не само за решаване на прости геометрични задачи... Не можете без тези знания, когато съставяте или проверявате разчети за ремонт на помещения, изчислявайки количеството необходими консумативи. Така че нека разберем как да намерим областите с различни форми.

Частта от равнина, затворена в затворен контур, се нарича площ на тази равнина. Площта се изразява с броя на затворените в нея квадратни единици.

За да изчислите площта на основните геометрични фигури, трябва да използвате правилната формула.

Площ на триъгълник

Легенда:

  1. Ако h, a са известни, тогава площта на желания триъгълник се определя като произведение на дължините на страната и височината на триъгълника, паднал до тази страна, разделена наполовина: S \u003d (a h) / 2
  2. Ако са известни a, b, c, тогава необходимата площ се изчислява по формулата на Heron: квадратният корен, взет от произведението на половината от периметъра на триъгълника и три разлики на половината от периметъра и всяка страна на триъгълника: S \u003d √ (p (p - a) (p - b) (p - c)).
  3. Ако a, b, γ са известни, тогава площта на триъгълника се определя като половината от произведението на 2 страни, умножена по стойността на синуса на ъгъла между тези страни: S \u003d (ab sin γ) / 2
  4. Ако a, b, c, R са известни, тогава необходимата площ се определя като разделяне на произведението на дължините на всички страни на триъгълника на четирите радиуса на описаната окръжност: S \u003d (a b c) / 4R
  5. Ако p, r са известни, тогава необходимата площ на триъгълника се определя чрез умножаване на половината от периметъра по радиуса на вписаната окръжност: S \u003d p r

Квадратна площ

Легенда:

  1. Ако страната е известна, тогава площта на тази фигура се определя като квадрат на дължината на нейната страна: S \u003d a 2
  2. Ако d е известно, тогава площта на един квадрат се определя като половината от квадрата на дължината на неговия диагонал: S \u003d d 2/2

Правоъгълник

Легенда:

  • S - определена площ,
  • a, b - дължините на страните на правоъгълника.
  1. Ако a, b са известни, тогава площта на този правоъгълник се определя от произведението на дължините на двете му страни: S \u003d a b
  2. Ако дължините на страните са неизвестни, тогава площта на правоъгълника трябва да бъде разделена на триъгълници. В този случай площта на правоъгълник се определя като сбор от площите на съставните му триъгълници.

Паралелограма област

Легенда:

  • S е необходимата площ,
  • a, b - дължини на страни,
  • h е дължината на височината на този успоредник,
  • d1, d2 - дължини на два диагонала,
  • α е ъгълът между страните,
  • γ е ъгълът между диагоналите.
  1. Ако a, h са известни, тогава необходимата площ се определя чрез умножаване на дължините на страната и височината, намалена до тази страна: S \u003d a h
  2. Ако a, b, α са известни, тогава площта на успоредника се определя чрез умножаване на дължините на страните на успоредника и стойността на синуса на ъгъла между тези страни: S \u003d a b sin α
  3. Ако d 1, d 2, γ са известни, тогава площта на успоредника се определя като половината от произведението на дължините на диагоналите и стойността на синуса на ъгъла между тези диагонали: S \u003d (d 1 d 2 sinγ) / 2

Район на ромб

Легенда:

  • S е необходимата площ,
  • а - дължина на страната,
  • h - дължина на височината,
  • α - по-малък ъгъл между двете страни,
  • d1, d2 са дължините на двата диагонала.
  1. Ако са известни a, h, тогава площта на ромба се определя чрез умножаване на дължината на страната по дължината на височината, която е спусната до тази страна: S \u003d a h
  2. Ако са известни a, α, тогава площта на ромба се определя чрез умножаване на квадрата на дължината на страната по синуса на ъгъла между страните: S \u003d a 2 sin α
  3. Ако d 1 и d 2 са известни, тогава необходимата площ се определя като половината от произведението на дължините на диагоналите на ромба: S \u003d (d 1 d 2) / 2

Район трапец

Легенда:

  1. Ако a, b, c, d са известни, тогава необходимата площ се определя по формулата: S \u003d (a + b) / 2 * √.
  2. При известни a, b, h необходимата площ се определя като произведение на половината от сумата на основите и височината на трапеца: S \u003d (a + b) / 2 h

Площ на изпъкнал четириъгълник

Легенда:

  1. Ако d 1, d 2, α са известни, тогава площта на изпъкнал четириъгълник се определя като половината от произведението на диагоналите на четириъгълника, умножено по синуса на ъгъла между тези диагонали: S \u003d (d 1 d 2 грях α) / 2
  2. За известни p, r, площта на изпъкнал четириъгълник се определя като произведение на полупериметъра на четириъгълника от радиуса на окръжност, вписана в този четириъгълник: S \u003d p r
  3. Ако са известни a, b, c, d, θ, тогава площта на изпъкнал четириъгълник се определя като квадратен корен от произведенията от разликата на полупериметъра и дължината на всяка страна минус произведението на дължини на всички страни и квадрат на косинуса от половината от сумата на два противоположни ъгъла: S 2 \u003d (p - a) (p - b) (p - c) (p - d) - abcd cos 2 ((α + β) / 2)

Площ на кръг

Легенда:

Ако r е известно, тогава необходимата площ се определя като произведение на числото π от радиуса на квадрат: S \u003d π r 2

Ако d е известно, тогава площта на кръг се определя като произведение на π от квадрата на диаметъра, разделен на четири: S \u003d (π d 2) / 4

Сложна фигура област

Комплексът може да бъде разделен на прости геометрични фигури... Площта на сложна фигура се определя като сумата или разликата на съставните площи. Помислете например за пръстен.

Обозначаване:

  • S е площта на пръстена,
  • R, r - радиусите на външния и вътрешния кръг, съответно,
  • D, d - диаметри на външния и вътрешния кръг, съответно.

За да се намери площта на пръстена, е необходимо да се извади площта от площта на по-големия кръг по-малък кръг. S \u003d S1-S2 \u003d πR 2 -πr 2 \u003d π (R 2 -r 2).

По този начин, ако R и r са известни, тогава площта на пръстена се определя като разлика между квадратите на радиусите на външния и вътрешния кръг, умножена по числото pi: S \u003d π (R 2 -r 2 ).

Ако D и d са известни, тогава площта на пръстена се определя като четвърт от разликата между квадратите на диаметрите на външния и вътрешния кръг, умножена по числото pi: S \u003d (1/4) ( D 2 -d 2) π.

Площ на запълнената фигура

Да предположим, че вътре в един квадрат (A) има друг (B) (по-малък) и трябва да намерим запълнената кухина между фигури "A" и "B". Нека просто кажем „рамката“ на малък квадрат. За това:

  1. Намираме площта на фигура "А" (изчислена по формулата за намиране на площта на квадрат).
  2. По същия начин намираме областта на фигура "B".
  3. Извадете област "B" от област "A". И по този начин получаваме площта на запълнената фигура.

Сега знаете как да намерите областите с различни форми.

Ако планирате сами да направите ремонт, тогава ще трябва да направите прогноза за строителни и довършителни материали. За да направите това, ще трябва да изчислите площта на помещението, в което планирате да извършите ремонтни дейности. Основният асистент в това е специално разработена формула. Площта на помещенията, а именно нейното изчисляване, ще ви позволи да спестите много пари за строителни материали и да насочите освободените финансови ресурси в по-необходима посока.

Геометрична форма на стаята

Формулата за изчисляване на площта на една стая директно зависи от нейната форма. Най-типичните за битовите сгради са правоъгълни и квадратни стаи. По време на реконструкцията обаче стандартната форма може да бъде изкривена. Стаите са:

  • Правоъгълна.
  • Квадрат.
  • Сложна конфигурация (например кръгла).
  • С ниши и первази.

Всеки от тях има свои собствени изчислителни характеристики, но като правило се използва същата формула. Площта на стая с всякаква форма и размер, по един или друг начин, може да бъде изчислена.

Правоъгълна или квадратна стая

За да изчислите площта на правоъгълна или квадратна стая, просто помнете училищните уроци по геометрия. Ето защо не би трябвало да ви е трудно да определите площта на стаята. Формулата за изчисление е:

S стаи \u003d A * B, където

А е дължината на стаята.

B е ширината на стаята.

За да измерите тези стойности, ще ви е необходима обикновена рулетка. За да получите най-точното изчисление, струва си да измерите стената от двете страни. Ако стойностите не се сближават, вземете за основа средната стойност на получените данни. Но не забравяйте, че всички изчисления имат свои собствени грешки, така че материалът трябва да бъде закупен с марж.

Стая със сложна конфигурация

Ако вашата стая не отговаря на определението „типичен“, т.е. има формата на кръг, триъгълник, многоъгълник, тогава може да се наложи различна формула за изчисления. Можете да опитате условно да разделите площта на стая с такава характеристика на правоъгълни елементи и да направите изчисления по стандартен начин. Ако нямате такава възможност, използвайте следните методи:

  • Формулата за намиране на площта на кръг:

S стая \u003d π * R 2, където

R е радиусът на стаята.

  • Формулата за намиране на площта на триъгълник:

S стая \u003d √ (P (P - A) x (P - B) x (P - C)), където

P е полупериметърът на триъгълника.

A, B, C - дължините на страните му.

Следователно, P \u003d A + B + C / 2

Ако в процеса на изчисляване имате някакви трудности, тогава е по-добре да не се измъчвате и да се обърнете към професионалисти.

Стайна площ с первази и ниши

Често стените са украсени с декоративни елементи под формата на всякакви ниши или первази. Също така, присъствието им може да се дължи на необходимостта да се скрият някои неестетични елементи на вашата стая. Наличието на издатини или ниши на стената ви означава, че изчислението трябва да се извършва на етапи. Тези. първо се открива площта на плосък участък от стената и след това към нея се добавя площта на ниша или перваз.

Площта на стената се намира по формулата:

S стени \u003d P x C, където

P - периметър

С - височина

Също така трябва да вземете предвид наличието на прозорци и врати. Тяхната площ трябва да бъде извадена от получената стойност.

Стая с многоетажен таван

Многостепенният таван не усложнява изчисленията толкова, колкото изглежда на пръв поглед. Ако има опростен дизайн, тогава изчисленията могат да бъдат направени въз основа на принципа за намиране на площта на стените, усложнена от ниши и издатини.

Ако обаче дизайнът на вашия таван има дъговидни и вълнообразни елементи, тогава е по-препоръчително да определите неговата площ, като използвате площта на пода. Това изисква:

  1. Намерете размерите на всички прави стенни секции.
  2. Намерете площта на пода.
  3. Умножете дължината и височината на вертикалните секции.
  4. Добавете получената стойност към площта на пода.

Инструкции стъпка по стъпка за определяне на общата сума

площ на стаята

  1. Освободете стаята от ненужни неща. В процеса на измерванията ще ви е необходим свободен достъп до всички зони на стаята ви, така че трябва да се отървете от всичко, което може да попречи на това.
  2. Разделете стаята визуално на секции с правилни и неправилна форма... Ако вашата стая е строго квадратна или правоъгълна, тогава тази стъпка може да бъде пропусната.
  3. Направете произволно оформление на стаята. Този чертеж е необходим, така че всички данни да са винаги на една ръка разстояние. Също така, той няма да ви даде възможност да се объркате при многобройни измервания.
  4. Измерванията трябва да се извършват няколко пъти. Това е важно правило, за да се избегнат грешни изчисления. Също така, ако използвате, уверете се, че гредата лежи плоско върху повърхността на стената.
  5. Намерете общата площ на стаята. Формулата за общата площ на помещението е да се намери сумата от всички площи на отделните секции на помещението. Тези. S общо \u003d S стени + S под + S таван

В предишния раздел за синтактичен анализ геометрично значение определен интеграл, получихме редица формули за изчисляване на площта на извит трапец:

S (G) \u003d ∫ a b f (x) d x за непрекъсната и неотрицателна функция y \u003d f (x) на сегмента [a; b],

S (G) \u003d - ∫ a b f (x) d x за непрекъсната и неположителна функция y \u003d f (x) на сегмента [a; б].

Тези формули са приложими за решението относно прости задачи... Всъщност често ни се налага да работим с по-сложни форми. В тази връзка ще посветим този раздел на анализа на алгоритми за изчисляване на площта на фигури, които са ограничени от функции в изрична форма, т.е. като y \u003d f (x) или x \u003d g (y).

Теорема

Нека функциите y \u003d f 1 (x) и y \u003d f 2 (x) бъдат дефинирани и непрекъснати на сегмента [a; b] и f 1 (x) ≤ f 2 (x) за всяко x от [a; б]. Тогава формулата за изчисляване на площта на фигурата G, ограничена от линиите x \u003d a, x \u003d b, y \u003d f 1 (x) и y \u003d f 2 (x), ще има формата S (G) \u003d ∫ abf 2 (x) - f 1 (x) dx.

Подобна формула ще бъде приложима за областта на фигурата, ограничена от линиите y \u003d c, y \u003d d, x \u003d g 1 (y) и x \u003d g 2 (y): S (G) \u003d ∫ cd ( g 2 (y) - g 1 (y) dy.

Доказателства

Нека разгледаме три случая, за които формулата е валидна.

В първия случай, като се вземе предвид свойството на адитивност на площ, сумата от площите на първоначалната фигура G и криволинейния трапец G 1 е равна на площта на фигурата G 2. Означава, че

Следователно S (G) \u003d S (G 2) - S (G 1) \u003d ∫ abf 2 (x) dx - ∫ abf 1 (x) dx \u003d ∫ ab (f 2 (x) - f 1 (x)) dx.

Можем да направим последния преход, като използваме третото свойство на определения интеграл.

Във втория случай важи следното равенство: S (G) \u003d S (G 2) + S (G 1) \u003d ∫ abf 2 (x) dx + - ∫ abf 1 (x) dx \u003d ∫ ab (f 2 ( x) - f 1 (x)) dx

Графичната илюстрация ще изглежда така:

Ако и двете функции са неположителни, получаваме: S (G) \u003d S (G 2) - S (G 1) \u003d - ∫ abf 2 (x) dx - - ∫ abf 1 (x) dx \u003d ∫ ab (f 2 (x) - f 1 (x)) dx. Графичната илюстрация ще изглежда така:

Нека се обърнем към разглеждането на общия случай, когато y \u003d f 1 (x) и y \u003d f 2 (x) пресичат оста O x.

Точките на пресичане ще бъдат означени като x i, i \u003d 1, 2 ,. ... ... , n - 1. Тези точки разделят сегмента [a; b] на n части x i - 1; x i, i \u003d 1, 2 ,. ... ... , n, където α \u003d x 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Фигуру G можно представить объединением фигур G i , i = 1 , 2 , . . . , n . Очевидно, что на своем интервале G i попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся как S (G i) = ∫ x i - 1 x i (f 2 (x) - f 1 (x)) d x , i = 1 , 2 , . . . , n

Следователно,

S (G) \u003d ∑ i \u003d 1 n S (G i) \u003d ∑ i \u003d 1 n ∫ xixif 2 (x) - f 1 (x)) dx \u003d \u003d ∫ x 0 xn (f 2 (x) - f ( x)) dx \u003d ∫ abf 2 (x) - f 1 (x) dx

Можем да направим последния преход, използвайки петото свойство на определения интеграл.

Нека илюстрираме общия случай на графиката.

Формулата S (G) \u003d ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x може да се счита за доказана.

И сега нека преминем към анализ на примери за изчисляване на площта на фигури, които са ограничени от линиите y \u003d f (x) и x \u003d g (y).

Ще започнем разглеждане на всеки от примерите чрез изграждане на графика. Изображението ще ни позволи да представим сложни фигури като комбинации от по-прости форми. Ако начертаването на графики и форми върху тях ви създава затруднения, можете да изучите раздела за основните атомни функции, геометричното преобразуване на графики на функции и начертаването, докато изследвате функция.

Пример 1

Необходимо е да се определи площта на фигурата, която е ограничена от параболата y \u003d - x 2 + 6 x - 5 и прави линии y \u003d - 1 3 x - 1 2, x \u003d 1, x \u003d 4.

Решение

Нека нарисуваме линии на графика в декартова координатна система.

На сегмента [1; 4] графиката на параболата y \u003d - x 2 + 6 x - 5 се намира над правата линия y \u003d - 1 3 x - 1 2. В тази връзка, за да получим отговор, използваме формулата, получена по-рано, както и метода за изчисляване на определен интеграл съгласно формулата на Нютон-Лайбниц:

S (G) \u003d ∫ 1 4 - x 2 + 6 x - 5 - - 1 3 x - 1 2 dx \u003d \u003d ∫ 1 4 - x 2 + 19 3 x - 9 2 dx \u003d - 1 3 x 3 + 19 6 x 2 - 9 2 x 1 4 \u003d \u003d - 1 3 4 3 + 19 6 4 2 - 9 2 4 - - 1 3 1 3 + 19 6 1 2 - 9 2 1 \u003d \u003d - 64 3 + 152 3 - 18 + 1 3 - 19 6 + 9 2 \u003d 13

Отговор: S (G) \u003d 13

Нека разгледаме по-сложен пример.

Пример 2

Необходимо е да се изчисли площта на фигурата, която е ограничена от линиите y \u003d x + 2, y \u003d x, x \u003d 7.

Решение

В този случай имаме само една права линия, успоредна на оста на абсцисата. Това е x \u003d 7. Това изисква да намерим втория лимит на интеграция сами.

Нека да изградим графика и да нарисуваме върху нея линиите, дадени в постановката на проблема.

Имайки графиката пред очите си, можем лесно да определим, че долната граница на интегриране ще бъде абсцисата на точката на пресичане на графиката на права линия y \u003d x и полупараболата y \u003d x + 2. За да намерим абсцисата, използваме равенствата:

y \u003d x + 2 О Д З: x ≥ - 2 x 2 \u003d x + 2 2 x 2 - x - 2 \u003d 0 D \u003d (- 1) 2 - 4 1 (- 2) \u003d 9 x 1 \u003d 1 + 9 2 \u003d 2 ∈ О Д З x 2 \u003d 1 - 9 2 \u003d - 1 ∉ О Д З

Оказва се, че абсцисата на пресечната точка е x \u003d 2.

Обръщаме вашето внимание на факта, че в общ пример в чертежа линиите y \u003d x + 2, y \u003d x се пресичат в точка (2; 2), така че такива подробни изчисления може да изглеждат излишни. Тук сме предоставили толкова подробно решение само защото в повече трудни случаи решението може да не е толкова очевидно. Това означава, че координатите на пресичането на линии винаги се изчисляват най-добре аналитично.

На интервала [2; 7] графиката на функцията y \u003d x се намира над графиката на функцията y \u003d x + 2. Нека приложим формулата за изчисляване на площта:

S (G) \u003d ∫ 2 7 (x - x + 2) dx \u003d x 2 2 - 2 3 (x + 2) 3 2 2 7 \u003d \u003d 7 2 2 - 2 3 (7 + 2) 3 2 - 2 2 2 - 2 3 2 + 2 3 2 \u003d \u003d 49 2 - 18 - 2 + 16 3 \u003d 59 6

Отговор: S (G) \u003d 59 6

Пример 3

Необходимо е да се изчисли площта на фигурата, която е ограничена от графиките на функциите y \u003d 1 x и y \u003d - x 2 + 4 x - 2.

Решение

Нека нарисуваме линии на диаграмата.

Нека дефинираме границите на интеграцията. За да направим това, ще определим координатите на точките на пресичане на линиите, приравнявайки изразите 1 x и - x 2 + 4 x - 2. При условие, че x не е нула, равенството 1 x \u003d - x 2 + 4 x - 2 става еквивалентно на уравнението от трета степен - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 \u003d 0 с целочислени коефициенти. Можете да освежите паметта си за алгоритъма за решаване на такива уравнения, като се обърнете към раздела "Решаване на кубични уравнения".

Коренът на това уравнение е x \u003d 1: - 1 3 + 4 · 1 2 - 2 · 1 - 1 \u003d 0.

Разделяйки израза - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 на биномния x - 1, получаваме: - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 ⇔ - (x - 1) (x 2 - 3 x - 1) \u003d 0

Можем да намерим останалите корени от уравнението x 2 - 3 x - 1 \u003d 0:

x 2 - 3 x - 1 \u003d 0 D \u003d (- 3) 2 - 4 1 (- 1) \u003d 13 x 1 \u003d 3 + 13 2 ≈ 3. 3; x 2 \u003d 3 - 13 2 ≈ - 0. 3

Намерихме интервала x ∈ 1; 3 + 13 2, в която фигурата G е затворена над синята и под червената линия. Това ни помага да определим площта на формата:

S (G) \u003d ∫ 1 3 + 13 2 - x 2 + 4 x - 2 - 1 xdx \u003d - x 3 3 + 2 x 2 - 2 x - ln x 1 3 + 13 2 \u003d \u003d - 3 + 13 2 3 3 + 2 3 + 13 2 2 - 2 3 + 13 2 - ln 3 + 13 2 - - - 1 3 3 + 2 1 2 - 2 1 - ln 1 \u003d 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

Отговор: S (G) \u003d 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

Пример 4

Необходимо е да се изчисли площта на фигурата, която е ограничена от кривите y \u003d x 3, y \u003d - log 2 x + 1 и оста на абсцисата.

Решение

Нека поставим всички линии на диаграмата. Можем да получим графиката на функцията y \u003d - log 2 x + 1 от графиката y \u003d log 2 x, ако я подредим симетрично около оста на абсцисата и я повдигнем с една единица нагоре. Уравнението на абсцисата y \u003d 0.

Нека маркираме точките на пресичане на линиите.

Както се вижда от фигурата, графиките на функциите y \u003d x 3 и y \u003d 0 се пресичат в точката (0; 0). Това е така, защото x \u003d 0 е единственият реален корен от уравнението x 3 \u003d 0.

x \u003d 2 е единственият корен на уравнението - log 2 x + 1 \u003d 0, така че графиките на функциите y \u003d - log 2 x + 1 и y \u003d 0 се пресичат в точката (2; 0).

x \u003d 1 е единственият корен от уравнението x 3 \u003d - log 2 x + 1. В тази връзка графиките на функциите y \u003d x 3 и y \u003d - log 2 x + 1 се пресичат в точката (1; 1). Последното твърдение може да не е очевидно, но уравнението x 3 \u003d - log 2 x + 1 не може да има повече от един корен, тъй като функцията y \u003d x 3 се увеличава строго, а функцията y \u003d - log 2 x + 1 е строго намаляващ.

По-нататъшното решение включва няколко опции.

Вариант номер 1

Можем да представим фигурата G като сбор от две криволинейни трапеции, разположени над оста на абсцисата, първата от които е разположена под средната линия на сегмента x ∈ 0; 1, а вторият е под червената линия на отсечката x ∈ 1; 2. Това означава, че площта ще бъде S (G) \u003d ∫ 0 1 x 3 d x + ∫ 1 2 (- log 2 x + 1) d x.

Вариант номер 2

Фигурата G може да бъде представена като разликата на две фигури, първата от които е разположена над оста на абсцисата и под синята линия на сегмента x ∈ 0; 2, а втората е между червените и сините линии на отсечката x ∈ 1; 2. Това ни позволява да намерим района, както следва:

S (G) \u003d ∫ 0 2 x 3 d x - ∫ 1 2 x 3 - (- log 2 x + 1) d x

В този случай, за да намерите площта, ще трябва да използвате формула с формата S (G) \u003d ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y)) d y. Всъщност линиите, които ограничават формата, могат да бъдат представени като функции на аргумента y.

Решете уравненията y \u003d x 3 и - log 2 x + 1 за x:

y \u003d x 3 ⇒ x \u003d y 3 y \u003d - log 2 x + 1 ⇒ log 2 x \u003d 1 - y ⇒ x \u003d 2 1 - y

Получаваме необходимата площ:

S (G) \u003d ∫ 0 1 (2 1 - y - y 3) dy \u003d - 2 1 - y ln 2 - y 4 4 0 1 \u003d \u003d - 2 1 - 1 ln 2 - 1 4 4 - - 2 1 - 0 ln 2 - 0 4 4 \u003d - 1 ln 2 - 1 4 + 2 ln 2 \u003d 1 ln 2 - 1 4

Отговор: S (G) \u003d 1 ln 2 - 1 4

Пример 5

Необходимо е да се изчисли площта на фигурата, която е ограничена от линиите y \u003d x, y \u003d 2 3 x - 3, y \u003d - 1 2 x + 4.

Решение

С червената линия нарисувайте на графиката линията, посочена от функцията y \u003d x. Начертайте линията y \u003d - 1 2 x + 4 в синьо и нарисувайте линията y \u003d 2 3 x - 3 в черно.

Нека маркираме точките на пресичане.

Намерете пресечните точки на графиките на функциите y \u003d x и y \u003d - 1 2 x + 4:

x \u003d - 1 2 x + 4 О Д З: x ≥ 0 x \u003d - 1 2 x + 4 2 ⇒ x \u003d 1 4 x 2 - 4 x + 16 ⇔ x 2 - 20 x + 64 \u003d 0 D \u003d (- 20) 2 - 4 1 64 \u003d 144 x 1 \u003d 20 + 144 2 \u003d 16; x 2 \u003d 20 - 144 2 \u003d 4 Проверка: x 1 \u003d 16 \u003d 4, - 1 2 x 1 + 4 \u003d - 1 2 16 + 4 \u003d - 4 ⇒ x 1 \u003d 16 не Имам решение x 2 \u003d 4 \u003d 2, - 1 2 x 2 + 4 \u003d - 1 2 4 + 4 \u003d 2 ⇒ x 2 \u003d 4 i s e r t e r s ⇒ (4; 2) точка на пресичане i y \u003d x и y \u003d - 1 2 x + 4

Намерете пресечната точка на графиките на функциите y \u003d x и y \u003d 2 3 x - 3:

x \u003d 2 3 x - 3 О Д З: x ≥ 0 x \u003d 2 3 x - 3 2 ⇔ x \u003d 4 9 x 2 - 4 x + 9 ⇔ 4 x 2 - 45 x + 81 \u003d 0 D \u003d (- 45 ) 2 - 4 4 81 \u003d 729 x 1 \u003d 45 + 729 8 \u003d 9, x 2 45 - 729 8 \u003d 9 4 Проверки: x 1 \u003d 9 \u003d 3, 2 3 x 1 - 3 \u003d 2 3 9 - 3 \u003d 3 ⇒ x 1 \u003d 9 имам решение ⇒ (9; 3) пресичане на точка y \u003d x и y \u003d 2 3 x - 3 x 2 \u003d 9 4 \u003d 3 2, 2 3 x 1 - 3 \u003d 2 3 9 4 - 3 \u003d - 3 2 ⇒ x 2 \u003d 9 4 няма решение

Намерете пресечната точка на линиите y \u003d - 1 2 x + 4 и y \u003d 2 3 x - 3:

1 2 x + 4 \u003d 2 3 x - 3 ⇔ - 3 x + 24 \u003d 4 x - 18 ⇔ 7 x \u003d 42 ⇔ x \u003d 6 - 1 2 6 + 4 \u003d 2 3 6 - 3 \u003d 1 ⇒ (6; 1 ) точката на пресичане y \u003d - 1 2 x + 4 и y \u003d 2 3 x - 3

Метод номер 1

Нека си представим площта на необходимата фигура като сбор от площите на отделните фигури.

Тогава площта на фигурата е:

S (G) \u003d ∫ 4 6 x - - 1 2 x + 4 dx + ∫ 6 9 x - 2 3 x - 3 dx \u003d \u003d 2 3 x 3 2 + x 2 4 - 4 x 4 6 + 2 3 x 3 2 - x 2 3 + 3 x 6 9 \u003d \u003d 2 3 6 3 2 + 6 2 4 - 4 6 - 2 3 4 3 2 + 4 2 4 - 4 4 + + 2 3 9 3 2 - 9 2 3 + 3 9 - 2 3 6 3 2 - 6 2 3 + 3 6 \u003d \u003d - 25 3 + 4 6 + - 4 6 + 12 \u003d 11 3

Метод номер 2

Площта на оригиналната форма може да се разглежда като сбор от другите две фигури.

След това ще решим уравнението на линията по отношение на х и едва след това ще приложим формулата за изчисляване на площта на фигурата.

y \u003d x ⇒ x \u003d y 2 червена линия y \u003d 2 3 x - 3 ⇒ x \u003d 3 2 y + 9 2 черна линия y \u003d - 1 2 x + 4 ⇒ x \u003d - 2 y + 8 s i n i l l i n i i

По този начин площта е равна на:

S (G) \u003d ∫ 1 2 3 2 y + 9 2 - - 2 y + 8 dy + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 dy \u003d \u003d ∫ 1 2 7 2 y - 7 2 dy + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 dy \u003d \u003d 7 4 y 2 - 7 4 y 1 2 + - y 3 3 + 3 y 2 4 + 9 2 y 2 3 \u003d 7 4 2 2 - 7 4 2 - 7 4 1 2 - 7 4 1 + + - 3 3 3 + 3 3 2 4 + 9 2 3 - - 2 3 3 + 3 2 2 4 + 9 2 2 \u003d \u003d 7 4 + 23 12 \u003d 11 3

Както можете да видите, стойностите са еднакви.

Отговор: S (G) \u003d 11 3

Резултат

За да намерим площта на фигура, която е ограничена от посочените линии, трябва да изградим линии на равнина, да намерим точките им на пресичане, да приложим формулата, за да намерим площта. В този раздел разгледахме най-често срещаните опции за задачи.

Ако забележите грешка в текста, моля, изберете я и натиснете Ctrl + Enter