Funkcije složenog tipa ne odgovaraju uvijek definiciji složene funkcije. Ako postoji funkcija oblika y = sin x - (2 - 3) · a r c t g x x 5 7 x 10 - 17 x 3 + x - 11, onda se ona ne može smatrati složenom, za razliku od y = sin 2 x.

Ovaj članak će pokazati koncept kompleksne funkcije i njenu identifikaciju. Poradimo s formulama za pronalaženje izvoda s primjerima rješenja u zaključku. Upotreba tablice izvoda i pravila diferencijacije značajno skraćuje vrijeme za pronalaženje izvoda.

Osnovne definicije

Definicija 1

Kompleksna funkcija je ona čiji je argument također funkcija.

Označava se ovako: f (g (x)). Imamo da se funkcija g (x) smatra argumentom f (g (x)).

Definicija 2

Ako postoji funkcija f i ona je kotangensna funkcija, onda je g(x) = ln x funkcija prirodnog logaritma. Nalazimo da će kompleksna funkcija f (g (x)) biti zapisana kao arctg(lnx). Ili funkciju f, koja je funkcija podignuta na 4. stepen, gdje se g (x) = x 2 + 2 x - 3 smatra cijelom racionalnom funkcijom, dobijamo da je f (g (x)) = (x 2 + 2 x - 3) 4 .

Očigledno je da g(x) može biti kompleksan. Iz primjera y = sin 2 x + 1 x 3 - 5 jasno je da vrijednost g ima kubni korijen razlomka. Ovaj izraz se može označiti kao y = f (f 1 (f 2 (x))). Odakle imamo da je f sinusna funkcija, a f 1 je funkcija koja se nalazi ispod kvadratnog korijena, f 2 (x) = 2 x + 1 x 3 - 5 je frakciona racionalna funkcija.

Definicija 3

Stepen ugniježđenja je određen bilo kojim prirodnim brojem i zapisuje se kao y = f (f 1 (f 2 (f 3 (. . . (f n (x)))))) .

Definicija 4

Koncept kompozicije funkcije odnosi se na broj ugniježđenih funkcija prema uvjetima problema. Za rješavanje koristite formulu za pronalaženje izvoda složene funkcije oblika

(f (g (x))) " = f " (g (x)) g " (x)

Primjeri

Primjer 1

Naći izvod kompleksne funkcije oblika y = (2 x + 1) 2.

Rješenje

Uslov pokazuje da je f funkcija kvadriranja, a g(x) = 2 x + 1 se smatra linearnom funkcijom.

Primijenimo formulu derivacije za složenu funkciju i napišimo:

f " (g (x)) = ((g (x)) 2) " = 2 (g (x)) 2 - 1 = 2 g (x) = 2 (2 x + 1) ; g " (x) = (2 x + 1) " = (2 x) " + 1 " = 2 x " + 0 = 2 1 x 1 - 1 = 2 ⇒ (f (g (x))) " = f " (g (x)) g " (x) = 2 (2 x + 1) 2 = 8 x + 4

Potrebno je pronaći izvod sa pojednostavljenim izvornim oblikom funkcije. Dobijamo:

y = (2 x + 1) 2 = 4 x 2 + 4 x + 1

Odavde imamo to

y " = (4 x 2 + 4 x + 1) " = (4 x 2) " + (4 x) " + 1 " = 4 (x 2) " + 4 (x) " + 0 = = 4 · 2 · x 2 - 1 + 4 · 1 · x 1 - 1 = 8 x + 4

Rezultati su bili isti.

Prilikom rješavanja problema ovog tipa važno je razumjeti gdje će se nalaziti funkcija oblika f i g (x).

Primjer 2

Trebali biste pronaći izvode kompleksnih funkcija oblika y = sin 2 x i y = sin x 2.

Rješenje

Prva notacija funkcije kaže da je f funkcija kvadriranja, a g(x) sinusna funkcija. Onda to shvatamo

y " = (sin 2 x) " = 2 sin 2 - 1 x (sin x) " = 2 sin x cos x

Drugi unos pokazuje da je f sinusna funkcija, a g(x) = x 2 označava funkciju stepena. Iz toga slijedi da proizvod kompleksne funkcije pišemo kao

y " = (sin x 2) " = cos (x 2) (x 2) " = cos (x 2) 2 x 2 - 1 = 2 x cos (x 2)

Formula za izvod y = f (f 1 (f 2 (f 3 (. . (f n (x))))) biće napisana kao y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 (. . . ( f n (x))))) · f 1 " (f 2 (f 3 (. . (f n (x)))) · · f 2 " (f 3 (. . . (f n (x) )) )) · . . . fn "(x)

Primjer 3

Naći derivaciju funkcije y = sin (ln 3 a r c t g (2 x)).

Rješenje

Ovaj primjer pokazuje poteškoću pisanja i određivanja lokacije funkcija. Tada y = f (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) označava gdje je f , f 1 , f 2 , f 3 , f 4 (x) sinusna funkcija, funkcija podizanja do 3 stepena, funkcija sa logaritmom i bazom e, arktangens i linearna funkcija.

Iz formule za definiranje kompleksne funkcije imamo to

y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2 " (f 3 (f 4 (x)) f 3 " (f 4 (x)) f 4 " (x)

Dobijamo ono što treba da nađemo

f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) kao derivacija sinusa prema tabeli derivacija, onda f" (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 ( x)))) ) = cos (ln 3 a r c t g (2 x)) .
f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) kao izvod funkcije stepena, onda f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) = 3 ln 3 - 1 a r c t g (2 x) = 3 ln 2 a r c t g (2 x) .
f 2 " (f 3 (f 4 (x))) kao logaritamski izvod, onda f 2 " (f 3 (f 4 (x))) = 1 a r c t g (2 x) .
f 3 " (f 4 (x)) kao izvod arktangensa, tada je f 3 " (f 4 (x)) = 1 1 + (2 x) 2 = 1 1 + 4 x 2.
Kada nađete izvod f 4 (x) = 2 x, uklonite 2 iz predznaka derivacije koristeći formulu za izvod funkcije stepena s eksponentom jednakim 1, tada je f 4 " (x) = (2 x) " = 2 x " = 2 · 1 · x 1 - 1 = 2 .

Kombinujemo srednje rezultate i dobijamo to

y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2 " (f 3 (f 4 (x)) f 3 " (f 4 (x)) f 4 " (x) = = cos (ln 3 a r c t g (2 x)) 3 ln 2 a r c t g (2 x) 1 a r c t g (2 x) 1 1 + 4 x 2 2 = = 6 cos (ln 3 a r c t g (2 x)) ln 2 a r c t g (2 x) a r c t g (2 x) (1 + 4 x 2)

Analiza takvih funkcija podsjeća na lutke gnjezdarice. Pravila diferencijacije se ne mogu uvijek eksplicitno primijeniti korištenjem derivacijske tablice. Često morate koristiti formulu za pronalaženje derivata složenih funkcija.

Postoje neke razlike između složenog izgleda i složenih funkcija. Uz jasnu sposobnost razlikovanja, pronalaženje derivata će biti posebno lako.

Primjer 4

Potrebno je razmotriti davanje takvog primjera. Ako postoji funkcija oblika y = t g 2 x + 3 t g x + 1, onda se može smatrati kompleksnom funkcijom oblika g (x) = t g x, f (g) = g 2 + 3 g + 1 . Očigledno, potrebno je koristiti formulu za složeni derivat:

f " (g (x)) = (g 2 (x) + 3 g (x) + 1) " = (g 2 (x)) " + (3 g (x)) " + 1 " = = 2 · g 2 - 1 (x) + 3 g " (x) + 0 = 2 g (x) + 3 1 g 1 - 1 (x) = = 2 g (x) + 3 = 2 t g x + 3 ; g " (x) = (t g x) " = 1 cos 2 x ⇒ y " = (f (g (x))) " = f " (g (x)) g " (x) = (2 t g x + 3 ) · 1 cos 2 x = 2 t g x + 3 cos 2 x

Funkcija oblika y = t g x 2 + 3 t g x + 1 ne smatra se složenom, jer ima zbir t g x 2, 3 t g x i 1. Međutim, t g x 2 se smatra kompleksnom funkcijom, tada dobijamo funkciju stepena oblika g (x) = x 2 i f, koja je tangentna funkcija. Da biste to učinili, diferencirajte po količini. Shvatili smo to

y " = (t g x 2 + 3 t g x + 1) " = (t g x 2) " + (3 t g x) " + 1 " = = (t g x 2) " + 3 (t g x) " + 0 = (t g x 2) " + 3 cos 2 x

Idemo dalje na pronalaženje izvoda kompleksne funkcije (t g x 2) ":

f " (g (x)) = (t g (g (x))) " = 1 cos 2 g (x) = 1 cos 2 (x 2) g " (x) = (x 2) " = 2 x 2 - 1 = 2 x ⇒ (t g x 2) " = f " (g (x)) g " (x) = 2 x cos 2 (x 2)

Dobijamo da je y " = (t g x 2 + 3 t g x + 1) " = (t g x 2) " + 3 cos 2 x = 2 x cos 2 (x 2) + 3 cos 2 x

Funkcije složenog tipa mogu biti uključene u složene funkcije, a same složene funkcije mogu biti komponente funkcija složenog tipa.

Primjer 5

Na primjer, razmotrite kompleksnu funkciju oblika y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1)

Ova funkcija se može predstaviti kao y = f (g (x)), gdje je vrijednost f funkcija logaritma baze 3, a g (x) se smatra zbirom dvije funkcije oblika h (x) = x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 i k (x) = ln 2 x · (x 2 + 1) . Očigledno, y = f (h (x) + k (x)).

Razmotrimo funkciju h(x). Ovo je omjer l (x) = x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 prema m (x) = e x 2 + 3 3

Imamo da je l (x) = x 2 + 3 cos 2 (2 x + 1) + 7 = n (x) + p (x) zbir dviju funkcija n (x) = x 2 + 7 i p ( x) = 3 cos 3 (2 x + 1) , gdje je p (x) = 3 p 1 (p 2 (p 3 (x))) je kompleksna funkcija s numeričkim koeficijentom 3, a p 1 je funkcija kocke, p 2 kosinusnom funkcijom, p 3 (x) = 2 x + 1 linearnom funkcijom.

Otkrili smo da je m (x) = e x 2 + 3 3 = q (x) + r (x) zbir dvije funkcije q (x) = e x 2 i r (x) = 3 3, gdje je q (x) = q 1 (q 2 (x)) je kompleksna funkcija, q 1 je funkcija s eksponencijalom, q 2 (x) = x 2 je funkcija stepena.

Ovo pokazuje da je h (x) = l (x) m (x) = n (x) + p (x) q (x) + r (x) = n (x) + 3 p 1 (p 2 ( p 3 (x))) q 1 (q 2 (x)) + r (x)

Kada se pređe na izraz oblika k (x) = ln 2 x · (x 2 + 1) = s (x) · t (x), jasno je da je funkcija predstavljena u obliku kompleksa s ( x) = ln 2 x = s 1 ( s 2 (x)) sa racionalnim cijelim brojem t (x) = x 2 + 1, gdje je s 1 funkcija kvadriranja, a s 2 (x) = ln x je logaritamska sa baza e.

Iz toga slijedi da će izraz dobiti oblik k (x) = s (x) · t (x) = s 1 (s 2 (x)) · t (x).

Onda to shvatamo

y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1) = = f n (x) + 3 p 1 (p 2 (p 3 ( x))) q 1 (q 2 (x)) = r (x) + s 1 (s 2 (x)) t (x)

Na osnovu strukture funkcije postalo je jasno kako i koje formule treba koristiti za pojednostavljenje izraza prilikom njegovog razlikovanja. Da bismo se upoznali sa ovakvim problemima i za koncepciju njihovog rješenja, potrebno je prijeći na točku diferenciranja funkcije, odnosno pronalaženja njenog izvoda.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

I teorema o derivaciji kompleksne funkcije, čija je formulacija sljedeća:

Neka 1) funkcija $u=\varphi (x)$ ima u nekom trenutku $x_0$ izvod $u_(x)"=\varphi"(x_0)$, 2) funkciju $y=f(u)$ imati u odgovarajućoj tački $u_0=\varphi (x_0)$ izvod $y_(u)"=f"(u)$. Tada će kompleksna funkcija $y=f\left(\varphi (x) \right)$ u spomenutoj tački također imati izvod jednak proizvodu izvoda funkcija $f(u)$ i $\varphi ( x)$:

$$ \left(f(\varphi (x))\right)"=f_(u)"\left(\varphi (x_0) \right)\cdot \varphi"(x_0) $$

ili, kraće rečeno: $y_(x)"=y_(u)"\cdot u_(x)"$.

U primjerima u ovom dijelu, sve funkcije imaju oblik $y=f(x)$ (tj. razmatramo samo funkcije jedne varijable $x$). Shodno tome, u svim primjerima derivacija $y"$ se uzima u odnosu na varijablu $x$. Da bi se naglasilo da se izvod uzima u odnosu na varijablu $x$, često se umjesto $y piše $y"_x$ "$.

Primjeri br. 1, br. 2 i br. 3 prikazuju detaljan proces za pronalaženje izvoda složenih funkcija. Primjer br. 4 namijenjen je potpunijem razumijevanju tabele izvedenica i ima smisla upoznati se s njom.

Preporučljivo je, nakon proučavanja materijala u primjerima br. 1-3, prijeći na samostalno rješavanje primjera br. 5, br. 6 i br. Primjeri #5, #6 i #7 sadrže kratko rješenje tako da čitatelj može provjeriti ispravnost svog rezultata.

Primjer br. 1

Pronađite izvod funkcije $y=e^(\cos x)$.

Moramo pronaći izvod kompleksne funkcije $y"$. Pošto je $y=e^(\cos x)$, onda je $y"=\left(e^(\cos x)\right)"$. nađemo izvod $ \left(e^(\cos x)\right)"$ koristimo formulu br. 6 iz tabele izvoda. Da bismo koristili formulu br. 6, moramo uzeti u obzir da je u našem slučaju $u=\cos x$. Dalje rješenje se sastoji u jednostavnoj zamjeni izraza $\cos x$ umjesto $u$ u formulu br. 6:

$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)" \tag (1.1)$$

Sada treba da nađemo vrednost izraza $(\cos x)"$. Ponovo se okrećemo tabeli derivacija, birajući iz nje formulu br. 10. Zamenivši $u=x$ u formulu br. 10, imamo : $(\cos x)"=-\ sin x\cdot x"$. Sada nastavimo jednakost (1.1), dopunivši je pronađenim rezultatom:

$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)"= e^(\cos x)\cdot (-\sin x \cdot x") \tag (1.2) $$

Pošto je $x"=1$, nastavljamo jednakost (1.2):

$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)"= e^(\cos x)\cdot (-\sin x \cdot x")=e^(\cos x)\cdot (-\sin x\cdot 1)=-\sin x\cdot e^(\cos x) \tag (1.3) $$

Dakle, iz jednakosti (1.3) imamo: $y"=-\sin x\cdot e^(\cos x)$. Naravno, objašnjenja i međujednakosti se obično preskaču, zapisujući nalaz izvoda u jednom redu, kao u jednakosti (1.3) Dakle, derivacija kompleksne funkcije je pronađena, preostaje samo da zapišemo odgovor.

Odgovori: $y"=-\sin x\cdot e^(\cos x)$.

Primjer br. 2

Pronađite izvod funkcije $y=9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x)$.

Moramo izračunati izvod $y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"$. Za početak, napominjemo da se konstanta (tj. broj 9) može izvaditi iz predznaka derivacije:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \desno)" \tag (2.1) $$

Sada se okrenemo izrazu $\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"$. Da bismo lakše odabrali željenu formulu iz tabele izvoda, predstaviću izraz u pitanju u ovom obliku: $\left( \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(12)\right)"$. Sada je jasno da je potrebno koristiti formulu br. 2, tj. $\left(u^\alpha \right)"=\alpha\cdot u^(\alpha-1)\cdot u"$. Zamijenimo $u=\arctg(4\cdot \ln x)$ i $\alpha=12$ u ovu formulu:

Dopunjujući jednakost (2.1) dobijenim rezultatom, imamo:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"= 108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))" \tag (2.2) $$

U ovoj situaciji često se pravi greška kada rešavač u prvom koraku odabere formulu $(\arctg \; u)"=\frac(1)(1+u^2)\cdot u"$ umesto formule $\left(u^\ alpha \right)"=\alpha\cdot u^(\alpha-1)\cdot u"$. Poenta je da derivat eksterne funkcije mora biti prvi. Da biste razumjeli koja će funkcija biti vanjska u odnosu na izraz $\arctg^(12)(4\cdot 5^x)$, zamislite da izračunavate vrijednost izraza $\arctg^(12)(4\cdot 5^) x)$ po nekoj vrijednosti $x$. Prvo ćete izračunati vrijednost $5^x$, a zatim pomnožiti rezultat sa 4 i dobiti $4\cdot 5^x$. Sada uzimamo arktangens iz ovog rezultata, dobijajući $\arctg(4\cdot 5^x)$. Zatim podižemo rezultirajući broj na dvanaesti stepen, dobijajući $\arctg^(12)(4\cdot 5^x)$. Posljednja radnja, tj. povećanje na stepen 12 će biti eksterna funkcija. I upravo od toga moramo početi da tražimo derivaciju, što je učinjeno u jednakosti (2.2).

Sada treba da pronađemo $(\arctg(4\cdot \ln x))"$. Koristimo formulu br. 19 tabele derivata, zamenjujući u nju $u=4\cdot \ln x$:

$$ (\arctg(4\cdot \ln x))"=\frac(1)(1+(4\cdot \ln x)^2)\cdot (4\cdot \ln x)" $$

Hajde da malo pojednostavimo rezultirajući izraz, uzimajući u obzir $(4\cdot \ln x)^2=4^2\cdot (\ln x)^2=16\cdot \ln^2 x$.

$$ (\arctg(4\cdot \ln x))"=\frac(1)(1+(4\cdot \ln x)^2)\cdot (4\cdot \ln x)"=\frac( 1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" $$

Jednakost (2.2) će sada postati:

Ostaje da pronađemo $(4\cdot \ln x)"$. Uzmimo konstantu (tj. 4) iz predznaka derivacije: $(4\cdot \ln x)"=4\cdot (\ln x)" $. Za da bismo pronašli $(\ln x)"$ koristimo formulu br. 8, zamjenjujući $u=x$ u nju: $(\ln x)"=\frac(1)(x)\cdot x "$. Pošto je $x"=1$, onda je $(\ln x)"=\frac(1)(x)\cdot x"=\frac(1)(x)\cdot 1=\frac(1)(x ) $ Zamjenom dobijenog rezultata u formulu (2.3) dobijamo:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=\\ =108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))"=108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" =\\ =108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot 4\ cdot \frac(1)(x)=432\cdot \frac(\arctg^(11)(4\cdot \ln x))(x\cdot (1+16\cdot \ln^2 x)).$ $

Da vas podsjetim da se izvod kompleksne funkcije najčešće nalazi u jednom redu, kao što je napisano u posljednjoj jednakosti. Stoga, prilikom izrade standardnih proračuna ili kontrolnih radova, uopće nije potrebno tako detaljno opisivati rješenje.

Odgovori: $y"=432\cdot \frac(\arctg^(11)(4\cdot \ln x))(x\cdot (1+16\cdot \ln^2 x))$.

Primjer br. 3

Pronađite $y"$ funkcije $y=\sqrt(\sin^3(5\cdot9^x))$.

Prvo, hajde da malo transformišemo funkciju $y$, izražavajući radikal (koren) kao stepen: $y=\sqrt(\sin^3(5\cdot9^x))=\left(\sin(5\cdot 9) ^x) \desno)^(\frac(3)(7))$. Sada krenimo sa pronalaženjem derivata. Pošto je $y=\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))$, onda:

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)" \tag (3.1) $$

Upotrijebimo formulu br. 2 iz tabele derivata, zamjenjujući u nju $u=\sin(5\cdot 9^x)$ i $\alpha=\frac(3)(7)$:

$$ \left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"= \frac(3)(7)\cdot \left( \sin(5\cdot 9^x)\desno)^(\frac(3)(7)-1) (\sin(5\cdot 9^x))"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\desno)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))" $$

Nastavimo jednakost (3.1) koristeći dobijeni rezultat:

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\desno)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))" \tag (3.2) $$

Sada moramo pronaći $(\sin(5\cdot 9^x))"$. Za ovo koristimo formulu br. 9 iz tabele derivata, zamjenjujući u nju $u=5\cdot 9^x$:

$$ (\sin(5\cdot 9^x))"=\cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9^x)" $$

Dopunivši jednakost (3.2) dobijenim rezultatom, imamo:

Ostaje da pronađemo $(5\cdot 9^x)"$. Prvo, uzmimo konstantu (broj $5$) izvan znaka derivacije, tj. $(5\cdot 9^x)"=5\cdot (9 ^x) "$. Da biste pronašli izvod $(9^x)"$, primijenite formulu br. 5 tabele derivata, zamjenjujući u nju $a=9$ i $u=x$: $(9^x) )"=9^x\cdot \ ln9\cdot x"$. Pošto je $x"=1$, onda je $(9^x)"=9^x\cdot \ln9\cdot x"=9^x\cdot \ln9$. Sada možemo nastaviti jednakost (3.3):

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\desno)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))"=\\ =\frac(3) (7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\desno)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9 ^x)"= \frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9 ^x)\cdot 5\cdot 9^x\cdot \ln9=\\ =\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\desno) ^(-\frac(4)(7))\cdot \cos(5\cdot 9^x)\cdot 9^x. $$

Možemo se ponovo vratiti sa stepena na radikale (tj. korijene), pišući $\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7))$ u obliku $\ frac(1)(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(4)(7)))=\frac(1)(\sqrt(\sin^4(5\) cdot 9^x)))$. Tada će izvod biti napisan u ovom obliku:

$$ y"=\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7))\cdot \cos(5\cdot 9^x)\cdot 9^x= \frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \frac(\cos (5\cdot 9^x)\cdot 9^x) (\sqrt(\sin^4(5\cdot 9^x))).$$

Odgovori: $y"=\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \frac(\cos (5\cdot 9^x)\cdot 9^x)(\sqrt(\sin^4(5\) cdot 9^x)))$.

Primjer br. 4

Pokazati da su formule br. 3 i br. 4 tabele derivacija poseban slučaj formule br. 2 ove tabele.

Formula br. 2 tabele izvoda sadrži izvod funkcije $u^\alpha$. Zamjenom $\alpha=-1$ u formulu br. 2, dobijamo:

$$(u^(-1))"=-1\cdot u^(-1-1)\cdot u"=-u^(-2)\cdot u"\tag (4.1)$$

Pošto je $u^(-1)=\frac(1)(u)$ i $u^(-2)=\frac(1)(u^2)$, onda se jednakost (4.1) može prepisati na sljedeći način: $ \left(\frac(1)(u) \right)"=-\frac(1)(u^2)\cdot u"$. Ovo je formula br. 3 tabele derivata.

Vratimo se ponovo formuli br. 2 tabele derivata. Zamijenimo $\alpha=\frac(1)(2)$ u to:

$$\left(u^(\frac(1)(2))\right)"=\frac(1)(2)\cdot u^(\frac(1)(2)-1)\cdot u" =\frac(1)(2)u^(-\frac(1)(2))\cdot u"\tag (4.2) $$

Pošto je $u^(\frac(1)(2))=\sqrt(u)$ i $u^(-\frac(1)(2))=\frac(1)(u^(\frac( 1) )(2)))=\frac(1)(\sqrt(u))$, tada se jednakost (4.2) može prepisati na sljedeći način:

$$ (\sqrt(u))"=\frac(1)(2)\cdot \frac(1)(\sqrt(u))\cdot u"=\frac(1)(2\sqrt(u) )\cdot u" $$

Rezultirajuća jednakost $(\sqrt(u))"=\frac(1)(2\sqrt(u))\cdot u"$ je formula br. 4 tabele derivata. Kao što vidite, formule br. 3 i br. 4 tabele derivata se dobijaju iz formule br. 2 zamjenom odgovarajuće vrijednosti $\alpha$.

Vrlo lako za pamćenje.

Pa, da ne idemo daleko, odmah razmotrimo inverznu funkciju. Koja je funkcija inverzna eksponencijalnoj funkciji? logaritam:

U našem slučaju, osnova je broj:

Takav logaritam (tj. logaritam s bazom) naziva se „prirodnim“, a za njega koristimo posebnu notaciju: umjesto toga pišemo.

Čemu je to jednako? Naravno, .

Izvod prirodnog logaritma je također vrlo jednostavan:

primjeri:

Pronađite izvod funkcije.
Što je derivacija funkcije?

odgovori: Eksponencijalni i prirodni logaritam su jedinstveno jednostavne funkcije iz perspektive derivata. Eksponencijalne i logaritamske funkcije s bilo kojom drugom bazom imat će drugačiji izvod, koji ćemo analizirati kasnije, nakon što prođemo kroz pravila diferencijacije.

Pravila diferencijacije

Pravila čega? Opet novi mandat, opet?!...

Diferencijacija je proces pronalaženja derivata.

To je sve. Kako još jednom riječju nazvati ovaj proces? Nije derivacija... Matematičari diferencijal nazivaju istim prirastom funkcije u. Ovaj izraz dolazi od latinskog differentia - razlika. Evo.

Prilikom izvođenja svih ovih pravila, koristit ćemo dvije funkcije, na primjer, i. Također će nam trebati formule za njihove priraštaje:

Postoji ukupno 5 pravila.

Konstanta se izvlači iz predznaka derivacije.

Ako - neki konstantni broj (konstanta), onda.

Očigledno, ovo pravilo radi i za razliku: .

Dokažimo to. Neka bude, ili jednostavnije.

Primjeri.

Pronađite derivate funkcija:

u jednom trenutku;
u jednom trenutku;
u jednom trenutku;
u tački.

rješenja:

(izvod je isti u svim tačkama, pošto je linearna funkcija, sjećate se?);

Derivat proizvoda

Ovdje je sve slično: uvedemo novu funkciju i pronađemo njen prirast:

Derivat:

primjeri:

Naći izvode funkcija i;
Pronađite izvod funkcije u tački.

rješenja:

Derivat eksponencijalne funkcije

Sada je vaše znanje dovoljno da naučite kako pronaći derivaciju bilo koje eksponencijalne funkcije, a ne samo eksponenata (jeste li već zaboravili šta je to?).

Dakle, gdje je neki broj.

Već znamo derivaciju funkcije, pa pokušajmo svesti našu funkciju na novu bazu:

Da bismo to učinili, koristit ćemo jednostavno pravilo: . onda:

Pa, upalilo je. Sada pokušajte pronaći izvod i ne zaboravite da je ova funkcija složena.

Desilo se?

Evo, uvjerite se sami:

Ispostavilo se da je formula vrlo slična izvedenici eksponenta: onakva kakva je bila, ostala je ista, pojavio se samo faktor, koji je samo broj, ali ne i varijabla.

primjeri:
Pronađite derivate funkcija:

odgovori:

Ovo je samo broj koji se ne može izračunati bez kalkulatora, odnosno ne može se zapisati u jednostavnijem obliku. Stoga ga ostavljamo u ovom obliku u odgovoru.

Imajte na umu da je ovdje kvocijent dvije funkcije, pa primjenjujemo odgovarajuće pravilo diferencijacije:

U ovom primjeru, proizvod dvije funkcije:

Derivat logaritamske funkcije

Ovdje je slično: već znate derivaciju prirodnog logaritma:

Stoga, da biste pronašli proizvoljan logaritam s različitom bazom, na primjer:

Ovaj logaritam moramo svesti na bazu. Kako se mijenja baza logaritma? Nadam se da se sjećate ove formule:

Tek sada ćemo umjesto toga napisati:

Imenilac je jednostavno konstanta (konstantan broj, bez varijable). Izvod se dobija vrlo jednostavno:

Derivati eksponencijalnih i logaritamskih funkcija gotovo se nikada ne nalaze u Jedinstvenom državnom ispitu, ali neće biti suvišno poznavati ih.

Derivat kompleksne funkcije.

Šta je "složena funkcija"? Ne, ovo nije logaritam, niti arktangens. Ove funkcije mogu biti teško razumljive (mada ako vam je logaritam težak, pročitajte temu “Logaritmi” i biće vam dobro), ali sa matematičke tačke gledišta, riječ “složeno” ne znači “teško”.

Zamislite malu pokretnu traku: dvoje ljudi sjede i rade neke radnje s nekim predmetima. Na primjer, prvi umota čokoladicu u omot, a drugi je veže trakom. Rezultat je kompozitni predmet: čokoladica umotana i vezana vrpcom. Da biste pojeli čokoladicu, morate učiniti obrnutim koracima obrnutim redoslijedom.

Napravimo sličan matematički cevovod: prvo ćemo pronaći kosinus broja, a zatim kvadrirati rezultirajući broj. Dakle, dat nam je broj (čokolada), ja pronađem njegov kosinus (omotač), a onda kvadriraš ono što sam dobio (zaveži ga vrpcom). Šta se desilo? Funkcija. Ovo je primjer složene funkcije: kada, da bismo pronašli njenu vrijednost, izvršimo prvu akciju direktno s promjenljivom, a zatim drugu akciju s onim što je rezultat prve.

Drugim riječima, složena funkcija je funkcija čiji je argument druga funkcija: .

Za naš primjer, .

Lako možemo napraviti iste korake obrnutim redoslijedom: prvo ga kvadriraš, a ja onda tražim kosinus rezultirajućeg broja: . Lako je pretpostaviti da će rezultat gotovo uvijek biti drugačiji. Važna karakteristika složenih funkcija: kada se redoslijed radnji promijeni, funkcija se mijenja.

Drugi primjer: (ista stvar). .

Akcija koju radimo posljednja će biti pozvana "vanjska" funkcija, a radnja izvedena prva - prema tome "interne" funkcije(ovo su neformalni nazivi, koristim ih samo da objasnim gradivo jednostavnim jezikom).

Pokušajte sami odrediti koja je funkcija vanjska, a koja unutrašnja:

odgovori: Razdvajanje unutrašnjih i vanjskih funkcija vrlo je slično mijenjanju varijabli: na primjer, u funkciji

Koju akciju ćemo prvo izvesti? Prvo izračunajmo sinus, pa ga tek onda kockiraj. To znači da je to interna funkcija, ali vanjska.
A originalna funkcija je njihov sastav: .
Interni: ; eksterno: .
Ispitivanje: .
Interni: ; eksterno: .
Ispitivanje: .
Interni: ; eksterno: .
Ispitivanje: .
Interni: ; eksterno: .
Ispitivanje: .

Mijenjamo varijable i dobijamo funkciju.

Pa, sada ćemo izvaditi našu čokoladicu i potražiti derivat. Procedura je uvijek obrnuta: prvo tražimo izvod vanjske funkcije, a zatim rezultat množimo s izvodom unutrašnje funkcije. U odnosu na originalni primjer, to izgleda ovako:

Drugi primjer:

Dakle, hajde da konačno formulišemo zvanično pravilo:

Algoritam za pronalaženje derivacije kompleksne funkcije:

Čini se jednostavno, zar ne?

Provjerimo na primjerima:

rješenja:

1) Interni: ;

Vanjski: ;

2) Interni: ;

(Samo nemojte pokušavati da ga isečete do sada! Ništa ne izlazi ispod kosinusa, sjećate se?)

3) Interni: ;

Vanjski: ;

Odmah je jasno da se radi o složenoj funkciji na tri nivoa: na kraju krajeva, ovo je već složena funkcija sama po sebi, a iz nje izvlačimo i korijen, odnosno izvodimo treću radnju (stavite čokoladu u omot i sa vrpcom u aktovci). Ali nema razloga za strah: i dalje ćemo „raspakovati“ ovu funkciju istim redoslijedom kao i obično: od kraja.

Odnosno, prvo razlikujemo korijen, zatim kosinus, pa tek onda izraz u zagradama. A onda sve to pomnožimo.

U takvim slučajevima, zgodno je numerisati radnje. Odnosno, zamislimo šta znamo. Kojim redoslijedom ćemo izvršiti radnje za izračunavanje vrijednosti ovog izraza? Pogledajmo primjer:

Što se radnja izvrši kasnije, to će odgovarajuća funkcija biti „spoljašnja“. Redoslijed radnji je isti kao i prije:

Ovdje je gniježđenje općenito na 4 nivoa. Hajde da odredimo pravac akcije.

1. Radikalni izraz. .

2. Root. .

3. Sinus. .

4. Kvadrat. .

5. Stavljajući sve zajedno:

DERIVAT. UKRATKO O GLAVNIM STVARIMA

Derivat funkcije- omjer povećanja funkcije i inkrementa argumenta za beskonačno mali prirast argumenta:

Osnovni derivati:

Pravila diferencijacije:

Konstanta je uzeta iz predznaka derivacije:

Derivat sume:

Derivat proizvoda:

Derivat količnika:

Derivat kompleksne funkcije:

Algoritam za pronalaženje derivacije kompleksne funkcije:

Definiramo “internu” funkciju i nalazimo njen izvod.
Definiramo “vanjsku” funkciju i nalazimo njen izvod.
Množimo rezultate prve i druge tačke.

Na kojoj smo ispitali najjednostavnije izvode, a takođe se upoznali sa pravilima diferencijacije i nekim tehničkim tehnikama za pronalaženje izvodnica. Stoga, ako niste baš dobri sa derivatima funkcija ili neke tačke u ovom članku nisu sasvim jasne, onda prvo pročitajte gornju lekciju. Ozbiljno se raspoloženi - materijal nije jednostavan, ali ću ipak pokušati da ga predstavim jednostavno i jasno.

U praksi se sa izvodom složene funkcije morate suočiti vrlo često, čak bih rekao, skoro uvijek, kada vam se daju zadaci da nađete izvode.

Gledamo u tabelu pravilo (br. 5) za razlikovanje složene funkcije:

Hajde da to shvatimo. Prije svega, obratimo pažnju na unos. Ovdje imamo dvije funkcije - i , a funkcija je, figurativno rečeno, ugniježđena unutar funkcije. Funkcija ovog tipa (kada je jedna funkcija ugniježđena u drugu) naziva se složena funkcija.

Ja ću pozvati funkciju eksterna funkcija, i funkciju – interna (ili ugniježđena) funkcija.

! Ove definicije nisu teorijske i ne bi se trebale pojaviti u konačnom dizajnu zadataka. Koristim neformalne izraze “spoljna funkcija”, “unutrašnja” funkcija samo da bih vam olakšao razumevanje materijala.

Da razjasnite situaciju, razmotrite:

Primjer 1

Pronađite izvod funkcije

Pod sinusom nemamo samo slovo "X", već cijeli izraz, tako da pronalaženje izvedenice odmah iz tabele neće raditi. Također primjećujemo da je ovdje nemoguće primijeniti prva četiri pravila, čini se da postoji razlika, ali činjenica je da se sinus ne može „rastrgnuti na komade“:

U ovom primjeru je već intuitivno jasno iz mojih objašnjenja da je funkcija složena funkcija, a polinom je interna funkcija (ugradnja) i eksterna funkcija.

Prvi korak ono što trebate učiniti kada pronađete derivaciju kompleksne funkcije je da razumjeti koja je funkcija unutrašnja, a koja eksterna.

U slučaju jednostavnih primjera, čini se jasnim da je polinom ugrađen ispod sinusa. Ali šta ako sve nije očigledno? Kako tačno odrediti koja je funkcija eksterna, a koja unutrašnja? Da biste to učinili, predlažem korištenje sljedeće tehnike, koja se može učiniti mentalno ili u nacrtu.

Zamislimo da trebamo izračunati vrijednost izraza at na kalkulatoru (umjesto jedan može biti bilo koji broj).

Šta ćemo prvo izračunati? Kao prvo morat ćete izvesti sljedeću radnju: , stoga će polinom biti interna funkcija:

Drugo morat će se pronaći, tako da će sinus – biti vanjska funkcija:

Posle nas RASPRODATO sa unutrašnjim i eksternim funkcijama, vreme je da se primeni pravilo diferencijacije složenih funkcija .

Počnimo da odlučujemo. Sa lekcije Kako pronaći derivat? sjećamo se da dizajn rješenja za bilo koju derivaciju uvijek počinje ovako - stavljamo izraz u zagrade i stavljamo crtu gore desno:

Kao prvo nalazimo derivaciju eksterne funkcije (sinus), pogledamo tabelu izvoda elementarnih funkcija i uočimo da . Sve formule tablice su također primjenjive ako se “x” zamijeni složenim izrazom, u ovom slučaju:

Imajte na umu da je unutrašnja funkcija nije se promenilo, ne diramo ga.

Pa, to je sasvim očigledno

Rezultat primjene formule u konačnom obliku izgleda ovako:

Konstantni faktor se obično stavlja na početak izraza:

Ako dođe do nesporazuma, zapišite rješenje na papir i ponovo pročitajte objašnjenja.

Primjer 2

Pronađite izvod funkcije

Primjer 3

Pronađite izvod funkcije

Kao i uvek, zapisujemo:

Hajde da shvatimo gde imamo spoljnu funkciju, a gde unutrašnju. Da bismo to učinili, pokušavamo (mentalno ili u nacrtu) izračunati vrijednost izraza na . Šta prvo treba da uradite? Prije svega, morate izračunati čemu je baza jednaka: dakle, polinom je interna funkcija:

I tek tada se vrši eksponencijacija, dakle, funkcija stepena je vanjska funkcija:

Prema formuli , prvo morate pronaći derivaciju eksterne funkcije, u ovom slučaju stepen. Traženu formulu tražimo u tabeli: . Ponavljamo ponovo: bilo koja tabelarna formula je važeća ne samo za „X“, već i za složeni izraz. Dakle, rezultat primjene pravila za diferenciranje složene funkcije sljedeći:

Ponovo naglašavam da kada uzmemo derivaciju eksterne funkcije, naša unutrašnja funkcija se ne mijenja:

Sada sve što ostaje je pronaći vrlo jednostavan izvod interne funkcije i malo podesiti rezultat:

Primjer 4

Pronađite izvod funkcije

Ovo je primjer koji možete sami riješiti (odgovor na kraju lekcije).

Da biste učvrstili vaše razumijevanje derivacije složene funkcije, dat ću primjer bez komentara, pokušajte sami da ga shvatite, razlog gdje je vanjska, a gdje unutrašnja funkcija, zašto se zadaci rješavaju na ovaj način?

Primjer 5

a) Naći derivaciju funkcije

b) Naći derivaciju funkcije

Primjer 6

Pronađite izvod funkcije

Ovdje imamo korijen, a da bismo ga razlikovali, on mora biti predstavljen kao potencija. Dakle, prvo dovedemo funkciju u oblik prikladan za diferencijaciju:

Analizirajući funkciju dolazimo do zaključka da je zbir tri člana interna funkcija, a podizanje na stepen eksterna funkcija. Primjenjujemo pravilo diferencijacije složenih funkcija :

Opet predstavljamo stepen kao radikal (korijen), a za derivaciju interne funkcije primjenjujemo jednostavno pravilo za diferenciranje sume:

Spreman. Također možete svesti izraz na zajednički nazivnik u zagradama i sve zapisati kao jedan razlomak. Lijepo je, naravno, ali kada dobijete glomazne dugačke izvedenice, bolje je to ne raditi (lako se zbuniti, napraviti nepotrebnu grešku, a nastavniku će biti nezgodno da provjeri).

Primjer 7

Pronađite izvod funkcije

Ovo je primjer koji možete sami riješiti (odgovor na kraju lekcije).

Zanimljivo je primijetiti da ponekad umjesto pravila za diferenciranje složene funkcije možete koristiti pravilo za razlikovanje količnika , ali takvo rješenje će izgledati kao neobična perverzija. Evo tipičnog primjera:

Primjer 8

Pronađite izvod funkcije

Ovdje možete koristiti pravilo diferencijacije kvocijenta , ali je mnogo isplativije pronaći izvod kroz pravilo diferencijacije složene funkcije:

Pripremamo funkciju za diferencijaciju - pomičemo minus iz znaka derivacije i dižemo kosinus u brojilac:

Kosinus je interna funkcija, eksponencijacija je vanjska funkcija.
Koristimo naše pravilo :

Pronalazimo izvod interne funkcije i resetujemo kosinus nazad:

Spreman. U razmatranom primjeru važno je da se ne zbunite u znakovima. Usput, pokušajte to riješiti pomoću pravila , odgovori se moraju podudarati.

Primjer 9

Pronađite izvod funkcije

Ovo je primjer koji možete sami riješiti (odgovor na kraju lekcije).

Do sada smo gledali slučajeve u kojima smo imali samo jedno ugniježđenje u složenoj funkciji. U praktičnim zadacima često možete pronaći derivate, gdje se, poput lutkica za gniježđenje, jedna u drugoj, 3 ili čak 4-5 funkcija ugniježđuju odjednom.

Primjer 10

Pronađite izvod funkcije

Hajde da razumemo priloge ove funkcije. Pokušajmo izračunati izraz koristeći eksperimentalnu vrijednost. Kako bismo računali na kalkulator?

Prvo morate pronaći , što znači da je arksinus najdublje ugrađivanje:

Ovaj arcsin od jedan bi se tada trebao kvadrirati:

I konačno, dižemo sedam na stepen:

To jest, u ovom primjeru imamo tri različite funkcije i dva ugrađivanja, dok je najnutarnja funkcija arksinus, a najudaljenija funkcija eksponencijalna funkcija.

Počnimo da odlučujemo

Po pravilu Prvo morate uzeti derivaciju vanjske funkcije. Gledamo tablicu izvoda i nalazimo izvod eksponencijalne funkcije: Jedina razlika je u tome što umjesto “x” imamo složen izraz, koji ne negira valjanost ove formule. Dakle, rezultat primjene pravila za diferenciranje složene funkcije sljedeći.

Složeni derivati. Logaritamski izvod.
Derivat eksponencijalne funkcije stepena

Nastavljamo da poboljšavamo našu tehniku diferencijacije. U ovoj lekciji ćemo konsolidirati materijal koji smo obradili, pogledati složenije derivacije, a također ćemo se upoznati s novim tehnikama i trikovima za pronalaženje izvoda, posebno s logaritamskim izvodom.

Oni čitaoci koji imaju nizak nivo pripreme trebali bi pogledati članak Kako pronaći derivat? Primjeri rješenja, što će vam omogućiti da podignete svoje vještine gotovo od nule. Zatim morate pažljivo proučiti stranicu Derivat kompleksne funkcije, razumjeti i riješiti Sve primjere koje sam naveo. Ova lekcija je logično treća po redu, a nakon što je savladate, pouzdano ćete razlikovati prilično složene funkcije. Nepoželjno je zauzimati stav „Gdje drugdje? Dosta je!”, jer su svi primjeri i rješenja preuzeti iz stvarnih testova i često se susreću u praksi.

Počnimo s ponavljanjem. Na lekciji Derivat kompleksne funkcije Pogledali smo niz primjera s detaljnim komentarima. U toku proučavanja diferencijalnog računa i drugih grana matematičke analize, moraćete vrlo često da pravite razliku, a nije uvek zgodno (i nije uvek neophodno) detaljno opisivati primere. Stoga ćemo vježbati pronalaženje izvedenica usmeno. Najprikladniji "kandidati" za to su derivati najjednostavnijih složenih funkcija, na primjer:

Prema pravilu diferencijacije složenih funkcija :

Prilikom izučavanja drugih matan tema u budućnosti, ovako detaljan zapis najčešće nije potreban, pretpostavlja se da student zna pronaći takve derivate na autopilotu. Zamislimo da je u 3 sata ujutru zazvonio telefon i prijatan glas upitao: "Koja je derivacija tangenta dva X-a?" Ovo bi trebalo da bude praćeno skoro trenutnim i ljubaznim odgovorom: .

Prvi primjer će odmah biti namijenjen za samostalno rješenje.

Primjer 1

Pronađi sljedeće izvedenice usmeno, u jednoj radnji, na primjer: . Za završetak zadatka potrebno je samo koristiti tablica izvoda elementarnih funkcija(ako se još niste sjetili). Ako imate bilo kakvih poteškoća, preporučujem da ponovo pročitate lekciju Derivat kompleksne funkcije.

, , ,
, , ,
, , ,

, , ,

, ,

Odgovori na kraju lekcije

Složeni derivati

Nakon preliminarne artiljerijske pripreme, primjeri sa 3-4-5 ugniježđenja funkcija bit će manje zastrašujući. Sljedeća dva primjera mogu nekome izgledati komplikovana, ali ako ih shvatite (neko će patiti), onda će gotovo sve ostalo u diferencijalnom računu izgledati kao dječja šala.

Primjer 2

Pronađite izvod funkcije

Kao što je već napomenuto, pri pronalaženju derivacije kompleksne funkcije, prije svega, to je neophodno U redu RAZUMIJETE svoja ulaganja. U slučajevima kada postoje sumnje, podsjećam vas na korisnu tehniku: uzimamo eksperimentalnu vrijednost “x”, na primjer, i pokušavamo (mentalno ili na nacrtu) zamijeniti ovu vrijednost u “strašan izraz”.

1) Prvo trebamo izračunati izraz, što znači da je zbir najdublje ugrađivanje.

2) Zatim morate izračunati logaritam:

4) Zatim izrežite kosinus na kocku:

5) U petom koraku razlika:

6) I konačno, najudaljenija funkcija je kvadratni korijen:

Formula za diferenciranje složene funkcije primjenjuju se obrnutim redoslijedom, od najudaljenije funkcije prema unutrašnjoj. Odlučujemo:

Izgleda da nema grešaka...

(1) Uzmite izvod kvadratnog korijena.

(2) Izvod razlike uzimamo pomoću pravila

(3) Derivat trojke je nula. U drugom članu uzimamo derivaciju stepena (kocke).

(4) Uzmimo derivaciju kosinusa.

(5) Uzmimo izvod logaritma.

(6) I konačno, uzimamo derivaciju najdubljeg ugrađivanja.

Možda izgleda preteško, ali ovo nije najbrutalniji primjer. Uzmite, na primjer, kolekciju Kuznjecova i cijenit ćete svu ljepotu i jednostavnost analiziranog derivata. Primijetio sam da vole da daju sličnu stvar na ispitu kako bi provjerili da li student razumije kako pronaći izvod kompleksne funkcije ili ne razumije.

Sljedeći primjer možete sami riješiti.

Primjer 3

Pronađite izvod funkcije

Savjet: Prvo primjenjujemo pravila linearnosti i pravilo diferencijacije proizvoda

Potpuno rješenje i odgovor na kraju lekcije.

Vrijeme je da pređete na nešto manje i ljepše.
Nije neuobičajeno da primjer prikazuje proizvod ne dvije, već tri funkcije. Kako pronaći derivaciju proizvoda tri faktora?

Primjer 4

Pronađite izvod funkcije

Prvo pogledamo, da li je moguće pretvoriti proizvod tri funkcije u proizvod dvije funkcije? Na primjer, ako imamo dva polinoma u proizvodu, onda bismo mogli otvoriti zagrade. Ali u primjeru koji se razmatra, sve funkcije su različite: stepen, eksponent i logaritam.

U takvim slučajevima je neophodno sekvencijalno primijeniti pravilo diferencijacije proizvoda dvaput

Trik je u tome što sa “y” označavamo proizvod dvije funkcije: , a sa “ve” označavamo logaritam: . Zašto se to može uraditi? Da li je zaista – ovo nije proizvod dva faktora i pravilo ne funkcionira?! Nema ništa komplikovano:

Sada preostaje primijeniti pravilo po drugi put u zagradu:

Možete se i uvrnuti i staviti nešto van zagrada, ali u ovom slučaju je bolje ostaviti odgovor upravo u ovom obliku - lakše će se provjeriti.

Razmatrani primjer se može riješiti na drugi način:

Oba rješenja su apsolutno ekvivalentna.

Primjer 5

Pronađite izvod funkcije

Ovo je primjer za nezavisno rješenje; u uzorku se rješava prvom metodom.

Pogledajmo slične primjere sa razlomcima.

Primjer 6

Pronađite izvod funkcije

Ovdje možete doći na nekoliko načina:

ili ovako:

Ali rješenje će biti napisano kompaktnije ako prvo upotrijebimo pravilo diferencijacije količnika , uzimajući za cijeli brojnik:

U principu, primjer je riješen, a ako se ostavi kako jeste, neće biti greške. Ali ako imate vremena, uvijek je preporučljivo provjeriti nacrt kako biste vidjeli da li se odgovor može pojednostaviti? Svedimo izraz brojnika na zajednički nazivnik i oslobodimo se trospratne frakcije:

Nedostatak dodatnih pojednostavljenja je u tome što postoji rizik od greške ne pri pronalaženju derivacije, već prilikom banalnih školskih transformacija. S druge strane, nastavnici često odbacuju zadatak i traže da se „spomene” izvedenica.

Jednostavniji primjer koji možete sami riješiti:

Primjer 7

Pronađite izvod funkcije

Nastavljamo da savladavamo metode pronalaženja derivacije, a sada ćemo razmotriti tipičan slučaj kada se "strašni" logaritam predlaže za diferencijaciju

Primjer 8

Pronađite izvod funkcije

Ovdje možete ići daleko, koristeći pravilo za razlikovanje složene funkcije:

Ali već prvi korak vas odmah uranja u malodušnost - morate uzeti neugodan derivat iz razlomka, a zatim i iz razlomka.

Zbog toga prije kako uzeti derivaciju "sofisticiranog" logaritma, prvo se pojednostavljuje korištenjem dobro poznatih školskih svojstava:

! Ako imate pri ruci bilježnicu za vježbanje, kopirajte ove formule direktno tamo. Ako nemate svesku, kopirajte je na komad papira, jer će se preostali primjeri lekcije vrtjeti oko ovih formula.

Samo rješenje se može napisati otprilike ovako:

Transformirajmo funkciju:

Pronalaženje derivata:

Prethodno pretvaranje same funkcije uvelike je pojednostavilo rješenje. Stoga, kada se sličan logaritam predlaže za diferencijaciju, uvijek je preporučljivo da ga „razbijete“.

A sada nekoliko jednostavnih primjera koje možete sami riješiti:

Primjer 9

Pronađite izvod funkcije

Primjer 10

Pronađite izvod funkcije

Sve transformacije i odgovori nalaze se na kraju lekcije.

Logaritamski izvod

Ako je derivat logaritama tako slatka muzika, onda se postavlja pitanje: da li je u nekim slučajevima moguće organizovati logaritam veštački? Može! Čak i neophodno.

Primjer 11

Pronađite izvod funkcije

Nedavno smo pogledali slične primjere. sta da radim? Možete uzastopno primijeniti pravilo diferencijacije količnika, a zatim pravilo diferencijacije proizvoda. Nedostatak ove metode je što na kraju dobijete ogroman trospratni dio, s kojim uopće ne želite da se bavite.

Ali u teoriji i praksi postoji tako divna stvar kao što je logaritamski izvod. Logaritmi se mogu umjetno organizirati tako što će se "okačiti" na obje strane:

Bilješka : jer funkcija može uzeti negativne vrijednosti, tada, općenito govoreći, trebate koristiti module: , koji će nestati kao rezultat diferencijacije. Međutim, trenutni dizajn je također prihvatljiv, gdje se po defaultu uzima u obzir kompleks značenja. Ali ako je u potpunosti strogo, onda u oba slučaja treba napraviti rezervu.

Sada morate što je više moguće „dezintegrirati“ logaritam desne strane (formule pred vašim očima?). Opisaću ovaj proces veoma detaljno:

Počnimo s diferencijacijom.
Oba dijela zaključujemo pod udarom:

Izvedba desne strane je prilično jednostavna, neću je komentirati, jer ako čitate ovaj tekst, trebali biste moći samopouzdano upravljati njime.

Šta je sa lijevom stranom?

Na lijevoj strani imamo složena funkcija. Predviđam pitanje: “Zašto, ima li jedno slovo “Y” ispod logaritma?”

Činjenica je da ova "igra jednog slova" - JE SAMA FUNKCIJA(ako nije baš jasno, pogledajte članak Derivat funkcije specificirane implicitno). Dakle, logaritam je eksterna funkcija, a "y" je interna funkcija. I koristimo pravilo za razlikovanje složene funkcije :

Na lijevoj strani, kao magijom, imamo izvedenicu. Zatim, prema pravilu proporcije, prenosimo "y" iz nazivnika lijeve strane na vrh desne strane:

A sada da se prisjetimo o kakvoj smo "igračkoj" funkciji govorili tokom diferencijacije? Pogledajmo stanje:

Konačan odgovor:

Primjer 12

Pronađite izvod funkcije

Ovo je primjer koji možete sami riješiti. Uzorak dizajna primjera ovog tipa nalazi se na kraju lekcije.

Koristeći logaritamsku derivaciju bilo je moguće riješiti bilo koji od primjera br. 4-7, druga stvar je što su tamo funkcije jednostavnije i, možda, upotreba logaritamskog izvoda nije baš opravdana.

Derivat eksponencijalne funkcije stepena

Ovu funkciju još nismo razmatrali. Eksponencijalna funkcija je funkcija za koju i stepen i baza zavise od "x". Klasičan primjer koji će vam biti dat u bilo kojem udžbeniku ili predavanju:

Kako pronaći izvod eksponencijalne funkcije stepena?

Neophodno je koristiti tehniku o kojoj smo upravo govorili - logaritamski izvod. Okačimo logaritme sa obe strane:

Po pravilu, na desnoj strani stepen se vadi ispod logaritma:

Kao rezultat, na desnoj strani imamo proizvod dvije funkcije, koje će se razlikovati prema standardnoj formuli .

Pronalazimo derivaciju; da bismo to učinili, stavljamo oba dijela ispod poteza:

Dalje radnje su jednostavne:

konačno:

Ako bilo koja konverzija nije sasvim jasna, pažljivo pročitajte objašnjenja primjera br. 11.

U praktičnim zadacima, stepen eksponencijalna funkcija će uvijek biti složenija od razmatranog primjera predavanja.

Primjer 13

Pronađite izvod funkcije

Koristimo logaritamski izvod.

Na desnoj strani imamo konstantu i proizvod dva faktora – “x” i “logaritma logaritma x” (drugi logaritam je ugniježđen ispod logaritma). Prilikom diferenciranja, kao što se sjećamo, bolje je odmah pomaknuti konstantu iz predznaka derivacije kako ne bi smetala; i, naravno, primjenjujemo poznato pravilo :