Jacob Sinai. Jevrejska tradicija i egzaktne nauke. Nagrade i nagrade

Y. G. Sinai je rođen u porodici sa bogatom kulturnom tradicijom. Njegovi roditelji su bili istraživači u oblasti medicine, a djed V.F. Kagan, jedan od prvih matematičara u Rusiji koji je radio na polju neeuklidske i diferencijalne geometrije. Studirao je na Fakultetu za mehaniku i matematiku Moskovskog državnog univerziteta, koji je diplomirao 1957. godine. Student A. N. Kolmogorova. Kandidat nauka (1960), doktor nauka (1964). Od 1960. radio je na Moskovskom državnom univerzitetu, od 1971. - profesor. Radio je i kao viši (1962), glavni (1986) istraživač na Institutu za teorijsku fiziku. L. D. Landau. Od 1993. - profesor na Univerzitetu Princeton. Član Američkog matematičkog društva.

Sinajevi glavni radovi leže u oblasti matematike i matematičke fizike, posebno u bliskom preplitanju teorije verovatnoće, teorije dinamičkih sistema, ergodičke teorije i drugih. matematički problemi statistička fizika. Bio je među prvima koji je pronašao sposobnost izračunavanja entropije za široku klasu dinamičkih sistema (tzv. “Kolmogorov-Sinajska entropija”). Velika važnost imaju svoj rad o geodetskim tokovima na površinama negativne zakrivljenosti, gdje je dokazao da pomaci duž trajektorija geodetskog toka stvaraju slučajne procese koji imaju najjača moguća svojstva stohastičnosti i, između ostalog, zadovoljavaju središnje granična teorema teorija vjerovatnoće.

Među njegovim učenicima najpoznatiji je G. A. Margulis.

Dobitnik je Poincare nagrade (2009), Međunarodne Dobrušinove nagrade (2009), Vukove nagrade (1996/7). Odlikovan Boltzmannom medaljom (1986).

2009. godine izabran je za stranog člana Britanskog kraljevskog društva.

Knjige na ruskom

Sinai Ya. G. Teorija faznih prelaza: rigorozni rezultati - M.: Nauka, 1980.
Kornfeld I. P., Sinai Ya. G., Fomin S. V. Ergodička teorija - M.: Nauka, 1980.
Sinai Ya. G. Kurs teorije vjerovatnoće. Dio 1, Dio 2 - M.: Izdavačka kuća Moskovskog državnog univerziteta, 1985

Profesor Fakulteta za mehaniku i matematiku Moskovskog državnog univerziteta i Katedre za matematiku Visoke škole ekonomije Nacionalnog istraživačkog univerziteta, profesor Univerziteta Cornell (SAD), potpredsjednik Moskovskog matematičkog društva, rektor Moskovskog matematičkog društva Nezavisni univerzitet Julij Iljašenko.

Jakov Grigorijevič Sinaj
Dobitnik Abelove nagrade 2014

Predsjednik Norveške akademije nauka objavio je 26. marta u Oslu ime dobitnika Abelove nagrade za 2014. godinu, analoga Nobelove nagrade za matematiku. Bio je to izuzetan naučnik koji predstavlja Rusiju i SAD, Jakov Grigorijevič Sinaj. Ova nagrada je dobila ime po matematičaru . Norveška akademija nauka i književnosti bira svog laureata od strane komisije od pet vodećih međunarodnih matematičara. Od 2003. godine dobitnici ove nagrade su oni naučnici čiji je rad izuzetne dubine i imao značajan uticaj na ovu oblast nauke. Yakov Grigorievich Sinai dobio ga je „za temeljni doprinos proučavanju dinamičkih sistema, ergodičke teorije i matematičke fizike“.

Škola Kolmogorov

— Pa zašto je Jakov Sinai prepoznat kao laureat najprestižnije nagrade u oblasti matematike?

— Jakov Grigorijevič je jedan od najpoznatijih učenika. Zauzvrat, Andrej Nikolajevič je učenik osnivača Moskovske matematičke škole. Kolmogorov je jedan od najistaknutijih ne samo matematičara, već i naučnika dvadesetog veka. Razvio je svoju ogromnu školu, u kojoj su se, pored Sinaja, proslavili mnogi akademici i profesori. Navešću samo jednu od njih - . Sinaj je zauzvrat stvorio školu, o kojoj ću reći nekoliko riječi kasnije.

Andrej Nikolajevič Kolmogorov dao je fundamentalne doprinose različitim oblastima matematike. Posebno su poznati njegovi radovi o teoriji vjerovatnoće i dinamičkim sistemima. Jakov Grigorijevič je cijeli svoj život radio na raskrsnici ove dvije oblasti sa matematičkom fizikom.

Teorija vjerojatnosti i teorija dinamičkih sistema.

— Čime se bave ove dvije nauke?

— Studije teorije vjerovatnoće slučajni događaji. Na primjer, bacite novčić i nasumično dobijete glavu ili rep. Jedan od glavnih rezultata teorije vjerovatnoće je zakon veliki brojevi, što je dokazao Kolmogorov. Ona leži u činjenici da će u prosjeku broj glava ili repova biti isti za veliki broj pokušaja. Ono što sam rekao nije strogo matematička formulacija. Jedno od glavnih Kolmogorovljevih dostignuća bilo je to što je ovoj naivnoj izjavi dao tačno matematičko značenje, a zatim dokazao šta se dogodilo.

Teorija diferencijalnih jednadžbi ili dinamičkih sistema na prvi pogled se bavi suprotnim problemima. Ona proučava takozvane determinističke, potpuno predvidljive procese. bio je prvi koji je shvatio da diferencijalne jednadžbe opisuju većinu procesa koji se dešavaju u prirodi tokom vremena. Na primjer, let planeta, kao i kretanje molekula. Koristeći teoriju diferencijalnih jednadžbi koju je stvorio, Newton je opisao rotaciju planeta oko Sunca i, posebno, dokazao zakone ranije otkrivene eksperimentalno. Na primjer, činjenica da se sve planete kreću oko Sunca ravnim orbitama u obliku elipse.

Krajem 18. veka matematičari su počeli da shvataju da diferencijalne jednačine imaju takozvano svojstvo jedinstvenosti rešenja. Ako u nekom trenutku znamo stanje procesa (na primjer, položaj planete i njegovu brzinu), tada možemo predvidjeti u beskonačno vrijeme u budućnosti, kao i rekonstruirati u beskonačno vrijeme u prošlosti sudbina ove planete, njen let, putanja.

P.S.

Ceremonija dodjele Abelove nagrade Jakov Grigorijevič Sinaj održano 20.05.2014.
Svečana dodjela nagrada održana je u atrijumu Univerziteta u Oslu (Aula), na Pravnom fakultetu, gdje je od 1947. do 1989. nobelova nagrada mir. Iznos ove nagrade je oko milion dolara.

Jakov Grigorijevič Sinaj(rođen 21. septembra 1935, Moskva, SSSR) - sovjetski i američki matematičar, punopravni član RAS (7. decembar 1991), dobitnik nekoliko prestižne nagrade, uključujući Abelovu nagradu (2014).

Biografija

Y. G. Sinai je rođen u porodici medicinskih naučnika. Unuk V. F. Kagana, jednog od prvih matematičara u Rusiji koji je radio na polju neeuklidske i diferencijalne geometrije. Otac - potpukovnik medicinske službe, doktor medicinskih nauka Grigorij Jakovljevič Sinai (1902-1952), šef Odsjeka za mikrobiologiju 3. moskovske medicinski institut, od 1945., profesor odsjeka za mikrobiologiju i virusologiju 2. Moskovskog državnog medicinskog instituta, urednik temeljnog priručnika „Mikrobiološke metode istraživanja zaraznih bolesti“ (1940., 1949.), autor monografije „Tularemija“ (1940.) i “Kratki vodič za borbu protiv kuge” (1941). Majka - Nadežda Veniaminovna Kagan (1900-1938), viši naučni saradnik Instituta za eksperimentalnu medicinu. M. Gorky; razvijala vakcinu za koze protiv proljetno-ljetnog encefalitisa, zajedno sa laboratorijskim asistentom N. Ya. Utkinom umrla je od posljedica infekcije lijekom virusa encefalitisa, čija je svojstva proučavala. Brat - mehaničar G. I. Barenblatt.

Studirao je na Fakultetu za mehaniku i matematiku Moskovskog državnog univerziteta, koji je diplomirao 1957. godine. Godine 1956. oženio se svojom koleginicom Elenom Bentsionovnom Vul, kćerkom poznati fizičar Bension Moiseevich Vul.

Student A. N. Kolmogorova. Kandidat nauka (1960), doktor nauka (1964). Od 1960. radio je na Moskovskom državnom univerzitetu, od 1971. - profesor. Radio je i kao viši (1962), a potom i glavni (1986) istraživač na Institutu za teorijsku fiziku. L. D. Landau. Od 1993. - profesor na Univerzitetu Princeton.

Naučna interesovanja

Glavni radovi leže u oblasti matematike i matematičke fizike, posebno u bliskom preplitanju teorije verovatnoće, teorije dinamičkih sistema, ergodičke teorije i drugih matematičkih problema statističke fizike. Bio je među prvima koji je pronašao sposobnost izračunavanja entropije za široku klasu dinamičkih sistema (tzv. “Kolmogorov-Sinajska entropija”). Od velike važnosti su njegovi radovi o geodetskim tokovima na površinama negativne zakrivljenosti, gdje je dokazao da pomaci duž trajektorija geodetskog toka stvaraju slučajne procese koji imaju najjača moguća svojstva stohastičnosti i, između ostalog, zadovoljavaju središnju graničnu teoremu teorija vjerovatnoće. Veliki niz radova posvećen je teoriji rasipanja bilijara - "Sinajski bilijar". Poznati su radovi Ya. G. Sinaija u oblasti teorije faznih prelaza, kvantnog haosa, dinamičkih svojstava Burgersove jednačine i jednodimenzionalne dinamike.

Među njegovim učenicima najpoznatiji je G. A. Margulis.

2009. godine izabran je za stranog člana Britanskog kraljevskog društva. Član Nacionalne akademije nauka SAD. Od 2012. godine je punopravni član Američkog matematičkog društva.

Nagrade i nagrade

Boltzmannova medalja (1986.)
Nagrada A. A. Markov Akademije nauka SSSR-a (1989.)
Memorijalno predavanje Solomona Lefschetza (1989.)
Nagrada Danny Heineman za matematičku fiziku (1990.)
Dirac medalja (1992.)
Vukova nagrada za matematiku (1996/1997)
Predavanje Yu. Mosera (2001)
Nemmersova nagrada za matematiku (2002.)
Kolmogorovljeva medalja (2007.)
Poincaré nagrada (2009.)
Međunarodna nagrada Dobrushina (2009.)
Steele nagrada (2013.)
Abelova nagrada (2014.)
Nagrada Marcel Grossmann (2015.)

Zbornik radova

Sinai Ya. G. Teorija faznih prijelaza: rigorozni rezultati. - M.: Nauka, 1980.
Kornfeld I. P., Sinai Ya. G., Fomin S. V. Ergodic theory. - M.: Nauka, 1980.
Sinai Ya. G. Kurs teorije vjerovatnoće. Dio 1 - M.: Izdavačka kuća Moskovskog državnog univerziteta, 1985.
Sinai Ya. G. Kurs teorije vjerovatnoće. Dio 2 - M.: Izdavačka kuća Moskovskog državnog univerziteta, 1986.
Sinai Ya. G. Savremena pitanja ergodička teorija. - M.: Fizmatgiz, 1995.
Yakov G. Sinai. Selecta. Tom I: Ergodička teorija i dinamički sistemi, Springer, 2010.
Yakov G. Sinai. Selecta. Tom II: Teorija vjerovatnoće, statistička mehanika, matematička fizika i matematička dinamika fluida, Springer, 2010.

Višekomponentni slučajni sistemi / IPPI AS SSSR; odn. ed. R. L. Dobrushin, Ya. G. Sinai. - M.: Nauka, 1978. - 324 str.
Čudni atraktori: zbornik članaka / prev. sa engleskog uređeno od Ya. G. Sinaya, L. P. Shilnikova. - M.: Mir, 1981. - 253 str.
Sailer E. Gauge teorije: veze s konstruktivnim kvantna teorija polja i statistička mehanika / prev. sa engleskog V. V. Anshelevič, E. I. Dinaburg; Ed. Ya.G. Sinaya. - M.: Mir, 1985. - 222 str.
Neumann J. von. Izabrani radovi o funkcionalnoj analizi. U 2 tom. / Ed. A. M. Vershika, A. N. Kolmogorov i Ya. G. Sinai. - M.: Nauka, 1987.
Fraktali u fizici: Zbornik radova VI međunarodnog simpozijuma. Per. sa engleskog / Ed. Ya. G. Sinaya i I. M. Khalatnikova. - M.: Mir, 1988. - 670 str.
Matematički događaji dvadesetog veka. Zbornik članaka / Ed. Yu. S. Osipov, A. A. Bolibrukh, Ya. G. Sinai. - M.: Fazis, 2003, - 548 str.

Izvori

Iljašenko Yu. S. Ya. G. Sinai, dobitnik Abelove nagrade // Matematičko obrazovanje. - 2015. - Br. 19 (treća epizoda). - str. 40-51.
Raussen M., Skau K. Interview with J. G. Sinai, Abel laureate 2014 // Matematičko obrazovanje. - 2015. - Br. 19 (treća epizoda). - str. 52-69.

Predsjednik Norveške akademije nauka objavio je 26. marta u Oslu ime dobitnika Abelove nagrade za 2014. godinu – analoga Nobelove nagrade za matematiku. Bio je to izuzetan naučnik koji predstavlja Rusiju i SAD, Jakov Grigorijevič Sinaj. Ova nagrada je dobila ime po matematičaru Nielsu Henriku Abelu. Norveška akademija nauka i književnosti bira svog laureata od strane komisije od pet vodećih međunarodnih matematičara. Od 2003. godine dobitnici ove nagrade su oni naučnici čiji je rad izuzetne dubine i imao značajan uticaj na ovu oblast nauke. Yakov Grigorievich Sinai dobio ga je „za temeljni doprinos proučavanju dinamičkih sistema, ergodičke teorije i matematičke fizike“.

Škola Kolmogorov

- Pa zašto je Jakov Sinai prepoznat kao laureat najprestižnije nagrade u oblasti matematike?

Jakov Grigorijevič je jedan od najpoznatijih učenika Andreja Nikolajeviča Kolmogorova. Zauzvrat, Andrej Nikolajevič je učenik osnivača moskovske matematičke škole Nikolaja Nikolajeviča Luzina. Kolmogorov je jedan od najistaknutijih ne samo matematičara, već i naučnika dvadesetog veka. Razvio je svoju ogromnu školu, u kojoj su se, pored Sinaja, proslavili mnogi akademici i profesori. Navešću samo jednog od njih - Vladimir Igorevič Arnold. Sinaj je zauzvrat stvorio školu, o kojoj ću reći nekoliko riječi kasnije.

Teorija vjerojatnosti i teorija dinamičkih sistema

Šta rade ove dvije nauke?

Teorija vjerovatnoće proučava slučajne događaje. Na primjer, bacite novčić i nasumično dobijete glavu ili rep. Jedan od glavnih rezultata teorije vjerovatnoće je zakon velikih brojeva, koji je dokazao Kolmogorov. Ona leži u činjenici da će u prosjeku broj glava ili repova biti isti za veliki broj pokušaja. Ono što sam rekao nije stroga matematička formulacija. Jedno od glavnih Kolmogorovljevih dostignuća bilo je to što je ovoj naivnoj izjavi dao tačno matematičko značenje, a zatim dokazao šta se dogodilo.

Teorija diferencijalnih jednadžbi ili dinamičkih sistema na prvi pogled se bavi suprotnim problemima. Ona proučava takozvane determinističke, potpuno predvidljive procese. Newton je bio prvi koji je shvatio da diferencijalne jednadžbe opisuju većinu procesa koji se dešavaju u prirodi tokom vremena. Na primjer, let planeta, kao i kretanje molekula. Koristeći teoriju diferencijalnih jednadžbi koju je stvorio, Newton je opisao rotaciju planeta oko Sunca i, posebno, dokazao Keplerove zakone koji su prethodno eksperimentalno otkriveni. Na primjer, činjenica da se sve planete kreću oko Sunca ravnim orbitama u obliku elipse.

Štaviše, Laplas je shvatio da se isti princip determinizma ne primenjuje samo na kretanje planeta, već i na kretanje mikroskopskih objekata. Na primjer, molekule.

Dakle, ovo je univerzalno svojstvo?

Da. Ovo je univerzalno svojstvo jedinstvenosti. A u svojoj raspravi o teoriji vjerovatnoće, Laplas je napisao: „Um koji bi znao za svakoga u ovom momentu sve sile koje oživljavaju prirodu i njen relativni položaj komponente, ako bi se, osim toga, pokazalo da je dovoljno opsežno da se ovi podaci podvrgnu analizi, on bi u jednoj formuli obuhvatio kretanje najvećih tijela Univerzuma na jednakoj osnovi sa kretanjima najlakših atoma; ne bi ostalo ništa što bi za njega bilo nepouzdano, a budućnost, kao i prošlost, pojavila bi mu se pred očima.”

Ovo je mnogo više od matematičkog rezultata. Ovo je filozofija koja obuhvata razvoj čitavog Univerzuma oko nas. Filozofija je, uprkos Laplaceovom patosu, prilično dosadna. Ona leži u činjenici da živimo u svijetu u kojem je sve predviđeno. Kada bi neki veliki um znao početne brzine i položaje svih molekula i svih drugih tijela u Univerzumu, mirno bi predvidio prošlost i rekonstruirao budućnost.

Ali on ne zna.

Ali on ne zna. I što je najvažnije, kasniji razvoj nauke opovrgnuo je ovu filozofiju. Yakov Grigorievich Sinai radi u ovoj oblasti.

U 19. veku se činilo da nema više suprotstavljenih grana matematike od diferencijalnih jednačina i teorije verovatnoće. Ali razvoj matematike u dvadesetom veku pokazao je da su to dve usko isprepletene oblasti. I Sinaj je dao odlučujući doprinos razumijevanju ovih veza. Međutim, više o tome nešto kasnije.

Prije nego što pređem na priču o ovim vezama, koje proučava takozvana ergodička teorija, želim govoriti o nekim Sinajevim mladalačkim radovima.

Sinajevi rani radovi

- Richard Feynman piše da raznolikost prirodnih zakona nije depresivno velika. To se događa zato što su različiti zakoni opisani istim matematičkim formulama. Isto se može reći i za diferencijalne jednadžbe. Na prvi pogled, raznolikost diferencijalnih jednadžbi izgleda potpuno beskrajna. Ali postoji pristup koji omogućava da se mnoge diferencijalne jednadžbe smatraju istim. Grubo govoreći, takve jednadžbe se dobivaju jedna od druge zamjenom koordinata, te stoga, unatoč vanjskim razlikama, imaju duboku unutarnju sličnost i gotovo istovjetnost. Postavlja se pitanje: kako znate da li su dvije diferencijalne jednadžbe iste ili različite? Da bi odgovorili na ovo pitanje, matematičari proučavaju takozvane invarijante. Ovo su svojstva diferencijalnih jednadžbi koje se ne mijenjaju kada izvršimo promjene koordinata. Ako bismo vidjeli dvije diferencijalne jednadžbe koje nisu slične po izgledu, a invarijanta koju smo otkrili izračunava se za njih i uzima različita značenja, to znači da nijedna promjena koordinata ne može transformirati jednu jednačinu u drugu.

Pored diferencijalnih jednadžbi, postoje i preslikavanja. To su nešto poput funkcija. Funkcija poklapa jedan broj s drugim, a zaslon poklapa jednu tačku s drugom. Pa, na primjer, u školi uče preslikavanja ravnine - rotacije, translacije, proširenja. I možete proučavati mnogo složenija preslikavanja ravnine, na primjer, uzeti pravu liniju kompleksni brojevi: z = x+iy i razmotrimo preslikavanja p(z) = z 2 ili p(z)= z 2 +C. Dinamički sistemi proučavaju ne samo diferencijalne jednačine, već i iteracije preslikavanja. Pisanje iterativnog kvadrata preslikavanja p je isto kao i uzimanje preslikavanja p i primjena ga ne na z, već na sliku tačke z pod djelovanjem preslikavanja p: P 2 (z) = P(P(z) )). Dobra vježba je zapisati koji polinom i koji stepen će proizvesti. Dinamički sistemi razmatraju mapiranje p primenjeno k puta i ispituju šta se dešava sa tačkom: p k (z), k=1,2... kako k ide u beskonačnost. Ovo je bio tako mali primjer koji pokazuje da se teorija dinamičkih sistema bavi ne samo diferencijalnim jednadžbama, već i preslikavanjima i njihovim iteracijama.

U teoriji mapiranja, takozvani Bernoullijev pomak je vrlo popularan. Bernulijev pomak se može shvatiti kao matematička formalizacija istorije bacanja novčića. Bacamo novčić i bilježimo rezultate grla i repa.

Sada zamislite da ne bacamo novčić, već, recimo, šestostranu kockicu. I pada na jedno od šest lica. Snimamo istoriju ovih bacanja. Gledajući rezultujuće sekvence, lako je doći do mapiranja (tzv. preslikavanja pomaka u jednoj poziciji), koje neću detaljno opisivati; naziva se Bernoullijev pomak.

Dugo se postavljalo pitanje da li se radi o različitim ili identičnim dinamičkim sistemima: Bernuli se pomera u nizu od dva i šest simbola. Andrej Nikolajevič Kolmogorov smislio je invarijantu zvanu "entropija" i koja je omogućila da se dokaže da su ova dva dinamička sistema različita. Drugim riječima, Bernoullijev pomak za niz od dva simbola i od šest simbola (Kolmogorov je imao tri simbola umjesto šest) su različiti, neekvivalentni dinamički sistemi.

Mladi Jakov Sinai, kada je bio diplomirani student Kolmogorova, aktivno je učestvovao u razvoju teorije nove invarijante, a ta invarijanta je ušla u teoriju dinamičkih sistema i doslovno je prožimala pod nazivom „Kolmogorov- Entropija Sinaja.”

Ovo je, zapravo, bio prvi veći ciklus djela Jakova Grigorijeviča Sinaja?

Apsolutno u pravu. Invarijantu je uveo Kolmogorov i oni su je zajedno razvili.

Ergodična teorija

- Sljedeći važan ciklus Sinajevih djela odnosi se na takozvanu ergodičku teoriju. Ovdje vrijedi ponovo napraviti korak unazad i reći odakle potiče ergodička teorija.

Sa Laplaceove tačke gledišta, kretanje molekula vazduha oko nas opisuje se diferencijalnim jednačinama. Ovdje sjedimo u prostoriji i udišemo zrak čije ponašanje predstavlja rješenje diferencijalna jednadžba u prostoru sa veoma, veoma velikim brojem koordinata. Pitanje: zašto udišemo homogeni vazduh? Zašto je pritisak u gornjem desnom uglu prostorije i u suprotnom, donjem levom uglu prostorije isti? Uostalom, molekuli u donjem desnom uglu uopšte ne znaju šta se dešava u gornjem levom uglu. Zašto se ponašaju isto?

Austrijski fizičar Bolcman je krajem 19. veka pokušao da shvati ovo pitanje i došao do takozvane ergodičke teorije. On je predložio da se rješenja vrlo složenih diferencijalnih jednačina ponašaju vjerovatno. Geometrijskim jezikom ova pretpostavka izgleda ovako. Rješenje diferencijalne jednadžbe je opis kretanja tačke u prostoru. Ovaj prostor može imati mnogo koordinata ili, kako kažu, vrlo veliku dimenziju. Zove se fazni prostor. Boltzmann je sugerirao da ako čekamo dovoljno dugo, rješenje složene diferencijalne jednadžbe će imati vremena da obiđe sve regije faznog prostora. Na primjer, cjelokupna kolekcija molekula u prostoriji predstavljena je jednom tačkom u faznom prostoru kolosalne dimenzije. Ova tačka će obići sve delove faznog prostora i posetiće svaki deo sa frekvencijom proporcionalnom njegovoj veličini. Možete zamisliti sljedeću ilustraciju: postoji volumen u prostoru (relativno rečeno, soba), i jedna tačka se tamo kreće vrlo, vrlo brzo, koja, naravno, zauzima određenu poziciju u svakom trenutku vremena. Ali nakon dovoljno vremena, ona će imati vremena da obiđe svaki kubni decimetar sobe. A ako joj damo još više vremena, imat će vremena da obiđe svaki kubni centimetar. Ako i duže - u svakom kubnom milimetru. I tako dalje…

Ergodička teorija formalizira tačno šta ova izjava znači, koju sam formulisao intuitivno. I pretvara to u teoremu. Međutim, Boltzmann je formulirao samo koncepte i hipoteze. On nije dokazao ni jednu teoremu u ergodičkoj teoriji.

Odnosno, tek je počeo.

Da. Bio je nešto poput vizionara.

Ergodičku teoriju formalizirali su 1930-ih Birhoff i von Neumann, koji su prvi formulirali uredne teoreme i dokazali ih pod određenim uvjetima. Pokazalo se da ne važe za bilo koji dinamički sistem, već za dinamički sistem koji čuva tzv. fazni volumen. Možemo uporediti kretanje tačaka pod dejstvom diferencijalne jednadžbe sa kretanjem molekula pod dejstvom strujanja gasa ili kretanjem čestica vode pod dejstvom hidrodinamičkog strujanja. Dakle, gas je kompresibilan, ali voda nije. Dinamički sistemi koji čuvaju zapreminu slični su protoku vode, a ne protoku gasa. Birhoff i von Neumann su za takve dinamičke sisteme dokazali ergodičku teoremu. Ova teorema gradi most između teorije vjerovatnoće i dinamičkih sistema.

Evo misaonog eksperimenta iz teorije vjerovatnoće. Novčići se nasumično bacaju na sto na kojem se nalaze veliki i mali tanjiri.

Teorija vjerovatnoće kaže da nakon veliki broj bacanje novčića na svaku ploču će biti proporcionalno njenoj površini. Ali evo šta kaže teorija dinamičkih sistema: tačka koja se kreće pod uticajem ergodičke diferencijalne jednačine posećuje svaki deo faznog prostora sa istom frekvencijom kao što bi tu pao nasumično bačen „novčić“.

Da bi dinamički sistem imao svojstvo ergodičnosti, potrebno je nametnuti uslove koje je veoma teško proveriti. Nemaju svi dinamički sistemi ergodično ponašanje, odnosno mogućnost posjete bilo kojem kutu faznog prostora. Pitanje: da li je tačno da sistemi gasne dinamike imaju ovo svojstvo?

Mladi Jacob Sinai se pozabavio ovim problemom. U isto vreme, slavna generacija naučnika proučavala je teoriju dinamičkih sistema - Anosov i Arnold u Rusiji, Smale u SAD. Smale je došao u Rusiju i imao veoma snažan uticaj na naše naučnike. Pisao je i o snažnom uticaju koji su imali na njega. Konkretno, jedan od problema koji je postavio Smale bio je da dokaže (šta god to značilo) strukturnu stabilnost geodetskog toka na mnogostrukosti negativne zakrivljenosti (previše žargona da bi se ovo objasnilo neupućenima). Spomenuo sam ovaj problem jer je, razmišljajući o njemu, Dmitrij Viktorovič Anosov stvorio teoriju takozvanih hiperboličkih dinamičkih sistema. Geodetski tok o kojem se govori jedan je od važnih, ali daleko od jedinog primjera hiperboličkog sistema.

Ima li ovo veze sa terestričkom geodezijom?

Samo zato što je geodetska linija na površini najkraća linija. A geodezija se bavi mjerenjem udaljenosti na zemlji i, posebno, crtanjem najkraćih puteva između dvije tačke. Dakle, veza je direktna, ali je potrebno predugo da se objasni.

Yakov Sinai je prvi primijenio metode hiperboličke teorije na Boltzmannu hipotezu i probleme plinske dinamike. On je uvelike unapredio dokaz Boltzmannove ergodičke hipoteze (njegovi sledbenici sada rade na tome, a ovaj problem, koji nije u potpunosti rešen, sada je veoma duboko proučavan). Sada se zove ergodička Boltzmann-Sinai hipoteza.

Nisu svi dinamički sistemi poput protoka vode i održavaju fazni volumen. Postoje mnogi dinamički sistemi koji su slični bijesnom vjetru koji nosi oblake prašine ili kretanju raspršene materije u Univerzumu. Ova raspršena supstanca može s vremenom formirati klastere, grupirati se i formirati figure mnogo manje od prostora u kojem je kretanje počelo. U početku, materija ravnomerno raspršena po Univerzumu može formirati veoma guste klastere, a možemo govoriti o masi različitim dijelovima ovih klastera.

Ova slika ilustruje ono što matematičari nazivaju graničnom invarijantnom mjerom za dinamički sistem. Jedna od najpoznatijih i takođe intenzivno proučavanih mjera je takozvana Sinai-Ruelle-Bowen mjera. Jakov Grigorijevič je bio jedan od tri tvorca ovog koncepta, a on je takođe centralni za teoriju dinamičkih sistema.

Common Faith savremeni matematičari je da većina dinamičkih sistema pokazuje i determinističko i vjerojatnostno ponašanje. Determinističko ponašanje kontrolira izlaz svih čestica u taj skup, tu akumulaciju materije na koju je koncentrisana mjera Sinai-Ruelle-Bowen. Ovaj klaster se naziva atraktor. A teorija vjerovatnoće kontrolira kretanje duž ove akumulacije materije - duž atraktora.

Problem turbulencije

Riječ "turbulencija" može izgledati nepoznato. Međutim, čuli su to skoro svi koji su letjeli avionima. Zapamti miran glas stjuardesa: „Naš avion je ušao u zonu turbulencije. Vežite sigurnosne pojaseve". To znači da je avion ušao u zonu vazdušnih vrtloga koji se kovitlaju, sudaraju i ometaju let. Turbulentni tok fluida izgleda približno isto.

Nedavno je Jakov Grigorijevič uložio mnogo truda u proučavanje matematičke hidrodinamike.

Protok fluida opisuje se takozvanom Navier-Stokesovom jednačinom. Ovo je parcijalna diferencijalna jednadžba. Njegovo istraživanje Institut Clay proglasio je jednim od sedam vodećih problema 21. vijeka, a radi se o jednom od takozvanih milenijumskih nagradnih problema, za čije je rješavanje raspisana milionska nagrada. Problem je sljedeći: počnite s Navier-Stokesovim jednadžbama, prilično kompaktnim parcijalnim diferencijalnim jednadžbama, i koristite ih za potpuno objašnjenje misteriozni fenomen turbulencija, koja je takođe u nekom smislu u suprotnosti sa determinističkom filozofijom Laplasa. Naime, zamislimo sljedeći eksperiment: uzmimo tekućinu u posudu i polako je ubrzamo. Na primjer, posuda može biti razmak između dva cilindra koji sadrže tekućinu. Jedan cilindar miruje, a drugi počinje polako da se okreće, ubrzavajući do veoma velike brzine. Ovaj proces se može opisati diferencijalnom jednadžbom, ali samo u beskonačno-dimenzionalnom prostoru. U skladu s teorijom postojanja i jedinstvenosti, isto rješenje diferencijalne jednadžbe se proučava u dva eksperimenta izvedena na identičan način. I stoga treba posmatrati istu sliku. U međuvremenu, u početku je ova hipoteza zaista potvrđena (to jest, u dva eksperimenta razvoj toka je približno isti: postoje uredni mlazovi koje je lako pratiti i opisati), ali onda se pojavljuju mali vrtlozi, počinje haos i dva obrasci toka u dva gotovo identična eksperimenta potpuno različita jedan od drugog.

Kako ovo objasniti? Hipoteza koju je formulisao akademik Arnold bila je da je Navier-Stokesova jednačina beskonačno-dimenzionalni hiperbolički sistem (kao što vidite, sve je povezano u teoriji dinamičkih sistema). Ova hipoteza još nije dokazana. Jedno od ključnih pitanja odnosi se na jednačinu koja opisuje kretanje fluida bez viskoznosti (kretanje tzv. idealnog fluida). Ovo je pojednostavljena verzija Navier-Stokesove jednadžbe, koja se zove Eulerova jednačina. Pitanje je: da li je tačno da rješenja Ojlerove jednačine, u određenom smislu, idu u beskonačnost u konačnom vremenu?

Yakov Grigorievich je odgovorio na slično pitanje. Ako nastavimo rješavati Ojlerovu jednačinu u kompleksno područje, tada se pojavljuju singularnosti. Ovo je noviji rezultat, koji također ima ne samo matematičku, već i fizičku i filozofsku interpretaciju. Mora se naglasiti da je Jakov Grigorijevič cijeli život blisko sarađivao sa fizičarima. O ovome možemo dugo pričati.

Tradicija davanja

- Rekli ste da je Sinai tvorac sopstvene matematičke škole...

Kao i njegov učitelj, Andrej Nikolajevič Kolmogorov, Jakov Grigorijevič je tvorac apsolutno divne škole. Mnogi njegovi učenici su osnovali svoje škole i postali profesori na različitim univerzitetima. Navešću samo jednog od njih - Fieldsovog laureata G.A. Margulis. Sinai je izvanredan učitelj. Zadržava svoj urođeni ruski matematička škola princip davanja, koji dolazi od njegovog učitelja Kolmogorova.

To jest, Jakov Grigorijevič Sinai daje svoje ideje svojim učenicima?

Da. Nastavnik velikodušno daje svoje ideje učenicima.

U situaciji u kojoj zapadni naučnici obično objavljuju zajedničke članke sa svojim studentima, i to je pošteno (često je presudan doprinos izjava o problemu i ideji rješenja), ruska tradicija je da daju ovu izjavu i početnu podsticaj učeniku. A Sinaj je veoma velikodušan davalac.

Poznato je da se Sinajski ljetni seminar već dugi niz godina održava u Moskvi.

Apsolutno u pravu. Kada Sinaj dođe u Rusiju u proljeće i ljeto, njegov seminar intenzivno radi. Iako je u posljednje vrijeme Yakov Grigorievich uglavnom predavao studentima na Univerzitetu Princeton, gdje je i profesor. Odsjek za matematiku Princetona jedno je od najvećih svjetskih odsjeka za matematiku, dom mnogih Fieldsovih laureata. A Sinaj zauzima počasno mesto u ovoj matematičkoj gardi.

Materijal je pripremljen uz podršku Moskovskog Ministarstva obrazovanja.

P.S. Uručenje Abelove nagrade održat će se 20. maja: dodjela će se održati u atrijumu Univerziteta u Oslu (Aula), na Pravnom fakultetu, gdje je Nobelova nagrada za mir dodjeljivana od 1947. do 1989. godine. Iznos ove nagrade je oko milion dolara.

Razgovarala Natalya Ivanova-Gladilshchikova
"Gazeta.Ru"

Jakov Grigorijevič Sinaj(rođen 21. septembra, Moskva, SSSR) - sovjetski i američki matematičar, redovni član Ruske akademije nauka (7. decembra 1991.), dobitnik niza prestižnih nagrada, uključujući Abelovu nagradu (2014.).

Biografija

Y. G. Sinai je rođen u porodici medicinskih naučnika. Unuk V.F. Kagana - jedan od prvih matematičara u Rusiji koji je radio na polju neeuklidske i diferencijalne geometrije. Otac - potpukovnik medicinske službe, doktor medicinskih nauka Grigorij Jakovlevič Sinai (1902-1952), šef Odsjeka za mikrobiologiju, od 1945., profesor Odsjeka za mikrobiologiju i virusologiju 2. Moskovskog državnog medicinskog instituta, urednik temeljni priručnik “Mikrobiološke metode istraživanja zaraznih bolesti” (1940, 1949), autor monografija “Tularemija” (1940) i “Kratak vodič za borbu protiv kuge” (1941). Majka - Nadežda Veniaminovna Kagan (1900-1938), viši naučni saradnik Instituta za eksperimentalnu medicinu. M. Gorky; razvijala vakcinu za koze protiv proljetno-ljetnog encefalitisa, zajedno sa laboratorijskim asistentom N. Ya. Utkinom umrla je od posljedica infekcije lijekom virusa encefalitisa, čija je svojstva proučavala. Brat - mehaničar G. I. Barenblatt.

Naučna interesovanja

Glavni rad leži u oblastima matematike i matematičke fizike, posebno u bliskom preplitanju teorije verovatnoće, teorije dinamičkih sistema, ergodičke teorije i drugih matematičkih problema statističke fizike. Bio je među prvima koji je pronašao sposobnost izračunavanja entropije za široku klasu dinamičkih sistema (tzv. “Kolmogorov-Sinajska entropija”). Od velike važnosti su njegovi radovi o geodetskim tokovima na površinama negativne zakrivljenosti, gdje je dokazao da pomaci duž trajektorija geodetskog toka stvaraju slučajne procese koji imaju najjača moguća svojstva stohastičnosti i, između ostalog, zadovoljavaju središnju graničnu teoremu teorija vjerovatnoće. Veliki niz radova posvećen je teoriji raspršenog bilijara - "Sinajski bilijar" ( engleski). Poznati su radovi Ya. G. Sinaija u oblasti teorije faznih prelaza, kvantnog haosa, dinamičkih svojstava Burgersove jednačine i jednodimenzionalne dinamike.

Među njegovim učenicima najpoznatiji je G. A. Margulis.

Nagrade i nagrade

Zbornik radova

Sinai Ya. G. Teorija faznih prijelaza: rigorozni rezultati. - M.: Nauka, 1980.
Kornfeld I. P., Sinai Ya. G., Fomin S. V. Ergodična teorija. - M.: Nauka, 1980.
Sinai Ya. G. Kurs teorije vjerovatnoće. Dio 1 - M.: Izdavačka kuća Moskovskog državnog univerziteta, 1985.
Sinai Ya. G. Kurs teorije vjerovatnoće. Dio 2 - M.: Izdavačka kuća Moskovskog državnog univerziteta, 1986.
Sinai Ya. G. Savremeni problemi ergodičke teorije. - M.: Fizmatgiz, 1995.
Yakov G. Sinai. Selecta. Tom I: Ergodička teorija i dinamički sistemi, Springer, 2010.
Yakov G. Sinai. Selecta. Tom II: Teorija vjerovatnoće, statistička mehanika, matematička fizika i matematička dinamika fluida, Springer, 2010.

Urednik publikacije

Višekomponentni slučajni sistemi / ; odn. ed. R. L. Dobrushin, Ya. G. Sinai. - M.: Nauka, 1978. - 324 str.
Čudni atraktori: zbornik članaka / prev. sa engleskog uređeno od Ya. G. Sinaya, L. P. Shilnikova. - M.: Mir, 1981. - 253 str.
Seiler E. Gauge teorije: veze s konstruktivnom kvantnom teorijom polja i statističkom mehanikom / trans. sa engleskog V. V. Anshelevič, E. I. Dinaburg; Ed. Y. G. Sinaya. - M.: Mir, 1985. - 222 str.
Neumann J. von. Izabrani radovi o funkcionalnoj analizi. U 2 tom. / Ed. A. M. Vershika, A. N. Kolmogorov i Ya. G. Sinaya. - M.: Nauka, 1987.
Fraktali u fizici: Zbornik radova VI međunarodnog simpozijuma. Per. sa engleskog / Ed. Y. G. Sinaya i I. M. Khalatnikova. - M.: Mir, 1988. - 670 str.
Matematički događaji dvadesetog veka. Zbornik članaka / Ed. Yu. S. Osipov, A. A. Bolibrukh, Ya. G. Sinai. - M.: Fazis, 2003, - 548 str.

Izvori

Iljašenko Yu. S.// Matematičko obrazovanje. - 2015. - Vol. 19 (treća epizoda). - str. 40-51.
Raussen M., Skau K.// Matematičko obrazovanje. - 2015. - Vol. 19 (treća epizoda). - str. 52-69.

Napišite recenziju članka "Sinai, Yakov Grigorievich"

Bilješke

Linkovi

na zvaničnom sajtu Ruske akademije nauka
Online
. Publikacije u informacioni sistem Math-Net.Ru.

Odlomak koji karakteriše Sinaja, Jakova Grigorijeviča

- Pila.
„Sutra će ih, kažu, lečiti Preobraženski narod.”
- Ne, Lazarev ima sreće! 10 franaka doživotne penzije.
- To je šešir, momci! - vikao je Preobraženik, stavljajući čupavom Francuzu šešir.
- Pravo čudo, kako dobro, divno!
-Jeste li čuli recenziju? - rekao je stražar drugom. Treći dan je bio Napoleon, Francuska, bravo; [Napoleon, Francuska, hrabrost;] juče Aleksandar, Rusija, veličina; [Aleksandar, Rusija, veličina;] jednog dana naš suveren daje povratnu informaciju, a sutradan Napoleon. Sutra će car poslati Đorđa najhrabrijim od francuskih gardista. To je nemoguće! Moram odgovoriti istom mjerom.
Boris i njegov prijatelj Žilinski su takođe došli da gledaju banket Preobraženja. Vraćajući se, Boris je primijetio Rostova, koji je stajao na uglu kuće.
- Rostov! Zdravo; „Nikad se nismo videli“, rekao mu je i nije mogao da odoli da ga ne upita šta mu se dogodilo: Rostovovo lice bilo je tako čudno tmurno i uznemireno.
„Ništa, ništa“, odgovorio je Rostov.
-Hoćeš li ući?
- Da, ući ću.
Rostov je dugo stajao na uglu i izdaleka gledao gozbenike. U njegovom umu se odvijao bolan posao koji nije mogao dovršiti. U mojoj duši su se pojavile strašne sumnje. Onda se setio Denisova sa njegovim promenjenim izrazom lica, sa njegovom poniznošću, i cele bolnice sa ovim otkinutim rukama i nogama, sa ovom prljavštinom i bolešću. Učinilo mu se tako živo da je sada mogao osjetiti bolnički miris mrtvog tijela da je pogledao oko sebe da shvati odakle taj miris može doći. Tada se sjeti ovog samozadovoljnog Bonaparte s bijelom rukom, koji je sada bio car, kojeg car Aleksandar voli i poštuje. Čemu su otkinute ruke, noge i ubijeni ljudi? Tada se setio nagrađenih Lazareva i Denisova, kažnjenih i neoproštenih. Uhvatio je sebe kako ima tako čudne misli da ih se uplašio.
Miris hrane iz Preobrazhentseva i glad izveli su ga iz ovog stanja: morao je nešto pojesti prije odlaska. Otišao je u hotel koji je vidio ujutro. U hotelu je zatekao toliko ljudi, oficira, kao i on, koji su stigli u civilu, da je morao da se prisili da večera. Pridružila su mu se dva oficira iz istog odjeljenja. Razgovor se prirodno pretvorio u mir. Oficiri i drugovi Rostova, kao i većina vojske, bili su nezadovoljni mirom zaključenim nakon Friedlanda. Rekli su da bi Napoleon, da su duže izdržali, nestao, da u svojim trupama nema krekera ni municije. Nikolaj je jeo u tišini i uglavnom pio. Popio je jednu ili dvije boce vina. Unutrašnji rad koji je nastao u njemu, neriješen, i dalje ga je mučio. Plašio se da se prepusti svojim mislima i nije mogao da ih napusti. Odjednom, na riječi jednog od oficira da je uvredljivo gledati Francuze, Rostov je počeo žestoko vikati, što nije bilo opravdano, i stoga je silno iznenadio oficire.
– A kako da proceniš šta bi bilo bolje! - viknuo je lica naglo zajapurenog od krvi. - Kako možete suditi o postupcima suverena, kakvo mi imamo pravo da rasuđujemo?! Ne možemo razumjeti ni ciljeve ni akcije suverena!
„Da, nisam rekao ni reč o suverenu“, pravdao se oficir, ne mogavši da objasni svoj temperament drugačije osim činjenicom da je Rostov bio pijan.
Ali Rostov nije slušao.
“Mi nismo diplomatski zvaničnici, ali smo vojnici i ništa više”, nastavio je. “Govore nam da umremo – tako mi umiremo.” A ako kažnjavaju, to znači da je kriv; Nije na nama da sudimo. Suverenom caru je drago da prizna Bonapartea za cara i uđe u savez s njim – to znači da se to mora učiniti. U suprotnom, kada bismo počeli da sudimo i rasuđujemo o svemu, onda ne bi ostalo ništa sveto. Ovako ćemo reći da nema Boga, nema ničega”, vikao je Nikolaj, udarajući o sto, vrlo neprikladno, prema shvatanjima sagovornika, ali vrlo dosledno u toku svojih misli.
"Naš posao je da obavljamo svoju dužnost, da hakujemo i ne razmišljamo, to je sve", zaključio je.
“I pijte”, rekao je jedan od policajaca, koji nije htio da se svađa.
„Da, i piće“, podigao je Nikolaj. - Hej ti! Još jedna boca! - viknuo je.

Godine 1808. car Aleksandar je otputovao u Erfurt na novi susret sa carem Napoleonom, a u visokom društvu u Sankt Peterburgu se mnogo pričalo o veličini ovog svečanog sastanka.
Godine 1809. bliskost dva vladara svijeta, kako su zvali Napoleon i Aleksandar, dostigla je tačku da kada je Napoleon te godine objavio rat Austriji, ruski korpus je otišao u inostranstvo da pomogne svom bivšem neprijatelju Bonaparteu protiv njihovog bivšeg saveznika, austrijski car; do te mere da se u visokom društvu pričalo o mogućnosti braka između Napoleona i jedne od sestara cara Aleksandra. Ali, osim spoljašnjih političkih razmatranja, u ovom trenutku pažnja ruskog društva posebno je bila privučena unutrašnjim transformacijama koje su u to vrijeme izvršene u svim dijelovima javne uprave.
Život u međuvremenu pravi zivot ljudi sa svojim suštinskim interesima zdravlja, bolesti, posla, slobodnog vremena, sa svojim interesima misli, nauke, poezije, muzike, ljubavi, prijateljstva, mržnje, strasti, išli su kao i uvek nezavisno i van političkog afiniteta ili neprijateljstva sa Napoleonom Bonapartom, i izvan svih mogućih transformacija.
Knez Andrej je živeo u selu dve godine bez prekida. Sva ona preduzeća na imanjima koja je Pjer započeo i nisu dovela do nikakvog rezultata, neprestano prelazeći s jedne stvari na drugu, sva ta preduzeća, ne pokazujući ih nikome i bez vidljivog rada, izvodio je knez Andrej.
Imao je unutra najviši stepen ta praktična upornost koja je nedostajala Pjeru, koja je, bez obima i napora s njegove strane, dala pokret ovoj stvari.
Jedno od njegovih imanja od tri stotine seljačkih duša prebačeno je na slobodne kultivatore (ovo je bio jedan od prvih primjera u Rusiji); u drugim je barada zamijenjena quitrentom. U Bogučarovu je na njegov račun ispisana učena baba da pomaže porodiljama, a za platu je sveštenik učio decu seljaka i dvorske sluge da čitaju i pišu.
Princ Andrej je pola svog vremena proveo na Ćelavim planinama sa svojim ocem i sinom, koji je još bio sa dadiljama; drugu polovinu vremena u manastiru Bogučarov, kako je njegov otac zvao svoje selo. Uprkos ravnodušnosti koju je pokazivao Pjeru prema svim spoljnim događajima sveta, on ih je marljivo pratio, dobijao mnoge knjige, i na svoje iznenađenje primetio je kada njemu ili njegovom ocu dolaze novi ljudi iz Sankt Peterburga, iz samog vrtloga života. , da su ti ljudi, u poznavanju svega što se dešava u spoljašnjem i unutrašnja politika, daleko iza njega, koji je bez predaha sjedio u selu.
Pored časova o imenima, pored opšteg čitanja najrazličitijih knjiga, knez Andrej se u to vreme bavio kritičkom analizom naša poslednja dva nesrećna pohoda i sastavljanjem projekta za izmenu naših vojnih propisa i propisa.
U proleće 1809. godine, princ Andrej je otišao na Rjazanska imanja svog sina, kome je bio staratelj.
Zagrijan proljetnim suncem sjedio je u kolicima i gledao u prvu travicu, prve brezove listove i prve oblake bijelih proljetnih oblaka koji su se raspršili po jarko plavom nebu. Nije razmišljao ni o čemu, već je veselo i besmisleno gledao oko sebe.
Prošli smo pored kočije u kojoj je razgovarao s Pjerom prije godinu dana. Vozili smo se kroz prljavo selo, gumna, zelenilo, spust sa zaostalim snegom kod mosta, uspon kroz ispranu glinu, pruge strništa i zelenog grmlja tu i tamo, i ušli u brezovu šumu sa obe strane puta . U šumi je bilo skoro vruće; nije se moglo čuti vjetar. Breza, sva prekrivena zelenim ljepljivim lišćem, nije se micala, a ispod prošlogodišnjeg lišća, podižući ga, ispuzala je prva zelena trava i ljubičasti cvjetovi. Male smreke koje su se tu i tamo razasule po brezovoj šumi svojim su grubim, vječnim zelenilom neugodno podsjećale na zimu. Konji su frknuli dok su jahali u šumu i počeli da se magle.
Lakaj Petar je nešto rekao kočijašu, kočijaš je odgovorio potvrdno. Ali očigledno Peter nije imao simpatije prema kočijašu: okrenuo je kutiju gospodaru.
- Vaša Ekselencijo, kako je to lako! – rekao je osmehujući se s poštovanjem.
- Šta!
- Polako, Vaša Ekselencijo.
"Šta kaže?" pomisli princ Andrej. „Da, tako je za proleće“, pomislio je gledajući okolo. I sve je već zeleno... kako uskoro! I breza, i trešnja, i joha već počinju... Ali hrast se ne primjećuje. Da, evo ga, hrast.”
Na rubu puta je bio hrast. Vjerovatno deset puta starija od breza koje su činile šumu, bila je deset puta deblja i dvostruko viša od svake breze. Bio je to ogroman hrast, širok dva obima, sa granama koje su odavno bile odlomljene i sa polomljenom korom zaraslom u stare rane. Sa svojim ogromnim, nezgrapnim, asimetrično raširenim, kvrgavim rukama i prstima, stajao je kao stara, ljuta i prezriva nakaza između nasmijanih breza. Samo se on jedini nije htio pokoriti čarima proljeća i nije htio vidjeti ni proljeće ni sunce.