Pred vama je komad papira sa likom: a) trougla, b) zvijezde petokrake, c) mnogougla u obliku plivajućeg labuda. U svakom slučaju dođi sa, kako saviti komad papira tako da se odgovarajući oblik može izrezati u jednom kontinuiranom ravnom rezu makazama.
Clue
U svim slučajevima, rješenje se gotovo u potpunosti sastoji od dva tipa koraka: trebate dodati ili duž simetrale nekog od uglova povezanih sa figurom (kako biste „smanjili“ broj segmenata koji nisu na istoj liniji) , ili duž okomite na jedan od segmenata (kako bi se njegova dužina “uklopila” na željenu dužinu).
Rješenje
Slike ispod pokazuju kako presavijati oblike iz navoda problema da bi potom svaki od njih izrezali jednim rezom.
Sa trouglom je sve manje-više jasno: sabiramo duž jedne simetrale, pa duž druge (slika 1).
Sa zvezdom je takođe prilično lako izaći na kraj. Prvo ga trebate presavijati na pola duž osi simetrije (potpuno prirodna akcija - budući da možete "prepoloviti" figuru jednim potezom). Zatim - spojite dvije zrake zvijezde jedna s drugom, dodajući duž simetrale njenog "vanjskog" ugla. Nakon toga će od konture ostati samo tri segmenta koja se lako kombinuju (slika 2).
Labud je najteža stvar. To je razumljivo: figura bez simetrije, sa veliki broj stranke; stoga će biti neophodno veliki broj nabori Dijagram za preklapanje je prikazan na sl. 3. Jednostavne isprekidane linije predstavljaju nabore prema dolje, a tačkasto-isprekidane linije predstavljaju nabore prema gore. Najprije morate posebno označiti ove nabore tako da list poprimi oblik krova kuće, a tek onda savijte list u ravan oblik.
Serija fotografija prikazuje cijeli proces savijanja:
O tome odakle dolazi takav genijalan sistem nabora, pročitajte u nastavku.
Pogovor
Sve opcije predložene u ovom stanju su samo posebni slučajevi opšte pitanje, što zvuči ovako:
S obzirom na poligon na ravnom listu papira, da li je moguće saviti ovaj list tako da se poligon može iseći jednim ravnim rezom?
Ispostavilo se da je, bez obzira na oblik poligona, odgovor na ovo pitanje uvijek pozitivan: da, možete. (Naravno, mi sada raspravljamo o ovom problemu sa stanovišta matematike i ne dotičemo se „fizičke“ strane stvari: nemoguće je presavijati list papira previše puta. Vjeruje se da je nemoguće je saviti čak i vrlo tanak papir više od 7-8 puta. To je skoro tako: uz malo truda možete napraviti 12 savijanja, ali je malo vjerovatno da ćete moći više.)
Štoviše, ako je nacrtano nekoliko poligona, onda se list i dalje može presavijati tako da se svi mogu izrezati jednim rezom (i ništa dodatno neće biti izrezano). Poenta je da je sledeće tačno teorema:
Neka se na komadu papira nacrta proizvoljan graf. Zatim se ovaj list može presavijati tako da se ovaj grafikon može iseći jednim rezom i ništa nepotrebno neće biti izrezano.
Ova teorema ima algoritamski dokaz. To jest, njegov dokaz daje eksplicitan recept kako da se konstruiše traženi sistem nabora.
Ukratko, suština je ovo. Prvo moramo napraviti pravi kostur. Ovo je skup linija - putanja vrhova originalnog poligona - duž kojih se oni kreću tokom njegove posebne kompresije. Kompresija funkcionira ovako: stranice poligona pomičemo “unutra”. konstantna brzina tako da se svaka strana kreće bez promjene smjera. Kao što možete lako vidjeti, najprije će vrhovi puzati duž simetrala uglova poligona. Odnosno, ova čudna konstrukcija na prvi pogled jednostavno generalizira ideju predloženu u nagovještaju: da biste trebali pokušati sabirati duž simetrala uglova mnogougla. Imajte na umu da se tokom procesa kompresije poligon može „raspasti“ na komade, kao što se dogodilo na Sl. 5.
Nakon što se dobije kostur, iz svakog njegovog vrha potrebno je nacrtati zrake okomite na one strane originalne figure na koje se mogu povući. Ako zraka naiđe na liniju od skeleta, onda nakon prelaska ne treba nastaviti ravno, već duž svoje zrcalne slike u odnosu na ovu liniju. Preklopni sistem se sastoji od nacrtanih linija.
Više informacija o tome i kako odrediti smjer pregiba (“gore” ili “dolje”) možete pronaći u članku E. D. Demaine, M. L. Demaine, A. Lubiw, 1998. Papir za savijanje i rezanje. Kratka istorija a drugi pristup rješavanju problema može se naći na stranici Erica Demaina, jednog od autora dokaza teoreme. Možete pročitati i malo popularniju priču o ovoj teoremi (nažalost, i na engleskom). I na kraju, savjetujem vam da pogledate crtani film "Matematičke etide", u kojem možete jasno vidjeti kako presavijati trokut i zvijezdu, a zatim ih iseći jednim rezom.
Konačno, napominjem da su se pitanja slična onima o kojima se raspravljalo već duže vrijeme postavljala. Na primjer, u jednoj japanskoj knjizi iz 1721. godine, kao jedan od problema, čitatelji su zamoljeni da izrezuju figuru iz tri spojena romba koristeći jedan rez (slika 6). Kasnije je poznati iluzionista Harry Houdini u svojoj knjizi objasnio metodu izrezivanja zvijezde. Inače, prema legendi, upravo zato što se takva zvijezda može brzo izrezati iz papira ili tkanine, sada vidimo zvijezde petokrake na američkoj zastavi: krojačica Betsy Ross, koja je, prema legendi, sašila prvu zastavu, uspeo je da ubedi Džordža Vašingtona da se bolje koriste za zastavu od šestokrakih koje je Vašington prvobitno želeo da koristi.
Photoshop nudi gotovo neograničene kreativne mogućnosti. Međutim, korisnici koji tek počinju raditi s programom mogu imati poteškoća u najosnovnijim stvarima, na primjer, crtanju geometrijskih oblika. Najčešće se poteškoće javljaju upravo kada trebate nacrtati trokut. U stvari, ovdje je sve jednostavno, a mi ćemo shvatiti kako to učiniti.
Kako nacrtati trougao u Photoshopu
Proučivši lijevi panel s alatima, a posebno alatima koji vam omogućavaju crtanje geometrijske figure, korisnik neće pronaći ikonu trougla. Postoje kvadrati, elipse, poligoni itd., ali ne i trouglovi. A crtanje trougla se vrši pomoću alata Poligon.
Trokut možete nacrtati i pomoću alata Straight Line Lasso, iako ova opcija za kreiranje geometrijskih oblika nije tako očigledna. To se radi na sljedeći način:
Kao što vidite, nema ništa teško u stvaranju trougla. Koristeći slične uzorke, možete napraviti druge geometrijske oblike koji sadrže nekoliko uglova. Ako vam je ovaj članak bio koristan, podijelite ga s drugim ljudima, možda će i njima biti od koristi.
U ovom članku ćete naučiti kako crtati u Photoshopu različite vrste trokuti: jednakostranični, jednakokračni, skalasti i pravougaoni.
Kako nacrtati jednakostranični trougao
Jednakostranični trougao ima sve tri strane jednake.
Najlakši način da nacrtate takav trokut u Photoshopu je korištenje Poligon alat.
Odaberite ovaj alat i na panelu postavki odmah odredite broj strana - 3.
Sljedeći korak je da odlučite kakav bi trebao biti budući trokut: potreban je vektorski oblik, rasterski oblik sa punom ispunom ili samo obris. Razmotrite sve opcije.
Vektorski trokut
Na traci sa opcijama izaberite opciju Sloj oblika.
Sada možete nacrtati sam trougao. Tokom stvaranja vidjet ćete njegove granice. To je neophodno kako bi se izračunale njegove dimenzije. Takođe, dok ne otpustite dugme miša, možete ga rotirati.
Dobra stvar vektorskog trougla je što možete brzo promijeniti njegovu boju, kao i bezbolno promijeniti njegovu veličinu bez gubitka kvalitete. Da biste to učinili, pozovite naredbu - Ctrl+T.
Da biste ga kasnije pretvorili u rasterski trokut, koristite naredbu.
Rasterski trougao sa punom ispunom
Dobićete isti trougao kao u gornjem primeru, ali će odmah biti u rasteru.
Da biste to učinili, na traci sa opcijama trebate odabrati postavku Popunite piksele.
Prije nego što napravite takav trokut, prvo morate.
Sada nacrtajte oblik i on će biti kao najobičniji bitmap element.
Kako nacrtati obris jednakostraničnog trougla
Za takav oblik odaberite opciju na traci opcija Obrisi.
Nacrtajte trougao. Naravno, dobićete samo njen obris. Zatim, sa odabranim istim alatom, kliknite desnim tasterom miša unutar putanje. Pojavit će se kontekstni meni. Odaberite tim Kreirajte područje odabira.
Otvoriće se okvir za dijalog. Ostavite radijus perje na 0. Kliknite OK.
Kao rezultat toga, napravili smo to iz obrisa.
Da biste to učinili, pokrenite naredbu Uređivanje - Stroke. Pojavit će se prozor u kojem određujete debljinu linije poteza, kao i kako će ona proći u odnosu na isprekidanu liniju odabira: iznutra, u sredini, izvana.
Photoshop je napravio potez, sada uklonite isprekidanu liniju odabira da ne smeta - Ctrl+D. rezultat:
Kako nacrtati jednakokraki trougao
Jednakokraki trougao ima dvije jednake stranice.
Pogledajmo primjer kada trebate crtati jednakokraki trougao specificirane veličine. Recimo da je osnova 300 piksela, a visina 400 piksela.
Spreman
Nacrtan je jednakokraki trokut prema datim dimenzijama!
U pravouglom trouglu jedan od uglova je 90 stepeni.
Ako vam je potreban pravokutni trokut s unaprijed poznatim dimenzijama, na primjer, dimenzije nogu su 200 i 300 piksela, onda je najlakši način da to učinite na sljedeći način:
Korak 1
Napravite novi dokument u Photoshopu sa visinom i širinom jednakim dimenzijama nogu: na primjer, neka širina bude 300 piksela, a visina 200 piksela.
Radna oblast u Photoshopu je uvek pravougaona, tako da će već biti obezbeđen ugao od 90 stepeni. Dvije strane pravougaonika su njegove noge. Ostaje samo da nacrtate dijagonalu - to će biti hipotenuza.
Korak 2
Nastavit ćemo analogno s gornjim primjerom. Uzmi alat Linija i postavite opciju Sloj oblika.
Sada nacrtajte liniju oko ivica i povežite dvije tačke dijagonalno:
Korak 3
U paleti slojeva ponovo postoje tri sloja oblika. Mogu se kombinovati u jedan sloj (kom Spoji slojeve).
Spreman
Pravi trokut je spreman, možete ga obojiti u bilo koju boju:
Ako primijetite grešku u tekstu, odaberite je i pritisnite Ctrl + Enter. Hvala ti!
Izmišljeno je nekoliko nemogućih figura - ljestve, trokut i X-zub. Ove figure su zapravo sasvim stvarne na trodimenzionalnoj slici. Ali kada umjetnik projektuje volumen na papir, objekti se čine nemogućim. Trougao, koji se još naziva i "tribar", postao je divan primjer kako nemoguće postaje moguće kada se potrudite.
Sve ove brojke su prekrasne iluzije. Dostignuća ljudskog genija koriste umjetnici koji slikaju u imp art stilu.
Ništa nije nemoguće. Ovo se može reći za Penroseov trokut. Ovo je geometrijski nemoguća figura čiji se elementi ne mogu povezati. Na kraju krajeva, nemogući trougao je postao moguć. Švedski slikar Oscar Reutersvard je 1934. godine upoznao svijet sa nemogućim trouglom napravljenim od kocki. O. Reutersvard se smatra otkrićem ove vizuelne iluzije. U čast ovog događaja, ovaj crtež je kasnije odštampan na švedskoj poštanskoj marki.
A 1958. godine matematičar Roger Penrose objavio je publikaciju u engleski magazin o nemogućim ciframa. On je bio taj koji je stvorio naučni model iluzije. Roger Penrose je bio nevjerovatan naučnik. Vodio je istraživanja u oblasti teorije relativnosti, kao i fascinantna kvantna teorija. Zajedno sa S. Hawkingom dobio je Vukovu nagradu.
Poznato je da je umjetnik Maurits Escher, pod utiskom ovog članka, naslikao svoje nevjerovatno djelo - litografiju "Vodopad". Ali da li je moguće napraviti Penroseov trougao? Kako to učiniti, ako je moguće?
Tribar i stvarnost
Iako se figura smatra nemogućom, napraviti Penroseov trokut vlastitim rukama lako je kao ljuštenje krušaka. Može se napraviti od papira. Ljubitelji origamija jednostavno nisu mogli zanemariti tribar i ipak su pronašli način da stvore i drže u svojim rukama stvar koja se ranije činila izvan mašte naučnika.
Međutim, varaju nas vlastite oči kada gledamo projekciju trodimenzionalnog objekta iz tri okomite linije. Posmatrač misli da vidi trougao, iako u stvari ne vidi.
Geometrijski zanati
Tribar trougao, kao što je rečeno, zapravo nije trougao. Penroseov trougao je iluzija. Samo iz određenog ugla objekt izgleda jednakostranični trougao. Međutim, predmet u svom prirodnom obliku su 3 lica kocke. U takvoj izometrijskoj projekciji na ravnini se poklapaju 2 ugla: onaj koji je najbliži posmatraču i najudaljeniji.
Optička iluzija se, naravno, brzo otkriva čim podignete ovaj predmet. Sjena također otkriva iluziju, jer sjena tribara jasno pokazuje da se uglovi u stvarnosti ne poklapaju.
Tribar od papira. Šema
Kako napraviti Penroseov trokut vlastitim rukama od papira? Ima li šema za ovaj model? Danas su izmišljena 2 rasporeda kako bi se presavio takav nemoguć trougao. Osnovna geometrija vam tačno govori kako da presavijete objekat.
Da biste presavili Penroseov trokut vlastitim rukama, morat ćete izdvojiti samo 10-20 minuta. Morate pripremiti ljepilo, makaze za nekoliko rezova i papir na kojem je ispisan dijagram.
Iz takvog blanka dobija se najpopularniji nemogući trokut. Origami zanat nije previše težak za napraviti. Stoga će sigurno uspjeti prvi put, čak i za školarca koji je tek počeo da uči geometriju.
Kao što vidite, ispada da je to vrlo lijep zanat. Drugi komad izgleda drugačije i savija se drugačije, ali sam Penroseov trokut na kraju izgleda isto.
Koraci za kreiranje Penroseovog trokuta od papira.
Odaberite jedan od 2 prazna mjesta koja vam odgovaraju, kopirajte datoteku i odštampajte. Ovdje dajemo primjer drugog modela rasporeda, koji je malo jednostavniji.
Sama origami praznina "Tribar" već sadrži sve potrebne savjete. Zapravo, upute za krug nisu potrebne. Dovoljno je samo da ga preuzmete na debeli papirni medij, inače će biti nezgodno raditi i figura neće uspjeti. Ako ne možete odmah ispisati na kartonu, tada morate pričvrstiti skicu na novi materijal i izrezati crtež duž konture. Radi praktičnosti, možete pričvrstiti spajalicama.
Šta dalje? Kako savijati Penroseov trokut vlastitim rukama korak po korak? Morate slijediti ovaj akcioni plan:
- Hajde da režiramo poleđina makaze one linije na kojima trebate savijati, prema uputama. Savijte sve linije
- Vršimo rezove gdje je potrebno.
- Koristeći PVA, lijepimo one komadiće koji su namijenjeni da dio drže zajedno u jednu cjelinu.
Gotovi model se može prefarbati u bilo koju boju, ili možete unaprijed uzeti karton u boji za rad. Ali čak i ako je predmet napravljen od bijelog papira, svejedno, svako ko prvi put uđe u vašu dnevnu sobu sigurno će biti obeshrabren takvim zanatom.
Crtanje trougla
Kako nacrtati Penroseov trougao? Ne vole svi da rade origami, ali mnogi ljudi vole da crtaju.
Za početak nacrtajte običan kvadrat bilo koje veličine. Zatim se iznutra nacrta trokut čija je osnova donja strana kvadrata. U svaki kut je postavljen mali pravougaonik čije su sve strane izbrisane; Ostaju samo one stranice koje su susjedne trokutu. Ovo je neophodno kako bi se osiguralo da su linije ravne. Rezultat je trokut sa skraćenim uglovima.
Sljedeća faza je slika druge dimenzije. S lijeve strane gornjeg donjeg ugla povlači se strogo ravna linija. Ista linija se povlači počevši od donjeg lijevog ugla, a malo nije dovedena do prve linije 2. dimenzije. Druga linija se povlači iz desnog ugla paralelno sa donjom stranom glavne figure.
Posljednja faza je crtanje treće unutar druge dimenzije koristeći još tri male linije. Male linije počinju od linija druge dimenzije i upotpunjuju sliku trodimenzionalnog volumena.
Ostale Penroseove figure
Koristeći istu analogiju, možete nacrtati druge oblike - kvadrat ili šesterokut. Iluzija će se održati. Ali ipak, ove brojke više nisu tako nevjerovatne. Takvi poligoni jednostavno izgledaju vrlo uvrnuti. Moderna grafika omogućava stvaranje zanimljivijih verzija poznatog trokuta.
Osim trougla, svjetski poznato je i Penroseovo stepenište. Ideja je da se prevari oko, čineći da izgleda da se osoba neprekidno diže nagore kada se kreće u smeru kazaljke na satu, i naniže kada se kreće suprotno.
Kontinuirano stepenište je najpoznatije po povezanosti sa slikom M. Eschera „Uspon i spuštanje“. Zanimljivo je da kada čovjek pređe sva 4 kata ovog iluzornog stepeništa, on uvijek završi tamo gdje je krenuo.
Postoje i drugi poznati objekti koji obmanjuju ljudski um, kao što je nemogući blok. Ili kutija napravljena po istim zakonima iluzije sa rubovima koji se ukrštaju. Ali svi ovi objekti su već izmišljeni na osnovu članka izuzetnog naučnika - Rogera Penrosea.
Nemogući trougao u Pertu
Odaje se počast figuri nazvanoj po matematičaru. Njoj je podignut spomenik. 1999. godine, u jednom od gradova Australije (Perth) je postavljen veliki trougao Penrose napravljen od aluminijuma, koji je visok 13 metara. Turisti uživaju u slikanju pored aluminijumskog giganta. Ali ako odaberete drugačiji ugao za fotografiju, obmana postaje očigledna.
Kada sam bio "čajnik", suočio sam se sa potrebom da nacrtam trougao u Photoshopu. Tada se nisam mogao nositi sa ovim zadatkom bez vanjske pomoći.
Ispostavilo se da sve nije tako komplikovano kao što se na prvi pogled čini. U ovoj lekciji ću sa vama podijeliti svoje iskustvo u crtanju trouglova.
Postoje dva (meni poznata) načina.
Prva metoda vam omogućava da nacrtate jednakostranični trokut. Za ovo nam je potreban alat tzv "Poligon". Nalazi se u odjeljku oblika na desnoj alatnoj traci.
Ovaj alat vam omogućava da nacrtate pravilne poligone sa određenim brojem strana. U našem slučaju će ih biti tri (strane).
Nakon podešavanja boje ispune
Postavite kursor na platno, držite pritisnutu lijevu tipku miša i nacrtajte našu figuru. Tokom procesa kreiranja, trougao se može rotirati bez puštanja dugmeta miša.
rezultat:
Osim toga, možete nacrtati oblik bez ispune, ali s obrisom. Konturne linije su konfigurisane na gornjoj alatnoj traci. Tu se može podesiti i punjenje, odnosno nedostatak istog.
Dobio sam sledeće trouglove:
Možete eksperimentirati s postavkama kako biste postigli željeni rezultat.
Sljedeći alat za crtanje trouglova je "Pravolinijski laso".
Ovaj alat vam omogućava da nacrtate trokute sa bilo kojim proporcijama. Pokušajmo nacrtati pravougaonik.
Za pravougaonog trougla moraćemo tačno da nacrtamo pravi (ko bi pomislio...) ugao.
Koristimo vodiče. Kako raditi s vodičima u Photoshopu, pročitajte ovaj članak.
Dakle, pročitali smo članak, hajde da povučemo vodiče. Jedna vertikalna, druga horizontalna.
Da bi odabir "privukao" vodilice, uključite funkciju kopčanja.
Zatim desnom tipkom miša kliknite unutar odabira i odaberite, ovisno o vašim potrebama, stavke kontekstnog izbornika "Izvrši punjenje" ili "moždani udar".
Boja ispune je konfigurisana na sledeći način:
Širina i pozicija hoda također se mogu podesiti.
Dobijamo sljedeće rezultate:
Punjenje.
Za dobijanje oštri uglovi moždani udar treba uraditi "unutra".
Nakon poništavanja odabira ( CTRL+D) dobijamo gotov pravougli trougao.
Ovo su dva najjednostavnija načina za crtanje trokuta u Photoshopu.
