Euklidski algoritam za polinome. Euklidski algoritam vam omogućava da pronađete najveći zajednički djelitelj dva polinoma, tj. polinom najvišeg stepena kojim su oba data polinoma podijeljena bez ostatka.
Algoritam se zasniva na činjenici da za bilo koja dva polinoma u istoj varijabli, f(x) I g(x), postoje takvi polinomi q(x) I r(x) , nazvan količnik i ostatak, respektivno, koji
f(x) = g(x)∙q(x) + r(x), (*)
u ovom slučaju je stepen ostatka manji od stepena djelitelja, polinoma g(x), i, pored toga, prema ovim polinomima f(x) I g(x) količnik i ostatak su jedinstveno pronađeni. Ako jednakost (*) ima ostatak r(x) je jednak nultom polinomu (nula), onda kažu da je polinom f(x) podijeljena g(x) bez ostatka.
Algoritam se sastoji od sekvencijalnog dijeljenja sa ostatkom prvi od prvog zadanog polinoma, f(x), na drugom, g(x):
f(x) = g(x)∙q 1 (x) + r 1 (x), (1)
onda ako r 1 (x) ≠ 0, – drugi dati polinom, g(x), na prvi ostatak – na polinom r 1 (x):
g(x) = r 1 (x)∙q 2 (x) + r 2 (x), (2)
r 1 (x) = r 2 (x)∙q 3 (x) + r 3 (x), (3)
onda ako r 3 (x) ≠ 0, – drugi ostatak do trećeg:
r 2 (x) = r 3 (x)∙q 4 (x) + r 4 (x), (4)
itd. Budući da se u svakoj fazi smanjuje stepen sljedećeg ostatka, proces se ne može nastaviti beskonačno, pa ćemo u nekoj fazi sigurno doći u situaciju da sljedeći, n+ 1. ostatak r n+ 1 jednako je nuli:
| r n–2 (x) = r n–1 (x)∙q n (x) + r n (x), | (n) |
| r n–1 (x) = r n (x)∙q n+1 (x) + r n+1 (x), | (n+1) |
| r n+1 (x) = 0. | (n+2) |
Zatim posljednji ostatak koji nije nula r n
i bit će najveći zajednički djelitelj originalnog para polinoma f(x) I g(x).
Zaista, ako na osnovu jednakosti ( n+ 2) umjesto toga zamijeni 0 r n + 1 (x) u jednakost ( n+ 1), zatim – rezultirajuća jednakost r n – 1 (x) = r n
(x)∙q n + 1 (x) umjesto r n – 1
(x) – u jednakost ( n), ispostavilo se da r n – 2 (x) = r n
(x)∙q n + 1 (x) q n
(x) + r n
(x), tj. r n – 2 (x) = r n
(x)(q n + 1 (x) q n
(x) + 1) itd. U jednakosti (2) nakon zamjene dobijamo to g(x) = r n
(x)∙Q(x), i, konačno, iz jednakosti (1) – to f(x) = r n
(x)∙S(x), Gdje Q I S– neki polinomi. dakle, r n
(x) je zajednički djelitelj dva originalna polinoma, a činjenica da je najveći (tj. najveći mogući stepen) proizilazi iz procedure algoritma.
Ako najveći zajednički djelitelj dva polinoma ne sadrži varijablu (tj. je broj), originalni polinomi f(x) I g(x) su pozvani uzajamno prime.
Definicija. Ako je svaki od dva polinoma djeljiv s trećim polinomom, onda se naziva zajedničkim djeliteljom prva dva.
Najveći zajednički djelitelj (GCD) dva polinoma naziva se njihov zajednički djelitelj najvišeg stepena.
GCD se može naći korištenjem nesvodive faktorizacije ili korištenjem Euklidovog algoritma.
Primjer 40 Pronađite gcd polinoma 
.
Rješenje. Razložimo oba polinoma:
Iz proširenja je jasno da će traženi GCD biti polinom ( X– 1).
Primjer 41 Naći gcd polinoma 
I 
.
Rješenje. Razložimo oba polinoma na faktor.
Za polinom 
XX– 1) prema Hornerovoj šemi.
Za polinom 
mogući racionalni korijeni su brojevi 1, 2, 3 i 6. Korištenjem zamjene to potvrđujemo X= 1 je korijen. Podijelite polinom sa ( X– 1) prema Hornerovoj šemi.
Stoga, , gdje je proširenje kvadratnog trinoma 
je proizveden korištenjem Vietine teoreme.
Upoređujući faktorizaciju polinoma, nalazimo da će traženi GCD biti polinom ( X– 1)(X– 2).
Slično, možete pronaći GCD za nekoliko polinoma.
Međutim, metoda pronalaženja GCD faktorizacijom nije uvijek dostupna. Metoda koja omogućava pronalaženje GCD za sve slučajeve naziva se Euklidski algoritam.
Šema Euklidovog algoritma je sljedeća. Jedan od dva polinoma je podijeljen drugim, čiji stepen nije veći od stepena prvog. Nadalje, dividenda se svaki put uzima kao polinom koji je služio kao djelitelj u prethodnoj operaciji, a ostatak dobiven u istoj operaciji uzima se kao djelitelj. Ovaj proces se zaustavlja čim je ostatak nula. Pokažimo ovaj algoritam na primjerima.
Pogledajmo polinome korištene u prethodna dva primjera.
Primjer 42 Naći gcd polinoma 
I 
.
Rješenje. Hajde da se podelimo 
on 
"ugao":
x
Sada podijelimo djelitelj 
za ostatak X– 1:
x+ 1
Pošto se posljednja podjela dogodila bez ostatka, GCD će biti X– 1, tj. polinom koji se koristi kao djelitelj u ovoj podjeli.
Primjer 43 Naći gcd polinoma 
I 
.
Rješenje. Da bismo pronašli GCD koristićemo Euklidski algoritam. Hajde da se podelimo 
on 
"ugao":
1
Hajde da napravimo drugu podjelu. Da bismo to učinili, morali bismo podijeliti prethodni djelitelj 
za ostatak 
, ali pošto 
=
, radi praktičnosti podijelit ćemo polinom 
nije uključeno 
, i dalje 
. Takva zamjena neće promijeniti rješenje problema, jer je gcd para polinoma određen do konstantnog faktora. Imamo:
Pokazalo se da je ostatak jednak nuli, što znači posljednji djelitelj, tj. polinom
i biće željeni GCD.
Frakcionalne racionalne funkcije
Definicije i izjave za 2.5 mogu se naći u .
Razlomka racionalne funkcije sa realnim koeficijentima naziva se izraz oblika 
, Gdje 
I 
- polinomi.
Poziva se frakciono-racionalna funkcija (u daljem tekstu ćemo je zvati “razlomak”). ispravan, ako je stepen polinoma u brojiocu striktno manji od stepena polinoma u nazivniku. Inače se zove pogrešno.
Algoritam redukcije nepravilan razlomak do ispravnog naziva se "odabir cijelog dijela".
Primjer 44 Odaberite cijeli dio razlomka: 
.
Rješenje. Da biste izolovali cijeli dio razlomka, potrebno je podijeliti brojilac razlomka sa nazivnikom. Podijelite brojilac ovog razlomka sa nazivnikom koristeći "ugao":
Pošto je stepen rezultujućeg polinoma manji od stepena djelitelja, proces dijeljenja je završen. na kraju:
=
. Rezultirajuća frakcija 
tacno je.
Frakcija forme 
naziva se najjednostavnijim ako je φ( x
)
je nesvodljivi polinom, a stepen 
manji od stepena φ( x
).
Komentar. Imajte na umu da se upoređuju potencije brojnika i nesvodivog polinoma u nazivniku (zanemarujući stepen α).
Za razlomke sa realnim koeficijentima postoje 4 vrste jednostavnih razlomaka:
Bilo koji pravilan razlomak 
može se predstaviti kao zbir prostih razlomaka, čiji su imenioci svi mogući djelitelji 
.
Algoritam za dekomponovanje razlomka u njegov najjednostavniji oblik:
Ako je razlomak nepravilan, odabiremo cijeli dio, a dobiveni pravi razlomak rastavljamo na jednostavne.
Delujemo imenilac pravog razlomka u faktore.
Pravi razlomak pišemo kao zbir prostih razlomaka sa neodređenim koeficijentima.
Zbir razlomaka na desnoj strani dovodimo do zajedničkog imenioca.
Pronalaženje neodređenih koeficijenata:
Ili izjednačavanjem koeficijenata za iste potencije lijevog i desnog redukovanog brojilaca;
Ili zamjenom specifičnih (obično korijena njihovog zajedničkog nazivnika) vrijednosti x.
Odgovor pišemo uzimajući u obzir cijeli dio razlomka.
Primjer 45 Rastavite ga na najjednostavnije 
.
Rješenje. Budući da je ova frakciono-racionalna funkcija netačna, odabiremo cijeli dio:
1
= 1 +
.
Proširimo rezultirajući razlomak 
do najjednostavnijeg. Prvo, hajde da faktorizujemo imenilac. Da bismo to učinili, nalazimo njegove korijene koristeći standardnu formulu:
Zapišimo dekompoziciju razlomke racionalne funkcije u njene najjednostavnije oblike, koristeći neodređene koeficijente:
Dovedemo desnu stranu jednakosti na zajednički nazivnik:
Sistem kreiramo izjednačavanjem koeficijenata za iste stepene u brojiocima levog i desnog razlomka:
odgovor: 
.
Primjer 46 Rastavite ga na najjednostavnije 
.
Rješenje. Pošto je ovaj razlomak pravilan (to jest, stepen brojioca je manji od stepena nazivnika), nema potrebe da se ističe ceo deo. Razložimo imenilac razlomka:
Zapišimo dekompoziciju ovog razlomka u njegove najjednostavnije oblike, koristeći neodređene koeficijente:
Prema izjavi, nazivnici najjednostavnijih razlomaka moraju biti sve vrste djelitelji nazivnika razlomka:
. (2.2) Bilo bi moguće kreirati sistem jednačina izjednačavanjem brojilaca lijevog i desnog razlomka, ali u u ovom primjeru kalkulacije će biti previše glomazne. Sljedeća tehnika će pomoći da ih pojednostavimo: zamjenjujemo korijene nazivnika u brojioce jedan po jedan.
At x = 1:
At X= ‑1:
Sada da odredimo preostale koeficijente A I WITH Biće dovoljno izjednačiti koeficijente najvišeg stepena i slobodne članove. Mogu se pronaći bez otvaranja zagrada:
Lijeva strana prve jednadžbe sadrži 0, pošto brojilac lijevog razlomka u (2.2) ne sadrži član sa 
, a u desnom razlomku pojam sa 
koeficijent A +
C. Lijeva strana druge jednadžbe sadrži 0, budući da je brojilac lijevog razlomka u (2.2) besplatni član jednak je nuli, a brojilac desnog razlomka u (2.2) ima slobodni član jednak (‑ A +
B +
C
+
D). Imamo:
odgovor: 
.
DJELA POLINOMA. EUCLID ALGORITAM
§1. Podjela polinoma
Prilikom dijeljenja, polinomi su predstavljeni u kanonskom obliku i raspoređeni su u opadajućem stepenu slova, u odnosu na koji se određuje stepen dividende i djelitelja. Stepen dividende mora biti veći ili jednak stepenu djelitelja.
Rezultat dijeljenja je jedan par polinoma - količnik i ostatak, koji moraju zadovoljiti jednakost:
< делимое > = < делитель > ´ < частное > + < остаток > .
Ako je polinom stepena nPn(x ) je djeljiv,
Polinom stepena m Rk(x ) je djelitelj ( n ³ m),
Polinom Qn – m (x ) – količnik. Stepen ovog polinoma jednak je razlici između stupnjeva dividende i djelitelja,
Polinom stepena k Rk (x ) je ostatak od ( k< m ).
Ta jednakost
Pn(x) = Fm(x) × Qn – m(x) + Rk(x) (1.1)
mora biti ispunjen identično, odnosno ostati važeći za sve realne vrijednosti x.
Napomenimo još jednom da je stepen ostatka k mora biti manji od stepena djelitelja m . Svrha ostatka je kompletiranje proizvoda polinoma Fm (x) i Qn – m (x ) na polinom jednak dividendi.
Ako je proizvod polinoma Fm (x) × Qn – m (x ) daje polinom jednak dividendi, zatim ostatak R = 0. U ovom slučaju kažu da se dijeljenje vrši bez ostatka.
Pogledajmo algoritam za podjelu polinoma na konkretnom primjeru.
Pretpostavimo da želite da podijelite polinom (5x5 + x3 + 1) polinomom (x3 + 2).
1. Podijelite vodeći član dividende 5x5 sa vodećim članom djelitelja x3:
U nastavku će biti pokazano da se tako nalazi prvi član količnika.
2. Delitelj se množi sa sljedećim (u početku prvim) članom količnika i ovaj proizvod se oduzima od dividende:
5x5 + x3 + 1 – 5x2(x3 + 2) = x3 – 10x2 + 1.
3. Dividenda se može predstaviti kao
5x5 + x3 + 1 = 5x2(x3 + 2) + (x3 – 10x2 +
Ako se u akciji (2) pokaže da je stepen razlike veći ili jednak stepenu djelitelja (kao u primjeru koji se razmatra), tada se s tom razlikom ponavljaju gore navedene radnje. Gde
1. Vodeći član razlike x3 podijeljen je vodećim članom djelitelja x3:
U nastavku će biti pokazano da se drugi član u količniku nalazi na ovaj način.
2. Delitelj se množi sa sljedećim (sada drugim) članom količnika i ovaj proizvod se oduzima od posljednje razlike
X3 – 10x2 + 1 – 1 × (x3 + 2) = – 10x2 – 1.
3. Tada se posljednja razlika može predstaviti kao
X3 – 10x2 + 1 = 1 × (x3 + 2) + (–10x2 +
Ako se pokaže da je stepen sljedeće razlike manji od stepena djelitelja (kao kod ponavljanja u akciji (2)), tada se dijeljenje završava s ostatkom jednakim posljednjoj razlici.
Da bismo potvrdili da je količnik zbir (5x2 + 1), zamjenjujemo u jednakost (1.2) rezultat transformacije polinoma x3 – 10x2 + 1 (vidi (1.3)): 5x5 + x3 + 1 = 5x2(x3 + 2) ) + 1× (x3 + 2) + (– 10x2 – 1). Zatim, nakon uzimanja zajedničkog faktora (x3 + 2) iz zagrada, konačno dobijamo
5x5 + x3 + 1 = (x3 + 2)(5x2 + 1) + (– 10x2 – 1).
Što, u skladu s jednakošću (1.1), treba smatrati rezultatom dijeljenja polinoma (5x5 + x3 + 1) polinomom (x3 + 2) s količnikom (5x2 + 1) i ostatkom (– 10x2 – 1).
Ove radnje se obično sastavljaju u obliku dijagrama koji se naziva "podjela po kutu". U isto vrijeme, u pisanju dividende i naknadnih razlika, poželjno je proizvesti termine sume u svim opadajućim potencijama argumenta bez izostavljanja.
| |
5x5 +10x2 5x2 + 1
| |
X3 + 2
–10x2 + 0x – 1
pozicija:relativna; z-indeks:1">Vidimo da se dijeljenje polinoma svodi na sekvencijalno ponavljanje radnji:
1) na početku algoritma, vodeći član dividende, zatim se vodeći član sljedeće razlike dijeli sa vodećim članom djelitelja;
2) rezultat dijeljenja daje sljedeći član u količniku, kojim se djelitelj množi. Dobiveni proizvod se upisuje pod dividendu ili sljedeću razliku;
3) donji polinom se oduzima od gornjeg polinoma i, ako je stepen rezultujuće razlike veći ili jednak stepenu djelitelja, s njim se ponavljaju radnje 1, 2, 3.
Ako je stepen rezultujuće razlike manji od stepena djelitelja, tada je dijeljenje završeno. U ovom slučaju, posljednja razlika je ostatak.
Primjer br. 1
position:absolute;z-index: 9;left:0px;margin-left:190px;margin-top:0px;width:2px;height:27px">
4x2 + 0x – 24x2 ± 2x ± 2
Dakle, 6x3 + x2 – 3x – 2 = (2x2 – x – 1)(3x + 2) + 2x.
Primjer br. 2
A3b2 + b5
A3b2 a2b3
– a2b3 + b5
± a2b3 ± ab4
Ab4 + b5
– ab4 b5
Dakle , a5 + b5 = (a + b)(a4 –a3b + a2b2 – ab3 + b4).
Primjer №3
| |
X5 x4y x4 + x3y + x2y2 + xy3 + y4
H3u2 – u5
X3y2 ± x2y3
Hu 4 – y 5
Hu 4 – y 5
Dakle, x5 – y5 = (x – y)(x4 + x3y + x2y2 + xy3 + y4).
Generalizacija rezultata dobijenih u primjerima 2 i 3 su dvije skraćene formule za množenje:
(x + a)(x2 n – x2 n –1 a + x2 n –2 a 2 – ... + a2n) = x 2n+1 + a2n + 1;
(x – a)(x 2n + x 2n–1 a + x 2n–2 a2 + … + a2n) = x 2n+1 – a2n + 1, gdje je n O N.
Vježbe
Izvršite radnje
1. (– 2x5 + x4 + 2x3 – 4x2 + 2x + 4) : (x3 + 2).
Odgovor: – 2x2 + x +2 – količnik, 0 – ostatak.
2. (x4 – 3x2 + 3x + 2) : (x – 1).
Odgovor: x3 + x2 – 2x + 1 – količnik, 3 – ostatak.
3. (x2 + x5 + x3 + 1) : (1 + x + x2).
Odgovor: x3 – x2 + x + 1 – količnik, 2x – ostatak.
4. (x4 + x2y2 + y4) : (x2 + xy + y2).
Odgovor: x2 – xy + y2 – količnik, 0 – ostatak.
5. (a 3 + b 3 + c 3 – 3 abc) : (a + b + c).
Odgovor: a 2 – (b + c) a + (b 2 – bc + c 2 ) – količnik, 0 – ostatak.
§2. Pronalaženje najvećeg zajedničkog djelitelja dva polinoma
1. Euklidski algoritam
Ako je svaki od dva polinoma djeljiv s trećim polinomom, onda se ovaj treći polinom naziva zajedničkim djeliteljom prva dva.
Najveći zajednički djelitelj (GCD) dva polinoma je njihov zajednički djelitelj najvećeg stepena.
Imajte na umu da je svaki broj koji nije jednak nuli zajednički djelitelj bilo koja dva polinoma. Stoga se svaki broj koji nije jednak nuli naziva trivijalnim zajedničkim djeliteljem ovih polinoma.
Euklidski algoritam predlaže niz radnji koje ili vode do pronalaženja gcd dva data polinoma, ili pokazuje da takav djelitelj u obliku polinoma prvog ili višeg stepena ne postoji.
Euklidski algoritam je implementiran kao niz podjela. U prvom podeljenju polinom većeg stepena se tretira kao dividenda, a polinom manjeg stepena se tretira kao delilac. Ako polinomi za koje je GCD pronađen imaju iste stupnjeve, tada se dividenda i djelitelj biraju proizvoljno.
Ako, tokom sljedećeg dijeljenja, polinom u ostatku ima stepen veći ili jednak 1, tada djelitelj postaje dividenda, a ostatak postaje djelitelj.
Ako sljedeća podjela polinoma rezultira ostatkom jednakim nuli, tada je pronađen gcd ovih polinoma. To je djelitelj posljednjeg dijeljenja.
Ako se pri sljedećem dijeljenju polinoma ispostavi da je ostatak broj koji nije jednak nuli, tada za ove polinome ne postoje gcds osim trivijalnih.
Primjer br. 1
Smanjite frakciju 
.
Rješenje
Nađimo gcd ovih polinoma pomoću Euklidovog algoritma
| |
X3 + 7x2 + 14x + 8 1
– x2 – 3x – 2
| |
X3 + 3x2 + 2x – x – 4
3x2 + 9x + 6
3x2 + 9x + 6
| |
position:absolute;z-index: 49;left:0px;margin-left:209px;margin-top:6px;width:112px;height:20px"> 
font-size:14.0pt;line-height:150%">Odgovor:
font-size:14.0pt;line-height:150%"> 2. Mogućnosti pojednostavljenja GCD proračuna u Euklidskom algoritmu
Teorema
Kada se dividenda množi brojem koji nije jednak nuli, količnik i ostatak se množe istim brojem.
Dokaz
Neka je P dividenda, F djelitelj, Q količnik, R - ostatak. onda,
P = F × Q + R.
Množenjem ovog identiteta brojem a ¹ 0, dobijamo
a P = F × (a Q) + a R,
gdje je polinom a P može se smatrati dividendom i polinomima a Q i R – kao količnik i ostatak dobijen dijeljenjem polinoma a P polinomu F . Dakle, prilikom množenja dividende brojem a¹ 0, količnik i ostatak se također množe sa a, h.t.d
Posljedica
Množenje djelitelja brojem a¹ 0 se može smatrati množenjem dividende brojem.
Stoga, kada množite djelitelj brojem a¹ 0 je količnik, a ostatak se množi sa .
Primjer br. 2
Pronađite količnik Q i ostatak R prilikom dijeljenja polinoma
Veličina fonta:14.0pt;visina linije:150%"> Rješenje
Da bismo prešli na cjelobrojne koeficijente u dividendi i djelitelju, pomnožimo dividendu sa 6, što će dovesti do množenja željenog količnika sa 6 Q i ostatak R . Nakon toga, pomnožite djelitelj sa 5, što će dovesti do množenja količnika 6 Q i ostatak 6 R na . Kao rezultat toga, kvocijent i ostatak dobiveni dijeljenjem polinoma s cjelobrojnim koeficijentima će se razlikovati nekoliko puta od željenih vrijednosti količnika Q i ostatak R dobijeno dijeljenjem ovih polinoma.
| |
| |
12u4 ± 18hu3 30x2y2 6y2 – 2xy – 9x2 =
– 4x3 – 12x2y2 – 11x3y + 3x4
± 4hu3 6h2u2 ± 10h3u
– 18x2y2 – x3y + 3x4
± 18h2u2 27h3u ± 45h4
– 28h3u + 48h4 = font-size:14.0pt;line-height:150%">Dakle, ;
odgovor: 
, 
.
Imajte na umu da ako se pronađe najveći zajednički djelitelj ovih polinoma, onda ćemo množenjem sa bilo kojim brojem koji nije jednak nuli dobiti i najveći djelitelj ovih polinoma. Ova okolnost omogućava pojednostavljenje proračuna u Euklidskom algoritmu. Naime, prije sljedećeg dijeljenja, dividenda ili djelitelj se može pomnožiti brojevima odabranim na poseban način tako da koeficijent prvog člana u količniku bude cijeli broj. Kao što je gore prikazano, množenje dividende i djelitelja će dovesti do odgovarajuće promjene parcijalnog ostatka, ali takve da će, kao rezultat, GCD ovih polinoma biti pomnožen nekim brojem jednakim nuli, što je prihvatljivo.
Primjer br. 3
Smanjite frakciju 
.
Rješenje
Primjenom Euklidovog algoritma dobijamo
| |
X4 x3 ± 3x2 font-size:14.0pt; line-height:150%"> 4 1
2x3 + 6x2 + 3x – 2
font-size:14.0pt; visina linije:150%">2) 2(x4 + x3 – 3x2 + 4) = 2x4 + 2x3 – 6x2 + 8 2x3 + 6x2 + 3x – 2
2x4 6x3 3x2 ± 2x x – 2
– 4x3 – 9x2 + 2x + 8
± 4h3 ± 12h2 ± 6h font-size:14.0pt; line-height:150%">4
3x2 + 8x + 4
| |
| |
6x3 font-size:14.0pt">16x2 font-size:14.0pt">8x 2x +
1. Euklidski algoritam
Ako je svaki od dva polinoma djeljiv s trećim polinomom, onda se ovaj treći polinom naziva zajedničkim djeliteljom prva dva.
Najveći zajednički djelitelj (GCD) dva polinoma je njihov zajednički djelitelj najvećeg stepena.
Imajte na umu da je svaki broj koji nije jednak nuli zajednički djelitelj bilo koja dva polinoma. Stoga se svaki broj koji nije jednak nuli naziva trivijalnim zajedničkim djeliteljem ovih polinoma.
Euklidski algoritam predlaže niz radnji koje ili vode do pronalaženja gcd dva data polinoma, ili pokazuje da takav djelitelj u obliku polinoma prvog ili višeg stepena ne postoji.
Euklidski algoritam je implementiran kao niz podjela. U prvom podeljenju, polinom većeg stepena se tretira kao dividenda, a manjeg - kao delilac. Ako polinomi za koje je GCD pronađen imaju iste stupnjeve, tada se dividenda i djelitelj biraju proizvoljno.
Ako tokom sljedećeg dijeljenja polinom u ostatku ima stepen veći ili jednak 1, tada djelitelj postaje dividenda, a ostatak postaje djelitelj.
Ako sljedeća podjela polinoma rezultira ostatkom jednakim nuli, tada je pronađen gcd ovih polinoma. To je djelitelj posljednjeg dijeljenja.
Ako se pri sljedećem dijeljenju polinoma ispostavi da je ostatak broj koji nije jednak nuli, tada za ove polinome ne postoje gcds osim trivijalnih.
Primjer br. 1
Smanjite frakciju.
2. Mogućnosti pojednostavljenja GCD proračuna u Euklidskom algoritmu
Kada se dividenda množi brojem koji nije jednak nuli, količnik i ostatak se množe istim brojem.
Dokaz
Neka je P dividenda, F djelitelj, Q količnik, R ostatak. onda,
Pomnožimo ovaj identitet brojem 0, dobijamo
pri čemu se polinom P može smatrati dividendom, a polinomi Q i R - količnikom i ostatkom koji se dobije dijeljenjem polinoma P polinomom F. Dakle, kada se dividenda množi brojem 0, količnik i ostatak su također pomnoženo sa, h.t. d
Posljedica
Množenje djelitelja brojem 0 može se smatrati množenjem dividende brojem.
Stoga, kada se djelitelj pomnoži sa brojem, 0 je količnik, a ostatak se množi sa.
Primjer br. 2
Nađite količnik Q i ostatak R prilikom dijeljenja polinoma
dijeljeni polinomski algoritam Euklid
Da bismo prešli na cjelobrojne koeficijente u dividendi i djelitelju, pomnožimo dividendu sa 6, što će dovesti do množenja željenog kvocijenta Q i ostatka R sa 6. Nakon toga, pomnožimo djelitelj sa 5, što će dovesti do množenje količnika 6Q i ostatka 6R sa. Kao rezultat toga, kvocijent i ostatak dobiveni dijeljenjem polinoma s cjelobrojnim koeficijentima će se razlikovati za faktor nekoliko puta od željenih vrijednosti količnika Q i ostatka R dobivenog dijeljenjem ovih polinoma.
Dakle, ;
Imajte na umu da ako se pronađe najveći zajednički djelitelj ovih polinoma, onda ćemo množenjem sa bilo kojim brojem koji nije jednak nuli dobiti i najveći djelitelj ovih polinoma. Ova okolnost omogućava pojednostavljenje proračuna u Euklidskom algoritmu. Naime, prije sljedećeg dijeljenja, dividenda ili djelitelj se može pomnožiti brojevima odabranim na poseban način tako da koeficijent prvog člana u količniku bude cijeli broj. Kao što je gore prikazano, množenje dividende i djelitelja će dovesti do odgovarajuće promjene parcijalnog ostatka, ali takve da će, kao rezultat, GCD ovih polinoma biti pomnožen nekim brojem jednakim nuli, što je prihvatljivo.
Upotreba jednačina je široko rasprostranjena u našim životima. Koriste se u mnogim proračunima, izgradnji objekata, pa čak i u sportu. Čovjek je koristio jednačine u drevnim vremenima, a od tada se njihova upotreba samo povećava. Polinom je algebarski zbir proizvoda brojeva, varijabli i njihovih potencija. Pretvaranje polinoma obično uključuje dvije vrste problema. Izraz treba ili pojednostaviti ili faktorizirati, tj. predstavljaju ga kao proizvod dva ili više polinoma ili monoma i polinoma.
Da biste pojednostavili polinom, navedite slične pojmove. Primjer. Pojednostavite izraz \ Pronađite monome sa istim slovnim dijelom. Presavijte ih. Zapišite rezultirajući izraz: \ Pojednostavili ste polinom.
Za probleme koji zahtijevaju faktoring polinoma, odredite zajednički faktor datog izraza. Da biste to učinili, prvo uklonite iz zagrada one varijable koje su uključene u sve članove izraza. Štaviše, ove varijable treba da imaju najniži indikator. Zatim izračunajte najveći zajednički djelitelj svakog od koeficijenata polinoma. Modul rezultirajućeg broja će biti koeficijent zajedničkog množitelja.
Primjer. Faktor polinoma \ Izvadite ga iz zagrada \ jer varijabla m je uključena u svaki član ovog izraza i njen najmanji eksponent je dva. Izračunajte zajednički faktor množitelja. Jednako je sa pet. Dakle, zajednički faktor ovog izraza je \ Otuda: \
Gdje mogu riješiti polinomsku jednačinu na mreži?
Jednačinu možete riješiti na našoj web stranici https://site. Besplatni online rješavač će vam omogućiti da riješite online jednadžbe bilo koje složenosti za nekoliko sekundi. Sve što trebate učiniti je jednostavno unijeti svoje podatke u rješavač. Također možete pogledati video upute i naučiti kako riješiti jednadžbu na našoj web stranici. A ako i dalje imate pitanja, možete ih postaviti u našoj VKontakte grupi http://vk.com/pocketteacher. Pridružite se našoj grupi, mi ćemo vam uvijek rado pomoći.
