Video lekcija „Stepen sa racionalni indikator» sadrži vizualni edukativni materijal održati lekciju na ovu temu. Video lekcija sadrži informacije o pojmu stepena s racionalnim eksponentom, svojstvima takvih stupnjeva, kao i primjere koji opisuju upotrebu obrazovnog materijala za rješavanje praktični problemi. Svrha ove video lekcije je jasno i jasno predstaviti nastavni materijal, olakšati njegovo razvijanje i pamćenje od strane učenika, te razviti sposobnost rješavanja problema koristeći naučene pojmove.
Glavne prednosti video lekcije su mogućnost vizualnog izvođenja transformacija i proračuna, mogućnost korištenja efekata animacije za poboljšanje efikasnosti učenja. Glasovna pratnja pomaže u razvoju ispravnog matematičkog govora, a također omogućava zamjenu učiteljevog objašnjenja, oslobađajući ga da obavlja individualni rad.
Video lekcija počinje uvođenjem teme. Povezivanje studija nova tema sa prethodno proučavanim materijalom, predlaže se zapamtiti da je n √a inače označeno sa 1/n za prirodno n i pozitivno a. Ovaj n-korijenski prikaz je prikazan na ekranu. Zatim predlažemo da razmotrimo šta znači izraz a m/n, u kojem je a pozitivan broj, a m/n razlomak. Data je definicija stepena sa racionalnim eksponentom kao m/n = n √a m, istaknuta u okviru. Primjećuje se da n može biti prirodan broj, a m može biti cijeli broj.
Nakon definiranja stepena sa racionalnim eksponentom, njegovo značenje se otkriva kroz primjere: (5/100) 3/7 = 7 √(5/100) 3. Također je prikazan primjer u kojem stepen predstavljen sa decimalni, pretvara se u običan razlomak koji se predstavlja kao korijen: (1/7) 1.7 = (1/7) 17/10 = 10 √(1/7) 17 i primjer sa negativnu vrijednost stepeni: 3 -1/8 = 8 √3 -1.
Posebnost posebnog slučaja kada je osnova stepena nula je naznačena posebno. Primjećuje se da ovaj stepen ima smisla samo s pozitivnim razlomkom eksponenta. U ovom slučaju, njegova vrijednost je nula: 0 m/n =0.
Napominje se još jedna karakteristika stepena sa racionalnim eksponentom - da se stepen sa razlomačnim eksponentom ne može razmatrati sa delimičnim eksponentom. Navedeni su primjeri pogrešne notacije stupnjeva: (-9) -3/7, (-3) -1/3, 0 -1/5.
Sljedeće u video lekciji raspravljamo o svojstvima stepena s racionalnim eksponentom. Primećuje se da će svojstva stepena sa celobrojnim eksponentom važiti i za stepen sa racionalnim eksponentom. Predlaže se podsjetiti na listu svojstava koja vrijede iu ovom slučaju:
- Prilikom množenja potencija sa po istoj osnovi njihovi indikatori se zbrajaju: a p a q =a p+q.
- Podjela stupnjeva sa istim bazama svodi se na stepen sa datom bazom i razlikom u eksponentima: a p:a q =a p-q.
- Ako stepen podignemo na određeni stepen, onda ćemo na kraju dobiti stepen sa datom bazom i proizvodom eksponenata: (a p) q =a pq.
Sva ova svojstva vrijede za potencije sa racionalnim eksponentima p, q i pozitivnom bazom a>0. Također, transformacije stupnjeva prilikom otvaranja zagrada ostaju istinite:
- (ab) p =a p b p - podizanje na neki stepen sa racionalnim eksponentom proizvod dva broja se svodi na proizvod brojeva, od kojih je svaki podignut na dati stepen.
- (a/b) p =a p /b p - podizanje razlomka na stepen sa racionalnim eksponentom svodi se na razlomak čiji su brojnik i imenilac podignuti na dati stepen.
Video tutorijal govori o rješavanju primjera koji koriste razmatrana svojstva potencija s racionalnim eksponentom. Prvi primjer traži od vas da pronađete vrijednost izraza koji sadrži varijable x u frakcijskom stepenu: (x 1/6 -8) 2 -16x 1/6 (x -1/6 -1). Unatoč složenosti izraza, korištenjem svojstava snaga može se vrlo jednostavno riješiti. Rješavanje problema počinje pojednostavljivanjem izraza, koji koristi pravilo dizanja stepena s racionalnim eksponentom na stepen, kao i množenjem stepena sa istom osnovom. Nakon zamjene date vrijednosti x=8 u pojednostavljeni izraz x 1/3 +48, lako je dobiti vrijednost - 50.
U drugom primjeru, trebate smanjiti razlomak čiji brojnik i nazivnik sadrže potencije s racionalnim eksponentom. Koristeći svojstva stepena, izdvajamo iz razlike faktor x 1/3, koji se zatim smanjuje u brojiocu i nazivniku, a pomoću formule za razliku kvadrata, brojilac se faktorizuje, što daje dalje redukcije identičnih faktori u brojniku i nazivniku. Rezultat takvih transformacija je kratki razlomak x 1/4 +3.
Video lekcija “Eksponent s racionalnim eksponentom” može se koristiti umjesto da nastavnik objašnjava novu temu lekcije. Ovaj priručnik također sadrži dovoljno pune informacije Za samostalno učenje student. Materijal može biti koristan i za učenje na daljinu.
Izrazi, konverzija izraza
Izrazi moći (izrazi sa potencijama) i njihova transformacija
U ovom članku ćemo govoriti o pretvaranju izraza s potencijama. Prvo ćemo se fokusirati na transformacije koje se izvode s izrazima bilo koje vrste, uključujući izraze snage, kao što su otvaranje zagrada i dovođenje sličnih pojmova. Zatim ćemo analizirati transformacije specifično svojstvene izrazima sa stupnjevima: rad s bazom i eksponentom, korištenjem svojstava stupnjeva itd.
Navigacija po stranici.
Šta su izrazi moći?
Izraz "izrazi moći" se gotovo nikada ne koristi školski udžbenici matematike, ali se dosta često pojavljuje u zbirkama zadataka, posebno onih namijenjenih pripremi za Jedinstveni državni ispit i Jedinstveni državni ispit, na primjer. Nakon analize zadataka u kojima je potrebno izvršiti bilo koju radnju sa izrazima moći, postaje jasno da se izrazi moći podrazumijevaju kao izrazi koji u svojim unosima sadrže moći. Stoga za sebe možete prihvatiti sljedeću definiciju:
Definicija.
Izrazi moći su izrazi koji sadrže stupnjeve.
Hajde da damo primjere izraza moći. Štaviše, prikazaćemo ih prema tome kako se razvijaju pogledi od stepena sa prirodnim pokazateljem do stepena sa stvarni indikator.
Kao što je poznato, prvo se upoznaje sa potencijom broja sa prirodnim eksponentom; u ovoj fazi prvi najjednostavniji izrazi stepena tipa 3 2, 7 5 +1, (2+1) 5, (−0.1) 4, 3 a 2 pojavljuju se −a+a 2 , x 3−1 , (a 2) 3 itd.
Nešto kasnije proučava se stepen broja sa celobrojnim eksponentom, što dovodi do pojave izraza stepena sa negativnim celobrojnim potencijama, kao što su: 3 −2, 
, a −2 +2 b −3 +c 2 .
U srednjoj školi se vraćaju diplomama. Tu se uvodi stepen sa racionalnim eksponentom, koji podrazumeva pojavu odgovarajućih izraza stepena: 
, , 
i tako dalje. Konačno, razmatraju se stepeni sa iracionalnim eksponentima i izrazi koji ih sadrže: , .
Stvar nije ograničena na navedene izraze stepena: dalje varijabla prodire u eksponent i nastaju npr. sljedeći izrazi: 2 x 2 +1 ili 
. A nakon upoznavanja sa , počinju se pojavljivati izrazi s potencijama i logaritmima, na primjer, x 2·lgx −5·x lgx.
Dakle, bavili smo se pitanjem šta izrazi moći predstavljaju. Zatim ćemo naučiti kako ih transformirati.
Glavne vrste transformacija izraza moći
Sa izrazima moći, možete izvesti bilo koju od osnovnih transformacija identiteta izraza. Na primjer, možete proširiti zagrade, zamijeniti ih numeričke izraze njihove vrijednosti, dati slične pojmove itd. Naravno, u ovom slučaju je potrebno poštovati prihvaćenu proceduru za izvođenje radnji. Navedimo primjere.
Primjer.
Izračunajte vrijednost izraza stepena 2 3 ·(4 2 −12) .
Rješenje.
Prema redosledu izvršavanja radnji prvo izvršite radnje u zagradama. Tu, prvo, zamjenjujemo stepen 4 2 njegovom vrijednošću 16 (ako je potrebno, vidi), i drugo, izračunavamo razliku 16−12=4. Imamo 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4.
U rezultirajućem izrazu stepen 2 3 zamjenjujemo njegovom vrijednošću 8, nakon čega izračunavamo proizvod 8·4=32. Ovo je željena vrijednost.
dakle, 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4=8·4=32.
odgovor:
2 3 ·(4 2 −12)=32.
Primjer.
Pojednostavite izraze potencijama 3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7.
Rješenje.
Očigledno, ovaj izraz sadrži slične članove 3·a 4 ·b −7 i 2·a 4 ·b −7 , i možemo ih predstaviti: .
odgovor:
3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7 =5 a 4 b −7 −1.
Primjer.
Izrazite izraz sa moćima kao proizvod.
Rješenje.
Možete se nositi sa zadatkom tako da broj 9 predstavite kao stepen od 3 2, a zatim koristite formulu za skraćeno množenje - razlika kvadrata: 
odgovor:
Postoji i broj transformacije identiteta, specifično svojstveno izrazima moći. Mi ćemo ih dalje analizirati.
Rad sa bazom i eksponentom
Postoje stepeni čija baza i/ili eksponent nisu samo brojevi ili varijable, već neki izrazi. Kao primjer dajemo stavke (2+0,3·7) 5−3,7 i (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) .
Kada radite s takvim izrazima, možete zamijeniti i izraz u bazi stepena i izraz u eksponentu identično jednakim izrazom u ODZ-u njegovih varijabli. Drugim riječima, prema nama poznatim pravilima, možemo odvojeno transformirati bazu stepena i posebno eksponent. Jasno je da će se kao rezultat ove transformacije dobiti izraz koji je identično jednak originalnom.
Takve transformacije nam omogućavaju da pojednostavimo izraze sa moćima ili postignemo druge ciljeve koji su nam potrebni. Na primjer, u gore spomenutom izrazu za stepen (2+0,3 7) 5−3,7, možete izvoditi operacije sa brojevima u bazi i eksponentu, što će vam omogućiti da pređete na stepen 4.1 1.3. I nakon otvaranja zagrada i dovođenja sličnih članova na bazu stepena (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) dobijamo izraz stepena više jednostavan tip a 2·(x+1) .
Korištenje svojstava stepena
Jedno od glavnih oruđa za transformaciju izraza sa moćima su jednakosti koje odražavaju . Prisjetimo se glavnih. Za bilo koje pozitivne brojeve a i b i proizvoljne realni brojevi r i s slijedeća svojstva stupnjeva su važeća:
- a r ·a s =a r+s ;
- a r:a s =a r−s ;
- (a·b) r =a r ·b r ;
- (a:b) r =a r:b r ;
- (a r) s =a r·s .
Imajte na umu da za prirodne, cjelobrojne i pozitivne eksponente ograničenja na brojeve a i b možda nisu tako stroga. Na primjer, za prirodne brojeve m i n jednakost a m ·a n =a m+n vrijedi ne samo za pozitivno a, već i za negativno a, i za a=0.
U školi, glavni fokus pri transformaciji izraza moći je na sposobnosti odabira odgovarajućeg svojstva i pravilne primjene. U ovom slučaju, baze stupnjeva su obično pozitivne, što omogućava da se svojstva stupnjeva koriste bez ograničenja. Isto važi i za transformaciju izraza koji sadrže varijable u bazama stepena - opseg dozvoljenih vrednosti varijabli je obično takav da baze na njemu uzimaju samo pozitivne vrijednosti, što vam omogućava da slobodno koristite svojstva stupnjeva. Općenito, morate se stalno pitati da li je u ovom slučaju moguće koristiti bilo koje svojstvo stupnjeva, jer neprecizno korištenje svojstava može dovesti do sužavanja obrazovne vrijednosti i drugih problema. Ove tačke su detaljno razmotrene i uz primjere u članku transformacija izraza korištenjem svojstava stupnjeva. Ovdje ćemo se ograničiti na razmatranje nekoliko jednostavnih primjera.
Primjer.
Izraz a 2,5 ·(a 2) −3:a −5,5 izraziti kao stepen sa bazom a.
Rješenje.
Prvo transformiramo drugi faktor (a 2) −3 koristeći svojstvo dizanja stepena na stepen: (a 2) −3 =a 2·(−3) =a −6. Originalni izraz snage će imati oblik a 2,5 ·a −6:a −5,5. Očigledno, ostaje da koristimo svojstva množenja i dijeljenja potencija sa istom bazom, imamo
a 2,5 ·a −6:a −5,5 =
a 2,5−6:a −5,5 =a −3,5:a −5,5 =
a −3,5−(−5,5) =a 2 .
odgovor:
a 2,5 ·(a 2) −3:a −5,5 =a 2.
Svojstva potencija pri transformaciji izraza stepena koriste se i s lijeva na desno i s desna na lijevo.
Primjer.
Nađite vrijednost izraza snage.
Rješenje.
Jednakost (a·b) r =a r ·b r, primijenjena s desna na lijevo, omogućava nam da pređemo sa originalnog izraza na proizvod forme i dalje. A kada se množe stepeni s istim bazama, eksponenti se zbrajaju: 
.
Bilo je moguće transformirati originalni izraz na drugi način: 
odgovor:
.
Primjer.
S obzirom na izraz snage a 1,5 −a 0,5 −6, uvedite novu varijablu t=a 0,5.
Rješenje.
Stepen a 1,5 može se predstaviti kao 0,5 3, a zatim, na osnovu svojstva stepena stepena (a r) s =a r s, primijenjen s desna na lijevo, transformirati ga u oblik (a 0,5) 3. dakle, a 1,5 −a 0,5 −6=(a 0,5) 3 −a 0,5 −6. Sada je lako uvesti novu varijablu t=a 0,5, dobijamo t 3 −t−6.
odgovor:
t 3 −t−6 .
Pretvaranje razlomaka koji sadrže stepene
Izrazi stepena mogu sadržavati ili predstavljati razlomke sa potencijama. Bilo koja od osnovnih transformacija razlomaka koja je svojstvena razlomcima bilo koje vrste u potpunosti je primjenjiva na takve razlomke. Odnosno, razlomci koji sadrže stepene mogu se reducirati, svesti na novi nazivnik, raditi odvojeno sa svojim brojnikom i odvojeno sa nazivnikom, itd. Da biste ilustrirali ove riječi, razmotrite rješenja nekoliko primjera.
Primjer.
Pojednostavite izraz snage 
.
Rješenje.
Ovaj izraz snage je razlomak. Poradimo sa njegovim brojinikom i nazivnikom. U brojiocu otvaramo zagrade i pojednostavljujemo rezultirajući izraz koristeći svojstva potencija, a u nazivniku predstavljamo slične pojmove: 
A promijenimo i predznak nazivnika tako što ćemo ispred razlomka staviti minus: 
.
odgovor:
.
Svođenje razlomaka koji sadrže potencije na novi imenilac vrši se na isti način kao i svođenje na novi nazivnik racionalni razlomci. U ovom slučaju se također nalazi dodatni faktor i njime se pomnože brojnik i nazivnik razlomka. Prilikom izvođenja ove radnje, vrijedi zapamtiti da smanjenje na novi nazivnik može dovesti do sužavanja VA. Da se to ne bi dogodilo, potrebno je da dodatni faktor ne ide na nulu ni za jednu vrijednost varijabli iz ODZ varijabli za originalni izraz.
Primjer.
Svedite razlomke na novi imenilac: a) na imenilac a, b) 
na imenilac.
Rješenje.
a) U ovom slučaju, prilično je lako shvatiti koji dodatni množitelj pomaže da se postigne željeni rezultat. Ovo je množitelj od 0,3, pošto je 0,7 ·a 0,3 =a 0,7+0,3 =a. Imajte na umu da u rasponu dozvoljenih vrijednosti varijable a (ovo je skup svih pozitivnih realnih brojeva), snaga a 0,3 ne nestaje, stoga imamo pravo pomnožiti brojnik i nazivnik datog razlomak ovim dodatnim faktorom: 
b) Ako pažljivije pogledate imenilac, naći ćete to 
i množenjem ovog izraza sa će dati zbroj kocki i , To jest, . A ovo je novi nazivnik na koji moramo svesti originalni razlomak.
Tako smo pronašli dodatni faktor. U rasponu dopuštenih vrijednosti varijabli x i y, izraz ne nestaje, stoga možemo pomnožiti brojnik i nazivnik razlomka s njim: 
odgovor:
A) 
, b) 
.
Takođe nema ničeg novog u redukciji razlomaka koji sadrže stepene: brojilac i imenilac su predstavljeni kao broj faktora, a isti faktori brojnika i imenioca su smanjeni.
Primjer.
Smanjite razlomak: a) 
, b) .
Rješenje.
a) Prvo, brojilac i imenilac se mogu smanjiti za brojeve 30 i 45, što je jednako 15. Također je očito moguće izvršiti redukciju za x 0,5 +1 i po 
. Evo šta imamo: 
b) U ovom slučaju, identični faktori u brojiocu i nazivniku nisu odmah vidljivi. Da biste ih dobili, morat ćete izvršiti preliminarne transformacije. U ovom slučaju, oni se sastoje od faktoringa nazivnika koristeći formulu razlike kvadrata: 
odgovor:
A) 
b) 
.
Pretvaranje razlomaka u novi nazivnik i smanjenje razlomaka uglavnom se koriste za rad sa razlomcima. Radnje se izvode prema poznatim pravilima. Prilikom sabiranja (oduzimanja) razlomaka oni se svode na zajednički nazivnik, nakon čega se brojnici sabiraju (oduzimaju), ali imenilac ostaje isti. Rezultat je razlomak čiji je brojilac umnožak brojilaca, a nazivnik proizvod nazivnika. Deljenje razlomkom je množenje njegovim inverzom.
Primjer.
Slijedite korake 
.
Rješenje.
Prvo oduzimamo razlomke u zagradama. Da bismo to učinili, dovodimo ih do zajedničkog nazivnika, a to je 
, nakon čega oduzimamo brojioce: 
Sada množimo razlomke: 
Očigledno, moguće je smanjiti za potenciju od x 1/2, nakon čega imamo 
.
Također možete pojednostaviti izraz stepena u nazivniku korištenjem formule razlike kvadrata: 
.
odgovor:
Primjer.
Pojednostavite izraz snage 
.
Rješenje.
Očigledno, ovaj razlomak se može smanjiti za (x 2,7 +1) 2, što daje razlomak 
. Jasno je da se nešto drugo mora uraditi sa moćima X. Da bismo to učinili, rezultirajuću frakciju pretvaramo u proizvod. Ovo nam daje priliku da iskoristimo svojstvo podjele ovlasti s istim osnovama: 
. I na kraju procesa od kojeg se krećemo poslednji rad na djelić.
odgovor:
.
I dodajmo da je moguće, a u mnogim slučajevima i poželjno, faktore sa negativnim eksponentima prenijeti iz brojila u nazivnik ili iz imenioca u brojilac, mijenjajući predznak eksponenta. Takve transformacije često pojednostavljuju dalje radnje. Na primjer, izraz snage može se zamijeniti sa .
Pretvaranje izraza s korijenima i potencijama
Često, u izrazima u kojima su potrebne neke transformacije, uz potencije su prisutni i korijeni s razlomcima. Da bi se takav izraz preobrazio u željeni oblik, u većini slučajeva dovoljno je ići samo do korijena ili samo do moći. Ali pošto je prikladnije raditi sa moćima, obično se kreću od korijena do moći. Međutim, preporučljivo je izvršiti takvu tranziciju kada ODZ varijabli za originalni izraz omogućava zamjenu korijena s potencijama bez potrebe da se pozivate na modul ili podijelite ODZ na nekoliko intervala (o tome smo detaljno raspravljali u prelazak članka iz korijena u stepene i nazad Nakon upoznavanja sa stepenom sa racionalnim eksponentom uvodi se stepen sa iracionalnim eksponentom, što nam omogućava da govorimo o stepenu sa proizvoljnim realnim eksponentom.U ovoj fazi škola počinje da studija eksponencijalna funkcija , koji je analitički zadan stepenom čija je baza broj, a eksponent varijabla. Dakle, suočeni smo sa izrazima stepena koji sadrže brojeve u bazi stepena, au eksponentu - izraze sa varijablama, i prirodno se javlja potreba da se izvrši transformacija takvih izraza.
Treba reći da se kod rješavanja obično mora izvršiti transformacija izraza naznačenog tipa eksponencijalne jednačine I eksponencijalne nejednakosti , a ove konverzije su prilično jednostavne. U ogromnoj većini slučajeva zasnivaju se na svojstvima stepena i imaju za cilj, uglavnom, uvođenje nove varijable u budućnosti. Jednačina će nam omogućiti da ih demonstriramo 5 2 x+1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x−1 =0.
Prvo, stupnjevi, u čijim eksponentima je zbir određene varijable (ili izraza sa varijablama) i broja, zamjenjuju se proizvodima. Ovo se odnosi na prvi i zadnji izraz izraza na lijevoj strani:
5 2 x 5 1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x 7 −1 =0,
5 5 2 x −3 5 x 7 x −2 7 2 x =0.
Zatim se obje strane jednakosti dijele izrazom 7 2 x, koji na ODZ-u varijable x za originalnu jednadžbu uzima samo pozitivne vrijednosti (ovo je standardna tehnika za rješavanje jednadžbi ovog tipa, mi nismo pričajući o tome sada, pa se fokusirajte na naknadne transformacije izraza sa moćima ): 
Sada možemo poništiti razlomke potencijama, što daje 
.
Konačno, omjer potencija s istim eksponentima zamjenjuje se potencijama odnosa, što rezultira jednadžbom 
, što je ekvivalentno 
. Napravljene transformacije nam omogućavaju da uvedemo novu varijablu, koja rješenje svodi na original eksponencijalna jednačina za rješavanje kvadratne jednadžbe
Izraz a n (potencija sa celobrojnim eksponentom) biće definisan u svim slučajevima, osim u slučaju kada je a = 0 i n je manje ili jednako nuli.
Svojstva stepeni
Osnovna svojstva stupnjeva sa cjelobrojnim eksponentom:
a m *a n = a (m+n) ;
a m: a n = a (m-n) (sa a nije jednako nuli);
(a m) n = a (m*n) ;
(a*b) n = a n *b n ;
(a/b) n = (a n)/(b n) (sa b nije jednako nuli);
a 0 = 1 (sa a nije jednako nuli);
Ova svojstva će vrijediti za sve brojeve a, b i bilo koje cijele brojeve m i n. Također je vrijedno napomenuti sljedeće osobine:
Ako je m>n, onda je a m > a n, za a>1 i a m
Možemo generalizirati koncept stepena broja na slučajeve u kojima racionalni brojevi djeluju kao eksponent. U isto vrijeme, želio bih da se ispune sva navedena svojstva ili barem neka od njih.
Na primjer, ako je svojstvo (a m) n = a (m*n) zadovoljeno, vrijedi sljedeća jednakost:
(a (m/n)) n = a m .
Ova jednakost znači da broj a (m/n) mora biti n-ti korijen broja a m.
Potencija nekog broja a (većeg od nule) sa racionalnim eksponentom r = (m/n), gdje je m neki cijeli broj, n prirodni broj veći od jedan, je broj n√(a m). Na osnovu definicije: a (m/n) = n√(a m).
Za sve pozitivne r, snaga nule će biti određena. Po definiciji, 0 r = 0. Imajte na umu da za bilo koji cijeli broj, bilo koji prirodni m i n, i pozitivan A tačna je sljedeća jednakost: a (m/n) = a ((mk)/(nk)) .
Na primjer: 134 (3/4) = 134 (6/8) = 134 (9/12).
Iz definicije stepena s racionalnim eksponentom direktno slijedi da će za bilo koje pozitivno a i bilo koje racionalno r broj a r biti pozitivno.
Osnovna svojstva stepena sa racionalnim eksponentom
Za bilo koje racionalne brojeve p, q i bilo koje a>0 i b>0 vrijede sljedeće jednakosti:
1. (a p)*(a q) = a (p+q) ;
2. (a p):(b q) = a (p-q) ;
3. (a p) q = a (p*q) ;
4. (a*b) p = (a p)*(b p);
5. (a/b) p = (a p)/(b p).
Ova svojstva proizlaze iz svojstava korijena. Sva ova svojstva se dokazuju na sličan način, pa ćemo se ograničiti na dokazivanje samo jednog od njih, na primjer, prvog (a p)*(a q) = a (p + q) .
Neka je p = m/n, i q = k/l, gdje su n, l neki prirodni brojevi, a m, k neki cijeli brojevi. Zatim morate dokazati da:
(a (m/n))*(a (k/l)) = a ((m/n) + (k/l)) .
Prvo, dovedemo razlomke m/n k/l na zajednički imenilac. Dobijamo razlomke (m*l)/(n*l) i (k*n)/(n*l). Prepišimo lijevu stranu jednakosti koristeći ove notacije i dobićemo:
(a (m/n))*(a (k/l)) = (a ((m*l)/(n*l)))*(a ((k*n)/(n*l)) ).
(a (m/n))*(a (k/l)) = (a ((m*l)/(n*l)))*(a ((k*n)/(n*l)) ) = (n*l)√(a (m*l))*(n*l)√(a (k*n)) = (n*l)√((a (m*l))*(a (k*n))) = (n*l)√(a (m*l+k*n)) = a ((m*l+k*n)/(n*l)) = a ((m /n)+(k/l)) .
Lekcija br. 30 (Algebra i osnovna analiza, 11. razred)
Tema lekcije: Stepen sa racionalnim eksponentom.
Cilj lekcije: 1 . Proširiti pojam stepena, dati pojam stepena sa racionalnim eksponentom; naučiti kako pretvoriti stepen s racionalnim eksponentom u korijen i obrnuto; izračunati potencije sa racionalnim eksponentom.
2. Razvoj pamćenja i mišljenja.
3. Formiranje aktivnosti.
„Neka neko pokuša da precrta
sa diplome matematike, i videće,
Da bez njih nećeš daleko stići.” M.V. Lomonosov
Tokom nastave.
I. Izjava o temi i svrsi lekcije.
II. Ponavljanje i konsolidacija obrađenog gradiva.
1. Analiza neriješenih domaćih primjera.
2. Nadzor samostalnog rada:
Opcija 1.
1. Riješite jednačinu: √(2x – 1) = 3x – 12
2. Riješite nejednačinu: √(3x – 2) ≥ 4 – x
Opcija 2.
1. Riješite jednačinu: 3 – 2x = √(7x + 32)
2. Riješite nejednačinu: √(3x + 1) ≥ x – 1
III. Učenje novog gradiva.
1 . Prisjetimo se proširenja pojma brojeva: N ê Z ê Q ê R.
Ovo je najbolje predstavljeno dijagramom ispod:
prirodno (N)
Zero
Nenegativni brojevi
Negativni brojevi
Razlomci brojeva
cijeli brojevi (Z)
Iracionalno
Racionalno (Q)
Realni brojevi
2. U nižim razredima definisan je pojam stepena broja sa celobrojnim eksponentom. a) Zapamtite definiciju eksponenta a) sa prirodnim, b) sa negativnim cijelim brojem, c) sa nultim eksponentom.Naglasite da izraz a n ima smisla za sve cijele brojeve n i sve vrijednosti a, osim a=0 i n≤0.
b) Navedite svojstva stupnjeva sa cjelobrojnim eksponentom.
3. Usmeni rad.
1). Izračunaj: 1 -5 ; 4 -3 ; (-100 ; (-5) -2 ; (1/2) -4 ; (3/7) -1 .
2). Zapiši ga kao stepen sa negativnim eksponentom:
1/4 5 ;1/21 3 ; 1/x 7 ; 1/a 9 .
3).Uporedi sa jedinicom: 12-3 ; 21 0 ; (0,6) -5 ; (5/19) -4 .
4 . Sada morate razumjeti značenje izraza 3 0,4 ; 4 5/7 ; 5 -1/2 itd. Da bi se to postiglo, potrebno je generalizovati pojam stepena na način da budu zadovoljena sva navedena svojstva stepeni. Uzmite u obzir jednakost (a m/n ) n = a m . Zatim po definiciji korijena n-ti stepen razumno je pretpostaviti da a m/n će n-ti korijen stepeni od broja a m . Daje se definicija stepena sa racionalnim eksponentom.
5. Razmotrite primjere 1 i 2 iz udžbenika.
6. Dajemo nekoliko komentara vezanih za koncept stepena sa racionalnim eksponentom.
Napomena 1 : Za bilo koje a>0 i racionalni broj r broj a r >0
Napomena 2 : Prema osnovnom svojstvu razlomaka, racionalni broj m/n može se napisati u obliku mk/nk za bilo koji prirodni broj k. Ondavrijednost stepena ne zavisi od oblika pisanja racionalnog broja, pošto a mk/nk = = nk √a mk = n √a m = a m/n
Napomena 3: Kada a Objasnimo ovo na primjeru. Uzmite u obzir (-64) 1/3 = 3 √-64 = -4. S druge strane: 1/3 = 2/6, a zatim (-64) 1/ 3 = (-64) 2/6 = 6 √(-64) 2 = 6√64 2 = 6 √4 6 = 4. Dobijamo kontradikciju.
