Izračunajte projekcije vektora a na koordinatne ose. Projekcija sile na osu. Projekcija vektorske sume sila na osu. Ako je pređena udaljenost velika, može li modul pomaka biti mali?

Algebarska projekcija vektora na bilo kojoj osi jednak je proizvodu dužine vektora i kosinusa ugla između ose i vektora:

Pr a b = |b|cos(a,b) ili

Gdje je a b skalarni proizvod vektora, |a| - modul vektora a.

Instrukcije. Da biste pronašli projekciju vektora Pr a b na mreži, morate odrediti koordinate vektora a i b. U ovom slučaju, vektor se može specificirati na ravni (dvije koordinate) iu prostoru (tri koordinate). Rezultirajuće rješenje se pohranjuje u Word datoteku. Ako su vektori specificirani kroz koordinate tačaka, onda morate koristiti ovaj kalkulator.

Klasifikacija vektorskih projekcija

Vrste projekcija po definiciji vektorske projekcije

Geometrijska projekcija vektora AB na osu (vektor) naziva se vektor A"B", čiji je početak A' projekcija početka A na osu (vektor), a kraj B' je projekcija kraja B na istu osu.
Algebarska projekcija vektora AB na osu (vektor) naziva se dužina vektora A"B", uzeta sa znakom + ili -, u zavisnosti od toga da li vektor A"B" ima isti pravac kao i os ( vektor).

Vrste projekcija prema koordinatnom sistemu

Svojstva vektorske projekcije

Geometrijska projekcija vektora je vektor (ima pravac).
Algebarska projekcija vektora je broj.

Teoreme vektorske projekcije

Teorema 1. Projekcija zbira vektora na bilo koju osu jednaka je projekciji sabiraka vektora na istu osu.

AC" =AB" +B"C"

Teorema 2. Algebarska projekcija vektora na bilo koju osu jednaka je proizvodu dužine vektora i kosinusa ugla između ose i vektora:

Pr a b = |b|·cos(a,b)

Vrste vektorskih projekcija

projekcija na osu OX.
projekcija na osu OY.
projekcija na vektor.

Projekcija na osovinu OX	Projekcija na osu OY	Projekcija u vektor
Ako se smjer vektora A’B’ poklapa sa smjerom ose OX, tada projekcija vektora A’B’ ima pozitivan predznak.	Ako se smjer vektora A’B’ poklapa sa smjerom ose OY, tada projekcija vektora A’B’ ima pozitivan predznak.	Ako se smjer vektora A’B’ poklapa sa smjerom vektora NM, tada projekcija vektora A’B’ ima pozitivan predznak.
Ako je smjer vektora suprotan smjeru ose OX, tada projekcija vektora A’B’ ima negativan predznak.	Ako je smjer vektora A’B’ suprotan smjeru ose OY, tada projekcija vektora A’B’ ima negativan predznak.	Ako je smjer vektora A’B’ suprotan smjeru vektora NM, tada projekcija vektora A’B’ ima negativan predznak.
Ako je vektor AB paralelan osi OX, tada je projekcija vektora A’B’ jednaka apsolutnoj vrijednosti vektora AB.	Ako je vektor AB paralelan osi OY, tada je projekcija vektora A’B’ jednaka apsolutnoj vrijednosti vektora AB.	Ako je vektor AB paralelan vektoru NM, tada je projekcija vektora A’B’ jednaka apsolutnoj vrijednosti vektora AB.
Ako je vektor AB okomit na osu OX, tada je projekcija A’B’ jednaka nuli (nulti vektor).	Ako je vektor AB okomit na osu OY, tada je projekcija A’B’ jednaka nuli (nulti vektor).	Ako je vektor AB okomit na vektor NM, tada je projekcija A’B’ jednaka nuli (nulti vektor).

1. Pitanje: Može li projekcija vektora imati negativan predznak? Odgovor: Da, vektor projekcije može biti negativna vrijednost. U ovom slučaju, vektor ima suprotan smjer (pogledajte kako su os OX i AB vektor usmjereni)
2. Pitanje: Može li se projekcija vektora poklapati sa apsolutnom vrijednošću vektora? Odgovor: Da, može. U ovom slučaju, vektori su paralelni (ili leže na istoj liniji).
3. Pitanje: Može li projekcija vektora biti jednaka nuli (nulti vektor). Odgovor: Da, može. U ovom slučaju, vektor je okomit na odgovarajuću osu (vektor).

Primjer 1. Vektor (Sl. 1) formira ugao od 60° sa OX osom (određen je vektorom a). Ako je OE jedinica skale, onda |b|=4, dakle .

Zaista, dužina vektora (geometrijska projekcija b) jednaka je 2, a smjer se poklapa sa smjerom ose OX.

Primjer 2. Vektor (slika 2) formira ugao (a,b) = 120 o sa OX osom (sa vektorom a). Dužina |b| vektor b je jednak 4, pa je pr a b=4·cos120 o = -2.

Zaista, dužina vektora je 2, a smjer je suprotan smjeru ose.

Osa je pravac. To znači da se projekcija na osu ili na usmjerenu liniju smatra istom. Projekcija može biti algebarska ili geometrijska. U geometrijskom smislu, projekcija vektora na osu se shvata kao vektor, a u algebarskom smislu kao broj. Odnosno, koriste se koncepti projekcije vektora na osu i numeričke projekcije vektora na osu.

Ako imamo L os i vektor različit od nule A B →, onda možemo konstruisati vektor A 1 B 1 ⇀, označavajući projekcije njegovih tačaka A 1 i B 1.

A 1 B → 1 će biti projekcija vektora A B → na L.

Definicija 1

Projekcija vektora na osu je vektor čiji su početak i kraj projekcije početka i kraja datog vektora. n p L A B → → uobičajeno je označavati projekciju A B → na L. Da bi se konstruisala projekcija na L, okomite se spuštaju na L.

Primjer 1

Primjer vektorske projekcije na osu.

Na koordinatnoj ravni O x y navedena je tačka M 1 (x 1, y 1). Potrebno je konstruisati projekcije na O x i O y da bi se prikazao radijus vektor tačke M 1. Dobijamo koordinate vektora (x 1, 0) i (0, y 1).

Ako govorimo o projekciji a → na b → različit od nule ili projekciji a → na pravac b → , onda mislimo na projekciju a → na osu s kojom se poklapa pravac b →. Projekcija a → na pravu definisanu sa b → označava se n p b → a → → . Poznato je da kada se ugao između a → i b → , n p b → a → → i b → može smatrati kosmjernim. U slučaju kada je ugao tup, n p b → a → → i b → su u suprotnim smjerovima. U situaciji okomitosti a → i b →, i a → je nula, projekcija a → u pravcu b → je nulti vektor.

Numerička karakteristika projekcije vektora na osu je numerička projekcija vektora na datu osu.

Definicija 2

Numerička projekcija vektora na osu je broj koji je jednak proizvodu dužine datog vektora i kosinusa ugla između datog vektora i vektora koji određuje smjer ose.

Numerička projekcija A B → na L označava se n p L A B → , a a → na b → - n p b → a → .

Na osnovu formule dobijamo n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ , odakle je a → dužina vektora a → , a ⇀ , b → ^ ugao između vektora a → i b → .

Dobijamo formulu za izračunavanje numeričke projekcije: n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ . Primjenjivo je za poznate dužine a → i b → i ugao između njih. Formula je primjenjiva za poznate koordinate a → i b →, ali postoji pojednostavljeni oblik.

Primjer 2

Odrediti numeričku projekciju a → na pravu u pravcu b → sa dužinom a → jednakom 8 i uglom između njih od 60 stepeni. Po uslovu imamo a ⇀ = 8, a ⇀, b → ^ = 60°. To znači da numeričke vrijednosti zamjenjujemo u formulu n p b ⇀ a → = a → · cos a → , b → ^ = 8 · cos 60 ° = 8 · 1 2 = 4 .

odgovor: 4.

Sa poznatim cos (a → , b → ^) = a ⇀ , b → a → · b → , imamo a → , b → kao skalarni proizvod a → i b → . Slijedeći formulu n p b → a → = a → · cos a ⇀, b → ^, možemo pronaći numeričku projekciju a → usmjerenu duž vektora b → i dobiti n p b → a → = a → , b → b → . Formula je ekvivalentna definiciji datoj na početku pasusa.

Definicija 3

Numerička projekcija vektora a → na osu koja se poklapa u pravcu sa b → je odnos skalarnog proizvoda vektora a → i b → na dužinu b → . Formula n p b → a → = a → , b → b → je primenljiva za pronalaženje numeričke projekcije a → na pravu koja se poklapa u pravcu sa b → , sa poznatim a → i b → koordinatama.

Primjer 3

Dato je b → = (- 3 , 4) . Pronađite numeričku projekciju a → = (1, 7) na L.

Rješenje

Na koordinatnoj ravni n p b → a → = a → , b → b → ima oblik n p b → a → = a → , b → b → = a x b x + a y b y b x 2 + b y 2 , sa a → = (a x , a y ) i b → = b x , b y . Da biste pronašli numeričku projekciju vektora a → na osu L, potrebno je: n p L a → = n p b → a → = a → , b → b → = a x · b x + a y · b y b x 2 + b y 2 = 1 · (- 3) + 7 · 4 (- 3) 2 + 4 2 = 5.

odgovor: 5.

Primjer 4

Naći projekciju a → na L, koja se poklapa sa pravcem b →, gdje postoje a → = - 2, 3, 1 i b → = (3, - 2, 6). Naveden je trodimenzionalni prostor.

Rješenje

Za a → = a x , a y , a z i b → = b x , b y , b z , izračunavamo skalarni proizvod: a ⇀ , b → = a x · b x + a y · b y + a z · b z . Dužina b → se nalazi pomoću formule b → = b x 2 + b y 2 + b z 2 . Iz toga slijedi da će formula za određivanje numeričke projekcije a → biti: n p b → a ⇀ = a → , b → b → = a x · b x + a y · b y + a z · b z b x 2 + b y 2 + b z 2 .

Zamijenite numeričke vrijednosti: n p L a → = n p b → a → = (- 2) 3 + 3 (- 2) + 1 6 3 2 + (- 2) 2 + 6 2 = - 6 49 = - 6 7 .

Odgovor: - 6 7.

Pogledajmo vezu između a → na L i dužine projekcije a → na L. Nacrtajmo osu L, dodajući a → i b → iz tačke na L, nakon čega povučemo okomitu liniju od kraja a → do L i nacrtamo projekciju na L. Postoji 5 varijacija slike:

Prvo slučaj sa a → = n p b → a → → znači a → = n p b → a → → , dakle n p b → a → = a → · cos (a , → b → ^) = a → · cos 0 ° = a → = n p b → a → → .

Sekunda slučaj implicira upotrebu n p b → a → ⇀ = a → · cos a → , b → , što znači n p b → a → = a → · cos (a → , b →) ^ = n p b → a → → .

Treće slučaj objašnjava da kada je n p b → a → → = 0 → dobijamo n p b ⇀ a → = a → · cos (a → , b → ^) = a → · cos 90 ° = 0 , tada je n p b → a → → = 0 i n p b → a → = 0 = n p b → a → → .

Četvrto slučaj pokazuje n p b → a → → = a → · cos (180 ° - a → , b → ^) = - a → · cos (a → , b → ^) , slijedi n p b → a → = a → · cos ( a → , b → ^) = - n p b → a → → .

Peto slučaj pokazuje a → = n p b → a → → , što znači a → = n p b → a → → , dakle imamo n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ = a → · cos 180° = - a → = - n p b → a → .

Definicija 4

Numerička projekcija vektora a → na osu L, koja je usmjerena na isti način kao b →, ima sljedeću vrijednost:

dužina projekcije vektora a → na L, pod uslovom da je ugao između a → i b → manji od 90 stepeni ili jednak 0: n p b → a → = n p b → a → → uz uslov 0 ≤ (a → , b →) ^< 90 ° ;
nula pod uslovom da su a → i b → okomiti: n p b → a → = 0, kada je (a → , b → ^) = 90 °;
dužina projekcije a → na L, pomnožena sa -1, kada postoji tup ili pravi ugao vektora a → i b →: n p b → a → = - n p b → a → → sa uslovom od 90 °< a → , b → ^ ≤ 180 ° .

Primjer 5

S obzirom na dužinu projekcije a → na L, jednaku 2. Pronađite numeričku projekciju a → pod uslovom da je ugao 5 π 6 radijana.

Rješenje

Iz uslova je jasno da je ovaj ugao tup: π 2< 5 π 6 < π . Тогда можем найти числовую проекцию a → на L: n p L a → = - n p L a → → = - 2 .

Odgovor: - 2.

Primjer 6

Zadata je ravan O x y z vektorske dužine a → jednaka 6 3, b → (- 2, 1, 2) sa uglom od 30 stepeni. Pronađite koordinate projekcije a → na osu L.

Rješenje

Prvo izračunamo numeričku projekciju vektora a →: n p L a → = n p b → a → = a → · cos (a → , b →) ^ = 6 3 · cos 30 ° = 6 3 · 3 2 = 9 .

Po uslovu, ugao je oštar, tada je numerička projekcija a → = dužina projekcije vektora a →: n p L a → = n p L a → → = 9. Ovaj slučaj pokazuje da su vektori n p L a → → i b → kousmjereni, što znači da postoji broj t za koji je tačna jednakost: n p L a → → = t · b → . Odavde vidimo da je n p L a → → = t · b → , što znači da možemo pronaći vrijednost parametra t: t = n p L a → → b → = 9 (- 2) 2 + 1 2 + 2 2 = 9 9 = 3 .

Tada je n p L a → → = 3 · b → sa koordinatama projekcije vektora a → na osu L jednakom b → = (- 2 , 1 , 2) , gdje je potrebno vrijednosti pomnožiti sa 3. Imamo n p L a → → = (- 6 , 3 , 6) . Odgovor: (- 6, 3, 6).

Potrebno je ponoviti prethodno naučene informacije o stanju kolinearnosti vektora.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Prvo, prisjetimo se šta je to koordinatna osa, projekcija tačke na osu I koordinate tačke na osi.

Koordinatna osa- Ovo je prava linija kojoj je dat neki pravac. Možete ga zamisliti kao vektor sa beskonačno velikim modulom.

Koordinatna osa označava se nekim slovom: X, Y, Z, s, t... Obično se (proizvoljno) na osi bira tačka koja se naziva ishodište i po pravilu se označava slovom O. Od ove tačke mjere se udaljenosti do drugih tačaka koje nas zanimaju.

Projekcija tačke na osu- ovo je osnova okomice spuštena iz ove tačke na ovu os (slika 8). To jest, projekcija tačke na osu je tačka.

Koordinata točke na osi- ovo je broj čija je apsolutna vrijednost jednaka dužini segmenta ose (na odabranoj skali) koji se nalazi između početka ose i projekcije tačke na ovu osu. Ovaj broj se uzima sa znakom plus ako se projekcija tačke nalazi u smjeru ose od njenog početka i sa znakom minus ako je u suprotnom smjeru.

Skalarna projekcija vektora na osu- Ovo broj, čija je apsolutna vrijednost jednaka dužini segmenta ose (na odabranoj skali) zatvorenog između projekcija početne i krajnje tačke vektora. Bitan! Obično umjesto izraza skalarna projekcija vektora na osu jednostavno kažu - projekcija vektora na osu, odnosno riječ skalar spušteno. Vektorska projekcija označava se istim slovom kao i projektovani vektor (normalnim, ne podebljanim slovima), sa nižim (u pravilu) indeksom naziva ose na koju se ovaj vektor projektuje. Na primjer, ako se vektor projektuje na os X A, tada je njegova projekcija označena sa x. Prilikom projektovanja istog vektora na drugu osu, recimo, Y osu, njegova projekcija će biti označena sa y (slika 9).

Da izračunam projekcija vektora na osu(npr. osa X), potrebno je oduzeti koordinatu početne tačke od koordinate njene krajnje tačke, tj.

a x = x k − x n.

Moramo zapamtiti: skalarna projekcija vektora na osu (ili, jednostavno, projekcija vektora na osu) je broj (ne vektor)!Štaviše, projekcija može biti pozitivna ako je vrijednost x k veća od vrijednosti x n, negativna ako je vrijednost x k manja od vrijednosti x n i jednaka nuli ako je x k jednako x n (slika 10).

Projekcija vektora na osu može se naći i poznavanjem modula vektora i ugla koji čini sa ovom osom.

Sa slike 11 je jasno da je a x = a Cos α

To jest, projekcija vektora na osu jednaka je proizvodu modula vektora i kosinusa ugla između smjera ose i smjera vektora. Ako je ugao oštar, onda je Cos α > 0 i a x > 0, a ako je tup, onda je kosinus tupog ugla negativan, a projekcija vektora na osu će također biti negativna.

Uglovi mjereni od ose u smjeru suprotnom od kazaljke na satu smatraju se pozitivnim, a uglovi mjereni duž ose su negativni. Međutim, pošto je kosinus parna funkcija, odnosno Cos α = Cos (− α), pri izračunavanju projekcija uglovi se mogu brojati i u smeru kazaljke na satu i u suprotnom smeru kazaljke na satu.

Prilikom rješavanja problema često će se koristiti sljedeća svojstva projekcija: ako

A = b + c +…+ d, tada a x = b x + c x +…+ d x (slično drugim osama),

a= m b, tada a x = mb x (slično za druge ose).

Formula a x = a Cos α će biti Često nastaju prilikom rješavanja problema, tako da to svakako trebate znati. Morate znati pravilo za određivanje projekcije srcem!

Zapamtite!

Da bi se pronašla projekcija vektora na osu, modul ovog vektora mora se pomnožiti sa kosinusom ugla između smjera ose i smjera vektora.

Još jednom - napamet!

Rješavanje problema o ravnoteži konvergentnih sila konstruiranjem zatvorenih poligona sila uključuje glomazne konstrukcije. Univerzalna metoda za rješavanje ovakvih problema je prelazak na određivanje projekcija datih sila na koordinatne ose i rad sa tim projekcijama. Os je prava linija kojoj je dodijeljen određeni smjer.

Projekcija vektora na osu je skalarna veličina, koja je određena segmentom ose odsečenim okomicama koje su na nju spuštene sa početka i kraja vektora.

Vektorska projekcija se smatra pozitivnom ako se smjer od početka projekcije do njenog kraja poklapa s pozitivnim smjerom ose. Vektorska projekcija se smatra negativnom ako je smjer od početka projekcije do njenog kraja suprotan pozitivnom smjeru ose.

Dakle, projekcija sile na koordinatnu osu jednaka je proizvodu modula sile i kosinusa ugla između vektora sile i pozitivnog smera ose.

Razmotrimo nekoliko slučajeva projektovanja sila na osu:

Vektor sile F(Sl. 15) pravi oštar ugao sa pozitivnim smerom x ose.

Da bismo pronašli projekciju, od početka i kraja vektora sile spuštamo okomice na osu oh; dobijamo

1. Fx = F cos α

Projekcija vektora u ovom slučaju je pozitivna

Force F(Sl. 16) je sa pozitivnim smjerom ose X tupi ugao α.

Onda F x = F cos α, ali pošto je α = 180 0 - φ,

F x = F cos α = F cos180 0 - φ =- F cos φ.

Projekcija sile F po osi oh u ovom slučaju je negativan.

Force F(Sl. 17) okomito na osu oh.

Projekcija sile F na osu X jednaka nuli

F x = F cos 90° = 0.

Sila se nalazi na avionu howe(Sl. 18), može se projicirati na dvije koordinatne ose Oh I OU.

Snaga F može se podijeliti na komponente: F x i F y. Vektorski modul F x je jednako projekciji vektora F po osi vol, i vektorski modul F y je jednako projekciji vektora F po osi oh.

Od Δ OAV: F x = F cos α, F x = F sin α.

Od Δ OAS: F x = F cos φ, F x = F sin φ.

Veličina sile se može naći pomoću Pitagorine teoreme:

Projekcija vektorskog zbira ili rezultante na bilo koju osu jednaka je algebarskom zbiru projekcija sabiraka vektora na istu osu.

Uzmite u obzir konvergentne sile F 1 , F 2 , F 3, i F 4, (Sl. 19, a). Geometrijski zbir ili rezultanta ovih sila F određena završnom stranom poligona sila

Spustimo se iz vrhova poligona sila na osu x okomite.

S obzirom na dobijene projekcije sila direktno iz završene konstrukcije, imamo

F= F 1x+ F 2x+ F 3x+ F 4x

gdje je n broj vektorskih pojmova. Njihove projekcije ulaze u gornju jednačinu sa odgovarajućim predznakom.

U ravni se geometrijski zbir sila može projicirati na dvije koordinatne ose, a u prostoru na tri.

Uvod………………………………………………………………………………………………3

1. Vrijednost vektora i skalara…………………………………….4

2. Definicija projekcije, ose i koordinata tačke………………….5

3. Projekcija vektora na osu…………………………………………………………...6

4. Osnovna formula vektorske algebre……………………………..8

5. Izračunavanje modula vektora iz njegovih projekcija…………………...9

Zaključak………………………………………………………………………………………………11

Književnost………………………………………………………………………………………………12

Uvod:

Fizika je neraskidivo povezana sa matematikom. Matematika daje fizici sredstva i tehnike za opšte i precizno izražavanje odnosa između fizičkih veličina koje se otkriju kao rezultat eksperimenta ili teorijskog istraživanja.Na kraju krajeva, glavni metod istraživanja u fizici je eksperimentalni. To znači da naučnik otkriva proračune koristeći mjerenja. Označava odnos između različitih fizičkih veličina. Zatim se sve prevodi na jezik matematike. Formira se matematički model. Fizika je nauka koja proučava najjednostavnije i istovremeno najopštije zakone. Zadatak fizike je da u našem umu stvori sliku fizičkog svijeta koja najpotpunije odražava njegova svojstva i osigurava takve odnose između elemenata modela koji postoje između elemenata.

Dakle, fizika stvara model svijeta oko nas i proučava njegova svojstva. Ali svaki model je ograničen. Prilikom kreiranja modela određene pojave uzimaju se u obzir samo svojstva i veze koje su bitne za dati niz pojava. Ovo je umjetnost naučnika - odabrati glavnu stvar iz sve raznolikosti.

Fizički modeli su matematički, ali matematika nije njihova osnova. Kvantitativni odnosi između fizičkih veličina određuju se kao rezultat mjerenja, opservacija i eksperimentalnih studija i izražavaju se samo jezikom matematike. Međutim, ne postoji drugi jezik za konstruisanje fizičkih teorija.

1. Značenje vektora i skalara.

U fizici i matematici, vektor je veličina koju karakteriše numerička vrijednost i smjer. U fizici postoje mnoge važne veličine koje su vektori, na primjer, sila, položaj, brzina, ubrzanje, moment, moment, jačina električnog i magnetskog polja. Mogu se suprotstaviti drugim veličinama kao što su masa, zapremina, pritisak, temperatura i gustina, koje se mogu opisati običnim brojem, a nazivaju se " skalari".

Pišu se ili običnim slovima ili brojevima (a, b, t, G, 5, −7....). Skalarne veličine mogu biti pozitivne ili negativne. Istovremeno, neki predmeti proučavanja mogu imati takva svojstva, za potpuni opis kojih je poznavanje samo brojčane mjere nedovoljno; potrebno je i ta svojstva okarakterizirati smjerom u prostoru. Takva svojstva karakteriziraju vektorske veličine (vektori). Vektori se, za razliku od skalara, označavaju podebljanim slovima: a, b, g, F, C....
Često se vektor označava slovom u regularnom (nepodebljanom) fontu, ali sa strelicom iznad:

Osim toga, vektor se često označava parom slova (obično velikim slovima), pri čemu prvo slovo označava početak vektora, a drugo njegov kraj.

Modul vektora, odnosno dužina usmjerenog pravocrtnog segmenta, označava se istim slovima kao i sam vektor, ali normalnim (ne podebljanim) pisanjem i bez strelice iznad njih, ili na potpuno isti način kao vektor (tj. podebljano ili pravilno, ali sa strelicom), ali je tada oznaka vektora zatvorena okomitim crticama.
Vektor je složen objekat koji se istovremeno karakteriše i veličinom i smjerom.

Također nema pozitivnih i negativnih vektora. Ali vektori mogu biti jednaki jedan drugom. To je kada, na primjer, a i b imaju iste module i usmjereni su u istom smjeru. U ovom slučaju, notacija je tačna a= b. Također treba imati na umu da vektorskom simbolu može prethoditi znak minus, na primjer - c, međutim, ovaj znak simbolički označava da vektor -c ima isti modul kao vektor c, ali je usmjeren u suprotnom smjeru. smjer.

Vektor -c se naziva suprotan (ili inverzan) vektoru c.
U fizici je svaki vektor ispunjen određenim sadržajem, a kada se uporede vektori istog tipa (na primjer, sile) mogu biti značajne i točke njihove primjene.

2. Određivanje projekcije, ose i koordinata tačke.

Osa- Ovo je prava linija kojoj je dat neki pravac.
Osa se označava nekim slovom: X, Y, Z, s, t... Obično se (proizvoljno) bira tačka na osi, koja se naziva ishodište i po pravilu se označava slovom O. Od ove tačke se mjere udaljenosti do drugih tačaka koje nas zanimaju.

Projekcija tačke na osi je osnova okomice povučena iz ove tačke na datu osu. To jest, projekcija tačke na osu je tačka.

Koordinata tačke na datoj osi je broj čija je apsolutna vrijednost jednaka dužini segmenta ose (na odabranoj skali) koji se nalazi između početka ose i projekcije tačke na ovu osu. Ovaj broj se uzima sa znakom plus ako se projekcija tačke nalazi u smjeru ose od njenog početka i sa znakom minus ako je u suprotnom smjeru.

3. Projekcija vektora na osu.

Projekcija vektora na osu je vektor koji se dobija množenjem skalarne projekcije vektora na ovu osu i jediničnog vektora ove ose. Na primjer, ako je a x skalarna projekcija vektora a na osu X, tada je a x ·i njegova vektorska projekcija na ovu osu.

Označimo projekciju vektora na isti način kao i sam vektor, ali sa indeksom ose na koju se vektor projektuje. Dakle, vektorsku projekciju vektora a na osu X označavamo kao x (podebljano slovo koje označava vektor i indeks imena ose) ili

(nisko podebljano slovo koje označava vektor, ali sa strelicom na vrhu (!) i indeksom za ime ose).

Skalarna projekcija vektor po osi se zove broj, čija je apsolutna vrijednost jednaka dužini segmenta ose (na odabranoj skali) zatvorenog između projekcija početne i krajnje tačke vektora. Obično umjesto izraza skalarnu projekciju jednostavno kažu - projekcija. Projekcija se označava istim slovom kao i projektovani vektor (normalnim, ne podebljanim slovima), sa nižim indeksom (u pravilu) naziva ose na koju se ovaj vektor projektuje. Na primjer, ako se vektor projektuje na os X A, tada je njegova projekcija označena sa x. Prilikom projektovanja istog vektora na drugu osu, ako je os Y, njena projekcija će biti označena sa y.

Za izračunavanje projekcije vektor na osi (npr. osi X) potrebno je oduzeti koordinatu početne tačke od koordinate njene krajnje tačke, tj.

a x = x k − x n.

Projekcija vektora na osu je broj.Štaviše, projekcija može biti pozitivna ako je vrijednost x k veća od vrijednosti x n,

negativan ako je vrijednost x k manja od vrijednosti x n

i jednako nuli ako je x k jednako x n.

Projekcija vektora na osu može se naći i poznavanjem modula vektora i ugla koji čini sa ovom osom.

Sa slike je jasno da je a x = a Cos α

To jest, projekcija vektora na osu jednaka je umnošku modula vektora i kosinusa ugla između smjera ose i vektorski pravac. Ako je ugao oštar, onda
Cos α > 0 i a x > 0, a ako je tup, onda je kosinus tupog ugla negativan, a projekcija vektora na osu će također biti negativna.

Da bi se pronašla projekcija vektora na osu, modul ovog vektora mora se pomnožiti sa kosinusom ugla između smjera ose i smjera vektora.

4. Osnovna formula vektorske algebre.

Projektujmo vektor a na ose X i Y pravougaonog koordinatnog sistema. Nađimo vektorske projekcije vektora a na ove ose:

a x = a x ·i, i y = a y ·j.

Ali u skladu sa pravilom vektorskog sabiranja

a = a x + a y.

a = a x i + a y j.

Dakle, vektor smo izrazili u smislu njegovih projekcija i vektora pravougaonog koordinatnog sistema (ili u terminima njegovih vektorskih projekcija).

Vektorske projekcije a x i a y nazivaju se komponentama ili komponentama vektora a. Operacija koju smo izveli naziva se dekompozicija vektora duž osa pravougaonog koordinatnog sistema.

Ako je vektor dat u prostoru, onda

a = a x i + a y j + a z k.

Ova formula se zove osnovna formula vektorske algebre. Naravno, može se i ovako napisati.