Svaka jednačina prvog stepena u odnosu na koordinate x, y, z

Ax + By + Cz +D = 0 (3.1)

definira ravan, i obrnuto: bilo koja ravan se može predstaviti jednadžbom (3.1), koja se naziva ravan jednadžba.

Vector n(A, B, C) ortogonalno na ravan naziva se normalni vektor avion. U jednačini (3.1), koeficijenti A, B, C nisu u isto vrijeme jednaki 0.

Posebni slučajevi jednačine (3.1):

1. D = 0, Ax+By+Cz = 0 - ravan prolazi kroz početak.

2. C = 0, Ax+By+D = 0 - ravan je paralelna sa osom Oz.

3. C = D = 0, Ax + By = 0 - ravan prolazi kroz osu Oz.

4. B = C = 0, Ax + D = 0 - ravan je paralelna sa ravninom Oyz.

Jednačine koordinatne ravni: x = 0, y = 0, z = 0.

Prava linija u prostoru se može odrediti:

1) kao linija preseka dve ravni, tj. sistem jednačina:

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0, A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0; (3.2)

2) sa svoje dvije tačke M 1 (x 1, y 1, z 1) i M 2 (x 2, y 2, z 2), tada je prava linija koja prolazi kroz njih data jednadžbama:

= ; (3.3)

3) tačka M 1 (x 1, y 1, z 1) koja joj pripada i vektor a(m, n, p), kolinearno tome. Tada je prava linija određena jednadžbama:

. (3.4)

Jednačine (3.4) se nazivaju kanonske jednadžbe prave.

Vector a pozvao vektor pravca pravca.

Parametarske dobijamo izjednačavanjem svake od relacija (3.4) sa parametrom t:

x = x 1 +mt, y = y 1 + nt, z = z 1 + rt. (3.5)

Rješavanje sistema (3.2) kao sistema linearne jednačine relativno nepoznato x I y, dolazimo do jednačina prave u projekcije ili da date jednačine prave:

x = mz + a, y = nz + b. (3.6)

Od jednačina (3.6) možemo prijeći na kanonske jednačine, nalaz z iz svake jednadžbe i izjednačavanje rezultirajućih vrijednosti:

.

Iz općih jednačina (3.2) možemo prijeći na kanonske i na drugi način, ako pronađemo bilo koju tačku ove prave i njene usmjerivačke n= [n 1 , n 2 ], gdje n 1 (A 1, B 1, C 1) i n 2 (A 2 , B 2 , C 2 ) - normalni vektori datih ravni. Ako je jedan od nazivnika m, n ili R u jednadžbi (3.4) ispada da je jednaka nuli, tada brojnik odgovarajućeg razlomka mora biti jednak nuli, tj. sistem

je ekvivalentan sistemu ; takva ravna linija je okomita na Ox osu.

Sistem je ekvivalentno sistemu x = x 1, y = y 1; prava linija je paralelna sa Oz osom.

Primjer 1.15. Napišite jednačinu za ravan, znajući da tačka A(1,-1,3) služi kao osnova okomice povučene iz ishodišta u ovu ravan.

Rješenje. Prema uslovima problema, vektor OA(1,-1,3) je normalni vektor ravni, onda se njegova jednadžba može zapisati kao
x-y+3z+D=0. Zamjenom koordinata tačke A(1,-1,3), koji pripada avionu, nađimo D: 1-(-1)+3×3+D = 0, D = -11. Dakle, x-y+3z-11=0.

Primjer 1.16. Napišite jednačinu za ravan koja prolazi kroz osu Oz i formira ugao od 60° sa ravninom 2x+y-z-7=0.

Rješenje. Ravan koja prolazi kroz osu Oz data je jednačinom Ax+By=0, pri čemu A i B ne nestaju istovremeno. Neka B ne
jednako 0, A/Bx+y=0. Koristeći kosinusnu formulu za ugao između dvije ravnine

.

Odlučivanje kvadratna jednačina 3m 2 + 8m - 3 = 0, pronađite njegove korijene
m 1 = 1/3, m 2 = -3, odakle dobijamo dvije ravni 1/3x+y = 0 i -3x+y = 0.

Primjer 1.17. Sastavite kanonske jednadžbe prave:
5x + y + z = 0, 2x + 3y - 2z + 5 = 0.

Rješenje. Kanonske jednadžbe prave imaju oblik:

Gdje m, n, str- koordinate vektora usmjeravanja prave, x 1 , y 1 , z 1- koordinate bilo koje tačke koja pripada pravoj. Prava linija se definiše kao linija preseka dve ravni. Da bi se pronašla tačka koja pripada pravoj, jedna od koordinata je fiksirana (najlakši način je postaviti, na primer, x=0) i rezultujući sistem se rešava kao sistem linearnih jednačina sa dve nepoznate. Dakle, neka je x=0, tada je y + z = 0, 3y - 2z+ 5 = 0, dakle y=-1, z=1. Pronašli smo koordinate tačke M(x 1, y 1, z 1) koja pripada ovoj pravoj: M (0,-1,1). Vektor pravca prave je lako pronaći, znajući vektore normale originalnih ravnina n 1 (5,1,1) i n 2 (2,3,-2). Onda

Kanonske jednadžbe prave imaju oblik: x/(-5) = (y + 1)/12 =
= (z - 1)/13.

Primjer 1.18. U gredi definisanoj ravnima 2x-y+5z-3=0 i x+y+2z+1=0 pronaći dvije okomite ravni, od kojih jedna prolazi kroz tačku M(1,0,1).

Rješenje. Jednačina grede definisane ovim ravnima ima oblik u(2x-y+5z-3) + v(x+y+2z+1)=0, pri čemu u i v ne nestaju istovremeno. Prepišimo jednačinu grede na sljedeći način:

(2u +v)x + (- u + v)y + (5u +2v)z - 3u + v = 0.

Da bismo odabrali ravan iz grede koja prolazi kroz tačku M, u jednačinu grede zamjenjujemo koordinate tačke M. Dobijamo:

(2u+v)×1 + (-u + v) ×0 + (5u + 2v)×1 -3u + v =0, ili v = - u.

Tada nalazimo jednadžbu ravnine koja sadrži M zamjenom v = - u u jednadžbu grede:

u(2x-y +5z - 3) - u (x + y +2z +1) = 0.

Jer u ¹0 (inače v=0, a to je u suprotnosti sa definicijom grede), onda imamo jednačinu ravni x-2y+3z-4=0. Druga ravnina koja pripada gredi mora biti okomita na nju. Zapišimo uslov za ortogonalnost ravni:

(2u+ v) ×1 + (v - u) ×(-2) + (5u +2v)×3 = 0, ili v = - 19/5u.

To znači da jednačina druge ravni ima oblik:

u(2x -y+5z - 3) - 19/5 u(x + y +2z +1) = 0 ili 9x +24y + 13z + 34 = 0.

Kanonske jednadžbe prave u prostoru su jednačine koje određuju pravac koji prolazi dati poen kolinearno vektoru pravca.

Neka su data tačka i vektor pravca. Proizvoljna tačka leži na pravoj l samo ako su vektori i kolinearni, tj. za njih je ispunjen uslov:

.

Gore navedene jednačine su kanonske jednačine prave.

Brojevi m , n I str su projekcije vektora smjera na koordinatne ose. Pošto vektor nije nula, onda su svi brojevi m , n I str ne može istovremeno biti jednako nuli. Ali jedan ili dva od njih mogu se pokazati kao nula. U analitičkoj geometriji, na primjer, dozvoljen je sljedeći unos:

,

što znači da su projekcije vektora na os Oy I Oz jednake su nuli. Stoga su i vektor i prava linija definirani kanonskim jednadžbama okomiti na osi Oy I Oz, odnosno avioni yOz .

Primjer 1. Napišite jednadžbe za pravu u prostoru okomitu na ravan i prolazi kroz tačku preseka ove ravni sa osom Oz .

Rješenje. Nađimo tačku preseka ove ravni sa osom Oz. Od bilo koje tačke koja leži na osi Oz, ima koordinate , dakle, pod pretpostavkom da zadata jednačina avion x = y = 0, dobijamo 4 z- 8 = 0 ili z= 2 . Dakle, tačka preseka ove ravni sa osom Oz ima koordinate (0; 0; 2) . Pošto je željena prava okomita na ravan, ona je paralelna sa svojim vektorom normale. Stoga, usmjeravajući vektor prave linije može biti vektor normale dati avion.

Zapišimo sada tražene jednačine prave linije koja prolazi kroz tačku A= (0; 0; 2) u smjeru vektora:

Jednačine prave koja prolazi kroz dvije date tačke

Prava linija se može definisati sa dve tačke koje leže na njoj I U ovom slučaju, usmjeravajući vektor prave linije može biti vektor . Tada kanonske jednadžbe prave dobijaju oblik

.

Gornje jednačine određuju pravu koja prolazi kroz dvije date tačke.

Primjer 2. Napišite jednadžbu za liniju u prostoru koja prolazi kroz točke i .

Rješenje. Zapišimo tražene jednačine prave u gore datom obliku u teorijskoj referenci:

.

Budući da je , tada je željena ravna linija okomita na os Oy .

Prava kao linija preseka ravnina

Prava linija u prostoru se može definisati kao linija preseka dve neparalelne ravni, odnosno kao skup tačaka koje zadovoljavaju sistem dve linearne jednačine

Jednačine sistema se nazivaju i opšte jednačine prave u prostoru.

Primjer 3. Sastaviti kanonske jednadžbe prave u prostoru date općim jednačinama

Rješenje. Da biste napisali kanonske jednadžbe prave ili, što je isto, jednačine prave koja prolazi kroz dvije date tačke, morate pronaći koordinate bilo koje dvije tačke na pravoj. One mogu biti tačke preseka prave linije sa bilo koje dve koordinatne ravni, na primer yOz I xOz .

Tačka preseka prave i ravni yOz ima apscisu x= 0 . Stoga, pretpostavljajući u ovom sistemu jednačina x= 0, dobijamo sistem sa dve varijable:

Njena odluka y = 2 , z= 6 zajedno sa x= 0 definira tačku A(0; 2; 6) željeni red. Zatim uz pretpostavku u datom sistemu jednačina y= 0, dobijamo sistem

Njena odluka x = -2 , z= 0 zajedno sa y= 0 definira tačku B(-2; 0; 0) presek prave sa ravninom xOz .

Zapišimo sada jednačine prave koja prolazi kroz tačke A(0; 2; 6) i B (-2; 0; 0) :

,

ili nakon dijeljenja nazivnika sa -2:

,


Sve jednačine ravnine koje se razmatraju u sljedećim paragrafima mogu se dobiti iz opšta jednačina ravni, a takođe se svode na opštu jednačinu ravni. Dakle, kada govore o jednačini ravni, misle na opštu jednačinu ravni, osim ako nije drugačije navedeno.

Jednačina ravnine u segmentima.

Pogledajte jednadžbu ravnine , gdje su a, b i c različiti od nule realni brojevi, zvao jednačina ravnine u segmentima.

Ovo ime nije slučajno. Apsolutne vrijednosti brojevi a, b i c jednaki su dužinama segmenata koje ravan seče na koordinatnim osa Ox, Oy i Oz, respektivno, računajući od početka. Predznak brojeva a, b i c označava u kom smjeru (pozitivnom ili negativnom) segmenti trebaju biti ucrtani na koordinatne ose.

Na primjer, konstruirajmo ravan u pravokutnom koordinatnom sistemu Oxyz, definiranom jednadžbom ravnine u segmentima . Da biste to učinili, označite tačku koja je 5 jedinica udaljena od ishodišta u negativnom smjeru ose apscise, 4 jedinice u negativnom smjeru ose ordinate i 4 jedinice u pozitivnom smjeru aplikativne ose. Ostaje samo povezati ove tačke pravim linijama. Ravan rezultirajućeg trokuta je ravan koja odgovara jednačini ravnine u segmentima oblika .

Da dobijete više potpune informacije pogledajte članak jednadžba ravnine u segmentima, prikazuje redukciju jednačine ravnine u segmentima na opštu jednačinu ravni, tamo ćete također pronaći detaljna rješenja tipični primjeri i zadaci.

Jednačina normalne ravni.

Zove se opšta ravan jednadžba oblika normalna jednačina avion, Ako jednako jedan, tj. , I .

Često možete vidjeti da je normalna jednačina ravni napisana kao . Ovdje su kosinusi smjera normalnog vektora date ravni jedinične dužine, to jest, a p je nenegativan broj, jednaka udaljenosti od početka do ravni.

Normalna jednadžba ravnine u pravokutnom koordinatnom sistemu Oxyz definira ravan koja je udaljena od početka za udaljenost p u pozitivnom smjeru vektora normale ove ravni . Ako je p=0, tada ravan prolazi kroz početak.

Dajemo primjer jednačine normalne ravni.

Neka je ravan određena u pravougaonom koordinatnom sistemu Oxyz opštom jednačinom ravni forme . Ova opšta jednačina ravnine je normalna jednačina ravnine. Zaista, vektor normale ove ravni je ima dužinu jednaku jedinici, pošto .

Jednadžba ravni u normalnom obliku omogućava vam da pronađete udaljenost od tačke do ravni.

Preporučujemo da detaljnije shvatite ovu vrstu jednadžbe ravnine, pogledate detaljna rješenja tipičnih primjera i problema i naučite kako da svedete opću jednadžbu ravnine na normalan oblik. To možete učiniti pozivanjem na članak.

Bibliografija.

  • Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Kiseleva L.S., Poznyak E.G. Geometrija. Udžbenik za 10-11 razred srednje škole.
  • Bugrov Ya.S., Nikolsky S.M. Viša matematika. Prvi tom: Elementi linearna algebra i analitičku geometriju.
  • Ilyin V.A., Poznyak E.G. Analitička geometrija.

Da bismo dobili opštu jednačinu ravni, analizirajmo ravan koja prolazi kroz datu tačku.

Neka postoje tri koordinatne ose koje su nam već poznate u svemiru - Ox, Oy I Oz. Držite list papira tako da ostane ravan. Ravan će biti sam list i njegov nastavak u svim smjerovima.

Neka P proizvoljna ravan u prostoru. Svaki vektor okomit na njega se zove normalni vektor na ovaj avion. Naravno, govorimo o vektoru koji nije nula.

Ako je poznata neka tačka na ravni P i neki normalni vektor na njega, onda je po ova dva uslova ravan u prostoru potpuno definisana(kroz datu tačku možete nacrtati jednu ravan okomitu na dati vektor). Opća jednačina ravnine će biti:

Dakle, uslovi koji definišu jednačinu ravni su. Da dobiješ sebe ravan jednadžba, koji ima gornji oblik, uzeti u avion P proizvoljno tačka M sa promenljivim koordinatama x, y, z. Ova tačka pripada ravni samo ako vektor okomito na vektor(Sl. 1). Za to je, prema uslovu okomitosti vektora, potrebno i dovoljno da skalarni proizvod ovih vektora bude jednak nuli, tj.

Vektor je određen uslovom. Koordinate vektora pronalazimo pomoću formule :

.

Sada, koristeći formulu skalarnog proizvoda vektora , izražavamo skalarni proizvod u koordinatnom obliku:

Od tačke M(x; y; z) je proizvoljno odabran na ravni, tada je posljednja jednačina zadovoljena koordinatama bilo koje tačke koja leži na ravni P. Za bod N, ne leži na datoj ravni, tj. jednakost (1) je narušena.

Primjer 1. Napišite jednačinu za ravan koja prolazi kroz tačku i okomita na vektor.

Rješenje. Koristimo formulu (1) i pogledajmo je ponovo:

U ovoj formuli brojevi A , B I C vektorske koordinate i brojeve x0 , y0 I z0 - koordinate tačke.

Izračuni su vrlo jednostavni: ove brojeve zamjenjujemo u formulu i dobivamo

Množimo sve što treba pomnožiti i dodajemo samo brojeve (koji nemaju slova). rezultat:

.

Pokazalo se da je tražena jednačina ravnine u ovom primjeru izražena opštom jednačinom prvog stepena u odnosu na promjenjive koordinate x, y, z proizvoljna tačka ravni.

Dakle, jednačina oblika

pozvao opšta jednačina u ravni .

Primjer 2. Konstruisati u pravougaonom kartezijanskom koordinatnom sistemu ravan datu jednačinom .

Rješenje. Za konstruisanje ravni potrebno je i dovoljno poznavati bilo koje tri njene tačke koje ne leže na istoj pravoj liniji, na primer, tačke preseka ravnine sa koordinatnim osa.

Kako pronaći ove tačke? Da se pronađe tačka preseka sa osom Oz, trebate zamijeniti nule za X i Y u jednadžbi datoj u izjavi problema: x = y= 0 . Stoga dobijamo z= 6. dakle, dati avion prelazi osu Oz u tački A(0; 0; 6) .

Na isti način nalazimo tačku presjeka ravnine sa osom Oy. At x = z= 0 dobijamo y= −3, odnosno tačka B(0; −3; 0) .

I konačno, nalazimo tačku preseka naše ravni sa osom Ox. At y = z= 0 dobijamo x= 2, odnosno tačka C(2; 0; 0) . Na osnovu tri boda dobijene u našem rješenju A(0; 0; 6) , B(0; −3; 0) i C(2; 0; 0) konstruisati datu ravan.

Hajde sada da razmotrimo specijalni slučajevi opšte ravnine jednačine. To su slučajevi kada određeni koeficijenti jednačine (2) postaju nula.

1. Kada D= 0 jednačina definira ravan koja prolazi kroz ishodište, budući da su koordinate tačke 0 (0; 0; 0) zadovoljavaju ovu jednačinu.

2. Kada A= 0 jednačina definira ravan paralelnu osi Ox, budući da je vektor normale ove ravni okomit na osu Ox(njegova projekcija na osu Ox jednak nuli). Slično, kada B= 0 avion paralelno sa osom Oy, i kada C= 0 avion paralelno sa osom Oz.

3. Kada A=D= 0 jednačina definira ravan koja prolazi kroz osu Ox, budući da je paralelan sa osom Ox (A=D= 0). Slično, ravnina prolazi kroz osu Oy, i ravan kroz osu Oz.

4. Kada A=B= 0 jednačina definira ravan paralelnu koordinatnoj ravni xOy, budući da je paralelan sa osama Ox (A= 0) i Oy (B= 0). Slično, ravan je paralelna sa ravninom yOz, a avion je avion xOz.

5. Kada A=B=D= 0 jednačina (ili z = 0) definira koordinatnu ravan xOy, pošto je paralelna sa ravninom xOy (A=B= 0) i prolazi kroz ishodište ( D= 0). Isto tako, jednad. y = 0 u prostoru definira koordinatnu ravan xOz, i jednadžba x = 0 - koordinatna ravan yOz.

Primjer 3. Napravite jednačinu ravnine P, prolazeći kroz osu Oy i tačka.

Rješenje. Dakle, ravan prolazi kroz osu Oy. Dakle, u njenoj jednačini y= 0 i ova jednadžba ima oblik . Za određivanje koeficijenata A I C iskoristimo činjenicu da tačka pripada ravni P .

Stoga, među njegovim koordinatama postoje one koje se mogu zamijeniti u jednadžbu ravnine koju smo već izveli (). Pogledajmo još jednom koordinate tačke:

M0 (2; −4; 3) .

Među njima x = 2 , z= 3 . Zamjenjujemo ih u opću jednačinu i dobivamo jednačinu za naš konkretni slučaj:

2A + 3C = 0 .

Ostavi 2 A na lijevoj strani jednačine, potez 3 C na desnu stranu i dobijamo

A = −1,5C .

Zamjena pronađene vrijednosti A u jednačinu, dobijamo

ili .

Ovo je jednadžba potrebna u primjeru stanja.

Sami riješite problem jednačine ravnine, a zatim pogledajte rješenje

Primjer 4. Definirajte ravan (ili ravni, ako ih je više od jedne) u odnosu na koordinatne ose ili koordinatne ravni ako su ravnine date jednadžbom.

Rješenja tipičnih problema koji se javljaju u testovi- u priručniku "Problemi sa ravnima: paralelizam, okomitost, presek tri ravni u jednoj tački".

Jednačina ravni koja prolazi kroz tri tačke

Kao što je već pomenuto, neophodan i dovoljan uslov za konstruisanje ravni, pored jedne tačke i vektora normale, su i tri tačke koje ne leže na istoj pravoj.

Neka tri različite točke , I , Ne leži na istoj liniji, biti zadan. Budući da navedene tri točke ne leže na istoj liniji, vektori nisu kolinearni, pa stoga bilo koja točka u ravnini leži u istoj ravni s točkama, i ako i samo ako su vektori , i komplanarno, tj. tada i samo kada mješoviti proizvod ovih vektora jednako nuli.

Koristeći izraz mješoviti proizvod u koordinatama, dobijamo jednačinu ravni

(3)

Nakon otkrivanja determinante, ova jednačina postaje jednačina oblika (2), tj. opšta jednačina ravni.

Primjer 5. Napišite jednačinu za ravan koja prolazi kroz tri date tačke koje ne leže na istoj pravoj:

i odrediti poseban slučaj opšta jednačina prave, ako postoji.

Rješenje. Prema formuli (3) imamo:

Jednačina normalne ravni. Udaljenost od tačke do ravni

Normalna jednačina ravni je njena jednačina, zapisana u obliku