Da, da: aritmetička progresija nije igračka za tebe :) Pa, prijatelji, ako čitate ovaj tekst, onda mi interni cap-dokaz govori da još ne znate šta je aritmetička progresija, ali stvarno (ne, onako: JAOO!) želite da znate. Stoga vas neću mučiti dugim uvodima i prijeći ću odmah na stvar.
Prvo, par primjera. Pogledajmo nekoliko skupova brojeva:
- 1; 2; 3; 4; ...
- 15; 20; 25; 30; ...
- $\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$
Šta je zajedničko svim ovim setovima? Na prvi pogled ništa. Ali zapravo postoji nešto. naime: svaki sljedeći element se razlikuje od prethodnog za isti broj.
Procijenite sami. Prvi set su jednostavno uzastopni brojevi, svaki sljedeći je jedan više od prethodnog. U drugom slučaju, razlika između susjednih brojeva je već pet, ali je ta razlika i dalje konstantna. U trećem slučaju, korijeni su u potpunosti. Međutim, $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$, i $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, tj. i u ovom slučaju, svaki sljedeći element jednostavno se povećava za $\sqrt(2)$ (i ne bojte se da je ovaj broj iracionalan).
Dakle: svi takvi nizovi se nazivaju aritmetičke progresije. Hajde da damo striktnu definiciju:
Definicija. Niz brojeva u kojem se svaki sljedeći razlikuje od prethodnog za potpuno isti iznos naziva se aritmetička progresija. Sam iznos za koji se brojevi razlikuju naziva se razlika progresije i najčešće se označava slovom $d$.
Napomena: $\left(((a)_(n)) \right)$ je sama progresija, $d$ je njena razlika.
I samo nekoliko važnih napomena. Prvo, uzima se u obzir samo napredovanje naredio redosled brojeva: dozvoljeno je da se čitaju striktno onim redom kojim su napisani - i ništa drugo. Brojevi se ne mogu preurediti ili zamijeniti.
Drugo, sam niz može biti ili konačan ili beskonačan. Na primjer, skup (1; 2; 3) je očigledno konačna aritmetička progresija. Ali ako nešto napišete u duhu (1; 2; 3; 4; ...) - to je već beskonačna progresija. Čini se da trotočka iza četiri nagoveštava da predstoji još dosta brojeva. Beskonačno mnogo, na primjer. :)
Također bih želio napomenuti da se progresije mogu povećavati ili smanjivati. Već smo vidjeli sve veće - isti skup (1; 2; 3; 4; ...). Evo primjera opadajuće progresije:
- 49; 41; 33; 25; 17; ...
- 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
- $\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$
UREDU UREDU: posljednji primjer može izgledati previše komplikovano. Ali ostalo, mislim, razumete. Stoga uvodimo nove definicije:
Definicija. Aritmetička progresija zove:
- povećava se ako je svaki sljedeći element veći od prethodnog;
- smanjuje se ako je, naprotiv, svaki sljedeći element manji od prethodnog.
Osim toga, postoje takozvani "stacionarni" nizovi - oni se sastoje od istog broja koji se ponavlja. Na primjer, (3; 3; 3; ...).
Ostaje samo jedno pitanje: kako razlikovati rastuću progresiju od opadajuće? Srećom, ovdje sve zavisi samo od predznaka broja $d$, tj. razlike u napredovanju:
- Ako je $d \gt 0$, tada se progresija povećava;
- Ako je $d \lt 0$, onda se progresija očito smanjuje;
- Konačno, postoji slučaj $d=0$ - u ovom slučaju se cjelokupna progresija svodi na stacionarni niz identičnih brojeva: (1; 1; 1; 1; ...), itd.
Pokušajmo izračunati razliku $d$ za tri opadajuće progresije navedene gore. Da biste to učinili, dovoljno je uzeti bilo koja dva susjedna elementa (na primjer, prvi i drugi) i oduzeti broj s lijeve strane od broja s desne strane. To će izgledati ovako:
- 41−49=−8;
- 12−17,5=−5,5;
- $\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.
Kao što vidimo, u sva tri slučaja razlika je zapravo negativna. A sada kada smo manje-više shvatili definicije, vrijeme je da shvatimo kako se progresije opisuju i koja svojstva imaju.
Termini progresije i formula recidiva
Budući da se elementi naših sekvenci ne mogu zamijeniti, mogu se numerisati:
\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( ((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3 )),... \desno\)\]
Pojedinačni elementi ovog skupa nazivaju se članovima progresije. Označeni su brojem: prvi član, drugi član itd.
Osim toga, kao što već znamo, susjedni termini progresije povezani su formulom:
\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\Strelica desno ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]
Ukratko, da biste pronašli $n$-ti član progresije, morate znati $n-1$-ti član i razliku $d$. Ova formula se naziva rekurentna, jer uz njenu pomoć možete pronaći bilo koji broj samo ako poznajete prethodni (i zapravo sve prethodne). Ovo je vrlo nezgodno, pa postoji lukavija formula koja sve izračune svodi na prvi član i razliku:
\[((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \desno)d\]
Vjerovatno ste već naišli na ovu formulu. Vole da ga daju u svim vrstama priručnika i knjiga o rešenjima. I u svakom razumnom udžbeniku matematike jedan je od prvih.
Ipak, predlažem da malo vježbate.
Zadatak br. 1. Zapišite prva tri člana aritmetičke progresije $\left(((a)_(n)) \right)$ ako je $((a)_(1))=8,d=-5$.
Rješenje. Dakle, znamo prvi pojam $((a)_(1))=8$ i razliku progresije $d=-5$. Koristimo upravo datu formulu i zamijenimo $n=1$, $n=2$ i $n=3$:
\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\left(1-1 \right)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\left(2-1 \desno)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\left(3-1 \desno)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \end(poravnati)\]
Odgovor: (8; 3; −2)
To je sve! Imajte na umu: naš napredak se smanjuje.
Naravno, $n=1$ se ne može zamijeniti - prvi član nam je već poznat. Međutim, zamjenom jedinstva, uvjerili smo se da i za prvi mandat naša formula funkcionira. U drugim slučajevima sve se svelo na banalnu aritmetiku.
Zadatak br. 2. Zapišite prva tri člana aritmetičke progresije ako je njen sedmi član jednak −40, a sedamnaesti član jednak −50.
Rješenje. Zapišimo uslov problema poznatim terminima:
\[((a)_(7))=-40;\quad ((a)_(17))=-50.\]
\[\left\( \begin(align) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=((a) _(1))+16d \\ \end(poravnati) \desno.\]
\[\left\( \begin(poravnati) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \end(poravnati) \desno.\]
Stavio sam sistemski znak jer ovi zahtjevi moraju biti ispunjeni istovremeno. Zapazimo da ako oduzmemo prvu od druge jednačine (imamo pravo na to, pošto imamo sistem), dobićemo ovo:
\[\begin(align) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \right)=-50-\left(-40 \right); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\&10d=-10; \\&d=-1. \\ \end(poravnati)\]
Tako je lako pronaći razliku u progresiji! Sve što preostaje je zamijeniti pronađeni broj u bilo koju od jednačina sistema. Na primjer, u prvom:
\[\begin(matrica) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Downarrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((a)_(1))=-40+6=-34. \\ \end(matrica)\]
Sada, znajući prvi član i razliku, ostaje da pronađemo drugi i treći član:
\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \end(poravnati)\]
Spremni! Problem je riješen.
Odgovor: (−34; −35; −36)
Obratite pažnju na zanimljivu osobinu progresije koju smo otkrili: ako uzmemo $n$th i $m$th članove i oduzmemo ih jedan od drugog, dobićemo razliku progresije pomnoženu sa $n-m$ brojem:
\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \lijevo(n-m \desno)\]
Jednostavno ali veoma korisno svojstvo, koji svakako trebate znati - uz njegovu pomoć možete značajno ubrzati rješavanje mnogih problema progresije. Evo jasnog primjera ovoga:
Zadatak br. 3. Peti član aritmetičke progresije je 8,4, a deseti član 14,4. Pronađite petnaesti član ove progresije.
Rješenje. Budući da je $((a)_(5))=8.4$, $((a)_(10))=14.4$, i moramo pronaći $((a)_(15))$, primjećujemo sljedeće:
\[\begin(align) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5d. \\ \end(poravnati)\]
Ali po uslovu $((a)_(10))-((a)_(5))=14.4-8.4=6$, dakle $5d=6$, od čega imamo:
\[\begin(align) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((a)_(15))=6+14,4=20,4. \\ \end(poravnati)\]
Odgovor: 20.4
To je sve! Nismo morali da pravimo sisteme jednačina i da izračunamo prvi član i razliku - sve je rešeno u samo par redova.
Pogledajmo sada drugu vrstu problema – traženje negativnih i pozitivnih pojmova progresije. Nije tajna da ako se progresija povećava, a njen prvi pojam je negativan, tada će se prije ili kasnije u njoj pojaviti pozitivni termini. I obrnuto: uslovi opadajuće progresije će prije ili kasnije postati negativni.
U isto vrijeme, nije uvijek moguće pronaći ovaj trenutak "naprijed" uzastopnim prolaskom kroz elemente. Često su problemi napisani na način da bez poznavanja formula za proračun bi trebalo nekoliko listova papira – jednostavno bismo zaspali dok bismo pronašli odgovor. Stoga, pokušajmo riješiti ove probleme na brži način.
Zadatak br. 4. Koliko negativnih članova ima u aritmetičkoj progresiji −38,5; −35,8; ...?
Rješenje. Dakle, $((a)_(1))=-38,5$, $((a)_(2))=-35,8$, odakle odmah nalazimo razliku:
Imajte na umu da je razlika pozitivna, pa se progresija povećava. Prvi član je negativan, tako da ćemo zaista u nekom trenutku naići na pozitivne brojeve. Pitanje je samo kada će se to dogoditi.
Pokušajmo saznati koliko dugo (tj. do kojeg prirodnog broja $n$) ostaje negativnost pojmova:
\[\begin(align) & ((a)_(n)) \lt 0\Strelica desno ((a)_(1))+\left(n-1 \right)d \lt 0; \\ & -38.5+\lijevo(n-1 \desno)\cdot 2.7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10 \desno. \\ & -385+27\cdot \lijevo(n-1 \desno) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Strelica desno ((n)_(\max ))=15. \\ \end(poravnati)\]
Poslednji red zahteva neko objašnjenje. Dakle, znamo da je $n \lt 15\frac(7)(27)$. S druge strane, zadovoljavamo se samo cjelobrojnim vrijednostima broja (štaviše: $n\in \mathbb(N)$), tako da je najveći dozvoljeni broj upravo $n=15$, a ni u kojem slučaju 16 .
Zadatak br. 5. U aritmetičkoj progresiji $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. Pronađite broj prvog pozitivnog člana ove progresije.
Ovo bi bio potpuno isti problem kao i prethodni, ali ne znamo $((a)_(1))$. Ali susjedni pojmovi su poznati: $((a)_(5))$ i $((a)_(6))$, tako da možemo lako pronaći razliku progresije:
Uz to, pokušajmo izraziti peti član kroz prvi i razliku koristeći standardnu formulu:
\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((a)_(1))=-150-12=-162. \\ \end(poravnati)\]
Sada nastavljamo po analogiji s prethodnim zadatkom. Hajde da saznamo u kojoj točki u našem nizu će se pojaviti pozitivni brojevi:
\[\begin(align) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\Strelica desno ((n)_(\min ))=56. \\ \end(poravnati)\]
Minimalno cjelobrojno rješenje ove nejednakosti je broj 56.
Napominjemo: u posljednjem zadatku sve se svelo na strogu nejednakost, tako da nam opcija $n=55$ neće odgovarati.
Sada kada smo naučili kako riješiti jednostavne probleme, prijeđimo na složenije. Ali prvo, proučimo još jedno vrlo korisno svojstvo aritmetičkih progresija, koje će nam u budućnosti uštedjeti mnogo vremena i nejednakih ćelija. :)
Aritmetička sredina i jednaka uvlačenja
Razmotrimo nekoliko uzastopnih članova rastuće aritmetičke progresije $\left(((a)_(n)) \right)$. Pokušajmo ih označiti na brojevnoj pravoj:
Uvjeti aritmetičke progresije na brojevnoj pravojPosebno sam označio proizvoljne termine $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$, a ne neke $((a)_(1)) ,\ ((a)_(2)),\ ((a)_(3))$, itd. Jer pravilo o kojem ću vam sada reći radi isto za sve "segmente".
A pravilo je vrlo jednostavno. Prisjetimo se ponavljajuće formule i zapišemo je za sve označene pojmove:
\[\begin(align) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \end(poravnati)\]
Međutim, ove jednakosti se mogu drugačije napisati:
\[\begin(align) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \end(poravnati)\]
Pa, pa šta? A činjenica da pojmovi $((a)_(n-1))$ i $((a)_(n+1))$ leže na istoj udaljenosti od $((a)_(n)) $ . I ova udaljenost je jednaka $d$. Isto se može reći i za pojmove $((a)_(n-2))$ i $((a)_(n+2))$ - oni su također uklonjeni iz $((a)_(n) )$ na istoj udaljenosti jednakoj $2d$. Možemo nastaviti do beskonačnosti, ali značenje je dobro ilustrovano slikom
Uslovi progresije leže na istoj udaljenosti od centra Šta ovo znači za nas? To znači da se $((a)_(n))$ može pronaći ako su susjedni brojevi poznati:
\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]
Izveli smo odličnu izjavu: svaki član aritmetičke progresije jednak je aritmetičkoj sredini njegovih susjednih članova! Štaviše: možemo se odmaknuti od našeg $((a)_(n))$ lijevo i desno ne za jedan korak, već za $k$ koraka - i formula će i dalje biti ispravna:
\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]
One. lako možemo pronaći neke $((a)_(150))$ ako znamo $((a)_(100))$ i $((a)_(200))$, jer $(( a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$. Na prvi pogled može izgledati da nam ta činjenica ne daje ništa korisno. Međutim, u praksi, mnogi problemi su posebno skrojeni za korištenje aritmetičke sredine. Pogledaj:
Zadatak br. 6. Pronađite sve vrijednosti $x$ za koje su brojevi $-6((x)^(2))$, $x+1$ i $14+4((x)^(2))$ uzastopni termini aritmetičku progresiju (po navedenom redoslijedu).
Rješenje. Pošto su ovi brojevi članovi progresije, za njih je zadovoljen uslov aritmetičke sredine: centralni element $x+1$ može se izraziti u terminima susednih elemenata:
\[\begin(align) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \end(poravnati)\]
Rezultat je klasična kvadratna jednadžba. Njegovi korijeni: $x=2$ i $x=-3$ su odgovori.
Odgovor: −3; 2.
Zadatak br. 7. Pronađite vrijednosti $$ za koje brojevi $-1;4-3;(()^(2))+1$ formiraju aritmetičku progresiju (tim redoslijedom).
Rješenje. Izrazimo opet srednji član kroz aritmetičku sredinu susjednih članova:
\[\begin(align) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \left| \cdot 2 \desno.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \end(poravnati)\]
Opet kvadratna jednadžba. I opet postoje dva korijena: $x=6$ i $x=1$.
Odgovor: 1; 6.
Ako u procesu rješavanja zadatka dođete do nekih brutalnih brojeva, ili niste sasvim sigurni u tačnost pronađenih odgovora, onda postoji divna tehnika koja vam omogućava da provjerite: jesmo li ispravno riješili problem?
Recimo da smo u zadatku br. 6 dobili odgovore −3 i 2. Kako možemo provjeriti da li su ti odgovori tačni? Hajde da ih samo uključimo u originalno stanje i vidimo šta će se desiti. Da vas podsjetim da imamo tri broja ($-6(()^(2))$, $+1$ i $14+4(()^(2))$), koji moraju formirati aritmetičku progresiju. Zamijenimo $x=-3$:
\[\begin(align) & x=-3\Strelica desno \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ & x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \end(poravnati)\]
Dobili smo brojeve −54; −2; 50 koje se razlikuju za 52 je nesumnjivo aritmetička progresija. Ista stvar se dešava za $x=2$:
\[\begin(align) & x=2\Strelica desno \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ & x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \end(poravnati)\]
Opet progresija, ali sa razlikom od 27. Dakle, problem je ispravno riješen. Oni koji žele mogu sami provjeriti drugi problem, ali odmah ću reći: i tu je sve ispravno.
Uglavnom, rješavajući posljednje probleme, naišli smo na još jedan zanimljiva činjenica, što takođe treba zapamtiti:
Ako su tri broja takva da je drugi aritmetička sredina prvog i posljednjeg, onda ti brojevi čine aritmetičku progresiju.
U budućnosti, razumevanje ove izjave omogućiće nam da doslovno „konstruišemo“ neophodne progresije na osnovu uslova problema. Ali prije nego što se upustimo u ovakvu „konstrukciju“, treba obratiti pažnju na još jednu činjenicu, koja direktno proizlazi iz onoga o čemu je već bilo riječi.
Grupisanje i zbrajanje elemenata
Vratimo se ponovo na brojevnu osu. Napomenimo tu nekoliko članova progresije, između kojih, možda. vrijedi mnogo drugih članova:
Na brojevnoj pravoj je označeno 6 elemenataPokušajmo izraziti “lijevi rep” kroz $((a)_(n))$ i $d$, a “desni rep” kroz $((a)_(k))$ i $d$. Vrlo je jednostavno:
\[\begin(align) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \end(poravnati)\]
Sada imajte na umu da su sljedeći iznosi jednaki:
\[\begin(align) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= S; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+(a)_(k))-2d= S. \end(poravnati)\]
Jednostavno, ako za početak uzmemo u obzir dva elementa progresije, koji su ukupno jednaki nekom broju $S$, a zatim počnu koračati od ovih elemenata u suprotnim smjerovima (jedan prema drugom ili obrnuto da bi se udaljili), onda sume elemenata na koje ćemo naići će takođe biti jednake$S$. Ovo se najjasnije može prikazati grafički:
Jednaka udubljenja daju jednake količine Razumijevanje ovu činjenicu omogućit će nam rješavanje problema u fundamentalno više visoki nivo teškoće od onih koje smo razmatrali gore. Na primjer, ove:
Zadatak br. 8. Odredite razliku aritmetičke progresije u kojoj je prvi član 66, a proizvod drugog i dvanaestog člana najmanji mogući.
Rješenje. Hajde da zapišemo sve što znamo:
\[\begin(align) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min . \end(poravnati)\]
Dakle, ne znamo razliku u progresiji $d$. Zapravo, cjelokupno rješenje će biti izgrađeno oko razlike, budući da se proizvod $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ može prepisati na sljedeći način:
\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\left(66+d \desno)\cdot \left(66+11d \right)= \\ & =11 \cdot \lijevo(d+66 \desno)\cdot \lijevo(d+6 \desno). \end(poravnati)\]
Za one u rezervoaru: uzeo sam ukupan množitelj od 11 iz druge zagrade. Dakle, željeni proizvod je kvadratna funkcija u odnosu na varijablu $d$. Stoga, razmotrite funkciju $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ - njen graf će biti parabola sa granama nagore, jer ako proširimo zagrade, dobijamo:
\[\begin(align) & f\left(d \right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(align)\]
Kao što vidite, koeficijent najvećeg člana je 11 - ovo je pozitivan broj, tako da imamo posla sa parabolom sa granama nagore:
raspored kvadratna funkcija- parabola
Napomena: ova parabola uzima svoju minimalnu vrijednost na svom vrhu sa apscisom $((d)_(0))$. Naravno, ovu apscisu možemo izračunati koristeći standardnu šemu (postoji formula $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$), ali bi bilo mnogo razumnije primijetiti da željeni vrh leži na osnoj simetriji parabole, stoga je tačka $((d)_(0))$ jednako udaljena od korijena jednadžbe $f\left(d \right)=0$:
\[\begin(align) & f\left(d \right)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \desno)\cdot \left(d+6 \right)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\quad ((d)_(2))=-6. \\ \end(poravnati)\]
Zato se nisam posebno žurio s otvaranjem zagrada: u njihovom izvornom obliku, korijenje je bilo vrlo, vrlo lako pronaći. Dakle, apscisa je jednaka sredini aritmetički brojevi−66 i −6:
\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]
Šta nam daje otkriveni broj? Uz to, potrebni proizvod uzima najmanju vrijednost(usput, nikada nismo izračunali $((y)_(\min ))$ - to se od nas ne traži). Istovremeno, ovaj broj je razlika prvobitne progresije, tj. našli smo odgovor. :)
Odgovor: −36
Zadatak br. 9. Između brojeva $-\frac(1)(2)$ i $-\frac(1)(6)$ ubacite tri broja tako da zajedno sa ovim brojevima čine aritmetičku progresiju.
Rješenje. U suštini, moramo napraviti niz od pet brojeva, s prvim i posljednjim brojem već poznatim. Označimo brojeve koji nedostaju varijablama $x$, $y$ i $z$:
\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \right\ )\]
Imajte na umu da je broj $y$ “sredina” našeg niza - jednako je udaljen od brojeva $x$ i $z$, te od brojeva $-\frac(1)(2)$ i $-\frac (1)( 6)$. A ako smo od brojeva $x$ i $z$ u ovog trenutka ne možemo dobiti $y$, onda je situacija drugačija sa krajevima progresije. Prisjetimo se aritmetičke sredine:
Sada, znajući $y$, naći ćemo preostale brojeve. Imajte na umu da $x$ leži između brojeva $-\frac(1)(2)$ i $y=-\frac(1)(3)$ koje smo upravo pronašli. Zbog toga
Koristeći slično razmišljanje, nalazimo preostali broj:
Spremni! Pronašli smo sva tri broja. Upišimo ih u odgovor onim redom kojim ih treba umetnuti između originalnih brojeva.
Odgovor: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$
Zadatak br. 10. Između brojeva 2 i 42 ubacite nekoliko brojeva koji zajedno sa ovim brojevima čine aritmetičku progresiju, ako znate da je zbir prvog, drugog i posljednjeg umetnutih brojeva 56.
Rješenje. Čak više težak zadatak, koji se, međutim, rješava po istoj shemi kao i prethodni - kroz aritmetičku sredinu. Problem je što ne znamo tačno koliko brojeva treba uneti. Stoga, pretpostavimo za definitivno da će nakon ubacivanja svega biti tačno $n$ brojeva, i prvi od njih je 2, a posljednji je 42. U ovom slučaju, tražena aritmetička progresija može se predstaviti u obliku:
\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \desno\)\]
\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]
Međutim, imajte na umu da su brojevi $((a)_(2))$ i $((a)_(n-1))$ dobijeni iz brojeva 2 i 42 na rubovima za jedan korak jedan prema drugom, tj. do centra niza. A to znači to
\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]
Ali tada se gore napisani izraz može prepisati na sljedeći način:
\[\begin(align) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \left(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \right)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((a)_(3))=56; \\ & ((a)_(3))=56-44=12. \\ \end(poravnati)\]
Znajući $((a)_(3))$ i $((a)_(1))$, lako možemo pronaći razliku u progresiji:
\[\begin(align) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\left(3-1 \right)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\Strelica desno d=5. \\ \end(poravnati)\]
Sve što ostaje je pronaći preostale pojmove:
\[\begin(align) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \end(poravnati)\]
Tako ćemo već na 9. koraku doći do lijevog kraja niza - broja 42. Ukupno je trebalo ubaciti samo 7 brojeva: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.
Odgovor: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37
Riječni problemi s progresijama
U zaključku, želio bih razmotriti nekoliko relativno jednostavni zadaci. Pa, onako jednostavno: većini učenika koji uče matematiku u školi, a nisu pročitali ono što je gore napisano, ovi problemi mogu izgledati teški. Ipak, ovo su tipovi zadataka koji se pojavljuju na OGE-u i Jedinstvenom državnom ispitu iz matematike, pa preporučujem da se s njima upoznate.
Zadatak br. 11. Tim je u januaru proizveo 62 dijela, au svakom sljedećem mjesecu proizveo je 14 dijelova više nego u prethodnom mjesecu. Koliko je delova tim proizveo u novembru?
Rješenje. Očigledno je da će broj dijelova navedenih po mjesecima predstavljati rastuću aritmetičku progresiju. Štaviše:
\[\begin(align) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\left(n-1 \desno)\cdot 14. \\ \end(align)\]
Novembar je 11. mjesec u godini, tako da moramo pronaći $((a)_(11))$:
\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]
Stoga će u novembru biti proizvedeno 202 dijela.
Zadatak br. 12. Knjigovezačka radionica je u januaru uvezala 216 knjiga, au svakom narednom mjesecu uvezala je po 4 knjige više nego u prethodnom mjesecu. Koliko knjiga je radionica povezala u decembru?
Rješenje. Sve isto:
$\begin(align) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\left(n-1 \desno)\cdot 4. \\ \end(align)$
Decembar je posljednji, 12. mjesec u godini, pa tražimo $((a)_(12))$:
\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]
Ovo je odgovor - u decembru će biti ukoričeno 260 knjiga.
Pa, ako ste do sada pročitali, žurim da vam čestitam: uspješno ste završili „kurs mladog borca“ u aritmetičkim progresijama. Možete sa sigurnošću preći na sljedeću lekciju, gdje ćemo proučavati formulu za zbir progresije, kao i važne i vrlo korisne posljedice iz toga.
Šta glavna poenta formule?
Ova formula vam omogućava da pronađete bilo koji NJEGOVIM BROJEM" n" .
Naravno, morate znati i prvi pojam a 1 i razlika u napredovanju d, pa, bez ovih parametara ne možete zapisati određenu progresiju.
Pamtiti (ili plakati) ovu formulu nije dovoljno. Morate razumjeti njegovu suštinu i primijeniti formulu u raznim problemima. I ne zaboravite unutra pravi trenutak, ali kako ne zaboravi- Ne znam. I ovdje kako zapamtiti Ako bude potrebno, svakako ću Vas savjetovati. Za one koji završe lekciju do kraja.)
Dakle, pogledajmo formulu za n-ti član aritmetičke progresije.
Šta je uopšte formula? Usput, pogledajte ako niste pročitali. Tamo je sve jednostavno. Ostaje da se shvati šta je to n-ti termin.
Progresija se općenito može zapisati kao niz brojeva:
a 1, a 2, a 3, a 4, a 5, .....
a 1- označava prvi član aritmetičke progresije, a 3- treći član, a 4- četvrti, i tako dalje. Ako nas zanima peti mandat, recimo da radimo a 5, ako je sto dvadeseti - s a 120.
Kako to možemo definisati uopšteno? bilo kojičlan aritmetičke progresije, sa bilo koji broj? Veoma jednostavno! Volim ovo:
a n
To je ono što je n-ti član aritmetičke progresije. Slovo n sakriva sve brojeve članova odjednom: 1, 2, 3, 4, itd.
A šta nam takav zapis daje? Zamislite, umjesto broja napisali su slovo...
Ova notacija nam daje moćan alat za rad s aritmetičkom progresijom. Koristeći notaciju a n, možemo brzo pronaći bilo kojičlan bilo koji aritmetička progresija. I riješiti gomilu drugih problema napredovanja. Videćete dalje.
U formuli za n-ti član aritmetičke progresije:
| a n = a 1 + (n-1)d |
a 1- prvi član aritmetičke progresije;
n- članski broj.
Formula povezuje ključne parametre bilo koje progresije: a n ; a 1 ; d I n. Svi problemi progresije se vrte oko ovih parametara.
Formula n-tog pojma se također može koristiti za pisanje određene progresije. Na primjer, problem može reći da je progresija specificirana uvjetom:
a n = 5 + (n-1) 2.
Takav problem može biti ćorsokak... Nema ni niza ni razlike... Ali, upoređujući stanje sa formulom, lako je shvatiti da u ovoj progresiji a 1 =5 i d=2.
A može biti i gore!) Ako uzmemo isti uslov: a n = 5 + (n-1) 2, Da, otvorite zagrade i donesite slične? Dobijamo novu formulu:
a n = 3 + 2n.
Ovo Samo ne općenito, već za konkretan napredak. Ovdje vreba zamka. Neki ljudi misle da je prvi mandat trojka. Iako je u stvarnosti prvi rok pet... Malo niže ćemo raditi sa ovako izmijenjenom formulom.
U problemima progresije postoji još jedna notacija - a n+1. Ovo je, kao što ste pogodili, "n plus prvi" član progresije. Njegovo značenje je jednostavno i bezopasno.) Ovo je član progresije čiji je broj veći od broja n za jedan. Na primjer, ako u nekom problemu uzmemo a n onda peti mandat a n+1 biće šesti član. itd.
Najčešće oznaka a n+1 nalazi u formulama recidiva. Ne bojte se ove strašne riječi!) Ovo je samo način izražavanja člana aritmetičke progresije kroz prethodni. Recimo da nam je data aritmetička progresija u ovom obliku, koristeći rekurentnu formulu:
a n+1 = a n +3
a 2 = a 1 + 3 = 5+3 = 8
a 3 = a 2 + 3 = 8+3 = 11
Četvrti - kroz treći, peti - kroz četvrti, i tako dalje. Kako da odmah prebrojimo, recimo, dvadeseti rok? a 20? Ali nema šanse!) Dok ne saznamo 19. termin, 20. ne možemo računati. Ovo je fundamentalna razlika između rekurentne formule i formule n-tog člana. Rekurentni radi samo kroz prethodni pojam, a formula n-tog člana je kroz prvo i dozvoljava odmah pronađite bilo kojeg člana po broju. Bez izračunavanja čitavog niza brojeva po redu.
U aritmetičkoj progresiji, lako je povratnu formulu pretvoriti u regularnu. Izbrojte par uzastopnih članova, izračunajte razliku d, pronađite, ako je potrebno, prvi pojam a 1, napišite formulu u njenom uobičajenom obliku i radite s njom. Takvi zadaci se često susreću u Državnoj akademiji nauka.
Primjena formule za n-ti član aritmetičke progresije.
Prvo, pogledajmo direktnu primjenu formule. Na kraju prethodne lekcije pojavio se problem:
Zadana je aritmetička progresija (a n). Pronađite 121 ako je a 1 =3 i d=1/6.
Ovaj problem se može riješiti bez ikakvih formula, jednostavno na osnovu značenja aritmetičke progresije. Dodajte i dodajte... Sat ili dva.)
A prema formuli, rješenje će trajati manje od minute. Možete ga odrediti na vrijeme.) Hajde da odlučimo.
Uvjeti pružaju sve podatke za korištenje formule: a 1 =3, d=1/6. Ostaje da shvatimo šta je jednako n. Nema problema! Moramo pronaći a 121. Pa pišemo:
Molimo obratite pažnju! Umjesto indeksa n pojavio se određeni broj: 121. Što je sasvim logično.) Zanima nas član aritmetičke progresije broj sto dvadeset jedan. Ovo će biti naše n. Ovo je smisao n= 121 zamenićemo dalje u formulu, u zagradama. Zamjenjujemo sve brojeve u formulu i izračunavamo:
a 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23
To je to. Jednako brzo se mogao naći petsto deseti pojam, a hiljadu treći, bilo koji. Stavili smo umjesto toga nželjeni broj u indeksu slova " a" i u zagradama, i računamo.
Dozvolite mi da vas podsjetim na poentu: ova formula vam omogućava da pronađete bilo koji termin aritmetičke progresije NJEGOVIM BROJEM" n" .
Hajde da riješimo problem na lukaviji način. Hajde da naletimo na sledeći problem:
Pronađite prvi član aritmetičke progresije (a n), ako je a 17 =-2; d=-0,5.
Ako budete imali poteškoća, reći ću vam prvi korak. Zapišite formulu za n-ti član aritmetičke progresije! Da da. Zapišite rukama, direktno u svoju svesku:
| a n = a 1 + (n-1)d |
I sada, gledajući slova formule, razumijemo koje podatke imamo, a šta nedostaje? Dostupan d=-0,5, ima sedamnaesti član... Je li to to? Ako mislite da je to to, onda nećete riješiti problem, da...
Još uvijek imamo broj n! U stanju a 17 =-2 skriveno dva parametra. Ovo je i vrijednost sedamnaestog člana (-2) i njegov broj (17). One. n=17. Ova „sitnica“ često prođe pored glave, a bez nje (bez „sitnice“, a ne glave!) problem se ne može rešiti. Mada... i bez glave.)
Sada možemo jednostavno glupo zamijeniti naše podatke u formulu:
a 17 = a 1 + (17-1)·(-0,5)
Oh da, a 17 znamo da je -2. U redu, zamijenimo:
-2 = a 1 + (17-1)·(-0,5)
To je u osnovi sve. Ostaje da izrazimo prvi član aritmetičke progresije iz formule i izračunamo ga. Odgovor će biti: a 1 = 6.
Ova tehnika - zapisivanje formule i jednostavna zamjena poznatih podataka - je od velike pomoći u jednostavnim zadacima. Pa, naravno, morate znati izraziti varijablu iz formule, ali šta učiniti!? Bez ove veštine, matematika se možda uopšte neće izučavati...
Još jedna popularna zagonetka:
Naći razliku aritmetičke progresije (a n), ako je a 1 =2; a 15 =12.
Šta mi radimo? Iznenadit ćete se, pišemo formulu!)
| a n = a 1 + (n-1)d |
Hajde da razmotrimo šta znamo: a 1 =2; a 15 =12; i (posebno ću istaći!) n=15. Slobodno zamijenite ovo u formulu:
12=2 + (15-1)d
Radimo aritmetiku.)
12=2 + 14d
d=10/14 = 5/7
Ovo je tačan odgovor.
Dakle, zadaci za a n, a 1 I d odlučila. Ostaje samo naučiti kako pronaći broj:
Broj 99 je član aritmetičke progresije (a n), gdje je a 1 =12; d=3. Pronađite broj ovog člana.
Zamjenjujemo nam poznate količine u formulu n-tog člana:
a n = 12 + (n-1) 3
Na prvi pogled ovde postoje dve nepoznate količine: a n i n. Ali a n- ovo je neki član progresije sa brojem n...A mi poznajemo ovog člana progresije! To je 99. Ne znamo njegov broj. n, Dakle, ovaj broj je ono što trebate pronaći. Zamjenjujemo pojam progresije 99 u formulu:
99 = 12 + (n-1) 3
Izražavamo iz formule n, mi mislimo. Dobijamo odgovor: n=30.
A sada problem na istu temu, ali kreativniji):
Odredite da li je broj 117 član aritmetičke progresije (a n):
-3,6; -2,4; -1,2 ...
Hajde da ponovo napišemo formulu. Šta, nema parametara? Hm... Zašto su nam date oči?) Vidimo li prvi član progresije? Vidimo. Ovo je -3,6. Možete sa sigurnošću napisati: a 1 = -3,6. Razlika d možete li odrediti iz serije? Lako je ako znate koja je razlika aritmetičke progresije:
d = -2,4 - (-3,6) = 1,2
Dakle, uradili smo najjednostavniju stvar. Ostaje da se pozabavimo nepoznatim brojem n i nerazumljivi broj 117. U prethodnom zadatku se barem znalo da je zadan termin progresije. Ali ovde ni ne znamo... Šta da radimo!? Pa šta da se radi, šta da se radi... Uključi se Kreativne vještine!)
Mi pretpostavimo da je 117, na kraju krajeva, član našeg napredovanja. Sa nepoznatim brojem n. I, baš kao u prethodnom zadatku, pokušajmo pronaći ovaj broj. One. pišemo formulu (da, da!)) i zamjenjujemo naše brojeve:
117 = -3,6 + (n-1) 1,2
Opet izražavamo iz formulen, računamo i dobijamo:
Ups! Broj se ispostavio fractional! Sto jedan i po. I razlomci u progresijama ne može biti. Kakav zaključak možemo izvući? Da! Broj 117 niječlan našeg napredovanja. To je negdje između sto prvog i sto drugog pojma. Ako je broj ispao prirodan, tj. je pozitivan cijeli broj, tada bi broj bio član progresije s pronađenim brojem. A u našem slučaju, odgovor na problem će biti: br.
Zadatak zasnovan na pravoj verziji GIA:
Aritmetička progresija je data uslovom:
a n = -4 + 6.8n
Pronađite prvi i deseti član progresije.
Ovdje je progresija postavljena na neobičan način. Nekakva formula... Dešava se.) Međutim, ova formula (kao što sam gore napisao) - također formula za n-ti član aritmetičke progresije! Ona takođe dozvoljava pronađite bilo kojeg člana progresije po njegovom broju.
Tražimo prvog člana. Onaj koji misli. da je prvi član minus četiri je fatalna greška!) Jer je formula u zadatku izmijenjena. Prvi član aritmetičke progresije u njemu skriveno. U redu je, sada ćemo to pronaći.)
Kao iu prethodnim problemima, vršimo zamjenu n=1 u ovu formulu:
a 1 = -4 + 6,8 1 = 2,8
Evo! Prvi član je 2,8, a ne -4!
Deseti pojam tražimo na isti način:
a 10 = -4 + 6,8 10 = 64
To je to.
A sada, za one koji su pročitali ove redove, obećani bonus.)
Pretpostavimo da ste u teškoj borbenoj situaciji, državni ispit ili jedinstveni državni ispit, zaboravili korisna formula n-ti član aritmetičke progresije. Sjećam se nečega, ali nekako nesigurno... Ili n tamo, ili n+1, ili n-1... Kako biti!?
Miran! Ovu formulu je lako izvesti. Nije baš stroga, ali svakako je dovoljna za samopouzdanje i pravu odluku!) Da biste zaključili, dovoljno je zapamtiti elementarno značenje aritmetičke progresije i imati par minuta vremena. Samo treba da nacrtate sliku. Radi jasnoće.
Nacrtajte brojevnu pravu i označite prvu na njoj. drugi, treći itd. članovi. I primjećujemo razliku d između članova. Volim ovo:
Gledamo sliku i mislimo: čemu je jednak drugi član? Sekunda jedan d:
a 2 =a 1 + 1 d
Šta je treći termin? Treće pojam je jednak prvom članu plus dva d.
a 3 =a 1 + 2 d
Da li shvatate? Nije uzalud neke riječi podebljano. U redu, još jedan korak).
Šta je četvrti mandat? Četvrto pojam je jednak prvom članu plus tri d.
a 4 =a 1 + 3 d
Vrijeme je da shvatimo da je broj praznina, tj. d, Uvijek jedan manji od broja člana kojeg tražite n. Odnosno na broj n, broj razmakaće n-1. Stoga će formula biti (bez varijacija!):
| a n = a 1 + (n-1)d |
Općenito, vizualne slike su od velike pomoći u rješavanju mnogih matematičkih problema. Nemojte zanemariti slike. Ali ako je teško nacrtati sliku, onda ... samo formula!) Osim toga, formula n-tog člana omogućava vam da povežete cijeli moćni arsenal matematike na rješenje - jednadžbe, nejednačine, sisteme itd. Ne možete ubaciti sliku u jednačinu...
Zadaci za samostalno rješavanje.
Za zagrijavanje:
1. U aritmetičkoj progresiji (a n) a 2 =3; a 5 =5.1. Pronađite 3.
Savjet: prema slici, problem se može riješiti za 20 sekundi... Po formuli ispada teže. Ali za savladavanje formule, korisnije je.) U odjeljku 555, ovaj problem je riješen korištenjem i slike i formule. Osjetite razliku!)
I ovo više nije zagrijavanje.)
2. U aritmetičkoj progresiji (a n) a 85 =19,1; a 236 =49, 3. Pronađite a 3 .
Šta, ne želite da nacrtate sliku?) Naravno! Bolje po formuli, da...
3. Aritmetička progresija je data uslovom:a 1 = -5,5; a n+1 = a n +0,5. Pronađite sto dvadeset peti član ove progresije.
U ovom zadatku, napredovanje je specificirano na ponavljajući način. Ali računajući do sto dvadeset i petog roka... Nije svako sposoban za takav podvig.) Ali formula n-tog člana je u moći svakoga!
4. S obzirom na aritmetičku progresiju (a n):
-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....
Pronađite broj najmanjeg pozitivnog člana progresije.
5. Prema uslovima zadatka 4, naći zbir najmanjeg pozitivnog i najvećeg negativnog člana progresije.
6. Proizvod petog i dvanaestog člana rastuće aritmetičke progresije jednak je -2,5, a zbir trećeg i jedanaestog člana jednak je nuli. Pronađite 14.
Nije najlakši zadatak, da...) Metoda "vrh prsta" ovdje neće raditi. Morat ćete napisati formule i riješiti jednačine.
Odgovori (u neredu):
3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5
Desilo se? Lijepo je!)
Nije sve u redu? Dešava se. Inače, u posljednjem zadatku postoji jedna suptilna točka. Biće potrebna pažnja prilikom čitanja problema. I logika.
Rješenje svih ovih problema detaljno je razmotreno u Odjeljku 555. I element fantazije za četvrti, i suptilna tačka za šesti, i opći pristupi rješavanju bilo kojeg problema koji uključuje formulu n-og člana - sve je opisano. Predlažem.
Ako vam se sviđa ovaj sajt...
Inače, imam još par zanimljivih stranica za vas.)
Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoj nivo. Testiranje sa trenutnom verifikacijom. Učimo - sa interesovanjem!)
Možete se upoznati sa funkcijama i izvedenicama.
Prilikom studiranja algebre u srednja škola(9. razred) jedan od važne teme je proučavanje nizova brojeva, koji uključuju progresije - geometrijske i aritmetičke. U ovom članku ćemo pogledati aritmetičku progresiju i primjere s rješenjima.
Šta je aritmetička progresija?
Da bi se ovo razumjelo, potrebno je definirati o kojoj se progresiji radi, kao i navesti osnovne formule koje će se kasnije koristiti u rješavanju problema.
Aritmetička ili algebarska progresija je skup uređenih racionalnih brojeva čiji se svaki član razlikuje od prethodnog za neku konstantnu vrijednost. Ova vrijednost se naziva razlika. To jest, znajući bilo koji član uređenog niza brojeva i razliku, možete vratiti cjelokupnu aritmetičku progresiju.
Dajemo primjer. Sljedeći niz brojeva će biti aritmetička progresija: 4, 8, 12, 16, ..., pošto je razlika u ovom slučaju 4 (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12). Ali skup brojeva 3, 5, 8, 12, 17 se više ne može pripisati tipu progresije koji se razmatra, jer razlika za njega nije konstantna vrijednost (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17 - 12).
Važne formule
Predstavimo sada osnovne formule koje će biti potrebne za rješavanje problema korištenjem aritmetičke progresije. Označimo simbolom a n n-ti član niza, gdje je n cijeli broj. Razliku označavamo latiničnim slovom d. Tada su važeći sljedeći izrazi:
- Za određivanje vrijednosti n-tog člana prikladna je sljedeća formula: a n = (n-1)*d+a 1 .
- Odrediti zbir prvih n članova: S n = (a n +a 1)*n/2.
Da bismo razumjeli bilo koji primjer aritmetičke progresije sa rješenjima u 9. razredu, dovoljno je zapamtiti ove dvije formule, jer se svaki problem tipa koji se razmatra zasniva na njihovoj upotrebi. Također treba imati na umu da je razlika u progresiji određena formulom: d = a n - a n-1.
Primjer #1: pronalaženje nepoznatog pojma
Navedimo jednostavan primjer aritmetičke progresije i formule koje je potrebno koristiti za rješavanje.
Neka je zadan niz 10, 8, 6, 4, ..., u njemu morate pronaći pet članova.
Već iz uslova zadatka proizilazi da su prva 4 člana poznata. Peti se može definisati na dva načina:
- Prvo izračunajmo razliku. Imamo: d = 8 - 10 = -2. Slično, možete uzeti bilo koja druga dva člana koji stoje jedan pored drugog. Na primjer, d = 4 - 6 = -2. Pošto je poznato da je d = a n - a n-1, onda je d = a 5 - a 4, od čega dobijamo: a 5 = a 4 + d. Zamijenjujemo poznate vrijednosti: a 5 = 4 + (-2) = 2.
- Druga metoda također zahtijeva poznavanje razlike dotične progresije, tako da je prvo trebate odrediti kao što je prikazano gore (d = -2). Znajući da je prvi član a 1 = 10, koristimo formulu za n broj niza. Imamo: a n = (n - 1) * d + a 1 = (n - 1) * (-2) + 10 = 12 - 2*n. Zamjenom n = 5 u posljednji izraz dobijamo: a 5 = 12-2 * 5 = 2.
Kao što vidite, oba rješenja su dovela do istog rezultata. Imajte na umu da je u ovom primjeru razlika d u progresiji negativna vrijednost. Takvi nizovi se nazivaju opadajućim, jer je svaki sljedeći član manji od prethodnog.
Primjer #2: razlika u progresiji
Sada ćemo malo zakomplikovati zadatak, dajmo primjer kako
Poznato je da je u nekima 1. član jednak 6, a 7. član 18. Potrebno je pronaći razliku i vratiti ovaj niz na 7. član.
Koristimo formulu da odredimo nepoznati pojam: a n = (n - 1) * d + a 1 . Zamenimo u njega poznate podatke iz uslova, odnosno brojeve a 1 i a 7, imamo: 18 = 6 + 6 * d. Iz ovog izraza možete lako izračunati razliku: d = (18 - 6) /6 = 2. Dakle, odgovorili smo na prvi dio zadatka.
Da biste vratili niz na 7. član, trebali biste koristiti definiciju algebarske progresije, to jest, a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d, i tako dalje. Kao rezultat, vraćamo cijeli niz: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2=8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16, a 7 = 18.
Primjer br. 3: izrada progresije
Hajde da još više zakomplikujemo problem. Sada moramo odgovoriti na pitanje kako pronaći aritmetičku progresiju. Može se dati sljedeći primjer: data su dva broja, na primjer - 4 i 5. Potrebno je napraviti algebarsku progresiju tako da se između njih smjeste još tri člana.
Prije nego počnete rješavati ovaj problem, morate razumjeti koje će mjesto dati brojevi zauzeti u budućoj progresiji. Pošto će između njih biti još tri člana, onda je a 1 = -4 i a 5 = 5. Nakon što smo ovo ustanovili, prelazimo na problem koji je sličan prethodnom. Opet, za n-ti član koristimo formulu, dobijamo: a 5 = a 1 + 4 * d. Od: d = (a 5 - a 1)/4 = (5 - (-4)) / 4 = 2,25. Ono što ovdje imamo nije cjelobrojna vrijednost razlike, ali jeste racionalni broj, tako da formule za algebarsku progresiju ostaju iste.
Sada dodajmo pronađenu razliku na 1 i vratimo nedostajuće članove progresije. Dobijamo: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2,25 = - 1,75, a 3 = -1,75 + 2,25 = 0,5, a 4 = 0,5 + 2,25 = 2,75, a 5 = 2,75 + 2,25 = 5, što odgovara sa uslovima problema.
Primjer br. 4: prvi termin progresije
Nastavimo davati primjere aritmetičke progresije s rješenjima. U svim prethodnim problemima prvi broj algebarske progresije je bio poznat. Sada razmotrimo problem drugačijeg tipa: neka su data dva broja, pri čemu je a 15 = 50 i a 43 = 37. Potrebno je pronaći kojim brojem počinje ovaj niz.
Do sada korištene formule pretpostavljaju poznavanje a 1 i d. U opisu problema ništa se ne zna o ovim brojevima. Ipak, za svaki termin ćemo zapisati izraze o kojima su dostupne informacije: a 15 = a 1 + 14 * d i a 43 = a 1 + 42 * d. Dobili smo dvije jednačine u kojima postoje 2 nepoznate veličine (a 1 i d). To znači da se problem svodi na rješavanje sistema linearnih jednačina.
Najlakši način da se riješi ovaj sistem je izraziti 1 u svakoj jednačini i zatim uporediti rezultirajuće izraze. Prva jednadžba: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; druga jednadžba: a 1 = a 43 - 42 * d = 37 - 42 * d. Izjednačavanjem ovih izraza dobijamo: 50 - 14 * d = 37 - 42 * d, odakle je razlika d = (37 - 50) / (42 - 14) = - 0,464 (date su samo 3 decimale).
Znajući d, možete koristiti bilo koji od 2 gornja izraza za 1. Na primjer, prvo: a 1 = 50 - 14 * d = 50 - 14 * (- 0,464) = 56,496.
Ako sumnjate u dobijeni rezultat, možete ga provjeriti, na primjer, odrediti 43. član progresije, koji je naveden u uvjetu. Dobijamo: a 43 = a 1 + 42 * d = 56,496 + 42 * (- 0,464) = 37,008. Mala greška je zbog činjenice da je u proračunima korišteno zaokruživanje na hiljaditi dio.
Primjer br. 5: iznos
Pogledajmo sada nekoliko primjera s rješenjima za zbir aritmetičke progresije.
Neka je data numerička progresija sljedećeg oblika: 1, 2, 3, 4, ...,. Kako izračunati zbir 100 ovih brojeva?
Zahvaljujući razvoju kompjuterska tehnologija možete riješiti ovaj problem, odnosno sabrati sve brojeve uzastopno, što će računar učiniti odmah čim osoba pritisne tipku Enter. Međutim, problem se može riješiti mentalno ako obratite pažnju da je prikazani niz brojeva algebarska progresija, a njegova razlika je jednaka 1. Primjenom formule za zbir dobijamo: S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.
Zanimljivo je napomenuti da se ovaj problem naziva "Gausov" jer u početkom XVIII veka, slavni Nemac je, još sa samo 10 godina, uspeo da to reši u svojoj glavi za nekoliko sekundi. Dječak nije znao formulu za zbir algebarske progresije, ali je primijetio da ako dodate brojeve na krajevima niza u parovima, uvijek dobijete isti rezultat, odnosno 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ..., a pošto će ovi zbroji biti tačno 50 (100 / 2), onda je za tačan odgovor dovoljno pomnožiti 50 sa 101.
Primjer br. 6: zbir članova od n do m
Još jedan tipičan primjer zbira aritmetičke progresije je sljedeći: dajući niz brojeva: 3, 7, 11, 15, ..., morate pronaći koliko će biti jednak zbir njegovih članova od 8 do 14 .
Problem se rješava na dva načina. Prvi od njih uključuje pronalaženje nepoznatih pojmova od 8 do 14, a zatim njihovo sumiranje uzastopno. Budući da postoji malo termina, ova metoda nije baš radno intenzivna. Ipak, predlaže se rješavanje ovog problema korištenjem druge metode, koja je univerzalnija.
Ideja je dobiti formulu za zbir algebarske progresije između pojmova m i n, gdje su n > m cijeli brojevi. Za oba slučaja pišemo dva izraza za zbir:
- S m = m * (a m + a 1) / 2.
- S n = n * (a n + a 1) / 2.
Pošto je n > m, očigledno je da 2. zbir uključuje prvi. Posljednji zaključak znači da ako uzmemo razliku između ovih zbira i dodamo joj pojam a m (u slučaju uzimanja razlike, ona se oduzme od zbira S n), dobićemo neophodan odgovor na problem. Imamo: S mn = S n - S m + a m =n * (a 1 + a n) / 2 - m *(a 1 + a m)/2 + a m = a 1 * (n - m) / 2 + a n * n/2 + a m * (1- m/2). U ovaj izraz potrebno je zamijeniti formule za n i a m. Tada dobijamo: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d *(3 * m - m 2 - 2) / 2.
Rezultirajuća formula je pomalo glomazna, međutim, zbir S mn ovisi samo o n, m, a 1 i d. U našem slučaju, a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Zamjenom ovih brojeva dobijamo: S mn = 301.
Kao što se vidi iz gornjih rješenja, svi problemi se zasnivaju na poznavanju izraza za n-ti član i formule za zbir skupa prvih članova. Prije nego počnete rješavati bilo koji od ovih problema, preporučuje se da pažljivo pročitate uvjet, jasno shvatite što trebate pronaći i tek onda nastaviti s rješavanjem.
Još jedan savjet je da težite jednostavnosti, odnosno, ako možete odgovoriti na pitanje bez korištenja složenih matematičkih proračuna, onda morate učiniti upravo to, jer je u ovom slučaju vjerovatnoća da ćete pogriješiti manja. Na primjer, u primjeru aritmetičke progresije sa rješenjem br. 6, moglo bi se zaustaviti na formuli S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m, i break zajednički zadatak u zasebne podzadatke (u ovom slučaju prvo pronađite pojmove a n i a m).
Ako sumnjate u dobijeni rezultat, preporučuje se da ga provjerite, kao što je to učinjeno u nekim od navedenih primjera. Saznali smo kako pronaći aritmetičku progresiju. Ako to shvatite, nije tako teško.
Matematika ima svoju lepotu, baš kao i slikarstvo i poezija.
Ruski naučnik, mehaničar N.E. Zhukovsky
Vrlo uobičajeni zadaci u prijemni ispiti u matematici su problemi vezani za koncept aritmetičke progresije. Da biste uspješno rješavali takve probleme, morate dobro poznavati svojstva aritmetičke progresije i imati određene vještine u njihovoj primjeni.
Prisjetimo se najprije osnovnih svojstava aritmetičke progresije i predstavimo najvažnije formule, povezan sa ovim konceptom.
Definicija. Redoslijed brojeva, u kojoj se svaki naredni pojam razlikuje od prethodnog za isti broj, zove se aritmetička progresija. U ovom slučaju brojnazvana razlika u progresiji.
Za aritmetičku progresiju važe sljedeće formule:
, (1)
Gdje . Formula (1) se naziva formulom opšteg člana aritmetičke progresije, a formula (2) predstavlja glavno svojstvo aritmetičke progresije: svaki član progresije se poklapa sa aritmetičkom sredinom njegovih susednih članova i .
Imajte na umu da se upravo zbog ovog svojstva progresija koja se razmatra naziva "aritmetička".
Gore navedene formule (1) i (2) su generalizirane na sljedeći način:
(3)
Za izračunavanje iznosa prvo termini aritmetičke progresijeformula se obično koristi
(5) gdje i .
Ako uzmemo u obzir formulu (1), onda iz formule (5) slijedi
Ako označimo , onda
Gdje . Budući da su formule (7) i (8) generalizacija odgovarajućih formula (5) i (6).
posebno, iz formule (5) slijedi, Šta
Većini studenata malo je poznato svojstvo aritmetičke progresije, formulisano kroz sljedeću teoremu.
Teorema. Ako onda
Dokaz. Ako onda
Teorema je dokazana.
Na primjer , koristeći teoremu, može se pokazati da
Idemo dalje na razmatranje tipičnih primjera rješavanja problema na temu „Aritmetička progresija“.
Primjer 1. Neka bude. Pronađite .
Rješenje. Primjenom formule (6) dobijamo . Budući da i , onda ili .
Primjer 2. Neka je tri puta veći, a kada se podijeli s količnikom, rezultat je 2, a ostatak je 8. Odrediti i .
Rješenje. Iz uslova primjera slijedi sistem jednačina
Pošto , , i , onda iz sistema jednačina (10) dobijamo
Rješenje ovog sistema jednačina je i .
Primjer 3. Pronađite ako i .
Rješenje. Prema formuli (5) imamo ili . Međutim, koristeći svojstvo (9), dobijamo .
Budući da i , Zatim iz jednakosti jednačina slijedi ili .
Primjer 4. Pronađite ako .
Rješenje.Prema formuli (5) imamo
Međutim, koristeći teoremu, možemo pisati
Odavde i iz formule (11) dobijamo .
Primjer 5. Dato: . Pronađite .
Rješenje. Od tada. Međutim, stoga.
Primjer 6. Neka , i . Pronađite .
Rješenje. Koristeći formulu (9), dobijamo . Stoga, ako , onda ili .
Od i onda ovde imamo sistem jednačina
Rješavajući koje, dobivamo i .
Prirodni korijen jednadžbe je .
Primjer 7. Pronađite ako i .
Rješenje. Pošto prema formuli (3) imamo da , onda sistem jednačina slijedi iz uslova problema
Ako zamijenimo izrazu drugu jednačinu sistema, tada dobivamo ili .
Roots kvadratna jednačina su i .
Razmotrimo dva slučaja.
1. Neka , onda . Od i , onda .
U ovom slučaju, prema formuli (6), imamo
2. Ako , tada , i
Odgovor: i.
Primjer 8. Poznato je da i. Pronađite .
Rješenje. Uzimajući u obzir formulu (5) i uvjet primjera, pišemo i .
To podrazumijeva sistem jednačina
Ako pomnožimo prvu jednačinu sistema sa 2, a zatim je dodamo drugoj jednačini, dobićemo
Prema formuli (9) imamo. S tim u vezi, iz (12) proizlazi ili .
Od i , onda .
Odgovor: .
Primjer 9. Pronađite ako i .
Rješenje. Budući da , i pod uvjetom , onda ili .
Iz formule (5) je poznato, Šta . Od tada.
dakle, ovdje imamo sistem linearnih jednačina
Odavde dobijamo i . Uzimajući u obzir formulu (8), pišemo .
Primjer 10. Riješite jednačinu.
Rješenje. Od zadata jednačina sledi to. Pretpostavimo da je , , i . U ovom slučaju .
Prema formuli (1), možemo napisati ili .
Budući da , tada jednačina (13) ima jedini odgovarajući korijen .
Primjer 11. Pronađite maksimalnu vrijednost pod uvjetom da i .
Rješenje. Budući da , tada se razmatrana aritmetička progresija smanjuje. U tom smislu, izraz poprima svoju maksimalnu vrijednost kada je broj minimalnog pozitivnog člana progresije.
Koristimo formulu (1) i činjenicu, to i . Onda dobijemo to ili .
Od , tada ili . Međutim, u ovoj nejednakostinajveći prirodni broj, Zbog toga .
Ako su vrijednosti , i supstituirane u formulu (6), dobivamo .
Odgovor: .
Primjer 12. Odredite zbir svih dvocifrenih prirodni brojevi, što kada se podijeli sa 6 ostavlja ostatak od 5.
Rješenje. Označimo skupom svih dvocifrenih prirodnih brojeva, tj. . Zatim ćemo konstruirati podskup koji se sastoji od onih elemenata (brojeva) skupa koji, kada se podijele brojem 6, daju ostatak od 5.
Jednostavan za instalaciju, Šta . Očigledno, da su elementi skupaformiraju aritmetičku progresiju, u kojem i .
Da bismo ustanovili kardinalnost (broj elemenata) skupa, pretpostavljamo da je . Budući da i , to slijedi iz formule (1) ili . Uzimajući u obzir formulu (5), dobijamo .
Gore navedeni primjeri rješavanja problema nikako ne mogu tvrditi da su iscrpni. Ovaj članak je napisan na osnovu analize savremenim metodama rješavanje tipičnih problema na zadatu temu. Za dublje proučavanje metoda za rješavanje problema vezanih za aritmetičku progresiju, preporučljivo je pogledati listu preporučene literature.
1. Zbirka zadataka iz matematike za kandidate na fakultetima / Ed. M.I. Scanavi. – M.: Mir i obrazovanje, 2013. – 608 str.
2. Suprun V.P. Matematika za srednjoškolce: dodatni dijelovi školski program. – M.: Lenand / URSS, 2014. – 216 str.
3. Medynsky M.M. Puni kurs elementarna matematika u zadacima i vježbama. knjiga 2: Brojčani nizovi i napredovanje. – M.: Editus, 2015. – 208 str.
Imate još pitanja?
Da biste dobili pomoć od tutora, registrujte se.
web stranicu, kada kopirate materijal u cijelosti ili djelomično, link na izvor je obavezan.
Zbir aritmetičke progresije.
Zbir aritmetičke progresije je jednostavna stvar. I po značenju i po formuli. Ali ima svakakvih zadataka na ovu temu. Od osnovnog do sasvim solidnog.
Prvo, shvatimo značenje i formulu iznosa. A onda ćemo odlučiti. Za vaše zadovoljstvo.) Značenje količine je jednostavno kao mukanje. Da biste pronašli zbir aritmetičke progresije, trebate samo pažljivo sabrati sve njegove članove. Ako je ovih pojmova malo, možete dodati bez ikakvih formula. Ali ako ima puno, ili puno... dodatak je neugodan.) U ovom slučaju formula dolazi u pomoć.
Formula za iznos je jednostavna:
Hajde da shvatimo kakva su slova uključena u formulu. Ovo će dosta razjasniti stvari.
S n - zbir aritmetičke progresije. Rezultat zbrajanja svimačlanovi, sa prvo By zadnji. Važno je. Tačno se sabiraju Svečlanovi u nizu, bez preskakanja ili preskakanja. I, tačnije, počevši od prvo. U problemima kao što je pronalaženje zbira trećeg i osmog člana, ili zbira petog do dvadesetog člana, direktna primjena formule će razočarati.)
a 1 - prvočlan progresije. Ovde je sve jasno, jednostavno prvo broj reda.
a n- zadnjičlan progresije. Poslednji broj serije. Nije baš poznato ime, ali kada se primjenjuje na količinu, vrlo je prikladno. Onda ćete se sami uvjeriti.
n - broj posljednjeg člana. Važno je shvatiti da je u formuli ovaj broj poklapa se sa brojem dodatih pojmova.
Hajde da definišemo koncept zadnjičlan a n. Lako pitanje: koji će član biti posljednji ako je dato beskrajno aritmetička progresija?)
Da biste odgovorili pouzdano, morate razumjeti elementarno značenje aritmetičke progresije i... pažljivo pročitati zadatak!)
U zadatku pronalaženja zbira aritmetičke progresije uvijek se pojavljuje posljednji član (direktno ili indirektno), koje bi trebalo ograničiti. Inače, konačan, konkretan iznos jednostavno ne postoji. Za rješenje nije bitno da li je progresija data: konačna ili beskonačna. Nije važno kako je zadan: niz brojeva ili formula za n-ti član.
Najvažnije je shvatiti da formula funkcionira od prvog člana progresije do člana s brojem n. Zapravo, puno ime formule izgleda ovako: zbir prvih n članova aritmetičke progresije. Broj ovih prvih članova, tj. n, određen je isključivo zadatkom. U zadatku su sve ove vrijedne informacije često šifrirane, da... Ali nema veze, u primjerima ispod otkrivamo ove tajne.)
Primjeri zadataka na zbir aritmetičke progresije.
Kao prvo, korisne informacije:
Glavna poteškoća u zadacima koji uključuju zbir aritmetičke progresije leži u ispravnom određivanju elemenata formule.
Autori zadataka šifriraju upravo ove elemente bezgraničnom maštom.) Ovdje je glavna stvar ne bojati se. Razumijevajući suštinu elemenata, dovoljno ih je jednostavno dešifrirati. Pogledajmo nekoliko primjera detaljno. Počnimo sa zadatkom zasnovanim na stvarnom GIA.
1. Aritmetička progresija je data uslovom: a n = 2n-3.5. Pronađite zbroj njegovih prvih 10 članova.
Dobar posao. Lako.) Šta trebamo znati da bismo odredili količinu pomoću formule? Prvi član a 1, prošli mandat a n, da broj posljednjeg člana n.
Gdje mogu dobiti broj posljednjeg člana? n? Da, tu, pod uslovom! Piše: nađi zbir prvih 10 članova. Pa, sa kojim će brojem? posljednje, deseti član?) Nećete vjerovati, njegov broj je deseti!) Stoga, umjesto a n Zamijenit ćemo u formulu a 10, i umjesto toga n- deset. Ponavljam, broj zadnjeg člana se poklapa sa brojem članova.
Ostaje da se utvrdi a 1 I a 10. Ovo se lako izračunava pomoću formule za n-ti član, koja je data u opisu problema. Ne znate kako to učiniti? Pohađajte prethodnu lekciju, bez ovoga nema šanse.
a 1= 2 1 - 3,5 = -1,5
a 10=2·10 - 3,5 =16,5
S n = S 10.
Saznali smo značenje svih elemenata formule za zbir aritmetičke progresije. Ostaje samo da ih zamijenite i prebrojite:
To je to. Odgovor: 75.
Još jedan zadatak baziran na GIA. Malo komplikovanije:
2. Zadata je aritmetička progresija (a n), čija je razlika 3,7; a 1 =2.3. Pronađite zbir njegovih prvih 15 članova.
Odmah pišemo formulu sume:
Ova formula nam omogućava da pronađemo vrijednost bilo kojeg pojma po njegovom broju. Tražimo jednostavnu zamjenu:
a 15 = 2,3 + (15-1) 3,7 = 54,1
Ostaje zamijeniti sve elemente u formulu za zbir aritmetičke progresije i izračunati odgovor:
Odgovor: 423.
Usput, ako u formuli zbira umjesto a n Jednostavno zamijenimo formulu za n-ti član i dobijemo:
Predstavimo slične i dobijemo novu formulu za zbir članova aritmetičke progresije:
 |
Kao što vidite, n-ti pojam ovdje nije potreban a n. Kod nekih problema ova formula puno pomaže, da... Možete zapamtiti ovu formulu. Ili ga možete jednostavno prikazati u pravo vrijeme, kao ovdje. Na kraju krajeva, uvijek morate zapamtiti formulu za zbir i formulu za n-ti član.)
Sada zadatak u obliku kratke enkripcije):
3. Pronađite zbroj svih pozitivnih dvocifrenim brojevima, višestruki od tri.
Vau! Ni vaš prvi član, ni zadnji, ni napredovanje uopšte... Kako živjeti!?
Morat ćete razmišljati svojom glavom i iz stanja izvući sve elemente zbira aritmetičke progresije. Znamo šta su dvocifreni brojevi. Sastoje se od dva broja.) Koji će biti dvocifreni broj prvo? 10, vjerovatno.) A poslednja stvar dvocifreni broj? 99, naravno! Trocifrene će ga pratiti...
Višestruki od tri... Hm... Ovo su brojevi koji su djeljivi sa tri, evo! Deset nije deljivo sa tri, 11 nije deljivo... 12... je deljivo! Dakle, nešto se pojavljuje. Već možete zapisati niz prema uslovima problema:
12, 15, 18, 21, ... 96, 99.
Hoće li ova serija biti aritmetička progresija? Svakako! Svaki pojam razlikuje se od prethodnog za striktno tri. Ako nekom pojmu dodate 2 ili 4, recimo, rezultat, tj. novi broj više nije djeljiv sa 3. Možete odmah odrediti razliku aritmetičke progresije: d = 3. Dobro će doći!)
Dakle, možemo sigurno zapisati neke parametre progresije:
Koji će biti broj? n zadnji član? Ko misli da je 99 kobno se vara... Brojevi uvijek idu nizom, ali naši članovi preskaču tri. Ne poklapaju se.
Ovdje postoje dva rješenja. Jedan od načina je za super vrijedne. Možete zapisati progresiju, cijeli niz brojeva i prstom prebrojati broj članova.) Drugi način je za promišljene. Morate zapamtiti formulu za n-ti član. Ako primijenimo formulu na naš problem, otkrićemo da je 99 trideseti član progresije. One. n = 30.
Pogledajmo formulu za zbir aritmetičke progresije:
Gledamo i radujemo se.) Iz opisa problema smo izvukli sve što je potrebno za izračunavanje iznosa:
a 1= 12.
a 30= 99.
S n = S 30.
Ostaje samo elementarna aritmetika. Zamjenjujemo brojeve u formulu i izračunavamo:
Odgovor: 1665
Još jedna vrsta popularne slagalice:
4. S obzirom na aritmetičku progresiju:
-21,5; -20; -18,5; -17; ...
Nađi zbir članova od dvadesetog do trideset četvrtog.
Gledamo formulu za iznos i... uznemirimo se.) Formula, da vas podsjetim, izračunava iznos od prvečlan. A u zadatku morate izračunati sumu od dvadesetog... Formula neće raditi.
Možete, naravno, ispisati cijelu progresiju u nizu, i dodati pojmove od 20 do 34. Ali... to je nekako glupo i dugo traje, zar ne?)
Postoji elegantnije rješenje. Podijelimo našu seriju na dva dijela. Prvi dio će biti od prvog mandata do devetnaestog. Drugi dio - od dvadeset do trideset četiri. Jasno je da ako izračunamo zbir članova prvog dijela S 1-19, dodajmo ga sa zbirom članova drugog dijela S 20-34, dobijamo zbir progresije od prvog člana do trideset četvrtog S 1-34. Volim ovo:
S 1-19 + S 20-34 = S 1-34
Iz ovoga možemo vidjeti da se nalazi zbir S 20-34 može se uraditi jednostavnim oduzimanjem
S 20-34 = S 1-34 - S 1-19
U obzir se uzimaju oba iznosa na desnoj strani od prvečlan, tj. standardna formula sume je prilično primjenjiva na njih. Hajde da počnemo?
Izvlačimo parametre progresije iz iskaza problema:
d = 1,5.
a 1= -21,5.
Da bismo izračunali zbir prvih 19 i prva 34 člana, trebat će nam 19. i 34. član. Izračunavamo ih koristeći formulu za n-ti član, kao u zadatku 2:
a 19= -21,5 +(19-1) 1,5 = 5,5
a 34= -21,5 +(34-1) 1,5 = 28
Ništa nije ostalo. Od zbira 34 člana oduzmite zbir 19 članova:
S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110,5 - (-152) = 262,5
Odgovor: 262.5
Jedna važna napomena! Postoji vrlo koristan trik u rješavanju ovog problema. Umjesto direktnog obračuna šta ti treba (S 20-34), brojali smo nešto što se čini da nije potrebno - S 1-19. A onda su odlučili S 20-34, odbacujući nepotrebno iz kompletnog rezultata. Ova vrsta "finte sa ušima" često vas spašava od opakih problema.)
U ovoj lekciji smo se bavili problemima za koje je dovoljno razumjeti značenje zbira aritmetičke progresije. Pa, morate znati nekoliko formula.)
Kada rješavate bilo koji zadatak koji uključuje zbir aritmetičke progresije, preporučujem da odmah napišete dvije glavne formule iz ove teme.
Formula za n-ti član:
Ove formule će vam odmah reći šta da tražite i u kom pravcu da razmišljate kako biste rešili problem. Pomaže.
A sada zadaci za samostalno rješavanje.
5. Pronađite zbir svih dvocifrenih brojeva koji nisu djeljivi sa tri.
Cool?) Nagoveštaj je skriven u napomeni za problem 4. Pa, problem 3 će pomoći.
6. Aritmetička progresija je data uslovom: a 1 = -5,5; a n+1 = a n +0,5. Pronađite zbir njegovih prva 24 člana.
Neobično?) Ovo formula recidiva. O tome možete pročitati u prethodnoj lekciji. Nemojte zanemariti vezu, takvi problemi se često nalaze u Državnoj akademiji nauka.
7. Vasya je uštedio novac za odmor. Čak 4550 rubalja! I odlučio sam da svojoj omiljenoj osobi (sebi) poklonim nekoliko dana sreće). Živite lijepo, ne uskraćujući sebi ništa. Potrošite 500 rubalja prvog dana, a svaki sljedeći dan potrošite 50 rubalja više od prethodnog! Dok novac ne ponestane. Koliko je dana sreće imao Vasja?
Je li teško?) Dodatna formula iz zadatka 2 će pomoći.
Odgovori (u neredu): 7, 3240, 6.
Ako vam se sviđa ovaj sajt...
Inače, imam još par zanimljivih stranica za vas.)
Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoj nivo. Testiranje sa trenutnom verifikacijom. Učimo - sa interesovanjem!)
Možete se upoznati sa funkcijama i izvedenicama.
