Доказателство и извеждане на формули за производната на степента (e на степен x) и експоненциална функция(a на степен x). Примери за изчисляване на производни на e^2x, e^3x и e^nx. Формули за производни от по-високи разряди.

Съдържание

Вижте също: Експоненциална функция - свойства, формули, графика
Показател, e на степен x - свойства, формули, графика

Основни формули

Производната на степента е равна на самата степен (производната на e на степен x е равна на e на степен x):
(1) (e x )′ = e x.

Производната на експоненциална функция с основа от степен a е равна на самата функция, умножена по натурален логаритъм от a:
(2) .

Показателят е експоненциална функция, чиято основа на степента е равна на числото e, което е следната граница:
.
Тук може да бъде както естествено, така и реално число. След това извеждаме формула (1) за производната на експонентата.

Извеждане на формулата за производната на показателя

Да разгледаме показателя, e на степен x:
y = e x.
Тази функция е дефинирана за всички. Нека намерим неговата производна по отношение на x. По дефиниция производната е следната граница:
(3) .

Нека трансформираме този израз, за да го редуцираме до известни математически свойства и правила. За целта са ни необходими следните факти:
а)Експонентно свойство:
(4) ;
б)Свойство на логаритъм:
(5) ;
IN)Непрекъснатост на логаритъма и свойство на границите за непрекъсната функция:
(6) .
Тук има функция, която има граница и тази граница е положителна.
G)Значението на втората прекрасна граница:
(7) .

Ние прилагаме тези факти към нашия лимит (3). Използваме свойство (4):
;
.

Да направим замяна. Тогава ; .
Поради непрекъснатостта на експонентата,
.
Следователно при , . В резултат на това получаваме:
.

Да направим замяна. Тогава . В , . И ние имаме:
.

Прилагаме свойството на логаритъма (5):
. Тогава
.

Нека приложим свойство (6). Тъй като има положителна граница и логаритъма е непрекъснат, тогава:
.
Тук също използвахме втората забележителна граница (7). Тогава
.

Така получихме формула (1) за производната на експонентата.

Извеждане на формулата за производната на експоненциалната функция

Сега извеждаме формулата (2) за производната на експоненциалната функция с основа от степен a. Ние вярваме, че и. След това експоненциалната функция
(8)
Определено за всеки.

Нека трансформираме формула (8). За да направим това, използваме свойствата на експоненциалната функция и логаритъма.
;
.
И така, преобразувахме формула (8) в следния вид:
.

Производни от по-висок порядък на e на степен x

Сега нека намерим производни от по-високи разряди. Нека първо да разгледаме експонентата:
(14) .
(1) .

Виждаме, че производната на функцията (14) е равна на самата функция (14). Диференцирайки (1), получаваме производни от втори и трети ред:
;
.

Това показва, че производната от n-ти ред също е равна на оригиналната функция:
.

Производни от по-висок порядък на експоненциалната функция

Сега разгледайте експоненциална функция с основа степен a:
.
Открихме неговата производна от първи ред:
(15) .

Диференцирайки (15), получаваме производни от втори и трети ред:
;
.

Виждаме, че всяко диференциране води до умножаване на оригиналната функция с . Следователно n-тата производна има следната форма:
.

Вижте също:

С това видео започвам дълга поредица от уроци по производни. Този урок има няколко части.

Първо ще ви кажа какво изобщо представляват производните и как се изчисляват, но не на изтънчен академичен език, а по начина, по който аз самият го разбирам и как го обяснявам на студентите си. На второ място ще разгледаме най-простото правило за решаване на задачи, в които ще търсим производни на суми, производни на разлика и производни на степенна функция.

Ще разгледаме по-сложни комбинирани примери, от които ще научите по-специално, че подобни задачи, включващи корени и дори дроби, могат да бъдат решени с помощта на формулата за производна на степенна функция. Освен това, разбира се, ще има много задачи и примери за решения с различни нива на сложност.

Като цяло, първоначално смятах да запиша кратко 5-минутно видео, но сами виждате какво се получи. Така че стига с текстовете - нека да се заемем с работата.

Какво е дериват?

И така, да започнем отдалече. Преди много години, когато дърветата бяха по-зелени и животът беше по-забавен, математиците мислеха за това: помислете за проста функция, дадена от нейната графика, нека я наречем $y=f\left(x \right)$. Разбира се, графиката не съществува сама по себе си, така че трябва да начертаете оста $x$, както и оста $y$. А сега нека изберем която и да е точка на тази графика, абсолютно всяка. Нека наречем абсцисата $((x)_(1))$, ординатата, както може би се досещате, ще бъде $f\left(((x)_(1)) \right)$.

Помислете за друга точка на същата графика. Няма значение кой, важното е да се различава от оригинала. Тя отново има абциса, нека я наречем $((x)_(2))$, както и ордината - $f\left(((x)_(2)) \right)$.

И така, имаме две точки: те имат различни абциси и следователно, различни значенияфункции, въпреки че последното не е задължително. Но това, което е наистина важно е, че знаем от курса по планиметрия, че права линия може да бъде начертана през две точки и освен това само една. Ето, нека го стартираме.

А сега нека начертаем права линия през първия от тях, успоредна на оста х. Вземете правоъгълен триъгълник. Нека го наречем $ABC$, прав ъгъл $C$. Този триъгълник има едно много интересно свойство: факт е, че ъгълът $\alpha $ всъщност е равен на ъгъла, под който правата $AB$ се пресича с продължението на абсцисната ос. Преценете сами:

линия $AC$ е успоредна на оста $Ox$ по конструкция,
линия $AB$ пресича $AC$ под $\alpha $,
следователно $AB$ пресича $Ox$ под същия $\alpha $.

Какво можем да кажем за $\text( )\!\!\alpha\!\!\text( )$? Нищо конкретно, освен че в триъгълника $ABC$ отношението на катета $BC$ към катета $AC$ е равно на тангенса на същия този ъгъл. Така че нека напишем:

Разбира се, $AC$ в този случай се разглежда лесно:

По същия начин за $BC$:

С други думи, можем да напишем следното:

\[\operatorname(tg)\text( )\!\!\alpha\!\!\text( )=\frac(f\left(((x)_(2)) \right)-f\left( ((x)_(1)) \right))(((x)_(2))-((x)_(1)))\]

Сега, след като изчистихме всичко това, нека се върнем към нашата графика и да погледнем новата $B$ точка. Изтрийте старите стойности и вземете $B$ някъде по-близо до $((x)_(1))$. Нека отново означим неговата абциса като $((x)_(2))$, а ординатата му като $f\left(((x)_(2)) \right)$.

Помислете отново за нашия малък триъгълник $ABC$ и $\text( )\!\!\alpha\!\!\text( )$ вътре в него. Съвсем очевидно е, че това ще бъде съвсем различен ъгъл, тангентата също ще бъде различна, защото дължините на отсечките $AC$ и $BC$ са се променили значително, а формулата за тангенса на ъгъла изобщо не се е променила - това все още е съотношението между промяната на функцията и промяната на аргумента.

И накрая, продължаваме да приближаваме $B$ все по-близо и по-близо до началната точка $A$, в резултат на което триъгълникът ще намалее още повече и линията, съдържаща отсечката $AB$, ще изглежда все повече и повече като допирателна към графика на функцията.

В резултат на това, ако продължим да се приближаваме до точките, т.е. намалим разстоянието до нула, тогава правата линия $AB$ наистина ще се превърне в допирателна към графиката в тази точка и $\text( )\!\! \alpha\!\ !\text( )$ ще се промени от елемент на правилен триъгълник в ъгъл между допирателната към графиката и положителната посока на оста $Ox$.

И тук плавно преминаваме към дефиницията на $f$, а именно производната на функцията в точката $((x)_(1))$ е тангенса на ъгъла $\alpha $ между допирателната към графика в точката $((x)_( 1))$ и положителната посока на оста $Ox$:

\[(f)"\left(((x)_(1)) \right)=\operatorname(tg)\text( )\!\!\alpha\!\!\text( )\]

Връщайки се към нашата графика, трябва да се отбележи, че като $((x)_(1))$ можете да изберете всяка точка от графиката. Например, със същия успех бихме могли да премахнем щриха в точката, показана на фигурата.

Нека наречем ъгъла между допирателната и положителната посока на оста $\beta $. Съответно $f$ в $((x)_(2))$ ще бъде равно на тангенса на този ъгъл $\beta $.

\[(f)"\left(((x)_(2)) \right)=tg\text( )\!\!\beta\!\!\text( )\]

Всяка точка от графиката ще има своя собствена допирателна и, следователно, своя собствена стойност на функцията. Във всеки от тези случаи, в допълнение към точката, в която търсим производната на разлика или сбор, или производна на степенна функция, е необходимо да вземем друга точка, разположена на известно разстояние от нея, и след това насочете тази точка към първоначалната и, разбира се, разберете как в процеса такова движение ще промени тангенса на ъгъла на наклон.

Производна на степенна функция

За съжаление това определение изобщо не ни подхожда. Всички тези формули, картинки, ъгли не ни дават ни най-малка представа как да изчисляваме реалната производна в реални задачи. Затова нека се отклоним малко от формалната дефиниция и да разгледаме по-ефективни формули и техники, с които вече можете да решавате реални проблеми.

Нека започнем с най-простите конструкции, а именно функции от формата $y=((x)^(n))$, т.е. мощностни функции. В този случай можем да напишем следното: $(y)"=n\cdot ((x)^(n-1))$. С други думи, степента, която е в експонентата, е показана в множителя отпред , а самият показател се намалява с единица, например:

\[\begin(align)& y=((x)^(2)) \\& (y)"=2\cdot ((x)^(2-1))=2x \\\end(align) \]

И ето още един вариант:

\[\begin(align)& y=((x)^(1)) \\& (y)"=((\left(x \right))^(\prime ))=1\cdot ((x )^(0))=1\cdot 1=1 \\& ((\left(x \right))^(\prime ))=1 \\\end(align)\]

Използвайки тези прости правила, нека се опитаме да премахнем ръба на следните примери:

Така получаваме:

\[((\left(((x)^(6)) \right))^(\prime ))=6\cdot ((x)^(5))=6((x)^(5)) \]

Сега нека решим втория израз:

\[\begin(align)& f\left(x \right)=((x)^(100)) \\& ((\left(((x)^(100)) \right))^(\ просто ))=100\cdot ((x)^(99))=100((x)^(99)) \\\end(align)\]

Разбира се, това бяха много прости задачи. Реалните проблеми обаче са по-сложни и не се ограничават до правомощията на дадена функция.

И така, правило номер 1 - ако функцията е представена като другите две, тогава производната на тази сума е равна на сумата от производните:

\[((\left(f+g \right))^(\prime ))=(f)"+(g)"\]

По същия начин, производната на разликата на две функции е равна на разликата на производните:

\[((\left(f-g \right))^(\prime ))=(f)"-(g)"\]

\[((\left(((x)^(2))+x \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(2)) \right))^(\ просто ))+((\left(x \right))^(\prime ))=2x+1\]

Освен това има още един важно правило: ако някое $f$ е предшествано от константа $c$, по която тази функция се умножава, тогава $f$ на цялата тази конструкция се разглежда както следва:

\[((\left(c\cdot f \right))^(\prime ))=c\cdot (f)"\]

\[((\left(3((x)^(3)) \right))^(\prime ))=3((\left(((x)^(3)) \right))^(\ просто ))=3\cdot 3((x)^(2))=9((x)^(2))\]

И накрая, още едно много важно правило: проблемите често съдържат отделен термин, който изобщо не съдържа $x$. Например, можем да наблюдаваме това в нашите днешни изрази. Производната на константа, т.е. число, което не зависи по никакъв начин от $x$, винаги е равна на нула и няма никакво значение на какво е равна константата $c$:

\[((\left(c \right))^(\prime ))=0\]

Пример за решение:

\[((\left(1001 \right))^(\prime ))=((\left(\frac(1)(1000) \right))^(\prime ))=0\]

Още веднъж ключови моменти:

Производната на сумата от две функции винаги е равна на сумата на производните: $((\left(f+g \right))^(\prime ))=(f)"+(g)"$;
По подобни причини производната на разликата на две функции е равна на разликата на две производни: $((\left(f-g \right))^(\prime ))=(f)"-(g)"$;
Ако функцията има факторна константа, тогава тази константа може да бъде извадена от знака на производната: $((\left(c\cdot f \right))^(\prime ))=c\cdot (f)" $;
Ако цялата функция е константа, тогава нейната производна винаги е нула: $((\left(c \right))^(\prime ))=0$.

Нека да видим как работи всичко с реални примери. Така:

Записваме:

\[\begin(align)& ((\left(((x)^(5))-3((x)^(2))+7 \right))^(\prime ))=((\left (((x)^(5)) \right))^(\prime ))-((\left(3((x)^(2)) \right))^(\prime ))+(7) "= \\& =5((x)^(4))-3((\left(((x)^(2)) \right))^(\prime ))+0=5((x) ^(4))-6x \\\край (подравняване)\]

В този пример виждаме както производната на сумата, така и производната на разликата. Така че производната е $5((x)^(4))-6x$.

Да преминем към втората функция:

Запишете решението:

\[\begin(align)& ((\left(3((x)^(2))-2x+2 \right))^(\prime ))=((\left(3((x)^( 2)) \right))^(\prime ))-((\left(2x \right))^(\prime ))+(2)"= \\& =3((\left(((x) ^(2)) \right))^(\prime ))-2(x)"+0=3\cdot 2x-2\cdot 1=6x-2 \\\end(align)\]

Тук намерихме отговора.

Нека да преминем към третата функция - тя вече е по-сериозна:

\[\begin(align)& ((\left(2((x)^(3))-3((x)^(2))+\frac(1)(2)x-5 \right)) ^(\prime ))=((\left(2((x)^(3)) \right))^(\prime ))-((\left(3((x)^(2)) \right ))^(\prime ))+((\left(\frac(1)(2)x \right))^(\prime ))-(5)"= \\& =2((\left(( (x)^(3)) \right))^(\prime ))-3((\left(((x)^(2)) \right))^(\prime ))+\frac(1) (2)\cdot (x)"=2\cdot 3((x)^(2))-3\cdot 2x+\frac(1)(2)\cdot 1=6((x)^(2)) -6x+\frac(1)(2) \\\end(align)\]

Намерихме отговора.

Да преминем към последния израз - най-сложният и най-дълъг:

И така, ние считаме:

\[\begin(align)& ((\left(6((x)^(7))-14((x)^(3))+4x+5 \right))^(\prime ))=( (\left(6((x)^(7)) \right))^(\prime ))-((\left(14((x)^(3)) \right))^(\prime )) +((\left(4x \right))^(\prime ))+(5)"= \\& =6\cdot 7\cdot ((x)^(6))-14\cdot 3((x )^(2))+4\cdot 1+0=42((x)^(6))-42((x)^(2))+4 \\\end(align)\]

Но решението не свършва дотук, защото от нас се иска не само да премахнем щриха, но и да изчислим стойността му в определена точка, така че заместваме −1 вместо $x$ в израза:

\[(y)"\left(-1 \right)=42\cdot 1-42\cdot 1+4=4\]

Отиваме по-далеч и преминаваме към още по-сложни и интересни примери. Въпросът е, че формулата за решаване на степенната производна $((\left(((x)^(n)) \right))^(\prime ))=n\cdot ((x)^(n-1) )$ има още по-широк обхват, отколкото обикновено се смята. С негова помощ можете да решавате примери с дроби, корени и т.н. Това ще направим сега.

Като начало, нека запишем отново формулата, която ще ни помогне да намерим производната на степенната функция:

А сега внимание: досега разглеждахме само естествени числа като $n$, но нищо не ни пречи да разглеждаме дроби и дори отрицателни числа. Например можем да напишем следното:

\[\begin(align)& \sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(2))) \\& ((\left(\sqrt(x) \right))^(\ prime ))=((\left(((x)^(\frac(1)(2))) \right))^(\prime ))=\frac(1)(2)\cdot ((x) ^(-\frac(1)(2)))=\frac(1)(2)\cdot \frac(1)(\sqrt(x))=\frac(1)(2\sqrt(x)) \\\край (подравняване)\]

Нищо сложно, така че нека видим как тази формула ще ни помогне, когато решаваме повече предизвикателни задачи. Така че пример:

Запишете решението:

\[\begin(align)& \left(\sqrt(x)+\sqrt(x)+\sqrt(x) \right)=((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))+((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))+((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime )) \\& ((\ ляво(\sqrt(x) \right))^(\prime ))=\frac(1)(2\sqrt(x)) \\& ((\left(\sqrt(x) \right))^( \prime ))=((\left(((x)^(\frac(1)(3))) \right))^(\prime ))=\frac(1)(3)\cdot ((x )^(-\frac(2)(3)))=\frac(1)(3)\cdot \frac(1)(\sqrt(((x)^(2)))) \\& (( \left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(\frac(1)(4))) \right))^(\prime )) =\frac(1)(4)((x)^(-\frac(3)(4)))=\frac(1)(4)\cdot \frac(1)(\sqrt(((x) ^(3)))) \\\end(align)\]

Нека се върнем към нашия пример и напишем:

\[(y)"=\frac(1)(2\sqrt(x))+\frac(1)(3\sqrt(((x)^(2))))+\frac(1)(4 \sqrt(((x)^(3))))\]

Това е толкова трудно решение.

Да преминем към втория пример - има само два термина, но всеки от тях съдържа както класическа степен, така и корени.

Сега ще научим как да намираме производната на степенна функция, която освен това съдържа корен:

\[\begin(align)& ((\left(((x)^(3))\sqrt(((x)^(2)))+((x)^(7))\sqrt(x) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(3))\cdot \sqrt(((x)^(2))) \right))^(\prime )) =((\left(((x)^(3))\cdot ((x)^(\frac(2)(3))) \right))^(\prime ))= \\& =(( \left(((x)^(3+\frac(2)(3))) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(\frac(11)(3 ))) \right))^(\prime ))=\frac(11)(3)\cdot ((x)^(\frac(8)(3)))=\frac(11)(3)\ cdot ((x)^(2\frac(2)(3)))=\frac(11)(3)\cdot ((x)^(2))\cdot \sqrt(((x)^(2 ))) \\& ((\left(((x)^(7))\cdot \sqrt(x) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(7 ))\cdot ((x)^(\frac(1)(3))) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(7\frac(1)(3) ))) \right))^(\prime ))=7\frac(1)(3)\cdot ((x)^(6\frac(1)(3)))=\frac(22)(3 )\cdot ((x)^(6))\cdot \sqrt(x) \\\end(align)\]

И двата члена са изчислени, остава да запишем крайния отговор:

\[(y)"=\frac(11)(3)\cdot ((x)^(2))\cdot \sqrt(((x)^(2)))+\frac(22)(3) \cdot ((x)^(6))\cdot \sqrt(x)\]

Намерихме отговора.

Производна на дроб по отношение на степенна функция

Но възможностите на формулата за решаване на производната на степенна функция не свършват дотук. Факт е, че с негова помощ можете да броите не само примери с корени, но и с дроби. Това е просто онази рядка възможност, която значително опростява решаването на подобни примери, но често се пренебрегва не само от учениците, но и от учителите.

И така, сега ще се опитаме да комбинираме две формули наведнъж. От една страна, класическата производна на степенна функция

\[((\left(((x)^(n)) \right))^(\prime ))=n\cdot ((x)^(n-1))\]

От друга страна, знаем, че израз от формата $\frac(1)(((x)^(n)))$ може да бъде представен като $((x)^(-n))$. следователно

\[\left(\frac(1)(((x)^(n))) \right)"=((\left(((x)^(-n)) \right))^(\prime ) )=-n\cdot ((x)^(-n-1))=-\frac(n)(((x)^(n+1)))\]

\[((\left(\frac(1)(x) \right))^(\prime ))=\left(((x)^(-1)) \right)=-1\cdot ((x )^(-2))=-\frac(1)(((x)^(2)))\]

По този начин производните на прости дроби, където числителят е константа, а знаменателят е степен, също се изчисляват по класическата формула. Нека да видим как работи на практика.

И така, първата функция:

\[((\left(\frac(1)(((x)^(2))) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(-2)) \ дясно))^(\prime ))=-2\cdot ((x)^(-3))=-\frac(2)(((x)^(3)))\]

Първият пример е решен, нека преминем към втория:

\[\begin(align)& ((\left(\frac(7)(4((x)^(4)))-\frac(2)(3((x)^(3)))+\ frac(5)(2)((x)^(2))+2((x)^(3))-3((x)^(4)) \right))^(\prime ))= \ \& =((\left(\frac(7)(4((x)^(4))) \right))^(\prime ))-((\left(\frac(2)(3(( x)^(3))) \right))^(\prime ))+((\left(2((x)^(3)) \right))^(\prime ))-((\left( 3((x)^(4)) \right))^(\prime )) \\& ((\left(\frac(7)(4((x)^(4))) \right))^ (\prime ))=\frac(7)(4)((\left(\frac(1)(((x)^(4))) \right))^(\prime ))=\frac(7 )(4)\cdot ((\left(((x)^(-4)) \right))^(\prime ))=\frac(7)(4)\cdot \left(-4 \right) \cdot ((x)^(-5))=\frac(-7)(((x)^(5))) \\& ((\left(\frac(2)(3((x)^ (3))) \right))^(\prime ))=\frac(2)(3)\cdot ((\left(\frac(1)(((x)^(3))) \right) )^(\prime ))=\frac(2)(3)\cdot ((\left(((x)^(-3)) \right))^(\prime ))=\frac(2)( 3)\cdot \left(-3 \right)\cdot ((x)^(-4))=\frac(-2)(((x)^(4))) \\& ((\left( \frac(5)(2)((x)^(2)) \right))^(\prime ))=\frac(5)(2)\cdot 2x=5x \\& ((\left(2) ((x)^(3)) \right))^(\prime ))=2\cdot 3((x)^(2))=6((x)^(2)) \\& ((\ ляво(3((x)^(4)) \right))^(\prime ))=3\cdot 4((x)^(3))=12((x)^(3)) \\\ край (подравняване)\]...

Сега събираме всички тези термини в една формула:

\[(y)"=-\frac(7)(((x)^(5)))+\frac(2)(((x)^(4)))+5x+6((x)^ (2))-12((x)^(3))\]

Получихме отговор.

Въпреки това, преди да продължа, бих искал да насоча вниманието ви към формата на писане на самите оригинални изрази: в първия израз написахме $f\left(x \right)=...$, във втория: $y =...$ Много ученици се губят, когато видят различни форми на нотация. Каква е разликата между $f\left(x \right)$ и $y$? Всъщност нищо. Това са просто различни записи с едно и също значение. Просто когато казваме $f\left(x\right)$, тогава говорим преди всичко за функция, а когато говорим за $y$, най-често имаме предвид графиката на функцията. В противен случай тя е една и съща, т.е. производната се счита за една и съща и в двата случая.

Комплексни задачи с производни

В заключение бих искал да разгледам няколко сложни комбинирани задачи, които използват наведнъж всичко, което разгледахме днес. В тях чакаме и корени, и дроби, и суми. Тези примери обаче ще бъдат сложни само в рамките на днешния видео урок, защото наистина сложни производни функции ще ви очакват напред.

И така, последната част от днешния видео урок, състоящ се от две комбинирани задачи. Да започнем с първия:

\[\begin(align)& ((\left(((x)^(3))-\frac(1)(((x)^(3)))+\sqrt(x) \right))^ (\prime ))=((\left(((x)^(3)) \right))^(\prime ))-((\left(\frac(1)(((x)^(3) )) \right))^(\prime ))+\left(\sqrt(x) \right) \\& ((\left(((x)^(3)) \right))^(\prime ) )=3((x)^(2)) \\& ((\left(\frac(1)(((x)^(3))) \right))^(\prime ))=((\ ляво(((x)^(-3)) \right))^(\prime ))=-3\cdot ((x)^(-4))=-\frac(3)(((x)^ (4))) \\& ((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(\frac(1)(3))) \right))^(\prime ))=\frac(1)(3)\cdot \frac(1)(((x)^(\frac(2)(3))))=\frac(1) (3\sqrt(((x)^(2)))) \\\end(align)\]

Производната на функцията е:

\[(y)"=3((x)^(2))-\frac(3)(((x)^(4)))+\frac(1)(3\sqrt(((x)^ (2))))\]

Първият пример е решен. Помислете за втория проблем:

Във втория пример действаме по подобен начин:

\[((\left(-\frac(2)(((x)^(4)))+\sqrt(x)+\frac(4)(x\sqrt(((x)^(3)) )) \right))^(\prime ))=((\left(-\frac(2)(((x)^(4))) \right))^(\prime ))+((\left (\sqrt(x) \right))^(\prime ))+((\left(\frac(4)(x\cdot \sqrt(((x)^(3)))) \right))^ (\prime))\]

Нека изчислим всеки член поотделно:

\[\begin(align)& ((\left(-\frac(2)(((x)^(4))) \right))^(\prime ))=-2\cdot ((\left( ((x)^(-4)) \right))^(\prime ))=-2\cdot \left(-4 \right)\cdot ((x)^(-5))=\frac(8 )(((x)^(5))) \\& ((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(\frac( 1)(4))) \right))^(\prime ))=\frac(1)(4)\cdot ((x)^(-\frac(3)(4)))=\frac(1 )(4\cdot ((x)^(\frac(3)(4))))=\frac(1)(4\sqrt(((x)^(3)))) \\& ((\ ляво(\frac(4)(x\cdot \sqrt(((x)^(3)))) \right))^(\prime ))=((\left(\frac(4)(x\cdot) ((x)^(\frac(3)(4)))) \right))^(\prime ))=((\left(\frac(4)(((x)^(1\frac(3) )(4)))) \right))^(\prime ))=4\cdot ((\left(((x)^(-1\frac(3)(4))) \right))^( \prime ))= \\& =4\cdot \left(-1\frac(3)(4) \right)\cdot ((x)^(-2\frac(3)(4)))=4 \cdot \left(-\frac(7)(4) \right)\cdot \frac(1)(((x)^(2\frac(3)(4))))=\frac(-7) (((x)^(2))\cdot ((x)^(\frac(3)(4))))=-\frac(7)(((x)^(2))\cdot \sqrt (((x)^(3)))) \\\end(align)\]

Всички термини се броят. Сега се връщаме към първоначалната формула и събираме и трите члена. Получаваме, че крайният отговор ще бъде:

\[(y)"=\frac(8)(((x)^(5)))+\frac(1)(4\sqrt(((x)^(3))))-\frac(7 )(((x)^(2))\cdot \sqrt(((x)^(3))))\]

И това е всичко. Това беше първият ни урок. В следващите уроци ще разгледаме повече сложни структури, а също така разберете защо изобщо са необходими производни.

Много лесно се запомня.

Е, няма да отидем далеч, веднага ще разгледаме обратната функция. Каква е обратната на експоненциалната функция? Логаритъм:

В нашия случай основата е число:

Такъв логаритъм (т.е. логаритъм с основа) се нарича „естествен“ и ние използваме специална нотация за него: пишем вместо това.

На какво е равно? Разбира се, .

Производно на натурален логаритъмсъщо много просто:

Примери:

Намерете производната на функцията.
Каква е производната на функцията?

Отговори: Експонентата и натуралният логаритъм са функции, които са уникално прости по отношение на производната. Експоненциалните и логаритмичните функции с всяка друга основа ще имат различна производна, която ще анализираме по-късно, след като преминем през правилата за диференциране.

Правила за диференциране

Какви правила? Пак нов мандат, пак?!...

Диференциацияе процесът на намиране на производната.

Само и всичко. Каква е другата дума за този процес? Не производство... Диференциалът на математиката се нарича самото нарастване на функцията при. Този термин идва от латинския differentia - разлика. Тук.

Когато извличаме всички тези правила, ще използваме две функции, например и. Ще ни трябват и формули за техните увеличения:

Има общо 5 правила.

Константата се изважда от знака на производната.

Ако - някакво постоянно число (константа), тогава.

Очевидно това правило работи и за разликата: .

Нека го докажем. Нека или по-лесно.

Примери.

Намерете производни на функции:

в точката;
в точката;
в точката;
в точката.

Решения:

(производната е една и съща във всички точки, тъй като е линейна функция, помня?);

Производно на продукт

Тук всичко е подобно: въвеждаме нова функция и намираме нейното увеличение:

Производна:

Примери:

Намерете производни на функции и;
Намерете производната на функция в точка.

Решения:

Производна на експоненциална функция

Сега знанията ви са достатъчни, за да научите как да намирате производната на всяка експоненциална функция, а не само степенната (забравили ли сте вече какво е?).

И така, къде е някакво число.

Вече знаем производната на функцията, така че нека се опитаме да пренесем нашата функция на нова база:

За това използваме просто правило: . Тогава:

Е, проработи. Сега опитайте да намерите производната и не забравяйте, че тази функция е сложна.

Се случи?

Ето, проверете сами:

Формулата се оказа много подобна на производната на експонента: както беше, така и остава, появи се само фактор, който е просто число, но не и променлива.

Примери:
Намерете производни на функции:

Отговори:

Това е просто число, което не може да се изчисли без калкулатор, тоест няма как да се запише на повече проста форма. Затова в отговора е оставено в този вид.

Имайте предвид, че тук е частното на две функции, така че прилагаме подходящото правило за диференциране:

В този пример продуктът на две функции:

Производна на логаритмична функция

Тук е подобно: вече знаете производната на естествения логаритъм:

Следователно, за да намерите произволен логаритъм с различна основа, например:

Трябва да приведем този логаритъм към основата. Как се променя основата на логаритъм? Надявам се, че помните тази формула:

Само сега вместо ще напишем:

Знаменателят се оказа просто константа (постоянно число, без променлива). Производната е много проста:

Производни на експоненциалната и логаритмичната функция почти никога не се срещат на изпита, но няма да е излишно да ги знаете.

Производна на сложна функция.

Какво е "сложна функция"? Не, това не е логаритъм и не е аркутангенс. Тези функции могат да бъдат трудни за разбиране (въпреки че ако логаритъма ви изглежда труден, прочетете темата "Логаритми" и всичко ще се получи), но от гледна точка на математиката думата "комплексен" не означава "труден".

Представете си малък конвейер: двама души седят и извършват някакви действия с някакви предмети. Например първият увива шоколадов блок в обвивка, а вторият го завързва с панделка. Оказва се такъв съставен обект: шоколадово блокче, увито и завързано с панделка. За да изядете блокче шоколад, трябва да направите противоположните стъпки в обратен ред.

Нека създадем подобен математически конвейер: първо ще намерим косинуса на число, а след това ще повдигнем на квадрат полученото число. И така, те ни дават число (шоколад), аз намирам неговия косинус (обвивка), а след това вие повдигате на квадрат полученото (завързвате го с панделка). Какво стана? функция. Това е примерът сложна функция: когато, за да намерим нейната стойност, извършваме първото действие директно с променливата и след това второ действие с това, което се е случило в резултат на първото.

С други думи, Сложна функция е функция, чийто аргумент е друга функция: .

За нашия пример,.

Можем да направим същите действия в обратен ред: първо повдигате на квадрат, а след това търся косинуса на полученото число:. Лесно е да се досетите, че резултатът почти винаги ще бъде различен. Важна характеристика на сложните функции: когато редът на действията се промени, функцията се променя.

Втори пример: (същото). .

Последното действие, което правим, ще бъде извикано "външна" функция, а първо извършеното действие – респ "вътрешна" функция(това са неофициални имена, използвам ги само за да обясня материала на прост език).

Опитайте се да определите сами коя функция е външна и коя вътрешна:

Отговори:Разделянето на вътрешни и външни функции е много подобно на промяната на променливи: например във функцията

Какво действие ще предприемем първо? Първо изчисляваме синуса и едва след това го повдигаме на куб. Така че това е вътрешна функция, а не външна.
И първоначалната функция е тяхната композиция: .
Вътрешен: ; външен: .
Преглед: .
Вътрешен: ; външен: .
Преглед: .
Вътрешен: ; външен: .
Преглед: .
Вътрешен: ; външен: .
Преглед: .

променяме променливите и получаваме функция.

Е, сега ще извлечем нашия шоколад - потърсете производното. Процедурата винаги е обратна: първо търсим производната на външната функция, след това умножаваме резултата по производната на вътрешната функция. За оригиналния пример изглежда така:

Друг пример:

И така, нека най-накрая формулираме официалното правило:

Алгоритъм за намиране на производната на сложна функция:

Изглежда, че е просто, нали?

Нека проверим с примери:

Решения:

1) Вътрешен: ;

Външен: ;

2) Вътрешен: ;

(само не се опитвайте да намалите досега! Нищо не е извадено от косинуса, помните ли?)

3) Вътрешен: ;

Външен: ;

Веднага става ясно, че тук има сложна функция на три нива: в крайна сметка това вече е сложна функция сама по себе си и ние все още извличаме корена от нея, тоест изпълняваме третото действие (поставете шоколад в обвивка и с панделка в куфарче). Но няма причина да се страхувате: така или иначе ще „разопаковаме“ тази функция в същия ред, както обикновено: от края.

Тоест, първо диференцираме корена, след това косинуса и едва след това израза в скоби. И след това умножаваме всичко.

В такива случаи е удобно действията да се номерират. Тоест нека си представим това, което знаем. В какъв ред ще извършим действия за изчисляване на стойността на този израз? Да разгледаме един пример:

Колкото по-късно се извърши действието, толкова по-„външна“ ще бъде съответната функция. Последователността на действията - както преди:

Тук гнезденето обикновено е 4-степенно. Да определим хода на действие.

1. Радикален израз. .

2. Корен. .

3. Синус. .

4. Квадрат. .

5. Събираме всичко заедно:

ПРОИЗВОДНО. НАКРАТКО ЗА ГЛАВНОТО

Производна на функция- съотношението на увеличението на функцията към увеличението на аргумента с безкрайно малко увеличение на аргумента:

Основни производни:

Правила за диференциране:

Константата се изважда от знака на производната:

Производна на сумата:

Производен продукт:

Производна на коефициента:

Производна на сложна функция:

Алгоритъм за намиране на производната на сложна функция:

Дефинираме "вътрешната" функция, намираме нейната производна.
Дефинираме "външната" функция, намираме нейната производна.
Умножаваме резултатите от първа и втора точка.

Ето и обобщена таблица за удобство и прегледност при изучаване на темата.

Константаy=C

Степенна функция y = x p

(x p)" = p x p - 1

Експоненциална функцияy = x

(a x)" = a x ln a

По-специално, когатоa = eние имаме y = e x

(e x)" = e x

логаритмична функция

(log a x) " = 1 x ln a

По-специално, когатоa = eние имаме y = log x

(ln x)" = 1 x

Тригонометрични функции

(sin x) "= cos x (cos x)" = - sin x (t g x) " = 1 cos 2 x (c t g x)" = - 1 sin 2 x

Обратни тригонометрични функции

(a r c sin x) " = 1 1 - x 2 (a r c cos x) " = - 1 1 - x 2 (a r c t g x) " = 1 1 + x 2 (a r c c t g x) " = - 1 1 + x 2

Хиперболични функции

(s h x) " = c h x (c h x) " = s h x (t h x) " = 1 c h 2 x (c t h x) " = - 1 s h 2 x

Нека анализираме как са получени формулите от посочената таблица или, с други думи, ще докажем извеждането на формули за производни за всеки тип функция.

Производна на константа

доказателство 1

За да изведем тази формула, ние вземаме за основа дефиницията на производната на функция в точка. Използваме x 0 = x, където хприема стойността на всяко реално число или, с други думи, хе всяко число от областта на функцията f (x) = C . Нека запишем границата на отношението на нарастването на функцията към увеличението на аргумента като ∆ x → 0:

lim ∆ x → 0 ∆ f (x) ∆ x = lim ∆ x → 0 C - C ∆ x = lim ∆ x → 0 0 ∆ x = 0

Моля, имайте предвид, че изразът 0 ∆ x попада под знака за ограничение. Това не е несигурността на „нула, разделена на нула“, тъй като числителят не съдържа безкрайно малка стойност, а нула. С други думи, увеличението на константна функция винаги е нула.

И така, производната на константната функция f (x) = C е равна на нула в цялата област на дефиниция.

Пример 1

Дадени постоянни функции:

f 1 (x) = 3 , f 2 (x) = a , a ∈ R , f 3 (x) = 4 . 13 7 22 , f 4 (x) = 0 , f 5 (x) = - 8 7

Решение

Нека опишем дадените условия. В първата функция виждаме производната на естественото число 3 . В следващия пример трябва да вземете производната на А, Където А- всякакви реално число. Третият пример ни дава производната ирационално число 4 . 13 7 22 , четвъртата - производната на нула (нулата е цяло число). И накрая, в петия случай имаме производната рационална дроб - 8 7 .

Отговор:производни задайте функциие нула за всяко реално х(в цялата област на дефиниция)

f 1 " (x) = (3) " = 0 , f 2 " (x) = (a) " = 0 , a ∈ R , f 3 " (x) = 4 . 13 7 22 " = 0 , f 4 " (x) = 0 " = 0, f 5 " (x) = - 8 7 " = 0

Производна на степенна функция

Обръщаме се към степенната функция и формулата за нейната производна, която има формата: (x p) " = p x p - 1, където експонентата стре всяко реално число.

Доказателство 2

Представяме доказателството на формулата, когато показателят е естествено число: p = 1, 2, 3, …

Отново разчитаме на определението за производна. Нека запишем границата на съотношението на увеличението на степенната функция към увеличението на аргумента:

(x p) " = lim ∆ x → 0 = ∆ (x p) ∆ x = lim ∆ x → 0 (x + ∆ x) p - x p ∆ x

За да опростим израза в числителя, използваме биномната формула на Нютон:

(x + ∆ x) p - x p = C p 0 + x p + C p 1 x p - 1 ∆ x + C p 2 x p - 2 (∆ x) 2 + . . . + + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p - x p = = C p 1 x p - 1 ∆ x + C p 2 x p - 2 (∆ x) 2 + . . . + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p

По този начин:

(x p) " = lim ∆ x → 0 ∆ (x p) ∆ x = lim ∆ x → 0 (x + ∆ x) p - x p ∆ x = = lim ∆ x → 0 (C p 1 x p - 1 ∆ x + C p 2 x p - 2 (∆ x) 2 + . . . + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p) ∆ x = = lim ∆ x → 0 (C p 1 x p - 1 + C p 2 x p - 2 ∆ x + . . . + C p p - 1 x (∆ x) p - 2 + C p p (∆ x) p - 1) = = C p 1 x p - 1 + 0 + 0 + . . . + 0 = p! 1! (p - 1)! x p - 1 = p x p - 1

И така, доказахме формулата за производната на степенна функция, когато показателят е естествено число.

Доказателство 3

Да се даде доказателство за случая, когато п-всяко реално число, различно от нула, използваме логаритмичната производна (тук трябва да разберем разликата от производната логаритмична функция). За да имате по-пълно разбиране, е желателно да изучавате производната на логаритмичната функция и допълнително да се занимавате с производната на имплицитно дадена функция и производната на сложна функция.

Разгледайте два случая: когато хположително и кога хса отрицателни.

Така че x > 0. Тогава: x p > 0 . Взимаме логаритъм на равенството y \u003d x p към основата e и прилагаме свойството на логаритъма:

y = x p ln y = ln x p ln y = p ln x

На този етап е получена неявно дефинирана функция. Нека дефинираме неговата производна:

(ln y) " = (p ln x) 1 y y " = p 1 x ⇒ y " = p y x = p x p x = p x p - 1

Сега разглеждаме случая, когато х-отрицателно число.

Ако индикаторът стрИма четен брой, тогава степенната функция също е дефинирана за x< 0 , причем является четной: y (x) = - y ((- x) p) " = - p · (- x) p - 1 · (- x) " = = p · (- x) p - 1 = p · x p - 1

След това xp< 0 и возможно составить доказательство, используя логарифмическую производную.

Ако стре нечетно число, тогава степенната функция е дефинирана за x< 0 , причем является нечетной: y (x) = - y (- x) = - (- x) p . Тогда x p < 0 , а значит логарифмическую производную задействовать нельзя. В такой ситуации возможно взять за основу доказательства правила дифференцирования и правило нахождения производной сложной функции:

y "(x) \u003d (- (- x) p) " \u003d - ((- x) p) " \u003d - p (- x) p - 1 (- x) " = \u003d p (- x ) p - 1 = p x p - 1

Последният преход е възможен, защото ако стртогава е нечетно число p - 1или четно число, или нула (за p = 1), следователно, за отрицателно хравенството (- x) p - 1 = x p - 1 е вярно.

И така, доказахме формулата за производната на степенна функция за всяко реално p.

Пример 2

Дадени функции:

f 1 (x) = 1 x 2 3 , f 2 (x) = x 2 - 1 4 , f 3 (x) = 1 x log 7 12

Определете техните производни.

Решение

Преобразуваме част от дадените функции в таблична форма y = x p , въз основа на свойствата на степента и след това използваме формулата:

f 1 (x) \u003d 1 x 2 3 \u003d x - 2 3 ⇒ f 1 "(x) \u003d - 2 3 x - 2 3 - 1 = - 2 3 x - 5 3 f 2 "(x) \u003d x 2 - 1 4 = 2 - 1 4 x 2 - 1 4 - 1 = 2 - 1 4 x 2 - 5 4 f 3 (x) = 1 x log 7 12 = x - log 7 12 ⇒ f 3 " ( x) = - log 7 12 x - log 7 12 - 1 = - log 7 12 x - log 7 12 - log 7 7 = - log 7 12 x - log 7 84

Производна на експоненциална функция

Доказателство 4

Извеждаме формулата за производната въз основа на определението:

(a x) " = lim ∆ x → 0 a x + ∆ x - a x ∆ x = lim ∆ x → 0 a x (a ∆ x - 1) ∆ x = a x lim ∆ x → 0 a ∆ x - 1 ∆ x = 0 0

Имаме несигурност. За да го разширим, записваме нова променлива z = a ∆ x - 1 (z → 0 като ∆ x → 0). В този случай a ∆ x = z + 1 ⇒ ∆ x = log a (z + 1) = ln (z + 1) ln a . За последния преход се използва формулата за преход към нова основа на логаритъма.

Нека извършим заместване в първоначалния лимит:

(a x) " = a x lim ∆ x → 0 a ∆ x - 1 ∆ x = a x ln a lim ∆ x → 0 1 1 z ln (z + 1) = = a x ln a lim ∆ x → 0 1 ln (z + 1) 1 z = a x ln a 1 ln lim ∆ x → 0 (z + 1) 1 z

Да си припомним второто прекрасен лимити тогава получаваме формулата за производната на експоненциалната функция:

(a x) " = a x ln a 1 ln lim z → 0 (z + 1) 1 z = a x ln a 1 ln e = a x ln a

Пример 3

Експоненциалните функции са дадени:

f 1 (x) = 2 3 x , f 2 (x) = 5 3 x , f 3 (x) = 1 (e) x

Трябва да намерим техните производни.

Решение

Използваме формулата за производната на експоненциалната функция и свойствата на логаритъма:

f 1 "(x) = 2 3 x" = 2 3 x ln 2 3 = 2 3 x (ln 2 - ln 3) f 2 "(x) = 5 3 x" = 5 3 x ln 5 1 3 = 1 3 5 3 x ln 5 f 3 "(x) = 1 (e) x" = 1 e x " = 1 e x ln 1 e = 1 e x ln e - 1 = - 1 e x

Производна на логаритмична функция

Доказателство 5

Представяме доказателството на формулата за производната на логаритмичната функция за всяко хв областта на дефиницията и всички валидни стойности на основата a на логаритъма. Въз основа на дефиницията на производната получаваме:

(log a x) " = lim ∆ x → 0 log a (x + ∆ x) - log a x ∆ x = lim ∆ x → 0 log a x + ∆ x x ∆ x = = lim ∆ x → 0 1 ∆ x log a 1 + ∆ x x = lim ∆ x → 0 log a 1 + ∆ x x 1 ∆ x = = lim ∆ x → 0 log a 1 + ∆ x x 1 ∆ x x x = lim ∆ x → 0 1 x log a 1 + ∆ x x x ∆ x = = 1 x log a lim ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = 1 x log a e = 1 x ln e ln a = 1 x ln a

От посочената верига от равенства се вижда, че трансформациите са построени на базата на свойството логаритъм. Равенството lim ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = e е вярно в съответствие с втората забележителна граница.

Пример 4

Дадени са логаритмични функции:

f 1 (x) = log log 3 x, f 2 (x) = log x

Необходимо е да се изчислят техните производни.

Решение

Нека приложим получената формула:

f 1 "(x) = (log ln 3 x)" = 1 x ln (ln 3) ; f 2 "(x) \u003d (ln x)" \u003d 1 x ln e \u003d 1 x

Така че производната на натуралния логаритъм е едно делено на х.

Производни на тригонометрични функции

Доказателство 6

Ние използваме някои тригонометрични формулии първото забележително ограничение за извеждане на формулата за производната на тригонометрична функция.

Според дефиницията на производната на функцията синус получаваме:

(sin x) " = lim ∆ x → 0 sin (x + ∆ x) - sin x ∆ x

Формулата за разликата на синусите ще ни позволи да извършим следните действия:

(sin x) " = lim ∆ x → 0 sin (x + ∆ x) - sin x ∆ x = = lim ∆ x → 0 2 sin x + ∆ x - x 2 cos x + ∆ x + x 2 ∆ x = = lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 cos x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = cos x + 0 2 lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2

И накрая, използваме първото прекрасно ограничение:

sin "x = cos x + 0 2 lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2 = cos x

И така, производната на функцията грях хще cos x.

По същия начин ще докажем и формулата за косинус производната:

cos "x = lim ∆ x → 0 cos (x + ∆ x) - cos x ∆ x = = lim ∆ x → 0 - 2 sin x + ∆ x - x 2 sin x + ∆ x + x 2 ∆ x = = - lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 sin x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = - sin x + 0 2 lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2 = - sin x

Тези. производната на функцията cos x ще бъде – грях х.

Извеждаме формулите за производните на тангенса и котангенса въз основа на правилата за диференциране:

t g "x = sin x cos x" = sin "x cos x - sin x cos "x cos 2 x = = cos x cos x - sin x (- sin x) cos 2 x = sin 2 x + cos 2 x cos 2 x = 1 cos 2 x c t g "x = cos x sin x" = cos "x sin x - cos x sin "x sin 2 x = = - sin x sin x - cos x cos x sin 2 x = - sin 2 x + cos 2 x sin 2 x = - 1 sin 2 x

Производни на обратни тригонометрични функции

Производна секция обратни функциидава изчерпателна информация за доказателството на формулите за производните на арксинус, аркосинус, арктангенс и арккотангенс, така че няма да дублираме материала тук.

Производни на хиперболични функции

Доказателство 7

Можем да изведем формули за производните на хиперболичния синус, косинус, тангенс и котангенс, като използваме правилото за диференциране и формулата за производната на експоненциалната функция:

s h "x = e x - e - x 2" = 1 2 e x "- e - x" == 1 2 e x - - e - x = e x + e - x 2 = c h x c h "x = e x + e - x 2" = 1 2 e x "+ e - x" == 1 2 e x + - e - x = e x - e - x 2 = s h x t h "x = s h x c h x" = s h "x c h x - s h x c h "x c h 2 x = c h 2 x - s h 2 x c h 2 x = 1 c h 2 x c t h "x = c h x s h x" = c h "x s h x - c h x s h "x s h 2 x = s h 2 x - c h 2 x s h 2 x = - 1 s h 2 x

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

сложни производни. Логаритмична производна.
Производна на експоненциална функция

Продължаваме да подобряваме нашата техника за диференциране. В този урок ще консолидираме покрития материал, ще разгледаме по-сложни производни, а също така ще се запознаем с нови трикове и трикове за намиране на производната, по-специално с логаритмичната производна.

Тези читатели, които имат ниско ниво на подготовка, трябва да се обърнат към статията Как да намерим производната? Примери за решениякоето ще ви позволи да повишите уменията си почти от нулата. След това трябва внимателно да проучите страницата Производна на съставна функция, разберете и разрешите всичкопримерите, които съм дал. Този урок логично е трети поред и след като го усвоите, вие уверено ще различавате доста сложни функции. Не е желателно да се придържате към позицията „Къде другаде? И това е достатъчно!”, тъй като всички примери и решения са взети от реални контролни работии често се среща в практиката.

Да започнем с повторение. На урока Производна на съставна функцияразгледахме редица примери с подробни коментари. В хода на изучаване на диференциално смятане и други раздели на математическия анализ ще трябва да диференцирате много често и не винаги е удобно (и не винаги е необходимо) да рисувате примери в големи подробности. Затова ще се упражняваме в устното намиране на производни. Най-подходящите "кандидати" за това са производни на най-простата от сложните функции, например:

Според правилото за диференциране на сложна функция :

При изучаване на други теми от матан в бъдеще най-често не се изисква такъв подробен запис, предполага се, че ученикът може да намери подобни производни на автопилот. Нека си представим, че в 3 часа през нощта телефонът звънна и приятен глас попита: "Колко е производната на тангенса на две x?". Това трябва да бъде последвано от почти мигновен и учтив отговор: .

Първият пример ще бъде незабавно предназначен за независимо решение.

Пример 1

Намерете следните производни устно, в една стъпка, например: . За да изпълните задачата, трябва само да използвате таблица с производни на елементарни функции(ако вече не се е сетила). Ако имате затруднения, препоръчвам ви да прочетете отново урока Производна на съставна функция.

, , ,
, , ,
, , ,

, , ,

, ,

Отговори в края на урока

Комплексни производни

След предварителна артилерийска подготовка, примерите с 3-4-5 прикачени функции ще бъдат по-малко страшни. Може би следващите два примера ще изглеждат сложни за някои, но ако се разберат (някой страда), тогава почти всичко останало в диференциалното смятане ще изглежда като детска шега.

Пример 2

Намерете производната на функция

Както вече беше отбелязано, при намиране на производната на сложна функция, на първо място, е необходимо вярноРАЗБЕРЕТЕ ИНВЕСТИЦИИТЕ. В случаите, когато има съмнения, напомням ви за един полезен трик: вземаме например експерименталната стойност "x" и се опитваме (мислено или на чернова) да заменим тази стойност в "ужасния израз".

1) Първо трябва да изчислим израза, така че сумата е най-дълбокото влагане.

2) След това трябва да изчислите логаритъма:

4) След това кубирайте косинуса:

5) На петата стъпка разликата:

6) И накрая, най-външната функция е Корен квадратен:

Формула за диференциране на сложна функция се прилагат в обратен ред, от най-външната функция към най-вътрешната. Ние решаваме:

Изглежда, че няма грешка...

(1) Вземаме производната на корен квадратен.

(2) Вземаме производната на разликата, използвайки правилото

(3) Производната на тройката е равна на нула. Във втория член вземаме производната на степента (куб).

(4) Взимаме производната на косинуса.

(5) Вземаме производната на логаритъма.

(6) Накрая вземаме производната на най-дълбокото влагане.

Може да изглежда твърде трудно, но това не е най-жестокият пример. Вземете например колекцията на Кузнецов и ще оцените целия чар и простота на анализираната производна. Забелязах, че обичат да дават подобно нещо на изпита, за да проверят дали студентът разбира как се намира производната на сложна функция или не разбира.

Следващият пример е за самостоятелно решение.

Пример 3

Намерете производната на функция

Съвет: Първо прилагаме правилата за линейност и правилото за диференциране на продукта

Пълно решение и отговор в края на урока.

Време е да преминем към нещо по-компактно и по-красиво.
Не е необичайно ситуацията, при която произведението на не две, а три функции е дадено в пример. Как да намерим производната на произведението на три фактора?

Пример 4

Намерете производната на функция

Първо, разглеждаме, но възможно ли е да превърнем произведението на три функции в произведение на две функции? Например, ако имаме два полинома в произведението, тогава можем да отворим скобите. Но в този пример всички функции са различни: степен, експонента и логаритъм.

В такива случаи е необходимо последователноприложете правилото за диференциране на продукта два пъти

Номерът е, че за "y" означаваме произведението на две функции: , а за "ve" - логаритъма:. Защо може да се направи това? Така ли - това не е произведение на два фактора и правилото не работи?! Няма нищо сложно:

Сега остава правилото да се приложи втори път в скоби:

Все още можете да извратите и да извадите нещо от скобите, но в този случай е по-добре да оставите отговора в тази форма - ще бъде по-лесно да се провери.

Горният пример може да бъде решен по втория начин:

И двете решения са абсолютно равностойни.

Пример 5

Намерете производната на функция

Това е пример за самостоятелно решение, в примера се решава по първия начин.

Помислете за подобни примери с дроби.

Пример 6

Намерете производната на функция

Тук можете да отидете по няколко начина:

Или така:

Но решението може да бъде написано по-компактно, ако преди всичко използваме правилото за диференциране на частното , приемайки за целия числител:

Принципно примера е решен и ако се остави в този вид няма да е грешка. Но ако имате време, винаги е препоръчително да проверите черновата, но възможно ли е да опростите отговора? Привеждаме израза на числителя към общ знаменател и отървете се от триетажната фракция:

Недостатъкът на допълнителните опростявания е, че съществува риск от грешка не при намиране на производна, а при банални училищни трансформации. От друга страна, учителите често отхвърлят задачата и искат да „напомнят“ производната.

По-опростен пример за решение „направи си сам“:

Пример 7

Намерете производната на функция

Продължаваме да овладяваме техниките за намиране на производната и сега ще разгледаме типичен случай, когато за диференциране се предлага „ужасен“ логаритъм

Пример 8

Намерете производната на функция

Тук можете да извървите дълъг път, като използвате правилото за диференциране на сложна функция:

Но още първата стъпка веднага ви потапя в униние - трябва да вземете неприятна производна от дробна степен, а след това и от дроб.

Ето защо предикак да вземем производната на „фантастичния“ логаритъм, преди това е опростен с помощта на добре познати училищни свойства:

! Ако имате под ръка учебна тетрадка, копирайте тези формули точно там. Ако нямате тетрадка, нарисувайте ги на лист хартия, тъй като останалите примери от урока ще се въртят около тези формули.

Самото решение може да се формулира така:

Нека трансформираме функцията:

Намираме производната:

Предварителната трансформация на самата функция значително опрости решението. По този начин, когато подобен логаритъм е предложен за диференциране, винаги е препоръчително да го „разбиете“.

А сега няколко прости примера за независимо решение:

Пример 9

Намерете производната на функция

Пример 10

Намерете производната на функция

Всички трансформации и отговори в края на урока.

логаритмична производна

Ако производната на логаритмите е толкова сладка музика, тогава възниква въпросът, възможно ли е в някои случаи логаритъмът да се организира изкуствено? Мога! И дори необходимо.

Пример 11

Намерете производната на функция

Подобни примери разгледахме наскоро. Какво да правя? Може последователно да се прилага правилото за диференциране на частното, а след това правилото за диференциране на продукта. Недостатъкът на този метод е, че получавате огромна триетажна фракция, с която изобщо не искате да се занимавате.

Но на теория и практика има такова прекрасно нещо като логаритмичната производна. Логаритмите могат да бъдат организирани изкуствено, като ги "окачите" от двете страни:

Забележка : защото функция може да отнеме отрицателни стойности, тогава, най-общо казано, трябва да използвате модули: , които изчезват в резултат на диференциация. Текущият дизайн обаче също е приемлив, където по подразбиране комплексстойности. Но ако с цялата строгост, тогава и в двата случая е необходимо да се направи резервация, че.

Сега трябва да „разбиете“ логаритъма на дясната страна колкото е възможно повече (формули пред очите ви?). Ще опиша този процес много подробно:

Да започнем с диференциацията.
Завършваме и двете части с щрих:

Производната на дясната страна е доста проста, няма да я коментирам, защото ако четете този текст, трябва да можете да се справите с увереност.

Какво ще кажете за лявата страна?

От лявата страна имаме сложна функция. Предвиждам въпроса: „Защо, има ли една буква „y“ под логаритъма?“

Факт е, че тази „една буква y“ - Е ФУНКЦИЯ САМА ЗА СЕБЕ СИ(ако не е много ясно, вижте статията Производна на неявно указана функция). Следователно логаритъма е външна функция, а "y" е вътрешна функция. И използваме правилото за диференциране на съставна функция :

От лявата страна, сякаш от вълна магическа пръчкаимаме производна. Освен това, според правилото за пропорцията, хвърляме "y" от знаменателя на лявата страна към горната част на дясната страна:

И сега се сещаме за каква "игра"-функция говорихме при диференцирането? Нека да разгледаме състоянието:

Окончателен отговор:

Пример 12

Намерете производната на функция

Това е пример за „направи си сам“. Примерен дизайн на пример от този тип в края на урока.

С помощта на логаритмичната производна беше възможно да се реши всеки от примерите № 4-7, друго нещо е, че функциите там са по-прости и може би използването на логаритмичната производна не е много оправдано.

Производна на експоненциална функция

Все още не сме обмисляли тази функция. Експоненциална функция е функция, която има и степента и основата зависят от "x". Класически пример, който ще ви бъде даден във всеки учебник или на всяка лекция:

Как да намерим производната на експоненциална функция?

Необходимо е да се използва току-що разгледаната техника - логаритмичната производна. Закачаме логаритми от двете страни:

По правило степента се изважда от под логаритъма от дясната страна:

В резултат от дясната страна имаме произведение на две функции, които ще бъдат разграничени по стандартната формула .

Намираме производната, за това поставяме двете части под черти:

Следващите стъпки са лесни:

Накрая:

Ако някоя трансформация не е напълно ясна, моля, прочетете внимателно обясненията на Пример 11.

IN практически задачиекспоненциалната функция винаги ще бъде по-сложна от разглеждания лекционен пример.

Пример 13

Намерете производната на функция

Използваме логаритмичната производна.

От дясната страна имаме константа и произведението на два фактора - "x" и "логаритъм от логаритъм от x" (под логаритъма е вложен друг логаритъм). Когато диференцирате константа, както си спомняме, е по-добре незабавно да я извадите от знака на производната, така че да не ви пречи; и, разбира се, прилагайте познатото правило :