Nemojte se plašiti mojih riječi, sa ovom metodom ste se već susreli u 7. razredu, kada ste učili polinome.
Na primjer, ako vam je potrebno:
Hajde da to grupišemo: prvi i treći član, kao i drugi i četvrti.
Jasno je da su prva i treća razlika kvadrata:
a drugi i četvrti imaju zajednički faktor tri:
Tada je izvorni izraz ekvivalentan ovome:
Gdje ukloniti zajednički faktor više nije teško:
dakle,
Ovako ćemo otprilike postupiti pri rješavanju eksponencijalnih jednadžbi: potražite "zajedništvo" među pojmovima i stavite ga izvan zagrada, pa onda - što god bilo, vjerujem da ćemo imati sreće =))
Primjer br. 14
Desno je daleko od stepena sedam (provjerio sam!) A lijevo - nije mnogo bolje ...
Možete, naravno, "odsjeći" faktor a iz drugog iz prvog mandata, pa se pozabaviti primljenim, ali hajde da to učinimo opreznije s vama.
Ne želim se baviti razlomom, koji neizbježno dolazi od "isticanja", pa zar ne bi bilo bolje da izdržim?
Onda neću imati razlomke: kako kažu, vukovi su nahranjeni i ovce su sigurne:
Izbrojite izraz u zagradama.
Na čaroban, magičan način to se ispostavi (iznenađujuće, mada šta drugo možemo očekivati?).
Tada ćemo poništiti obje strane jednačine ovim faktorom. Dobijamo :, odakle.
Evo kompliciranijeg primjera (zaista pomalo):
Kakva nesreća! Ovde nemamo ni jednu zajedničku osnovu!
Nije potpuno jasno šta sada učiniti.
Učinimo što možemo: prvo pomjerimo "četvorke" na jednu stranu, a "petice" na drugu:
Sada pomaknimo "uobičajeno" lijevo i desno:
Pa, šta sad?
Koja je korist od takve glupe grupe? Na prvi pogled uopće nije vidljiv, ali pogledajmo dublje:
Pa, sada ćemo to učiniti tako da na lijevoj strani imamo samo izraz sa, a na desnoj - sve ostalo.
Kako da ovo uradimo?
A evo kako: Najprije obje strane jednadžbe podijelite sa (na ovaj način se rješavamo stupnja s desne strane), a zatim obje strane podijelimo sa (na ovaj način se rješavamo numeričkog faktora s lijeve strane).
Konačno dobijamo:
Nevjerovatno!
Na lijevoj strani imamo izraz, a na desnoj jednostavno.
Tada odmah zaključujemo da
Primjer br. 15
Navest ću njegovo kratko rješenje (ne zamarajući se previše objašnjenjima), pokušajte sami dokučiti sve "suptilnosti" rješenja.
Sada konačna konsolidacija prenesenog materijala.
Sam rješavam sljedećih 7 zadataka (sa odgovorima)
- Izvadimo zajednički faktor iz zagrada:
- Prvi izraz predstavljamo u obliku :, podijelimo oba dijela na i dobijemo to
- , tada se izvorna jednadžba pretvara u oblik: Pa, sada savjet - pogledajte gdje smo ti i ja već riješili ovu jednadžbu!
- Zamislite kako, kako i, pa, onda podijelite oba dijela sa, tako da dobijete najjednostavniju eksponencijalnu jednačinu.
- Izvadite iz zagrada.
- Izvadite iz zagrada.
EKSPLORATIVNE JEDNAČINE. PROSJEČAN NIVO
Pretpostavljam da je nakon čitanja prvog članka koji je rekao Šta su eksponencijalne jednačine i kako ih riješiti?, savladali ste neophodni minimum znanja potrebnog za rješavanje najjednostavnijih primjera.
Sada ću analizirati drugu metodu za rješavanje eksponencijalnih jednačina, ovo je ...
Način uvođenja nove varijable (ili zamjene)
On rješava većinu "teških" problema na temu eksponencijalnih jednadžbi (a ne samo jednadžbi).
Ova metoda je jedna od najčešće se koriste u praksi. Prije svega, preporučujem da se upoznate s temom.
Kao što ste već shvatili iz naziva, suština ove metode je uvođenje takve promjene varijable da se vaša eksponencijalna jednačina čudesno transformira u onu koju već možete lako riješiti.
Sve što vam preostaje nakon rješavanja ove vrlo „pojednostavljene jednadžbe“ je da napravite „obrnutu zamjenu“: odnosno da se vratite sa zamijenjene na zamijenjenu.
Ilustrirajmo ono što smo upravo rekli vrlo jednostavnim primjerom:
Primjer 16. Jednostavna metoda zamjene
Ova jednadžba je riješena korištenjem "Jednostavna zamjena", kako to matematičari prezrivo zovu.
Zaista, zamjena je ovdje najočitija. To treba samo vidjeti
Tada će se originalna jednačina pretvoriti u ovo:
Ako dodatno zamislite kako, onda je sasvim jasno što treba zamijeniti ...
Naravno, .
U šta će se onda pretvoriti originalna jednačina? A evo šta:
Korijene možete lako pronaći sami :.
Šta sada trebamo učiniti?
Vrijeme je za povratak na izvornu varijablu.
Šta sam zaboravio da naznačim?
Naime: prilikom zamjene određenog stepena novom varijablom (odnosno, prilikom promjene pogleda), zanimat će me samo pozitivni koreni!
I sami možete lako odgovoriti zašto.
Dakle, vas i mene ne zanimamo, ali drugi korijen nam je sasvim prikladan:
Onda gde.
Odgovor:
Kao što možete vidjeti, u prethodnom primjeru, zamjena je tražila naše ruke. Nažalost, to nije uvijek slučaj.
Međutim, da ne idemo odmah na tužni, već da vježbamo s još jednim primjerom s prilično jednostavnom zamjenom
Primjer 17 Jednostavna metoda zamjene
Jasno je da će najvjerovatnije morati biti zamijenjen (ovo je najmanji od stupnjeva uključenih u našu jednačinu).
Međutim, prije uvođenja zamjene, naša jednadžba mora biti "pripremljena" za to, naime:,.
Tada možete zamijeniti, kao rezultat dobivam sljedeći izraz:
Moj bože: kubna jednačina sa potpuno jezivim formulama za njegovo rješenje (dobro, općenito govoreći).
Ali nemojmo odmah očajavati, nego razmislimo šta da radimo.
Predložit ću varanje: znamo da bismo dobili "lijep" odgovor, moramo ga dobiti u obliku neke trojke (zašto bi to bilo, a?).
Pokušajmo pogoditi barem jedan korijen naše jednadžbe (počet ću pogađati sa stepenima tri).
Prva pretpostavka. To nije koren. Avaj i ah ...
.
Lijeva strana je jednaka.
Desni deo:!
Tu je! Pogodili ste prvi korijen. Sada će stvari postati lakše!
Znate li za shemu podjele "ugao"? Naravno da znate da ga koristite kada dijelite jedan broj drugim.
Ali malo ljudi zna da se isto može učiniti i s polinomima.
Postoji jedna velika teorema:
Primijenjeno na moju situaciju, ovo mi govori na šta je djeljivo.
Kako se vrši podjela? Tako:
Gledam koji monom moram pomnožiti da bih dobio
Jasno je da tada:
Oduzmite dobijeni izraz od, dobijete:
Šta trebam pomnožiti da dobijem?
Jasno je da na, onda ću dobiti:
i ponovo oduzmite rezultirajući izraz od preostalog:
Pa poslednji korak, pomnožite i oduzmite od preostalog izraza:
Ura, podjela je gotova! Šta smo privatno uštedjeli?
Samo po sebi:.
Zatim smo dobili sljedeću dekompoziciju izvornog polinoma:
Riješimo drugu jednadžbu:
Ima korijene:
Tada je originalna jednadžba:
ima tri korijena:
Mi ćemo, naravno, odbaciti posljednji korijen, pošto je manji od nule.
A prva dva nakon obrnute zamjene će nam dati dva korijena:
Odgovor: ..
Nisam te htio uplašiti ovim primjerom!
Naprotiv, moj cilj je bio pokazati da smo, iako smo imali prilično jednostavnu zamjenu, ipak doveli do prilično složene jednadžbe, čije je rješavanje od nas zahtijevalo neke posebne vještine.
Pa, niko nije imun od ovoga. Ali zamjena u ovom slučaju bila je prilično očigledna.
Primjer # 18 (s manje očitom zamjenom)
Uopšte nije jasno šta treba da radimo: problem je što u našoj jednačini postoje dve različite baze i jedna baza se ne može dobiti od druge podizanjem na bilo koji (razuman, prirodan) stepen.
Međutim, šta vidimo?
Obje baze razlikuju se samo po predznaku, a njihov proizvod je razlika kvadrata jednaka jedan:
Definicija:
Dakle, brojevi koji su baze u našem primjeru su konjugirani.
U ovom slučaju bi to bio pametan potez pomnožite obje strane jednačine konjugiranim brojem.
Na primjer, na, tada lijeva strana jednadžbe postaje jednaka, a desna.
Ako izvršimo zamjenu, tada će naša izvorna jednadžba postati sljedeća:
njegovih korijena, i sjećajući se toga, mi to shvaćamo.
Odgovor:,.
Po pravilu, metoda zamjene je dovoljna za rješavanje većine "školskih" eksponencijalnih jednačina.
Sljedeći zadaci povećan nivo poteškoće su preuzete iz opcija USE.
Tri zadatka povećane složenosti od mogućnosti ispita
Već ste dovoljno kompetentni za samostalno rješavanje ovih primjera. Ja ću dati samo potrebnu zamjenu.
- Riješite jednadžbu:
- Pronađite korijene jednačine:
- Riješite jednadžbu :. Pronađite sve korijene ove jednadžbe koji pripadaju segmentu:
A sada kratko objašnjenje i odgovori:
Primjer br. 19
Ovdje je dovoljno da primijetimo da i.
Tada će originalna jednadžba biti ekvivalentna ovoj:
Ova jednadžba rješava se zamjenom
Uradite dalje proračune sami.
Na kraju će se vaš zadatak svesti na rješavanje najjednostavnije trigonometrijske (ovisno o sinusu ili kosinusu). Rješenja takvih primjera analizirat ćemo u drugim odjeljcima.
Primjer br. 20
Ovdje možete čak i bez zamjene...
Dovoljno je pomeriti oduzeto udesno i predstaviti obe baze kroz stepene dva:, a zatim preći direktno na kvadratnu jednačinu.
Primjer br. 21
Riješeno je i na prilično standardni način: zamislite kako.
Zatim zamjenom dobijamo kvadratnu jednadžbu: tada,
Da li već znate šta je logaritam? Ne? Onda hitno pročitaj temu!
Prvi korijen, očito, ne pripada segmentu, a drugi je neshvatljiv!
Ali saznaćemo vrlo brzo!
Budući da je (ovo je svojstvo logaritma!)
Oduzmimo od oba dijela, onda dobijemo:
Lijeva strana može se predstaviti kao:
pomnožite oba dijela sa:
tada se može pomnožiti sa
Onda uporedimo:
od tada:
Tada drugi korijen pripada traženom intervalu
Odgovor:
Kao što vidiš, izbor korijena eksponencijalnih jednadžbi zahtijeva dovoljno duboko poznavanje svojstava logaritama pa vam savjetujem da budete što je moguće pažljiviji pri rješavanju eksponencijalnih jednačina.
Kao što možete zamisliti, u matematici je sve međusobno povezano!
Kao što je moj profesor matematike govorio: "Matematika, kao i istorija, ne možeš čitati preko noći."
Po pravilu, sve poteškoća u rješavanju problema povećanog nivoa složenosti je upravo odabir korijena jednadžbe.
Još jedan primjer za obuku ...
Primjer 22
Jasno je da je sama jednačina prilično jednostavna za rješavanje.
Izvođenjem zamjene, našu originalnu jednačinu ćemo svesti na sljedeće:
Prvo, razmotrimo prvi koren.
Uporedite i: od tada. (nekretnina logaritamska funkcija, u).
Tada je jasno da ni prvi korijen ne pripada našem intervalu.
Sada drugi korijen :. Jasno je da (pošto funkcija at raste).
Ostaje da uporedimo i.
od tada, u isto vreme.
Na ovaj način mogu "zabiti klin" između i.
Ovaj klin je broj.
Prvi izraz je manji, a drugi veći.
Tada je drugi izraz veći od prvog i korijen pripada intervalu.
Odgovor:.
Za kraj, pogledajmo još jedan primjer jednadžbe gdje je zamjena prilično nestandardna.
Primjer # 23 (Jednadžba s nestandardnom zamjenom!)
Krenimo odmah od toga šta možete, a šta – u principu možete, ali bolje je ne raditi.
Možete sve predstavljati kroz moći tri, dva i šest.
Kuda vodi?
Da, to neće dovesti do ničega: mješavina stupnjeva, a nekih će se od njih prilično teško riješiti.
Šta je onda potrebno?
Napomenimo da je a
I šta će nam to dati?
I činjenica da možemo smanjiti rješenje ovaj primjer do rješenja jednostavne eksponencijalne jednadžbe!
Prvo, prepišimo našu jednačinu kao:
Sada dijelimo obje strane rezultirajuće jednadžbe na:
Eureka! Sada možemo zamijeniti, dobivamo:
E, sad je na vama red da rješavate demonstracione probleme, a ja ću ih samo kratko prokomentarisati da ne zalutate! Sretno!
Primjer br. 24
Najteže!
Ovdje nije lako pronaći zamjenu! Ali ipak, ovaj primjer se može u potpunosti riješiti korištenjem odabir punog kvadrata.
Da biste ga riješili, dovoljno je napomenuti da:
Onda evo zamjene za vas:
(Imajte na umu da ovdje, prilikom naše zamjene, ne možemo ispustiti negativni korijen !!! I zašto mislite?)
Da biste riješili primjer, morate riješiti dvije jednadžbe:
Oba su riješena "standardnom zamjenom" (ali druga u jednom primjeru!)
Primjer br. 25
2. Zapamtite to i napravite zamjenu.
Primjer br. 26
3. Raščlanite broj na koprimere faktore i pojednostavite rezultirajući izraz.
Primjer br. 27
4. Podijelite brojnik i nazivnik razlomka sa (ili, ako želite) i zamijenite ili.
Primjer br. 28
5. Imajte na umu da su brojevi i konjugirani.
RJEŠENJE IZRAŽENIH JEDNAČINA METODOM LOGARIFIRANJA. NAPREDNI NIVO
Uz to, razmotrimo još jedan način - rješenje eksponencijalnih jednadžbi metodom logaritma.
Ne mogu reći da je rješenje eksponencijalnih jednadžbi ovom metodom vrlo popularno, ali samo u nekim slučajevima može nas dovesti do ispravnog rješenja naše jednadžbe.
Posebno se često koristi za rješavanje tzv. mešovite jednačine": To jest, one u kojima se susreću funkcije različitih tipova.
Primjer br. 29
u opštem slučaju, to se može riješiti samo uzimanjem logaritma obje strane (na primjer, po bazi), u kojem se izvorna jednadžba pretvara u sljedeće:
Razmotrimo sljedeći primjer:
Jasno je da nas prema ODZ -u logaritamske funkcije zanima samo ono.
Međutim, to ne proizlazi samo iz ODZ logaritma, već iz drugog razloga.
Mislim da vam neće biti teško pogoditi koji.
Zabilježimo obje strane naše jednadžbe na bazu:
Kao što vidite, uzimanje logaritma naše originalne jednadžbe dovoljno brzo nas je dovelo do tačnog (i lijepog!) odgovora.
Vježbajmo s još jednim primjerom.
Primjer br. 30
I ovdje nema ništa loše: logaritmiramo obje strane jednadžbe po bazi, tada dobivamo:
Napravimo zamjenu:
Međutim, nešto nam nedostaje! Jeste li primijetili gdje sam pogriješio? Uostalom, onda:
koji ne zadovoljava uslove (razmislite odakle je došao!)
Odgovor:
Pokušajte sami zapisati rješenje eksponencijalnih jednadžbi danih ispod:
Sada provjerite svoju odluku s ovim:
Primjer br. 31
Logaritmirajte obje strane prema bazi, uzimajući u obzir da:
(drugi korijen nam ne odgovara zbog zamjene)
Primjer br. 32
Baza logaritma:
Pretvorimo rezultirajući izraz u sljedeći oblik:
EKSPLORATIVNE JEDNAČINE. KRATAK OPIS I OSNOVNE FORMULE
Eksponencijalna jednačina
Jednadžba oblika:
pozvao najjednostavnija eksponencijalna jednadžba.
Svojstva snage
Pristupi rješenju
- Prinuda na istu bazu
- Konverzija u isti eksponent
- Varijabilna zamjena
- Pojednostavljenje izražavanja i primjena jednog od gore navedenih.
Ova lekcija je namijenjena onima koji tek počinju učiti eksponencijalne jednadžbe. Kao i uvijek, počnimo s definicijom i jednostavnim primjerima.
Ako čitate ovu lekciju, onda pretpostavljam da već imate barem minimalno razumijevanje najjednostavnijih jednačina - linearnih i kvadratnih: $ 56x-11 = $ 0; $ ((x) ^ (2)) + 5x + 4 = 0 $; $ ((x) ^ (2)) - 12x + 32 = 0 $, itd. Biti u stanju riješiti ovakve konstrukcije je apsolutno neophodno kako se ne bi "zaglavili" u temi o kojoj će se sada govoriti.
Dakle, eksponencijalne jednadžbe. Odmah ću vam navesti nekoliko primjera:
\ [((2) ^ (x)) = 4; \ quad ((5) ^ (2x-3)) = \ frac (1) (25); \ quad ((9) ^ (x)) = - 3 \]
Neki od njih mogu vam se učiniti složenijima, neki - naprotiv, previše jednostavni. Ali svi su ujedinjeni jednim važan znak: njihov zapis sadrži eksponencijalnu funkciju $ f \ left (x \ right) = ((a) ^ (x)) $. Stoga uvodimo definiciju:
Eksponencijalna jednačina je svaka jednačina koja sadrži eksponencijalnu funkciju, tj. izraz poput $ ((a) ^ (x)) $. Osim navedene funkcije, takve jednadžbe mogu sadržavati bilo koje druge algebarske konstrukcije - polinome, korijene, trigonometriju, logaritme itd.
Uredu onda. Shvatili smo definiciju. Sada se postavlja pitanje: kako riješiti sve ove gluposti? Odgovor je jednostavan i složen.
Počnimo s dobrim vijestima: iz mog iskustva u nastavi s mnogo učenika, mogu reći da je za većinu njih mnogo lakše dati eksponencijalne jednačine nego iste logaritme, a još više trigonometriju.
Ali ima i loših vijesti: ponekad su autori zadataka za sve vrste udžbenika i ispita "inspirirani", a njihov mozak napaljen lijekovima počne izdavati tako grozne jednačine da njihovo rješavanje postaje problematično ne samo za studente - čak i mnogi nastavnici dobiju zaglavili na takvim problemima.
Međutim, nemojmo pričati o tužnim stvarima. I da se vratimo na one tri jednačine koje su date na samom početku priče. Pokušajmo riješiti svaki od njih.
Prva jednadžba: $ ((2) ^ (x)) = 4 $. Pa, do kojeg stepena treba podići broj 2 da bi se dobio broj 4? Verovatno drugi? Uostalom, $ ((2) ^ (2)) = 2 \ cdot 2 = 4 $ - i dobili smo tačnu numeričku jednakost, tj. zaista $ x = 2 $. Pa, hvala, kapice, ali ova jednačina je bila toliko jednostavna da je čak i moja mačka mogla da je reši. :)
Pogledajmo sljedeću jednačinu:
\ [((5) ^ (2x-3)) = \ frakcija (1) (25) \]
I ovdje je već malo složenije. Mnogi studenti znaju da je $ ((5) ^ (2)) = 25 $ tablica množenja. Neki također sumnjaju da je $ ((5) ^ (- 1)) = \ frac (1) (5) $ u suštini definicija negativnih snaga (slično formuli $ ((a) ^ (- n)) = \ frac (1) (((a) ^ (n))) $).
Konačno, samo nekoliko odabranih pretpostavlja da se ove činjenice mogu kombinirati i na kraju dobiti sljedeći rezultat:
\ [\ frakcija (1) (25) = \ frakcija (1) (((5) ^ (2))) = ((5) ^ (- 2)) \]
Tako će naša izvorna jednadžba biti prepisana na sljedeći način:
\ [((5) ^ (2x-3)) = \ frac (1) (25) \ Strelica desno ((5) ^ (2x-3)) = ((5) ^ (- 2)) \]
Ali ovo je već sasvim rješivo! S lijeve strane u jednadžbi je eksponencijalna funkcija, s desne strane u jednadžbi je eksponencijalna funkcija, ne postoji ništa drugo osim njih nigdje drugdje. Stoga možete "odbaciti" baze i glupo izjednačiti indikatore:
Dobili smo najjednostavniju linearnu jednadžbu koju svaki učenik može riješiti u samo nekoliko redova. U redu, u četiri retka:
\ [\ početak (poravnati) & 2x-3 = -2 \\ & 2x = 3-2 \\ & 2x = 1 \\ & x = \ frac (1) (2) \\\ kraj (poravnati) \]
Ako ne razumijete što se događalo u posljednja četiri retka, svakako se vratite na temu “ linearne jednačine„I ponovi. Jer bez jasnog razumijevanja ove teme, prerano je za rješavanje eksponencijalnih jednadžbi.
\ [((9) ^ (x)) = - 3 \]
Pa, kako to riješiti? Prva pomisao: $ 9 = 3 \ cdot 3 = ((3) ^ (2)) $, pa se originalna jednadžba može prepisati ovako:
\ [((\ lijevo (((3) ^ (2)) \ desno)) ^ (x)) = - 3 \]
Zatim se sjećamo da se pri podizanju snage na snagu pokazatelji množe:
\ [((\ lijevo (((3) ^ (2)) \ desno)) ^ (x)) = ((3) ^ (2x)) \ Strelica desno ((3) ^ (2x)) = - ((( 3) ^ (1)) \]
\ [\ početak (poravnati) & 2x = -1 \\ & x = - \ frac (1) (2) \\\ kraj (poravnati) \]
A za takvu odluku dobićemo pošteno zasluženu dvojku. Jer mi smo, sa smirenošću Pokemona, poslali znak minus ispred trojke, do stepena ove tri. I ne možete to da uradite. I zato. Pogledajte različite moći trojke:
\ [\ begin (matrica) ((3) ^ (1)) = 3 & ((3) ^ (- 1)) = \ frac (1) (3) & ((3) ^ (\ frac (1) (2))) = \ sqrt (3) \\ ((3) ^ (2)) = 9 & ((3) ^ (- 2)) = \ frakcija (1) (9) & ((3) ^ (\ frac (1) (3))) = \ sqrt (3) \\ ((3) ^ (3)) = 27 & ((3) ^ (- 3)) = \ frac (1) (27) & ((3) ^ (- \ frac (1) (2))) = \ frac (1) (\ sqrt (3)) \\\ kraj (matrica) \]
Kada sam sastavljao ovaj tablet, nisam se izopačio: i pozitivne diplome smatrano, i negativno, pa čak i razlomačno ... pa, gdje postoji barem jedan negativan broj? On nije tamo! A to ne može biti, jer eksponencijalna funkcija $ y = ((a) ^ (x)) $, prvo, uvijek uzima samo pozitivne vrednosti(bez obzira na to koliko se jedan množi ili dijeli s dva, to će i dalje biti pozitivan broj), a drugo, osnova takve funkcije - broj $ a $ - po definiciji je pozitivan broj!
Pa, kako onda riješiti jednadžbu $ ((9) ^ (x)) = - 3 $? Ali ni na koji način: nema korijena. U tom smislu, eksponencijalne jednadžbe vrlo su slične kvadratnim - možda ni tu nema korijena. Ali ako uđe kvadratne jednačine broj korijena određuje diskriminator (pozitivan diskriminator - 2 korijena, negativan - bez korijena), zatim u eksponencijalnim korijenima sve ovisi o tome šta je desno od znaka jednakosti.
Tako formuliramo ključni zaključak: najjednostavnija eksponencijalna jednadžba oblika $ ((a) ^ (x)) = b $ ima korijen ako i samo ako je $ b \ gt 0 $. Znajući ovu jednostavnu činjenicu, lako možete utvrditi ima li jednadžba koja vam je predložena ili ne. One. isplati li se to uopće rješavati ili samo zapisati da nema korijena.
Ovo znanje će nam mnogo puta pomoći kada budemo morali rješavati složenije probleme. U međuvremenu, dosta tekstova - vrijeme je da proučimo osnovni algoritam za rješavanje eksponencijalnih jednačina.
Kako riješiti eksponencijalne jednadžbe
Dakle, formulirajmo problem. Potrebno je riješiti eksponencijalnu jednadžbu:
\ [((a) ^ (x)) = b, \ quad a, b \ gt 0 \]
Prema "naivnom" algoritmu, prema kojem smo djelovali ranije, potrebno je broj $ b $ predstaviti kao stepen broja $ a $:
Osim toga, ako umjesto varijable $ x $ postoji bilo koji izraz, dobit ćemo novu jednadžbu koja se već može riješiti. Na primjer:
\ [\ begin (align) & ((2) ^ (x)) = 8 \ Desna strelica ((2) ^ (x)) = ((2) ^ (3)) \ Rightarrow x = 3; \\ & ((3) ^ ( - x)) = 81 \ Desna strelica ((3) ^ ( - x)) = ((3) ^ (4)) \ Desna strela -x = 4 \ Desna strelica x = -4; \\ & ((5) ^ (2x)) = 125 \ Desna strelica ((5) ^ (2x)) = ((5) ^ (3)) \ Desna strela 2x = 3 \ Desna strela x = \ frac (3) ( 2). \\\ kraj (poravnaj) \]
I što je čudno, ova shema funkcionira otprilike 90% vremena. A što je s preostalih 10%? Preostalih 10% su blago "shizofrene" eksponencijalne jednadžbe oblika:
\ [((2) ^ (x)) = 3; \ quad ((5) ^ (x)) = 15; \ quad ((4) ^ (2x)) = 11 \]
Pa, u kojoj mjeri treba podići 2 da bi dobili 3? Prvo? Ali ne: $ ((2) ^ (1)) = 2 $ - nije dovoljno. Sekunda? Takođe ne: $ ((2) ^ (2)) = 4 $ - malo previše. Koji onda?
Poznati studenti su vjerojatno već pretpostavili: u takvim slučajevima, kada je nemoguće riješiti "lijepo", "teška artiljerija" - logaritmi - uključeni su u stvar. Dopustite mi da vas podsjetim da se pomoću logaritama bilo koji pozitivan broj može predstaviti kao stepen bilo kojeg drugog pozitivnog broja (osim jednog):
Sjećate li se ove formule? Kad pričam svojim učenicima o logaritmima, uvijek vas upozoravam: ova formula (to je ujedno i osnovni logaritamski identitet ili, ako želite, definicija logaritma) će vas proganjati jako dugo i "iskočiti" u najneočekivanija mesta. Pa, isplivala je. Pogledajmo našu jednačinu i ovu formulu:
\ [\ begin (align) & ((2) ^ (x)) = 3 \\ & a = ((b) ^ (((\ log) _ (b)) a)) \\\ end (align) \]
Ako pretpostavimo da je $ a = 3 $ naš izvorni broj s desne strane, a $ b = 2 $ je sama osnova eksponencijalna funkcija, na koju tako želimo svesti desnu stranu, dobijamo sljedeće:
\ [\ begin (align) & a = ((b) ^ (((\ log) _ (b)) a)) \ Rightarrow 3 = ((2) ^ (((\ log) _ (2)) 3 )); \\ & ((2) ^ (x)) = 3 \ Desna strelica ((2) ^ (x)) = ((2) ^ (((\ log) _ (2)) 3)) \ Desna strelica x = ( (\ log) _ (2)) 3. \\\ kraj (poravnaj) \]
Dobili smo malo čudan odgovor: $ x = ((\ log) _ (2)) 3 $. U nekom drugom zadatku, s takvim odgovorom, mnogi bi posumnjali i počeli da provjeravaju svoje rješenje: šta ako je negdje bila greška? Požurim da vas zadovoljim: tu nema greške, a logaritmi u korijenima eksponencijalnih jednačina su sasvim tipična situacija. Pa navikni se. :)
Sada riješimo preostale dvije jednadžbe po analogiji:
\ [\ begin (align) & ((5) ^ (x)) = 15 \ Rightarrow ((5) ^ (x)) = ((5) ^ (((\ log) _ (5)) 15)) \ Desna strelica x = ((\ log) _ (5)) 15; \\ & ((4) ^ (2x)) = 11 \ Desna strelica ((4) ^ (2x)) = ((4) ^ (((\ log) _ (4)) 11)) \ Desna strelica 2x = ( (\ log) _ (4)) 11 \ Rightarrow x = \ frac (1) (2) ((\ log) _ (4)) 11. \\\ kraj (poravnaj) \]
To je sve! Usput, posljednji odgovor može se napisati drugačije:
Uveli smo množitelj u argument logaritma. Ali niko nam ne smeta da ovaj faktor unesemo u bazu:
Štaviše, sve tri opcije su ispravne - to su samo različiti oblici pisanja istog broja. Koji ćete izabrati i zapisati u ovo rješenje, na vama je.
Dakle, naučili smo rješavati sve eksponencijalne jednačine oblika $ ((a) ^ (x)) = b $, gdje su brojevi $ a $ i $ b $ striktno pozitivni. ali surova realnost našeg svijeta je takav da je takav jednostavni zadaci sretaće te veoma, veoma retko. Mnogo češće ćete naići na ovako nešto:
\ [\ begin (align) & ((4) ^ (x)) + ((4) ^ (x -1)) = ((4) ^ (x + 1)) - 11; \\ & ((7) ^ (x + 6)) \ cdot ((3) ^ (x + 6)) = ((21) ^ (3x)); \\ & ((100) ^ (x-1)) \ cdot ((2.7) ^ (1-x)) = 0,09. \\\ kraj (poravnaj) \]
Pa, kako to riješiti? Može li se to uopće riješiti? I ako da, kako?
Ne paniči. Sve ove jednadžbe se brzo i lako svode na one jednostavne formule koje smo već razmatrali. Samo trebate znati da se sjetite nekoliko tehnika iz kursa algebre. I naravno, nema nigdje bez pravila za rad sa diplomama. Sad ću ti ispričati sve ovo. :)
Pretvaranje eksponencijalnih jednadžbi
Prva stvar koju treba zapamtiti: svaka eksponencijalna jednadžba, ma koliko složena bila, mora se nekako svesti na najjednostavnije jednačine - iste one koje smo već razmatrali i koje znamo riješiti. Drugim riječima, shema za rješavanje bilo koje eksponencijalne jednadžbe izgleda ovako:
- Zapišite originalnu jednačinu. Na primjer: $ ((4) ^ (x)) + ((4) ^ (x-1)) = ((4) ^ (x + 1)) - 11 $;
- Napravite nekakvo neshvatljivo sranje. Ili čak nekoliko sranja koja se zovu "transformiraj jednadžbu";
- Na izlazu dobijete najjednostavnije izraze poput $ ((4) ^ (x)) = 4 $ ili nešto slično. Štoviše, jedna izvorna jednadžba može dati nekoliko takvih izraza odjednom.
Sa prvom tačkom sve je jasno - čak i moja mačka može da napiše jednačinu na komadu papira. Čini se da je i s trećom točkom manje -više jasno - već smo gore riješili čitav niz takvih jednadžbi.
Ali šta je sa drugom tačkom? Kakva transformacija? Šta pretvoriti u šta? I kako?
Pa, hajde da shvatimo. Prije svega, želio bih istaći sljedeće. Sve eksponencijalne jednadžbe su podijeljene u dvije vrste:
- Jednadžba se sastoji od eksponencijalnih funkcija s istom bazom. Primjer: $ ((4) ^ (x)) + ((4) ^ (x -1)) = ((4) ^ (x + 1)) - 11 $;
- Formula sadrži eksponencijalne funkcije s različitim osnovama. Primjeri: $ ((7) ^ (x + 6)) \ cdot ((3) ^ (x + 6)) = ((21) ^ (3x)) $ i $ ((100) ^ (x-1) ) \ cdot ((2.7) ^ (1-x)) = 0,09 $.
Počnimo s jednadžbama prvog tipa - njih je najlakše riješiti. A u njihovom rješavanju pomoći će nam takva tehnika kao što je isticanje stabilnih izraza.
Isticanje stabilnog izraza
Pogledajmo još jednom ovu jednadžbu:
\ [((4) ^ (x)) + ((4) ^ (x -1)) = ((4) ^ (x + 1)) - 11 \]
šta vidimo? Četiri se gradi u različitom stepenu. Ali sve te moći su jednostavne sume promenljive $ x $ sa drugim brojevima. Stoga je potrebno zapamtiti pravila za rad sa diplomama:
\ [\ započeti (poravnati) & ((a) ^ (x + y)) = ((a) ^ (x)) \ cdot ((a) ^ (y)); \\ & ((a) ^ (xy)) = ((a) ^ (x)): ((a) ^ (y)) = \ frac (((a) ^ (x))) (((a ) ^ (y))). \\\ kraj (poravnaj) \]
Jednostavno rečeno, sabiranje eksponenata može se pretvoriti u proizvod moći, a oduzimanje se lako može pretvoriti u dijeljenje. Pokušajmo primijeniti ove formule na moći iz naše jednadžbe:
\ [\ begin (align) & ((4) ^ (x-1)) = \ frac (((4) ^ (x))) (((4) ^ (1))) = ((4) ^ (x)) \ cdot \ frac (1) (4); \\ & ((4) ^ (x + 1)) = ((4) ^ (x)) \ cdot ((4) ^ (1)) = ((4) ^ (x)) \ cdot 4. \ \\ kraj (poravnaj) \]
Prepišemo originalnu jednadžbu uzimajući u obzir ovu činjenicu, a zatim prikupimo sve pojmove s lijeve strane:
\ [\ begin (align) & ((4) ^ (x)) + ((4) ^ (x)) \ cdot \ frac (1) (4) = ((4) ^ (x)) \ cdot 4 -jedanaest; \\ & ((4) ^ (x)) + ((4) ^ (x)) \ cdot \ frac (1) (4) - ((4) ^ (x)) \ cdot 4 + 11 = 0. \\\ kraj (poravnaj) \]
Prva četiri pojma sadrže element $ ((4) ^ (x)) $ - uzmimo ga izvan zagrade:
\ [\ započeti (poravnati) & ((4) ^ (x)) \ cdot \ lijevo (1+ \ frac (1) (4) -4 \ desno) + 11 = 0; \\ & ((4) ^ (x)) \ cdot \ frac (4 + 1-16) (4) + 11 = 0; \\ & ((4) ^ (x)) \ cdot \ lijevo (- \ frac (11) (4) \ desno) = - 11. \\\ kraj (poravnaj) \]
Ostaje podijeliti obje strane jednadžbe na razlomak $ - \ frac (11) (4) $, tj. u suštini pomnožiti sa obrnutim razlomom - $ - \ frac (4) (11) $. Dobijamo:
\ [\ započeti (poravnati) & ((4) ^ (x)) \ cdot \ lijevo (- \ frac (11) (4) \ desno) \ cdot \ lijevo (- \ frac (4) (11) \ desno ) = - 11 \ cdot \ lijevo (- \ frac (4) (11) \ desno); \\ & ((4) ^ (x)) = 4; \\ & ((4) ^ (x)) = ((4) ^ (1)); \\ & x = 1. \\\ kraj (poravnaj) \]
To je sve! Originalnu jednadžbu smo sveli na najjednostavniju i dobili konačan odgovor.
Istovremeno, u procesu rješavanja, pronašli smo (pa čak i izvadili iz zagrade) zajednički faktor $ ((4) ^ (x)) $ - to je stabilan izraz. Može se označiti kao nova varijabla ili se jednostavno može precizno izraziti i odgovoriti. U svakom slučaju, ključni princip rješenja je sljedeći:
Pronađite u izvornoj jednadžbi stabilan izraz koji sadrži varijablu koja se može lako razlikovati od svih eksponencijalnih funkcija.
Dobra vijest je da gotovo svaka eksponencijalna jednadžba omogućuje tako stabilan izraz.
Ali loša vijest je da ovakvi izrazi mogu biti škakljivi i teško ih je izabrati. Stoga ćemo analizirati još jedan zadatak:
\ [((5) ^ (x + 2)) + ((0,2) ^ (- x-1)) + 4 \ cdot ((5) ^ (x + 1)) = 2 \]
Možda će neko sada imati pitanje: „Paša, jesi li kamenovan? Ovdje postoje različite baze - 5 i 0,2 ”. Ali pokušajmo pretvoriti stupanj iz baze 0,2. Na primjer, riješimo se decimalnog razlomka, dovodeći ga do uobičajenog:
\ [((0,2) ^ ^ (- x-1)) = ((0,2) ^ (- \ lijevo (x + 1 \ desno))) = ((\ lijevo (\ frakcija (2) (10 ) \ desno)) ^ (- \ lijevo (x + 1 \ desno))) = ((\ lijevo (\ frac (1) (5) \ desno)) ^ (- \ lijevo (x + 1 \ desno)) ) \]
Kao što vidite, broj 5 se i dalje pojavljuje, iako u nazivniku. U isto vrijeme, indikator je prepisan kao negativan. A sada se sjećamo jedne od njih bitna pravila rad sa diplomama:
\ [((a) ^ (- n)) = \ frac (1) (((a) ^ (n))) \ Strelica desno ((\ lijevo (\ frac (1) (5) \ desno)) ^ ( - \ lijevo (x + 1 \ desno))) = ((\ lijevo (\ frac (5) (1) \ desno)) ^ (x + 1)) = ((5) ^ (x + 1)) \ ]
Ovdje sam, naravno, malo prevario. Budući da je za potpuno razumijevanje formula za uklanjanje negativnih pokazatelja morala biti napisana ovako:
\ [((a) ^ (- n)) = \ frac (1) (((a) ^ (n))) = ((\ lijevo (\ frac (1) (a) \ desno)) ^ (n )) \ Strelica desno ((\ lijevo (\ frac (1) (5) \ desno)) ^ (- \ lijevo (x + 1 \ desno))) = ((\ lijevo (\ frac (5) (1) \ desno)) ^ (x + 1)) = ((5) ^ (x + 1)) \]
S druge strane, ništa nas nije spriječilo da radimo samo s jednim razlomkom:
\ [((\ lijevo (\ frac (1) (5) \ desno)) ^ (- \ lijevo (x + 1 \ desno))) = ((\ lijevo (((5) ^ (- 1)) \ desno)) ^ (- \ lijevo (x + 1 \ desno))) = ((5) ^ (\ lijevo (-1 \ desno) \ cdot \ lijevo (- \ lijevo (x + 1 \ desno) \ desno) )) = ((5) ^ (x + 1)) \]
Ali u ovom slučaju morate biti u mogućnosti podići stepen na drugi stepen (zapamtite: u ovom slučaju se pokazatelji zbrajaju). Ali nisam morao "okretati" razlomke - možda će nekima biti lakše. :)
U svakom slučaju, originalna eksponencijalna jednadžba bit će prepisana kao:
\ [\ begin (align) & ((5) ^ (x + 2)) + ((5) ^ (x + 1)) + 4 \ cdot ((5) ^ (x + 1)) = 2; \\ & ((5) ^ (x + 2)) + 5 \ cdot ((5) ^ (x + 1)) = 2; \\ & ((5) ^ (x + 2)) + ((5) ^ (1)) \ cdot ((5) ^ (x + 1)) = 2; \\ & ((5) ^ (x + 2)) + ((5) ^ (x + 2)) = 2; \\ & 2 \ cdot ((5) ^ (x + 2)) = 2; \\ & ((5) ^ (x + 2)) = 1. \\\ kraj (poravnaj) \]
Tako se ispostavlja da je izvornu jednadžbu još lakše riješiti od prethodno razmatrane: ovdje ne morate ni izdvajati stabilan izraz - sve se samo po sebi smanjilo. Ostaje samo zapamtiti da je $ 1 = ((5) ^ (0)) $, odakle dobivamo:
\ [\ begin (align) & ((5) ^ (x + 2)) = ((5) ^ (0)); \\ & x + 2 = 0; \\ & x = -2. \\\ kraj (poravnaj) \]
To je cijelo rješenje! Dobili smo konačan odgovor: $ x = -2 $. U isto vrijeme, želio bih napomenuti jednu tehniku koja nam je uvelike pojednostavila sve proračune:
U eksponencijalnim jednadžbama se svakako riješite decimalni razlomci, pretvorite ih u obične. To će vam omogućiti da vidite iste osnove stupnjeva i uvelike će pojednostaviti rješenje.
Prijeđimo na više složene jednačine, u kojima postoje različite osnove, koje se općenito ne mogu međusobno svesti uz pomoć stupnjeva.
Korišćenje svojstva stepena
Da vas podsjetim da imamo dvije posebno oštre jednadžbe:
\ [\ begin (align) & ((7) ^ (x + 6)) \ cdot ((3) ^ (x + 6)) = ((21) ^ (3x)); \\ & ((100) ^ (x-1)) \ cdot ((2.7) ^ (1-x)) = 0,09. \\\ kraj (poravnaj) \]
Glavna poteškoća ovdje je u tome što nije jasno do čega i do kojeg razloga. Gdje su postavljeni izrazi? Gdje su iste osnove? Nema ništa od ovoga.
Ali pokušajmo ići drugim putem. Ako nema spremnih istim osnovama, možete ih pokušati pronaći tako što ćete izdvojiti postojeće baze.
Počnimo s prvom jednadžbom:
\ [\ begin (align) & ((7) ^ (x + 6)) \ cdot ((3) ^ (x + 6)) = ((21) ^ (3x)); \\ & 21 = 7 \ cdot 3 \ Desna strelica ((21) ^ (3x)) = ((\ lijevo (7 \ cdot 3 \ desno)) ^ (3x)) = ((7) ^ (3x)) \ cdot ((3) ^ (3x)). \\\ kraj (poravnaj) \]
Ali možete učiniti suprotno - sastavite broj 21 od brojeva 7 i 3. To je posebno lako učiniti s lijeve strane, jer su indikatori oba stepena isti:
\ [\ begin (align) & ((7) ^ (x + 6)) \ cdot ((3) ^ (x + 6)) = ((\ left (7 \ cdot 3 \ right)) ^ (x + 6)) = ((21) ^ (x + 6)); \\ & ((21) ^ (x + 6)) = ((21) ^ (3x)); \\ & x + 6 = 3x; \\ & 2x = 6; \\ & x = 3. \\\ kraj (poravnaj) \]
To je sve! Izveli ste eksponent izvan proizvoda i odmah ste dobili lijepu jednadžbu koja se može riješiti u nekoliko redova.
Sada se pozabavimo drugom jednačinom. Ovde je sve mnogo komplikovanije:
\ [((100) ^ (x-1)) \ cdot ((2.7) ^ (1-x)) = 0,09 \]
\ [((100) ^ (x-1)) \ cdot ((\ lijevo (\ frac (27) (10) \ desno)) ^ (1-x)) = \ frac (9) (100) \]
U ovom se slučaju pokazalo da su razlomci nesvodivi, ali ako se nešto može smanjiti, svakako to smanjite. Često će ovo stvoriti zanimljive temelje s kojima već možete raditi.
Nažalost, u našoj zemlji se ništa nije pojavilo. Ali vidimo da su eksponenti s lijeve strane u proizvodu suprotni:
Da vas podsjetim: da biste se riješili znaka minus u indikatoru, samo trebate "okrenuti" razlomak. Pa, hajde da prepišemo originalnu jednačinu:
\ [\ započeti (poravnati) & ((100) ^ (x-1)) \ cdot ((\ lijevo (\ frac (10) (27) \ desno)) ^ (x-1)) = \ frac (9 )(100); \\ & ((\ lijevo (100 \ cdot \ frac (10) (27) \ desno)) ^ (x-1)) = \ frac (9) (100); \\ & ((\ lijevo (\ frac (1000) (27) \ right)) ^ (x-1)) = \ frac (9) (100). \\\ kraj (poravnaj) \]
U drugom redu, jednostavno smo pomerili ukupni eksponent iz proizvoda izvan zagrade prema pravilu $ ((a) ^ (x)) \ cdot ((b) ^ (x)) = ((\ lijevo (a \ cdot b \ right)) ^ (x)) $, a u potonjem su jednostavno pomnožili broj 100 sa razlomkom.
Sada imajte na umu da su brojevi na lijevoj strani (na dnu) i na desnoj strani donekle slični. Kako? Ali očigledno je: to su moći istog broja! Imamo:
\ [\ započeti (poravnati) & \ frac (1000) (27) = \ frac (((10) ^ (3))) (((3) ^ (3))) = ((\ lijevo (\ frac ( 10) (3) \ desno)) ^ (3)); \\ & \ frac (9) (100) = \ frac (((3) ^ (2))) (((10) ^ (3))) = ((\ lijevo (\ frac (3) (10) \ desno)) ^ (2)). \\\ kraj (poravnaj) \]
Dakle, naša jednačina će biti prepisana na sljedeći način:
\ [((\ lijevo (((\ lijevo (\ frakcija (10) (3) \ desno)) ^ ^ (3)) \ desno)) ^ (x-1)) = ((\ lijevo (\ frac (3 ) (10) \ desno)) ^ (2)) \]
\ [((\ lijevo ((\ lijevo (\ frac (10) (3) \ desno)) ^ (3)) \ desno)) ^ (x-1)) = ((\ lijevo (\ frac (10) ) (3) \ desno)) ^ (3 \ lijevo (x-1 \ desno))) = ((\ lijevo (\ frakcija (10) (3) \ desno)) ^ (3x-3)) \]
U ovom slučaju, na desnoj strani, možete dobiti i diplomu sa istom bazom, za koju je dovoljno samo "okrenuti" razlomak:
\ [((\ lijevo (\ frakcija (3) (10) \ desno)) ^ (2)) = ((\ lijevo (\ frakcija (10) (3) \ desno)) ^ (- 2)) \]
Konačno, naša jednadžba će imati oblik:
\ [\ započeti (poravnati) & ((\ lijevo (\ frac (10) (3) \ desno)) ^ (3x-3)) = ((\ lijevo (\ frac (10) (3) \ desno)) ^ (- 2)); \\ & 3x -3 = -2; \\ & 3x = 1; \\ & x = \ frac (1) (3). \\\ kraj (poravnaj) \]
To je cijelo rješenje. Njegova glavna ideja je da čak i sa različitih razloga mi pokušavamo na udicu ili na prevaru svesti ove osnove na isto. U tome nam pomažu elementarne transformacije jednačina i pravila za rad sa stepenima.
Ali koja pravila i kada koristiti? Kako razumjeti da u jednoj jednadžbi morate nešto podijeliti obje strane, a u drugoj morate faktorisati bazu eksponencijalne funkcije?
Odgovor na ovo pitanje doći će s iskustvom. Isprobajte se prvo jednostavne jednačine, a zatim postupno komplicirajte zadatke - i vrlo brzo će vaše vještine biti dovoljne za rješavanje bilo koje eksponencijalne jednadžbe s istog ispita ili bilo kojeg neovisnog / testnog rada.
A kako bih vam pomogao u ovom teškom zadatku, predlažem da preuzmete skup jednadžbi za nezavisna odluka... Sve jednadžbe imaju odgovore, pa se uvijek možete sami testirati.
Općenito, želim vam uspješan trening. Vidimo se u sljedećoj lekciji - tamo ćemo analizirati zaista složene eksponencijalne jednadžbe, gdje gore opisane metode više nisu dovoljne. A ni jednostavna vježba neće biti dovoljna. :)
Nazad naprijed
Pažnja! Pregledi slajdova su samo u informativne svrhe i ne moraju predstavljati sve mogućnosti prezentacije. Ako ste zainteresovani za ovaj rad, preuzmite punu verziju.
Tip lekcije
: čas generalizacije i složene primjene znanja, vještina i sposobnosti na temu "Eksponencijalne jednadžbe i načini njihovog rješavanja."Ciljevi lekcije.
Oprema:
računara i multimedijskog projektora.Lekcija koristi informacione tehnologije : metodološka podrška na lekciju - prezentacija u programu Microsoft Power Point.
Tokom nastave
Svaka vještina se daje radom
I. Postavljanje ciljeva lekcije(Slajd broj 2 )
U ovoj lekciji ćemo sažeti i generalizirati temu „Eksponencijalne jednadžbe, njihova rješenja“. Upoznajmo se s tipičnim USE zadaci različitih godina na ovu temu.
Zadaci za rješavanje eksponencijalnih jednadžbi mogu se pronaći u bilo kojem dijelu zadataka USE. U dijelu “ V " obično predlažu rješavanje najjednostavnijih eksponencijalnih jednadžbi. U dijelu “ SA " možete pronaći složenije eksponencijalne jednadžbe čije je rješenje obično jedna od faza zadatka.
Na primjer ( Slajd broj 3 ).
- Jedinstveni državni ispit - 2007
Q 4 - Pronađite najveću vrijednost izraza x y, gdje ( NS; at) - sistemsko rješenje:
B 1 - Riješite jednačine:
a) NS 6 3NS – 36 6 3NS = 0;
b) 4 NS +1 + 8 4NS= 3.
P 4 - Pronađite značenje izraza x + y, gdje ( NS; at) - sistemsko rješenje:
- Jedinstveni državni ispit - 2010
II. Ažuriranje osnovnih znanja. Ponavljanje
(Slajdovi broj 4 - 6 prezentacije za lekciju)Na ekranu se prikazuje prateći sažetak teorijskog materijala na ovu temu.
Raspravlja se o sljedećim pitanjima:
- Kako se jednačine nazivaju indikativno?
- Navedite glavne načine za njihovo rješavanje. Navedite primjere njihovih vrsta ( Slajd broj 4 )
- Koji se teorem koristi za rješavanje najjednostavnijih eksponencijalnih jednadžbi oblika: i f (x) = a g (x)?
- Koje druge metode za rješavanje eksponencijalnih jednadžbi postoje? ( Slajd broj 5 )
(Rješite predložene jednadžbe za svaku metodu nezavisno i izvršite samotestiranje pomoću slajda)
- Metoda faktoringa (zasnovano na svojstvima stepeni sa iste osnove, prijem: stepen sa najmanjim eksponentom se vadi iz zagrade).
- Prijem podjele (množenja) eksponencijalnim izrazom koji nije nula, pri rješavanju homogenih eksponencijalnih jednadžbi .
- Savjet:
-
Rješavanje jednadžbi zadnje dvije metode praćeno komentarima
(Slajd broj 6 ).
. 4 NS+ 1 – 2 4 NS– 2 = 124, 4 NS– 2 (4 3 - 2) = 124, 4 NS– 2 62 = 124,4 NS– 2 = 2, 4 NS– 2 = 4 0,5 , NS– 2 = 0,5, x = 2,5 .
2 2 2x - 3 2 NS 5NS - 5 5 2NS= 0¦: 5 2 NS 0,2 (2/5) 2x - 3 (2/5) NS - 5 = 0,
t = (2/5) x, t > 0, 2t 2 - 3t - 5 = 0,t= -1(?...), t = 5/2; 5/2 = (2/5) x, NS= ?...
III. Rješavanje zadataka ispita 2010
Učenici samostalno rješavaju zadatke predložene na početku časa na slajdu broj 3, koristeći upute za rješenje, provjeravaju tok rješenja i odgovore na njih pomoću prezentacije ( Slajd broj 7). U toku rada razmatraju se mogućnosti i metode rješenja, skreće se pažnja na moguće greške u rješenju.
: a) 7 NS- 2 = 49, b) (1/6) 12 - 7 x = 36. Odgovor: a) NS= 4, b) NS = 2. : 4 NS 2 + 3NS – 2 - 0,5 2x2 + 2NS- 1 = 0. (Možete zamijeniti 0,5 = 4 - 0,5)Rešenje. ,
NS 2 + 3NS – 2 = -NS 2 - 4NS + 0,5 …
Odgovor: NS= -5/2, NS = 1/2.
: 5 5 tg y+ 4 = 5 -tg y, na cos y< 0.Indikacija za rješenje
... 5 5 tg y+ 4 = 5 -tg y¦ 5 tg y 0,5 5 2g y+ 4 5 tg y - 1 = 0. Neka je NS= 5 tg y , …
5 tg y = -1 (?...), 5 tg y = 1/5.
Od tg y= -1 i cos y< 0, dakle at II koordinatni kvartal
Odgovor: at= 3/4 + 2k, k N.
IV. Sarađujte na tabli
Smatra se zadatkom visokog nivoa obuke - Slajd broj 8... Pomoću ovog slajda odvija se dijalog između nastavnika i učenika, doprinoseći razvoju rješenja.
- Pod kojim parametrom a jednačina 2 2 NS – 3 2 NS + a 2 – 4a= 0 ima dva korijena?Neka bude t= 2 NS, gdje t > 0 ... Dobijamo t 2 – 3t + (a 2 – 4a) = 0 .
1). Budući da jednadžba ima dva korijena, tada je D> 0;
2). Jer t 1,2> 0, dakle t 1 t 2> 0, tj a 2 – 4a> 0 (?...).
Odgovor: a(- 0,5; 0) ili (4; 4,5).
V. Rad na verifikaciji
(Slajd broj 9 )Studenti nastupaju verifikacioni rad na papirićima, vježbajući samokontrolu i samoprocjenu rada obavljenog uz pomoć prezentacije, potvrđujući temu. Samostalno određuju za sebe program za regulisanje i ispravljanje znanja na osnovu grešaka u radnim sveskama. Listovi sa završenim samostalnim radom predaju se nastavniku na provjeru.
Podvučeni brojevi - osnovni nivo, sa zvezdicom - povećane poteškoće.
Rješenje i odgovori.
3. 2 NS– 1 (5 2 4 - 4) = 19, 2 NS– 1 76 = 19, 2 NS– 1 = 1/4, 2 NS– 1 = 2 – 2 , NS– 1 = -2,
x = -1.
4 * .3 9 x = 2 3 NS 5NS+ 5 25 NS | : 25 NS ,
3 (9/25) x = 2 (3/5) NS+ 5,
3 (9/27) NS = 2 (3/5) NS + 5 = 0,
3 (3/5) 2NS – 2 (3/5) NS - 5 = 0,…, (3/5) NS = -1 (ne odgovara),
(3/5) NS = 5, x = -1.
Vi. Zadaća
(Slajd broj 10 )- Ponovite § 11, 12.
- Iz materijala USE 2008 - 2010 odaberite zadatke na tu temu i riješite ih.
- Rad na kućnom pregledu :
U fazi pripreme za završni test učenici viših razreda treba da usavrše svoja znanja na temu „Eksponencijalne jednačine“. Iskustvo proteklih godina pokazuje da ovakvi zadaci izazivaju određene poteškoće kod školaraca. Dakle, srednjoškolci, bez obzira na stepen osposobljenosti, moraju temeljito savladati teoriju, zapamtiti formule i razumjeti princip rješavanja ovakvih jednačina. Nakon što su naučili kako se nositi s ovom vrstom problema, maturanti će moći računati na visoke ocjene prilikom polaganja ispita iz matematike.
Pripremite se za ispitno testiranje sa Školkovom!
Prilikom pregledavanja obrađenog materijala, mnogi studenti se suočavaju s problemom pronalaženja formula potrebnih za rješavanje jednadžbi. Školski udžbenik nije uvijek pri ruci, a odabir potrebnih informacija o nekoj temi na Internetu traje dugo.
Edukativni portal "Školkovo" poziva studente da koriste našu bazu znanja. U potpunosti shvatamo nova metoda priprema za završno testiranje. Proučavanjem na našoj web stranici moći ćete identificirati praznine u znanju i obratiti pažnju upravo na one zadatke koji uzrokuju najveće poteškoće.
Učitelji u Shkolkovu su prikupili, sistematizirali i predstavili sve potrebno za uspjeh polaganje ispita materijal u najjednostavnijem i najpristupačnijem obliku.
Osnovne definicije i formule predstavljene su u odjeljku "Teorijske reference".
Za bolju asimilaciju gradiva preporučujemo uvježbavanje zadataka. Pažljivo pregledajte primjere eksponencijalnih jednačina sa rješenjem predstavljenim na ovoj stranici da biste razumjeli algoritam proračuna. Nakon toga nastavite sa zadacima u odjeljku "Direktoriji". Možete započeti s najlakšim problemima ili prijeći na rješavanje kompleksnih eksponencijalnih jednadžbi s nekoliko nepoznanica ili. Baza vježbi na našoj web stranici stalno se dopunjava i ažurira.
One primjere s indikatorima koji su vam izazvali poteškoće možete dodati u omiljene. Na ovaj način možete ih brzo pronaći i razgovarati o rješenju sa svojim instruktorom.
Da biste uspješno položili Jedinstveni državni ispit, učite na portalu Shkolkovo svaki dan!
