1 kružna definicija luk središnjeg ugla kružnice. Upisane i opisane kružnice. Centralni i upisani uglovi

Neka
- proizvoljna tačka elipse. Imamo:
,
. Iz definicije elipse

, (1.29)

ili - tražena jednačina elipse, koja je nezgodna za korištenje. Iz posljednje jednakosti slijedi da je .S obzirom da
, tada možemo kvadrirati obje strane jednadžbe i nakon ekvivalentnih transformacija dobijamo:
. Stoga,. Hajde da uvedemo novu varijablu
. Imamo:
. Iz ove jednakosti slijedi da

. (1.30)

Jednačina (1.30) se zove kanonska (najjednostavnija) jednačina elipse. Ova jednačina je jednačina drugog reda. Dakle, svaka tačka elipse koja zadovoljava jednačinu (1.29) također zadovoljava jednačinu (1.30). Dokažimo da su sve tačke ravni čije koordinate zadovoljavaju jednačinu (1.30) tačke elipse, odnosno njihove koordinate zadovoljavaju jednačinu (1.29).

Za žarišni radijus relacija važi
. Iz jednačine (1.30) imamo:
. Zbog toga
, ili
. Slično to nalazimo
. dakle,
.

Elipsa je simetrična u odnosu na koordinatne ose, jer sadrži samo parne potencije I , i u odnosu na porijeklo. Osi simetrije elipse nazivaju se njenim osema, a centar simetrije je centar elipse.

Elipsa siječe koordinatne ose u tačkama
,
,
,
. Ove tačke se nazivaju vrhovi elipse. At
elipsa se degeneriše u krug poluprečnika i centar na početku. Vrhovi elipse ograničavaju segmente dužine na osi
I
, i
(ovo proizilazi iz činjenice da
).

Količine I nazivaju se velika i mala poluos elipse, a ose elipse su velika i mala osa, respektivno.

Definicija. Ekscentričnost elipse naziva se relacija gdje - pola udaljenosti između fokusa, - velika poluosa, tj.

. (1.31)

S obzirom na to
, dobijamo
. Jer

, To
. Ako
, tj. tada se elipsa približava kružnici
. Ako
, A ne teži nuli, tada je elipsa izdužena duž glavne ose. Dakle, ekscentricitet elipse karakterizira mjeru njenog izduženja duž glavne ose.

Ako su fokusi elipse
I
koji se nalazi na osi ordinata, tada u ovom slučaju
a velika je osovina . Jednačina elipse također ima oblik (1.30), ali
, a njegov ekscentricitet se izračunava po formuli
.

Primjer 14. Napišite jednačinu za elipsu čija žarišta leže na x-osi simetrično u odnosu na ishodište, znajući da je udaljenost između njenih žarišta
i ekscentričnost
.

Rješenje. Pola udaljenosti između fokusa
. Žarišta elipse nalaze se na x-osi, tako da je velika poluos . Iz (1.31) slijedi da
. Onda. Dakle, jednadžba elipse ima oblik
.

Primjer 15. Zadana elipsa
. Pronađite njegove poluose, žarišta, ekscentricitet.

Rješenje. Svedujmo jednadžbu elipse na kanonski oblik. Da biste to učinili, podijelite obje strane jednadžbe sa 45, dobivamo
. Dakle, njegova polu-osa
,
. Velika poluosa je poluosa , pa se žarišta elipse nalaze na ordinatnoj osi i

, dakle, fokusi su u tačkama
I
. Ekscentricitet elipse jednak je omjeru polovice udaljenosti između žarišta i velike poluose, tj.
.

Primjer 16. Izračunaj površinu četvorougla
, dva vrha I koji leže u fokusima elipse
, još dvoje I
poklapaju se sa krajevima njegove male ose.

Rješenje. Kanonska jednadžba elipse ima oblik
, Zbog toga
,
. Dakle, vrhovi četvorougla I
imaju odgovarajuće koordinate
I
. Nađimo koordinate vrhova I . Jer
, To
,
. Dobijeni četverokut je simetričan u odnosu na koordinatne osi i u odnosu na ishodište koordinata , dakle,

.

Predavanje: Krug i krug

Krug je zatvorena kriva, čije su sve tačke na istoj udaljenosti od centra.

IN Svakodnevni život Više puta ste vidjeli krug. Upravo to opisuju sat i sekundarna kazaljka, a to je oblik kruga koji ima gimnastički obruč.

Sada zamislite da ste nacrtali krug na komadu papira i htjeli ga obojiti.

Dakle, sav ukrašeni prostor, ograničen krugom, je krug.

Centar je tačka koja je jednako udaljena od svih tačaka na kružnici. Središte kruga i kruga označeno je slovom O.

Radijus je udaljenost od centra do kružnice (R).

Prečnik je segment koji prolazi kroz centar i povezuje sve tačke kružnice (d). Štaviše, prečnik je jednak dvama radijusima: d = 2R.

Tetiva je segment koji spaja bilo koje dvije tačke na kružnici. Prečnik je poseban slučaj tetive.

Da biste pronašli obim, morate koristiti formulu:

l=2 πR

Imajte na umu da obim i površina zavise samo od radijusa kruga.

Površina kruga može se pronaći pomoću sljedeće formule:

S=πR 2 .

Želeo bih da vam skrenem pažnju na broj „Pi“. Ova vrijednost je pronađena pomoću kruga. Da bi se to postiglo, njegova dužina je podijeljena na dva polumjera i tako je dobijen broj "Pi".

Ako je krug podijeljen na neke dijelove s dva polumjera, tada će se takvi dijelovi zvati sektori. Svaki sektor ima svoju mjeru stepena - mjeru stepena luka na kojem počiva.

Da biste pronašli dužinu luka, morate koristiti formulu:

2. Koristeći radijansku mjeru:

Ako vrh određenog ugla leži na središtu kruga, a njegove zrake sijeku krug, onda se takav ugao naziva centralnim.

Ako se neka dva tetiva sijeku u nekom trenutku, tada su njihovi segmenti proporcionalni:

Ovaj članak sadrži minimalni skup informacija o krugovima potrebnim za uspješan rad polaganje Jedinstvenog državnog ispita matematike.

Obim je skup tačaka koje se nalaze na istoj udaljenosti od date tačke, koja se naziva središte kružnice.

Za bilo koju tačku koja leži na kružnici, jednakost je zadovoljena (dužina segmenta je jednaka polumjeru kružnice.

Zove se odsječak koji spaja dvije tačke na kružnici akord.

Zove se tetiva koja prolazi središtem kružnice prečnika krug() .

Obim:

Površina kruga:

Luk kružnice:

Zove se dio kružnice zatvoren između dvije tačke arc krugovima. Dvije tačke na kružnici definiraju dva luka. Tetiva podvlači dva luka: i . Jednaki tetivi savijaju jednake lukove.

Ugao između dva poluprečnika naziva se centralni ugao :

Da bismo pronašli dužinu luka, pravimo proporciju:

a) ugao je dat u stepenima:

b) ugao je dat u radijanima:

Prečnik okomit na tetivu , dijeli ovu tetivu i lukove koje savija na pola:

Ako akordi I kružnice se seku u tački , tada su proizvodi odsječaka tetiva na koje su podijeljeni točkom jednaki jedan drugom:

Tangenta na kružnicu.

Prava linija koja ima jednu zajedničku tačku sa kružnicom naziva se tangenta u krug. Prava linija koja ima dva kruga zajedničke tačke pozvao secant

Tangenta na kružnicu je okomita na poluprečnik povučen do tačke tangente.

Ako su dvije tangente povučene iz date tačke u kružnicu, onda tangentni segmenti su međusobno jednaki a središte kružnice leži na simetrali ugla sa vrhom u ovoj tački:

Ako su tangenta i sekansa povučene iz date tačke u kružnicu, onda kvadrat dužine tangentnog segmenta jednak je umnošku cijelog sekansnog segmenta i njegovog vanjskog dijela :

Posljedica: proizvod cijelog segmenta jedne sekante i njegovog vanjskog dijela jednak je proizvodu cijelog segmenta druge sekante i njegovog vanjskog dijela:

Uglovi u krugu.

Mera stepena centralnog ugla je stepen mjere luk na kojem počiva:

Zove se ugao čiji vrh leži na kružnici i čije stranice sadrže tetive upisani ugao . Upisani ugao se meri polovinom luka na koji počiva:

∠∠

Upisani ugao podvučen prečnikom je pravi:

∠∠∠

Upisani uglovi savijeni jednim lukom su jednaki :

Upisani uglovi koji sažimaju jednu tetivu su jednaki ili je njihov zbir jednak

∠∠

Vrhovi trokuta sa datom bazom i jednakih uglova na vrhu leže na istoj kružnici:

Ugao između dvije tetive (ugao s vrhom unutar kruga) jednak je polovini zbroja ugaonih vrijednosti lukova kruga koji se nalaze unutar zadanog kuta i unutar vertikalnog kuta.

∠ ∠∠(⌣ ⌣ )

Ugao između dvije sekante (ugao s vrhom izvan kruga) jednak je polurazlici ugaonih vrijednosti lukova kružnice sadržanih unutar kuta.

∠ ∠∠(⌣ ⌣ )

Upisan krug.

Krug se zove upisan u poligon , ako dodirne njegove strane. Centar upisane kružnice leži u tački preseka simetrala uglova mnogougla.

Ne može svaki poligon stati u krug.

Površina poligona u koji je upisan krug može se pronaći pomoću formule

ovdje je poluperimetar poligona, a radijus upisane kružnice.

Odavde radijus upisane kružnice jednaki

Ako je kružnica upisana u konveksni četverokut, tada su zbroji dužina suprotnih strana jednaki . Obrnuto: ako su u konveksnom četverokutu zbroji dužina suprotnih strana jednaki, tada se u četverokut može upisati krug:

Možete upisati krug u bilo koji trougao, i to samo u jedan. Središte upisane kružnice leži u tački preseka simetrala unutrašnjih uglova trougla.

Radijus upisane kružnice jednak . Evo

Opisani krug.

Krug se zove opisano o poligonu , ako prolazi kroz sve vrhove poligona. Središte opisane kružnice leži u tački presjeka okomite simetrale strane poligona. Radijus se izračunava kao poluprečnik kružnice opisane trokutom definisanom sa bilo koja tri vrha datog poligona:

Krug se može opisati oko četverokuta ako i samo ako je zbir njegovih suprotnih uglova jednak .

Oko bilo kojeg trougla možete opisati krug, i to samo jedan. Njegovo središte leži u tački presjeka simetrala okomitih stranica trokuta:

Circumradius izračunati pomoću formula:

Gdje su dužine stranica trougla i njegova površina.

Ptolomejev teorem

U cikličnom četverokutu proizvod dijagonala jednak je zbroju proizvoda njegovih suprotnih strana:

U ovom članku ćemo detaljno pogledati definiciju. brojčani krug, saznajte njegovo glavno svojstvo i rasporedite brojeve 1,2,3, itd. O tome kako označiti druge brojeve na krugu (na primjer, \(\frac(π)(2), \frac(π)(3), \frac(7π)(4), 10π, -\frac(29π)) ( 6)\)) razumije .

Brojčani krug naziva se kružnica jediničnog poluprečnika čije tačke odgovaraju , uređeno prema slijedeći pravila:

1) Početna tačka je u krajnjoj desnoj tački kružnice;

2) U smjeru suprotnom od kazaljke na satu - pozitivan smjer; u smjeru kazaljke na satu – negativan;

3) Ako ucrtamo rastojanje \(t\) na kružnicu u pozitivnom smjeru, onda ćemo doći do tačke s vrijednošću \(t\);

4) Ako na kružnicu iscrtamo rastojanje \(t\) u negativnom smjeru, onda ćemo doći do točke s vrijednošću \(–t\).

Zašto se krug zove brojčani krug?
Jer ima brojeve na sebi. Na ovaj način, krug je sličan brojevnoj osi - na kružnici, kao i na osi, postoji određena tačka za svaki broj.

Zašto znati šta je brojčani krug?
Pomoću brojčanog kruga određuju se vrijednosti sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa. Stoga, da biste poznavali trigonometriju i položili Jedinstveni državni ispit sa 60+ bodova, morate razumjeti šta je brojevni krug i kako staviti tačke na njega.

Šta u definiciji znače riječi “...jediničnog radijusa...”?
To znači da je polumjer ove kružnice jednak \(1\). A ako konstruiramo takav krug sa centrom u početku, onda će se sjeći sa osama u tačkama \(1\) i \(-1\).

Ne mora biti malo nacrtano; možete promijeniti "veličinu" podjela duž osi, tada će slika biti veća (vidi dolje).

Zašto je radijus tačno jedan? Ovo je zgodnije, jer u ovom slučaju, kada se izračunava obim pomoću formule \(l=2πR\), dobijamo:

Dužina brojevnog kruga je \(2π\) ili približno \(6,28\).

Šta znači “...čije tačke odgovaraju realnim brojevima”?
Kao što je gore rečeno, na brojčani krug za bilo koji pravi broj sigurno će postojati svoje "mjesto" - tačka koja odgovara ovom broju.

Zašto odrediti početak i smjer na brojevnom krugu?
glavni cilj brojčani krug - svaki broj jedinstveno određuje svoju tačku. Ali kako možete odrediti gdje staviti tačku ako ne znate odakle da brojite i gdje da se krećete?

Ovdje je važno ne brkati ishodište na koordinatnoj liniji i na brojevnom krugu - to su dva različiti sistemi odbrojavanje! I također nemojte brkati \(1\) na osi \(x\) i \(0\) na kružnici - to su točke na različitim objektima.

Koje tačke odgovaraju brojevima \(1\), \(2\) itd.?

Zapamtite, pretpostavili smo da brojčani krug ima polumjer \(1\)? Ovo će biti naš jedinični segment (po analogiji sa brojevnom osom), koji ćemo iscrtati na krug.

Da biste označili tačku na brojevnoj kružnici koja odgovara broju 1, trebate ići od 0 do udaljenosti jednake polumjeru u pozitivnom smjeru.

Da biste označili tačku na kružnici koja odgovara broju \(2\), trebate prijeći udaljenost jednaku dva polumjera od početka, tako da je \(3\) udaljenost jednaka tri poluprečnika, itd.

Kada pogledate ovu sliku, možda imate 2 pitanja:
1. Šta se dešava kada se krug "završi" (tj. napravimo punu revoluciju)?
Odgovor: idemo u drugi krug! A kad se završi drugi, idemo na treći i tako dalje. Dakle, beskonačan broj brojeva se može nacrtati u krug.

2. Gdje će biti negativni brojevi?
Odgovor: tu! Oni se također mogu rasporediti, računajući od nule potreban broj radijusa, ali sada u negativnom smjeru.

Nažalost, teško je označiti cijele brojeve na brojevnom krugu. To je zbog činjenice da dužina brojevnog kruga neće biti jednaka cijelom broju: \(2π\). A na najpovoljnijim mjestima (u točkama sjecišta s osama) također će biti razlomci, a ne cijeli brojevi