Bilješka. Ovo je dio lekcije sa problemima geometrije (stereometrija sekcija, problemi o piramidi). Ako trebate riješiti problem geometrije koji nije ovdje, pišite o tome na forumu. U zadacima se umjesto simbola "kvadratni korijen" koristi funkcija sqrt(), u kojoj je sqrt simbol kvadratni korijen, a radikalni izraz je naveden u zagradama.Za jednostavne radikalne izraze može se koristiti znak "√".. Regularni tetraedar- Ovo je pravilna trouglasta piramida u kojoj su sva lica jednakostranični trouglovi.

U pravilnom tetraedru, svi diedarski uglovi na ivicama i svi triedarski uglovi na vrhovima su jednaki

Tetraedar ima 4 lica, 4 vrha i 6 ivica.

Osnovne formule za pravilan tetraedar date su u tabeli.

gdje:
S - Površina pravilnog tetraedra
V - volumen
h - visina spuštena do baze
r - poluprečnik kružnice upisane u tetraedar
R - radijus kruga
a - dužina ivice

Praktični primjeri

Zadatak.
Nađite površinu trokutaste piramide sa svakim rubom jednakim √3

Rješenje.
Pošto su sve ivice trouglaste piramide jednake, ona je pravilna. Površina pravilne trouglaste piramide je S = a 2 √3.
Onda
S = 3√3

Odgovori: 3√3

Zadatak.
Sve ivice pravilne trouglaste piramide jednake su 4 cm.Nađite zapreminu piramide

Rješenje.
Pošto je u pravilnoj trouglastoj piramidi visina piramide projektovana na centar osnove, koja je ujedno i centar opisane kružnice, onda

AO = R = √3 / 3 a
AO = 4√3 / 3

Tako se visina piramide OM može naći iz pravougaonog trougla AOM

AO 2 + OM 2 = AM 2
OM 2 = AM 2 - AO 2
OM 2 = 4 2 - (4√3 / 3) 2
OM 2 = 16 - 16/3
OM = √(32/3)
OM = 4√2 / √3

Zapreminu piramide nalazimo pomoću formule V = 1/3 Sh
U ovom slučaju, nalazimo površinu baze koristeći formulu S = √3/4 a 2

V = 1/3 (√3 / 4 * 16) (4√2 / √3)
V = 16√2/3

Odgovori: 16√2 / 3 cm

Iz osnovne formule za zapreminu tetraedra

Gdje S je područje bilo kojeg lica, i H– visina snižena njime, može se izvesti čitav niz formula koje izražavaju zapreminu kroz različite elemente tetraedra. Predstavimo ove formule za tetraedar A B C D.

(2) ,

gdje je ∠ ( AD,ABC) – ugao između ivica AD i ravan lica ABC;

(3) ,

gdje je ∠ ( ABC,ABD) – ugao između lica ABC I ABD;

gdje | AB,CD| – razmak između suprotnih rebara AB I CD, ∠ (AB,CD) je ugao između ovih ivica.

Formule (2)–(4) se mogu koristiti za pronalaženje uglova između pravih i ravni; Posebno je korisna formula (4) pomoću koje možete pronaći rastojanje između linija koje se ukrštaju AB I CD.

Formule (2) i (3) su slične formuli S = (1/2)ab grijeh C za površinu trougla. Formula S = rp slična formula

Gdje r je poluprečnik upisane sfere tetraedra, Σ je njegov puna površina(zbir površina svih lica). Postoji i prelepa formula koja povezuje zapreminu tetraedra sa radijusom R njegova opisana sfera ( Krelet formula):

gdje je Δ površina trokuta čije su stranice numerički jednake umnošku suprotnih ivica ( AB× CD, A.C.× BD,AD× B.C.). Iz formule (2) i kosinusne teoreme za triedarske uglove (vidi Sferna trigonometrija), možemo izvesti formulu sličnu Heronovoj formuli za trouglove.

Razmotrimo proizvoljan trougao ABC i tačku D koja ne leži u ravni ovog trougla. Povežimo ovu tačku sa vrhovima sa segmentima trougao ABC. Kao rezultat, dobijamo trouglove ADC, CDB, ABD. Površina ograničena sa četiri trokuta ABC, ADC, CDB i ABD naziva se tetraedar i označava se DABC.
Trouglovi koji čine tetraedar nazivaju se njegove strane.
Stranice ovih trouglova nazivaju se ivicama tetraedra. A njihovi vrhovi su vrhovi tetraedra

Tetraedar ima 4 lica, 6 rebara I 4 vrha.
Dvije ivice koje nemaju zajednički vrh nazivaju se suprotne.
Često se, radi praktičnosti, naziva jedno od lica tetraedra osnovu, a preostale tri strane su bočne strane.

Dakle, tetraedar je najjednostavniji poliedar čija su lica četiri trougla.

Ali takođe je tačno da je svaka proizvoljna trouglasta piramida tetraedar. Tada je takođe tačno da se tetraedar naziva piramida sa trouglom u osnovi.

Visina tetraedra naziva se segment koji povezuje vrh sa tačkom koja se nalazi na suprotnoj strani i okomita na nju.
Medijan tetraedra naziva se segment koji povezuje vrh sa tačkom preseka medijana suprotnog lica.
Bimedijan tetraedra naziva se segment koji spaja sredine ivica tetraedra koji se sijeku.

Pošto je tetraedar piramida sa trouglasta osnova, tada se volumen bilo kojeg tetraedra može izračunati pomoću formule

  • S– područje bilo kojeg lica,
  • H– visina spuštena na ovo lice

Pravilni tetraedar - posebna vrsta tetraedra

Tetraedar sa svim stranama jednakostranični trougao pozvao ispravan.
Svojstva pravilnog tetraedra:

  • Sve ivice su jednake.
  • Svi ravni uglovi pravilnog tetraedra su 60°
  • Pošto je svaki od njegovih vrhova vrh od tri pravilnih trouglova, tada je zbir ravnih uglova na svakom vrhu 180°
  • Bilo koji vrh pravilnog tetraedra se projektuje u ortocentar suprotnog lica (u tački preseka visina trougla).

Neka nam je dat pravilan tetraedar ABCD sa ivicama jednakim a. DH je njegova visina.
Napravimo dodatne konstrukcije BM - visina trougla ABC i DM - visina trougla ACD.
Visina BM je jednaka BM i jednaka je
Razmotrimo trougao BDM, gdje je DH, što je visina tetraedra, također visina ovog trougla.
Visina trokuta spuštena na stranu MB može se pronaći pomoću formule

, Gdje
BM=, DM=, BD=a,
p=1/2 (BM+BD+DM)=
Zamijenimo ove vrijednosti u formulu visine. Dobijamo


Izvadimo 1/2a. Dobijamo



Primijenimo formulu razlike kvadrata

Nakon malih transformacija dobijamo


Zapremina bilo kojeg tetraedra može se izračunati pomoću formule
,
Gdje ,

Zamjenom ovih vrijednosti dobijamo

Dakle, formula volumena za pravilan tetraedar je

Gdje a– rub tetraedra

Izračunavanje zapremine tetraedra ako su poznate koordinate njegovih vrhova

Neka nam budu date koordinate vrhova tetraedra

Iz vrha crtamo vektore , , .
Da biste pronašli koordinate svakog od ovih vektora, oduzmite odgovarajuću početnu koordinatu od krajnje koordinate. Dobijamo


Definicija tetraedra

Tetrahedron– najjednostavnije poliedarsko tijelo čija su lica i osnova trouglovi.

Online kalkulator

Tetraedar ima četiri lica, od kojih je svako formirano od tri strane. Tetraedar ima četiri vrha, iz kojih izlaze tri ivice.

Ovo tijelo je podijeljeno u nekoliko tipova. Ispod je njihova klasifikacija.

  1. Izoedarski tetraedar- sve njegove strane su identični trouglovi;
  2. Ortocentrični tetraedar- sve visine povučene od svakog vrha do suprotnog lica su jednake po dužini;
  3. Pravougaoni tetraedar- ivice koje izlaze iz jednog vrha međusobno formiraju ugao od 90 stepeni;
  4. Okvir;
  5. Proporcionalno;
  6. Incentric.

Formule zapremine tetraedra

Zapreminu datog tijela možemo pronaći na nekoliko načina. Pogledajmo ih detaljnije.

Kroz mješoviti proizvod vektora

Ako je tetraedar izgrađen na tri vektora s koordinatama:

A ⃗ = (a x, a y, a z) \vec(a)=(a_x, a_y, a_z)a= (a x​ , a y​ , a z​ )
b ⃗ = (b x , b y , b z) \vec(b)=(b_x, b_y, b_z)b= (b x​ , b y​ , b z​ )
c ⃗ = (c x, c y, c z) \vec(c)=(c_x, c_y, c_z)c= (c x​ , c y​ , c z​ ) ,

tada je zapremina ovog tetraedra mješoviti rad ovih vektora, odnosno sljedeća determinanta:

Zapremina tetraedra kroz determinantu

V = 1 6 ⋅ ∣ a x a y a z b x b y b z c x c y c z ∣ V=\frac(1)(6)\cdot\begin(vmatrix) a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_\ y )V=6 1 ​ ⋅ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ a x​ b x​ c x​ ​ a y​ b y​ c y​ ​ a z​ b z​ c z​ ​ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​

Problem 1

Koordinate četiri vrha oktaedra su poznate. A(1, 4, 9) A(1,4,9) A(1, 4, 9), B (8, 7, 3) B(8,7,3) B(8, 7, 3), C (1, 2, 3) C (1,2,3) C(1, 2, 3), D(7, 12, 1) D(7,12,1) D(7, 1 2, 1). Pronađite njen volumen.

Rješenje

A(1, 4, 9) A(1,4,9) A(1, 4, 9)
B (8, 7, 3) B(8,7,3) B(8, 7, 3)
C (1, 2, 3) C (1,2,3) C(1, 2, 3)
D(7, 12, 1) D(7,12,1) D(7, 1 2, 1)

Prvi korak je određivanje koordinata vektora na kojima je ovo tijelo izgrađeno.
Da biste to učinili, trebate pronaći svaku vektorsku koordinatu oduzimanjem odgovarajućih koordinata dvije točke. Na primjer, vektorske koordinate A B → \overrightarrow(AB) A B, odnosno vektor usmjeren iz tačke AA A do tačke B B B, ovo su razlike između odgovarajućih koordinata tačaka B B B I AA A:

A B → = (8 − 1 , 7 − 4 , 3 − 9) = (7 , 3 , − 6) \overrightarrow(AB)=(8-1, 7-4, 3-9)=(7, 3, -6)A B= (8 − 1 , 7 − 4 , 3 − 9 ) = (7 , 3 , − 6 )

A C → = (1 − 1 , 2 − 4 , 3 − 9) = (0 , − 2 , − 6) \overrightarrow(AC)=(1-1, 2-4, 3-9)=(0, - 2, -6)A C= (1 − 1 , 2 − 4 , 3 − 9 ) = (0 , − 2 , − 6 )
A D → = (7 − 1 , 12 − 4 , 1 − 9) = (6 , 8 , − 8) \overrightarrow(AD)=(7-1, 12-4, 1-9)=(6, 8, -8)A D= (7 − 1 , 1 2 − 4 , 1 − 9 ) = (6 , 8 , − 8 )

Sada pronađimo mješoviti proizvod ovih vektora; da bismo to učinili, sastavit ćemo determinantu trećeg reda, uz prihvatanje da A B → = a ⃗ \overrightarrow(AB)=\vec(a)A B= a, A C → = b ⃗ \overrightarrow(AC)=\vec(b)A C= b, A D → = c ⃗ \overrightarrow(AD)=\vec(c)A D= c.

∣ a x a y a z b x b y b z c x c y c z ∣ = ∣ 7 3 − 6 0 − 2 − 6 6 8 − 8 ∣ = 7 ⋅ (− 2) ⋅ (− 8) + 3 ⋅ (− 6) ⋅ (− 6) ⋅ 6) +− 0 (− 6) ⋅ (− 2) ⋅ 6 − 7 ⋅ (− 6) ⋅ 8 − 3 ⋅ 0 ⋅ (− 8) = 112 − 108 − 0 − 72 + 336 + 0 = 268 &begin(vmatrix) a_x a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \\ \end(vmatrix)= \begin(vmatrix) 7 & 3 & -6 \\ 0 & -2 & -6 \\ 6 & 8 & -8 \\ \end(vmatrix)=7\cdot(-2)\cdot(-8) + 3\cdot(-6)\cdot6 + (-6)\cdot0\cdot8 - (-6)\cdot (-2)\cdot6 - 7\cdot(-6)\cdot8 - 3\cdot0\cdot(-8) = 112 - 108 - 0 - 72 + 336 + 0 = 268∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ a x​ b x​ cx​ ​ ay​ by​ cy​ ​ az​ bz​ cz​ ​ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ 7 0 6 ​ 3 − 2 8 ​ − 6 − 6 − 8 ​ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ = 7 ⋅ (− 2 ) ⋅ (− 8 ) + 3 ⋅ (− 6 ) ⋅ 6 + (− 6 ) ⋅ 0 ⋅ 8 − (− 6 ) ⋅ (− 2 ) ⋅ 6 − 7 ⋅ (− 6 ) ⋅ 8 − 3 ⋅ 0 ⋅ (− 8 ) = 1 1 2 − 1 0 8 − 0 − 7 2 + 3 3 6 + 0 = 2 6 8

To jest, zapremina tetraedra je jednaka:

V = 1 6 ⋅ ∣ a x a y a z b x b y b z c x c y c z ∣ = 1 6 ⋅ ∣ 7 3 − 6 0 − 2 − 6 6 8 − 8 ∣ = 1 6 ⋅ 268 ≈ 268 ≈ 10 cm(\. 64) (vmatrix) a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \\ \end(vmatrix)=\frac(1)(6)\cdot \begin(vmatrix) 7 & 3 & - 6 \\ 0 & -2 & -6 \\ 6 & 8 & -8 \\ \end(vmatrix)=\frac(1)(6)\cdot268\approx44.8\text( cm)^3

Odgovori

44,8 cm3. 44,8\tekst(cm)^3.

Formula za zapreminu izoedarskog tetraedra duž njegove stranice

Ova formula vrijedi samo za izračunavanje volumena izoedarskog tetraedra, odnosno tetraedra u kojem su sva lica identični pravilni trouglovi.

Zapremina izoedarskog tetraedra

V = 2 ⋅ a 3 12 V=\frac(\sqrt(2)\cdot a^3)(12)

aa

Problem 2

Odredite zapreminu tetraedra ako je njegova stranica jednaka 11 cm 11\text( cm)

Rješenje

a=11 a=11

Hajde da zamenimo aa

V = 2 ⋅ a 3 12 = 2 ⋅ 1 1 3 12 ≈ 156,8 cm 3 V=\frac(\sqrt(2)\cdot a^3)(12)=\frac(\sqrt(2)\cdot 11^ 3)(12)\cca 156,8\text(cm)^3

Odgovori

156,8 cm3. 156,8\tekst(cm)^3.