Poznavajući jednu od nogu u pravokutnom trokutu, možete pronaći drugu nogu i hipotenuzu koristeći trigonometrijske omjere - sinus i tangent poznatog ugla. Budući da je omjer kraka nasuprot kuta prema hipotenuzi jednak sinusu ovog kuta, stoga, da biste pronašli hipotenuzu, trebate podijeliti katet sa sinusom ugla. a/c=sinα c=a/sinα
Drugi krak se može naći iz tangente poznatog ugla, kao omjer poznatog kraka i tangente. a/b=tanα b=a/tanα
Da biste izračunali nepoznati ugao u pravokutnom trokutu, potrebno je da oduzmete vrijednost ugla α od 90 stepeni. β=90°-α
Perimetar i površina pravougaonog trougla kroz krak i ugao nasuprot njemu može se izraziti zamjenom prethodno dobijenih izraza za drugi krak i hipotenuzu u formule. P=a+b+c=a+a/tanα +a/sinα =a tanα sinα+a sinα+a tanα S=ab/2=a^2/( 2 tanα)
Visinu možete izračunati i kroz trigonometrijske omjere, ali u unutrašnjem pravokutnom trokutu sa stranom a, koju on formira. Da biste to učinili, trebate pomnožiti stranu a, kao hipotenuzu takvog trokuta, sa sinusom ugla β ili kosinusom α, jer su prema trigonometrijskim identitetima oni ekvivalentni. (Sl. 79.2) h=a cosα
Medijan hipotenuze jednak je polovini hipotenuze ili poznatog kraka a podijeljen sa dva sinusa α. Da bismo pronašli medijane kateta, svodimo formule na odgovarajući oblik za poznate stranice i uglove. (Sl.79.3) m_s=c/2=a/(2 sinα) m_b=√(2a^2+2c^2-b^2)/2=√(2a^2+2a^2+2b^) 2-b^2)/2=√(4a^2+b^2)/2=√(4a^2+a^2/tan^2α)/2=(a√(4 tan^2) α+1))/(2 tanα) m_a=√(2c^2+2b^2-a^2)/2=√(2a^2+2b^2+2b^2-a^2)/ 2=√(4b^2+a^2)/2=√(4b^2+c^2-b^2)/2=√(3 a^2/tan^2α +a^2/sin ^2α)/2=√((3a^2 sin^2α+a^2 tan^2α)/(tan^2α sin^2α))/2=(a√( 3 sin^2α+tan^2α))/(2 tanα sinα)
Pošto je simetrala pravi ugao u trokutu je proizvod dviju stranica i korijena dva, podijeljen zbirom ovih stranica, a zatim zamjenom jedne od kateta omjerom poznate noge i tangente, dobijemo sljedeći izraz. Slično, zamjenom omjera u drugu i treću formulu, možete izračunati simetrale uglova α i β. (Sl.79.4) l_s=(a a/tanα √2)/(a+a/tanα)=(a^2 √2)/(a tanα+a)=(a√2)/ (tanα+1) l_a=√(bc(a+b+c)(b+c-a))/(b+c)=√(bc((b+c)^2-a^2))/ (b+c)=√(bc(b^2+2bc+c^2-a^2))/(b+c)=√(bc(b^2+2bc+b^2))/(b +c)=√(bc(2b^2+2bc))/(b+c)=(b√(2c(b+c)))/(b+c)=(a/tanα √(2c) (a/tanα +c)))/(a/tanα +c)=(a√(2c(a/tanα +c)))/(a+c tanα) l_b=√ (ac(a+b+c)(a+c-b))/(a+c)=(a√(2c(a+c)))/(a+c)=(a√(2c(a+a) /sinα)))/(a+a/sinα)=(a sinα √(2c(a+a/sinα)))/(a sinα+a)
Srednja linija ide paralelno s jednom od stranica trokuta, tvoreći drugi sličan pravokutni trokut sa istim uglovima, u kojem su sve strane upola manje od originalne. Na osnovu toga, srednje linije se mogu pronaći pomoću sljedećih formula, znajući samo krak i ugao nasuprot njemu. (Sl.79.7) M_a=a/2 M_b=b/2=a/(2 tanα) M_c=c/2=a/(2 sinα)
Poluprečnik upisane kružnice jednak je razlici između kateta i hipotenuze podijeljenoj sa dva, a da biste pronašli polumjer upisane kružnice, potrebno je hipotenuzu podijeliti sa dva. Drugi krak i hipotenuzu zamjenjujemo omjerom kraka a prema sinusu i tangentu. (Sl. 79.5, 79.6) r=(a+b-c)/2=(a+a/tanα -a/sinα)/2=(a tanα sinα+a sinα-a tanα)/(2 tanα sinα) R=c/2=a/2sinα
Šta je sinus, kosinus, tangenta, kotangens ugla pomoći će vam da shvatite pravougli trokut.
Kako se zovu stranice pravouglog trougla? Tako je, hipotenuza i kateta: hipotenuza je strana koja leži nasuprot pravog kuta (u našem primjeru to je stranica \(AC\)); krakovi su dvije preostale stranice \(AB\) i \(BC\) (one koje su susjedne pravom kutu), a ako uzmemo u obzir krakove u odnosu na ugao \(BC\), onda je krak \(AB\) susjedna noga, a noga \(BC\) je suprotna. Dakle, hajde da odgovorimo na pitanje: šta su sinus, kosinus, tangent i kotangens ugla?
Sinus ugla– ovo je omjer suprotnog (udaljenog) kraka i hipotenuze.
U našem trouglu:
\[ \sin \beta =\dfrac(BC)(AC) \]
Kosinus ugla– ovo je omjer susjednog (bliskog) kraka i hipotenuze.
U našem trouglu:
\[ \cos \beta =\dfrac(AB)(AC) \]
Tangenta ugla– ovo je odnos suprotne (udaljene) strane prema susednoj (bliskoj).
U našem trouglu:
\[ tg\beta =\dfrac(BC)(AB) \]
Kotangens ugla– ovo je odnos susedne (bliske) noge i suprotne (daleke).
U našem trouglu:
\[ ctg\beta =\dfrac(AB)(BC) \]
Ove definicije su neophodne zapamti! Da biste lakše zapamtili koju nogu podijeliti na šta, morate to jasno razumjeti tangenta I kotangens samo noge sjede, a hipotenuza se pojavljuje samo u sinus I kosinus. A onda možete smisliti lanac asocijacija. Na primjer, ovaj:
Kosinus→dodir→dodir→susedni;
Kotangens→dodir→dodir→susedni.
Prije svega, morate zapamtiti da sinus, kosinus, tangenta i kotangens, jer omjeri strana trokuta ne ovise o dužinama ovih stranica (pod istim kutom). Ne vjerujem? Zatim se uvjerite gledajući sliku:
Razmotrimo, na primjer, kosinus ugla \(\beta \) . Po definiciji, iz trougla \(ABC\): \(\cos \beta =\dfrac(AB)(AC)=\dfrac(4)(6)=\dfrac(2)(3) \), ali možemo izračunati kosinus ugla \(\beta \) iz trokuta \(AHI \) : \(\cos \beta =\dfrac(AH)(AI)=\dfrac(6)(9)=\dfrac(2)(3) \). Vidite, dužine stranica su različite, ali vrijednost kosinusa jednog ugla je ista. Dakle, vrijednosti sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa ovise isključivo o veličini ugla.
Ako razumijete definicije, samo naprijed i konsolidirajte ih!
Za trokut \(ABC \) prikazan na slici ispod, nalazimo \(\sin \ \alpha ,\ \cos \ \alpha ,\ tg\ \alpha ,\ ctg\ \alpha \).
\(\begin(array)(l)\sin \ \alpha =\dfrac(4)(5)=0.8\\\cos \ \alpha =\dfrac(3)(5)=0.6\\ tg\ \alpha =\dfrac(4)(3)\\ctg\ \alpha =\dfrac(3)(4)=0,75\end(niz) \)
Pa, jesi li dobio? Zatim pokušajte sami: izračunajte isto za ugao \(\beta \) .
odgovori: \(\sin \ \beta =0,6;\ \cos \ \beta =0,8;\ tg\ \beta =0,75;\ ctg\ \beta =\dfrac(4)(3) \).
Jedinični (trigonometrijski) krug
Razumijevajući koncepte stupnjeva i radijana, razmatrali smo krug s polumjerom jednakim \(1\) . Takav krug se zove single. Bit će vrlo korisno kada proučavate trigonometriju. Stoga, pogledajmo to malo detaljnije.
Kao što vidite, ovaj krug je konstruisan u kartezijanskom koordinatnom sistemu. Polumjer kružnice jednak je jedan, dok središte kružnice leži na početku koordinata, početni položaj vektora radijusa je fiksiran duž pozitivnog smjera ose \(x\) (u našem primjeru, ovo je poluprečnik \(AB\)).
Svaka tačka na kružnici odgovara dva broja: koordinata duž ose \(x\) i koordinata duž ose \(y\). Koji su to koordinatni brojevi? I općenito, kakve veze oni imaju sa temom o kojoj je riječ? Da bismo to učinili, moramo se sjetiti razmatranog pravokutnog trokuta. Na gornjoj slici možete vidjeti dva cijela pravokutna trougla. Razmotrimo trougao \(ACG\) . Pravougaona je jer je \(CG\) okomita na osu \(x\).
Šta je \(\cos \ \alpha \) iz trougla \(ACG \)? Tako je \(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC) \). Osim toga, znamo da je \(AC\) polumjer jedinični krug, što znači \(AC=1\) . Zamijenimo ovu vrijednost u našu formulu za kosinus. Evo šta se dešava:
\(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC)=\dfrac(AG)(1)=AG \).
Koliko je jednak \(\sin \ \alpha \) iz trougla \(ACG \)? pa naravno \(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)\)! Zamijenite vrijednost radijusa \(AC\) u ovu formulu i dobijete:
\(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)=\dfrac(CG)(1)=CG \)
Dakle, možete li reći koje koordinate ima tačka \(C\) koja pripada kružnici? Pa, nema šanse? Šta ako shvatite da su \(\cos \ \alpha \) i \(\sin \alpha \) samo brojevi? Kojoj koordinati odgovara \(\cos \alpha \)? Pa, naravno, koordinata \(x\)! I kojoj koordinati odgovara \(\sin \alpha \)? Tako je, koordinata \(y\)! Dakle, poenta \(C(x;y)=C(\cos \alpha ;\sin \alpha) \).
Čemu su onda jednaki \(tg \alpha \) i \(ctg \alpha \)? Tako je, upotrijebimo odgovarajuće definicije tangente i kotangensa i dobijemo to \(tg \alpha =\dfrac(\sin \alpha )(\cos \alpha )=\dfrac(y)(x) \), A \(ctg \alpha =\dfrac(\cos \alpha )(\sin \alpha )=\dfrac(x)(y) \).
Šta ako je ugao veći? Na primjer, kao na ovoj slici:
Šta se promenilo u u ovom primjeru? Hajde da to shvatimo. Da bismo to učinili, okrenimo se ponovo pravokutnom trokutu. Razmotrimo pravougaoni trougao \(((A)_(1))((C)_(1))G \) : ugao (kao susedni ugao \(\beta \) ). Kolika je vrijednost sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa za ugao \(((C)_(1))((A)_(1))G=180()^\circ -\beta \ \)? Tako je, pridržavamo se odgovarajućih definicija trigonometrijskih funkcija:
\(\begin(array)(l)\sin \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(( (A)_(1))((C)_(1)))=\dfrac(((C)_(1))G)(1)=((C)_(1))G=y; \\\cos \ugao ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((A)_(1)) ((C)_(1)))=\dfrac(((A)_(1))G)(1)=((A)_(1))G=x;\\tg\ugao ((C )_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(((A)_(1))G)=\dfrac(y)( x);\\ctg\ugao ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((C)_(1 ))G)=\dfrac(x)(y)\end(niz) \)
Pa, kao što vidite, vrijednost sinusa ugla i dalje odgovara koordinati \(y\) ; vrijednost kosinusa ugla - koordinata \(x\) ; i vrijednosti tangenta i kotangensa na odgovarajuće omjere. Dakle, ovi odnosi se primjenjuju na bilo koju rotaciju radijus vektora.
Već je spomenuto da je početni položaj radijus vektora duž pozitivnog smjera ose \(x\). Do sada smo ovaj vektor rotirali u smjeru suprotnom od kazaljke na satu, ali šta će se dogoditi ako ga okrenemo u smjeru kazaljke na satu? Ništa neobično, dobit ćete i ugao određene vrijednosti, ali samo on će biti negativan. Dakle, kada se radijus vektor okrene suprotno od kazaljke na satu, dobijamo pozitivni uglovi, a pri rotaciji u smjeru kazaljke na satu – negativan.
Dakle, znamo da je cijela revolucija radijus vektora oko kružnice \(360()^\circ \) ili \(2\pi \) . Da li je moguće rotirati radijus vektor za \(390()^\circ \) ili za \(-1140()^\circ \)? Pa, naravno da možete! u prvom slučaju, \(390()^\circ =360()^\circ +30()^\circ \), dakle, radijus vektor će napraviti jednu punu revoluciju i zaustaviti se na poziciji \(30()^\circ \) ili \(\dfrac(\pi )(6) \) .
u drugom slučaju, \(-1140()^\circ =-360()^\circ \cdot 3-60()^\circ \), to jest, radijus vektor će napraviti tri puna okretaja i zaustaviti se na poziciji \(-60()^\circ \) ili \(-\dfrac(\pi )(3) \) .
Dakle, iz gornjih primjera možemo zaključiti da se uglovi koji se razlikuju za \(360()^\circ \cdot m \) ili \(2\pi \cdot m \) (gdje je \(m \) bilo koji cijeli broj), odgovaraju istoj poziciji radijus vektora.
Slika ispod prikazuje ugao \(\beta =-60()^\circ \) . Ista slika odgovara uglu \(-420()^\circ ,-780()^\circ ,\ 300()^\circ ,660()^\circ \) itd. Ova lista se može nastaviti u nedogled. Svi ovi uglovi se mogu napisati općom formulom \(\beta +360()^\circ \cdot m\) ili \(\beta +2\pi \cdot m \) (gdje je \(m \) bilo koji cijeli broj)
\(\begin(array)(l)-420()^\circ =-60+360\cdot (-1);\\-780()^\circ =-60+360\cdot (-2); \\300()^\circ =-60+360\cdot 1;\\660()^\circ =-60+360\cdot 2.\end(niz) \)
Sada, znajući definicije osnovnih trigonometrijskih funkcija i koristeći jedinični krug, pokušajte odgovoriti koje su vrijednosti:
\(\begin(array)(l)\sin \ 90()^\circ =?\\\cos \ 90()^\circ =?\\\text(tg)\ 90()^\circ =? \\\text(ctg)\ 90()^\circ =?\\\sin \ 180()^\circ =\sin \ \pi =?\\\cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =?\\\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =?\\\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =?\\\sin \ 270()^\circ =?\\\cos \ 270()^\circ =?\\\text(tg)\ 270()^\circ =?\\\text (ctg)\ 270()^\circ =?\\\sin \ 360()^\circ =?\\\cos \ 360()^\circ =?\\\text(tg)\ 360()^ \circ =?\\\text(ctg)\ 360()^\circ =?\\\sin \ 450()^\circ =?\\\cos \ 450()^\circ =?\\\text (tg)\ 450()^\circ =?\\\text(ctg)\ 450()^\circ =?\end(niz) \)
Evo jediničnog kruga koji će vam pomoći:
Imate poteškoća? Onda hajde da shvatimo. Dakle, znamo da:
\(\begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos\alpha =x;\\tg\alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg\alpha =\dfrac(x )(y).\end(niz)\)
Odavde određujemo koordinate tačaka koje odgovaraju određenim mjerama uglova. Pa, počnimo redom: ugao unutra \(90()^\circ =\dfrac(\pi )(2) \) odgovara tački sa koordinatama \(\left(0;1 \right) \) , dakle:
\(\sin 90()^\circ =y=1 \) ;
\(\cos 90()^\circ =x=0 \) ;
\(\text(tg)\ 90()^\circ =\dfrac(y)(x)=\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 90()^\circ \)- ne postoji;
\(\text(ctg)\ 90()^\circ =\dfrac(x)(y)=\dfrac(0)(1)=0 \).
Dalje, pridržavajući se iste logike, saznajemo da su uglovi u \(180()^\circ ,\ 270()^\circ ,\ 360()^\circ ,\ 450()^\circ (=360()^\circ +90()^\circ)\ \ ) odgovaraju tačkama sa koordinatama \(\left(-1;0 \right),\text( )\left(0;-1 \right),\text( )\left(1;0 \right),\text( )\left(0 ;1 \desno) \), odnosno. Znajući to, lako je odrediti vrijednosti trigonometrijskih funkcija u odgovarajućim točkama. Prvo pokušajte sami, a zatim provjerite odgovore.
odgovori:
\(\displaystyle \sin \180()^\circ =\sin \ \pi =0 \)
\(\displaystyle \cos \180()^\circ =\cos \ \pi =-1\)
\(\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =\dfrac(0)(-1)=0 \)
\(\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =\dfrac(-1)(0)\Rightarrow \text(ctg)\ \pi \)- ne postoji
\(\sin \270()^\circ =-1\)
\(\cos \ 270()^\circ =0 \)
\(\text(tg)\ 270()^\circ =\dfrac(-1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 270()^\circ \)- ne postoji
\(\text(ctg)\ 270()^\circ =\dfrac(0)(-1)=0 \)
\(\sin \360()^\circ =0\)
\(\cos \360()^\circ =1\)
\(\text(tg)\ 360()^\circ =\dfrac(0)(1)=0 \)
\(\text(ctg)\ 360()^\circ =\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(ctg)\ 2\pi \)- ne postoji
\(\sin \ 450()^\circ =\sin \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\sin \ 90()^\circ =1 \)
\(\cos \ 450()^\circ =\cos \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\cos \ 90()^\circ =0 \)
\(\text(tg)\ 450()^\circ =\text(tg)\ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(tg)\ 90() ^\circ =\dfrac(1)(0)\Strelica desno \text(tg)\ 450()^\circ \)- ne postoji
\(\text(ctg)\ 450()^\circ =\text(ctg)\left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(ctg)\ 90()^ \circ =\dfrac(0)(1)=0 \).
Tako možemo napraviti sljedeću tabelu:
Nema potrebe da pamtite sve ove vrednosti. Dovoljno je zapamtiti korespondenciju između koordinata točaka na jediničnom krugu i vrijednosti trigonometrijskih funkcija:
\(\lijevo. \begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos \alpha =x;\\tg \alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg \alpha =\ dfrac(x)(y).\end(niz) \desno\)\ \text(Morate zapamtiti ili biti u mogućnosti da ga prikažete!! \) !}
Ali vrijednosti trigonometrijskih funkcija uglova u i \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4)\) dato u tabeli ispod, morate zapamtiti:
Nemojte se plašiti, sada ćemo vam pokazati jedan primjer prilično jednostavnog pamćenja odgovarajućih vrijednosti:
Za korištenje ove metode važno je zapamtiti vrijednosti sinusa za sve tri mjere ugla ( \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4),\ 60()^\circ =\dfrac(\pi )(3)\)), kao i vrijednost tangente ugla u \(30()^\circ \) . Poznavajući ove \(4\) vrijednosti, prilično je jednostavno vratiti cijelu tablicu - vrijednosti kosinusa se prenose u skladu sa strelicama, odnosno:
\(\begin(array)(l)\sin 30()^\circ =\cos \ 60()^\circ =\dfrac(1)(2)\ \ \\\sin 45()^\circ = \cos \ 45()^\circ =\dfrac(\sqrt(2))(2)\\\sin 60()^\circ =\cos \ 30()^\circ =\dfrac(\sqrt(3) ))(2)\ \end(niz) \)
\(\text(tg)\ 30()^\circ \ =\dfrac(1)(\sqrt(3)) \), znajući to, možete vratiti vrijednosti za \(\text(tg)\ 45()^\circ , \text(tg)\ 60()^\circ \). Brojač "\(1 \)" će odgovarati \(\text(tg)\ 45()^\circ \ \), a nazivnik "\(\sqrt(\text(3)) \)" će odgovarati \(\text (tg)\ 60()^\circ \ \) . Vrijednosti kotangensa se prenose u skladu sa strelicama prikazanim na slici. Ako ovo razumijete i zapamtite dijagram sa strelicama, tada će biti dovoljno zapamtiti samo \(4\) vrijednosti iz tabele.
Koordinate tačke na kružnici
Da li je moguće pronaći tačku (njene koordinate) na kružnici, znajući koordinate centra kruga, njegov polumjer i kut rotacije? Pa, naravno da možete! Hajde da izvedemo opštu formulu za pronalaženje koordinata tačke. Na primjer, evo kruga ispred nas:
Dato nam je to \(K(((x)_(0));((y)_(0)))=K(3;2) \)- centar kruga. Polumjer kružnice je \(1.5\) . Potrebno je pronaći koordinate tačke \(P\) dobijene rotacijom tačke \(O\) za \(\delta \) stepeni.
Kao što se može vidjeti sa slike, koordinata \(x\) tačke \(P\) odgovara dužini segmenta \(TP=UQ=UK+KQ\) . Dužina segmenta \(UK\) odgovara koordinati \(x\) centra kruga, odnosno jednaka je \(3\) . Dužina segmenta \(KQ\) može se izraziti pomoću definicije kosinusa:
\(\cos \ \delta =\dfrac(KQ)(KP)=\dfrac(KQ)(r)\Rightarrow KQ=r\cdot \cos \ \delta \).
Tada imamo da je za tačku \(P\) koordinata \(x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =3+1.5\cdot \cos \ \delta \).
Koristeći istu logiku, nalazimo vrijednost y koordinate za tačku \(P\) . dakle,
\(y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =2+1.5\cdot \sin \delta \).
Dakle, općenito se koordinate tačaka određuju formulama:
\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta \\y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta \end(niz) \), Gdje
\(((x)_(0)),((y)_(0)) \) - koordinate centra kruga,
\(r\) - polumjer kružnice,
\(\delta \) - ugao rotacije vektorskog radijusa.
Kao što vidite, za jedinični krug koji razmatramo, ove formule su značajno smanjene, budući da su koordinate centra jednake nuli, a radijus jednak jedan:
\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =0+1\cdot \cos \ \delta =\cos \ \delta \\y =((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =0+1\cdot \sin \ \delta =\sin \ \delta \end(array) \)
Javascript je onemogućen u vašem pretraživaču.Da biste izvršili proračune, morate omogućiti ActiveX kontrole!
Započet ćemo naše proučavanje trigonometrije s pravokutnim trokutom. Hajde da definišemo šta su sinus i kosinus, kao i tangens i kotangens oštar ugao. Ovo su osnove trigonometrije.
Podsjetimo to pravi ugao je ugao jednak . Drugim riječima, pola okrenutog ugla.
Oštar ugao- manji.
Tupi ugao - veći. U odnosu na takav ugao, "tupo" nije uvreda, već matematički pojam :-)
Nacrtajmo pravougli trougao. Pravi ugao se obično označava sa . Imajte na umu da je strana nasuprot uglu označena istim slovom, samo malim. Dakle, označena je strana koja leži nasuprot kutu.
Ugao je označen odgovarajućim grčkim slovom.
Hipotenuza pravouglog trougla je strana naspram pravog ugla.
Noge- strane suprotne oštrim uglovima.
Noga koja leži nasuprot ugla naziva se suprotno(u odnosu na ugao). Drugi krak, koji leži na jednoj od strana ugla, naziva se susjedni.
Sinus Oštar ugao u pravokutnom trokutu je omjer suprotne strane i hipotenuze:
Kosinus oštar ugao u pravokutnom trokutu - omjer susjednog kraka i hipotenuze:
Tangenta oštar ugao u pravokutnom trokutu - omjer suprotne strane i susjedne:
Druga (ekvivalentna) definicija: tangenta oštrog ugla je omjer sinusa ugla i njegovog kosinusa:
Kotangens oštar ugao u pravokutnom trokutu - omjer susjedne strane prema suprotnoj strani (ili, što je isto, omjer kosinusa i sinusa):
Obratite pažnju na osnovne odnose za sinus, kosinus, tangentu i kotangens u nastavku. Oni će nam biti od koristi prilikom rješavanja problema.
Dokažimo neke od njih.
1. Zbir uglova bilo kojeg trougla je jednak . znači, zbir dva oštra ugla pravouglog trougla je jednak .
2. S jedne strane, kao omjer suprotne strane prema hipotenuzi. S druge strane, budući da će za ugao noga biti susjedna.
Razumemo to. Drugim riječima, .
3. Uzmite Pitagorinu teoremu: . Podijelimo oba dijela sa:
Imamo osnovni trigonometrijski identitet:
Dakle, znajući sinus ugla, možemo pronaći njegov kosinus, i obrnuto.
4. Podjela oba dijela glavnog trigonometrijski identitet na , dobijamo:
To znači da ako nam je data tangenta oštrog ugla, onda možemo odmah pronaći njegov kosinus.
Isto tako,
U redu, dali smo definicije i zapisali formule. Ali zašto nam još uvijek trebaju sinus, kosinus, tangent i kotangens?
Znamo to zbir uglova bilo kojeg trougla je jednak.
Znamo odnos između stranke pravougaonog trougla. Ovo je Pitagorina teorema: .
Ispada da znajući dva ugla u trouglu možete pronaći treći. Poznavajući dvije strane pravokutnog trougla, možete pronaći treću. To znači da uglovi imaju svoj odnos, a stranice imaju svoj. Ali šta da radite ako u pravokutnom trokutu znate jedan ugao (osim pravog) i jednu stranu, ali morate pronaći druge strane?
To je ono s čim su se ljudi u prošlosti susreli kada su pravili karte područja i zvjezdanog neba. Uostalom, nije uvijek moguće direktno izmjeriti sve strane trougla.
Sinus, kosinus i tangenta - još se nazivaju trigonometrijske funkcije ugla- dati odnose između stranke I uglovi trougao. Poznavajući kut, možete pronaći sve njegove trigonometrijske funkcije pomoću posebnih tablica. A znajući sinuse, kosinuse i tangente uglova trokuta i jedne od njegovih stranica, možete pronaći ostatak.
Također ćemo nacrtati tablicu vrijednosti sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa za "dobre" uglove od do.
Obratite pažnju na dvije crvene crtice u tabeli. Pri odgovarajućim vrijednostima ugla, tangenta i kotangens ne postoje.
Pogledajmo nekoliko trigonometrijskih problema iz FIPI banke zadataka.
1. U trokutu, ugao je , . Pronađite .
Problem je riješen za četiri sekunde.
Od , imamo: .
2. U trokutu, ugao je , , . Pronađite . , je jednako polovina hipotenuze.
Trokut s uglovima , i jednakokračan. U njemu je hipotenuza puta veća od kateta.
U životu ćemo se često morati suočiti matematički problemi: u školi, na fakultetu, a zatim pomoći svom djetetu da završi zadaća. Ljudi u određenim profesijama svakodnevno će se susresti s matematikom. Stoga je korisno zapamtiti ili prisjetiti matematička pravila. U ovom članku ćemo pogledati jedan od njih: pronalaženje stranice pravokutnog trokuta.
Šta je pravougli trougao
Prvo, prisjetimo se šta je pravougli trougao. Pravougli trougao je geometrijska figura od tri segmenta koji spajaju tačke koje ne leže na istoj pravoj liniji, a jedan od uglova ove figure je 90 stepeni. Stranice koje tvore pravi ugao nazivaju se kracima, a strana koja leži nasuprot pravog ugla naziva se hipotenuza.
Pronalaženje kraka pravouglog trougla
Postoji nekoliko načina da saznate dužinu noge. Želio bih ih detaljnije razmotriti.
Pitagorina teorema za pronalaženje stranice pravouglog trougla
Ako znamo hipotenuzu i katet, onda možemo pronaći dužinu nepoznatog kraka pomoću Pitagorine teoreme. Zvuči ovako: "Kvadrat hipotenuze jednak je zbiru kvadrata kateta." Formula: c²=a²+b², gdje je c hipotenuza, a i b su katete. Transformišemo formulu i dobijamo: a²=c²-b².
Primjer. Hipotenuza je 5 cm, a katet 3 cm Transformišemo formulu: c²=a²+b² → a²=c²-b². Zatim rješavamo: a²=5²-3²; a²=25-9; a²=16; a=√16; a=4 (cm).
Trigonometrijski omjeri za pronalaženje kraka pravokutnog trokuta
Također možete pronaći nepoznatu nogu ako su poznate bilo koja druga strana i bilo koji oštar ugao pravokutnog trokuta. Postoje četiri opcije za pronalaženje noge pomoću trigonometrijskih funkcija: sinus, kosinus, tangent, kotangens. Tabela u nastavku će nam pomoći da riješimo probleme. Hajde da razmotrimo ove opcije.
Nađite katet pravokutnog trokuta koristeći sinus
Sinus ugla (sin) je omjer suprotne strane i hipotenuze. Formula: sin=a/c, gdje je a krak nasuprot datom kutu, a c hipotenuza. Zatim transformiramo formulu i dobijemo: a=sin*c.
Primjer. Hipotenuza je 10 cm, ugao A je 30 stepeni. Pomoću tabele izračunavamo sinus ugla A, on je jednak 1/2. Zatim, koristeći transformiranu formulu, rješavamo: a=sin∠A*c; a=1/2*10; a=5 (cm).
Nađite katet pravokutnog trokuta koristeći kosinus
Kosinus ugla (cos) je omjer susjednog kraka i hipotenuze. Formula: cos=b/c, gdje je b krak koji graniči sa datim uglom, a c je hipotenuza. Hajde da transformišemo formulu i dobijemo: b=cos*c.
Primjer. Ugao A je jednak 60 stepeni, hipotenuza je jednaka 10 cm.Upotrebom tabele izračunavamo kosinus ugla A, jednak je 1/2. Zatim rješavamo: b=cos∠A*c; b=1/2*10, b=5 (cm).
Nađite krak pravokutnog trokuta koristeći tangentu
Tangent ugla (tg) je omjer suprotne i susjedne strane. Formula: tg=a/b, gdje je a strana suprotna kutu, a b susjedna strana. Hajde da transformišemo formulu i dobijemo: a=tg*b.
Primjer. Ugao A je jednak 45 stepeni, hipotenuza je jednaka 10 cm Koristeći tabelu izračunavamo tangentu ugla A, ona je jednaka Reši: a=tg∠A*b; a=1*10; a=10 (cm).
Nađite katet pravokutnog trokuta koristeći kotangens
Kotangens ugla (ctg) je omjer susjedne i suprotne strane. Formula: ctg=b/a, gdje je b krak uz ugao, a suprotan krak. Drugim riječima, kotangens je “obrnuta tangenta”. Dobijamo: b=ctg*a.
Primjer. Ugao A je 30 stepeni, suprotni krak 5 cm Prema tabeli, tangenta ugla A je √3. Računamo: b=ctg∠A*a; b=√3*5; b=5√3 (cm).
Dakle, sada znate kako pronaći nogu u pravokutnom trouglu. Kao što vidite, nije tako teško, glavna stvar je zapamtiti formule.
Omjer suprotne strane prema hipotenuzi se naziva sinusa oštrog ugla pravougaonog trougla.
\sin \alpha = \frac(a)(c)
Kosinus oštrog ugla pravokutnog trokuta
Zove se omjer susjednog kraka i hipotenuze kosinus oštrog ugla pravougaonog trougla.
\cos \alpha = \frac(b)(c)
Tangenta oštrog ugla pravouglog trougla
Omjer suprotne i susjedne strane naziva se tangenta oštrog ugla pravougaonog trougla.
tg \alpha = \frac(a)(b)
Kotangens oštrog ugla pravokutnog trokuta
Zove se omjer susjedne i suprotne strane kotangens oštrog ugla pravougaonog trougla.
ctg \alpha = \frac(b)(a)
Sinus proizvoljnog ugla
Zove se ordinata tačke na jediničnom krugu kojoj odgovara ugao \alpha sinus proizvoljnog ugla rotacija \alpha .
\sin \alpha=y
Kosinus proizvoljnog ugla
Apscisa tačke na jediničnoj kružnici kojoj odgovara ugao \alpha se naziva kosinus proizvoljnog ugla rotacija \alpha .
\cos \alpha=x
Tangenta proizvoljnog ugla
Omjer sinusa proizvoljnog kuta rotacije \alpha i njegovog kosinusa naziva se tangenta proizvoljnog ugla rotacija \alpha .
tan \alpha = y_(A)
tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)
Kotangens proizvoljnog ugla
Omjer kosinusa proizvoljnog kuta rotacije \alpha i njegovog sinusa naziva se kotangens proizvoljnog ugla rotacija \alpha .
ctg\alpha =x_(A)
ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)
Primjer pronalaženja proizvoljnog ugla
Ako je \alpha neki ugao AOM, gdje je M tačka jedinične kružnice, onda
\sin \alpha=y_(M) , \cos \alpha=x_(M) , tg \alpha=\frac(y_(M))(x_(M)), ctg \alpha=\frac(x_(M))(y_(M)).
Na primjer, ako \ugao AOM = -\frac(\pi)(4), tada je: ordinata tačke M jednaka -\frac(\sqrt(2))(2), apscisa je jednaka \frac(\sqrt(2))(2) i zato
\sin \left (-\frac(\pi)(4) \right)=-\frac(\sqrt(2))(2);
\cos \left (\frac(\pi)(4) \right)=\frac(\sqrt(2))(2);
tg;
ctg \lijevo (-\frac(\pi)(4) \desno)=-1.
Tabela vrijednosti sinusa kosinusa tangenta kotangensa
Vrijednosti glavnih uglova koji se često javljaju date su u tabeli:
| 0^(\circ) (0) | 30^(\circ)\lijevo(\frac(\pi)(6)\desno) | 45^(\circ)\lijevo(\frac(\pi)(4)\desno) | 60^(\circ)\lijevo(\frac(\pi)(3)\desno) | 90^(\circ)\lijevo(\frac(\pi)(2)\desno) | 180^(\circ)\lijevo(\pi\desno) | 270^(\circ)\lijevo(\frac(3\pi)(2)\desno) | 360^(\circ)\lijevo(2\pi\desno) | |
| \sin\alpha | 0 | \frac12 | \frac(\sqrt 2)(2) | \frac(\sqrt 3)(2) | 1 | 0 | −1 | 0 |
| \cos\alpha | 1 | \frac(\sqrt 3)(2) | \frac(\sqrt 2)(2) | \frac12 | 0 | −1 | 0 | 1 |
| tg\alpha | 0 | \frac(\sqrt 3)(3) | 1 | \sqrt3 | — | 0 | — | 0 |
| ctg\alpha | — | \sqrt3 | 1 | \frac(\sqrt 3)(3) | 0 | — | 0 | — |
