Definicija

Skalarna količina- količina koja se može okarakterisati brojem. Na primjer, dužina, površina, masa, temperatura itd.

Vector naziva se usmjereni segment $\overline(A B)$; tačka $A$ je početak, tačka $B$ je kraj vektora (slika 1).

Vektor se označava ili sa dva velika slova - njegov početak i kraj: $\overline(A B)$ ili jednim malim slovom: $\overline(a)$.

Definicija

Ako se početak i kraj vektora poklapaju, onda se takav vektor naziva nula. Najčešće se nulti vektor označava kao $\overline(0)$.

Vektori se nazivaju kolinearno, ako leže ili na istoj liniji ili na paralelnim linijama (slika 2).

Definicija

Pozivaju se dva kolinearna vektora $\overline(a)$ i $\overline(b)$ co-directed, ako im se pravci poklapaju: $\overline(a) \uparrow \uparrow \overline(b)$ (slika 3, a). Pozivaju se dva kolinearna vektora $\overline(a)$ i $\overline(b)$ suprotno usmerena, ako su im smjerovi suprotni: $\overline(a) \uparrow \downarrow \overline(b)$ (slika 3, b).

Definicija

Vektori se nazivaju komplanarno, ako su paralelne sa istom ravninom ili leže u istoj ravni (slika 4).

Dva vektora su uvijek komplanarna.

Definicija

dužina (modul) vektor $\overline(A B)$ je udaljenost između njegovog početka i kraja: $|\overline(A B)|$

Detaljna teorija o dužini vektora na linku.

Dužina nultog vektora je nula.

Definicija

Vektor čija je dužina jednaka jedan se zove jedinični vektor ili ortom.

Vektori se nazivaju jednaka, ako leže na jednoj ili paralelnoj liniji; pravci im se poklapaju i dužine su jednake.

Postojaće i problemi koje ćete sami riješiti, na koje možete vidjeti odgovore.

Vektorski koncept

Prije nego što naučite sve o vektorima i operacijama na njima, pripremite se za rješavanje jednostavnog problema. Postoji vektor vašeg preduzetništva i vektor vaših inovativnih sposobnosti. Vektor preduzetništva vodi vas do cilja 1, a vektor inovativnih sposobnosti vodi vas do cilja 2. Pravila igre su takva da se ne možete kretati u pravcu ova dva vektora odjednom i istovremeno ostvariti dva cilja. Vektori su u interakciji, ili, govoreći matematičkim jezikom, neka operacija se izvodi nad vektorima. Rezultat ove operacije je vektor "Rezultat" koji vas vodi do cilja 3.

Sada mi recite: rezultat koje operacije na vektorima „Preduzetništvo“ i „Inovativne sposobnosti“ je vektor „Rezultat“? Ako ne možete odmah reći, nemojte se obeshrabriti. Kako budete napredovali kroz ovu lekciju, moći ćete odgovoriti na ovo pitanje.

Kao što smo već vidjeli gore, vektor nužno dolazi iz određene tačke A u pravoj liniji do neke tačke B. Prema tome, svaki vektor ima ne samo numeričku vrijednost - dužinu, već i fizičku i geometrijsku vrijednost - smjer. Iz ovoga dolazi prva, najjednostavnija definicija vektora. Dakle, vektor je usmjereni segment koji dolazi iz tačke A do tačke B. Označava se kako slijedi: .


I za početak razne operacije sa vektorima , moramo se upoznati sa još jednom definicijom vektora.

Vektor je vrsta reprezentacije tačke do koje treba doći sa neke početne tačke. Na primjer, trodimenzionalni vektor se obično piše kao (x, y, z) . Vrlo jednostavno rečeno, ovi brojevi znače koliko daleko trebate hodati u tri različita smjera da biste došli do točke.

Neka je dat vektor. Gde x = 3 (desna ruka pokazuje udesno), y = 1 (lijeva ruka pokazuje naprijed) z = 5 (ispod tačke je stepenište koje vodi prema gore). Koristeći ove podatke, pronaći ćete tačku hodajući 3 metra u smjeru koji pokazuje vaša desna ruka, zatim 1 metar u smjeru koji vam pokazuje lijevom rukom, a zatim vas čekaju ljestve i, uzdižući se 5 metara, konačno ćete pronaći sebe na krajnjoj tački.

Svi ostali pojmovi su pojašnjenja prethodno datog objašnjenja, neophodna za različite operacije nad vektorima, odnosno rješavanje praktičnih problema. Prođimo kroz ove rigoroznije definicije, fokusirajući se na tipične vektorske probleme.

Fizički primjeri vektorske veličine mogu biti pomak materijalne tačke koja se kreće u prostoru, brzina i ubrzanje ove tačke, kao i sila koja na nju djeluje.

Geometrijski vektor predstavljen u dvodimenzionalnom i trodimenzionalnom prostoru u obliku usmjerenog segmenta. Ovo je segment koji ima početak i kraj.

Ako A- početak vektora, i B- njegov kraj, tada se vektor označava simbolom ili jednim malim slovom . Na slici je kraj vektora označen strelicom (slika 1)

Dužina(ili modul) geometrijskog vektora je dužina segmenta koji ga generiše

Dva vektora se nazivaju jednaka , ako se mogu kombinirati (ako se pravci poklapaju) paralelnim prijenosom, tj. ako su paralelne, usmjerene u istom smjeru i jednake su dužine.

U fizici se često razmatra zakačeni vektori, određeno mjestom primjene, dužinom i smjerom. Ako tačka primjene vektora nije bitna, onda se može prenijeti, zadržavajući svoju dužinu i smjer, u bilo koju tačku u prostoru. U ovom slučaju vektor se zove besplatno. Pristajemo samo na razmatranje slobodni vektori.

Linearne operacije nad geometrijskim vektorima

Množenje vektora brojem

Proizvod vektora po broju je vektor koji se dobiva iz vektora rastezanjem (at ) ili kompresijom (at ) faktorom, a smjer vektora ostaje isti ako , i mijenja se u suprotno ako . (sl. 2)

Iz definicije slijedi da se vektori i = uvijek nalaze na jednoj ili paralelnoj liniji. Takvi vektori se nazivaju kolinearno. (Također možemo reći da su ovi vektori paralelni, ali u vektorskoj algebri je uobičajeno da se kaže „kolinearno“.) Važi i obrnuto: ako su vektori kolinearni, onda su povezani relacijom

Prema tome, jednakost (1) izražava uslov kolinearnosti dva vektora.


Sabiranje i oduzimanje vektora

Prilikom dodavanja vektora to morate znati iznos vektora i naziva se vektor, čiji se početak poklapa sa početkom vektora, a kraj sa krajem vektora, pod uslovom da je početak vektora vezan za kraj vektora. (sl. 3)


Ova definicija se može distribuirati na bilo koji konačan broj vektora. Neka se daju u svemiru n slobodni vektori. Prilikom sabiranja više vektora, njihov zbir se uzima kao vektor zatvaranja, čiji se početak poklapa s početkom prvog vektora, a kraj sa krajem posljednjeg vektora. Odnosno, ako priložite početak vektora na kraj vektora, a početak vektora na kraj vektora, itd. i, konačno, do kraja vektora - početka vektora, tada je zbir ovih vektora završni vektor , čiji se početak poklapa s početkom prvog vektora, a kraj - sa krajem posljednjeg vektora. (sl. 4)

Pojmovi se nazivaju komponente vektora, a formulirano pravilo je pravilo poligona. Ovaj poligon možda nije ravan.

Kada se vektor pomnoži sa brojem -1, dobije se suprotan vektor. Vektori i imaju iste dužine i suprotne smjerove. Njihova suma daje nulti vektor, čija je dužina nula. Smjer nultog vektora nije definiran.

U vektorskoj algebri nema potrebe odvojeno razmatrati operaciju oduzimanja: oduzimanje vektora od vektora znači dodavanje vektoru suprotnog vektora, tj.

Primjer 1. Pojednostavite izraz:

.

,

to jest, vektori se mogu sabirati i množiti brojevima na isti način kao i polinomi (posebno, također problemi s pojednostavljivanjem izraza). Obično se javlja potreba za pojednostavljivanjem linearno sličnih izraza s vektorima prije izračunavanja proizvoda vektora.

Primjer 2. Vektori i služe kao dijagonale paralelograma ABCD (slika 4a). Izrazite kroz i vektori , , i , koji su strane ovog paralelograma.

Rješenje. Tačka presjeka dijagonala paralelograma prepolovi svaku dijagonalu. Dužine vektora potrebnih u iskazu problema nalazimo ili kao polovinu zbira vektora koji čine trokut sa traženim vektorima, ili kao polovinu razlika (u zavisnosti od smjera vektora koji služi kao dijagonala), ili, kao iu drugom slučaju, pola sume uzete sa predznakom minus. Rezultat su vektori potrebni u iskazu problema:

Postoje svi razlozi da vjerujemo da ste sada ispravno odgovorili na pitanje o vektorima „Preduzetništvo“ i „Inovativne sposobnosti“ na početku ove lekcije. Tačan odgovor: operacija sabiranja se izvodi na ovim vektorima.

Sami riješite vektorske probleme, a zatim pogledajte rješenja

Kako pronaći dužinu zbira vektora?

Ovaj problem zauzima posebno mjesto u operacijama s vektorima, jer uključuje korištenje trigonometrijskih svojstava. Recimo da ste naišli na zadatak poput sljedećeg:

Date su dužine vektora i dužina zbira ovih vektora. Pronađite dužinu razlike između ovih vektora.

Rješenja ovog i drugih sličnih problema i objašnjenja kako ih riješiti nalaze se u lekciji " Sabiranje vektora: dužina zbira vektora i kosinus teorema ".

A rješenje za takve probleme možete provjeriti na Online kalkulator "Nepoznata stranica trokuta (vektorski sabiranje i kosinus teorema)" .

Gdje su produkti vektora?

Vektorsko-vektorski proizvodi nisu linearne operacije i razmatraju se odvojeno. I imamo lekcije "Skalarni proizvod vektora" i "Vektorski i mješoviti produkti vektora".

Projekcija vektora na osu

Projekcija vektora na osu jednaka je proizvodu dužine projektovanog vektora i kosinusa ugla između vektora i ose:

Kao što je poznato, projekcija tačke A na pravoj liniji (ravan) je osnova okomice spuštena iz ove tačke na pravu (ravninu).


Neka je proizvoljan vektor (slika 5), ​​a i su projekcije njegovog porijekla (tačke A) i kraj (bodovi B) po osi l. (Za konstruisanje projekcije tačke A) povući pravu liniju kroz tačku A ravan okomita na pravu liniju. Presjek prave i ravni će odrediti potrebnu projekciju.

Vektorska komponenta na l osi naziva se takav vektor koji leži na ovoj osi, čiji se početak poklapa s projekcijom početka, a kraj s projekcijom kraja vektora.

Projekcija vektora na osu l pozvani broj

,

jednaka dužini vektora komponente na ovoj osi, uzeta sa znakom plus ako se smjer komponenti poklapa sa smjerom ose l, i sa znakom minus ako su ovi pravci suprotni.

Osnovna svojstva vektorskih projekcija na osu:

1. Projekcije jednakih vektora na istu osu jednake su jedna drugoj.

2. Kada se vektor pomnoži sa brojem, njegova projekcija se množi sa istim brojem.

3. Projekcija zbira vektora na bilo koju osu jednaka je zbiru projekcija sabiraka vektora na istu osu.

4. Projekcija vektora na osu jednaka je proizvodu dužine projektovanog vektora i kosinusa ugla između vektora i ose:

.

Rješenje. Projektujmo vektore na osu l kao što je definisano u gornjoj teorijskoj pozadini. Sa slike 5a je očigledno da je projekcija zbira vektora jednaka zbiru projekcija vektora. Izračunavamo ove projekcije:

Nalazimo konačnu projekciju zbira vektora:

Odnos između vektora i pravougaonog kartezijanskog koordinatnog sistema u prostoru

Upoznavanje pravougaoni Dekartov koordinatni sistem u prostoru odvijao se u odgovarajućoj lekciji, preporučljivo je da ga otvorite u novom prozoru.

U uređenom sistemu koordinatnih osa 0xyz osa Ox pozvao x-osa, osa 0g – y-osa, i os 0z – axis applicate.


Sa proizvoljnom tačkom M vektor povezivanja prostora

pozvao radijus vektor bodova M i projektuju ga na svaku od koordinatnih ose. Označimo veličine odgovarajućih projekcija:

Brojevi x, y, z su pozvani koordinate tačke M, odnosno apscisa, ordinate I primijeniti, i zapisuju se kao uređena tačka brojeva: M(x;y;z)(Sl. 6).

Zove se vektor jedinične dužine čiji se smjer poklapa sa smjerom ose jedinični vektor(ili ortom) osovine. Označimo sa

Prema tome, jedinični vektori koordinatnih osa Ox, Oy, Oz

Teorema. Bilo koji vektor se može proširiti u jedinične vektore koordinatnih osa:


(2)

Jednakost (2) naziva se ekspanzija vektora duž koordinatnih osa. Koeficijenti ove ekspanzije su projekcije vektora na koordinatne ose. Dakle, koeficijenti proširenja (2) vektora duž koordinatnih osa su koordinate vektora.

Nakon odabira određenog koordinatnog sistema u prostoru, vektor i trojka njegovih koordinata jednoznačno se određuju, pa se vektor može zapisati u obliku

Reprezentacije vektora u obliku (2) i (3) su identične.

Uslov kolinearnosti vektora u koordinatama

Kao što smo već primijetili, vektori se nazivaju kolinearni ako su povezani relacijom

Neka su vektori dati . Ovi vektori su kolinearni ako su koordinate vektora povezane relacijom

,

odnosno koordinate vektora su proporcionalne.

Primjer 6. Dati su vektori . Da li su ovi vektori kolinearni?

Rješenje. Hajde da saznamo odnos između koordinata ovih vektora:

.

Koordinate vektora su proporcionalne, dakle, vektori su kolinearni ili, što je isto, paralelni.

Kosinus dužine i smjera vektora

Zbog međusobne okomitosti koordinatnih osa, dužina vektora

jednaka dužini dijagonale pravokutnog paralelepipeda izgrađenog na vektorima

a izražava se jednakošću

(4)

Vektor je u potpunosti definisan navođenjem dve tačke (početna i krajnja), tako da se koordinate vektora mogu izraziti u terminima koordinata ovih tačaka.

Neka je u datom koordinatnom sistemu početak vektora u tački

a kraj je na mestu


Od jednakosti

Prati to

ili u koordinatnom obliku

dakle, vektorske koordinate jednake su razlikama između istih koordinata kraja i početka vektora . Formula (4) će u ovom slučaju poprimiti oblik

Određuje se smjer vektora kosinus smjera . Ovo su kosinusi uglova koje vektor pravi sa osama Ox, Oy I Oz. Označimo ove uglove shodno tome α , β I γ . Tada se kosinusi ovih uglova mogu pronaći pomoću formula

Kosinusi smjera vektora su također koordinate vektora tog vektora, a time i vektora vektora

.

S obzirom da je dužina jediničnog vektora jednaka jednoj jedinici, tj

,

dobijamo sljedeću jednakost za kosinuse smjera:

Primjer 7. Pronađite dužinu vektora x = (3; 0; 4).

Rješenje. Dužina vektora je

Primjer 8. Dati bodovi:

Saznajte da li je trokut konstruiran na ovim tačkama jednakokračan.

Rješenje. Pomoću formule dužine vektora (6) nalazimo dužine stranica i utvrđujemo da li među njima postoje dvije jednake:

Pronađene su dvije jednake stranice, stoga ne treba tražiti dužinu treće stranice, a dati trokut je jednakokraki.

Primjer 9. Pronađite dužinu vektora i njegove kosinuse smjera ako .

Rješenje. Vektorske koordinate su date:

.

Dužina vektora jednaka je kvadratnom korijenu zbira kvadrata vektorskih koordinata:

.

Pronalaženje kosinusa smjera:

Riješite sami vektorski problem, a zatim pogledajte rješenje

Operacije nad vektorima date u koordinatnom obliku

Neka su data dva vektora i, definisana njihovim projekcijama:

Naznačimo radnje na ovim vektorima.

Dužina vektora a → će biti označena sa → . Ova notacija je slična modulu broja, pa se dužina vektora naziva i modulom vektora.

Da bismo pronašli dužinu vektora na ravni iz njegovih koordinata, potrebno je razmotriti pravougaoni Dekartov koordinatni sistem O x y. Neka je u njemu specificiran neki vektor a → sa koordinatama a x; ay. Uvedemo formulu za pronalaženje dužine (modula) vektora a → kroz koordinate a x i a y.

Nacrtajmo vektor O A → = a → iz početka. Definirajmo odgovarajuće projekcije tačke A na koordinatne ose kao A x i A y. Sada razmotrite pravougaonik O A x A A y sa dijagonalom O A.

Iz Pitagorine teoreme slijedi jednakost O A 2 = O A x 2 + O A y 2 , odakle je O A = O A x 2 + O A y 2 . Iz već poznate definicije vektorskih koordinata u pravougaonom Dekartovom koordinatnom sistemu dobijamo da je O A x 2 = a x 2 i O A y 2 = a y 2 , a po konstrukciji je dužina O A jednaka dužini vektora O A → , što znači O A → = O A x 2 + O A y 2.

Iz ovoga proizlazi da formula za pronalaženje dužine vektora a → = a x ; a y ima odgovarajući oblik: a → = a x 2 + a y 2 .

Ako je vektor a → dat u obliku ekspanzije u koordinatnim vektorima a → = a x i → + a y j →, tada se njegova dužina može izračunati pomoću iste formule a → = a x 2 + a y 2, u ovom slučaju koeficijenti a x a y su kao koordinate vektora a → u datom koordinatnom sistemu.

Primjer 1

Izračunajte dužinu vektora a → = 7 ; e, specificirano u pravougaonom koordinatnom sistemu.

Rješenje

Da bismo pronašli dužinu vektora, koristićemo formulu za pronalaženje dužine vektora iz koordinata a → = a x 2 + a y 2: a → = 7 2 + e 2 = 49 + e

odgovor: a → = 49 + e.

Formula za pronalaženje dužine vektora a → = a x ; a y; a z iz njegovih koordinata u kartezijanskom koordinatnom sistemu Oxyz u prostoru, izvodi se slično formuli za slučaj na ravni (vidi sliku ispod)

U ovom slučaju, O A 2 = O A x 2 + O A y 2 + O A z 2 (pošto je OA dijagonala pravougaonog paralelepipeda), dakle O A = O A x 2 + O A y 2 + O A z 2 . Iz definicije vektorskih koordinata možemo napisati sljedeće jednakosti O A x = a x ; O A y = a y ; O A z = a z ; , a dužina OA jednaka je dužini vektora koji tražimo, dakle, O A → = O A x 2 + O A y 2 + O A z 2 .

Iz toga slijedi da je dužina vektora a → = a x ; a y; a z je jednako a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 .

Primjer 2

Izračunajte dužinu vektora a → = 4 · i → - 3 · j → + 5 · k → , gdje su i → , j → , k → jedinični vektori pravokutnog koordinatnog sistema.

Rješenje

Zadana je vektorska dekompozicija a → = 4 · i → - 3 · j → + 5 · k →, koordinate su a → = 4, - 3, 5. Koristeći gornju formulu dobijamo a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 = 4 2 + (- 3) 2 + 5 2 = 5 2.

odgovor: a → = 5 2 .

Dužina vektora kroz koordinate njegove početne i krajnje tačke

Formule su izvedene iznad koje vam omogućavaju da pronađete dužinu vektora iz njegovih koordinata. Razmatrali smo slučajeve na ravni i u trodimenzionalnom prostoru. Koristimo ih da pronađemo koordinate vektora iz koordinata njegove početne i krajnje tačke.

Dakle, date su tačke sa datim koordinatama A (a x ; a y) i B (b x ; b y), pa vektor A B → ima koordinate (b x - a x ; b y - a y) što znači da se njegova dužina može odrediti formulom: A B → = ( ​​b x - a x) 2 + (b y - a y) 2

A ako su tačke sa datim koordinatama A (a x ; a y ; a z) i B (b x ; b y ; b z) date u trodimenzionalnom prostoru, tada se dužina vektora A B → može izračunati pomoću formule

A B → = (b x - a x) 2 + (b y - a y) 2 + (b z - a z) 2

Primjer 3

Odredite dužinu vektora A B → ako je u pravougaonom koordinatnom sistemu A 1, 3, B - 3, 1.

Rješenje

Koristeći formulu za pronalaženje dužine vektora iz koordinata početne i krajnje tačke na ravni, dobijamo A B → = (b x - a x) 2 + (b y - a y) 2: A B → = (- 3 - 1 ) 2 + (1 - 3) 2 = 20 - 2 3 .

Drugo rješenje uključuje primjenu ovih formula naizmjence: A B → = (- 3 - 1 ; 1 - 3) = (- 4 ; 1 - 3) ; A B → = (- 4) 2 + (1 - 3) 2 = 20 - 2 3 . -

odgovor: A B → = 20 - 2 3 .

Primjer 4

Odrediti pri kojim vrijednostima je dužina vektora A B → jednaka 30 ako je A (0, 1, 2); B (5, 2, λ 2) .

Rješenje

Prvo, zapišimo dužinu vektora A B → koristeći formulu: A B → = (b x - a x) 2 + (b y - a y) 2 + (b z - a z) 2 = (5 - 0) 2 + (2 - 1) 2 + (λ 2 - 2) 2 = 26 + (λ 2 - 2) 2

Zatim izjednačimo rezultirajući izraz sa 30, odavde nalazimo traženi λ:

26 + (λ 2 - 2) 2 = 30 26 + (λ 2 - 2) 2 = 30 (λ 2 - 2) 2 = 4 λ 2 - 2 = 2 i λ 2 - 2 = - 2 λ 1 = - 2 , λ 2 = 2, λ 3 = 0.

odgovor: λ 1 = - 2, λ 2 = 2, λ 3 = 0.

Određivanje dužine vektora pomoću kosinusne teoreme

Nažalost, u problemima koordinate vektora nisu uvijek poznate, pa ćemo razmotriti druge načine za pronalaženje dužine vektora.

Neka su date dužine dva vektora A B → , A C → i ugao između njih (ili kosinus ugla) i treba da nađete dužinu vektora B C → ili C B → . U ovom slučaju treba koristiti kosinus teoremu u trouglu △ A B C i izračunati dužinu stranice B C, koja je jednaka željenoj dužini vektora.

Razmotrimo ovaj slučaj koristeći sljedeći primjer.

Primjer 5

Dužine vektora A B → i A C → su 3 i 7, a ugao između njih je π 3. Izračunajte dužinu vektora B C → .

Rješenje

Dužina vektora B C → u ovom slučaju jednaka je dužini stranice B C trougla △ A B C . Dužine stranica A B i A C trokuta poznate su iz uslova (jednake su dužinama odgovarajućih vektora), poznat je i ugao između njih, pa možemo koristiti kosinus teorem: B C 2 = A B 2 + A C 2 - 2 A B A C cos ∠ (A B, → A C →) = 3 2 + 7 2 - 2 · 3 · 7 · cos π 3 = 37 ⇒ B C = 37 Dakle, B C → = 37 .

odgovor: B C → = 37 .

Dakle, da biste pronašli dužinu vektora iz koordinata, postoje sljedeće formule a → = a x 2 + a y 2 ili a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 , iz koordinata početne i krajnje točke vektora A B → = (b x - a x) 2 + ( b y - a y) 2 ili A B → = (b x - a x) 2 + (b y - a y) 2 + (b z - a z) 2, u nekim slučajevima treba koristiti kosinusnu teoremu .

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Oxy

O A OA.

, gdje OA .

dakle, .

Pogledajmo primjer.

Primjer.

Rješenje.

:

odgovor:

Oxyz u svemiru.

A OAće biti dijagonala.

U ovom slučaju (od OA OA .

dakle, dužina vektora .

Primjer.

Izračunajte dužinu vektora

Rješenje.

, dakle,

odgovor:

Prava linija u avionu

Opšta jednačina

Ax + By + C ( > 0).

Vector = (A; B) je normalni vektor.

U vektorskom obliku: + C = 0, gdje je radijus vektor proizvoljne tačke na pravoj (slika 4.11).

Posebni slučajevi:



1) Po + C = 0- prava paralelna sa osom Ox;

2) Ax + C = 0- prava paralelna sa osom Oy;

3) Ax + By = 0- prava prolazi kroz ishodište;

4) y = 0- osa Ox;

5) x = 0- osa Oy.

Jednačina prave u segmentima

Gdje a, b- vrijednosti segmenata odsječenih pravom linijom na koordinatnim osa.

Normalna jednadžba prave(Sl. 4.11)

gdje je ugao formiran normalno na pravu i osu Ox; str- udaljenost od početka do prave linije.

Svođenje opšte jednačine prave linije na normalan oblik:

Ovdje je normalizirani faktor linije; znak se bira suprotno od znaka C, ako i proizvoljno, ako C=0.

Pronalaženje dužine vektora iz koordinata.

Dužinu vektora ćemo označiti sa . Zbog ove notacije, dužina vektora se često naziva modulom vektora.

Počnimo od pronalaženja dužine vektora na ravni pomoću koordinata.

Hajde da uvedemo pravougaoni Dekartov koordinatni sistem na ravni Oxy. Neka je vektor specificiran u njemu i ima koordinate . Dobijamo formulu koja nam omogućava da pronađemo dužinu vektora kroz koordinate i .

Odložimo od početka koordinata (od tačke O) vektor . Označimo projekcije tačke A na koordinatnim osa kao i respektivno i razmotrimo pravougaonik sa dijagonalom OA.

Na osnovu Pitagorine teoreme, jednakost , gdje . Iz definicije vektorskih koordinata u pravougaonom koordinatnom sistemu možemo reći da i , a konstrukcijom dužina OA jednaka dužini vektora, dakle, .

dakle, formula za pronalaženje dužine vektora prema svojim koordinatama na ravni ima oblik .

Ako je vektor predstavljen kao dekompozicija u koordinatnim vektorima , tada se njegova dužina izračunava po istoj formuli , budući da su u ovom slučaju koeficijenti i koordinate vektora u datom koordinatnom sistemu.

Pogledajmo primjer.

Primjer.

Pronađite dužinu vektora datu u Dekartovom koordinatnom sistemu.

Rješenje.

Odmah primjenjujemo formulu da pronađemo dužinu vektora iz koordinata :



odgovor:

Sada dobijamo formulu za pronalaženje dužine vektora po svojim koordinatama u pravougaonom koordinatnom sistemu Oxyz u svemiru.

Nacrtajmo vektor iz ishodišta i označimo projekcije tačke A na koordinatnoj osi kao i . Tada možemo konstruirati pravokutni paralelepiped na stranama, u kojem OAće biti dijagonala.

U ovom slučaju (od OA– dijagonala pravougaonog paralelepipeda), odakle . Određivanje koordinata vektora nam omogućava da zapišemo jednakosti i dužine OA jednaka željenoj dužini vektora, dakle, .

dakle, dužina vektora u prostoru jednak je kvadratnom korijenu zbira kvadrata njegovih koordinata, odnosno pronađeno po formuli .

Primjer.

Izračunajte dužinu vektora , gdje su jedinični vektori pravokutnog koordinatnog sistema.

Rješenje.

Zadata nam je vektorska dekompozicija na koordinatne vektore oblika , dakle, . Zatim, koristeći formulu za pronalaženje dužine vektora iz koordinata, imamo .

Prije nego što pređemo na temu članka, podsjetimo se osnovnih pojmova.

Definicija 1

Vector– pravolinijski segment karakteriziran numeričkom vrijednošću i smjerom. Vektor je označen malim latiničnim slovom sa strelicom na vrhu. Ako postoje određene granične tačke, oznaka vektora izgleda kao dva velika latinična slova (označavaju granice vektora) takođe sa strelicom na vrhu.

Definicija 2

Nulti vektor– bilo koja tačka na ravni, označena kao nula sa strelicom na vrhu.

Definicija 3

Dužina vektora– vrijednost jednaka ili veća od nule koja određuje dužinu segmenta koji čini vektor.

Definicija 4

Kolinearni vektori– leže na jednoj ili na paralelnoj liniji. Vektori koji ne ispunjavaju ovaj uslov nazivaju se nekolinearni.

Definicija 5

Ulaz: vektori a → I b →. Da biste izvršili operaciju sabiranja na njima, potrebno je nacrtati vektor iz proizvoljne nedefinirane tačke A B →, jednako vektoru a →; iz rezultirajuće tačke nedefinisano – vektor B C →, jednako vektoru b →. Povezivanjem tačaka nedefinisane i C dobijamo segment (vektor) A C →, što će biti zbir originalnih podataka. U suprotnom, poziva se opisana šema sabiranja vektora pravilo trougla.

Geometrijski, vektorsko zbrajanje izgleda ovako:

Za nekolinearne vektore:

Za kolinearne (ko-smjerne ili suprotne) vektore:

Uzimajući za osnovu gore opisanu shemu, dobijamo priliku da izvršimo operaciju dodavanja vektora u količini većoj od 2: dodajući svaki sljedeći vektor redom.

Definicija 6

Ulaz: vektori a → , b → , c →, d → . Iz proizvoljne tačke A na ravni potrebno je iscrtati segment (vektor) jednak vektoru a →; tada se sa kraja rezultujućeg vektora odbacuje vektor jednak vektoru b →; zatim se naredni vektori postavljaju po istom principu. Krajnja tačka posljednjeg odgođenog vektora bit će tačka B, a rezultujući segment (vektor) A B →– zbir svih početnih podataka. Naziva se i opisana šema za dodavanje nekoliko vektora pravilo poligona .

Geometrijski to izgleda ovako:

Definicija 7

Zasebna šema djelovanja za vektorsko oduzimanje ne, jer u suštini vektorska razlika a → I b → je zbir vektora a → i - b → .

Definicija 8

Da biste izvršili radnju množenja vektora određenim brojem k, moraju se uzeti u obzir sljedeća pravila:
- ako je k > 1, onda će ovaj broj dovesti do toga da se vektor rasteže k puta;
- ako je 0< k < 1 , то это число приведет к сжатию вектора в 1 k puta;
- ako k< 0 , то это число приведет к смене направления вектора при одновременном выполнении одного из первых двух правил;
- ako je k = 1, vektor ostaje isti;
- ako je jedan od faktora nulti vektor ili broj jednak nuli, rezultat množenja će biti nulti vektor.

Početni podaci:
1) vektor a → i broj k = 2;
2) vektor b → i broj k = - 1 3 .

Geometrijski, rezultat množenja u skladu s gornjim pravilima izgledat će ovako:

Gore opisane operacije nad vektorima imaju svojstva, od kojih su neka očigledna, dok se druga mogu geometrijski opravdati.

Ulaz: vektori a → , b → , c → i proizvoljnih realnih brojeva λ i μ.


Svojstva komutativnosti i asocijativnosti omogućavaju dodavanje vektora bilo kojim redoslijedom.

Navedena svojstva operacija omogućuju vam da izvršite potrebne transformacije vektorsko-numeričkih izraza na sličan način kao i uobičajeni numerički izrazi. Pogledajmo ovo na primjeru.

Primjer 1

zadatak: pojednostaviti izraz a → - 2 · (b → + 3 · a →)
Rješenje
- koristeći drugo svojstvo raspodjele, dobijamo: a → - 2 · (b → + 3 · a →) = a → - 2 · b → - 2 · (3 · a →)
- koristimo asocijativno svojstvo množenja, izraz će imati sljedeći oblik: a → - 2 · b → - 2 · (3 · a →) = a → - 2 · b → - (2 · 3) · a → = a → - 2 · b → - 6 a →
- koristeći svojstvo komutativnosti, mijenjamo pojmove: a → - 2 · b → - 6 · a → = a → - 6 · a → - 2 · b →
- tada koristeći svojstvo prve raspodjele dobijamo: a → - 6 · a → - 2 · b → = (1 - 6) · a → - 2 · b → = - 5 · a → - 2 · b → kratku notaciju rješenja će izgledati ovako: a → - 2 · (b → + 3 · a →) = a → - 2 · b → - 2 · 3 · a → = 5 · a → - 2 · b →
odgovor: a → - 2 · (b → + 3 · a →) = - 5 · a → - 2 · b →

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter