Tablica vrijednosti trigonometrijskih jednadžbi. Osnovne formule trigonometrije. Zamjena varijable i metoda zamjene

Prilikom rješavanja mnogih matematički problemi , posebno onih koji se javljaju prije 10. razreda, jasno je definiran redoslijed izvođenja radnji koje će dovesti do cilja. Takvi problemi uključuju, na primjer, linearne i kvadratne jednadžbe, linearne i kvadratne nejednakosti, frakcijske jednadžbe i jednačine koje se svode na kvadratne. Princip uspješnog rješavanja svakog od navedenih problema je sljedeći: potrebno je ustanoviti koja se vrsta problema rješava, zapamtiti potreban slijed radnji koje će dovesti do željeni rezultat, tj. odgovorite i slijedite ove korake.

Očigledno je da uspjeh ili neuspjeh u rješavanju određenog problema uglavnom zavisi od toga koliko je tačno određena vrsta jednačine koja se rješava, koliko je ispravno reproduciran slijed svih faza njenog rješenja. Naravno, potrebno je imati vještine za izvođenje transformacije identiteta i računarstvo.

Situacija je drugačija sa trigonometrijske jednačine. Nije nimalo teško utvrditi činjenicu da je jednačina trigonometrijska. Poteškoće nastaju prilikom određivanja redosleda radnji koje bi dovele do tačnog odgovora.

By izgled jednačina, ponekad je teško odrediti njen tip. A bez poznavanja tipa jednadžbe, gotovo je nemoguće izabrati pravu od nekoliko desetina trigonometrijskih formula.

Da biste riješili trigonometrijsku jednačinu, trebate pokušati:

1. dovesti sve funkcije uključene u jednačinu u „iste uglove“;
2. dovesti jednačinu na “identične funkcije”;
3. faktor lijevu stranu jednačine, itd.

Hajde da razmotrimo osnovne metode za rješavanje trigonometrijskih jednačina.

I. Redukcija na najjednostavnije trigonometrijske jednadžbe

Dijagram rješenja

Korak 1. Izrazite trigonometrijsku funkciju u terminima poznatih komponenti.

Korak 2. Pronađite argument funkcije koristeći formule:

cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ÊZ.

sin x = a; x = (-1) n arcsin a + πn, n Ê Z.

tan x = a; x = arctan a + πn, n Ê Z.

ctg x = a; x = arcctg a + πn, n Ê Z.

Korak 3. Pronađite nepoznatu varijablu.

Primjer.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

Rješenje.

1) cos(3x – π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Ê Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Ê Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, nÊ Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Ê Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Ê Z.

Odgovor: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Ê Z.

II. Varijabilna zamjena

Dijagram rješenja

Korak 1. Svesti jednadžbu na algebarski oblik u odnosu na jednu od trigonometrijskih funkcija.

Korak 2. Rezultirajuću funkciju označiti promjenljivom t (ako je potrebno, uvesti ograničenja na t).

Korak 3. Zapišite i riješite rezultat algebarska jednačina.

Korak 4. Napravite obrnutu zamjenu.

Korak 5. Riješite najjednostavniju trigonometrijsku jednačinu.

Primjer.

2cos 2 (x/2) – 5sin (x/2) – 5 = 0.

Rješenje.

1) 2(1 – sin 2 (x/2)) – 5 sin (x/2) – 5 = 0;

2 sin 2 (x/2) + 5 sin (x/2) + 3 = 0.

2) Neka je sin (x/2) = t, gdje je |t| ≤ 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 ili e = -3/2, ne zadovoljava uslov |t| ≤ 1.

4) sin(x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n Ê Z;

x = π + 4πn, n Ê Z.

Odgovor: x = π + 4πn, n Ê Z.

III. Metoda redukcije reda jednačina

Dijagram rješenja

Korak 1. Zamijenite ovu jednačinu linearnom, koristeći formulu za smanjenje stepena:

sin 2 x = 1/2 · (1 – cos 2x);

cos 2 x = 1/2 · (1 + cos 2x);

tg 2 x = (1 – cos 2x) / (1 + cos 2x).

Korak 2. Riješite rezultirajuću jednačinu koristeći metode I i II.

Primjer.

cos 2x + cos 2 x = 5/4.

Rješenje.

1) cos 2x + 1/2 · (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 · cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Ê Z;

x = ±π/6 + πn, n Ê Z.

Odgovor: x = ±π/6 + πn, n Ê Z.

IV. Homogene jednadžbe

Dijagram rješenja

Korak 1. Svesti ovu jednačinu na oblik

a) a sin x + b cos x = 0 ( homogena jednačina prvi stepen)

ili na pogled

b) a sin 2 x + b sin x · cos x + c cos 2 x = 0 (homogena jednačina drugog stepena).

Korak 2. Podijelite obje strane jednačine sa

a) cos x ≠ 0;

b) cos 2 x ≠ 0;

i dobijemo jednačinu za tan x:

a) a tan x + b = 0;

b) a tan 2 x + b arktan x + c = 0.

Korak 3. Riješite jednadžbu poznatim metodama.

Primjer.

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4 = 0.

Rješenje.

1) 5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3sin x · cos x – 4cos 2 x = 0/cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x – 4 = 0.

3) Neka je onda tg x = t

t 2 + 3t – 4 = 0;

t = 1 ili t = -4, što znači

tg x = 1 ili tg x = -4.

Iz prve jednačine x = π/4 + πn, n Ê Z; iz druge jednačine x = -arctg 4 + πk, k Ê Z.

Odgovor: x = π/4 + πn, n Ê Z; x = -arctg 4 + πk, k Ê Z.

V. Metoda transformacije jednadžbe pomoću trigonometrijskih formula

Dijagram rješenja

Korak 1. Koristeći sve vrste trigonometrijske formule, svesti ovu jednačinu na jednačinu riješenu metodama I, II, III, IV.

Korak 2. Rezultujuću jednačinu rešite poznatim metodama.

Primjer.

sin x + sin 2x + sin 3x = 0.

Rješenje.

1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 ili 2cos x + 1 = 0;

Iz prve jednačine 2x = π/2 + πn, n Ê Z; iz druge jednadžbe cos x = -1/2.

Imamo x = π/4 + πn/2, n Ê Z; iz druge jednačine x = ±(π – π/3) + 2πk, k Ê Z.

Kao rezultat, x = π/4 + πn/2, n Ê Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Ê Z.

Odgovor: x = π/4 + πn/2, n Ê Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Ê Z.

Vještine i sposobnosti rješavanja trigonometrijske jednačine su veoma važno, njihov razvoj zahteva značajan napor, kako od strane učenika, tako i od strane nastavnika.

Mnogi problemi stereometrije, fizike i dr. povezani su sa rješavanjem trigonometrijskih jednačina.. Proces rješavanja takvih zadataka utjelovljuje mnoga znanja i vještine koje se stiču proučavanjem elemenata trigonometrije.

Trigonometrijske jednačine zauzimaju važno mjesto u procesu učenja matematike i ličnog razvoja općenito.

Imate još pitanja? Ne znate kako riješiti trigonometrijske jednačine?
Da biste dobili pomoć od tutora, registrujte se.
Prva lekcija je besplatna!

web stranicu, kada kopirate materijal u cijelosti ili djelomično, link na izvor je obavezan.

Glavne metode za rješavanje trigonometrijskih jednačina su: svođenje jednadžbi na najjednostavnije (koristeći trigonometrijske formule), uvođenje novih varijabli i faktoring. Pogledajmo njihovu upotrebu na primjerima. Obratite pažnju na format pisanja rješenja trigonometrijskih jednačina.

Neophodan uslov za uspešno rešavanje trigonometrijskih jednačina je poznavanje trigonometrijskih formula (tema 13 rada 6).

Primjeri.

1. Jednačine svedene na najjednostavnije.

1) Riješite jednačinu

Rješenje:

odgovor:

2) Pronađite korijene jednačine

(sinx + cosx) 2 = 1 – sinxcosx, koji pripadaju segmentu.

Rješenje:

odgovor:

2. Jednačine koje se svode na kvadratne.

1) Riješite jednačinu 2 sin 2 x – cosx –1 = 0.

Rješenje: Koristeći formulu sin 2 x = 1 – cos 2 x, dobijamo

odgovor:

2) Riješite jednačinu cos 2x = 1 + 4 cosx.

Rješenje: Koristeći formulu cos 2x = 2 cos 2 x – 1, dobijamo

odgovor:

3) Riješite jednačinu tgx – 2ctgx + 1 = 0

Rješenje:

odgovor:

3. Homogene jednadžbe

1) Riješite jednačinu 2sinx – 3cosx = 0

Rješenje: Neka je cosx = 0, tada je 2sinx = 0 i sinx = 0 – kontradikcija sa činjenicom da je sin 2 x + cos 2 x = 1. To znači cosx ≠ 0 i jednačinu možemo podijeliti sa cosx. Dobijamo

odgovor:

2) Riješite jednačinu 1 + 7 cos 2 x = 3 sin 2x

Rješenje:

Koristimo formule 1 = sin 2 x + cos 2 x i sin 2x = 2 sinxcosx, dobijamo

sin 2 x + cos 2 x + 7cos 2 x = 6sinxcosx
sin 2 x – 6sinxcosx+ 8cos 2 x = 0

Neka je cosx = 0, tada je sin 2 x = 0 i sinx = 0 – kontradikcija sa činjenicom da je sin 2 x + cos 2 x = 1.
To znači cosx ≠ 0 i jednačinu možemo podijeliti sa cos 2 x . Dobijamo

tg 2 x – 6 tgx + 8 = 0
Označimo tgx = y
y 2 – 6 y + 8 = 0
y 1 = 4; y2 = 2
a) tgx = 4, x= arktan4 + 2 k, k
b) tgx = 2, x= arctan2 + 2 k, k .

odgovor: arctg4 + 2 k, arktan2 + 2 k, k

4. Jednačine oblika a sinx + b cosx = s, s≠ 0.

1) Riješite jednačinu.

Rješenje:

odgovor:

5. Jednačine riješene faktorizacijom.

1) Rešiti jednačina greha 2x – sinx = 0.

Korijen jednadžbe f (X) = φ ( X) može poslužiti samo kao broj 0. Provjerimo ovo:

cos 0 = 0 + 1 – jednakost je tačna.

Broj 0 je jedini korijen ove jednadžbe.

odgovor: 0.

Koncept rješavanja trigonometrijskih jednačina.

Da biste riješili trigonometrijsku jednadžbu, pretvorite je u jednu ili više osnovnih trigonometrijskih jednačina. Rješavanje trigonometrijske jednadžbe na kraju se svodi na rješavanje četiri osnovne trigonometrijske jednačine.

Rješavanje osnovnih trigonometrijskih jednadžbi.

Postoje 4 vrste osnovnih trigonometrijskih jednadžbi:
sin x = a; cos x = a
tan x = a; ctg x = a
Rješavanje osnovnih trigonometrijskih jednadžbi uključuje razmatranje različitih "x" pozicija na jedinični krug, i korištenjem tablice konverzije (ili kalkulatora).
Primjer 1. sin x = 0,866. Pomoću tabele konverzije (ili kalkulatora) dobićete odgovor: x = π/3. Jedinični krug daje drugi odgovor: 2π/3. Zapamtite: sve trigonometrijske funkcije su periodične, odnosno njihove vrijednosti se ponavljaju. Na primjer, periodičnost sin x i cos x je 2πn, a periodičnost tg x i ctg x je πn. Stoga je odgovor napisan ovako:
x1 = π/3 + 2πn; x2 = 2π/3 + 2πn.
Primjer 2. cos x = -1/2. Pomoću tabele konverzije (ili kalkulatora) dobićete odgovor: x = 2π/3. Jedinični krug daje drugi odgovor: -2π/3.
x1 = 2π/3 + 2π; x2 = -2π/3 + 2π.
Primjer 3. tg (x - π/4) = 0.
Odgovor: x = π/4 + πn.
Primjer 4. ctg 2x = 1,732.
Odgovor: x = π/12 + πn.

Transformacije koje se koriste u rješavanju trigonometrijskih jednačina.

Za transformaciju trigonometrijskih jednadžbi koriste se algebarske transformacije (faktorizacija, redukcija homogenih članova itd.) i trigonometrijski identiteti.
Primjer 5: Koristeći trigonometrijske identitete, jednačina sin x + sin 2x + sin 3x = 0 se pretvara u jednačinu 4cos x*sin (3x/2)*cos (x/2) = 0. Dakle, sljedeće osnovne trigonometrijske jednačine treba riješiti: cos x = 0; sin(3x/2) = 0; cos(x/2) = 0.
Pronalaženje uglova koristeći poznate vrijednosti funkcije.
- Prije nego naučite rješavati trigonometrijske jednadžbe, morate naučiti kako pronaći uglove koristeći poznate vrijednosti funkcije. To se može učiniti pomoću tablice konverzije ili kalkulatora.
- Primjer: cos x = 0,732. Kalkulator će dati odgovor x = 42,95 stepeni. Jedinični krug će dati dodatne uglove, čiji je kosinus također 0,732.
Ostavite rješenje na jediničnom krugu.
- Možete nacrtati rješenja trigonometrijske jednadžbe na jediničnom krugu. Rješenja trigonometrijske jednadžbe na jediničnom krugu su vrhovi pravilnog poligona.
- Primjer: Rješenja x = π/3 + πn/2 na jediničnom krugu predstavljaju vrhove kvadrata.
- Primjer: Rješenja x = π/4 + πn/3 na jediničnom krugu predstavljaju vrhove pravilnog šestougla.
Metode rješavanja trigonometrijskih jednačina.
- Ako data trigonometrijska jednadžba sadrži samo jednu trigonometrijsku funkciju, riješite je kao osnovnu trigonometrijsku jednačinu. Ako data jednadžba uključuje dvije ili više trigonometrijskih funkcija, tada postoje 2 metode za rješavanje takve jednadžbe (u zavisnosti od mogućnosti njene transformacije).
  - Metoda 1.
- Transformirajte ovu jednačinu u jednačinu oblika: f(x)*g(x)*h(x) = 0, gdje su f(x), g(x), h(x) osnovne trigonometrijske jednačine.
- Primjer 6. 2cos x + sin 2x = 0. (0< x < 2π)
- Rješenje. Koristeći dvostruku formulu kut sin 2x = 2*sin x*cos x, zamijeniti sin 2x.
- 2cos x + 2*sin x*cos x = 2cos x*(sin x + 1) = 0. Sada riješite dvije osnovne trigonometrijske jednačine: cos x = 0 i (sin x + 1) = 0.
- Primjer 7. cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0< x < 2π)
- Rješenje: Koristeći trigonometrijske identitete, transformirajte ovu jednačinu u jednačinu oblika: cos 2x(2cos x + 1) = 0. Sada riješite dvije osnovne trigonometrijske jednačine: cos 2x = 0 i (2cos x + 1) = 0.
- Primjer 8. sin x - sin 3x = cos 2x. (0< x < 2π)
- Rješenje: Koristeći trigonometrijske identitete, transformirajte ovu jednačinu u jednačinu oblika: -cos 2x*(2sin x + 1) = 0. Sada riješite dvije osnovne trigonometrijske jednadžbe: cos 2x = 0 i (2sin x + 1) = 0 .
  - Metoda 2.
- Pretvorite datu trigonometrijsku jednačinu u jednadžbu koja sadrži samo jednu trigonometrijsku funkciju. Zatim zamijenite ovu trigonometrijsku funkciju nekom nepoznatom, na primjer, t (sin x = t; cos x = t; cos 2x = t, tan x = t; tg (x/2) = t, itd.).
- Primjer 9. 3sin^2 x - 2cos^2 x = 4sin x + 7 (0< x < 2π).
- Rješenje. U ovoj jednačini zamijenite (cos^2 x) sa (1 - sin^2 x) (prema identitetu). Transformirana jednačina je:
- 3sin^2 x - 2 + 2sin^2 x - 4sin x - 7 = 0. Zamijenite sin x sa t. Sada jednačina izgleda ovako: 5t^2 - 4t - 9 = 0. Ovo je kvadratna jednačina, koji ima dva korijena: t1 = -1 i t2 = 9/5. Drugi korijen t2 ne zadovoljava raspon funkcije (-1< sin x < 1). Теперь решите: t = sin х = -1; х = 3π/2.
- Primjer 10. tg x + 2 tg^2 x = ctg x + 2
- Rješenje. Zamijenite tg x sa t. Prepišite originalnu jednačinu na sljedeći način: (2t + 1)(t^2 - 1) = 0. Sada pronađite t, a zatim pronađite x za t = tan x.

Date su veze između osnovnih trigonometrijskih funkcija - sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa. trigonometrijske formule. A budući da postoji dosta veza između trigonometrijskih funkcija, to objašnjava obilje trigonometrijskih formula. Neke formule povezuju trigonometrijske funkcije istog ugla, druge - funkcije višestrukog ugla, druge - omogućavaju smanjenje stepena, četvrte - izražavaju sve funkcije kroz tangentu pola ugla, itd.

U ovom članku ćemo navesti redom sve osnovne trigonometrijske formule, koje su dovoljne za rješavanje velike većine trigonometrijskih problema. Radi lakšeg pamćenja i upotrebe, grupiraćemo ih po namjeni i unijeti u tabele.

Navigacija po stranici.

Osnovni trigonometrijski identiteti

Osnovni trigonometrijski identiteti definirati odnos između sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa jednog ugla. Oni proizilaze iz definicije sinusa, kosinusa, tangente i kotangensa, kao i koncepta jedinične kružnice. Oni vam omogućavaju da izrazite jednu trigonometrijsku funkciju u terminima bilo koje druge.

Za detaljan opis ovih trigonometrijskih formula, njihovo izvođenje i primjere primjene pogledajte članak.

Formule redukcije

Formule redukcije proizlaze iz svojstava sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa, odnosno odražavaju svojstvo periodičnosti trigonometrijskih funkcija, svojstvo simetrije, kao i svojstvo pomaka za dati ugao. Ove trigonometrijske formule omogućavaju vam da pređete sa rada sa proizvoljnim uglovima na rad sa uglovima u rasponu od nule do 90 stepeni.

Obrazloženje ovih formula, mnemoničko pravilo za njihovo pamćenje i primjeri njihove primjene mogu se proučavati u članku.

Formule sabiranja

Trigonometrijske formule sabiranja pokazuju kako se trigonometrijske funkcije zbira ili razlike dvaju uglova izražavaju u terminima trigonometrijskih funkcija tih uglova. Ove formule služe kao osnova za izvođenje sljedećih trigonometrijskih formula.

Formule za duplo, trostruko itd. ugao

Formule za duplo, trostruko itd. ugao (oni se nazivaju i formule višestrukog ugla) pokazuju kako trigonometrijske funkcije dvostruke, trostruke itd. uglovi () su izraženi u terminima trigonometrijskih funkcija jednog ugla. Njihovo izvođenje se zasniva na formulama sabiranja.

Detaljnije informacije prikupljene su u formulama članka za duplo, trostruko, itd. ugao

Formule poluugla

Formule poluugla pokazuju kako se trigonometrijske funkcije poluugla izražavaju kosinusom cijelog ugla. Ove trigonometrijske formule slijede iz formula dvostrukog ugla.

Njihov zaključak i primjere primjene možete pronaći u članku.

Formule za smanjenje stepena

Trigonometrijske formule za redukciju stupnjeva dizajnirani su da olakšaju prijelaz sa prirodnih snaga trigonometrijskih funkcija na sinuse i kosinuse u prvom stepenu, ali više uglova. Drugim riječima, omogućavaju vam da smanjite moći trigonometrijskih funkcija na prvu.

Formule za zbir i razliku trigonometrijskih funkcija

Glavna svrha formule za zbir i razliku trigonometrijskih funkcija je ići na proizvod funkcija, što je vrlo korisno kada se pojednostavljuje trigonometrijski izrazi. Ove formule se također široko koriste u rješavanju trigonometrijskih jednačina, jer vam omogućavaju da faktorizujete zbir i razliku sinusa i kosinusa.

Formule za proizvod sinusa, kosinusa i sinus po kosinus

Prijelaz sa umnoška trigonometrijskih funkcija na zbroj ili razliku vrši se pomoću formula za proizvod sinusa, kosinusa i sinusa po kosinus.

Univerzalna trigonometrijska supstitucija

Pregled osnovnih formula trigonometrije završavamo formulama koje izražavaju trigonometrijske funkcije u terminima tangenta poluugla. Ova zamjena je pozvana univerzalna trigonometrijska supstitucija. Njegova pogodnost leži u činjenici da se sve trigonometrijske funkcije izražavaju u terminima tangente poluugla racionalno bez korijena.

Bibliografija.

algebra: Udžbenik za 9. razred. avg. škola/Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovsky - M.: Obrazovanje, 1990. - 272 str.: ilustr. - ISBN 5-09-002727-7
Bašmakov M. I. Algebra i počeci analize: Udžbenik. za 10-11 razred. avg. škola - 3. izd. - M.: Prosveta, 1993. - 351 str.: ilustr. - ISBN 5-09-004617-4.
Algebra i početak analize: Proc. za 10-11 razred. opšte obrazovanje institucije / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn i drugi; Ed. A. N. Kolmogorov - 14. izd. - M.: Obrazovanje, 2004. - 384 str.: ilustr. - ISBN 5-09-013651-3.
Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematika (priručnik za polaznike tehničkih škola): Proc. dodatak.- M.; Više škola, 1984.-351 str., ilustr.

Autorska prava cleverstudents

Sva prava zadržana.
Zaštićeno zakonom o autorskim pravima. Nijedan dio stranice, uključujući interne materijale i izgled, ne smije se reproducirati u bilo kojem obliku ili koristiti bez prethodne pismene dozvole vlasnika autorskih prava.

Trigonometrijske jednadžbe .

Najjednostavnije trigonometrijske jednadžbe .

Metode rješavanja trigonometrijskih jednačina.

Trigonometrijske jednadžbe. Jednačina koja sadrži nepoznatu pod naziva se znak trigonometrijske funkcije trigonometrijski.

Najjednostavnije trigonometrijske jednadžbe.

Metode rješavanja trigonometrijskih jednačina. Rješavanje trigonometrijske jednadžbe sastoji se od dvije faze: transformacija jednadžbe da bude najjednostavnije tip (vidi gore) i rješenjerezultirajući najjednostavniji trigonometrijska jednačina. Ima ih sedam osnovne metode za rješavanje trigonometrijskih jednačina.

1. Algebarska metoda. Ova metoda nam je dobro poznata iz algebre.

(promenljiva metoda zamene i zamene).

2. Faktorizacija. Pogledajmo ovu metodu s primjerima.

Primjer 1. Riješite jednačinu: grijeh x+cos x = 1 .

Rješenje. Pomaknimo sve članove jednadžbe ulijevo:

Sin x+cos x – 1 = 0 ,

Hajde da transformišemo i faktorizujemo izraz

Lijeva strana jednačine:

Primjer 2. Riješite jednačinu: cos 2 x+ sin x cos x = 1.

Rješenje: cos 2 x+ sin x cos x– grijeh 2 x– cos 2 x = 0 ,

Sin x cos x– grijeh 2 x = 0 ,

Sin x· (cos x– grijeh x ) = 0 ,

Primjer 3. Riješite jednačinu: cos 2 x–cos 8 x+ cos 6 x = 1.

Rješenje: cos 2 x+ cos 6 x= 1 + cos 8 x,

2 cos 4 x cos 2 x= 2cos² 4 x ,

Cos 4 x · (cos 2 x– cos 4 x) = 0 ,

Cos 4 x · 2 greh 3 x grijeh x = 0 ,

1). cos 4 x= 0, 2). grijeh 3 x= 0, 3). grijeh x = 0 ,

Vodeći do homogena jednačina. Jednačina pozvao homogeno od u vezi grijeh I cos , Ako sve to termini istog stepena u odnosu na grijeh I cos isti ugao. Za rješavanje homogene jednačine potrebno je: