Sadržaj članka

MATEMATIČKA ANALIZA, grana matematike koja pruža metode za kvantitativno proučavanje različitih procesa promjena; bavi se proučavanjem brzine promjene (diferencijalni račun) i određivanjem dužina krivih, površina i volumena figura ograničenih zakrivljenim konturama i površinama (integralni račun). Za probleme matematičke analize tipično je da je njihovo rješavanje povezano s pojmom granice.

Početak matematičke analize položili su 1665. I. Newton i (oko 1675.) samostalno G. Leibniz, iako su važne pripremne radove obavili I. Kepler (1571–1630), F. Cavalieri (1598–1647), P. Fermat (1601–1665), J. Wallis (1616–1703) i I. Barrow (1630–1677).

Kako bismo prezentaciju učinili živopisnijom, pribjeći ćemo grafičkom jeziku. Stoga bi čitatelju moglo biti korisno da pogleda članak ANALITIČKA GEOMETRIJA prije nego počne čitati ovaj članak.

DIFERENCIJALNI RAČUN

Tangente.

Na sl. 1 prikazuje fragment krivulje y = 2x – x 2, priloženo između x= –1 i x= 3. Dovoljno mali segmenti ove krive izgledaju pravo. Drugim riječima, ako R je proizvoljna tačka ove krive, onda postoji određena prava linija koja prolazi kroz ovu tačku i koja je aproksimacija krive u maloj okolini tačke R, i što je susjedstvo manje, to je bolja aproksimacija. Takva prava se naziva tangenta na krivu u tački R. Glavni zadatak diferencijalnog računa je da se konstruiše opšta metoda koja omogućava da se pronađe pravac tangente u bilo kojoj tački na krivulji u kojoj postoji tangenta. Nije teško zamisliti krivinu sa oštrim prekidom (slika 2). Ako R je vrh takvog preloma, onda možemo konstruisati aproksimirajuću ravnu liniju P.T. 1 – desno od tačke R i još jedna aproksimirajuća prava linija RT 2 – lijevo od tačke R. Ali ne postoji jedna prava linija koja prolazi kroz tačku R, koji se jednako dobro približio krivulji u blizini tačke P i na desnoj i na lijevoj strani, dakle tangenta u tački P ne postoji.

Na sl. 1 tangenta OD provučen kroz ishodište O= (0,0). Nagib ove linije je 2, tj. kada se apscisa promijeni za 1, ordinata se povećava za 2. Ako x I y– koordinate proizvoljne tačke na OD, zatim, udaljavajući se od O na daljinu X jedinice na desno, mi se udaljavamo O na 2 y jedinice gore. dakle, y/x= 2, ili y = 2x. Ovo je tangentna jednadžba OD do krivine y = 2x – x 2 u tački O.

Sada je potrebno objasniti zašto, iz skupa pravih koje prolaze kroz tačku O, bira se prava linija OD. Kako se prava linija sa nagibom 2 razlikuje od ostalih pravih linija? Postoji jedan jednostavan odgovor i teško je odoljeti iskušenju da ga date koristeći analogiju tangente na kružnicu: tangenta OD ima samo jednu zajedničku tačku sa krivom, dok svaka druga ne-vertikalna linija koja prolazi kroz tačku O, dva puta siječe krivu. Ovo se može provjeriti na sljedeći način.

Od izraza y = 2x – x 2 se može dobiti oduzimanjem X 2 of y = 2x(jednačine prave linije OD), zatim vrijednosti y ima manje znanja za graf y za pravu liniju u svim tačkama osim tačke x= 0. Dakle, graf je svuda osim tačke O, koji se nalazi ispod OD, a ova prava i graf imaju samo jednu zajedničku tačku. Štaviše, ako y = mx- jednadžba neke druge prave koja prolazi kroz tačku O, tada će sigurno postojati dvije točke sjecišta. stvarno, mx = 2x – x 2 ne samo kada x= 0, ali i na x = 2 – m. I to samo kada m= 2 obje presečne tačke se poklapaju. Na sl. 3 prikazuje slučaj kada m je manji od 2, dakle desno od O pojavljuje se druga tačka preseka.

Šta OD– jedina nevertikalna prava linija koja prolazi kroz tačku O i imaju samo jednu zajedničku tačku sa grafom, a ne njegovo najvažnije svojstvo. Zaista, ako se okrenemo drugim grafovima, uskoro će postati jasno da svojstvo tangente koje smo zabilježili nije zadovoljeno u općem slučaju. Na primjer, sa sl. 4 jasno je da je blizu tačke (1,1) grafik krive y = x 3 je dobro aproksimirana ravnom linijom RT koji, međutim, ima više od jedne zajedničke tačke s njim. Međutim, željeli bismo razmotriti RT tangenta na ovaj graf u tački R. Stoga je potrebno pronaći neki drugi način da istaknemo tangentu od onog koji nam je tako dobro poslužio u prvom primjeru.

Pretpostavimo to kroz tačku O i proizvoljna tačka Q = (h,k) na grafu krive y = 2x – x 2 (Sl. 5) nacrtana je prava linija (koja se zove sekansa). Zamjena vrijednosti u jednadžbu krive x = h I y = k, razumemo k = 2h – h 2, dakle, ugaoni koeficijent sekansa je jednak

Na vrlo malom h značenje m blizu 2. Štaviše, biranje h dovoljno blizu 0 što možemo m proizvoljno blizu 2. Možemo to reći m"teži do granice" jednako 2 kada h teži nuli, ili bilo kojoj granici m jednako 2 at h teži nuli. Simbolično je napisano ovako:

Zatim tangenta na graf u tački O definira se kao prava linija koja prolazi kroz tačku O, sa nagibom jednakim ovoj granici. Ova definicija tangente je primjenjiva u općem slučaju.

Pokažimo prednosti ovog pristupa još jednim primjerom: pronađimo nagib tangente na graf krivulje y = 2x – x 2 u bilo kom trenutku P = (x,y), nije ograničen na najjednostavniji slučaj kada P = (0,0).

Neka Q = (x + h, y + k) – druga tačka na grafikonu, koja se nalazi na udaljenosti h desno od R(Sl. 6). Moramo pronaći nagib k/h secant PQ. Dot Q je na udaljenosti

iznad ose X.

Otvarajući zagrade, nalazimo:

Oduzimanje od ove jednačine y = 2x – x 2, pronađite vertikalnu udaljenost od tačke R do tačke Q:

Dakle, nagib m secant PQ jednaki

Sad to h teži nuli, m teži 2 – 2 x; Posljednju vrijednost ćemo uzeti kao ugaoni koeficijent tangente P.T.. (Isti rezultat će se dogoditi ako h uzima negativne vrijednosti, što odgovara odabiru tačke Q na lijevoj strani P.) Imajte na umu da kada x= 0 dobijeni rezultat se poklapa sa prethodnim.

Izraz 2 – 2 x zove se derivat od 2 x – x 2. U starim danima, derivat se nazivao i "diferencijalni odnos" i "diferencijalni koeficijent". Ako po izrazu 2 x – x 2 odrediti f(x), tj.

onda se derivacija može označiti

Da bismo saznali nagib tangente na graf funkcije y = f(x) u nekom trenutku potrebno je izvršiti zamjenu fў ( x) vrijednost koja odgovara ovoj tački X. Dakle, nagib f u (0) = 2 at X = 0, fý (0) = 0 at X= 1 i f v (2) = –2 at X = 2.

Izvod je takođe označen atў , dy/dx, D x y I Du.

Činjenica da je kriva y = 2x – x 2 blizu date tačke se praktično ne razlikuje od svoje tangente u ovoj tački, što nam omogućava da govorimo o ugaonom koeficijentu tangente kao o „ugaonom koeficijentu krive” u tački tangente. Dakle, možemo reći da nagib krive koju razmatramo ima nagib od 2 u tački (0,0). x= 0 stopa promjene y relativno x je jednako 2. U tački (2,0) nagib tangente (i krive) je –2. (Znak minus znači da kako rastemo x varijabla y opada.) U tački (1,1) tangenta je horizontalna. Kažemo da je kriva y = 2x – x 2 ima stacionarnu vrijednost u ovoj tački.

Usponi i padovi.

Upravo smo pokazali da je kriva f(x) = 2x – x 2 miruje u tački (1,1). Jer fў ( x) = 2 – 2x = 2(1 – x), jasno je da kada x, manje od 1, fў ( x) je pozitivan, i stoga y povećava; at x, veliki 1, fў ( x) je negativan, i stoga y smanjuje se. Dakle, u blizini tačke (1,1), prikazane na Sl. 6 pismo M, značenje at raste do tačke M, stacionarni u tački M i opada nakon tačke M. Ova tačka se naziva „maksimalna“ jer je vrednost at u ovom trenutku premašuje bilo koju od svojih vrijednosti u dovoljno malom susjedstvu. Slično, „minimum“ se definiše kao tačka u čijoj blizini su sve vrednosti y premašiti vrijednost at upravo u ovom trenutku. Takođe se može desiti da iako derivat od f(x) u određenoj tački i nestaje; njegov predznak u blizini ove tačke se ne mijenja. Takva tačka, koja nije ni maksimum ni minimum, naziva se tačka pregiba.

Kao primjer, pronađimo stacionarnu tačku krive

Izvod ove funkcije je jednak

i ide na nulu na x = 0, X= 1 i X= –1; one. u tačkama (0,0), (1, –2/15) i (–1, 2/15). Ako X onda nešto manje od –1 fў ( x) je negativan; Ako X onda nešto više od –1 fў ( x) je pozitivan. Dakle, tačka (–1, 2/15) je maksimum. Slično, može se pokazati da je tačka (1, –2/15) minimum. Ali derivat fў ( x) je negativan i prije tačke (0,0) i poslije nje. Prema tome, (0,0) je tačka pregiba.

Proučavanje oblika krivulje, kao i činjenice da kriva siječe osu X at f(x) = 0 (tj. kada X= 0 ili ) omogućavaju nam da predstavimo njegov graf približno kao što je prikazano na Sl. 7.

Općenito, ako izuzmemo neobične slučajeve (krive koje sadrže ravne segmente ili beskonačan broj krivina), postoje četiri opcije za relativni položaj krivulje i tangente u blizini tangentne točke R. (Cm. pirinač. 8, na kojoj tangenta ima pozitivan nagib.)

1) Sa obe strane tačke R kriva leži iznad tangente (slika 8, A). U ovom slučaju kažu da je kriva u tački R konveksno nadole ili konkavno.

2) Sa obe strane tačke R kriva se nalazi ispod tangente (slika 8, b). U ovom slučaju se kaže da je kriva konveksna prema gore ili jednostavno konveksna.

3) i 4) Kriva se nalazi iznad tangente na jednoj strani tačke R a ispod - na drugoj. U ovom slučaju R– tačka pregiba.

Poređenje vrijednosti fў ( x) sa obe strane R sa svojom vrijednošću u tački R, može se odrediti kojim se od ova četiri slučaja treba baviti u određenom problemu.

Prijave.

Sve navedeno ima značajnu primjenu u raznim oblastima. Na primjer, ako se tijelo baci okomito prema gore s početnom brzinom od 200 stopa u sekundi, tada će visina s, na kojoj će se nalaziti kroz t sekundi u odnosu na početnu tačku će biti

Postupajući na isti način kao u primjerima koje smo razmatrali, nalazimo

ova količina ide na nulu na c. Derivat fў ( x) je pozitivna do vrijednosti c i negativna nakon ovog vremena. dakle, s raste na , zatim postaje stacionarno, a zatim opada. Ovo je opći opis kretanja tijela bačenog prema gore. Iz njega znamo kada tijelo dostigne svoju najvišu tačku. Dalje, zamena t= 25/4 V f(t), dobijamo 625 stopa, maksimalnu visinu dizanja. U ovom problemu fў ( t) ima fizičko značenje. Ovaj izvod pokazuje brzinu kojom se tijelo kreće u jednom trenutku t.

Razmotrimo sada aplikaciju drugog tipa (slika 9). Od lista kartona površine 75 cm2 potrebno je napraviti kutiju s kvadratnim dnom. Koje treba da budu dimenzije ove kutije da bi imala maksimalan volumen? Ako X– strana osnove kutije i h je njegova visina, onda je zapremina kutije V = x 2 h, a površina je 75 = x 2 + 4xh. Transformacijom jednačine dobijamo:

Derivat od V ispada da je jednaka

i ide na nulu na X= 5. Onda

I V= 125/2. Grafikon funkcije V = (75x – x 3)/4 je prikazano na sl. 10 (negativne vrijednosti X izostavljen jer nema fizičkog značenja u ovom problemu).

Derivati.

Važan zadatak diferencijalnog računa je stvaranje metoda koje vam omogućavaju da brzo i jednostavno pronađete derivate. Na primjer, to je lako izračunati

(Izvod konstante je, naravno, nula.) Nije teško izvesti opšte pravilo:

Gdje n– bilo koji cijeli broj ili razlomak. Na primjer,

(Ovaj primjer pokazuje koliko su korisni razlomci eksponenta.)

Evo nekih od najvažnijih formula:

Postoje i sljedeća pravila: 1) ako svaka od dvije funkcije g(x) I f(x) ima izvode, onda je izvod njihovog zbira jednak zbiru izvoda ovih funkcija, a izvod razlike je jednak razlici izvoda, tj.

2) derivacija proizvoda dvije funkcije izračunava se po formuli:

3) derivacija odnosa dve funkcije ima oblik

4) izvod funkcije pomnozen konstantom jednak je konstanti pomnozenoj sa izvodom ove funkcije, tj.

Često se dešava da se vrednosti funkcije moraju izračunati korak po korak. Na primjer, za izračunavanje grijeha x 2, prvo moramo pronaći u = x 2, a zatim izračunajte sinus broja u. Izvod takvih složenih funkcija nalazimo koristeći takozvano „pravilo lanca“:

U našem primjeru f(u) = grijeh u, fў ( u) = cos u, dakle,

Ova i druga slična pravila omogućuju vam da odmah zapišete derivate mnogih funkcija.

Linearne aproksimacije.

Činjenica da, poznavajući derivaciju, u mnogim slučajevima možemo zamijeniti graf funkcije blizu određene tačke njenom tangentom u ovoj tački, od velike je važnosti, jer je lakše raditi s pravim linijama.

Ova ideja nalazi direktnu primjenu u izračunavanju približnih vrijednosti funkcija. Na primjer, prilično je teško izračunati vrijednost kada x= 1.033. Ali možete iskoristiti činjenicu da je broj 1,033 blizu 1 i to . Izbliza x= 1 možemo zamijeniti graf tangentnom krivom bez ikakvih ozbiljnih grešaka. Ugaoni koeficijent takve tangente jednak je vrijednosti derivacije ( x 1/3)ŭ = (1/3) x–2/3 pri x = 1, tj. 1/3. Budući da tačka (1,1) leži na krivulji i da je ugaoni koeficijent tangente na krivu u ovoj tački jednak 1/3, tangentna jednačina ima oblik

Na ovoj pravoj liniji X = 1,033

Primljena vrijednost y treba da bude veoma blizu pravoj vrednosti y; i, zaista, samo je 0,00012 više od pravog. U matematičkoj analizi razvijene su metode koje omogućavaju povećanje tačnosti ove vrste linearnih aproksimacija. Ove metode osiguravaju pouzdanost naših približnih proračuna.

Upravo opisana procedura sugerira jednu korisnu notaciju. Neka P– tačka koja odgovara grafu funkcije f varijabla X, i neka funkcija f(x) je diferencibilan. Zamenimo grafik krive blizu tačke R tangenta na nju povučenu u ovoj tački. Ako X promjena po vrijednosti h, tada će se ordinata tangente promijeniti za iznos h H f ў ( x). Ako h je vrlo mala, onda potonja vrijednost služi kao dobra aproksimacija pravoj promjeni ordinate y grafike. Ako umjesto toga h napisaćemo simbol dx(ovo nije proizvod!), već promjena ordinate y označimo dy, onda dobijamo dy = f ў ( x)dx, ili dy/dx = f ў ( x) (cm. pirinač. jedanaest). Stoga, umjesto Dy ili f ў ( x) simbol se često koristi za označavanje izvedenice dy/dx. Pogodnost ove notacije zavisi uglavnom od eksplicitnog izgleda pravila lanca (diferencijacija složene funkcije); u novoj notaciji ova formula izgleda ovako:

gde se podrazumeva da at zavisi od u, A u zauzvrat zavisi od X.

Magnituda dy zove diferencijal at; u stvarnosti zavisi od dva varijable, i to: from X i inkrementi dx. Kada je inkrement dx vrlo male veličine dy je blizu odgovarajuće promjene vrijednosti y. Ali pretpostavimo da je prirast dx malo, nema potrebe.

Derivat funkcije y = f(x) odredili smo f ў ( x) ili dy/dx. Često je moguće uzeti derivat izvedenice. Rezultat se naziva drugi derivat od f (x) i označava se f ўў ( x) ili d 2 y/dx 2. Na primjer, ako f(x) = x 3 – 3x 2, onda f ў ( x) = 3x 2 – 6x I f ўў ( x) = 6x– 6. Slična notacija se koristi za derivate višeg reda. Međutim, da bi se izbjegao veliki broj poteza (jednak redoslijedu izvedenice), četvrti izvod (na primjer) može se napisati kao f (4) (x), i derivat n-th red as f (n) (x).

Može se pokazati da je kriva u nekoj tački konveksna prema dolje ako je drugi izvod pozitivan, a konveksna prema gore ako je drugi izvod negativan.

Ako funkcija ima drugi izvod, tada se mijenja vrijednost y, što odgovara inkrementu dx varijabla X, može se približno izračunati pomoću formule

Ova aproksimacija je obično bolja od one koju daje diferencijal fў ( x)dx. To odgovara zamjeni dijela krive ne ravnom linijom, već parabolom.

Ako je funkcija f(x) onda postoje derivati ​​višeg reda

Ostatak termina ima oblik

Gdje x- neki broj između x I x + dx. Gornji rezultat naziva se Taylorova formula sa ostatkom. Ako f(x) ima derivate svih redova, tada obično Rn® 0 at n ® Ґ .

INTEGRALNI RAČUN

Kvadrati.

Prilikom proučavanja područja krivolinijskih ravnih figura, otkrivaju se novi aspekti matematičke analize. Probleme ove vrste pokušavali su riješiti stari Grci, za koje je određivanje, na primjer, površine kruga bio jedan od najtežih zadataka. Veliki uspjeh u rješavanju ovog problema postigao je Arhimed, koji je uspio pronaći i površinu paraboličnog segmenta (slika 12). Koristeći veoma složeno rezonovanje, Arhimed je dokazao da je površina paraboličnog segmenta 2/3 površine opisanog pravougaonika i stoga je u ovom slučaju jednaka (2/3)(16) = 32/ 3. Kao što ćemo kasnije vidjeti, ovaj rezultat se lako može dobiti metodama matematičke analize.

Prethodnici Newtona i Leibniza, uglavnom Kepler i Cavalieri, rješavali su probleme izračunavanja površina krivolinijskih figura metodom koja se teško može nazvati logički ispravnom, ali koja se pokazala izuzetno plodnom. Kada je Wallis 1655. spojio metode Keplera i Cavalierija sa Descartesovim metodama (analitička geometrija) i iskoristio novonastalu algebru, pozornica je bila potpuno spremna za pojavu Newtona.

Wallis je figuru, čiju je površinu trebalo izračunati, podijelio na vrlo uske trake, od kojih je svaku otprilike smatrao pravokutnikom. Zatim je sabrao površine aproksimirajućih pravougaonika i u najjednostavnijim slučajevima dobio vrijednost kojoj teži zbir površina pravokutnika kada je broj traka težio beskonačnosti. Na sl. Slika 13 prikazuje pravokutnike koji odgovaraju nekoj podjeli na trake površine ispod krive y = x 2 .

Glavna teorema.

Veliko otkriće Newtona i Leibniza omogućilo je eliminaciju napornog procesa odlaska do granice zbira površina. To je učinjeno zahvaljujući novom pogledu na koncept područja. Poenta je u tome da moramo zamisliti površinu ispod krivulje kao generiranu ordinatom koja se kreće slijeva nadesno i pitati kojom se brzinom mijenja površina koju obrađuju ordinate. Ključ za odgovor na ovo pitanje dobit ćemo ako razmotrimo dva posebna slučaja u kojima je područje unaprijed poznato.

Počnimo s površinom ispod grafa linearne funkcije y = 1 + x, jer se u ovom slučaju površina može izračunati pomoću elementarne geometrije.

Neka A(x) – dio ravni zatvoren između prave y = 1 + x i segment OQ(Sl. 14). Tokom vožnje QP desno područje A(x) povećava. kojom brzinom? Nije teško odgovoriti na ovo pitanje, jer znamo da je površina trapeza jednaka umnošku njegove visine i polovine zbira njegovih baza. dakle,

Stopa promjene područja A(x) određena je njegovom derivacijom

Vidimo to Aў ( x) poklapa se sa ordinatom at bodova R. Je li ovo slučajnost? Pokušajmo provjeriti parabolu prikazanu na sl. 15. Područje A (x) ispod parabole at = X 2 u rasponu od 0 do X jednak A(x) = (1 / 3)(x)(x 2) = x 3/3. Brzina promjene ove površine određena je izrazom

koja se tačno poklapa sa ordinatom at pokretna tačka R.

Ako pretpostavimo da ovo pravilo vrijedi u općem slučaju tako da

je stopa promjene površine ispod grafa funkcije y = f(x), onda se ovo može koristiti za proračune i druga područja. Zapravo, omjer Aў ( x) = f(x) izražava temeljnu teoremu koja bi se mogla formulirati na sljedeći način: derivacija ili brzina promjene površine kao funkcija X, jednako vrijednosti funkcije f (x) u tački X.

Na primjer, da biste pronašli područje ispod grafa funkcije y = x 3 od 0 do X(Sl. 16), stavimo

Mogući odgovor glasi:

budući da je derivat od X 4/4 je zaista jednako X 3. osim toga, A(x) je jednako nuli na X= 0, kako bi trebalo biti ako A(x) je zaista područje.

Matematička analiza dokazuje da nema drugog odgovora osim gornjeg izraza za A(x), ne postoji. Pokažimo da je ova izjava uvjerljiva koristeći sljedeće heurističko (nerigorozno) rezonovanje. Pretpostavimo da postoji neko drugo rješenje IN(x). Ako A(x) I IN(x) „start” istovremeno od nulte vrijednosti na X= 0 i mijenjaju se cijelo vrijeme istom brzinom, onda njihove vrijednosti ​​ne mogu biti X ne može postati drugačiji. Moraju se poklapati svuda; stoga postoji jedinstveno rješenje.

Kako možete opravdati vezu? Aў ( x) = f(x) Uglavnom? Na ovo pitanje se može odgovoriti samo proučavanjem stope promjene površine u funkciji od X Uglavnom. Neka m– najmanja vrijednost funkcije f (x) u rasponu od X prije ( x + h), A M– najveća vrijednost ove funkcije u istom intervalu. Zatim povećanje površine pri kretanju od X Za ( x + h) mora biti zatvoren između površina dva pravougaonika (slika 17). Osnove oba pravougaonika su jednake h. Manji pravougaonik ima visinu m i područje mh, veći, respektivno, M I Mh. Na grafikonu površine naspram X(Sl. 18) jasno je da kada se apscisa promijeni u h, vrijednost ordinate (tj. površina) se povećava za iznos između mh I Mh. Sekantni nagib na ovom grafu je između m I M. šta se dešava kada h teži nuli? Ako je graf funkcije y = f(x) je kontinuiran (tj. ne sadrži diskontinuitete), dakle M, And m Nastojati f(x). Dakle, nagib Aў ( x) graf površine u funkciji od X jednaki f(x). To je upravo zaključak do kojeg je trebalo doći.

Leibniz je predložio područje ispod krive y = f(x) od 0 do A oznaka

U rigoroznom pristupu, ovaj takozvani definitivni integral treba definisati kao granicu određenih suma na Wallisov način. S obzirom na gore dobijeni rezultat, jasno je da je ovaj integral izračunat pod uslovom da možemo pronaći takvu funkciju A(x), koji nestaje kada X= 0 i ima izvod Aў ( x), jednak f (x). Pronalaženje takve funkcije obično se naziva integracijom, iako bi bilo prikladnije nazvati ovu operaciju antidiferencijacijom, što znači da je ona u nekom smislu inverzna diferencijaciji. U slučaju polinoma, integracija je jednostavna. Na primjer, ako

što je lako provjeriti diferenciranjem A(x).

Za izračunavanje površine A 1 ispod krive y = 1 + x + x 2 /2, zatvoreno između ordinata 0 i 1, jednostavno pišemo

i, zamena X= 1, dobijamo A 1 = 1 + 1/2 + 1/6 = 5/3. Square A(x) od 0 do 2 je jednako A 2 = 2 + 4/2 + 8/6 = 16/3. Kao što se može vidjeti sa sl. 19, površina zatvorena između ordinata 1 i 2 je jednaka A 2 – A 1 = 11/3. Obično se piše kao određeni integral

Volume.

Slično razmišljanje čini iznenađujuće lakim izračunavanje volumena tijela okretanja. Pokažimo to na primjeru izračunavanja zapremine kugle, još jednog klasičnog problema koji su stari Grci, koristeći im poznate metode, s velikom mukom uspjeli riješiti.

Zarotirajmo dio ravnine koja se nalazi unutar četvrtine kruga polumjera r, pod uglom od 360° oko ose X. Kao rezultat, dobijamo hemisferu (slika 20), čiji volumen označavamo V(x). Moramo odrediti brzinu kojom se povećava V(x) sa povećanjem x. Kretanje iz X To X + h, lako je provjeriti da je prirast volumena manji od volumena str(r 2 – x 2)h kružni cilindar sa radijusom i visinom h, i više od volumena str[r 2 – (x + h) 2 ]h radijus i visina cilindra h. Dakle, na grafu funkcije V(x) ugaoni koeficijent sekansa je između str(r 2 – x 2) i str[r 2 – (x + h) 2 ]. Kada h teži nuli, nagib teži

At x = r dobijamo

za zapreminu hemisfere, pa prema tome 4 p r 3/3 za volumen cijele lopte.

Slična metoda omogućava pronalaženje dužina krivih i površina zakrivljenih površina. Na primjer, ako a(x) – dužina luka PR na sl. 21, onda je naš zadatak da izračunamo aў( x). Na heurističkom nivou koristićemo tehniku ​​koja nam omogućava da ne pribegnemo uobičajenom prolazu do granice, što je neophodno za rigorozni dokaz rezultata. Pretpostavimo da je stopa promjene funkcije A(x) u tački R isto kao što bi bilo kada bi krivulju zamijenila njena tangenta P.T. u tački P. Ali sa Sl. 21 je direktno vidljiv pri iskoračenju h desno ili lijevo od tačke X zajedno RT značenje A(x) mijenja u

Dakle, brzina promjene funkcije a(x) je

Da pronađe samu funkciju a(x), samo trebate integrirati izraz na desnoj strani jednakosti. Ispostavilo se da je integracija prilično teška za većinu funkcija. Stoga razvoj metoda integralnog računa čini veliki dio matematičke analize.

Antiderivati.

Svaka funkcija čiji je izvod jednak datoj funkciji f(x), naziva se antiderivativnim (ili primitivnim) za f(x). Na primjer, X 3 /3 – antiderivat za funkciju X 2 od ( x 3 /3)ŭ = x 2. Naravno X 3/3 nije jedini antiderivat funkcije X 2 jer x 3 /3 + C je također derivat za X 2 za bilo koju konstantu WITH. Međutim, u onome što slijedi slažemo se da izostavimo takve aditivne konstante. Uglavnom

Gdje n je pozitivan cijeli broj, budući da ( x n + 1/(n+ 1))ŭ = x n. Relacija (1) je zadovoljena u još generalnijem smislu ako n zamijeniti bilo kojim racionalnim brojem k, osim –1.

Proizvoljna antiderivativna funkcija za datu funkciju f(x) se obično naziva neodređenim integralom f(x) i označimo ga u obliku

Na primjer, budući da (grijeh x)ŭ = cos x, formula je važeća

U mnogim slučajevima kada postoji formula za neodređeni integral date funkcije, ona se može naći u brojnim široko objavljenim tabelama neodređenih integrala. Integrali iz elementarnih funkcija su tabelarni (obuhvataju stepene, logaritme, eksponencijalne funkcije, trigonometrijske funkcije, inverzne trigonometrijske funkcije, kao i njihove konačne kombinacije dobijene operacijama sabiranja, oduzimanja, množenja i dijeljenja). Koristeći tablične integrale možete izračunati integrale složenijih funkcija. Postoji mnogo načina za izračunavanje neodređenih integrala; Najčešći od njih je varijabilna supstitucija ili metoda zamjene. Sastoji se u tome da ako želimo zamijeniti u neodređenom integralu (2) x na neku diferencijabilnu funkciju x = g(u), tada je neophodno da bi integral ostao nepromijenjen x zamijenjen sa gў ( u)du. Drugim riječima, jednakost

(zamjena 2 x = u, odakle 2 dx = du).

Predstavimo još jednu metodu integracije - metodu integracije po dijelovima. Zasnovan je na već poznatoj formuli

Integracijom lijeve i desne strane i vodeći računa o tome

Ova formula se zove formula integracije po dijelovima.

Primjer 2. Morate pronaći . Pošto cos x= (grijeh x)ŭ , možemo to napisati

Iz (5), pod pretpostavkom u = x I v= grijeh x, dobijamo

I pošto (–cos x)ŭ = greh x nalazimo to

Treba naglasiti da smo se ograničili samo na vrlo kratak uvod u veoma obimnu temu u kojoj su akumulirane brojne genijalne tehnike.

Funkcije dvije varijable.

Zbog krivine y = f(x) razmotrili smo dva problema.

1) Pronađite ugaoni koeficijent tangente na krivu u datoj tački. Ovaj problem se rješava izračunavanjem vrijednosti derivata fў ( x) na navedenoj tački.

2) Pronađite površinu ispod krive iznad segmenta ose X, omeđen vertikalnim linijama X = A I X = b. Ovaj problem se rješava izračunavanjem određenog integrala.

Svaki od ovih problema ima analogiju u slučaju površine z = f(x,y).

1) Pronađite ravan tangente na površinu u datoj tački.

2) Pronađite zapreminu ispod površine iznad dela ravnine xy, omeđen krivom WITH, a sa strane – okomito na ravan xy prolazeći kroz tačke granične krive WITH (cm. pirinač. 22).

Sljedeći primjeri pokazuju kako se ovi problemi rješavaju.

Primjer 4. Pronađite tangentnu ravan na površinu

u tački (0,0,2).

Ravan je definisana ako su date dve prave koje se u njoj seku. Jedna od ovih pravih linija ( l 1) ulazimo u avion xz (at= 0), sekunda ( l 2) – u avionu yz (x = 0) (cm. pirinač. 23).

Prije svega, ako at= 0, onda z = f(x,0) = 2 – 2x – 3x 2. Derivat u odnosu na X, označeno fў x(x,0) = –2 – 6x, at X= 0 ima vrijednost –2. Pravo l 1 dat jednadžbama z = 2 – 2x, at= 0 – tangenta na WITH 1, linije presjeka površine s ravninom at= 0. Slično, ako X= 0, onda f(0,y) = 2 – y – y 2 , i izvod u odnosu na at izgleda kao

Jer fў y(0,0) = –1, kriva WITH 2 – linija presjeka površine sa ravninom yz– ima tangentu l 2 dat jednadžbama z = 2 – y, X= 0. Željena tangentna ravan sadrži obe prave l 1 i l 2 i zapisuje se jednadžbom

Ovo je jednadžba ravni. Osim toga, primamo direktno l 1 i l 2, pod pretpostavkom, shodno tome, at= 0 i X = 0.

Činjenica da jednačina (7) zaista definira tangentnu ravan može se provjeriti na heurističkom nivou primjećivanjem da ova jednačina sadrži članove prvog reda uključene u jednačinu (6), a da se članovi drugog reda mogu predstaviti kao –. Pošto je ovaj izraz negativan za sve vrijednosti X I at, osim X = at= 0, površina (6) leži ispod ravni (7) svuda, osim tačke R= (0,0,0). Možemo reći da je površina (6) u tački konveksna prema gore R.

Primjer 5. Pronađite tangentnu ravan na površinu z = f(x,y) = x 2 – y 2 na početku 0.

Na površini at= 0 imamo: z = f(x,0) = x 2 i fў x(x,0) = 2x. On WITH 1, raskrsnice, z = x 2. U tački O nagib je jednak fў x(0,0) = 0. Na ravni X= 0 imamo: z = f(0,y) = –y 2 i fў y(0,y) = –2y. On WITH 2, raskrsnice, z = –y 2. U tački O nagib krivine WITH 2 je jednako fў y(0,0) = 0. Pošto su tangente na WITH 1 i WITH 2 su sjekire X I at, tangentna ravan koja ih sadrži je ravan z = 0.

Međutim, u blizini ishodišta, naša površina nije na istoj strani tangentne ravni. Zaista, kriva WITH 1 svuda, osim tačke 0, leži iznad tangentne ravni i krive WITH 2 – odnosno ispod njega. Površina siječe tangentnu ravan z= 0 u ravnim linijama at = X I at = –X. Za takvu površinu se kaže da ima tačku sedla u početku (slika 24).

Parcijalni derivati.

U prethodnim primjerima koristili smo derivate od f (x,y) By X i po at. Razmotrimo sada takve derivate u širem smislu. Ako imamo funkciju od dvije varijable, npr. F(x,y) = x 2 – xy, tada možemo odrediti u svakoj tački njena dva "parcijalna izvoda", jedan diferenciranjem funkcije u odnosu na X i fiksiranje at, drugi – razlikovanje po at i fiksiranje X. Prvi od ovih derivata se označava kao fў x(x,y) ili ¶ f/¶ x; drugo - kako f f ý y. Ako oba mješovita derivata (po X I at, By at I X) su kontinuirani, onda ¶ 2 f/¶ xy= ¶ 2 f/¶ yx; u našem primjeru ¶ 2 f/¶ xy= ¶ 2 f/¶ yx = –1.

Parcijalni derivat fў x(x,y) označava brzinu promjene funkcije f u tački ( x,y) u pravcu povećanja X, A fў y(x,y) – brzina promjene funkcije f u pravcu povećanja at. Brzina promjene funkcije f u tački ( X,at) u pravcu prave linije koja čini ugao q sa pozitivnim smjerom ose X, naziva se derivacija funkcije f prema; njegova vrijednost je kombinacija dva parcijalna izvoda funkcije f u tangentnoj ravni je skoro jednak (pri malom dx I dy) istinska promjena z na površini, ali je izračunavanje diferencijala obično lakše.

Formula koju smo već razmatrali iz metode promjene promjenljive, poznate kao izvod kompleksne funkcije ili pravilo lanca, u jednodimenzionalnom slučaju kada at zavisi od X, A X zavisi od t, ima oblik:

Za funkcije dvije varijable, slična formula ima oblik:

Koncepte i oznake parcijalne diferencijacije je lako generalizirati na više dimenzije. Posebno, ako je površina implicitno specificirana jednadžbom f(x,y,z) = 0, jednadžbi tangentne ravnine na površinu može se dati simetričniji oblik: jednačina tangentne ravnine u tački ( x(x 2 /4)], zatim integrisan preko X od 0 do 1. Konačan rezultat je 3/4.

Formula (10) se može tumačiti i kao takozvani dvostruki integral, tj. kao granica zbira volumena elementarnih “ćelija”. Svaka takva ćelija ima bazu D x D y i visina jednaka visini površine iznad neke tačke pravougaone osnove ( cm. pirinač. 26). Može se pokazati da su oba gledišta na formulu (10) ekvivalentna. Dvostruki integrali se koriste za pronalaženje centara gravitacije i brojnih momenata koji se susreću u mehanici.

Rigoroznije opravdanje matematičkog aparata.

Do sada smo predstavili koncepte i metode matematičke analize na intuitivnom nivou i nismo se ustručavali da pribegnemo geometrijskim figurama. Ostaje nam da ukratko razmotrimo rigoroznije metode koje su se pojavile u 19. i 20. veku.

Početkom 19. vijeka, kada se završilo doba oluje i pritiska u „stvaranju matematičke analize“, u prvi plan izbijaju pitanja njene opravdanosti. U radovima Abela, Cauchyja i niza drugih istaknutih matematičara, pojmovi „granične“, „kontinuirane funkcije“, „konvergentnog niza“ precizno su definisani. To je bilo neophodno kako bi se uveo logički red u osnovu matematičke analize kako bi ona postala pouzdan alat za istraživanje. Potreba za temeljnim opravdanjem postala je još očiglednija nakon što je Weierstrass 1872. otkrio funkcije koje su svuda bile neprekidne, ali nigdje ne diferencibilne (grafikon takvih funkcija ima kink u svakoj tački). Ovaj rezultat je imao zapanjujući učinak na matematičare, jer je bio u suprotnosti sa njihovom geometrijskom intuicijom. Još upečatljiviji primjer nepouzdanosti geometrijske intuicije bila je kontinuirana kriva koju je konstruirao D. Peano, a koja u potpunosti ispunjava određeni kvadrat, tj. prolazeći kroz sve njegove tačke. Ova i druga otkrića dovela su do programa „aritmetizacije“ matematike, tj. čineći ga pouzdanijim zasnivanjem svih matematičkih koncepata koristeći koncept broja. Gotovo puritanska apstinencija od jasnoće u radovima o osnovama matematike imala je svoje istorijsko opravdanje.

Prema modernim kanonima logičke strogosti, neprihvatljivo je govoriti o površini ispod krivulje y = f(x) i iznad segmenta ose X, čak f- kontinuirana funkcija, bez prethodnog definisanja tačnog značenja pojma „područje“ i bez utvrđivanja da tako definisano područje zaista postoji. Ovaj problem je 1854. godine uspješno riješio B. Riemann, koji je dao preciznu definiciju pojma određenog integrala. Od tada, ideja sumiranja iza koncepta određenog integrala bila je predmet mnogih dubinskih studija i generalizacija. Kao rezultat toga, danas je moguće dati značenje određenom integralu, čak i ako je integrand svuda diskontinuiran. Novi koncepti integracije, čijem su stvaranju A. Lebesgue (1875–1941) i drugi matematičari dali veliki doprinos, povećali su snagu i ljepotu moderne matematičke analize.

Teško da bi bilo prikladno ići u detalje o svim ovim i drugim konceptima. Ograničićemo se samo na davanje strogih definicija granice i određenog integrala.

U zaključku, recimo da matematička analiza, kao izuzetno vrijedan alat u rukama naučnika i inženjera, i danas privlači pažnju matematičara kao izvor plodonosnih ideja. Istovremeno, čini se da savremeni razvoj ukazuje da matematičku analizu sve više apsorbuju oni koji su dominirali u 20. veku. grane matematike kao što su apstraktna algebra i topologija.

Na kojoj smo ispitali najjednostavnije izvode, a takođe se upoznali sa pravilima diferencijacije i nekim tehničkim tehnikama za pronalaženje izvodnica. Stoga, ako niste baš dobri sa derivatima funkcija ili neke tačke u ovom članku nisu sasvim jasne, onda prvo pročitajte gornju lekciju. Ozbiljno se raspoloženi - materijal nije jednostavan, ali ću ipak pokušati da ga predstavim jednostavno i jasno.

U praksi se sa izvodom složene funkcije morate suočiti vrlo često, čak bih rekao, skoro uvijek, kada vam se daju zadaci da nađete izvode.

Gledamo u tabelu pravilo (br. 5) za razlikovanje složene funkcije:

Hajde da to shvatimo. Prije svega, obratimo pažnju na unos. Ovdje imamo dvije funkcije - i , a funkcija je, figurativno rečeno, ugniježđena unutar funkcije. Funkcija ovog tipa (kada je jedna funkcija ugniježđena u drugu) naziva se složena funkcija.

Ja ću pozvati funkciju eksterna funkcija, i funkciju – interna (ili ugniježđena) funkcija.

! Ove definicije nisu teorijske i ne bi se trebale pojaviti u konačnom dizajnu zadataka. Koristim neformalne izraze “spoljna funkcija”, “unutrašnja” funkcija samo da bih vam olakšao razumevanje materijala.

Da razjasnite situaciju, razmotrite:

Primjer 1

Pronađite izvod funkcije

Pod sinusom nemamo samo slovo "X", već cijeli izraz, tako da pronalaženje izvedenice odmah iz tabele neće raditi. Također primjećujemo da je ovdje nemoguće primijeniti prva četiri pravila, čini se da postoji razlika, ali činjenica je da se sinus ne može „rastrgnuti na komade“:

U ovom primjeru je već intuitivno jasno iz mojih objašnjenja da je funkcija složena funkcija, a polinom je interna funkcija (ugradnja) i eksterna funkcija.

Prvi korak ono što trebate učiniti kada pronađete derivaciju kompleksne funkcije je da razumjeti koja je funkcija unutrašnja, a koja eksterna.

U slučaju jednostavnih primjera, čini se jasnim da je polinom ugrađen ispod sinusa. Ali šta ako sve nije očigledno? Kako tačno odrediti koja je funkcija eksterna, a koja unutrašnja? Da biste to učinili, predlažem korištenje sljedeće tehnike, koja se može učiniti mentalno ili u nacrtu.

Zamislimo da trebamo izračunati vrijednost izraza at na kalkulatoru (umjesto jedan može biti bilo koji broj).

Šta ćemo prvo izračunati? Kao prvo morat ćete izvesti sljedeću radnju: , stoga će polinom biti interna funkcija:

Drugo morat će se pronaći, tako da će sinus – biti vanjska funkcija:

Posle nas RASPRODATO sa unutrašnjim i eksternim funkcijama, vreme je da se primeni pravilo diferencijacije složenih funkcija .

Počnimo da odlučujemo. Sa lekcije Kako pronaći derivat? sjećamo se da dizajn rješenja za bilo koju derivaciju uvijek počinje ovako - stavljamo izraz u zagrade i stavljamo crtu gore desno:

Kao prvo nalazimo derivaciju eksterne funkcije (sinus), pogledamo tabelu izvoda elementarnih funkcija i uočimo da . Sve formule tablice su također primjenjive ako se “x” zamijeni složenim izrazom, u ovom slučaju:

Imajte na umu da je unutrašnja funkcija nije se promenilo, ne diramo ga.

Pa, to je sasvim očigledno

Rezultat primjene formule u konačnom obliku izgleda ovako:

Konstantni faktor se obično stavlja na početak izraza:

Ako dođe do nesporazuma, zapišite rješenje na papir i ponovo pročitajte objašnjenja.

Primjer 2

Pronađite izvod funkcije

Primjer 3

Pronađite izvod funkcije

Kao i uvek, zapisujemo:

Hajde da shvatimo gde imamo spoljnu funkciju, a gde unutrašnju. Da bismo to učinili, pokušavamo (mentalno ili u nacrtu) izračunati vrijednost izraza na . Šta prvo treba da uradite? Prije svega, morate izračunati čemu je baza jednaka: dakle, polinom je interna funkcija:

I tek tada se vrši eksponencijacija, dakle, funkcija stepena je vanjska funkcija:

Prema formuli , prvo morate pronaći derivaciju eksterne funkcije, u ovom slučaju stepen. Traženu formulu tražimo u tabeli: . Ponavljamo ponovo: bilo koja tabelarna formula je važeća ne samo za „X“, već i za složeni izraz. Dakle, rezultat primjene pravila za diferenciranje složene funkcije sljedeći:

Ponovo naglašavam da kada uzmemo derivaciju eksterne funkcije, naša unutrašnja funkcija se ne mijenja:

Sada sve što ostaje je pronaći vrlo jednostavan izvod interne funkcije i malo podesiti rezultat:

Primjer 4

Pronađite izvod funkcije

Ovo je primjer koji možete sami riješiti (odgovor na kraju lekcije).

Da biste učvrstili vaše razumijevanje derivacije složene funkcije, dat ću primjer bez komentara, pokušajte sami da ga shvatite, razlog gdje je vanjska, a gdje unutrašnja funkcija, zašto se zadaci rješavaju na ovaj način?

Primjer 5

a) Naći derivaciju funkcije

b) Naći derivaciju funkcije

Primjer 6

Pronađite izvod funkcije

Ovdje imamo korijen, a da bismo ga razlikovali, on mora biti predstavljen kao potencija. Dakle, prvo dovedemo funkciju u oblik prikladan za diferencijaciju:

Analizirajući funkciju dolazimo do zaključka da je zbir tri člana interna funkcija, a podizanje na stepen eksterna funkcija. Primjenjujemo pravilo diferencijacije složenih funkcija :

Opet predstavljamo stepen kao radikal (korijen), a za derivaciju interne funkcije primjenjujemo jednostavno pravilo za diferenciranje sume:

Spreman. Također možete svesti izraz na zajednički nazivnik u zagradama i sve zapisati kao jedan razlomak. Lijepo je, naravno, ali kada dobijete glomazne dugačke izvedenice, bolje je to ne raditi (lako se zbuniti, napraviti nepotrebnu grešku, a nastavniku će biti nezgodno da provjeri).

Primjer 7

Pronađite izvod funkcije

Ovo je primjer koji možete sami riješiti (odgovor na kraju lekcije).

Zanimljivo je primijetiti da ponekad umjesto pravila za diferenciranje složene funkcije možete koristiti pravilo za razlikovanje količnika , ali takvo rješenje će izgledati kao neobična perverzija. Evo tipičnog primjera:

Primjer 8

Pronađite izvod funkcije

Ovdje možete koristiti pravilo diferencijacije kvocijenta , ali je mnogo isplativije pronaći izvod kroz pravilo diferencijacije složene funkcije:

Pripremamo funkciju za diferencijaciju - pomičemo minus iz znaka derivacije i dižemo kosinus u brojilac:

Kosinus je interna funkcija, eksponencijacija je vanjska funkcija.
Koristimo naše pravilo :

Pronalazimo izvod interne funkcije i resetujemo kosinus nazad:

Spreman. U razmatranom primjeru važno je da se ne zbunite u znakovima. Usput, pokušajte to riješiti pomoću pravila , odgovori se moraju podudarati.

Primjer 9

Pronađite izvod funkcije

Ovo je primjer koji možete sami riješiti (odgovor na kraju lekcije).

Do sada smo gledali slučajeve u kojima smo imali samo jedno ugniježđenje u složenoj funkciji. U praktičnim zadacima često možete pronaći derivate, gdje se, poput lutkica za gniježđenje, jedna u drugoj, 3 ili čak 4-5 funkcija ugniježđuju odjednom.

Primjer 10

Pronađite izvod funkcije

Hajde da razumemo priloge ove funkcije. Pokušajmo izračunati izraz koristeći eksperimentalnu vrijednost. Kako bismo računali na kalkulator?

Prvo morate pronaći , što znači da je arksinus najdublje ugrađivanje:

Ovaj arcsin od jedan bi se tada trebao kvadrirati:

I konačno, dižemo sedam na stepen:

To jest, u ovom primjeru imamo tri različite funkcije i dva ugrađivanja, dok je najnutarnja funkcija arksinus, a najudaljenija funkcija eksponencijalna funkcija.

Počnimo da odlučujemo

Po pravilu Prvo morate uzeti derivaciju vanjske funkcije. Gledamo tablicu izvoda i nalazimo izvod eksponencijalne funkcije: Jedina razlika je u tome što umjesto “x” imamo složen izraz, koji ne negira valjanost ove formule. Dakle, rezultat primjene pravila za diferenciranje složene funkcije sljedeći.

Rješavanje fizičkih zadataka ili primjera iz matematike potpuno je nemoguće bez poznavanja derivacije i metoda za njeno izračunavanje. Izvod je jedan od najvažnijih koncepata u matematičkoj analizi. Odlučili smo današnji članak posvetiti ovoj temeljnoj temi. Šta je derivacija, koje je njeno fizičko i geometrijsko značenje, kako izračunati izvod funkcije? Sva ova pitanja mogu se spojiti u jedno: kako razumjeti derivat?

Geometrijsko i fizičko značenje derivacije

Neka postoji funkcija f(x) , specificirano u određenom intervalu (a, b) . Tačke x i x0 pripadaju ovom intervalu. Kada se x promijeni, mijenja se i sama funkcija. Promjena argumenta - razlika u njegovim vrijednostima x-x0 . Ova razlika je zapisana kao delta x i naziva se povećanje argumenta. Promjena ili povećanje funkcije je razlika između vrijednosti funkcije u dvije točke. Definicija derivata:

Derivat funkcije u tački je granica omjera prirasta funkcije u datoj tački i priraštaja argumenta kada potonji teži nuli.

Inače se može napisati ovako:

Koja je svrha pronalaženja takve granice? A evo šta je to:

derivacija funkcije u tački jednaka je tangenti ugla između ose OX i tangente na graf funkcije u datoj tački.


Fizičko značenje izvedenice: derivacija putanje u odnosu na vrijeme jednaka je brzini pravolinijskog kretanja.

Zaista, još od školskih dana svi znaju da je brzina poseban put x=f(t) i vrijeme t . Prosječna brzina u određenom vremenskom periodu:

Da biste saznali brzinu kretanja u datom trenutku t0 morate izračunati granicu:

Prvo pravilo: postavite konstantu

Konstanta se može izvaditi iz predznaka derivacije. Štaviše, to se mora uraditi. Kada rješavate primjere iz matematike, uzmite to kao pravilo - Ako možete pojednostaviti izraz, obavezno ga pojednostavite .

Primjer. Izračunajmo derivaciju:

Drugo pravilo: derivacija zbira funkcija

Derivat zbira dviju funkcija jednak je zbroju izvoda ovih funkcija. Isto vrijedi i za derivaciju razlike funkcija.

Nećemo dati dokaz ove teoreme, već ćemo razmotriti praktični primjer.

Pronađite izvod funkcije:

Treće pravilo: derivacija proizvoda funkcija

Derivat proizvoda dvije diferencijabilne funkcije izračunava se po formuli:

Primjer: pronađite derivaciju funkcije:

Rješenje:

Ovdje je važno govoriti o izračunavanju izvoda složenih funkcija. Derivat kompleksne funkcije jednak je proizvodu izvoda ove funkcije u odnosu na međuargument i derivacije međuargumenata u odnosu na nezavisnu varijablu.

U gornjem primjeru nailazimo na izraz:

U ovom slučaju, srednji argument je 8x na peti stepen. Da bismo izračunali derivaciju takvog izraza, prvo izračunamo derivaciju eksterne funkcije u odnosu na međuargument, a zatim pomnožimo sa derivacijom samog međuargumena u odnosu na nezavisnu varijablu.

Četvrto pravilo: derivacija količnika dvije funkcije

Formula za određivanje derivacije kvocijenta dvije funkcije:

Pokušali smo da pričamo o derivatima za lutke od nule. Ova tema nije tako jednostavna kao što se čini, stoga budite upozoreni: u primjerima često postoje zamke, stoga budite oprezni pri izračunavanju izvedenica.

Ako imate pitanja o ovoj ili drugim temama, možete se obratiti studentska služba. U kratkom vremenu pomoći ćemo vam da riješite najteži test i shvatite zadatke, čak i ako nikada prije niste radili izvedene proračune.