Kretanje tačke duž kružnice može se okarakterisati uglom rotacije poluprečnika koji povezuje pokretnu tačku sa središtem kruga. Promjenu ovog ugla tokom vremena karakteriše ugaona brzina. Ugaona brzina tačke je odnos ugla rotacije vektora radijusa tačke i vremenskog perioda tokom kojeg se ova rotacija dogodila. Ugaona brzina je numerički jednaka kutu rotacije radijus vektora tačke u jedinici vremena.
Ugao rotacije se obično mjeri u radijanima (rad). Jedinica za ugaonu brzinu je radijan po sekundi (rad/s) - ugaona brzina pri kojoj tačka opisuje luk na osnovu ugla jednakog jednom radijanu u jednoj sekundi.
Potpuna revolucija oko kruga je rad. To znači da ako točka rotira frekvencijom , tada je njena ugaona brzina
Ako je kretanje tačke duž kružnice neravnomerno, onda možemo uvesti pojam prosečne ugaone brzine i trenutne ugaone brzine, kao što je to učinjeno za običnu brzinu u slučaju neravnomernog kretanja. Međutim, u budućnosti ćemo razmatrati samo ravnomerno kretanje po kružnici.
„Obična“ brzina, za razliku od ugaone brzine, zvaće se linearna brzina. Lako je pronaći odnos između linearne brzine tačke, njene ugaone brzine i poluprečnika kružnice po kojoj se kreće. Budući da će tačka, nakon što je opisala ugao jednak jednom radijanu, preći put duž kružnice jednak poluprečniku, tada
odnosno linearna brzina pri kretanju po kružnici jednaka je ugaonoj brzini pomnoženoj poluprečnikom kružnice.
Koristeći (115.1), možemo izraziti centripetalno ubrzanje tačke pri kretanju po kružnici u terminima ugaone brzine. Zamjenjujući izraz za brzinu (115.1) u (27.1), nalazimo formulu koja izražava centripetalno ubrzanje u terminima ugaone brzine!
Kada se razmatra rotacija krutog tijela oko ose, koristi se i koncept ugaone brzine; u ovom slučaju je ugaona brzina u svim tačkama tijela ista, jer se sve rotiraju pod istim kutom. Dakle, rotacija krutog tijela oko ose može se okarakterizirati ugaonom brzinom kojom se kreću sve njegove točke. Stoga ćemo je zvati ugaona brzina tijela. Iz formula (115.1) i (115.2) jasno je da kada se kruto tijelo rotira, linearne brzine njegovih tačaka i njihova centripetalna ubrzanja proporcionalne su udaljenosti od ovih tačaka do ose rotacije.
115.1 . Dvije tačke se kreću jednakim ugaonim brzinama po kružnicama čiji su polumjeri u omjeru 1:2. Pronađite omjer ubrzanja ovih tačaka.
115.2. Šta je veće: ugaona brzina rotacije kazaljke sata ili ugaona brzina rotacije Zemlje?
Udaljenost i vrijeme potrebno za prelazak ove udaljenosti povezani su fizičkim pojmom - brzinom. A osoba, po pravilu, nema pitanja o određivanju ove vrijednosti. Svi znaju da vožnja automobila brzinom od 100 km/h znači preći 100 kilometara za jedan sat.
Ali šta ako se tijelo rotira? Na primjer, običan kućni ventilator pravi desetke okretaja u sekundi. A u isto vrijeme, brzina rotacije lopatica je takva da se lako mogu zaustaviti rukom bez štete po sebe. Zemlja oko svoje zvijezde - Sunca - napravi jedan okret u cijeloj godini, što je više od 30 miliona sekundi, ali brzina njenog kretanja po okozvezdanoj orbiti je oko 30 kilometara u sekundi!
Kako povezati uobičajenu brzinu sa brzinom rotacije, kako izgleda formula za kutnu brzinu?
Koncept ugaone brzine
Koncept ugaone brzine koristi se u proučavanju zakona rotacije. Primjenjuje se na sva rotirajuća tijela. Bilo da se radi o rotaciji određene mase oko druge, kao u slučaju Zemlje i Sunca, ili o rotaciji samog tijela oko polarne ose (dnevna rotacija naše planete).
Razlika između ugaone brzine i linearne brzine je u tome što bilježi promjenu ugla, a ne udaljenosti, po jedinici vremena. U fizici se ugaona brzina obično označava slovom grčke abecede "omega" - ω.
Klasična formula za ugaonu brzinu rotacije se smatra kako slijedi.
Zamislimo da se fizičko tijelo rotira oko određenog centra A konstantnom brzinom. Njegov položaj u prostoru u odnosu na centar određen je uglom φ. U nekom trenutku u vremenu t1 dotično tijelo je u tački B. Ugao odstupanja tijela od početnog φ1.
Tada se tijelo kreće u tačku C. Tamo je u trenutku t2. Vrijeme potrebno za ovaj pokret:
Takođe se menja i položaj tela u prostoru. Sada je ugao otklona φ2. Promjena ugla tokom vremenskog perioda ∆t bila je:
∆φ = φ2 - φ1.
Sada je formula za ugaonu brzinu formulisana na sledeći način: ugaona brzina je definisana kao odnos promene ugla ∆φ tokom vremena ∆t.
Jedinice ugaone brzine
Linearna brzina tijela mjeri se različitim veličinama. Kretanje vozila na cestama obično je naznačeno u kilometrima na sat, a pomorski brodovi prave čvorove - nautičke milje na sat. Ako uzmemo u obzir kretanje kosmičkih tijela, onda se ovdje najčešće pojavljuju kilometri u sekundi.
Ugaona brzina, ovisno o veličini i objektu koji se rotira, također se mjeri u različitim jedinicama.
Radijani u sekundi (rad/s) je klasična mjera brzine u Međunarodnom sistemu jedinica (SI). Oni pokazuju koliko radijana (u jednoj punoj rotaciji 2 ∙ 3,14 radijana) tijelo uspije da se okrene u jednoj sekundi.
Broj okretaja u minuti (rpm) je najčešća jedinica za označavanje brzina rotacije u tehnologiji. Osovine električnih i automobilskih motora proizvode tačno (samo pogledajte tahometar u vašem automobilu) obrtaje u minuti.
Broj okretaja u sekundi (rps) - koristi se rjeđe, prvenstveno u obrazovne svrhe.
Period cirkulacije
Ponekad je zgodnije koristiti drugi koncept za određivanje brzine rotacije. Periodom okretanja se obično naziva vrijeme za koje određeno tijelo napravi revoluciju od 360° (pun krug) oko centra rotacije. Formula za ugaonu brzinu, izražena kroz period okretanja, ima oblik:
Izražavanje brzine rotacije tijela periodom okretanja opravdano je u slučajevima kada se tijelo rotira relativno sporo. Vratimo se razmatranju kretanja naše planete oko zvijezde.
Formula za ugaonu brzinu vam omogućava da je izračunate, znajući period okretanja:
ω = 2P/31536000 = 0,000000199238499086111 rad/s.
Gledajući dobijeni rezultat, može se razumjeti zašto je, kada se razmatra rotacija nebeskih tijela, prikladnije koristiti period revolucije. Osoba ispred sebe vidi jasne brojeve i jasno zamišlja njihovu skalu.
Odnos ugaone i linearne brzine
U nekim problemima moraju se odrediti linearna i kutna brzina. Formula transformacije je jednostavna: linearna brzina tijela jednaka je proizvodu ugaone brzine i polumjera rotacije. Kao što je prikazano na slici.
Izraz također "radi" obrnutim redoslijedom; uz njegovu pomoć određuje se kutna brzina. Formula kroz linearnu brzinu dobija se jednostavnim aritmetičkim manipulacijama.
Enciklopedijski YouTube
-
1 / 5
U trodimenzionalnom prostoru vektor ugaone brzine jednak je po veličini uglu rotacije tačke oko centra rotacije u jedinici vremena:
ω = d φ d t , (\displaystyle \omega =(\frac (d\varphi)(dt)),)a je usmjerena duž osi rotacije prema pravilu gimleta, odnosno u smjeru u koji bi se uvijač ili vijak s desnim navojem uvrnuo ako bi se rotirao u tom smjeru. Još jedna mnemonika za pamćenje odnosa između smjera rotacije i smjera vektora ugaone brzine je da konvencionalnom posmatraču koji se nalazi na kraju vektora ugaone brzine koji izlazi iz centra rotacije, čini se da se sama rotacija događa protiv u smjeru kazaljke na satu.
Ugaona brzina je aksijalni vektor (pseudovektor). Kada se ose koordinatnog sistema reflektuju, komponente regularnog vektora (na primer, radijus vektor tačke) menjaju predznak. U isto vrijeme, komponente pseudovktora (posebno kutna brzina) s takvom transformacijom koordinata ostaju iste.
Tenzorsko predstavljanje
Jedinice
Jedinica ugaona brzina, usvojena u Međunarodnom sistemu jedinica (SI) iu GHS i MKGSS sistemima, - radijani u sekundi (ruska oznaka: rad/s, međunarodni: rad/s) . U tehnologiji se koriste i okretaji u sekundi, mnogo rjeđe - stepeni, minute, lučne sekunde u sekundi, stepeni u sekundi. Okreti u minuti se često koriste u tehnologiji - to dolazi iz vremena kada se brzina rotacije parnih strojeva male brzine određivala jednostavno okom, računajući broj okretaja po jedinici vremena.
Svojstva
Vektor trenutne brzine bilo koje tačke na apsolutno krutom tijelu koje rotira kutnom brzinom određen je formulom:
v → = [ ω → , r → ] , (\displaystyle (\vec (v))=[\ (\vec (\omega)),(\vec (r))\ ],)gdje je radijus vektor za datu tačku od početka koji se nalazi na osi rotacije tijela, a uglaste zagrade označavaju vektorski proizvod. Linearna brzina (koja se podudara sa veličinom vektora brzine) tačke na određenoj udaljenosti (radijus) r (\displaystyle r) iz ose rotacije može se izračunati na sljedeći način: v = r ω . (\displaystyle v=r\omega .) Ako se umjesto radijana koriste druge mjerne jedinice uglova, tada će se u posljednje dvije formule pojaviti množitelj koji nije jednak jedan.
- U slučaju ravninske rotacije, odnosno kada svi vektori brzina tačaka tijela uvijek leže u istoj ravni („ravan rotacije“), ugaona brzina tijela je uvijek okomita na ovu ravan, a zapravo - ako je ravan rotacije poznata - može se zamijeniti skalarom - projekcijom na os rotacije, odnosno na pravu liniju ortogonalnu ravni rotacije. U ovom slučaju, kinematika rotacije je znatno pojednostavljena. Međutim, u opštem slučaju, ugaona brzina može da promeni pravac tokom vremena u trodimenzionalnom prostoru, i tako pojednostavljena slika ne funkcioniše.
- Kretanje sa vektorom konstantne ugaone brzine naziva se jednoliko rotaciono kretanje (u ovom slučaju ugaono ubrzanje je nula). Ravnomjerna rotacija je poseban slučaj rotacije u ravnini.
- Derivat ugaone brzine u odnosu na vreme je ugaona ubrzanja.
- Kutna brzina (smatra se slobodnim vektorom) je ista u svim inercijalnim referentnim okvirima, razlikuju se po položaju referentne točke i brzini njenog kretanja, ali se kreću jednoliko pravolinijsko i translacijsko jedno u odnosu na drugo. Međutim, u ovim inercijalnim referentnim sistemima, položaj ose ili centra rotacije istog specifičnog tijela u istom trenutku vremena može se razlikovati (to jest, "tačka primjene" ugaone brzine će biti drugačija).
- U slučaju da se tačka kreće u trodimenzionalnom prostoru, možemo napisati izraz za ugaonu brzinu ove tačke u odnosu na odabrano ishodište koordinata:
- U slučaju ravnomernog rotacionog kretanja (tj. kretanja sa konstantnim vektorom ugaone brzine) apsolutno krutog tela, kartezijanske koordinate tačaka tela koje se rotira na ovaj način čine
Rotacijsko kretanje oko fiksne ose je još jedan poseban slučaj kretanja krutog tijela.
Rotacijsko kretanje krutog tijela oko fiksne ose naziva se takvo kretanje u kojem sve tačke tijela opisuju kružnice čiji su centri na istoj pravoj liniji, koja se naziva osom rotacije, dok su ravni kojima ti krugovi pripadaju okomite os rotacije (Sl.2.4).U tehnologiji se ova vrsta kretanja javlja vrlo često: na primjer, rotacija osovina motora i generatora, turbina i propelera aviona.
Ugaona brzina . Svaka tačka tela rotira oko ose koja prolazi kroz tačku O, kreće se u krug, a različite tačke putuju različitim putanjama tokom vremena. Dakle, , Dakle, modul brzine tačke A više od boda IN (Sl.2.5). Ali radijusi krugova se tokom vremena rotiraju pod istim uglom. Ugao - ugao između ose OH i radijus vektor, koji određuje položaj tačke A (vidi sliku 2.5).
Neka tijelo rotira jednoliko, tj. rotira pod jednakim uglovima u bilo kojim jednakim vremenskim intervalima. Brzina rotacije tela zavisi od ugla rotacije vektora radijusa, koji određuje položaj jedne od tačaka krutog tela za dato vreme; karakteriše se ugaona brzina . Na primjer, ako se jedno tijelo svake sekunde okreće za ugao, a drugo za ugao, onda kažemo da se prvo tijelo rotira 2 puta brže od drugog.
Ugaona brzina tijela pri ravnomjernoj rotaciji je veličina jednaka omjeru ugla rotacije tijela i vremenskog perioda tokom kojeg je došlo do ove rotacije.
Ugaonu brzinu ćemo označiti grčkim slovom ω (omega). Onda po definiciji
Ugaona brzina se izražava u radijanima po sekundi (rad/s).
Na primjer, ugaona brzina Zemljine rotacije oko svoje ose je 0,0000727 rad/s, a brzina brusnog diska je oko 140 rad/s 1 .
Ugaona brzina se može izraziti kroz brzina rotacije , tj. broj punih okretaja u 1s. Ako tijelo napravi (grčko slovo “nu”) okrete za 1s, tada je vrijeme jednog okreta jednako sekundama. Ovo vrijeme se zove period rotacije i označeno slovom T. Dakle, odnos između frekvencije i perioda rotacije može se predstaviti kao:Potpuna rotacija tijela odgovara kutu. Dakle, prema formuli (2.1)
Ako je za vrijeme ravnomjerne rotacije poznata ugaona brzina i u početnom trenutku ugao rotacije je , tada je ugao rotacije tijela tokom vremena t prema jednačini (2.1) je jednako:
Ako , onda , ili
.
Kutna brzina poprima pozitivne vrijednosti ako je ugao između vektora radijusa, koji određuje položaj jedne od tačaka krutog tijela, i ose OH raste, a negativan kada se smanjuje.
Dakle, položaj tačaka rotirajućeg tijela možemo opisati u bilo kojem trenutku.
Odnos linearne i ugaone brzine. Brzina tačke koja se kreće u krugu često se naziva linearna brzina , da bi se naglasila njegova razlika od ugaone brzine.
Već smo primijetili da kada se kruto tijelo rotira, njegove različite tačke imaju nejednake linearne brzine, ali je ugaona brzina ista za sve tačke.
Postoji odnos između linearne brzine bilo koje tačke rotirajućeg tela i njegove ugaone brzine. Hajde da ga instaliramo. Tačka koja leži na kružnici poluprečnika R, će preći razdaljinu u jednoj revoluciji. Pošto je vrijeme jedne revolucije tijela period T, tada se modul linearne brzine tačke može naći na sljedeći način:Kako linearna brzina ravnomjerno mijenja smjer, kružno kretanje se ne može nazvati ravnomjernim, ono je jednoliko ubrzano.
Ugaona brzina
Odaberimo tačku na kružnici 1 . Napravimo radijus. U jedinici vremena, tačka će se pomeriti do tačke 2 . U ovom slučaju, radijus opisuje ugao. Kutna brzina je numerički jednaka kutu rotacije polumjera u jedinici vremena.
Period i učestalost
Period rotacije T- ovo je vrijeme tokom kojeg tijelo napravi jednu revoluciju.
Frekvencija rotacije je broj obrtaja u sekundi.
Učestalost i period su međusobno povezani odnosom
Odnos sa ugaonom brzinom
Linearna brzina
Svaka tačka na kružnici kreće se određenom brzinom. Ova brzina se zove linearna. Pravac vektora linearne brzine uvek se poklapa sa tangentom na kružnicu. Na primjer, iskre ispod mašine za mljevenje se kreću, ponavljajući smjer trenutne brzine.
Zamislite tačku na kružnici koja čini jedan okret, vrijeme provedeno je period T. Putanja kojom prelazi tačka je obim.
Centripetalno ubrzanje
Kada se krećete u krugu, vektor ubrzanja je uvijek okomit na vektor brzine, usmjeren prema centru kružnice.
Koristeći prethodne formule, možemo izvesti sljedeće odnose
Tačke koje leže na istoj pravoj liniji koja izlazi iz središta kruga (na primjer, to mogu biti tačke koje leže na žbici točka) imat će iste ugaone brzine, period i frekvenciju. Odnosno, rotirati će se na isti način, ali s različitim linearnim brzinama. Što je tačka dalje od centra, to će se brže kretati.
Zakon sabiranja brzina vrijedi i za rotacijsko kretanje. Ako kretanje tijela ili referentnog okvira nije ravnomjerno, tada se zakon primjenjuje na trenutne brzine. Na primjer, brzina osobe koja hoda po rubu rotirajuće vrtuljke jednaka je vektorskom zbroju linearne brzine rotacije ruba vrtuljka i brzine osobe.
Zemlja učestvuje u dva glavna rotaciona kretanja: dnevnom (oko svoje ose) i orbitalnom (oko Sunca). Period rotacije Zemlje oko Sunca je 1 godina ili 365 dana. Zemlja rotira oko svoje ose od zapada prema istoku, period ove rotacije je 1 dan ili 24 sata. Geografska širina je ugao između ravni ekvatora i pravca od centra Zemlje do tačke na njenoj površini.
Prema drugom Newtonovom zakonu, uzrok svakog ubrzanja je sila. Ako tijelo koje se kreće doživljava centripetalno ubrzanje, tada priroda sila koje uzrokuju ovo ubrzanje može biti drugačija. Na primjer, ako se tijelo kreće u krug na užetu vezanom za njega, tada je sila koja djeluje elastična sila.
Ako tijelo koje leži na disku rotira s diskom oko svoje ose, tada je takva sila sila trenja. Ako sila zaustavi svoje djelovanje, tada će se tijelo nastaviti kretati pravolinijski
Razmotrimo kretanje tačke na kružnici od A do B. Linearna brzina je jednaka v A I v B respektivno. Ubrzanje je promjena brzine po jedinici vremena. Nađimo razliku između vektora.
