A svoje korijene vuku od latinske riječi “ratio”, što znači “razlog”. Na osnovu doslovnog prijevoda:

  • Racionalni broj je “razuman broj”.
  • Iracionalan broj je, prema tome, “nerazuman broj”.

Opšti koncept racionalnog broja

Racionalni broj je broj koji se može zapisati kao:

  1. Običan pozitivan razlomak.
  2. Negativan zajednički razlomak.
  3. Kao broj nula (0).

Drugim riječima, sljedeće definicije primjenjuju se na racionalni broj:

  • Svaki prirodni broj je inherentno racionalan, budući da se svaki prirodni broj može predstaviti kao običan razlomak.
  • Bilo koji cijeli broj, uključujući broj nula, budući da se svaki cijeli broj može napisati ili kao pozitivan obični razlomak, kao negativan obični razlomak ili kao broj nula.
  • Svaki obični razlomak, i nije važno da li je pozitivan ili negativan, također se direktno približava definiciji racionalnog broja.
  • Definicija također može uključivati ​​mješoviti broj, konačni decimalni razlomak ili beskonačan periodični razlomak.

Primjeri racionalnih brojeva

Pogledajmo primjere racionalni brojevi:

  • Prirodni brojevi - “4”, “202”, “200”.
  • Cijeli brojevi - “-36”, “0”, “42”.
  • Obični razlomci.

Iz gornjih primjera je sasvim očito da racionalni brojevi mogu biti i pozitivni i negativni. Naravno, broj 0 (nula), koji je takođe racionalan broj, u isto vrijeme ne spada u kategoriju pozitivnog ili negativnog broja.

Odavde, podsjećam program opšteg obrazovanja koristeći sljedeću definiciju: “Racionalni brojevi” su oni brojevi koji se mogu napisati kao razlomak x/y, gdje je x (brojilac) cijeli broj, a y (imenik) prirodan broj.

Opšti pojam i definicija iracionalnog broja

Osim “racionalnih brojeva”, poznajemo i takozvane “iracionalne brojeve”. Pokušajmo ukratko definirati ove brojeve.

Čak su i drevni matematičari, želeći izračunati dijagonalu kvadrata duž njegovih stranica, saznali za postojanje iracionalnog broja.
Na osnovu definicije racionalnih brojeva, možete izgraditi logički lanac i dati definiciju iracionalnog broja.
Dakle, u suštini, oni realni brojevi koji nisu racionalni su jednostavno iracionalni brojevi.
Decimalni razlomci, koji izražavaju iracionalne brojeve, nisu periodični i beskonačni.

Primjeri iracionalnog broja

Radi jasnoće, razmotrimo mali primjer iracionalnog broja. Kao što smo već shvatili, beskonačni decimalni neperiodični razlomci nazivaju se iracionalnim, na primjer:

  • Broj „-5.020020002... (jasno je vidljivo da su dvojke razdvojene nizom od jedan, dva, tri, itd. nula)
  • Broj „7,040044000444... (ovdje je jasno da se broj četvorki i broj nula svaki put u lancu povećava za jedan).
  • Svi znaju broj Pi (3,1415...). Da, da - takođe je iracionalno.

Općenito, svi realni brojevi su i racionalni i iracionalni. Govoreći jednostavnim riječima, iracionalan broj se ne može predstaviti kao običan razlomak x/y.

Opšti zaključak i kratko poređenje brojeva

Pogledali smo svaki broj zasebno, ali razlika između racionalnog i iracionalnog broja ostaje:

  1. Iracionalni broj se javlja prilikom vađenja kvadratnog korijena, kada se krug dijeli s njegovim prečnikom, itd.
  2. Racionalni broj predstavlja običan razlomak.

Završimo naš članak s nekoliko definicija:

  • Aritmetička operacija izvedena nad racionalnim brojem, osim dijeljenja sa 0 (nula), na kraju će dovesti do racionalnog broja.
  • Konačni rezultat, kada se izvrši aritmetička operacija nad iracionalnim brojem, može dovesti do racionalne i iracionalne vrijednosti.
  • Ako oba broja učestvuju u aritmetičkoj operaciji (osim dijeljenja ili množenja sa nulom), rezultat će biti iracionalan broj.

Razlomak m/n smatrat ćemo ga nesvodljivim (na kraju krajeva, razlomak koji se može svesti uvijek se može svesti u nesvodljivi oblik). Kvadratom obe strane jednakosti dobijamo m^2=2n^2. Odavde zaključujemo da je m^2, a nakon toga broj m- čak. one. m = 2k. Zbog toga m^2 = 4k^2 i stoga 4 k^2 =2n^2 ili 2 k^2 = n^2. Ali onda se ispostavi da je tako n Također čak broj, ali to ne može biti, budući da je razlomak m/n nesvodivo. Nastaje kontradikcija. Ostaje da zaključimo: naša pretpostavka je netačna i racionalan broj m/n, jednako √2, ne postoji.”

To je sve njihov dokaz.

Kritička procjena dokaza starih Grka


Ali…. Pogledajmo ovaj dokaz o starim Grcima donekle kritički. A ako ste pažljiviji u jednostavnoj matematici, onda u njoj možete vidjeti sljedeće:

1) U racionalnom broju koji su usvojili Grci m/n brojevi m I n- cela, ali nepoznato(da li oni čak, da li oni odd). I tako je! A da bi se nekako uspostavila bilo kakva zavisnost između njih, potrebno je precizno odrediti njihovu svrhu;

2) Kada su stari odlučili da broj m– čak, tada u jednakosti koju su prihvatili m = 2k oni (namjerno ili iz neznanja!) nisu sasvim "ispravno" okarakterizirali broj " k " Ali evo broja k- Ovo cijeli(CELO!) i prilično poznati broj koji sasvim jasno definiše šta je pronađeno čak broj m. I nemoj biti ovakav pronađeno brojevi " k"stari ljudi nisu mogli u budućnosti" koristiti" i broj m ;

3) A kada iz jednakosti 2 k^2 = n^2 stari su primili broj n^2 je paran i istovremeno n– čak, onda bi morali ne žuri sa zaključkom o " kontradikcija koja je nastala“, ali bolje je osigurati maksimum tačnost prihvaćeno od njih" izbor» brojevi « n ».

Kako su mogli ovo da urade? Da, jednostavno!
Pogledajte: iz jednakosti su dobili 2 k^2 = n^2 lako bi se mogla dobiti sljedeća jednakost k√2 = n. I tu nema ničeg za osudu - na kraju krajeva, dobili su iz jednakosti m/n=√2 je još jedna jednakost koja joj je adekvatna m^2=2n^2 ! I niko im nije proturječio!

Ali u novoj jednakosti k√2 = n za očigledne INTEGERS k I n jasno je da iz toga Uvijek dobiti broj √2 - racionalno . Uvijek! Zato što sadrži brojeve k I n- poznati CELI!

Ali tako da iz njihove jednakosti 2 k^2 = n^2 i, kao posljedica, od k√2 = n dobiti broj √2 – iracionalno (kao to " poželio"stari Grci!), onda je neophodno imati u njima, najmanje , broj " k"kao nije cela (!!!) brojevi. A to je upravo ono što stari Grci NISU imali!

Otuda ZAKLJUČAK: gornji dokaz iracionalnosti broja √2, koji su napravili stari Grci prije 2400 godina, je iskreno netačno i matematički netačno, da ne kažem grubo - jednostavno je lažno .

U maloj brošuri F-6 prikazanoj iznad (vidi sliku iznad), objavljenoj u Krasnodaru (Rusija) 2015. godine sa ukupnim tiražom od 15.000 primjeraka. (očigledno uz sponzorska ulaganja) dat je novi, izuzetno korektan sa stanovišta matematike i krajnje korektan ] dokaz iracionalnosti broja √2, što bi se davno moglo dogoditi da nije bilo teškog" nastavnik n" proučavanju antikviteta istorije.

Sam koncept iracionalnog broja strukturiran je na način da se definiše kroz negaciju svojstva „biti racionalan“, stoga je dokaz kontradikcijom ovdje najprirodniji. Međutim, moguće je ponuditi sljedeće obrazloženje.

Kako se racionalni brojevi suštinski razlikuju od iracionalnih brojeva? Oba se mogu aproksimirati racionalnim brojevima sa bilo kojom tačnošću, ali za racionalne brojeve postoji aproksimacija sa „nultom“ tačnošću (sa ovim brojem), ali za iracionalne brojeve to više nije slučaj. Hajde da pokušamo da se "igramo" na ovo.

Prije svega, primijetimo ovu jednostavnu činjenicu. Neka su $%\alpha$%, $%\beta$% dva pozitivna broja koja se aproksimiraju jedan drugom sa tačnošću od $%\varepsilon$%, odnosno $%|\alpha-\beta|=\varepsilon$% . Šta se događa ako brojeve zamijenimo njihovim inverzima? Kako će se promijeniti tačnost? Lako je vidjeti da je $$\left|\frac1\alpha-\frac1\beta\right|=\frac(|\alpha-\beta|)(\alpha\beta)=\frac(\varepsilon)(\ alpha\ beta),$$ koji će biti striktno manji od $%\varepsilon$% za $%\alpha\beta>1$%. Ova izjava se može smatrati nezavisnom lemom.

Sada postavimo $%x=\sqrt(2)$%, i neka je $%q\in(\mathbb Q)$% racionalna aproksimacija broja $%x$% sa tačnošću od $%\varepsilon$ %. Znamo da je $%x>1$%, a što se tiče aproksimacije $%q$% potrebna nam je nejednakost $%q\ge1$%. Svi brojevi manji od $%1$% imat će lošiju tačnost aproksimacije od samog $%1$% i stoga ih nećemo razmatrati.

Svakom od brojeva $%x$%, $%q$% dodajemo $%1$%. Očigledno je da će tačnost aproksimacije ostati ista. Sada imamo brojeve $%\alpha=x+1$% i $%\beta=q+1$%. Prelazimo na recipročni brojevi i primjenom „leme“, doći ćemo do zaključka da se naša tačnost aproksimacije poboljšala, postajući striktno manja od $%\varepsilon$%. Ispunili smo traženi uslov $%\alpha\beta>1$% čak i sa marginom: u stvari, znamo da su $%\alpha>2$% i $%\beta\ge2$%, iz čega možemo zaključiti da se tačnost poboljšava najmanje $%4$% puta, odnosno ne prelazi $%\varepsilon/4$%.

A evo glavne stvari: prema uslovu, $%x^2=2$%, odnosno $%x^2-1=1$%, što znači da je $%(x+1)(x- 1)=1$%, to jest, brojevi $%x+1$% i $%x-1$% su inverzni jedan prema drugom. To znači da će $%\alpha^(-1)=x-1$% biti aproksimacija (racionalnog) broja $%\beta^(-1)=1/(q+1)$% sa tačnošću strogo manje $%\varepsilon$%. Ostaje da se ovim brojevima doda $%1$% i ispada da broj $%x$%, odnosno $%\sqrt(2)$%, ima novu racionalnu aproksimaciju jednaku $%\beta ^(- 1)+1$%, to jest, $%(q+2)/(q+1)$%, sa "poboljšanom" preciznošću. Ovim je dokaz završen, jer za racionalne brojeve, kao što smo gore napomenuli, postoji „apsolutno tačna“ racionalna aproksimacija sa tačnošću od $%\varepsilon=0$%, pri čemu se tačnost, u principu, ne može povećati. Ali to smo uspjeli, što govori o neracionalnosti naših brojeva.

U stvari, ovo razmišljanje pokazuje kako konstruirati specifične racionalne aproksimacije za $%\sqrt(2)$% sa sve boljom preciznošću. Prvo moramo uzeti aproksimaciju $%q=1$%, a zatim primijeniti istu formulu zamjene: $%q\mapsto(q+2)/(q+1)$%. Ovaj proces proizvodi sljedeće: $$1,\frac32,\frac75,\frac(17)(12),\frac(41)(29),\frac(99)(70)$$ i tako dalje.

Šta su iracionalni brojevi? Zašto se tako zovu? Gdje se koriste i šta su? Malo ljudi može odgovoriti na ova pitanja bez razmišljanja. Ali u stvari, odgovori na njih su prilično jednostavni, iako nisu potrebni svima iu vrlo rijetkim situacijama

Suština i oznaka

Iracionalni brojevi su beskonačni neperiodični brojevi.Potreba za uvođenjem ovog koncepta proizilazi iz činjenice da za rješavanje novih problema koji se pojavljuju, ranije postojeći koncepti realnih ili realnih, cijelih, prirodnih i racionalnih brojeva više nisu bili dovoljni. Na primjer, da bi se izračunalo koja je veličina kvadrat od 2, potrebno je koristiti neperiodično beskonačno decimale. Osim toga, mnoge jednostavne jednadžbe također nemaju rješenja bez uvođenja koncepta iracionalnog broja.

Ovaj skup je označen kao I. I, kao što je već jasno, ove vrijednosti se ne mogu predstaviti kao jednostavan razlomak, čiji će brojilac biti cijeli broj, a nazivnik će biti

Prvi put, na ovaj ili onaj način, indijski matematičari su se susreli sa ovim fenomenom u 7. veku kada je otkriveno da se kvadratni koreni nekih veličina ne mogu eksplicitno naznačiti. A prvi dokaz postojanja takvih brojeva pripisuje se pitagorejskom Hipasu, koji je to učinio u procesu proučavanja jednakokrakih pravougaonog trougla. Neki drugi naučnici koji su živjeli prije naše ere dali su ozbiljan doprinos proučavanju ovog skupa. Uvođenje koncepta iracionalnih brojeva je za sobom povuklo reviziju postojećeg matematičkog sistema, zbog čega su oni toliko važni.

porijeklo imena

Ako je omjer preveden s latinskog "razlomak", "omjer", onda prefiks "ir"
daje ovu riječ suprotno značenje. Dakle, naziv skupa ovih brojeva ukazuje da oni ne mogu biti u korelaciji s cijelim brojem ili razlomkom i imaju zasebno mjesto. To proizilazi iz njihove suštine.

Mjesto u generalnoj klasifikaciji

Iracionalni brojevi, zajedno sa racionalnim brojevima, pripadaju grupi realnih ili realnih brojeva, koji zauzvrat pripadaju kompleksnim brojevima. Ne postoje podskupovi, ali postoje algebarski i transcendentalni varijeteti, o kojima će biti reči u nastavku.

Svojstva

Budući da su iracionalni brojevi dio skupa realnih brojeva, sva njihova svojstva koja se proučavaju u aritmetici (nazivaju se i osnovnim algebarskim zakonima) primjenjuju se na njih.

a + b = b + a (komutativnost);

(a + b) + c = a + (b + c) (asocijativnost);

a + (-a) = 0 (postojanje suprotnog broja);

ab = ba (komutativni zakon);

(ab)c = a(bc) (distributivnost);

a(b+c) = ab + ac (zakon distribucije);

a x 1/a = 1 (postojanje recipročnog broja);

Poređenje se takođe vrši u skladu sa opštim zakonima i principima:

Ako je a > b i b > c, onda je a > c (tranzitivnost relacije) i. itd.

Naravno, svi iracionalni brojevi se mogu pretvoriti koristeći osnovnu aritmetiku. Za to ne postoje posebna pravila.

Osim toga, Arhimedov aksiom se primjenjuje na iracionalne brojeve. Kaže da je za bilo koje dvije veličine a i b istina da ako uzmete a kao pojam dovoljno puta, možete premašiti b.

Upotreba

Unatoč činjenici da ih ne susrećete često u svakodnevnom životu, iracionalni brojevi se ne mogu prebrojati. Ima ih ogroman broj, ali su gotovo nevidljivi. Iracionalni brojevi su svuda oko nas. Primjeri koji su svima poznati su pi, što je 3,1415926..., ili e, što je u suštini baza prirodni logaritam, 2.718281828... U algebri, trigonometriji i geometriji moraju se stalno koristiti. Inače, čuveno značenje "zlatnog preseka", odnosno odnosa većeg dela prema manjem, i obrnuto, takođe

pripada ovom skupu. Manje poznati "srebrni" također.

Na brojevnoj pravoj nalaze se vrlo gusto, tako da će se između bilo koje dvije veličine klasifikovane kao racionalne, sigurno pojaviti iracionalna.

Još uvijek postoji mnogo neriješenih problema vezanih za ovaj set. Postoje kriteriji kao što su mjera iracionalnosti i normalnost broja. Matematičari nastavljaju proučavati najznačajnije primjere kako bi utvrdili pripadaju li jednoj ili drugoj grupi. Na primjer, vjeruje se da je e normalan broj, odnosno da je vjerovatnoća pojavljivanja različitih cifara u njegovom zapisu ista. Što se tiče pi, istraživanja su još u toku. Mjera iracionalnosti je vrijednost koja pokazuje koliko dobro se dati broj može aproksimirati racionalnim brojevima.

Algebarski i transcendentalni

Kao što je već spomenuto, iracionalni brojevi se konvencionalno dijele na algebarske i transcendentalne. Uslovno, pošto se, strogo govoreći, ova klasifikacija koristi za podelu skupa C.

Ova oznaka skriva kompleksne brojeve, koji uključuju realne ili realne brojeve.

Dakle, algebarska je vrijednost koja je korijen polinoma koji nije identično jednak nuli. Na primjer, Kvadratni korijen od 2 bi spadao u ovu kategoriju jer je rješenje jednadžbe x 2 - 2 = 0.

Svi ostali realni brojevi koji ne zadovoljavaju ovaj uslov nazivaju se transcendentnim. Ova raznolikost uključuje najpoznatije i već spomenute primjere - broj pi i bazu prirodnog logaritma e.

Zanimljivo je da ni jedno ni drugo nisu prvobitno razvili matematičari u ovom svojstvu; njihova iracionalnost i transcendentnost dokazani su mnogo godina nakon njihovog otkrića. Za pi, dokaz je dat 1882. i pojednostavljen 1894. godine, čime je okončana 2.500 godina duga debata o problemu kvadrature kruga. Još uvijek nije u potpunosti proučeno, tako da savremeni matematičari imaju na čemu raditi. Inače, prvi prilično tačan proračun ove vrijednosti izvršio je Arhimed. Prije njega su svi proračuni bili previše približni.

Za e (Eulerov ili Napierov broj), dokaz njegove transcendentnosti pronađen je 1873. Koristi se u rješavanju logaritamskih jednadžbi.

Drugi primjeri uključuju vrijednosti sinusa, kosinusa i tangenta za bilo koju algebarsku vrijednost različitu od nule.

Razumevanje brojeva, posebno prirodni brojevi, jedna je od najstarijih matematičkih "vještina". Mnoge civilizacije, čak i moderne, pripisivale su određena mistična svojstva brojevima zbog njihovog ogromnog značaja u opisivanju prirode. Iako moderna nauka a matematika ne potvrđuje ova "magična" svojstva, važnost teorije brojeva je neosporna.

Istorijski gledano, najprije su se pojavili različiti prirodni brojevi, a zatim su im se prilično brzo dodavali razlomci i pozitivni iracionalni brojevi. Nakon ovih podskupova skupa uvedeni su nula i negativni brojevi realni brojevi. Poslednji set, set kompleksni brojevi, pojavio se tek s razvojem moderne nauke.

IN savremena matematika brojevi nisu upisani istorijskim redosledom, iako su mu prilično bliski.

Prirodni brojevi $\mathbb(N)$

Skup prirodnih brojeva se često označava kao $\mathbb(N)=\lbrace 1,2,3,4... \rbrace $, i često je dopunjen nulom da označi $\mathbb(N)_0$.

$\mathbb(N)$ definira operacije sabiranja (+) i množenja ($\cdot$) sa sljedećim svojstvima za bilo koje $a,b,c\u \mathbb(N)$:

1. $a+b\in \mathbb(N)$, $a\cdot b \in \mathbb(N)$ skup $\mathbb(N)$ je zatvoren operacijama sabiranja i množenja
2. $a+b=b+a$, $a\cdot b=b\cdot a$ komutativnost
3. $(a+b)+c=a+(b+c)$, $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$ asocijativnost
4. $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$ distributivnost
5. $a\cdot 1=a$ je neutralan element za množenje

Pošto skup $\mathbb(N)$ sadrži neutralni element za množenje, ali ne i za sabiranje, dodavanje nule ovom skupu osigurava da uključuje neutralni element za sabiranje.

Pored ove dvije operacije, relacije “manje od” ($

1. $a b$ trihotomija
2. ako je $a\leq b$ i $b\leq a$, onda je $a=b$ antisimetrija
3. ako je $a\leq b$ i $b\leq c$, onda je $a\leq c$ tranzitivan
4. ako je $a\leq b$ onda $a+c\leq b+c$
5. ako je $a\leq b$ onda $a\cdot c\leq b\cdot c$

Cijeli brojevi $\mathbb(Z)$

Primjeri cijelih brojeva:
$1, -20, -100, 30, -40, 120...$

Rješavanje jednadžbe $a+x=b$, gdje su $a$ i $b$ poznati prirodni brojevi, a $x$ nepoznati prirodni broj, zahtijeva uvođenje nove operacije - oduzimanje(-). Ako postoji prirodan broj $x$ koji zadovoljava ovu jednačinu, onda je $x=b-a$. Međutim, ova konkretna jednadžba ne mora nužno imati rješenje na skupu $\mathbb(N)$, tako da praktična razmatranja zahtijevaju proširenje skupa prirodnih brojeva kako bi se uključila rješenja takve jednačine. Ovo dovodi do uvođenja skupa cijelih brojeva: $\mathbb(Z)=\lbrace 0,1,-1,2,-2,3,-3...\rbrace$.

Pošto je $\mathbb(N)\subset \mathbb(Z)$, logično je pretpostaviti da su prethodno uvedene operacije $+$ i $\cdot$ i relacije $ 1. $0+a=a+0=a$ postoji neutralni element za dodavanje
2. $a+(-a)=(-a)+a=0$ postoji suprotan broj$-a$ za $a$

Nekretnina 5.:
5. ako je $0\leq a$ i $0\leq b$, onda $0\leq a\cdot b$

Skup $\mathbb(Z)$ je također zatvoren pod operacijom oduzimanja, to jest, $(\forall a,b\in \mathbb(Z))(a-b\in \mathbb(Z))$.

Racionalni brojevi $\mathbb(Q)$

Primjeri racionalnih brojeva:
$\frac(1)(2), \frac(4)(7), -\frac(5)(8), \frac(10)(20)...$

Sada razmotrite jednačine oblika $a\cdot x=b$, gdje su $a$ i $b$ poznati cijeli brojevi, a $x$ je nepoznata. Da bi rješenje bilo moguće, potrebno je uvesti operaciju dijeljenja ($:$), a rješenje ima oblik $x=b:a$, odnosno $x=\frac(b)(a)$ . Opet se javlja problem da $x$ ne pripada uvijek $\mathbb(Z)$, pa skup cijelih brojeva treba proširiti. Ovo uvodi skup racionalnih brojeva $\mathbb(Q)$ sa elementima $\frac(p)(q)$, gdje je $p\in \mathbb(Z)$ i $q\in \mathbb(N)$. Skup $\mathbb(Z)$ je podskup u kojem se svaki element $q=1$, dakle $\mathbb(Z)\subset \mathbb(Q)$ i operacije sabiranja i množenja proširuju na ovaj skup prema slijedeći pravila, koji čuvaju sva gornja svojstva na skupu $\mathbb(Q)$:
$\frac(p_1)(q_1)+\frac(p_2)(q_2)=\frac(p_1\cdot q_2+p_2\cdot q_1)(q_1\cdot q_2)$
$\frac(p-1)(q_1)\cdot \frac(p_2)(q_2)=\frac(p_1\cdot p_2)(q_1\cdot q_2)$

Podjela se uvodi na sljedeći način:
$\frac(p_1)(q_1):\frac(p_2)(q_2)=\frac(p_1)(q_1)\cdot \frac(q_2)(p_2)$

Na skupu $\mathbb(Q)$ jednačina $a\cdot x=b$ ima jedina odluka za svaki $a\neq 0$ (podjela nulom je nedefinirana). To znači da postoji inverzni element $\frac(1)(a)$ ili $a^(-1)$:
$(\forall a\in \mathbb(Q)\setminus\lbrace 0\rbrace)(\exists \frac(1)(a))(a\cdot \frac(1)(a)=\frac(1) (a)\cdot a=a)$

Redoslijed skupa $\mathbb(Q)$ može se proširiti na sljedeći način:
$\frac(p_1)(q_1)

Skup $\mathbb(Q)$ ima jedno važno svojstvo: između bilo koja dva racionalna broja postoji beskonačno mnogo drugih racionalnih brojeva, dakle, ne postoje dva susjedna racionalna broja, za razliku od skupova prirodnih brojeva i cijelih brojeva.

Iracionalni brojevi $\mathbb(I)$

Primjeri iracionalnih brojeva:
$\sqrt(2) \približno 1,41422135...$
$\pi\približno 3,1415926535...$

Budući da između bilo koja dva racionalna broja postoji beskonačno mnogo drugih racionalnih brojeva, lako je pogrešno zaključiti da je skup racionalnih brojeva toliko gust da ga nema potrebe dalje širiti. Čak je i Pitagora napravio takvu grešku u svoje vrijeme. Međutim, njegovi savremenici su već opovrgli ovaj zaključak kada su proučavali rješenja jednadžbe $x\cdot x=2$ ($x^2=2$) na skupu racionalnih brojeva. Za rješavanje takve jednačine potrebno je uvesti koncept kvadratnog korijena, a tada rješenje ove jednačine ima oblik $x=\sqrt(2)$. Jednačina poput $x^2=a$, gdje je $a$ poznati racionalni broj, a $x$ nepoznat, nema uvijek rješenje na skupu racionalnih brojeva, i opet se javlja potreba za proširenjem set. Pojavljuje se skup iracionalnih brojeva, a brojevi kao što su $\sqrt(2)$, $\sqrt(3)$, $\pi$... pripadaju ovom skupu.

Realni brojevi $\mathbb(R)$

Unija skupova racionalnih i iracionalnih brojeva je skup realnih brojeva. Pošto je $\mathbb(Q)\subset \mathbb(R)$, opet je logično pretpostaviti da uvedene aritmetičke operacije i relacije zadržavaju svoja svojstva na novom skupu. Formalni dokaz ovoga je vrlo težak, pa se gore navedena svojstva aritmetičkih operacija i relacija na skupu realnih brojeva uvode kao aksiomi. U algebri se takav objekt naziva polje, pa se za skup realnih brojeva kaže da je uređeno polje.

Da bi definicija skupa realnih brojeva bila potpuna, potrebno je uvesti dodatni aksiom koji razlikuje skupove $\mathbb(Q)$ i $\mathbb(R)$. Pretpostavimo da je $S$ neprazan podskup skupa realnih brojeva. Element $b\in \mathbb(R)$ naziva se gornja granica skupa $S$ ako $\forall x\in S$ drži $x\leq b$. Tada kažemo da je skup $S$ ograničen iznad. Najmanja gornja granica skupa $S$ naziva se supremum i označava se $\sup S$. Koncepti donje granice, skupa ograničenog ispod i infinum $\inf S$ se uvode na sličan način. Sada je aksiom koji nedostaje formuliran na sljedeći način:

Svaki neprazan i gornje ograničen podskup skupa realnih brojeva ima supremum.
Takođe se može dokazati da je polje realnih brojeva definisano na gore navedeni način jedinstveno.

Kompleksni brojevi$\mathbb(C)$

Primjeri kompleksnih brojeva:
$(1, 2), (4, 5), (-9, 7), (-3, -20), (5, 19),...$
$1 + 5i, 2 - 4i, -7 + 6i...$ gdje je $i = \sqrt(-1)$ ili $i^2 = -1$

Skup kompleksnih brojeva predstavlja sve uređene parove realnih brojeva, to jest, $\mathbb(C)=\mathbb(R)^2=\mathbb(R)\times \mathbb(R)$, na kojima se izvršavaju operacije sabiranje i množenje se definiraju na sljedeći način:
$(a,b)+(c,d)=(a+b,c+d)$
$(a,b)\cdot (c,d)=(ac-bd,ad+bc)$

Postoji nekoliko oblika pisanja kompleksnih brojeva, od kojih je najčešći $z=a+ib$, gdje je $(a,b)$ par realnih brojeva, a broj $i=(0,1)$ naziva se imaginarna jedinica.

Lako je pokazati da je $i^2=-1$. Proširivanje skupa $\mathbb(R)$ na skup $\mathbb(C)$ omogućava nam da odredimo kvadratni korijen negativni brojevi, što je bio razlog za uvođenje skupa kompleksnih brojeva. Takođe je lako pokazati da je podskup skupa $\mathbb(C)$, dat sa $\mathbb(C)_0=\lbrace (a,0)|a\in \mathbb(R)\rbrace$, zadovoljava sve aksiome za realne brojeve, dakle $\mathbb(C)_0=\mathbb(R)$, ili $R\subset\mathbb(C)$.

Algebarska struktura skupa $\mathbb(C)$ u odnosu na operacije sabiranja i množenja ima sljedeća svojstva:
1. komutativnost sabiranja i množenja
2. asocijativnost sabiranja i množenja
3. $0+i0$ - neutralni element za sabiranje
4. $1+i0$ - neutralni element za množenje
5. Množenje je distributivno u odnosu na sabiranje
6. Postoji jedan inverz i za sabiranje i za množenje.