Događaj je rezultat testa. Šta je događaj? Jedna lopta se nasumično uzima iz urne. Vađenje lopte iz urne je test. Pojava lopte određene boje je događaj. U teoriji vjerovatnoće, događaj se razumije kao nešto o čemu se, nakon određenog trenutka, može reći jedna i samo jedna od dvije stvari. Da, desilo se. Ne, nije se desilo. Mogući ishod eksperimenta naziva se elementarni događaj, a skup takvih ishoda jednostavno se naziva događaj.
Nepredvidivi događaji se nazivaju slučajni. Događaj se naziva slučajnim ako se pod istim uslovima može dogoditi ili ne mora. Prilikom bacanja kocke, rezultat će biti šestica. imam srećka. Nakon objavljivanja rezultata lutrije, događaj koji me zanima - osvajanje hiljadu rubalja - ili se dogodi ili se ne dogodi. Primjer.
Dva događaja koja se pod datim uslovima mogu desiti istovremeno nazivaju se zajedničkim, a oni koji se ne mogu desiti istovremeno nazivaju se nekompatibilnim. Baca se novčić. Izgled “grba” isključuje izgled natpisa. Događaji “pojavio se grb” i “pojavio se natpis” su nespojivi. Primjer.
Događaj koji se uvijek događa naziva se pouzdanim. Događaj koji se ne može dogoditi naziva se nemogućim. Na primjer, pretpostavimo da je lopta izvučena iz urne koja sadrži samo crne kuglice. Tada je pojava crne lopte pouzdan događaj; pojava bele lopte je nemoguć događaj. Primjeri. Snijega neće biti sljedeće godine. Kada bacate kockice, rezultat će biti sedam. Ovo su nemogući događaji. Sledeće godine biće snega. Kada bacite kocku, dobit ćete broj manji od sedam. Dnevni izlazak sunca. Ovo pouzdani događaji.
Rješavanje problema Za svaki od opisanih događaja odredite šta je: nemoguće, pouzdano ili slučajno. 1. Od 25 učenika u razredu, dvoje slave rođendan a) 30. januara; b) 30. februara. 2. Udžbenik književnosti se nasumično otvara i druga riječ se nalazi na lijevoj strani. Ova riječ počinje: a) slovom “K”; b) počinje slovom “ʺ̱”.
3. Danas u Sočiju barometar pokazuje normalan atmosferski pritisak. U ovom slučaju: a) voda u tiganju prokuvana na temperaturi od 80ºC; b) kada je temperatura pala na -5ºC, voda u lokvi se smrzla. 4. Bacaju se dvije kocke: a) prva kocka pokazuje 3 boda, a druga - 5 bodova; b) zbir bodova bačenih na dvije kocke je 1; c) zbir bodova bačenih na dvije kocke je 13; d) obje kocke su dobile 3 boda; e) zbir bodova na dvije kockice manji je od 15. Rješavanje zadataka
5. Otvorili ste knjigu na bilo kojoj stranici i pročitali prvu imenicu na koju ste naišli. Ispostavilo se da: a) pravopis odabrane riječi sadrži samoglasnik; b) slovo “O” sadrži odabranu riječ; c) u pisanju odabrane riječi nema samoglasnika; d) u pisanju odabrane riječi postoji meki znak. Rješavanje problema
5. razred. Uvod u vjerovatnoću (4 sata)
(izrada 4 lekcije na ovu temu)
Ciljevi učenja : - uvesti definiciju slučajnog, pouzdanog i nemogućeg događaja;
Dajte prve ideje o rješavanju kombinatornih problema: korištenje stabla opcija i korištenje pravila množenja.
Obrazovni cilj: razvoj svjetonazora učenika.
Razvojni cilj : razvoj prostorne mašte, usavršavanje veštine rada sa lenjirom.
Pouzdani, nemogući i nasumični događaji (2 sata)
Kombinatorski problemi (2 sata)
Pouzdani, nemogući i slučajni događaji.
Prva lekcija
Oprema za nastavu: kockice, novčić, backgammon.
Naš život se uglavnom sastoji od nezgoda. Postoji takva nauka kao "teorija vjerovatnoće". Koristeći njegov jezik, možete opisati mnoge pojave i situacije.
Čak je i primitivni vođa shvatio da desetak lovaca ima veću "vjerovatnost" da pogodi bizona kopljem nego jedan. Zato su tada kolektivno lovili.
Takvi drevni zapovjednici poput Aleksandra Velikog ili Dmitrija Donskog, pripremajući se za bitku, oslanjali su se ne samo na hrabrost i umijeće ratnika, već i na slučaj.
Mnogi ljudi vole matematiku zbog vječnih istina: dvaput dva je uvijek četiri, zbir parnih brojeva je paran, površina pravokutnika jednaka je proizvodu njegovih susjednih stranica, itd. U bilo kojem zadatku koji riješite, svi dobija isti odgovor - samo trebate ne pogriješiti u odluci.
Stvarni život nije tako jednostavan i jasan. Ishod mnogih događaja ne može se unaprijed predvidjeti. Nemoguće je, na primjer, sa sigurnošću reći na koju će stranu pasti izbačeni novčić, kada će pasti prvi snijeg sljedeće godine ili koliko će ljudi u gradu htjeti da telefonira u narednih sat vremena. Takvi nepredvidivi događaji se nazivaju nasumično .
Međutim, slučaj ima i svoje zakone, koji se počinju manifestirati kada se slučajni fenomeni ponavljaju mnogo puta. Ako bacite novčić 1000 puta, on će iskrsnuti oko pola puta, što nije slučaj sa dva ili čak deset bacanja. "Približno" ne znači pola. Ovo generalno može, ali ne mora biti slučaj. Zakon ne navodi ništa sa sigurnošću, ali daje određeni stepen sigurnosti da će se dogoditi neki slučajni događaj. Takve obrasce proučava posebna grana matematike - Teorija vjerovatnoće . Uz njegovu pomoć možete s većim stepenom pouzdanosti (ali još uvijek ne sa sigurnošću) predvidjeti i datum prve snježne padavine i broj telefonskih poziva.
Teorija vjerojatnosti je neraskidivo povezana s našim svakodnevnim životom. Ovo nam daje divnu priliku da eksperimentalno ustanovimo mnoge vjerojatnostne zakone, ponavljajući nasumične eksperimente mnogo puta. Materijali za ove eksperimente najčešće će biti običan novčić, kockice, set domina, backgammon, rulet ili čak špil karata. Svaka od ovih stavki je na ovaj ili onaj način povezana s igrama. Činjenica je da se slučaj ovdje pojavljuje u svom najčešćem obliku. A prvi probabilistički zadaci odnosili su se na procjenu šansi igrača za pobjedu.
Moderna teorija vjerovatnoće se udaljila od kockanja, ali njeni rekviziti i dalje ostaju najjednostavniji i najpouzdaniji izvor šanse. Nakon vježbanja s ruletom i kockom, naučit ćete izračunati vjerovatnoću slučajnih događaja u stvarnim životnim situacijama, što će vam omogućiti da procijenite svoje šanse za uspjeh, testirate hipoteze i donosite optimalne odluke ne samo u igrama i lutriji.
Kada rješavate probabilističke probleme, budite vrlo oprezni, pokušajte opravdati svaki korak koji napravite, jer nijedna druga oblast matematike ne sadrži toliko paradoksa. Kao teorija verovatnoće. A možda je glavno objašnjenje za to njegova povezanost sa stvarnom svijetu, u kojoj živimo.
Mnoge igre koriste kockicu sa oznakom na svakoj strani. različitu količinu bodova od 1 do 6. Igrač baca kockicu, gleda koliko je bodova ispušteno (na stranu koja se nalazi na vrhu) i čini odgovarajući broj poteza: 1,2,3,4,5 ili 6 Bacanje kockice se može smatrati iskustvom, eksperimentom, testom, a dobijeni rezultat je događaj. Ljudi su obično veoma zainteresovani da pogode pojavu ovog ili onog događaja i predvide njegov ishod. Koja predviđanja mogu napraviti kada bace kockice? Prvo predviđanje: pojavit će se jedan od brojeva 1,2,3,4,5 ili 6. Mislite li da će se predviđeni događaj dogoditi ili ne? Naravno, sigurno će doći. Događaj koji će se sigurno dogoditi u datom iskustvu naziva se pouzdan događaj.
Drugo predviđanje : pojaviće se broj 7. Da li mislite da će se desiti predviđeni događaj ili ne? Naravno da se to neće desiti, jednostavno je nemoguće. Događaj koji se ne može dogoditi u datom iskustvu naziva se nemogući događaj.
Treće predviđanje : pojaviće se broj 1. Mislite li da se predviđeni događaj dogodio ili ne? Ne možemo sa potpunom sigurnošću odgovoriti na ovo pitanje, budući da se predviđeni događaj može dogoditi, ali i ne mora. Događaj koji se može ili ne mora dogoditi u datom iskustvu naziva se slučajni događaj.
Vježbajte : Opišite događaje o kojima se govori u zadacima u nastavku. Kao izvjesno, nemoguće ili slučajno.
Hajde da bacimo novčić. Pojavio se grb. (slučajno)
Lovac je pucao na vuka i pogodio ga. (slučajno)
Učenik ide u šetnju svako veče. Šetajući u ponedjeljak, sreo je tri poznanika. (slučajno)
Provedimo mentalno sljedeći eksperiment: okrenite čašu vode naopako. Ako se ovaj eksperiment ne provodi u svemiru, već kod kuće ili u učionici, voda će se izliti. (pouzdan)
Ispaljena su tri hica u metu.” Bilo je pet pogodaka" (nemoguće)
Baci kamen gore. Kamen ostaje da visi u vazduhu. (nemoguće)
Nasumično preuređujemo slova riječi "antagonizam". Rezultat je riječ "anakroizam". (nemoguće)
№959. Petya je planirala prirodni broj. Događaj je sljedeći:
a) predviđen je paran broj; (slučajno) b) namjerno neparan broj; (slučajno)
c) zamišljen je broj koji nije ni paran ni neparan; (nemoguće)
d) zamišljen je broj koji je paran ili neparan. (pouzdan)
№ 961. Petya i Tolya upoređuju svoje rođendane. Događaj je sljedeći:
a) njihovi rođendani se ne poklapaju; (slučajno) b) njihovi rođendani su isti; (slučajno)
d) obojici rođendana padaju na praznike – Nova godina(1. januar) i Dan nezavisnosti Rusije (12. jun). (slučajno)
№ 962. Prilikom igranja backgammona koriste se dvije kockice. Broj poteza koje povuče učesnik u igri određuje se zbrajanjem brojeva na dvije strane kocke koje ispadnu, a ako se otkotrlja "dvojka" (1 + 1,2 + 2,3 + 3,4 + 4,5 + 5,6 + 6 ), tada se broj poteza udvostručuje. Bacate kockice i shvatite koliko poteza morate napraviti. Događaj je sljedeći:
a) morate napraviti jedan potez; b) morate napraviti 7 poteza;
c) morate napraviti 24 poteza; d) morate napraviti 13 poteza.
a) – nemoguće (može se napraviti 1 potez ako se baci kombinacija 1 + 0, ali na kocki nema broja 0).
b) – nasumično (ako se baca 1 + 6 ili 2 + 5).
c) – nasumično (ako se pojavi kombinacija 6 +6).
d) – nemoguće (ne postoje kombinacije brojeva od 1 do 6, čiji je zbir 13; ovaj broj se ne može dobiti ni kada se baci „dvojka“, jer je neparna).
Provjerite sami. (matematički diktat)
1) Navedite koji od sljedećih događaja su nemogući, koji su pouzdani, a koji su slučajni:
Fudbalska utakmica "Spartak" - "Dinamo" završiće se remijem. (slučajno)
Osvojit ćete učešćem u win-win lutriji (pouzdano)
Snijeg će padati u ponoć, a sunce će zasjati 24 sata kasnije. (nemoguće)
Sutra će biti test iz matematike. (slučajno)
Bićete izabrani za predsednika Sjedinjenih Država. (nemoguće)
Bićete izabrani za predsednika Rusije. (slučajno)
2) Kupili ste televizor u prodavnici, za koji proizvođač daje dvogodišnju garanciju. Koji od sljedećih događaja su nemogući, koji su slučajni, koji su pouzdani:
Televizor se neće pokvariti godinu dana. (slučajno)
TV se neće pokvariti dvije godine. (slučajno)
Nećete morati da plaćate popravke televizora dve godine. (pouzdan)
Televizor će se pokvariti u trećoj godini. (slučajno)
3) Autobus koji prevozi 15 putnika mora napraviti 10 zaustavljanja. Koji od sljedećih događaja su nemogući, koji su slučajni, koji su pouzdani:
Svi putnici će izaći iz autobusa na različitim stanicama. (nemoguće)
Svi putnici će izaći na istom stajalištu. (slučajno)
Na svakoj stanici će bar neko sići. (slučajno)
Biće stajalište gde niko neće sići. (slučajno)
Paran broj putnika će sići na svim stajalištima. (nemoguće)
Neparan broj putnika će sići na svim stajalištima. (nemoguće)
Zadaća : str. 53 br. 960, 963, 965 (sami smislite dva pouzdana, slučajna i nemoguća događaja).
Druga lekcija.
Ispitivanje zadaća. (usmeno)
a) Objasnite šta su sigurni, slučajni i nemogući događaji.
b) Navedite koji od sljedećih događaja je pouzdan, koji je nemoguć, koji je slučajan:
Neće biti letnjih praznika. (nemoguće)
Sendvič će pasti puterom nadole. (slučajno)
Školska godina će se jednom završiti. (pouzdan)
Pitat će me sutra na času. (slučajno)
Danas ću upoznati crnu mačku. (slučajno)
№ 960. Otvorili ste ovaj udžbenik na bilo kojoj stranici i odabrali prvu imenicu koja se pojavila. Događaj je sljedeći:
a) u pisanju odabrane riječi postoji samoglasnik. ((pouzdan)
b) pravopis odabrane riječi sadrži slovo “o”. (slučajno)
c) u pisanju odabrane riječi nema samoglasnika. (nemoguće)
d) postoji meki znak u pisanju odabrane riječi. (slučajno)
№ 963. Ponovo igraš backgammon. Opišite sljedeći događaj:
a) igrač ne smije napraviti više od dva poteza. (nemoguće - kombinacijom najmanjih brojeva 1 + 1 igrač čini 4 poteza; kombinacija 1 + 2 daje 3 poteza; sve ostale kombinacije daju više od 3 poteza)
b) igrač mora napraviti više od dva poteza. (pouzdano - bilo koja kombinacija daje 3 ili više poteza)
c) igrač ne smije napraviti više od 24 poteza. (pouzdano - kombinacija najvećih brojeva 6 + 6 daje 24 poteza, a svi ostali daju manje od 24 poteza)
d) igrač mora napraviti dvocifreni broj poteza. (slučajno – na primjer, kombinacija 2 + 3 daje jednocifreni broj poteza: 5, a prevrtanje dvije četvorke daje dvocifreni broj poteza)
2. Rješavanje problema.
№ 964. U vrećici se nalazi 10 loptica: 3 plave, 3 bijele i 4 crvene. Opišite sljedeći događaj:
a) iz vreće su izvađene 4 loptice i sve su plave boje; (nemoguće)
b) iz vreće su izvađene 4 loptice i sve su crvene; (slučajno)
c) 4 loptice su izvađene iz vreće i sve su se pokazale različite boje; (nemoguće)
d) Iz vreće su izvađene 4 lopte, a među njima nije bilo crne lopte. (pouzdan)
Zadatak 1. Kutija sadrži 10 crvenih, 1 zelenu i 2 plave olovke. Dva predmeta se nasumično izvlače iz kutije. Koji od sljedećih događaja su nemogući, koji su slučajni, koji su sigurni:
a) dvije crvene olovke se vade (nasumično)
b) vade se dvije zelene ručke; (nemoguće)
c) dva plava olovka se vade; (slučajno)
d) vade se ručke dvije različite boje; (slučajno)
e) dvije ručke su uklonjene; (pouzdan)
f) dvije olovke su izvađene. (nemoguće)
Zadatak 2. Winnie the Pooh, Prase i svi - svi - svi sjedaju za okrugli sto da proslave svoj rođendan. Na koji broj od svih - svih - svih je događaj „Winnie the Pooh i Prase koji sjede jedno do drugog” pouzdan, a na kojem broju je slučajan?
(ako postoji samo 1 od svih - svih - svih, onda je događaj pouzdan, ako ih ima više od 1, onda je slučajan).
Zadatak 3. Među 100 dobrotvornih lutrijskih listića, dobitnih je 20. Koliko tiketa treba kupiti da bi događaj „nećete osvojiti ništa“ bio nemoguć?
Zadatak 4. U razredu ima 10 dječaka i 20 djevojčica. Koji od sljedećih događaja su nemogući za ovu klasu, koji su slučajni, koji su pouzdani
U razredu su dvije osobe koje su rođene u različitim mjesecima. (slučajno)
U razredu su dvije osobe koje su rođene u istom mjesecu. (pouzdan)
U razredu su dva dječaka koji su rođeni u istom mjesecu. (slučajno)
U razredu su dvije djevojčice koje su rođene u istom mjesecu. (pouzdan)
Svi dječaci su rođeni u različitim mjesecima. (pouzdan)
Sve djevojčice su rođene u različitim mjesecima. (slučajno)
U istom mjesecu su rođeni dječak i djevojčica. (slučajno)
Tu su dječak i djevojčica rođeni u različitim mjesecima. (slučajno)
Zadatak 5. U kutiji se nalaze 3 crvene, 3 žute i 3 zelene lopte. Nasumce izvlačimo 4 loptice. Razmotrite događaj „Među izvučenim kuglicama bit će loptice tačno M boja.“ Za svako M od 1 do 4 odredite o kakvom se događaju radi - nemogućom, pouzdanom ili slučajnom i popunite tabelu:
Samostalan rad.
Iopcija
a) rođendan vašeg prijatelja je manji od 32;
c) sutra će biti test iz matematike;
d) Sledeće godine prvi sneg u Moskvi pada u nedelju.
Bacanje kocke. Opišite događaj:
a) kocka će, nakon što je pala, stajati na svojoj ivici;
b) pojaviće se jedan od brojeva: 1, 2, 3, 4, 5, 6;
c) pojaviće se broj 6;
d) broj koji je višestruki od 7 će biti bačen.
Kutija sadrži 3 crvene, 3 žute i 3 zelene kuglice. Opišite događaj:
a) sve izvučene loptice su iste boje;
b) sve izvučene lopte su različitih boja;
c) među izvučenim loptama ima loptica različitih boja;
c) među izvučenim kuglicama nalazi se crvena, žuta i zelena kugla.
IIopcija
Opišite dotični događaj kao pouzdan, nemoguć ili slučajan:
a) sendvič koji padne sa stola će pasti licem na pod;
b) snijeg će padati u Moskvi u ponoć, a nakon 24 sata će zasjati sunce;
c) dobit ćete učešćem u dobitnoj lutriji;
d) iduće godine u maju će se začuti prva proljetna grmljavina.
Svi dvocifreni brojevi su ispisani na karticama. Jedna karta se bira nasumično. Opišite događaj:
a) na kartici je bila nula;
b) na kartici je bio broj koji je bio višekratnik 5;
c) na kartici je bio broj koji je bio višestruki od 100;
d) na kartici je bio broj veći od 9 i manji od 100.
Kutija sadrži 10 crvenih, 1 zelenu i 2 plave olovke. Dva predmeta se nasumično izvlače iz kutije. Opišite događaj:
a) dva plava olovka se vade;
b) izvade se dvije crvene olovke;
c) vade se dvije zelene ručke;
d) zelena i crna ručka se vade.
Zadaća: 1). Smislite dva pouzdana, slučajna i nemoguća događaja.
2). Zadatak . U kutiji se nalaze 3 crvene, 3 žute i 3 zelene lopte. Nasumce izvlačimo N loptica. Uzmite u obzir događaj „među izvučenim kuglicama biće loptice tačno tri boje“. Za svako N od 1 do 9 odredite o kakvom se događaju radi - nemogućom, pouzdanom ili slučajnom i popunite tabelu:
Kombinatorni problemi.
Prva lekcija
Provjera domaćeg. (usmeno)
a) provjeravamo probleme na koje su učenici došli.
b) dodatni zadatak.
Čitam odlomak iz knjige V. Levšina „Tri dana u Karlikaniji“.
„Najpre su, uz zvuke glatkog valcera, brojevi formirali grupu: 1 + 3 + 4 + 2 = 10. Zatim su mladi klizači počeli da se menjaju, formirajući sve više novih grupa: 2 + 3 + 4 + 1 = 10
3 + 1 + 2 + 4 = 10
4 + 1 + 3 + 2 = 10
1 + 4 + 2 + 3 = 10, itd.
To se nastavilo sve dok se klizači nisu vratili na početnu poziciju.”
Koliko puta su mijenjali mjesta?
Danas ćemo na času naučiti kako riješiti takve probleme. Oni se zovu kombinatorski.
3. Proučavanje novog gradiva.
Zadatak 1. Koliko dvocifrenim brojevima da li se može napraviti od brojeva 1, 2, 3?
Rješenje: 11, 12, 13
31, 32, 33. Ukupno 9 brojeva.
Prilikom rješavanja ovog problema pretražili smo sve moguće opcije ili, kako se obično kaže u ovim slučajevima. Sve moguće kombinacije. Stoga se takvi problemi nazivaju kombinatorski. Moguće (ili nemoguće) opcije u životu morate često računati, pa je korisno upoznati se s kombinatornim problemima.
№ 967. Nekoliko zemalja odlučilo je koristiti simbole za svoju nacionalnu zastavu u obliku tri horizontalne pruge iste širine u različitim bojama - bijeloj, plavoj, crvenoj. Koliko zemalja može koristiti takve simbole, pod uslovom da svaka država ima svoju zastavu?
Rješenje. Pretpostavimo da je prva pruga bijela. Tada druga traka može biti plava ili crvena, a treća traka, redom, crvena ili plava. Imamo dvije opcije: bijela, plava, crvena ili bijela, crvena, plava.
Neka sada prva pruga bude plava, onda opet imamo dvije opcije: bijela, crvena, plava ili plava, crvena, bijela.
Neka prva pruga bude crvena, onda postoje još dvije opcije: crvena, bijela, plava ili crvena, plava, bijela.
Bilo je ukupno 6 mogućih opcija. Ovu zastavu može koristiti 6 zemalja.
Dakle, prilikom rješavanja ovog problema tražili smo način da nabrojimo moguće opcije. U mnogim slučajevima, ispostavilo se da je korisno sastaviti sliku - dijagram nabrajanja opcija. Ovo je, prvo, jasno Drugo, omogućava nam da sve uzmemo u obzir i da ništa ne propustimo.
Ovaj dijagram se također naziva stablo mogućih opcija.
Naslovna strana
Druga pruga
Treća traka
Dobivena kombinacija
№ 968. Koliko se dvocifrenih brojeva može sastaviti od brojeva 1, 2, 4, 6, 8?
Rješenje. Za dvocifrene brojeve koji nas zanimaju prvo mjesto može biti bilo koja od zadatih cifara, osim 0. Ako na prvo mjesto stavimo broj 2, onda bilo koja od datih cifara može biti na drugom mjestu. Dobićete pet dvocifrenih brojeva: 2.,22, 24, 26, 28. Isto tako, biće pet dvocifrenih brojeva sa prvom cifrom 4, pet dvocifrenih brojeva sa prvom cifrom 6 i pet dvocifrenih brojeva. cifre sa prvom cifrom 8.
Odgovor: Biće ukupno 20 brojeva.
Hajde da napravimo stablo mogućih opcija za rešavanje ovog problema.
Dvostruke brojke
Prva cifra
Druga cifra
Primljeni brojevi
20, 22, 24, 26, 28, 60, 62, 64, 66, 68,
40, 42, 44, 46, 48, 80, 82, 84, 86, 88.
Riješite sljedeće probleme konstruiranjem stabla mogućih opcija.
№ 971. Rukovodstvo određene zemlje odlučilo je da njena nacionalna zastava izgleda ovako: na jednobojnoj pravokutnoj pozadini, u jednom od uglova postavljen je krug različite boje. Odlučeno je da se odaberu boje između tri moguće: crvena, žuta, zelena. Koliko varijanti ove zastave?
postoji? Na slici su prikazane neke od mogućih opcija.
Odgovor: 24 opcije.
№ 973. a) Koliko trocifrenim brojevima može se napraviti od brojeva 1,3,5,? (27 brojeva)
b) Koliko se trocifrenih brojeva može sastaviti od brojeva 1,3, 5, s tim da se brojevi ne ponavljaju? (6 brojeva)
№ 979. Savremeni petobojci učestvuju u takmičenjima u pet sportova tokom dva dana: preskakanje, mačevanje, plivanje, streljaštvo i trčanje.
a) Koliko postoji opcija za redosled popunjavanja vrsta takmičenja? (120 opcija)
b) Koliko postoji opcija za redosled događaja takmičenja, ako se zna da bi trebalo da se održi poslednji događaj? (24 opcije)
c) Koliko postoji opcija za redosled takmičarskih disciplina ako se zna da poslednja disciplina treba da bude trčanje, a prva preskakanje? (6 opcija)
№ 981. Dvije urne sadrže po pet kuglica u pet različitih boja: bijeloj, plavoj, crvenoj, žutoj, zelenoj. Iz svake urne se izvlači po jedna kugla.
a) koliko različitih kombinacija izvučenih lopti postoji (kombinacije poput “bijelo - crveno” i “crveno-bijelo” se smatraju istim)?
(15 kombinacija)
b) Koliko ima kombinacija u kojima su izvučene kuglice iste boje?
(5 kombinacija)
c) koliko kombinacija ima u kojima su izvučene kuglice različitih boja?
(15 – 5 = 10 kombinacija)
Zadaća: 54, br. 969, 972, sami smislite kombinatorni problem.
№ 969. Nekoliko zemalja odlučilo je koristiti simbole za svoju nacionalnu zastavu u obliku tri okomite pruge iste širine u različitim bojama: zelenoj, crnoj, žutoj. Koliko zemalja može koristiti takve simbole, pod uslovom da svaka država ima svoju zastavu?
№ 972. a) Koliko se dvocifrenih brojeva može sastaviti od brojeva 1, 3, 5, 7, 9?
b) Koliko se dvocifrenih brojeva može sastaviti od brojeva 1, 3, 5, 7, 9, s tim da se brojevi ne ponavljaju?
Druga lekcija
Provjera domaćeg. a) br. 969 i br. 972a) i br. 972b) - napravite stablo mogućih opcija na ploči.
b) usmeno provjeravamo obavljene zadatke.
Rješavanje problema.
Dakle, prije ovoga smo naučili kako riješiti kombinatorne probleme koristeći stablo opcija. Je li ovo dobar način? Vjerovatno da, ali vrlo glomazno. Pokušajmo drugačije riješiti zadatak za domaći zadatak br. 972. Ko može pretpostaviti kako se to može učiniti?
odgovor: Za svaku od pet boja majica postoje 4 boje gaćica. Ukupno: 4 * 5 = 20 opcija.
№ 980. Urne sadrže po pet kuglica u pet različitih boja: bijeloj, plavoj, crvenoj, žutoj, zelenoj. Iz svake urne se izvlači po jedna kugla. Opišite sljedeći događaj kao siguran, slučajan ili nemoguć:
a) izvađene lopte različitih boja; (slučajno)
b) izvađene loptice iste boje; (slučajno)
c) crne i bijele kuglice se izvlače; (nemoguće)
d) izvlače se dvije loptice koje su obojene u jednu od sljedećih boja: bijela, plava, crvena, žuta, zelena. (pouzdan)
№ 982. Grupa turista planira da pešači rutom Antonovo - Borisovo - Vlasovo - Gribovo. Od Antonova do Borisova možete splavariti rijekom ili prošetati. Od Borisova do Vlasova možete hodati ili voziti bicikl. Od Vlasova do Gribova možete plivati uz reku, voziti bicikl ili šetati. Od koliko opcija za planinarenje turisti mogu birati? Koliko planinarskih opcija turisti mogu izabrati, pod uslovom da moraju koristiti bicikle na barem jednom dijelu rute?
(12 opcija ruta, od kojih 8 biciklima)
Samostalan rad.
1 opcija
a) Koliko se trocifrenih brojeva može sastaviti od cifara: 0, 1, 3, 5, 7?
b) Koliko se trocifrenih brojeva može sastaviti od cifara: 0, 1, 3, 5, 7, s tim da se brojevi ne ponavljaju?
Atos, Porthos i Aramis imaju samo mač, bodež i pištolj.
a) Na koliko načina se mušketiri mogu naoružati?
b) Koliko opcija oružja postoji ako Aramis mora da rukuje mačem?
c) Koliko opcija oružja postoji ako Aramis mora da rukuje mačem, a Portos pištoljem?
Negdje je Bog Gavranu poslao komad sira, kao i feta sir, kobasicu, bijeli i crni hljeb. Sjedajući na smreku, vrana je bila spremna za doručak, ali je počela razmišljati: na koliko načina se mogu napraviti sendviči od ovih proizvoda?
Opcija 2
a) Koliko se trocifrenih brojeva može sastaviti od cifara: 0, 2, 4, 6, 8?
b) Koliko se trocifrenih brojeva može sastaviti od cifara: 0, 2, 4, 6, 8, s tim da se cifre ne ponavljaju?
Grof Monte Cristo je odlučio da princezi Hayde pokloni minđuše, ogrlicu i narukvicu. Svaki komad nakita mora sadržavati jednu od sljedećih vrsta dragog kamenja: dijamante, rubine ili granate.
a) Koliko postoji opcija za kombinovanje nakita od dragog kamena?
b) Koliko opcija nakita postoji ako bi minđuše trebale biti dijamantske?
c) Koliko opcija nakita postoji ako naušnice budu dijamantske, a narukvica od granata?
Za doručak možete odabrati lepinju, sendvič ili medenjake sa kafom ili kefirom. Koliko opcija za doručak možete kreirati?
Zadaća : br. 974, 975. (sastavljanjem stabla opcija i korištenjem pravila množenja)
№ 974 . a) Koliko se trocifrenih brojeva može sastaviti od brojeva 0, 2, 4?
b) Koliko se trocifrenih brojeva može sastaviti od brojeva 0, 2, 4, s tim da se brojevi ne ponavljaju?
№ 975 . a) Koliko se trocifrenih brojeva može sastaviti od brojeva 1,3, 5,7?
b) Koliko se trocifrenih brojeva može sastaviti od brojeva 1,3, 5,7 pod uslovom. Koje brojeve ne treba ponavljati?
Brojevi zadataka preuzeti iz udžbenika
"Matematika-5", I.I. Zubareva, A.G. Mordkovich, 2004.
Teorija vjerojatnosti, kao i svaka grana matematike, djeluje s određenim rasponom koncepata. Većini koncepata teorije vjerovatnoće data je definicija, ali neki se uzimaju kao primarni, nedefinisani, poput tačke, prave linije, ravni u geometriji. Primarni koncept teorije vjerovatnoće je događaj. Događaj se shvata kao nešto o čemu se, nakon određenog vremena, može reći samo jedna od dve stvari:
- · Da, desilo se.
- · Ne, nije se dogodilo.
Na primjer, imam srećku. Nakon objavljivanja rezultata lutrije, događaj koji me zanima - osvajanje hiljadu rubalja - ili se dogodi ili se ne dogodi. Bilo koji događaj nastaje kao rezultat testa (ili iskustva). Test (ili iskustvo) se odnosi na one uslove zbog kojih se događaj javlja. Na primjer, bacanje novčića je test, a pojava "grba" na njemu je događaj. Događaj se obično označava velikim latiničnim slovima: A,B,C,…. Događaji u materijalnom svijetu mogu se podijeliti u tri kategorije - pouzdani, nemogući i slučajni.
Određeni događaj je događaj za koji se unaprijed zna da će se dogoditi. Označava se slovom W. Dakle, pouzdano je baciti najviše šest poena prilikom bacanja običnog kockice, izgled bijele kugle kada se izvadi iz urne koja sadrži samo bijele kuglice, itd.
Nemogući događaj je događaj za koji je unaprijed poznato da se neće dogoditi. Označava se slovom E. Primjeri nemogućih događaja su izvlačenje više od četiri asa iz regularnog špila karata, izvlačenje crvene kuglice iz urne koja sadrži samo bijele i crne kugle, itd.
Slučajni događaj je događaj koji se može ili ne mora dogoditi kao rezultat testa. Događaji A i B nazivaju se nespojivim ako pojava jednog od njih isključuje mogućnost pojave drugog. Dakle, pojavljivanje bilo kojeg mogućeg broja poena prilikom bacanja kocke (događaj A) nije kompatibilno sa pojavom drugog broja (događaj B). Bacanje parnog broja poena nije u skladu sa bacanjem neparnog broja. Naprotiv, bacanje parnog broja poena (događaj A) i broja poena koji je višekratnik tri (događaj B) neće biti nespojivo, jer bacanje šest poena znači nastup i događaja A i događaja B, pa pojava jednog od njih ne isključuje pojavu drugog. Možete izvoditi operacije nad događajima. Unija dva događaja C=AUB je događaj C koji se javlja ako i samo ako se dogodi barem jedan od ovih događaja A i B. Presjek dva događaja D=A?? B je događaj koji se događa ako i samo ako se događaju A i B.
Tema lekcije: “Slučajni, pouzdani i nemogući događaji”
Mjesto održavanja časa u nastavnom planu i programu: „Kombinatorika. Slučajni događaji" lekcija 5/8
Vrsta lekcije: Lekcija formiranja novih znanja
Ciljevi lekcije:
edukativni:
o uvesti definiciju slučajnog, pouzdanog i nemogućeg događaja;
o podučavaju u procesu realne situacije da definišu pojmove teorije verovatnoće: pouzdani, nemogući, jednako verovatni događaji;
edukativni:
o promoviše razvoj logičkog mišljenja,
o kognitivni interes učenika,
o sposobnost poređenja i analize,
edukativni:
o podsticanje interesovanja za proučavanje matematike,
o razvijanje pogleda na svijet učenika.
o ovladavanje intelektualnim vještinama i mentalnim operacijama;
Nastavne metode: objašnjavajući i ilustrativni, reproduktivni, matematički diktat.
UMK: Matematika: udžbenik za 6. razred. priredio i dr., Izdavačka kuća "Prosvjeta", 2008, Matematika, 5-6: knj. za nastavnika / [, [ ,]. - M.: Obrazovanje, 2006.
Didaktički materijal: posteri na tabli.
književnost:
1. Matematika: udžbenik. za 6. razred. opšte obrazovanje institucije/ itd.]; uređeno od , ; Ross. akad. Sciences, Ross. akad. obrazovanje, izdavačka kuća "Prosvjeta". - 10. izd. - M.: Obrazovanje, 2008.-302 str.: ilustr. - (Akademski školski udžbenik).
2. Matematika, 5-b: knj. za nastavnika / [, ]. - M.: Obrazovanje, 2006. - 191 str. : ill.
4. Rješavanje problema iz statistike, kombinatorike i teorije vjerovatnoće. 7-9 razredi. / auto - komp. . Ed. 2., rev. - Volgograd: Učitelj, 2006. -428 str.
5. Časovi matematike korištenjem informacionih tehnologija. 5-10 razreda. Metodički - priručnik sa elektronskom aplikacijom / itd. 2. izd., stereotip. - M.: Izdavačka kuća "Globus", 2010. - 266 str. (Moderna škola).
6. Nastava matematike u savremena škola. Smjernice. Vladivostok: Izdavačka kuća PIPPCRO, 2003.
PLAN LEKCIJE
I. Organizacioni momenat.
II. Usmeni rad.
III. Učenje novog gradiva.
IV. Formiranje vještina i sposobnosti.
V. Sažetak lekcije.
V. Domaći.
TOKOM NASTAVE
1. Organizacioni momenat
2. Ažuriranje znanja
15*(-100) |
Usmeni rad:
3. Objašnjenje novog materijala
Učitelj: Naš život se uglavnom sastoji od nezgoda. Postoji takva nauka kao "teorija vjerovatnoće". Koristeći njegov jezik, možete opisati mnoge pojave i situacije.
Takvi drevni zapovjednici poput Aleksandra Velikog ili Dmitrija Donskog, pripremajući se za bitku, oslanjali su se ne samo na hrabrost i umijeće ratnika, već i na slučaj.
Mnogi ljudi vole matematiku zbog vječnih istina: dvaput dva je uvijek četiri, zbir parnih brojeva je paran, površina pravokutnika jednaka je proizvodu njegovih susjednih stranica, itd. U bilo kojem zadatku koji riješite, svi dobija isti odgovor - samo ne morate pogriješiti u odluci.
Stvarni život nije tako jednostavan i jasan. Ishod mnogih događaja ne može se unaprijed predvidjeti. Nemoguće je, na primjer, sa sigurnošću reći na koju će stranu pasti izbačeni novčić, kada će pasti prvi snijeg sljedeće godine ili koliko će ljudi u gradu htjeti da telefonira u narednih sat vremena. Takvi nepredvidivi događaji se nazivaju nasumično .
Međutim, slučaj ima i svoje zakone, koji se počinju manifestirati kada se slučajni fenomeni ponavljaju mnogo puta. Ako bacite novčić 1000 puta, on će iskrsnuti oko pola puta, što nije slučaj sa dva ili čak deset bacanja. "Približno" ne znači pola. Ovo generalno može, ali ne mora biti slučaj. Zakon ne navodi ništa sa sigurnošću, ali daje određeni stepen sigurnosti da će se dogoditi neki slučajni događaj.
Takve obrasce proučava posebna grana matematike - Teorija vjerovatnoće . Uz njegovu pomoć možete s većim stepenom pouzdanosti (ali još uvijek ne sa sigurnošću) predvidjeti i datum prve snježne padavine i broj telefonskih poziva.
Teorija vjerojatnosti je neraskidivo povezana s našom svakodnevni život. Ovo nam daje divnu priliku da eksperimentalno ustanovimo mnoge vjerojatnostne zakone, ponavljajući nasumične eksperimente mnogo puta. Materijali za ove eksperimente najčešće će biti običan novčić, kockice, set domina, backgammon, rulet ili čak špil karata. Svaka od ovih stavki je na ovaj ili onaj način povezana s igrama. Činjenica je da se slučaj ovdje pojavljuje u svom najčešćem obliku. A prvi probabilistički zadaci odnosili su se na procjenu šansi igrača za pobjedu.
Moderna teorija vjerovatnoće se udaljila od kockanja, ali njeni rekviziti i dalje ostaju najjednostavniji i najpouzdaniji izvor šanse. Nakon vježbanja s mjernom trakom i kockom, naučit ćete izračunati vjerovatnoću slučajnih događaja u stvarnosti životne situacije, koji će vam omogućiti da procijenite svoje šanse za uspjeh, testirate hipoteze i donosite optimalne odluke ne samo u igrama i lutrijama.
Kada rješavate probabilističke probleme, budite vrlo oprezni, pokušajte opravdati svaki korak koji napravite, jer nijedna druga oblast matematike ne sadrži toliko paradoksa. Kao teorija verovatnoće. I, možda, glavno objašnjenje za to je njegova povezanost sa stvarnim svijetom u kojem živimo.
Mnoge igre koriste kockicu s različitim brojem tačaka označenim na svakoj strani od 1 do 6. Igrač baca kocku, gleda koliko se tačaka pojavljuje (na strani koja se nalazi na vrhu) i čini odgovarajući broj poteza : 1,2,3,4,5 ili 6. Bacanje kockice se može smatrati iskustvom, eksperimentom, testom, a dobijeni rezultat može se smatrati događajem. Ljudi su obično veoma zainteresovani da pogode pojavu ovog ili onog događaja i predvide njegov ishod. Koja predviđanja mogu napraviti kada bace kockice?
Prvo predviđanje: pojavit će se jedan od brojeva 1,2,3,4,5 ili 6. Mislite li da će se predviđeni događaj dogoditi ili ne? Naravno, sigurno će doći.
Događaj koji će se sigurno dogoditi u datom iskustvu naziva se pouzdan događaj.
Drugo predviđanje : pojaviće se broj 7. Da li mislite da će se desiti predviđeni događaj ili ne? Naravno da se to neće desiti, jednostavno je nemoguće.
Događaj koji se ne može dogoditi u datom iskustvu naziva se nemoguće događaj.
Treće predviđanje : pojavit će se broj 1. Mislite li da će se predviđeni događaj dogoditi ili ne? Ne možemo sa potpunom sigurnošću odgovoriti na ovo pitanje, budući da se predviđeni događaj može dogoditi, ali i ne mora.
Događaji koji se mogu ili ne moraju dogoditi pod istim uslovima nazivaju se nasumično.
Primjer. Kutija sadrži 5 bombona u plavom omotu i jedan u bijelom omotu. Ne gledajući u kutiju, nasumce vade jedan slatkiš. Da li je moguće unaprijed reći koje će boje biti?
Vježbajte : Opišite događaje o kojima se govori u zadacima u nastavku. Kao izvjesno, nemoguće ili slučajno.
1. Bacite novčić. Pojavio se grb. (slučajno)
2. Lovac je pucao na vuka i pogodio ga. (slučajno)
3. Učenik ide u šetnju svako veče. Šetajući u ponedjeljak, sreo je tri poznanika. (slučajno)
4. Provedimo mentalno sljedeći eksperiment: okrenite čašu vode naopako. Ako se ovaj eksperiment ne provodi u svemiru, već kod kuće ili u učionici, voda će se izliti. (pouzdan)
5. Tri hica su ispaljena u metu.” Bilo je pet pogodaka." (nemoguće)
6. Baci kamen gore. Kamen ostaje da visi u vazduhu. (nemoguće)
Primjer Petya je pomislio na prirodan broj. Događaj je sljedeći:
a) predviđen je paran broj; (slučajno)
b) predviđen je neparan broj; (slučajno)
c) zamišljen je broj koji nije ni paran ni neparan; (nemoguće)
d) zamišljen je broj koji je paran ili neparan. (pouzdan)
Pozivaju se događaji koji imaju jednake šanse pod datim uslovima jednako vjerovatno.
Pozivaju se slučajni događaji koji imaju jednake šanse podjednako moguće ili jednako vjerovatno .
Postavite poster na ploču.
Na usmenom ispitu student uzima jednu od tiketa izloženih ispred njega. Šanse za polaganje bilo koje od ispitnih kartica su jednake. Jednako je vjerovatno da ćete dobiti bilo koji broj bodova od 1 do 6 kada bacite kocku, kao i "glave" ili "repove" kada bacite novčić.
Ali nisu svi događaji podjednako moguće. Alarm možda neće zvoniti, sijalica može da pregori, autobus se može pokvariti, ali u normalnim uslovima takvi događaji malo vjerovatno. Vjerovatnije će zazvoniti budilnik, upaliti se svjetlo i autobus će krenuti.
Neki događaji šanse dešavaju se više, što znači da su vjerovatnije - bliže izvjesnim. A drugi imaju manje šanse, manje su vjerovatne - bliže nemogućem.
Nemogući događaji nemaju šanse da se dogode, ali pouzdani događaji imaju sve šanse da se dogode; pod određenim uslovima će se sigurno dogoditi.
Primjer Petya i Kolya upoređuju svoje rođendane. Događaj je sljedeći:
a) njihovi rođendani se ne poklapaju; (slučajno)
b) da su im rođendani isti; (slučajno)
d) obojici rođendana padaju na praznike - Novu godinu (1. januar) i Dan nezavisnosti Rusije (12. jun). (slučajno)
3.Formiranje vještina i sposobnosti
Zadatak iz udžbenika br. 000. Koji od sljedećih slučajnih događaja su pouzdani i mogući:
a) kornjača će naučiti govoriti;
b) voda u kotliću koji stoji na šporetu će proključati;
d) dobit ćete učešćem u lutriji;
e) nećete osvojiti učešćem u dobitnoj lutriji;
f) izgubit ćete partiju šaha;
g) sutra ćete sresti vanzemaljca;
h) vrijeme će se pogoršati sljedeće sedmice; i) pritisnuli ste zvono, ali ono nije zazvonilo; j) danas je četvrtak;
k) nakon četvrtka biće petak; l) hoće li biti četvrtak poslije petka?
Kutije sadrže 2 crvene, 1 žutu i 4 zelene kuglice. Iz kutije se nasumično izvlače tri loptice. Koji od sljedećih događaja su nemogući, slučajni, sigurni:
O: tri zelene kuglice će biti izvučene;
B: tri crvene kuglice će biti izvučene;
C: kuglice dvije boje će biti izvučene;
D: kuglice iste boje će biti izvučene;
E: među izvučenim kuglicama nalazi se plava;
F: među nacrtanim su kuglice tri boje;
G: Ima li među izvučenim dvije žute lopte?
Provjerite sami. (matematički diktat)
1) Navedite koji od sljedećih događaja su nemogući, koji su pouzdani, a koji su slučajni:
· Fudbalska utakmica "Spartak" - "Dinamo" završit će se neriješenim rezultatom (slučajno)
· Osvojit ćete učešćem u dobitnoj lutriji ( pouzdan)
Snijeg će padati u ponoć, a sunce će zasjati 24 sata kasnije (nemoguće)
· Sutra će biti test iz matematike. (slučajno)
· Bićete izabrani za predsednika Sjedinjenih Država. (nemoguće)
· Bićete izabrani za predsednika Rusije. (slučajno)
2) Kupili ste televizor u trgovini, za koji proizvođač daje dvogodišnju garanciju. Koji od sljedećih događaja su nemogući, koji su slučajni, koji su pouzdani:
· Televizor se neće pokvariti godinu dana. (slučajno)
· Televizor se neće pokvariti dvije godine . (slučajno)
· Nećete morati da plaćate popravke televizora dve godine. (pouzdan)
· Televizor će se pokvariti u trećoj godini. (slučajno)
3) Autobus koji prevozi 15 putnika mora napraviti 10 zaustavljanja. Koji od sljedećih događaja su nemogući, koji su slučajni, koji su pouzdani:
· Svi putnici će izaći iz autobusa na različitim stanicama. (nemoguće)
· Svi putnici će izaći na istom stajalištu. (slučajno)
· Na svakoj stanici će barem neko sići. (slučajno)
· Biće stajalište gde niko ne silazi. (slučajno)
· Paran broj putnika će izaći na svim stajalištima. (nemoguće)
· Neparan broj putnika će izaći na svim stajalištima. (nemoguće)
Sažetak lekcije
Pitanja za studente:
Koji se događaji nazivaju slučajnim?
Koji se događaji nazivaju jednako vjerovatnim?
Koji se događaji nazivaju pouzdanim? nemoguće?
Koji se događaji smatraju vjerovatnijim? manje šanse?
Zadaća : klauzula 9.3
Br. 000. Navedite tri primjera pouzdanih, nemogućih događaja, kao i događaja za koje se ne može reći da se definitivno dešavaju.
902. U kutiji se nalazi 10 crvenih, 1 zelena i 2 plave olovke. Dvije olovke se nasumično vade iz kutije. Koji od sljedećih događaja su nemogući i sigurni:
O: Dvije crvene ručke će biti izvađene; B: dvije zelene ručke će biti izvađene; C: dvije plave ručke će biti izvađene; D: Dvije ručke različitih boja će biti izvađene;
E: hoće li se izvaditi dvije olovke? 03. Egor i Danila su se dogovorili: ako se strelica okretnog stola (Sl. 205) zaustavi na bijelom polju, onda će Egor ofarbati ogradu, a ako je na plavom polju, Danila će je ofarbati. Za koji dječak je veća vjerovatnoća da će ofarbati ogradu?
