Bilo koji kompozitni broj može se razložiti u proste faktore. Može postojati nekoliko metoda razgradnje. Bilo koja metoda daje isti rezultat.

Kako razložiti broj u proste faktore na najprikladniji način? Pogledajmo kako to najbolje učiniti na konkretnim primjerima.

Primjeri. 1) Faktori broj 1400 u proste faktore.

1400 je djeljivo sa 2. 2 je prost broj; Dobijamo 700. Podijelimo sa 2. Dobijamo 350. Također, 350 podijelimo sa 2. Dobiveni broj 175 može se podijeliti sa 5. Rezultat je 35 - podijeliti opet sa 5 - 7. Može se podijeliti samo sa 7. Dobijamo 1, podjela je završena.

Isti broj se može različito faktorisati:

Zgodno je podijeliti 1400 sa 10. 10 nije prost broj, pa ga treba rastaviti na proste faktore: 10=2∙5. Rezultat je 140. Ponovo ga dijelimo sa 10=2∙5. Dobijamo 14. Ako se 14 podijeli sa 14, onda i njega treba razložiti na proizvod prostih faktora: 14=2∙7.

Tako smo ponovo došli do iste dekompozicije kao u prvom slučaju, ali brže.

Zaključak: prilikom dekompozicije broja nije potrebno dijeliti ga samo na proste faktore. Dijelimo onim što je zgodnije, na primjer, sa 10. Samo treba da zapamtite da složene djelitelje razložite na jednostavne činioce.

2) Faktori broj 1620 u proste faktore.

Najpogodniji način da se broj 1620 podijeli sa 10. Pošto 10 nije prost broj, predstavljamo ga kao proizvod prostih faktora: 10=2∙5. Dobili smo 162. Zgodno ga je podijeliti sa 2. Rezultat je 81. Broj 81 se može podijeliti sa 3, ali je zgodnije sa 9. Pošto 9 nije prost broj, proširimo ga kao 9=3∙3. Dobijamo 9. Također ga podijelimo sa 9 i proširimo u proizvod prostih faktora.

Faktoriranje velikog broja nije lak zadatak. Većina ljudi ima poteškoća u odgonetanju četverocifrenih ili petocifrenih brojeva. Da biste olakšali proces, upišite broj iznad dva stupca.

  • Razložimo broj 6552 na faktore.

  • Podijelite dati broj najmanjim prostim djeliteljem (osim 1) koji dijeli dati broj bez ostavljanja ostatka. Upišite ovaj djelitelj u lijevu kolonu, a rezultat dijeljenja u desnu kolonu. Kao što je gore navedeno, parne brojeve je lako razložiti na faktore jer će njihov najmanji prosti faktor uvijek biti 2 (neparni brojevi imaju različite najmanje proste faktore).

    • U našem primjeru, 6552 je paran broj, tako da je 2 njegov najmanji prosti faktor. 6552 ÷ 2 = 3276. U lijevu kolonu upišite 2, a u desnu 3276.

  • Zatim podijelite broj u desnom stupcu s najmanjim prostim faktorom (osim 1) koji dijeli broj bez ostatka. Upišite ovaj djelitelj u lijevu kolonu, au desnu kolonu upišite rezultat dijeljenja (nastavite ovaj proces sve dok u desnom stupcu ne ostane 1).

    • U našem primjeru: 3276 ÷ 2 = 1638. Upišite 2 u lijevu kolonu, a 1638 u desnu kolonu.

  • Imate neparan broj; Za takve brojeve je teže pronaći najmanji prosti djelitelj. Ako dobijete neparan broj, pokušajte ga podijeliti s najmanjim prostim neparnim brojevima: 3, 5, 7, 11.

    • U našem primjeru dobili ste neparan broj 819. Podijelite ga sa 3: 819 ÷ 3 = 273. U lijevu kolonu upišite 3, a u desnu 273.
    • Kada tražite faktore, pokušajte sa svim prostim brojevima do kvadratnog korijena najvećeg faktora koji pronađete. Ako nijedan djelitelj ne dijeli broj s cjelinom, onda najvjerovatnije imate prost broj i možete prestati s računanjem.

  • Nastavite proces dijeljenja brojeva prostim faktorima dok ne ostanete sa 1 u desnoj koloni (ako dobijete prost broj u desnoj koloni, podijelite ga sam od sebe da dobijete 1).

    • Nastavimo proračune u našem primjeru:
      • Podijelite sa 3: 273 ÷ 3 = 91. Nema ostatka. U lijevu kolonu upišite 3, a u desnu 91.
      • Podijelite sa 3. 91 je deljivo sa 3 sa ostatkom, pa podelite sa 5. 91 je deljivo sa 5 sa ostatkom, pa podelite sa 7: 91 ÷ 7 = 13. Nema ostatka. Zapišite 7 u lijevu kolonu i 13 u desnu kolonu.
      • Podijelite sa 7. 13 je djeljivo sa 7 sa ostatkom, pa podijelite sa 11. 13 je s ostatkom djeljivo sa 11, pa podijelite sa 13: 13 ÷ 13 = 1. Ostatka nema. Upišite 13 u lijevu kolonu i 1 u desnu kolonu.

  • Lijeva kolona prikazuje proste faktore originalnog broja. Drugim riječima, kada pomnožite sve brojeve u lijevoj koloni, dobićete broj napisan iznad kolona. Ako se isti faktor pojavljuje više puta na listi faktora, koristite eksponente da ga označite. U našem primjeru, 2 se pojavljuje 4 puta na listi množitelja; zapišite ove faktore kao 2 4 umjesto 2*2*2*2.

    • U našem primjeru, 6552 = 2 3 × 3 2 × 7 × 13. Razložili ste 6552 u proste faktore (redoslijed faktora u ovoj notaciji nije bitan).

    • Šta znači faktoring? Kako uraditi? Šta možete naučiti iz rastavljanja broja u proste faktore? Odgovori na ova pitanja ilustrirani su konkretnim primjerima.

    definicije:

    Broj koji ima tačno dva različita djelitelja naziva se prost.

    Broj koji ima više od dva djelitelja naziva se složen.

    Faktorirati prirodni broj znači predstaviti ga kao proizvod prirodnih brojeva.

    Faktorirati prirodni broj u proste činioce znači predstaviti ga kao proizvod prostih brojeva.

    napomene:

    • U dekompoziciji prostog broja, jedan od faktora je jednak jednom, a drugi je jednak samom broju.
    • Nema smisla govoriti o faktorskom jedinstvu.
    • Složeni broj može se razložiti na faktore, od kojih je svaki različit od 1.

    Razložimo broj 150 na faktor. Na primjer, 150 je 15 puta 10.

    15 je složeni broj. Može se rastaviti na osnovne faktore 5 i 3.

    10 je složeni broj. Može se rastaviti na osnovne faktore 5 i 2.

    Upisujući njihove dekompozicije na proste faktore umjesto na 15 i 10, dobili smo dekompoziciju broja 150.

    Broj 150 može se razložiti na drugi način. Na primjer, 150 je proizvod brojeva 5 i 30.

    5 je prost broj.

    30 je složeni broj. Može se smatrati proizvodom 10 i 3.

    10 je složeni broj. Može se rastaviti na osnovne faktore 5 i 2.

    Dobili smo faktorizaciju 150 u proste faktore na drugačiji način.

    Imajte na umu da su prvo i drugo proširenje iste. Razlikuju se samo po redoslijedu faktora.

    Uobičajeno je pisati faktore uzlaznim redoslijedom.

    Svaki složeni broj se može razložiti u proste faktore na jedinstven način, do reda faktora.

    Kada činite velike brojeve u proste faktore, koristite notaciju stupaca:

    Najmanji prost broj koji je djeljiv sa 216 je 2.

    Podijelite 216 sa 2. Dobijamo 108.

    Rezultirajući broj 108 podijeljen je sa 2.

    Uradimo podjelu. Rezultat je 54.

    Prema testu djeljivosti sa 2, broj 54 je djeljiv sa 2.

    Nakon dijeljenja, dobijamo 27.

    Broj 27 završava se neparnom cifrom 7. To

    Nije djeljivo sa 2. Sljedeći prost broj je 3.

    Podijelite 27 sa 3. Dobijamo 9. Najmanje prosto

    Broj s kojim je 9 djeljiv je 3. Tri je sam po sebi prost broj, djeljiv je sam sa sobom i jedan. Podijelimo 3 sami sa sobom. Na kraju smo dobili 1.

    • Broj je djeljiv samo onim prostim brojevima koji su dio njegove dekompozicije.
    • Broj je djeljiv samo na one složene brojeve čija je dekompozicija na proste faktore u potpunosti sadržana u njemu.

    Pogledajmo primjere:

    4900 je djeljivo prostim brojevima 2, 5 i 7 (oni su uključeni u proširenje broja 4900), ali nije djeljivo sa, na primjer, 13.

    11 550 75. To je tako jer je dekompozicija broja 75 u potpunosti sadržana u dekompoziciji broja 11550.

    Rezultat dijeljenja će biti proizvod faktora 2, 7 i 11.

    11550 nije djeljivo sa 4 jer postoji dodatna dva u proširenju četiri.

    Naći količnik dijeljenja broja a brojem b, ako se ovi brojevi razlože na proste faktore na sljedeći način: a=2∙2∙2∙3∙3∙3∙5∙5∙19; b=2∙2∙3∙3∙5∙19

    Dekompozicija broja b u potpunosti je sadržana u dekompoziciji broja a.

    Rezultat dijeljenja a sa b je proizvod tri broja preostala u proširenju a.

    Dakle, odgovor je: 30.

    Bibliografija

    1. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematika 6. - M.: Mnemosyne, 2012.
    2. Merzlyak A.G., Polonsky V.V., Yakir M.S. Matematika 6. razred. - Gimnazija. 2006.
    3. Depman I.Ya., Vilenkin N.Ya. Iza stranica udžbenika matematike. - M.: Obrazovanje, 1989.
    4. Rurukin A.N., Čajkovski I.V. Zadaci za predmet matematike za 5-6 razred. - M.: ZŠ MEPhI, 2011.
    5. Rurukin A.N., Sočilov S.V., Čajkovski K.G. Matematika 5-6. Priručnik za učenike 6. razreda dopisne škole MEPhI. - M.: ZŠ MEPhI, 2011.
    6. Shevrin L.N., Gein A.G., Koryakov I.O., Volkov M.V. Matematika: Udžbenik-sagovornik za 5-6 razred srednje škole. - M.: Obrazovanje, Biblioteka nastavnika matematike, 1989.
    1. Internet portal Matematika-na.ru ().
    2. Internet portal Math-portal.ru ().

    Zadaća

    1. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematika 6. - M.: Mnemosyne, 2012. br. 127, br. 129, br. 141.
    2. Ostali zadaci: br. 133, br. 144.

    Šta znači faktoring? Kako uraditi? Šta možete naučiti iz rastavljanja broja u proste faktore? Odgovori na ova pitanja ilustrirani su konkretnim primjerima.

    definicije:

    Broj koji ima tačno dva različita djelitelja naziva se prost.

    Broj koji ima više od dva djelitelja naziva se složen.

    Faktorirati prirodni broj znači predstaviti ga kao proizvod prirodnih brojeva.

    Faktorirati prirodni broj u proste činioce znači predstaviti ga kao proizvod prostih brojeva.

    napomene:

    • U dekompoziciji prostog broja, jedan od faktora je jednak jednom, a drugi je jednak samom broju.
    • Nema smisla govoriti o faktorskom jedinstvu.
    • Složeni broj može se razložiti na faktore, od kojih je svaki različit od 1.

    Razložimo broj 150 na faktor. Na primjer, 150 je 15 puta 10.

    15 je složeni broj. Može se rastaviti na osnovne faktore 5 i 3.

    10 je složeni broj. Može se rastaviti na osnovne faktore 5 i 2.

    Upisujući njihove dekompozicije na proste faktore umjesto na 15 i 10, dobili smo dekompoziciju broja 150.

    Broj 150 može se razložiti na drugi način. Na primjer, 150 je proizvod brojeva 5 i 30.

    5 je prost broj.

    30 je složeni broj. Može se smatrati proizvodom 10 i 3.

    10 je složeni broj. Može se rastaviti na osnovne faktore 5 i 2.

    Dobili smo faktorizaciju 150 u proste faktore na drugačiji način.

    Imajte na umu da su prvo i drugo proširenje iste. Razlikuju se samo po redoslijedu faktora.

    Uobičajeno je pisati faktore uzlaznim redoslijedom.

    Svaki složeni broj se može razložiti u proste faktore na jedinstven način, do reda faktora.

    Kada činite velike brojeve u proste faktore, koristite notaciju stupaca:

    Najmanji prost broj koji je djeljiv sa 216 je 2.

    Podijelite 216 sa 2. Dobijamo 108.

    Rezultirajući broj 108 podijeljen je sa 2.

    Uradimo podjelu. Rezultat je 54.

    Prema testu djeljivosti sa 2, broj 54 je djeljiv sa 2.

    Nakon dijeljenja, dobijamo 27.

    Broj 27 završava se neparnom cifrom 7. To

    Nije djeljivo sa 2. Sljedeći prost broj je 3.

    Podijelite 27 sa 3. Dobijamo 9. Najmanje prosto

    Broj s kojim je 9 djeljiv je 3. Tri je sam po sebi prost broj, djeljiv je sam sa sobom i jedan. Podijelimo 3 sami sa sobom. Na kraju smo dobili 1.

    • Broj je djeljiv samo onim prostim brojevima koji su dio njegove dekompozicije.
    • Broj je djeljiv samo na one složene brojeve čija je dekompozicija na proste faktore u potpunosti sadržana u njemu.

    Pogledajmo primjere:

    4900 je djeljivo prostim brojevima 2, 5 i 7 (oni su uključeni u proširenje broja 4900), ali nije djeljivo sa, na primjer, 13.

    11 550 75. To je tako jer je dekompozicija broja 75 u potpunosti sadržana u dekompoziciji broja 11550.

    Rezultat dijeljenja će biti proizvod faktora 2, 7 i 11.

    11550 nije djeljivo sa 4 jer postoji dodatna dva u proširenju četiri.

    Naći količnik dijeljenja broja a brojem b, ako se ovi brojevi razlože na proste faktore na sljedeći način: a=2∙2∙2∙3∙3∙3∙5∙5∙19; b=2∙2∙3∙3∙5∙19

    Dekompozicija broja b u potpunosti je sadržana u dekompoziciji broja a.

    Rezultat dijeljenja a sa b je proizvod tri broja preostala u proširenju a.

    Dakle, odgovor je: 30.

    Bibliografija

    1. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematika 6. - M.: Mnemosyne, 2012.
    2. Merzlyak A.G., Polonsky V.V., Yakir M.S. Matematika 6. razred. - Gimnazija. 2006.
    3. Depman I.Ya., Vilenkin N.Ya. Iza stranica udžbenika matematike. - M.: Obrazovanje, 1989.
    4. Rurukin A.N., Čajkovski I.V. Zadaci za predmet matematike za 5-6 razred. - M.: ZŠ MEPhI, 2011.
    5. Rurukin A.N., Sočilov S.V., Čajkovski K.G. Matematika 5-6. Priručnik za učenike 6. razreda dopisne škole MEPhI. - M.: ZŠ MEPhI, 2011.
    6. Shevrin L.N., Gein A.G., Koryakov I.O., Volkov M.V. Matematika: Udžbenik-sagovornik za 5-6 razred srednje škole. - M.: Obrazovanje, Biblioteka nastavnika matematike, 1989.
    1. Internet portal Matematika-na.ru ().
    2. Internet portal Math-portal.ru ().

    Zadaća

    1. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematika 6. - M.: Mnemosyne, 2012. br. 127, br. 129, br. 141.
    2. Ostali zadaci: br. 133, br. 144.

    (osim 0 i 1) imaju najmanje dva djelitelja: 1 i sebe. Zovu se brojevi koji nemaju druge djelitelje jednostavno brojevi. Zovu se brojevi koji imaju druge djelitelje kompozitni(ili kompleks) brojevi. Postoji beskonačan broj prostih brojeva. Ovo su prosti brojevi koji ne prelaze 200:

    2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43,

    47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101,

    103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151,

    157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199.

    Množenje- jedna od četiri osnovne aritmetičke operacije, binarna matematička operacija u kojoj se jedan argument dodaje onoliko puta koliko drugi. U aritmetici, množenje se shvata kao kratka notacija za sabiranje određenog broja identičnih pojmova.

    Na primjer, oznaka 5*3 znači "saberi tri petice", odnosno 5+5+5. Rezultat množenja se zove rad, a brojevi koji se množe su množitelji ili faktori. Prvi faktor se ponekad naziva " množenik».

    Svaki složeni broj može se razložiti u proste faktore. Bilo kojom metodom se dobija ista ekspanzija, ako se ne uzme u obzir redosled kojim su faktori zapisani.

    Faktorizacija broja (faktorizacija).

    Faktorizacija (faktorizacija)- nabrajanje djelitelja - algoritam za faktorizaciju ili testiranje primarnosti broja potpunim nabrajanjem svih mogućih potencijalnih djelitelja.

    To jest, jednostavno rečeno, faktorizacija je naziv procesa faktoringa brojeva, izražen naučnim jezikom.

    Redoslijed radnji kada se uračunavaju u osnovne faktore:

    1. Provjerite je li predloženi broj prost.

    2. Ako ne, onda, vođeni znacima dijeljenja, biramo djelitelj od prostih brojeva, počevši od najmanjeg (2, 3, 5 ...).

    3. Ponavljamo ovu radnju sve dok se količnik ne pokaže kao prost broj.