Zadatke B14 rješavamo sa Jedinstvenog državnog ispita. Pronalaženje najveće i najmanje vrijednosti funkcije na intervalu Najveće i najmanje vrijednosti funkcije

Iskaz problema 2:

Zadana funkcija koja je definirana i kontinuirana na određenom intervalu. Morate pronaći najveću (najmanju) vrijednost funkcije na ovom intervalu.

Teorijska osnova.
Teorema (Druga Weierstrassova teorema):

Ako je funkcija definirana i kontinuirana u zatvorenom intervalu, tada ona u tom intervalu dostiže svoje maksimalne i minimalne vrijednosti.

Funkcija može dostići svoje najveće i najmanje vrijednosti bilo na unutrašnjim tačkama intervala ili na njegovim granicama. Ilustrujmo sve moguće opcije.

Objašnjenje:
1) Funkcija dostiže svoju najveću vrijednost na lijevoj granici intervala u tački , a svoju minimalnu vrijednost na desnoj granici intervala u tački .
2) Funkcija dostiže svoju najveću vrijednost u tački (ovo je maksimalna tačka), a minimalnu vrijednost na desnoj granici intervala u tački.
3) Funkcija dostiže svoju maksimalnu vrijednost na lijevoj granici intervala u tački , a svoju minimalnu vrijednost u tački (ovo je minimalna tačka).
4) Funkcija je konstantna na intervalu, tj. dostiže svoje minimalne i maksimalne vrijednosti u bilo kojoj tački intervala, a minimalne i maksimalne vrijednosti su međusobno jednake.
5) Funkcija dostiže svoju maksimalnu vrijednost u tački , a svoju minimalnu vrijednost u tački (uprkos činjenici da funkcija ima i maksimum i minimum na ovom intervalu).
6) Funkcija dostiže svoju najveću vrijednost u tački (ovo je maksimalna tačka), a svoju minimalnu vrijednost u tački (ovo je minimalna tačka).
komentar:

“Maksimalna” i “maksimalna vrijednost” su različite stvari. Ovo proizilazi iz definicije maksimuma i intuitivnog razumijevanja izraza “maksimalna vrijednost”.

Algoritam za rješavanje problema 2.

4) Odaberite najveću (najmanju) od dobijenih vrijednosti i zapišite odgovor.

Primjer 4:

Odredite najveću i najmanju vrijednost funkcije na segmentu.
Rješenje:
1) Pronađite izvod funkcije.

2) Naći stacionarne tačke (i tačke za koje se sumnja da su ekstremne) rešavanjem jednačine. Obratite pažnju na tačke u kojima ne postoji dvostrani konačni izvod.

3) Izračunajte vrijednosti funkcije u stacionarnim tačkama i na granicama intervala.

4) Odaberite najveću (najmanju) od dobijenih vrijednosti i zapišite odgovor.

Funkcija na ovom segmentu dostiže svoju najveću vrijednost u tački s koordinatama .

Funkcija na ovom segmentu dostiže svoju minimalnu vrijednost u tački s koordinatama .

Ispravnost proračuna možete provjeriti gledajući graf funkcije koja se proučava.

komentar: Funkcija dostiže svoju najveću vrijednost u tački maksimuma, a minimalnu na granici segmenta.

Poseban slučaj.

Pretpostavimo da trebate pronaći maksimalnu i minimalnu vrijednost neke funkcije na segmentu. Nakon završetka prve tačke algoritma, tj. derivacije izračuna, postaje jasno da je, na primjer, potrebno samo negativne vrijednosti na čitav razmatrani segment. Zapamtite da ako je izvod negativan, onda se funkcija smanjuje. Otkrili smo da funkcija opada na cijelom segmentu. Ova situacija je prikazana na grafikonu br. 1 na početku članka.

Funkcija se smanjuje na segmentu, tj. nema ekstremnih tačaka. Sa slike možete vidjeti da će funkcija uzeti najmanju vrijednost na desnoj granici segmenta, a najveću vrijednost na lijevoj. ako je izvod na segmentu svugdje pozitivan, tada se funkcija povećava. Najmanja vrijednost je na lijevoj ivici segmenta, najveća je na desnoj.

U ovom članku ću govoriti o algoritam za pronalaženje najveće i najmanje vrijednosti funkcije, minimalne i maksimalne točke.

Iz teorije će nam sigurno biti od koristi tabela derivata I pravila diferencijacije. Sve je na ovoj ploči:

Algoritam za pronalaženje najveće i najmanje vrijednosti.

Zgodnije mi je da objasnim na konkretnom primjeru. Uzmite u obzir:

primjer: Pronađite najveću vrijednost funkcije y=x^5+20x^3–65x na segmentu [–4;0].

Korak 1. Uzimamo derivat.

Y" = (x^5+20x^3–65x)" = 5x^4 + 20*3x^2 - 65 = 5x^4 + 60x^2 - 65

Korak 2. Pronalaženje ekstremnih tačaka.

Ekstremna tačka nazivamo one tačke u kojima funkcija dostiže svoju najveću ili minimalnu vrijednost.

Da biste pronašli tačke ekstrema, morate izjednačiti derivaciju funkcije sa nulom (y" = 0)

5x^4 + 60x^2 - 65 = 0

Sada da riješimo ovaj bi kvadratna jednačina a pronađeni korijeni su naše ekstremne tačke.

Takve jednačine rješavam zamjenom t = x^2, zatim 5t^2 + 60t - 65 = 0.

Smanjimo jednačinu za 5, dobićemo: t^2 + 12t - 13 = 0

D = 12^2 - 4*1*(-13) = 196

T_(1) = (-12 + sqrt(196))/2 = (-12 + 14)/2 = 1

T_(2) = (-12 - sqrt(196))/2 = (-12 - 14)/2 = -13

Napravimo obrnutu promjenu x^2 = t:

X_(1 i 2) = ±sqrt(1) = ±1
x_(3 i 4) = ±sqrt(-13) (isključujemo, ne može biti negativni brojevi, osim ako naravno ne govorimo o kompleksnim brojevima)

Ukupno: x_(1) = 1 i x_(2) = -1 - ovo su naše ekstremne tačke.

Korak 3. Odredite najveću i najmanju vrijednost.

Metoda zamjene.

U uslovu nam je dat segment [b][–4;0]. Tačka x=1 nije uključena u ovaj segment. Dakle, mi to ne razmatramo. Ali pored tačke x=-1, trebamo uzeti u obzir i lijevu i desnu granicu našeg segmenta, odnosno tačke -4 i 0. Da bismo to učinili, zamijenimo sve ove tri tačke u originalnu funkciju. Imajte na umu da je originalni onaj dat u uslovu (y=x^5+20x^3–65x), neki ljudi počinju da ga zamenjuju u derivat...

Y(-1) = (-1)^5 + 20*(-1)^3 - 65*(-1) = -1 - 20 + 65 = [b]44
y(0) = (0)^5 + 20*(0)^3 - 65*(0) = 0
y(-4) = (-4)^5 + 20*(-4)^3 - 65*(-4) = -1024 - 1280 + 260 = -2044

To znači da je najveća vrijednost funkcije [b]44 i ona se postiže u tački [b]-1, koja se naziva maksimalnom tačkom funkcije na segmentu [-4; 0].

Odlučili smo i dobili odgovor, super smo, možete se opustiti. Ali stani! Ne mislite li da je izračunavanje y(-4) nekako preteško? U uslovima ograničenog vremena, bolje je koristiti drugu metodu, ja to zovem ovako:

Kroz intervale konstantnosti znaka.

Ovi intervali se nalaze za derivaciju funkcije, odnosno za našu bikvadratnu jednačinu.

Ja to radim ovako. Crtam usmjereni segment. Postavljam tačke: -4, -1, 0, 1. Uprkos činjenici da 1 nije uključeno u dati segment, to ipak treba napomenuti da bi se pravilno odredili intervali konstantnosti predznaka. Uzmimo neki broj mnogo puta veći od 1, recimo 100, i mentalno ga zamijenimo u našu bikvadratnu jednačinu 5(100)^4 + 60(100)^2 - 65. Čak i bez brojanja bilo čega, postaje očigledno da u tački 100 funkcija ima znak plus. To znači da za intervale od 1 do 100 ima znak plus. Prilikom prolaska kroz 1 (idemo s desna na lijevo), funkcija će promijeniti predznak u minus. Prilikom prolaska kroz tačku 0, funkcija će zadržati svoj predznak, jer je ovo samo granica segmenta, a ne korijen jednadžbe. Prilikom prolaska kroz -1, funkcija će ponovo promijeniti predznak u plus.

Iz teorije znamo da je gdje je derivacija funkcije (i to smo nacrtali upravo za nju) mijenja predznak iz plusa u minus (tačka -1 u našem slučaju) funkcija doseže njegov lokalni maksimum (y(-1)=44, kako je ranije izračunato) na ovom segmentu (ovo je logično vrlo razumljivo, funkcija je prestala da raste jer je dostigla svoj maksimum i počela da se smanjuje).

Prema tome, gdje je derivacija funkcije mijenja predznak iz minusa u plus, se postiže lokalni minimum funkcije. Da, da, također smo pronašli da je lokalna minimalna tačka 1, a y(1) je minimalna vrijednost funkcije na segmentu, recimo od -1 do +∞. Napominjemo da je ovo samo LOKALNI MINIMUM, odnosno minimum na određenom segmentu. Pošto će pravi (globalni) minimum funkcije doseći negdje tamo, na -∞.

Po mom mišljenju, prva metoda je teorijski jednostavnija, a druga je jednostavnija sa stanovišta aritmetičkih operacija, ali mnogo složenija sa stanovišta teorije. Uostalom, ponekad postoje slučajevi kada funkcija ne mijenja predznak prilikom prolaska kroz korijen jednadžbe, i općenito se možete zbuniti s ovim lokalnim, globalnim maksimumima i minimumima, iako ćete to ionako morati dobro savladati ako planirate da se upišete tehnički univerzitet(zašto bi inače uzeo? profil Jedinstveni državni ispit i riješiti ovaj problem). Ali praksa i samo praksa će vas naučiti da riješite takve probleme jednom za svagda. I možete trenirati na našoj web stranici. Evo.

Ako imate pitanja ili vam nešto nije jasno, obavezno pitajte. Rado ću vam odgovoriti i unijeti izmjene i dopune u članak. Zapamtite da zajedno pravimo ovu stranicu!

U zadatku B14 sa Jedinstvenog državnog ispita iz matematike potrebno je pronaći najmanju ili najveću vrijednost funkcije jedne varijable. Ovo je prilično trivijalan zadatak od matematička analiza, i upravo iz tog razloga svaki maturant može i treba naučiti da ga normalno rješava srednja škola. Pogledajmo nekoliko primjera na kojima su školarci rješavali dijagnostički rad matematike, održanoj u Moskvi 07.12.2011.

Ovisno o intervalu u kojem želite pronaći maksimalnu ili minimalnu vrijednost funkcije, za rješavanje ovog problema koristi se jedan od sljedećih standardnih algoritama.

I. Algoritam za pronalaženje najveće ili najmanje vrijednosti funkcije na segmentu:

Pronađite izvod funkcije.
Od tačaka za koje se sumnja da su ekstremu odaberite one koje pripadaju datom segmentu i domenu definicije funkcije.
Izračunajte vrijednosti funkcije(ne derivat!) u ovim tačkama.
Među dobivenim vrijednostima odaberite najveću ili najmanju, ona će biti željena.

Primjer 1. Pronađite najmanju vrijednost funkcije
y = x 3 – 18x 2 + 81x+ 23 na segmentu.

Rješenje: Pratimo algoritam za pronalaženje najmanje vrijednosti funkcije na segmentu:

Opseg funkcije nije ograničen: D(y) = R.
Derivat funkcije je jednak: y' = 3x 2 – 36x+ 81. Područje definicije derivacije funkcije također nije ograničeno: D(y’) = R.
Nule derivata: y' = 3x 2 – 36x+ 81 = 0, što znači x 2 – 12x+ 27 = 0, odakle x= 3 i x= 9, naš interval uključuje samo x= 9 (jedan bod sumnjiv za ekstrem).
Nalazimo vrijednost funkcije u tački sumnjivoj za ekstrem i na rubovima jaza. Radi lakšeg izračuna, funkciju predstavljamo u obliku: y = x 3 – 18x 2 + 81x + 23 = x(x-9) 2 +23:
- y(8) = 8 · (8-9) 2 +23 = 31;
- y(9) = 9 · (9-9) 2 +23 = 23;
- y(13) = 13 · (13-9) 2 +23 = 231.

Dakle, od dobijenih vrijednosti najmanja je 23. Odgovor: 23.

II. Algoritam za pronalaženje najveće ili najmanje vrijednosti funkcije:

Pronađite domen definicije funkcije.
Pronađite izvod funkcije.
Identifikujte tačke sumnjive za ekstrem (one tačke u kojima derivacija funkcije nestaje, i tačke u kojima ne postoji dvostrani konačni izvod).
Označite ove tačke i područje definicije funkcije na brojevnoj pravoj i odredite predznake derivat(ne funkcije!) na rezultujućim intervalima.
Definirajte vrijednosti funkcije(ne derivacija!) u minimalnim tačkama (onim tačkama u kojima se predznak derivacije menja iz minusa u plus), najmanja od ovih vrednosti će biti najmanja vrednost funkcije. Ako nema minimalnih tačaka, onda funkcija nema minimalnu vrijednost.
Definirajte vrijednosti funkcije(ne derivacija!) na maksimalnim tačkama (onim tačkama u kojima se predznak derivacije menja sa plus na minus), najveća od ovih vrednosti će biti najveća vrednost funkcije. Ako nema maksimalnih bodova, onda funkcija nema najveću vrijednost.

Primjer 2. Pronađite najveću vrijednost funkcije.

A da biste ga riješili, trebat će vam minimalno poznavanje teme. Sljedeća se završava akademske godine, svi žele na odmor, a da bih približio ovaj trenutak, preći ću odmah na stvar:

Počnimo s područjem. Područje navedeno u stanju je ograničeno zatvoreno skup tačaka na ravni. Na primjer, skup tačaka ograničenih trouglom, uključujući CIJELI trokut (ako od granice"izbosti" barem jednu tačku, pa region više neće biti zatvoren). U praksi postoje i površine koje su pravougaone, kružne i nešto veće. složenih oblika. Treba napomenuti da su u teoriji matematičke analize date stroge definicije ograničenja, izolacija, granice itd., ali mislim da su svi svjesni ovih koncepata na intuitivnom nivou, i sada ništa više nije potrebno.

Ravno područje se standardno označava slovom i, po pravilu, specificira se analitički - s nekoliko jednačina (ne nužno linearno); rjeđe nejednakosti. Tipičan glagolski izraz: "zatvoreno područje ograničeno linijama."

Sastavni dio zadatka koji se razmatra je izgradnja područja na crtežu. Kako uraditi? Morate nacrtati sve navedene linije (u ovom slučaju 3 ravno) i analizirati šta se dogodilo. Tražena oblast je obično blago zasjenjena, a njena granica je označena debelom linijom:

Isto područje se također može podesiti linearne nejednakosti:, koji se iz nekog razloga često pišu kao popisane liste, a ne sistem.
Pošto granica pripada regionu, onda su sve nejednakosti, naravno, opušten.

A sada suština zadatka. Zamislite da os izlazi ravno prema vama iz početka. Razmotrite funkciju koja kontinuirano u svakom tačka područja. Graf ove funkcije predstavlja neke površine, a mala je sreća što za rješavanje današnjeg problema ne moramo znati kako ova površina izgleda. Može se nalaziti više, niže, presijecati ravninu - sve to nije važno. A važno je sljedeće: prema Weierstrassove teoreme, kontinuirano V ograničeno zatvoreno područje funkcija dostiže svoju najveću vrijednost (najviši") i najmanje (najniži") vrijednosti koje treba pronaći. Takve vrijednosti se postižu ili V stacionarne tačke, koji pripadaju regionuD , ili na tačkama koje leže na granici ovog područja. Ovo dovodi do jednostavnog i transparentnog algoritma rješenja:

Primjer 1

U ograničenom zatvorenom prostoru

Rješenje: Prije svega, trebate prikazati područje na crtežu. Nažalost, tehnički mi je teško to učiniti interaktivni model zadatak, i stoga ću odmah predstaviti konačnu ilustraciju, koja prikazuje sve „sumnjive“ tačke pronađene tokom studije. Obično se navode jedan za drugim kako se otkriju:

Na osnovu preambule, zgodno je razbiti odluku na dvije tačke:

I) Pronađite stacionarne tačke. Ovo je standardna radnja koju smo ponavljali u nastavi. o ekstremima nekoliko varijabli:

Pronađena stacionarna tačka pripada područja: (označite na crtežu), što znači da bismo trebali izračunati vrijednost funkcije u datoj tački:

- kao u članku Najveća i najmanja vrijednost funkcije na segmentu, važni rezultati Staviću to podebljano. Zgodno ih je pratiti u bilježnici olovkom.

Obratite pažnju na našu drugu sreću - nema smisla provjeravati dovoljan uslov za ekstrem. Zašto? Čak i ako u nekom trenutku funkcija dosegne, npr. lokalni minimum, onda to NE ZNAČI da će rezultirajuća vrijednost biti minimalnoširom regiona (pogledajte početak lekcije o bezuslovnim ekstremima) .

Šta učiniti ako stacionarna tačka NE pripada području? Skoro nista! Treba to napomenuti i prijeći na sljedeću tačku.

II) Istražujemo granice regiona.

Budući da se granica sastoji od stranica trokuta, prikladno je podijeliti studiju na 3 pododjeljka. Ali bolje je to nikako ne raditi. Sa moje tačke gledišta, korisnije je prvo razmotriti segmente paralelnim koordinatne ose, a prije svega oni koji leže na samim sjekirama. Da biste shvatili cijeli niz i logiku radnji, pokušajte proučiti završetak "u jednom dahu":

1) Pozabavimo se donjom stranom trougla. Da biste to učinili, zamijenite direktno u funkciju:

Alternativno, možete to učiniti ovako:

Geometrijski to znači da koordinatna ravan (što je takođe dato jednačinom)"izrezuje" iz površine"prostorna" parabola, čiji vrh odmah dolazi pod sumnju. Saznajmo gde se ona nalazi:

– rezultirajuća vrijednost je “pala” u područje, a može se ispostaviti da je to u tački (označeno na crtežu) funkcija dostiže najveću ili najmanju vrijednost u cijeloj regiji. Na ovaj ili onaj način, hajde da izvršimo proračune:

Ostali “kandidati” su, naravno, krajevi segmenta. Izračunajmo vrijednosti funkcije u tačkama (označeno na crtežu):

Ovdje, uzgred, možete izvršiti oralnu mini provjeru koristeći "svučenu" verziju:

2) Da biste proučili desnu stranu trokuta, zamenite je u funkciju i "dovedite stvari u red":

Ovdje ćemo odmah izvršiti grubu provjeru, "zvonivši" već obrađeni kraj segmenta:
, Odlično.

Geometrijska situacija je povezana s prethodnom tačkom:

– rezultirajuća vrijednost je također „došla u sferu naših interesa“, što znači da moramo izračunati koliko je funkcija u pojavionoj tački jednaka:

Pogledajmo drugi kraj segmenta:

Korištenje funkcije , izvršimo kontrolnu provjeru:

3) Vjerovatno svi mogu pogoditi kako istražiti preostalu stranu. Zamjenjujemo ga u funkciju i provodimo pojednostavljenja:

Krajevi segmenta su već istraženi, ali u nacrtu još uvijek provjeravamo da li smo ispravno pronašli funkciju :
– poklopilo se sa rezultatom iz 1. podstava;
– poklopilo se sa rezultatom iz 2. podparagrafa.

Ostaje da saznamo ima li nečeg zanimljivog unutar segmenta:

- Tu je! Zamjenom prave linije u jednačinu, dobijamo ordinatu ove "zanimljivosti":

Označavamo tačku na crtežu i nalazimo odgovarajuću vrijednost funkcije:

Provjerimo izračune koristeći verziju "budžeta". :
, red.

I poslednji korak: PAŽLJIVO pregledavamo sve "podebljane" brojeve, preporučujem da početnici naprave čak i jednu listu:

od kojih biramo najveću i najmanju vrijednost. Odgovori Zapišimo u stilu problema nalaženja najveća i najmanja vrijednost funkcije na segmentu:

Za svaki slučaj, komentarisaću ponovo geometrijsko značenje rezultat:
- evo najviše high point površine u tom području;
- evo najviše niska tačka površine u okolini.

U analiziranom zadatku identifikovali smo 7 „sumnjivih“ tačaka, ali njihov broj varira od zadatka do zadatka. Za trouglastu regiju, minimalni "istraživački skup" se sastoji od tri boda. To se događa kada funkcija, na primjer, specificira avion– potpuno je jasno da nema stacionarnih tačaka, a funkcija može dostići svoje maksimalne/najmanje vrednosti samo na vrhovima trokuta. Ali postoje samo jedan ili dva slična primjera - obično morate imati posla s nekom vrstom površine 2. reda.

Ako malo rješavate takve zadatke, onda vam trokuti mogu zavrtjeti u glavi, pa sam vam zato pripremio neobične primjere da bude kvadrat :))

Primjer 2

Pronađite najveću i najmanju vrijednost funkcije u zatvorenom prostoru, ograničena linijama

Primjer 3

Pronađite najveću i najmanju vrijednost funkcije u ograničenom zatvorenom području.

Obratite posebnu pažnju na racionalni redosled i tehniku proučavanja granice regiona, kao i na lanac međuprovera, koji će skoro u potpunosti izbeći računske greške. Uopšteno govoreći, možete to riješiti kako god želite, ali u nekim problemima, na primjer, u primjeru 2, sva je prilika da vam život znatno zagorčate. Približan uzorak završnih zadataka na kraju lekcije.

Sistematizirajmo algoritam rješenja, inače se uz moju marljivost kao pauk nekako izgubio u dugoj niti komentara prvog primjera:

– U prvom koraku gradimo područje, preporučljivo je zasjeniti ga i istaknuti granicu podebljanom linijom. Tokom rješavanja pojavit će se tačke koje je potrebno označiti na crtežu.

– Pronađite stacionarne točke i izračunajte vrijednosti funkcije samo u onima od njih koji pripadaju regionu. Rezultirajuće vrijednosti ističemo u tekstu (na primjer, zaokružite ih olovkom). Ako stacionarna tačka NE pripada regionu, onda ovu činjenicu označavamo ikonom ili verbalno. Ako uopće nema stacionarnih tačaka, onda izvlačimo pismeni zaključak da ih nema. U svakom slučaju, ova tačka se ne može preskočiti!

– Istražujemo granicu regiona. Prvo, korisno je razumjeti prave linije koje su paralelne sa koordinatnim osa (ako ih uopšte ima). Također ističemo vrijednosti funkcije izračunate na "sumnjivim" točkama. Mnogo je gore rečeno o tehnici rješenja, a nešto drugo će biti rečeno u nastavku - čitajte, ponovo čitajte, udubite se u to!

– Od odabranih brojeva odaberite najveću i najmanju vrijednost i dajte odgovor. Ponekad se dešava da funkcija dostigne takve vrijednosti u nekoliko tačaka odjednom - u ovom slučaju, sve ove točke trebale bi se odraziti u odgovoru. Neka, na primjer, a ispostavilo se da je to najmanja vrijednost. Onda to zapišemo

Završni primjeri posvećeni su drugim korisnim idejama koje će biti korisne u praksi:

Primjer 4

Pronađite najveću i najmanju vrijednost funkcije u zatvorenom području .

Zadržao sam autorovu formulaciju u kojoj je površina data u obliku dvostruke nejednakosti. Ovaj uslov se može napisati ekvivalentnim sistemom ili u tradicionalnijem obliku za ovaj problem:

Podsećam vas da sa nelinearni naišli smo na nejednakosti na, i ako ne razumijete geometrijsko značenje notacije, molim vas da ne odgađate i odmah razjasnite situaciju ;-)

Rješenje, kao i uvijek, počinje konstruiranjem područja koje predstavlja neku vrstu “đona”:

Hmm, ponekad moraš žvakati ne samo granit nauke...

I) Pronađite stacionarne tačke:

Sistem je san idiota :)

Stacionarna tačka pripada regionu, odnosno leži na njegovoj granici.

I tako, u redu je... lekcija je dobro prošla - eto šta znači piti pravi čaj =)

II) Istražujemo granice regiona. Bez daljeg odlaganja, počnimo sa x-osom:

1) Ako , onda

Pronađimo gdje je vrh parabole:
– cijenite takve trenutke – „pogodite“ tačno do tačke odakle je već sve jasno. Ali još uvijek ne zaboravljamo provjeriti:

Izračunajmo vrijednosti funkcije na krajevima segmenta:

2) Pozabavimo se donjim dijelom "đona" "u jednom sjedenju" - bez ikakvih kompleksa ga zamjenjujemo u funkciju, a zanimat će nas samo segment:

Kontrola:

Ovo već unosi malo uzbuđenja u monotonu vožnju po nazubljenoj stazi. Hajde da nađemo kritične tačke:

Hajde da odlučimo kvadratna jednačina, sećate li se još nečega o ovome? ...Međutim, zapamtite, naravno, inače ne biste čitali ove redove =) Ako u prethodna dva primjera izračunate u decimale(što je, inače, retkost), onda nas ovde čekaju one uobičajene obični razlomci. Pronalazimo “X” korijene i koristimo jednačinu da odredimo odgovarajuće koordinate “igre” tačaka “kandidata”:

Izračunajmo vrijednosti funkcije u pronađenim tačkama:

Provjerite funkciju sami.

Sada pažljivo proučavamo osvojene trofeje i zapisujemo odgovori:

To su “kandidati”, to su “kandidati”!

Za nezavisna odluka:

Primjer 5

Pronađite najmanji i najveća vrijednost funkcije u zatvorenom prostoru

Unos sa vitičastim zagradama glasi ovako: "skup tačaka takav da."

Ponekad u takvim primjerima koriste Lagrangeova metoda množenja, ali malo je vjerovatno da će postojati stvarna potreba za njegovom upotrebom. Tako, na primjer, ako je data funkcija sa istom površinom “de”, onda nakon zamjene u nju – bez izvoda iz bez poteškoća; Štaviše, sve je sastavljeno u "jednoj liniji" (sa znakovima) bez potrebe da se gornji i donji polukrug razmatraju odvojeno. Ali, naravno, ima ih još složeni slučajevi, gdje bez Lagrangeove funkcije (gdje je, na primjer, ista jednadžba kruga) Teško je izdržati - kao što je teško proći bez dobrog odmora!

Ugodan provod svima i vidimo se uskoro sljedeće sezone!

Rješenja i odgovori:

Primjer 2: Rješenje: Nacrtajmo područje na crtežu:

Neka funkcija y =f(X) je kontinuiran na intervalu [ a, b]. Kao što je poznato, takva funkcija dostiže svoje maksimalne i minimalne vrijednosti na ovom segmentu. Funkcija može uzeti ove vrijednosti ili na unutrašnjoj tački segmenta [ a, b], ili na granici segmenta.

Da biste pronašli najveću i najmanju vrijednost funkcije na segmentu [ a, b] potrebno:

1) pronaći kritične tačke funkcije u intervalu ( a, b);

2) izračunati vrednosti funkcije u pronađenim kritičnim tačkama;

3) izračunati vrijednosti funkcije na krajevima segmenta, odnosno kada x=A i x = b;

4) od svih izračunatih vrijednosti funkcije odaberite najveću i najmanju.

Primjer. Pronađite najveću i najmanju vrijednost funkcije

na segmentu.

Pronalaženje kritičnih tačaka:

Ove tačke leže unutar segmenta; y(1) = ‒ 3; y(2) = ‒ 4; y(0) = ‒ 8; y(3) = 1;

u tački x= 3 i u tački x= 0.

Proučavanje funkcije za konveksnost i pregibnu tačku.

Funkcija y = f (x) pozvao konveksup između (a, b) , ako njegov graf leži ispod tangente povučene u bilo kojoj tački ovog intervala, i zove se konveksno prema dolje (konkavno), ako njegov graf leži iznad tangente.

Tačka kroz koju se konveksnost zamjenjuje konkavnošću ili obrnuto naziva se tačka pregiba.

Algoritam za ispitivanje konveksnosti i tačke savijanja:

1. Naći kritične tačke druge vrste, odnosno tačke u kojima je drugi izvod jednak nuli ili ne postoji.

2. Nacrtajte kritične tačke na brojevnoj pravoj, dijeleći je na intervale. Pronađite predznak drugog izvoda na svakom intervalu; ako , onda je funkcija konveksna prema gore, ako, onda je funkcija konveksna prema dolje.

3. Ako se pri prolasku kroz kritičnu tačku druge vrste promijeni predznak i u ovoj tački je druga derivacija jednaka nuli, tada je ova tačka apscisa tačke prevoja. Pronađite njegovu ordinatu.

Asimptote grafa funkcije. Proučavanje funkcije za asimptote.

Definicija. Poziva se asimptota grafa funkcije ravno, koji ima svojstvo da udaljenost od bilo koje tačke na grafu do ove prave teži nuli kako se tačka na grafu beskonačno pomera od početka.

Postoje tri vrste asimptota: vertikalni, horizontalni i nagnuti.

Definicija. Prava linija se zove vertikalna asimptota funkcionalna grafika y = f(x), ako je barem jedna od jednostranih granica funkcije u ovoj tački jednaka beskonačnosti, tj.

gdje je tačka diskontinuiteta funkcije, odnosno ne pripada domenu definicije.

Primjer.

D ( y) = (‒ ∞; 2) (2; + ∞)

x= 2 – tačka prekida.

Definicija. Pravo y =A pozvao horizontalna asimptota funkcionalna grafika y = f(x) u , ako

Primjer.

x
y

Definicija. Pravo y =kx +b (k≠ 0) se poziva kosa asimptota funkcionalna grafika y = f(x) u , gdje

Opća shema za proučavanje funkcija i konstruiranje grafova.

Algoritam za istraživanje funkcijay = f(x) :

1. Pronađite domenu funkcije D (y).

2. Pronađite (ako je moguće) tačke preseka grafika sa koordinatnim osa (ako x= 0 i at y = 0).

3. Ispitati parnost i neparnost funkcije ( y (‒ x) = y (x) ‒ paritet; y(‒ x) = ‒ y (x) ‒ neparan).

4. Pronađite asimptote grafa funkcije.

5. Naći intervale monotonosti funkcije.

6. Pronađite ekstreme funkcije.

7. Naći intervale konveksnosti (konkavnosti) i pregibne tačke grafa funkcije.

8. Na osnovu sprovedenog istraživanja konstruisati graf funkcije.

Primjer. Istražite funkciju i izgradite njen graf.

1) D (y) =

x= 4 – tačka prekida.

2) Kada x = 0,

(0; ‒ 5) – tačka preseka sa oh.

At y = 0,

3) y(‒ x)= funkcija opšti pogled(ni par ni neparan).

4) Ispitujemo asimptote.

a) vertikalno

b) horizontalno

c) naći kose asimptote gdje

‒jednačina kosih asimptota

5) U ovoj jednačini nije potrebno pronaći intervale monotonosti funkcije.

Ove kritične tačke dijele cijeli domen definicije funkcije na interval (˗∞; ˗2), (˗2; 4), (4; 10) i (10; +∞). Dobijene rezultate prikladno je prikazati u obliku sljedeće tabele: