Osnovne numeričke karakteristike diskretnih i kontinuiranih slučajnih varijabli: očekivanu vrijednost, varijansu i standardnu devijaciju. Njihova svojstva i primjeri.
Zakon raspodjele (funkcija distribucije i distribucijski niz ili gustina vjerovatnoće) u potpunosti opisuje ponašanje slučajna varijabla. Ali u nizu problema dovoljno je poznavati neke numeričke karakteristike vrijednosti koja se proučava (na primjer, njenu prosječnu vrijednost i moguće odstupanje od nje) da bi se odgovorilo na postavljeno pitanje. Razmotrimo glavne numeričke karakteristike diskretnih slučajnih varijabli.
Definicija 7.1.Matematičko očekivanje Diskretna slučajna varijabla je zbir proizvoda njenih mogućih vrijednosti i njihovih odgovarajućih vjerovatnoća:
M(X) = X 1 R 1 + X 2 R 2 + … + x p p p.(7.1)
Ako je broj mogućih vrijednosti slučajne varijable beskonačan, onda ako se rezultirajući niz apsolutno konvergira.
Napomena 1. Ponekad se naziva matematičko očekivanje prosjećna težina, budući da je približno jednaka aritmetičkoj sredini posmatranih vrijednosti slučajne varijable pri veliki broj eksperimenti.
Napomena 2. Iz definicije matematičkog očekivanja proizilazi da njegova vrijednost nije manja od najmanje moguće vrijednosti slučajne varijable i ne veća od najveće.
Napomena 3. Matematičko očekivanje diskretne slučajne varijable je nenasumičnim(konstantno. Kasnije ćemo vidjeti da isto vrijedi i za kontinuirane slučajne varijable.
Primjer 1. Pronađite matematičko očekivanje slučajne varijable X- broj standardnih dijelova između tri odabrana iz serije od 10 dijelova, uključujući 2 neispravna. Kreirajmo distribucijsku seriju za X. Iz uslova problema proizilazi da X može uzeti vrijednosti 1, 2, 3. Zatim
Primjer 2. Odrediti matematičko očekivanje slučajne varijable X- broj bacanja novčića prije prvog pojavljivanja grba. Ova količina može poprimiti beskonačan broj vrijednosti (skup mogućih vrijednosti je skup prirodni brojevi). Njegova distributivna serija ima oblik:
| X | … | P | … | ||
| R | 0,5 | (0,5) 2 | … | (0,5)P | … |
+ (prilikom izračunavanja, formula za zbir beskonačno opadajuće geometrijska progresija: , gdje ).
Osobine matematičkog očekivanja.
1) Matematičko očekivanje konstante jednako je samoj konstanti:
M(WITH) = WITH.(7.2)
Dokaz. Ako uzmemo u obzir WITH kao diskretna slučajna varijabla koja uzima samo jednu vrijednost WITH sa vjerovatnoćom R= 1, onda M(WITH) = WITH?1 = WITH.
2) Konstantni faktor se može izvaditi iz predznaka matematičkog očekivanja:
M(CX) = CM(X). (7.3)
Dokaz. Ako je slučajna varijabla X dato nizom distribucije
Onda M(CX) = Cx 1 R 1 + Cx 2 R 2 + … + Cx p p p = WITH(X 1 R 1 + X 2 R 2 + … + x p r p) = CM(X).
Definicija 7.2. Pozivaju se dvije slučajne varijable nezavisni, ako zakon raspodjele jednog od njih ne ovisi o tome koje vrijednosti je drugi uzeo. Inače slučajne varijable zavisan.
Definicija 7.3. Hajde da pozovemo proizvod nezavisnih slučajnih varijabli X I Y slučajna varijabla XY, čije su moguće vrijednosti jednake proizvodima svih mogućih vrijednosti X za sve moguće vrijednosti Y, a odgovarajuće vjerovatnoće jednake su proizvodima vjerovatnoća faktora.
3) Matematičko očekivanje proizvoda dvije nezavisne slučajne varijable jednako je proizvodu njihovih matematičkih očekivanja:
M(XY) = M(X)M(Y). (7.4)
Dokaz. Da bismo pojednostavili proračune, ograničavamo se na slučaj kada X I Y uzeti samo dvije moguće vrijednosti:
dakle, M(XY) = x 1 y 1 ?str 1 g 1 + x 2 y 1 ?str 2 g 1 + x 1 y 2 ?str 1 g 2 + x 2 y 2 ?str 2 g 2 = y 1 g 1 (x 1 str 1 + x 2 str 2) + + y 2 g 2 (x 1 str 1 + x 2 str 2) = (y 1 g 1 + y 2 g 2) (x 1 str 1 + x 2 str 2) = M(X)?M(Y).
Napomena 1. Na sličan način možete dokazati ovo svojstvo za veći broj mogućih vrijednosti faktora.
Napomena 2. Svojstvo 3 vrijedi za proizvod bilo kojeg broja nezavisnih slučajnih varijabli, što je dokazano matematičkom indukcijom.
Definicija 7.4. Hajde da definišemo zbir slučajnih varijabli X I Y kao slučajna varijabla X+Y, čije su moguće vrijednosti jednake zbiru svake moguće vrijednosti X sa svakom mogućom vrednošću Y; vjerovatnoće takvih suma jednake su proizvodima vjerovatnoća termina (za zavisne slučajne varijable - proizvodi vjerovatnoće jednog člana sa uslovnom vjerovatnoćom drugog).
4) Matematičko očekivanje zbira dvije slučajne varijable (zavisne ili nezavisne) jednako je zbiru matematičkih očekivanja pojmova:
M (X+Y) = M (X) + M (Y). (7.5)
Dokaz.
Razmotrimo ponovo slučajne varijable definirane nizom distribucije datim u dokazu svojstva 3. Tada su moguće vrijednosti X+Y su X 1 + at 1 , X 1 + at 2 , X 2 + at 1 , X 2 + at 2. Označimo njihove vjerovatnoće kao R 11 , R 12 , R 21 i R 22. Naći ćemo M(X+Y) = (x 1 + y 1)str 11 + (x 1 + y 2)str 12 + (x 2 + y 1)str 21 + (x 2 + y 2)str 22 =
= x 1 (str 11 + str 12) + x 2 (str 21 + str 22) + y 1 (str 11 + str 21) + y 2 (str 12 + str 22).
Dokažimo to R 11 + R 22 = R 1 . Zaista, događaj koji X+Y poprimiće vrednosti X 1 + at 1 ili X 1 + at 2 i čija je vjerovatnoća R 11 + R 22 poklapa se sa događajem koji X = X 1 (njegova vjerovatnoća je R 1). Na sličan način se dokazuje da str 21 + str 22 = R 2 , str 11 + str 21 = g 1 , str 12 + str 22 = g 2. znači,
M(X+Y) = x 1 str 1 + x 2 str 2 + y 1 g 1 + y 2 g 2 = M (X) + M (Y).
Komentar. Iz svojstva 4 slijedi da je zbir bilo kojeg broja slučajnih varijabli jednak zbiru matematičkih očekivanja termina.
Primjer. Nađite matematičko očekivanje zbira broja bodova dobijenih bacanjem pet kockica.
Nađimo matematičko očekivanje broja bačenih poena pri bacanju jedne kocke:
M(X 1) = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) Isti broj jednak je matematičkom očekivanju broja bodova bačenih na bilo kojoj kocki. Dakle, po svojstvu 4 M(X)=
Disperzija.
Da bismo imali ideju o ponašanju slučajne varijable, nije dovoljno znati samo njeno matematičko očekivanje. Uzmite u obzir dvije slučajne varijable: X I Y, specificirano distribucijskim nizom obrasca
| X | |||
| R | 0,1 | 0,8 | 0,1 |
| Y | ||
| str | 0,5 | 0,5 |
Naći ćemo M(X) = 49?0,1 + 50?0,8 + 51?0,1 = 50, M(Y) = 0?0.5 + 100?0.5 = 50. Kao što vidite, matematička očekivanja obe veličine su jednaka, ali ako je za HM(X) dobro opisuje ponašanje slučajne varijable, budući da je njena najvjerovatnija moguća vrijednost (a preostale vrijednosti se ne razlikuju mnogo od 50), tada vrijednosti Y značajno uklonjen iz M(Y). Stoga je, uz matematičko očekivanje, poželjno znati koliko vrijednosti slučajne varijable odstupaju od njega. Za karakterizaciju ovog indikatora koristi se disperzija.
Definicija 7.5.disperzija (raspršenje) slučajne varijable je matematičko očekivanje kvadrata njenog odstupanja od njenog matematičkog očekivanja:
D(X) = M (X-M(X))². (7.6)
Nađimo varijansu slučajne varijable X(broj standardnih dijelova među odabranim) u primjeru 1 ovog predavanja. Izračunajmo kvadrat odstupanja svake moguće vrijednosti od matematičkog očekivanja:
(1 - 2,4) 2 = 1,96; (2 - 2,4) 2 = 0,16; (3 - 2,4) 2 = 0,36. dakle,
Napomena 1. Pri određivanju disperzije ne procjenjuje se samo odstupanje od srednje vrijednosti, već njegov kvadrat. To se radi kako se odstupanja različitih predznaka međusobno ne poništavaju.
Napomena 2. Iz definicije disperzije proizilazi da ova veličina poprima samo nenegativne vrijednosti.
Napomena 3. Postoji formula za izračunavanje varijanse koja je pogodnija za proračune, čija je valjanost dokazana u sljedećoj teoremi:
Teorema 7.1.D(X) = M(X²) - M²( X). (7.7)
Dokaz.
Koristeći šta M(X) je konstantna vrijednost, a svojstva matematičkog očekivanja transformiramo formulu (7.6) u oblik:
D(X) = M(X-M(X))² = M(X² - 2 X?M(X) + M²( X)) = M(X²) - 2 M(X)?M(X) + M²( X) =
= M(X²) - 2 M²( X) + M²( X) = M(X²) - M²( X), što je trebalo dokazati.
Primjer. Izračunajmo varijanse slučajnih varijabli X I Y diskutovano na početku ovog odeljka. M(X) = (49 2 ?0,1 + 50 2 ?0,8 + 51 2 ?0,1) - 50 2 = 2500,2 - 2500 = 0,2.
M(Y) = (0 2 ?0,5 + 100²?0,5) - 50² = 5000 - 2500 = 2500. Dakle, varijansa druge slučajne varijable je nekoliko hiljada puta veća od varijanse prve. Dakle, čak i bez poznavanja zakona raspodjele ovih veličina, na osnovu poznatih vrijednosti disperzije možemo reći da X malo odstupa od svog matematičkog očekivanja, dok za Y ovo odstupanje je prilično značajno.
Osobine disperzije.
1) Varijanca konstantne vrijednosti WITH jednako nuli:
D (C) = 0. (7.8)
Dokaz. D(C) = M((CM(C))²) = M((C-C)²) = M(0) = 0.
2) Konstantni faktor se može izvući iz znaka disperzije kvadriranjem:
D(CX) = C² D(X). (7.9)
Dokaz. D(CX) = M((CX-M(CX))²) = M((CX-CM(X))²) = M(C²( X-M(X))²) =
= C² D(X).
3) Varijanca zbira dvije nezavisne slučajne varijable jednaka je zbiru njihovih varijansi:
D(X+Y) = D(X) + D(Y). (7.10)
Dokaz. D(X+Y) = M(X² + 2 XY + Y²) - ( M(X) + M(Y))² = M(X²) + 2 M(X)M(Y) +
+ M(Y²) - M²( X) - 2M(X)M(Y) - M²( Y) = (M(X²) - M²( X)) + (M(Y²) - M²( Y)) = D(X) + D(Y).
Zaključak 1. Varijanca sume nekoliko međusobno nezavisnih slučajnih varijabli jednaka je zbiru njihovih varijansi.
Zaključak 2. Varijanca zbira konstante i slučajne varijable jednaka je varijansi slučajne varijable.
4) Varijanca razlike između dvije nezavisne slučajne varijable jednaka je zbiru njihovih varijansi:
D(X-Y) = D(X) + D(Y). (7.11)
Dokaz. D(X-Y) = D(X) + D(-Y) = D(X) + (-1)² D(Y) = D(X) + D(X).
Varijanca daje prosječnu vrijednost kvadratnog odstupanja slučajne varijable od srednje vrijednosti; Za procjenu samog odstupanja koristi se vrijednost koja se zove standardna devijacija.
Definicija 7.6.Standardna devijacijaσ slučajna varijabla X pozvao Kvadratni korijen iz disperzije:
Primjer. U prethodnom primjeru, standardne devijacije X I Y su jednake respektivno
Kao što je već poznato, zakon raspodjele u potpunosti karakterizira slučajnu varijablu. Međutim, često je zakon distribucije nepoznat i čovjek se mora ograničiti na manje informacija. Ponekad je čak isplativije koristiti brojeve koji ukupno opisuju slučajnu varijablu; takvi brojevi se nazivaju numeričke karakteristike slučajne varijable.
Jedna od važnih numeričkih karakteristika je matematičko očekivanje.
Matematičko očekivanje je približno jednako prosječnoj vrijednosti slučajne varijable.
Matematičko očekivanje diskretne slučajne varijable je zbir proizvoda svih njegovih mogućih vrijednosti i njihovih vjerovatnoća.
Ako je slučajna varijabla karakterizirana konačnim nizom distribucije:
| X | x 1 | x 2 | x 3 | … | x n |
| R | p 1 | p 2 | p 3 | … | r p |
zatim matematičko očekivanje M(X) određena formulom:
Matematičko očekivanje kontinuirane slučajne varijable određeno je jednakošću:
gdje je gustina vjerovatnoće slučajne varijable X.
Primjer 4.7. Pronađite matematičko očekivanje broja poena koji se pojavljuju pri bacanju kocke.
Rješenje:
Slučajna vrijednost X uzima vrijednosti 1, 2, 3, 4, 5, 6. Kreirajmo zakon njegove distribucije:
| X | ||||||
| R |
Tada je matematičko očekivanje:
Svojstva matematičkog očekivanja:
1. Matematičko očekivanje konstantne vrijednosti jednako je samoj konstanti:
M (S) = S.
2. Konstantni faktor se može izvaditi iz predznaka matematičkog očekivanja:
M (CX) = CM (X).
3. Matematičko očekivanje proizvoda dvije nezavisne slučajne varijable jednako je proizvodu njihovih matematičkih očekivanja:
M(XY) = M(X)M(Y).
Primjer 4.8. Nezavisne slučajne varijable X I Y dati su sljedećim zakonima o distribuciji:
| X | Y | ||||||
| R | 0,6 | 0,1 | 0,3 | R | 0,8 | 0,2 |
Pronađite matematičko očekivanje slučajne varijable XY.
Rješenje.
Nađimo matematička očekivanja svake od ovih veličina:
Slučajne varijable X I Y nezavisno, stoga je traženo matematičko očekivanje:
M(XY) = M(X)M(Y)=
Posljedica. Matematičko očekivanje proizvoda nekoliko međusobno nezavisnih slučajnih varijabli jednako je proizvodu njihovih matematičkih očekivanja.
4. Matematičko očekivanje zbira dvije slučajne varijable jednako je zbiru matematičkih očekivanja pojmova:
M (X + Y) = M (X) + M (Y).
Posljedica. Matematičko očekivanje sume nekoliko slučajnih varijabli jednako je zbiru matematičkih očekivanja termina.
Primjer 4.9. Ispaljuju se 3 hica sa vjerovatnoćom pogađanja mete jednakim p 1 = 0,4; p2= 0,3 i p 3= 0,6. Pronađite matematičko očekivanje ukupnog broja pogodaka.
Rješenje.
Broj pogodaka na prvom mecu je nasumična varijabla X 1, koji može uzeti samo dvije vrijednosti: 1 (pogodan) sa vjerovatnoćom p 1= 0,4 i 0 (promašaj) sa vjerovatnoćom q 1 = 1 – 0,4 = 0,6.
Matematičko očekivanje broja pogodaka pri prvom metku jednako je vjerovatnoći pogotka:
Slično, nalazimo matematička očekivanja broja pogodaka za drugi i treći hitac:
M(X 2)= 0,3 i M(X 3)= 0,6.
Ukupan broj pogodaka je također slučajna varijabla koja se sastoji od zbira pogodaka u svakom od tri hica:
X = X 1 + X 2 + X 3.
Potrebna matematička očekivanja X Nalazimo ga koristeći teoremu o matematičkom očekivanju sume.
Očekivana vrijednost- prosječna vrijednost slučajne varijable (raspodjela vjerovatnoće stacionarne slučajne varijable) kada broj uzoraka ili broj mjerenja (ponekad se naziva i broj testova) teži beskonačnosti.
Aritmetička sredina jednodimenzionalne slučajne varijable konačan broj obično se zovu testovi procjena matematičkog očekivanja. Kako broj pokušaja stacionarnog slučajnog procesa teži beskonačnosti, procjena matematičkog očekivanja teži matematičkom očekivanju.
Matematičko očekivanje je jedan od osnovnih pojmova u teoriji vjerovatnoće).
Enciklopedijski YouTube
1 / 5
✪ Očekivanja i odstupanja - bezbotvy
✪ Teorija vjerovatnoće 15: Očekivanje
✪ Matematičko očekivanje
✪ Očekivanja i odstupanja. Teorija
✪ Matematička očekivanja u trgovanju
Titlovi
Definicija
Neka je dat prostor vjerovatnoće (Ω , A , P) (\displaystyle (\Omega ,(\mathfrak (A)),\mathbb (P))) i na njemu definirana slučajna varijabla X (\displaystyle X). To je, po definiciji, X: Ω → R (\displaystyle X\colon \Omega \to \mathbb (R) )- mjerljiva funkcija. Ako postoji Lebesgueov integral od X (\displaystyle X) po prostoru Ω (\displaystyle \Omega), tada se naziva matematičko očekivanje ili prosječna (očekivana) vrijednost i označava se M [ X ] (\displaystyle M[X]) ili E [ X ] (\displaystyle \mathbb (E) [X]).
M [ X ] = ∫ Ω X (ω) P (d ω) . (\displaystyle M[X]=\int \ograničenja _(\Omega )\!X(\omega)\,\mathbb (P) (d\omega).)Osnovne formule za matematičko očekivanje
M [ X ] = ∫ − ∞ ∞ x d F X (x) ; x ∈ R (\displaystyle M[X]=\int \limits _(-\infty )^(\infty )\!x\,dF_(X)(x);x\in \mathbb (R) ).
Matematičko očekivanje diskretne distribucije
P (X = x i) = p i , ∑ i = 1 ∞ p i = 1 (\displaystyle \mathbb (P) (X=x_(i))=p_(i),\;\sum \limits _(i=1 )^(\infty )p_(i)=1),onda iz definicije Lebesgueovog integrala direktno slijedi da
M [ X ] = ∑ i = 1 ∞ x i p i (\displaystyle M[X]=\sum \limits _(i=1)^(\infty )x_(i)\,p_(i)).Očekivanje cjelobrojne vrijednosti
P (X = j) = p j , j = 0 , 1 , . . . ; ∑ j = 0 ∞ p j = 1 (\displaystyle \mathbb (P) (X=j)=p_(j),\;j=0,1,...;\quad \sum \limits _(j=0 )^(\infty )p_(j)=1)onda se njegovo matematičko očekivanje može izraziti kroz generirajuću funkciju niza ( p i ) (\displaystyle \(p_(i)\))
P (s) = ∑ k = 0 ∞ p k s k (\displaystyle P(s)=\sum _(k=0)^(\infty )\;p_(k)s^(k))kao vrijednost prve derivacije u jedinici: M [ X ] = P ′ (1) (\displaystyle M[X]=P"(1)). Ako je matematičko očekivanje X (\displaystyle X) beskonačno, dakle lim s → 1 P ′ (s) = ∞ (\displaystyle \lim _(s\to 1)P"(s)=\infty ) a mi ćemo pisati P ′ (1) = M [ X ] = ∞ (\displaystyle P"(1)=M[X]=\infty)
Sada uzmimo funkciju generiranja Q (s) (\displaystyle Q(s)) sekvence distributivnih repova ( q k ) (\displaystyle \(q_(k)\))
q k = P (X > k) = ∑ j = k + 1 ∞ p j ; Q (s) = ∑ k = 0 ∞ q k s k . (\displaystyle q_(k)=\mathbb (P) (X>k)=\sum _(j=k+1)^(\infty )(p_(j));\quad Q(s)=\sum _(k=0)^(\infty )\;q_(k)s^(k).)Ova funkcija generiranja povezana je s prethodno definiranom funkcijom P (s) (\displaystyle P(s)) imovina: Q (s) = 1 − P (s) 1 − s (\displaystyle Q(s)=(\frac (1-P(s))(1-s))) at | s |< 1 {\displaystyle |s|<1} . Iz ovoga, prema teoremu srednje vrijednosti, slijedi da je matematičko očekivanje jednostavno jednako vrijednosti ove funkcije u jedinici:
M [ X ] = P ′ (1) = Q (1) (\displaystyle M[X]=P"(1)=Q(1))Matematičko očekivanje apsolutno kontinuirane distribucije
M [ X ] = ∫ − ∞ ∞ x f X (x) d x (\displaystyle M[X]=\int \limits _(-\infty )^(\infty)\!xf_(X)(x)\,dx ).Matematičko očekivanje slučajnog vektora
Neka X = (X 1 , … , X n) ⊤ : Ω → R n (\displaystyle X=(X_(1),\dots ,X_(n))^(\top )\colon \Omega \to \mathbb ( R)^(n))- slučajni vektor. Onda po definiciji
M [ X ] = (M [ X 1 ] , … , M [ X n ]) ⊤ (\displaystyle M[X]=(M,\dots,M)^(\top )),to jest, matematičko očekivanje vektora je određeno komponentu po komponentu.
Očekivanje transformacije slučajne varijable
Neka g: R → R (\displaystyle g\colon \mathbb (R) \to \mathbb (R) ) je Borelova funkcija takva da je slučajna varijabla Y = g (X) (\displaystyle Y=g(X)) ima konačno matematičko očekivanje. Tada formula vrijedi za to
M [ g (X) ] = ∑ i = 1 ∞ g (x i) p i , (\displaystyle M\left=\sum \limits _(i=1)^(\infty )g(x_(i))p_( i))Ako X (\displaystyle X) ima diskretnu distribuciju;
M [ g (X) ] = ∫ − ∞ ∞ g (x) f X (x) d x , (\displaystyle M\left=\int \limits _(-\infty )^(\infty)\!g(x )f_(X)(x)\,dx,)Ako X (\displaystyle X) ima apsolutno kontinuiranu distribuciju.
Ako distribucija P X (\displaystyle \mathbb (P) ^(X)) slučajna varijabla X (\displaystyle X) onda opšti pogled
M [ g (X) ] = ∫ − ∞ ∞ g (x) P X (d x) . (\displaystyle M\left=\int \limits _(-\infty )^(\infty )\!g(x)\,\mathbb (P) ^(X)(dx).)U posebnom slučaju kada g (X) = X k (\displaystyle g(X)=X^(k)), očekivana vrijednost M [ g (X) ] = M [ X k ] (\displaystyle M=M) pozvao k (\displaystyle k)-m moment slučajne varijable.
Najjednostavnija svojstva matematičkog očekivanja
- Matematičko očekivanje broja je sam broj.
- Matematičko očekivanje je linearno, tj
U prethodnom smo predstavili niz formula koje nam omogućavaju da pronađemo numeričke karakteristike funkcija kada su poznati zakoni distribucije argumenata. Međutim, u mnogim slučajevima, da bi se pronašle numeričke karakteristike funkcija, nije potrebno čak ni poznavati zakone raspodjele argumenata, već je dovoljno poznavati samo neke od njihovih numeričkih karakteristika; u isto vrijeme generalno radimo bez ikakvih zakona distribucije. Određivanje numeričkih karakteristika funkcija iz datih numeričkih karakteristika argumenata ima široku primenu u teoriji verovatnoće i može značajno da pojednostavi rešavanje niza problema. Većina ovih pojednostavljenih metoda odnosi se na linearne funkcije; međutim, neke elementarne nelinearne funkcije također dozvoljavaju sličan pristup.
U ovom tekstu ćemo predstaviti niz teorema o numeričkim karakteristikama funkcija, koje zajedno predstavljaju vrlo jednostavan aparat za izračunavanje ovih karakteristika, primenljiv u širokom spektru uslova.
1. Matematičko očekivanje neslučajne vrijednosti
Formulisano svojstvo je sasvim očigledno; može se dokazati razmatranjem neslučajne varijable kao posebne vrste slučajne, sa jednom mogućom vrijednošću sa vjerovatnoćom jedan; onda prema općoj formuli za matematičko očekivanje:
.
2. Varijanca neslučajne veličine
Ako je neslučajna vrijednost, onda
3. Zamjena neslučajne vrijednosti za znak matematičkog očekivanja
, (10.2.1)
to jest, neslučajna vrijednost se može uzeti kao znak matematičkog očekivanja.
Dokaz.
a) Za diskontinuirane količine
b) Za kontinuirane količine
.
4. Zamjena neslučajne vrijednosti za znak disperzije i standardne devijacije
Ako je neslučajna veličina, i slučajna je, onda
, (10.2.2)
to jest, neslučajna vrijednost se može izvući iz predznaka disperzije kvadraturom.
Dokaz. Po definiciji varijanse
Posljedica
,
to jest, neslučajna vrijednost se može izvući iz predznaka standardne devijacije svojom apsolutnom vrijednošću. Dokaz dobijamo uzimajući kvadratni korijen iz formule (10.2.2) i uzimajući u obzir da je r.s.o. - značajno pozitivnu vrijednost.
5. Matematičko očekivanje sume slučajnih varijabli
Dokažimo da za bilo koje dvije slučajne varijable i
to jest, matematičko očekivanje zbira dvije slučajne varijable jednako je zbiru njihovih matematičkih očekivanja.
Ovo svojstvo je poznato kao teorema sabiranja matematičkih očekivanja.
Dokaz.
a) Neka je sistem diskontinuiranih slučajnih varijabli. Primijenimo opću formulu (10.1.6) na zbir slučajnih varijabli za matematičko očekivanje funkcije dva argumenta:
.
Ho ne predstavlja ništa više od ukupne vjerovatnoće da će količina poprimiti vrijednost:
;
dakle,
.
Slično ćemo to dokazati
,
i teorema je dokazana.
b) Neka je sistem kontinuiranih slučajnih varijabli. Prema formuli (10.1.7)
. (10.2.4)
Transformirajmo prvi od integrala (10.2.4):
;
slično
,
i teorema je dokazana.
Posebno treba napomenuti da teorema za sabiranje matematičkih očekivanja vrijedi za sve slučajne varijable - i zavisne i nezavisne.
Teorema za sabiranje matematičkih očekivanja generalizirana je na proizvoljan broj pojmova:
, (10.2.5)
odnosno matematičko očekivanje sume nekoliko slučajnih varijabli jednako je zbiru njihovih matematičkih očekivanja.
Da bismo to dokazali, dovoljno je koristiti metodu potpune indukcije.
6. Matematičko očekivanje linearne funkcije
Razmotrimo linearnu funkciju nekoliko slučajnih argumenata:
gdje su neslučajni koeficijenti. Dokažimo to
, (10.2.6)
tj. matematičko očekivanje linearne funkcije jednako je istoj linearnoj funkciji matematičkih očekivanja argumenata.
Dokaz. Koristeći teoremu sabiranja m.o. i pravilo postavljanja neslučajne veličine izvan predznaka m.o., dobijamo:
.
7. Dispepovaj zbir slučajnih varijabli
Varijanca zbira dvije slučajne varijable jednaka je zbroju njihovih varijansi plus dvostruki korelacijski moment:
Dokaz. Označimo
Prema teoremi sabiranja matematičkih očekivanja
Pređimo sa slučajnih varijabli na odgovarajuće centrirane varijable. Oduzimajući jednakost (10.2.9) član po član od jednakosti (10.2.8), imamo:
Po definiciji varijanse
Q.E.D.
Formula (10.2.7) za varijansu sume može se generalizirati na bilo koji broj pojmova:
,
(10.2.10)
gdje je korelacijski moment količina, znak ispod zbroja znači da se zbrajanje proteže na sve moguće kombinacije slučajnih varijabli u paru 
.
Dokaz je sličan prethodnom i slijedi iz formule za kvadrat polinoma.
Formula (10.2.10) se može napisati u drugom obliku:
, (10.2.11)
gdje se dvostruki zbir proteže na sve elemente korelacijske matrice sistema veličina , koji sadrži i korelacijske momente i varijanse.
Ako su sve slučajne varijable , uključeni u sistem, nisu u korelaciji (tj., kada ), formula (10.2.10) ima oblik:
, (10.2.12)
to jest, varijansa zbira nekoreliranih slučajnih varijabli jednaka je zbiru varijansi termina.
Ova pozicija je poznata kao teorema sabiranja varijansi.
8. Varijanca linearne funkcije
Razmotrimo linearnu funkciju nekoliko slučajnih varijabli.
gdje su neslučajne veličine.
Dokažimo da je disperzija ove linearne funkcije izražena formulom
, (10.2.13)
gdje je korelacijski moment veličina , .
Dokaz. Hajde da uvedemo notaciju:
. (10.2.14)
Primjenjujući formulu (10.2.10) za disperziju sume na desnu stranu izraza (10.2.14) i uzimajući u obzir to, dobijamo:
gdje je korelacijski moment veličina:
.
Izračunajmo ovaj trenutak. Imamo:
;
slično
Zamjenom ovog izraza u (10.2.15) dolazimo do formule (10.2.13).
U posebnom slučaju kada su sve količine nisu u korelaciji, formula (10.2.13) ima oblik:
, (10.2.16)
to jest, varijansa linearne funkcije nekoreliranih slučajnih varijabli jednaka je zbroju proizvoda kvadrata koeficijenata i varijansi odgovarajućih argumenata.
9. Matematičko očekivanje proizvoda slučajnih varijabli
Matematičko očekivanje proizvoda dvije slučajne varijable jednako je proizvodu njihovih matematičkih očekivanja plus korelacijski moment:
Dokaz. Poći ćemo od definicije korelacionog momenta:
Transformirajmo ovaj izraz koristeći svojstva matematičkog očekivanja:
što je očigledno ekvivalentno formuli (10.2.17).
Ako slučajne varijable nisu u korelaciji, onda formula (10.2.17) poprima oblik:
to jest, matematičko očekivanje proizvoda dvije nekorelirane slučajne varijable jednako je proizvodu njihovih matematičkih očekivanja.
Ova pozicija je poznata kao teorema množenja matematičkih očekivanja.
Formula (10.2.17) nije ništa drugo do izraz drugog mešovitog centralnog momenta sistema kroz drugi mešoviti početni trenutak i matematička očekivanja:
. (10.2.19)
Ovaj izraz se često koristi u praksi kada se izračunava korelacioni moment na isti način na koji se za jednu slučajnu varijablu varijansa često izračunava kroz drugi početni trenutak i matematičko očekivanje.
Teorema množenja matematičkih očekivanja generalizirana je na proizvoljan broj faktora, samo u ovom slučaju za njenu primjenu nije dovoljno da su veličine nekorelirane, već je potrebno da se pojave neki viši mješoviti momenti čiji broj zavisi na broj pojmova u proizvodu, nestaju. Ovi uslovi su svakako zadovoljeni ako su slučajne varijable uključene u proizvod nezavisne. U ovom slučaju
, (10.2.20)
to jest, matematičko očekivanje proizvoda nezavisnih slučajnih varijabli jednako je proizvodu njihovih matematičkih očekivanja.
Ovaj prijedlog se može lako dokazati potpunom indukcijom.
10. Varijanca proizvoda nezavisnih slučajnih varijabli
Dokažimo to za nezavisne veličine
Dokaz. Označimo . Po definiciji varijanse
Pošto su količine nezavisne, i
Kada su nezavisne, količine su takođe nezavisne; dakle,
,
Ali ne postoji ništa više od drugog početnog momenta veličine, i stoga se izražava kroz disperziju:
;
slično
.
Zamjenom ovih izraza u formulu (10.2.22) i dovođenjem sličnih pojmova dolazimo do formule (10.2.21).
U slučaju kada se centrirane slučajne varijable (varijable sa matematičkim očekivanjima jednakim nuli) pomnože, formula (10.2.21) ima oblik:
, (10.2.23)
odnosno varijansa proizvoda nezavisnih centriranih slučajnih varijabli jednaka je proizvodu njihovih varijansi.
11. Viši momenti zbira slučajnih varijabli
U nekim slučajevima potrebno je izračunati najveće momente zbira nezavisnih slučajnih varijabli. Dokažimo neke relacije povezane ovdje.
1) Ako su veličine nezavisne, onda
Dokaz.
odakle, prema teoremi množenja matematičkih očekivanja
Ali prvi centralni moment za bilo koju količinu je nula; dva srednja člana nestaju i formula (10.2.24) je dokazana.
Relacija (10.2.24) se lako generalizuje indukcijom na proizvoljan broj nezavisnih članova:
. (10.2.25)
2) Četvrti centralni moment zbira dvije nezavisne slučajne varijable izražava se formulom
gdje su varijanse veličina i .
Dokaz je potpuno sličan prethodnom.
Koristeći metodu potpune indukcije, lako je dokazati generalizaciju formule (10.2.26) na proizvoljan broj nezavisnih članova.
– broj dječaka među 10 novorođenčadi.
Apsolutno je jasno da ovaj broj nije poznat unaprijed, a sljedećih deset rođenih djece može uključivati:
Ili momci - jedan i jedini od navedenih opcija.
I, kako biste ostali u formi, malo fizičkog vaspitanja:
– daljina skoka u dalj (u nekim jedinicama).
Ni majstor sporta to ne može predvidjeti :)
Međutim, vaše hipoteze?
2) Kontinuirana slučajna varijabla – prihvata Sve numeričke vrijednosti iz nekog konačnog ili beskonačnog intervala.
Bilješka : u obrazovnoj literaturi popularne su skraćenice DSV i NSV
Prvo, analizirajmo diskretnu slučajnu varijablu, a zatim - kontinuirano.
Zakon distribucije diskretne slučajne varijable
- Ovo dopisivanje između mogućih vrijednosti ove veličine i njihovih vjerovatnoća. Zakon je najčešće zapisan u tabeli: 
Termin se često pojavljuje red
distribucija, ali u nekim situacijama zvuči dvosmisleno, pa ću se držati "zakona".
I sada veoma važna tačka: od slučajne varijable Nužnoće prihvatiti jedna od vrednosti, zatim se formiraju odgovarajući događaji puna grupa a zbir vjerovatnoća njihovog pojavljivanja jednak je jedan:
ili, ako je napisano sažeto:
Tako, na primjer, zakon raspodjele vjerovatnoće bodova bačenih na kockicu ima sljedeći oblik: 
Bez komentara.
Možda ste pod utiskom da diskretna slučajna varijabla može poprimiti samo “dobre” vrijednosti cijelih brojeva. Razbijmo iluziju - mogu biti bilo šta:
Primjer 1
Neka igra ima sljedeći pobjednički zakon distribucije: 
...o takvim zadacima vjerovatno ste dugo sanjali :) Odaću vam tajnu - i ja. Pogotovo nakon završetka radova teorija polja.
Rješenje: budući da slučajna varijabla može uzeti samo jednu od tri vrijednosti, formiraju se odgovarajući događaji puna grupa, što znači da je zbir njihovih vjerovatnoća jednak jedan: 
Razotkrivanje "partizana": 
– dakle, vjerovatnoća osvajanja konvencionalnih jedinica je 0,4.
Kontrola: to je ono u šta smo trebali da se uverimo.
Odgovori:
Nije neuobičajeno kada trebate sami sastaviti zakon o raspodjeli. Za to koriste klasična definicija vjerovatnoće, teoreme množenja/sabiranja za vjerovatnoće događaja i drugi čips tervera:
Primjer 2
Kutija sadrži 50 lutrijskih listića, među kojima je 12 dobitnih, a 2 od njih osvajaju po 1000 rubalja, a ostale - po 100 rubalja. Sastavite zakon za raspodjelu slučajne varijable - veličine dobitka, ako se iz kutije nasumično izvuče jedan listić.
Rješenje: kao što ste primijetili, vrijednosti slučajne varijable se obično stavljaju u u rastućem redosledu. Stoga počinjemo s najmanjim dobicima, odnosno rubalja.
Ukupno ima 50 takvih karata - 12 = 38, a prema klasična definicija:
– vjerovatnoća da će nasumično izvučena karta biti gubitnik.
U ostalim slučajevima sve je jednostavno. Vjerovatnoća osvajanja rublja je:
Provjerite: – a ovo je posebno prijatan trenutak takvih zadataka!
Odgovori: željeni zakon raspodjele dobitaka: 
Sljedeći zadatak morate riješiti sami:
Primjer 3
Vjerovatnoća da će strijelac pogoditi metu je . Nacrtajte zakon raspodjele za slučajnu varijablu - broj pogodaka nakon 2 hica.
...znala sam da ti nedostaje :) Da se prisjetimo teoreme množenja i sabiranja. Rješenje i odgovor nalaze se na kraju lekcije.
Zakon distribucije u potpunosti opisuje slučajnu varijablu, ali u praksi može biti korisno (a ponekad i korisnije) znati samo dio nje numeričke karakteristike .
Očekivanje diskretne slučajne varijable
Jednostavno rečeno, ovo je prosječna očekivana vrijednost kada se testiranje ponavlja mnogo puta. Neka slučajna varijabla uzima vrijednosti sa vjerovatnoćama 
respektivno. Tada je matematičko očekivanje ove slučajne varijable jednako zbroj proizvoda sve njegove vrijednosti na odgovarajuće vjerovatnoće:
ili srušeno: 
Izračunajmo, na primjer, matematičko očekivanje slučajne varijable - broj bodova bačenih na kockicu:
Sada se prisjetimo naše hipotetičke igre: 
Postavlja se pitanje da li je uopšte isplativo igrati ovu igru? ...ko ima utisaka? Dakle, ne možete to da kažete „na ruku“! Ali na ovo pitanje se može lako odgovoriti izračunavanjem matematičkog očekivanja, u suštini - prosjećna težina po vjerovatnoći pobjede:
Dakle, matematičko očekivanje ove igre gubljenje.
Ne vjerujte svojim utiscima - vjerujte brojevima!
Da, ovdje možete pobijediti 10 ili čak 20-30 puta uzastopno, ali na duge staze čeka nas neminovna propast. I ne bih ti savjetovao da igraš takve igrice :) Pa, možda samo za zabavu.
Iz svega navedenog proizilazi da matematičko očekivanje više nije RANDOM vrijednost.
Kreativni zadatak za samostalno istraživanje:
Primjer 4
G. X igra evropski rulet koristeći sledeći sistem: on stalno kladi 100 rubalja na „crveno“. Nacrtajte zakon raspodjele slučajne varijable - njenog dobitka. Izračunajte matematičko očekivanje dobitaka i zaokružite ga na najbližu kopejku. Koliko prosjek Da li igrač gubi za svakih sto u koje je uložio?
Referenca : Evropski rulet sadrži 18 crvenih, 18 crnih i 1 zeleni sektor (“nula”). Ako se pojavi „crveno“, igraču se plaća dupla opklada, u suprotnom ide u prihod kasina
Postoje mnogi drugi sistemi ruleta za koje možete kreirati sopstvene tabele verovatnoće. Ali to je slučaj kada nam nisu potrebni nikakvi zakoni distribucije ili tabele, jer je sigurno utvrđeno da će matematička očekivanja igrača biti potpuno ista. Jedina stvar koja se mijenja od sistema do sistema je
