Izračunajte površinu figure ograničene linijama.
Rješenje.
Pronalazimo presečne tačke datih pravih. Da bismo to uradili, rešavamo sistem jednačina:
Da bismo pronašli apscisu presječnih tačaka datih pravih, rješavamo jednačinu:
Mi nalazimo: x 1 = -2, x 2 = 4.
Dakle, ove prave, koje su parabola i prava, seku se u tačkama A(-2; 0), B(4; 6).
Ove linije čine zatvorenu figuru, čija se površina izračunava pomoću gornje formule:
Koristeći Newton-Leibniz formulu nalazimo:
Pronađite površinu područja ograničene elipsom.
Rješenje.
Iz jednadžbe elipse za prvi kvadrant imamo. Odavde, koristeći formulu, dobijamo
Primijenimo zamjenu x = a grijeh t, dx = a cos t dt. Nove granice integracije t = α I t = β određuju se iz jednačina 0 = a grijeh t, a = a grijeh t. Može se staviti α = 0 i β = π /2.
Pronađite jednu četvrtinu tražene površine
Odavde S = πab.
Pronađite površinu figure ograničenu linijamay = - x 2 + x + 4 iy = - x + 1.
Rješenje.
Nađimo tačke preseka pravih y = -x 2 + x + 4, y = -x+ 1, izjednačavajući ordinate pravih: - x 2 + x + 4 = -x+ 1 ili x 2 - 2x- 3 = 0. Pronalaženje korijena x 1 = -1, x 2 = 3 i njihove odgovarajuće ordinate y 1 = 2, y 2 = -2.
Koristeći formulu za površinu figure, dobijamo
Odrediti površinu zatvorenu parabolomy = x 2 + 1 i ravnox + y = 3.
Rješenje.
Rješavanje sistema jednačina
naći apscisu tačaka preseka x 1 = -2 i x 2 = 1.
Believing y 2 = 3 - x I y 1 = x 2 + 1, na osnovu formule koju dobijamo
Izračunajte površinu sadržanu u Bernoullijevoj lemniskatir 2 = a 2 cos 2 φ .
Rješenje.
U polarnom koordinatnom sistemu, površina figure ograničena lukom krive r = f(φ ) i dva polarna radijusa φ 1 = ʅ I φ 2 = ʆ , biće izraženo integralom
Zbog simetrije krivulje prvo odredimo jednu četvrtinu potrebne površine
Dakle, cijela površina je jednaka S = a 2 .
Izračunajte dužinu luka astroidex 2/3 + y 2/3 = a 2/3 .
Rješenje.
Zapišimo jednačinu astroida u obliku
(x 1/3) 2 + (y 1/3) 2 = (a 1/3) 2 .
Hajde da stavimo x 1/3 = a 1/3 cos t, y 1/3 = a 1/3 sin t.
Odavde dobijamo parametarske jednačine astroida
x = a cos 3 t, y = a grijeh 3 t, (*)
gdje je 0 ≤ t ≤ 2π .
Zbog simetrije krivulje (*), dovoljno je pronaći jednu četvrtinu dužine luka L, što odgovara promjeni parametra t od 0 do π /2.
Dobijamo
dx = -3a cos 2 t grijeh t dt, dy = 3a grijeh 2 t cos t dt.
Odavde nalazimo
Integriranje rezultirajućeg izraza od 0 do π /2, dobijamo
Odavde L = 6a.
Pronađite područje koje zatvara Arhimedova spiralar = aφ i dva radijus vektora koji odgovaraju polarnim uglovimaφ 1 Iφ 2 (φ 1 < φ 2 ).
Rješenje.
Područje ograđeno krivom r = f(φ ) se izračunava po formuli gdje je α I β - granice promjene polarnog ugla.
Dakle, dobijamo
(*)
Iz (*) slijedi da je područje ograničeno polarnom osom i prvim okretom Arhimedove spirale ( φ 1 = 0; φ 2 = 2π ):
Slično, nalazimo područje ograničeno polarnom osom i drugim zaokretom Arhimedove spirale ( φ 1 = 2π ; φ 2 = 4π ):
Tražena površina jednaka je razlici ovih površina
Izračunaj zapreminu tela dobijenu rotacijom oko oseOx figure ograničene parabolamay = x 2 Ix = y 2 .
Rješenje.
Rešimo sistem jednačina
i dobijamo x 1 = 0, x 2 = 1, y 1 = 0, y 2 = 1, odakle su tačke preseka krivih O(0; 0), B(jedanaest). Kao što se može vidjeti na slici, potrebna zapremina tijela okretanja jednaka je razlici između dvije zapremine nastale rotacijom oko ose Ox krivolinijski trapezi O.C.B.A. I ODBA:
Izračunajte površinu zatvorenu osomOx i sinusoiday = grijehx na segmentima: a) ; b) .
Rješenje.
a) Na segmentu sin funkcija xčuva predznak, a samim tim i prema formuli, pod pretpostavkom y= grijeh x, mi nalazimo
b) Na segmentu, funkcija sin x menja znak. Da biste ispravno riješili problem, potrebno je segment podijeliti na dva i [ π , 2π ], u svakoj od kojih funkcija zadržava svoj znak.
Prema pravilu znakova, na segmentu [ π , 2π ] područje se uzima sa znakom minus.
Kao rezultat, potrebna površina je jednaka
Odrediti volumen tijela ograničenog površinom dobivenom rotacijom elipseoko glavne osea .
Rješenje.
S obzirom da je elipsa simetrična u odnosu na koordinatne ose, dovoljno je pronaći zapreminu nastalu rotacijom oko ose Ox području OAB, jednako jednoj četvrtini površine elipse, i udvostručiti rezultat.
Označimo volumen tijela rotacije sa V x; onda na osnovu formule imamo , gdje je 0 i a- apscisa tačaka B I A. Iz jednadžbe elipse nalazimo . Odavde
Dakle, potrebna zapremina je jednaka . (Kada se elipsa rotira oko male ose b, zapremina tela je jednaka )
Pronađite područje ograničeno parabolamay 2 = 2 px Ix 2 = 2 py .
Rješenje.
Prvo, nalazimo koordinate tačaka preseka parabola da bismo odredili segment integracije. Transformirajući originalne jednačine, dobijamo i . Izjednačavanjem ovih vrijednosti dobijamo ili x 4 - 8str 3 x = 0.
x 4 - 8str 3 x = x(x 3 - 8str 3) = x(x - 2str)(x 2 + 2px + 4str 2) = 0.
Pronalaženje korijena jednadžbi:
S obzirom na činjenicu da je tač A presek parabola je u prvoj četvrtini, zatim granice integracije x= 0 i x = 2str.
Pomoću formule pronalazimo traženu površinu
Primena integrala za rešavanje primenjenih problema
Obračun površine
Definitivni integral neprekidne nenegativne funkcije f(x) je numerički jednak površina krivolinijskog trapeza ograničenog krivom y = f(x), osom O x i pravim linijama x = a i x = b. U skladu s tim, formula površine se piše na sljedeći način:
Pogledajmo neke primjere izračunavanja površina ravnih figura.
Zadatak br. 1. Izračunajte površinu ograničenu linijama y = x 2 +1, y = 0, x = 0, x = 2.
Rješenje. Konstruirajmo figuru čiju ćemo površinu morati izračunati.
y = x 2 + 1 je parabola čije su grane usmjerene prema gore, a parabola je pomjerena prema gore za jednu jedinicu u odnosu na O y osu (slika 1).
Slika 1. Grafikon funkcije y = x 2 + 1
Zadatak br. 2. Izračunajte površinu ograničenu linijama y = x 2 – 1, y = 0 u rasponu od 0 do 1.
 |
Rješenje. Grafikon ove funkcije je parabola grana koje su usmjerene prema gore, a parabola je pomjerena u odnosu na osu O y dolje za jednu jedinicu (slika 2).
Slika 2. Grafikon funkcije y = x 2 – 1
Zadatak br. 3. Napravite crtež i izračunajte površinu figure ograničene linijama
y = 8 + 2x – x 2 i y = 2x – 4.
Rješenje. Prva od ove dvije linije je parabola čije su grane usmjerene prema dolje, jer je koeficijent x 2 negativan, a druga prava je prava koja seče obje koordinatne ose.
Da bismo konstruisali parabolu, nalazimo koordinate njenog vrha: y’=2 – 2x; 2 – 2x = 0, x = 1 – apscisa temena; y(1) = 8 + 2∙1 – 1 2 = 9 je njegova ordinata, N(1;9) je vrh.
Sada pronađimo tačke preseka parabole i prave tako što ćemo rešiti sistem jednačina:
Izjednačavanje desnih strana jednačine čije su lijeve strane jednake.
Dobijamo 8 + 2x – x 2 = 2x – 4 ili x 2 – 12 = 0, odakle 
.
Dakle, tačke su presečne tačke parabole i prave (slika 1).
Slika 3 Grafikoni funkcija y = 8 + 2x – x 2 i y = 2x – 4
Konstruirajmo pravu liniju y = 2x – 4. Ona prolazi kroz tačke (0;-4), (2;0) na koordinatnim osa.
Da biste konstruisali parabolu, možete koristiti i njene tačke preseka sa osom 0x, odnosno korenima jednačine 8 + 2x – x 2 = 0 ili x 2 – 2x – 8 = 0. Koristeći Vietinu teoremu, lako je da nađemo njegove korijene: x 1 = 2, x 2 = 4.
Na slici 3 prikazana je figura (parabolički segment M 1 N M 2) ograničena ovim linijama.
Drugi dio problema je pronaći površinu ove figure. Njegova površina se može pronaći pomoću određenog integrala prema formuli 
.
Primijenjeno na ovo stanje, dobijamo integral: 
2 Izračunavanje zapremine tela rotacije
Zapremina tijela dobivena rotacijom krive y = f(x) oko ose O x izračunava se po formuli:
Kada se rotira oko ose O y, formula izgleda ovako:
Zadatak br. 4. Odrediti zapreminu tijela dobivenu rotacijom zakrivljenog trapeza ograničenog pravim linijama x = 0 x = 3 i krivom y = oko ose O x.
Rješenje. Nacrtajmo sliku (slika 4).
Slika 4. Grafikon funkcije y =
Potrebna zapremina je 
Zadatak br. 5. Izračunajte zapreminu tela dobijenu rotacijom zakrivljenog trapeza ograničenog krivom y = x 2 i pravim linijama y = 0 i y = 4 oko ose O y.
Rješenje. Imamo:
Pregledajte pitanja
Unesite funkciju za koju trebate pronaći integral
Kalkulator pruža DETALJNA rješenja za određene integrale.
Ovaj kalkulator pronalazi rješenje za definitivni integral funkcije f(x) sa datim gornjim i donjim granicama.
Primjeri
Koristeći diplomu
(kvadrat i kocka) i razlomci
(x^2 - 1)/(x^3 + 1)
Kvadratni korijen
Sqrt(x)/(x + 1)
Kockasti korijen
Cbrt(x)/(3*x + 2)
Korištenje sinusa i kosinusa
2*sin(x)*cos(x)
arcsine
X*arcsin(x)
arc kosinus
X*arccos(x)
Primjena logaritma
X*log(x, 10)
Izlagač
Tg(x)*sin(x)
Kotangens
Ctg(x)*cos(x)
Iracionalni razlomci
(sqrt(x) - 1)/sqrt(x^2 - x - 1)
Arktangent
X*arctg(x)
Arkotangenta
X*arcctg(x)
Hiperbolički sinus i kosinus
2*sh(x)*ch(x)
Hiperbolički tangent i kotangens
Ctgh(x)/tgh(x)
Hiperbolički arcsin i arkosinus
X^2*arcsinh(x)*arccosh(x)
Hiberbolički arktangens i arkotangens
X^2*arctgh(x)*arcctgh(x)
Pravila za unos izraza i funkcija
Izrazi se mogu sastojati od funkcija (notacije su date abecednim redom): apsolutno (x) Apsolutna vrijednost x
(modul x ili |x|)
arccos(x) Funkcija - arc kosinus od x arccosh(x) Arc kosinus hiperboličan iz x arcsin(x) Arcsine from x arcsinh(x) Arksinus hiperbolički iz x arktan(x) Funkcija - arktangens od x arctgh(x) Arktangent hiperbolični iz x e e broj koji je približno jednak 2,7 exp(x) Funkcija - eksponent od x(kao e^x)
log(x) ili ln(x) Prirodni logaritam od x
(Za dobijanje log7(x), trebate unijeti log(x)/log(7) (ili, na primjer, for log10(x)=log(x)/log(10)) pi Broj je "Pi", što je približno jednako 3,14 sin(x) Funkcija - sinus od x cos(x) Funkcija - kosinus od x sinh(x) Funkcija - Sinus hiperbolični iz x cosh(x) Funkcija - kosinus hiperbolični iz x sqrt(x) Funkcija - Kvadratni korijen od x sqr(x) ili x^2 Funkcija - kvadrat x preplanulost (x) Funkcija - Tangenta od x tgh(x) Funkcija - Tangenta hiperbolička iz x cbrt(x) Funkcija - kubni korijen od x
Sljedeće operacije se mogu koristiti u izrazima: Realni brojevi
unesite kao 7.5
, ne 7,5
2*x- množenje 3/x- divizija x^3- eksponencijaliranje x+7- dodatak x - 6- oduzimanje
Ostale karakteristike: sprat (x) Funkcija - zaokruživanje x prema dolje (primjer pod (4,5)==4,0) plafon(x) Funkcija - zaokruživanje x prema gore (primjer strop(4,5)==5,0) znak(x) Funkcija - Sign x erf(x) Funkcija greške (ili integral vjerovatnoće) laplace(x) Laplaceova funkcija
A)
Rješenje.
Prva i najvažnija tačka odluke je konstrukcija crteža.
Napravimo crtež:
Jednačina y=0 postavlja “x” os;
- x=-2 I x=1 - ravno, paralelno sa osom OU;
- y=x 2 +2 - parabola, čije su grane usmjerene prema gore, sa vrhom u tački (0;2).
Komentar. Za konstruisanje parabole dovoljno je pronaći tačke njenog preseka koordinatne ose, tj. stavljanje x=0 pronađite presek sa osom OU i odlučivanje u skladu s tim kvadratna jednačina, pronađite sjecište s osom Oh .
Vrh parabole se može pronaći pomoću formula:
Također možete graditi linije tačku po tačku.
Na intervalu [-2;1] graf funkcije y=x 2 +2 nalazi iznad ose Ox , Zbog toga:
odgovor: S =9 sq. jedinica
Nakon što je zadatak završen, uvijek je korisno pogledati crtež i shvatiti da li je odgovor stvaran. U ovom slučaju, "na oko" brojimo broj ćelija na crtežu - pa, bit će ih oko 9, čini se da je istina. Potpuno je jasno da ako dobijemo, recimo, odgovor: 20 kvadratne jedinice, onda je očito da je negdje napravljena greška - 20 ćelija se jasno ne uklapa u dotičnu cifru, najviše desetak. Ako je odgovor negativan, onda je i zadatak riješen pogrešno.
Šta učiniti ako se nalazi zakrivljeni trapez ispod osovine Oh?
b) Izračunajte površinu figure ograničene linijama y=-e x , x=1 i koordinatne ose.
Rješenje.
Hajde da napravimo crtež.
Ako je zakrivljeni trapez potpuno smješten ispod ose Oh , tada se njegova površina može pronaći pomoću formule:
odgovor: S=(e-1) kv. jedinica" 1,72 kv
Pažnja! Ove dvije vrste zadataka ne treba miješati:
1) Ako se od vas traži da jednostavno riješite određeni integral bez ikakvog geometrijsko značenje, onda može biti negativan.
2) Ako se od vas traži da pronađete površinu figure pomoću određenog integrala, tada je površina uvijek pozitivna! Zato se minus pojavljuje u formuli o kojoj smo upravo govorili.
U praksi se najčešće figura nalazi i u gornjoj i u donjoj poluravni.
sa) Pronađite površinu ravne figure ograničene linijama y=2x-x 2, y=-x.
Rješenje.
Prvo morate dovršiti crtež. Uopšteno govoreći, kada konstruišemo crtež u problemima oblasti, najviše nas zanimaju tačke preseka linija. Nađimo tačke preseka parabole i prave.To se može uraditi na dva načina. Prva metoda je analitička.
Rješavamo jednačinu:
To znači da je donja granica integracije a=0 , gornja granica integracije b=3 .
|
Zadate prave gradimo: 1. Parabola - vrh u tački (1;1); presek osovine Oh - bodova (0;0) i (0;2). 2. Prava - simetrala 2. i 4. koordinatnog ugla. A sada Pažnja! Ako na segmentu [ a;b] neka kontinuirana funkcija f(x) veće ili jednako nekom kontinuirana funkcija g(x), tada se površina odgovarajuće figure može pronaći pomoću formule: . I nije bitno gdje se figura nalazi - iznad ose ili ispod ose, već je bitno koji je graf VIŠI (u odnosu na drugi graf), a koji ISPOD. U primjeru koji se razmatra, očito je da se na segmentu parabola nalazi iznad prave linije, te je stoga potrebno oduzeti od |
Možete konstruisati linije tačku po tačku, a granice integracije postaju jasne „sama po sebi“. Ipak, analitička metoda pronalaženja granica se ponekad mora koristiti ako je, na primjer, graf dovoljno velik, ili detaljna konstrukcija nije otkrila granice integracije (mogu biti frakcijske ili iracionalne).
Željena figura ograničena je parabolom iznad i pravom linijom ispod.
Na segmentu, prema odgovarajućoj formuli:
odgovor: S =4,5 sq. jedinica
U prethodnom dijelu, posvećenom analizi geometrijskog značenja određenog integrala, dobili smo niz formula za izračunavanje površine krivolinijskog trapeza:
S (G) = ∫ a b f (x) d x za kontinuiranu i nenegativnu funkciju y = f (x) na intervalu [ a ; b ] ,
S (G) = - ∫ a b f (x) d x za kontinuiranu i nepozitivnu funkciju y = f (x) na intervalu [ a ; b ] .
Ove formule su primjenjive za rješavanje jednostavni zadaci. U stvarnosti, često ćemo morati da radimo sa složenijim figurama. S tim u vezi, ovaj dio ćemo posvetiti analizi algoritama za izračunavanje površine figura koje su ograničene funkcijama u eksplicitnom obliku, tj. kao y = f(x) ili x = g(y).
TeoremaNeka su funkcije y = f 1 (x) i y = f 2 (x) definirane i kontinuirane na intervalu [ a ; b ] , i f 1 (x) ≤ f 2 (x) za bilo koju vrijednost x iz [ a ; b ] . Tada će formula za izračunavanje površine figure G, ograničene linijama x = a, x = b, y = f 1 (x) i y = f 2 (x) izgledati kao S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x .
Slična formula će biti primenljiva za površinu figure ograničenu linijama y = c, y = d, x = g 1 (y) i x = g 2 (y): S (G) = ∫ c d ( g 2 (y) - g 1 (y) d y .
Dokaz
Pogledajmo tri slučaja za koja će formula vrijediti.
U prvom slučaju, uzimajući u obzir svojstvo aditivnosti površine, zbir površina originalne figure G i krivolinijskog trapeza G 1 jednak je površini figure G 2. To znači da
Dakle, S (G) = S (G 2) - S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) dx.
Posljednju tranziciju možemo izvesti koristeći treće svojstvo određenog integrala.
U drugom slučaju, jednakost je tačna: S (G) = S (G 2) + S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x + - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 ( x) - f 1 (x)) d x
Grafička ilustracija će izgledati ovako:
Ako su obe funkcije nepozitivne, dobijamo: S (G) = S (G 2) - S (G 1) = - ∫ a b f 2 (x) d x - - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) d x . Grafička ilustracija će izgledati ovako:
Idemo dalje na razmatranje opšteg slučaja kada y = f 1 (x) i y = f 2 (x) sijeku osu O x.
Tačke presjeka označavamo sa x i, i = 1, 2, . . . , n - 1 . Ove tačke dijele segment [a; b ] na n dijelova x i - 1 ; x i, i = 1, 2, . . . , n, gdje je α = x 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Фигуру G можно представить объединением фигур G i , i = 1 , 2 , . . . , n . Очевидно, что на своем интервале G i попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся как S (G i) = ∫ x i - 1 x i (f 2 (x) - f 1 (x)) d x , i = 1 , 2 , . . . , n
dakle,
S (G) = ∑ i = 1 n S (G i) = ∑ i = 1 n ∫ x i x i f 2 (x) - f 1 (x)) d x = = ∫ x 0 x n (f 2 (x) - f ( x)) d x = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x
Posljednju tranziciju možemo napraviti koristeći peto svojstvo određenog integrala.
Ilustrujmo opšti slučaj na grafu.
Formula S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x može se smatrati dokazanom.
Pređimo sada na analizu primjera izračunavanja površine figura koje su ograničene linijama y = f (x) i x = g (y).
Započet ćemo naše razmatranje bilo kojeg od primjera konstruiranjem grafa. Slika će nam omogućiti da složene oblike predstavimo kao spojeve jednostavnijih oblika. Ako vam je konstruisanje grafova i figura na njima teško, možete proučiti odeljak o osnovnim elementarnim funkcijama, geometrijskoj transformaciji grafova funkcija, kao i o konstruisanju grafova tokom proučavanja funkcije.
Primjer 1
Potrebno je odrediti površinu figure koja je ograničena parabolom y = - x 2 + 6 x - 5 i pravim linijama y = - 1 3 x - 1 2, x = 1, x = 4.
Rješenje
Nacrtajmo linije na grafu u Dekartovom koordinatnom sistemu.
Na segmentu [ 1 ; 4 ] grafik parabole y = - x 2 + 6 x - 5 nalazi se iznad prave linije y = - 1 3 x - 1 2. U tom smislu, da bismo dobili odgovor koristimo formulu dobijenu ranije, kao i metodu izračunavanja definitivnog integrala pomoću Newton-Leibnizove formule:
S (G) = ∫ 1 4 - x 2 + 6 x - 5 - - 1 3 x - 1 2 d x = = ∫ 1 4 - x 2 + 19 3 x - 9 2 d x = - 1 3 x 3 + 19 6 x 2 - 9 2 x 1 4 = = - 1 3 4 3 + 19 6 4 2 - 9 2 4 - - 1 3 1 3 + 19 6 1 2 - 9 2 1 = = - 64 3 + 152 3 - 18 + 1 3 - 19 6 + 9 2 = 13
Odgovor: S(G) = 13
Pogledajmo složeniji primjer.
Primjer 2
Potrebno je izračunati površinu figure koja je ograničena linijama y = x + 2, y = x, x = 7.
Rješenje
U ovom slučaju imamo samo jednu pravu liniju koja je paralelna sa x-osi. Ovo je x = 7. To od nas zahtijeva da sami pronađemo drugu granicu integracije.
Napravimo graf i nacrtajmo na njemu linije date u iskazu problema.
Imajući graf pred očima, lako možemo odrediti da će donja granica integracije biti apscisa tačke preseka grafika prave linije y = x i poluparabole y = x + 2. Da bismo pronašli apscisu koristimo jednakosti:
y = x + 2 O DZ: x ≥ - 2 x 2 = x + 2 2 x 2 - x - 2 = 0 D = (- 1) 2 - 4 1 (- 2) = 9 x 1 = 1 + 9 2 = 2 ∈ O DZ x 2 = 1 - 9 2 = - 1 ∉ O DZ
Ispada da je apscisa presječne tačke x = 2.
Skrećemo vam pažnju da u opšti primjer na crtežu se prave y = x + 2, y = x sijeku u tački (2; 2), pa ove detaljne kalkulacije može izgledati nepotrebno. Donijeli smo ovo ovdje detaljno rješenje samo zato što ih ima više teški slučajevi rješenje možda nije tako očigledno. To znači da je uvijek bolje analitički izračunati koordinate presjeka linija.
Na intervalu [ 2 ; 7] grafik funkcije y = x nalazi se iznad grafika funkcije y = x + 2. Primijenimo formulu za izračunavanje površine:
S (G) = ∫ 2 7 (x - x + 2) d x = x 2 2 - 2 3 · (x + 2) 3 2 2 7 = = 7 2 2 - 2 3 · (7 + 2) 3 2 - 2 2 2 - 2 3 2 + 2 3 2 = = 49 2 - 18 - 2 + 16 3 = 59 6
Odgovor: S (G) = 59 6
Primjer 3
Potrebno je izračunati površinu figure koja je ograničena grafovima funkcija y = 1 x i y = - x 2 + 4 x - 2.
Rješenje
Nacrtajmo linije na grafikonu.
Hajde da definišemo granice integracije. Da bismo to učinili, odredimo koordinate tačaka presjeka pravih izjednačavanjem izraza 1 x i - x 2 + 4 x - 2. Pod uslovom da x nije nula, jednakost 1 x = - x 2 + 4 x - 2 postaje ekvivalentna jednačini trećeg stepena - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 = 0 sa cjelobrojnim koeficijentima. Da biste osvježili vaše pamćenje algoritma za rješavanje ovakvih jednadžbi, možemo pogledati odjeljak “Rješavanje kubnih jednadžbi”.
Koren ove jednadžbe je x = 1: - 1 3 + 4 1 2 - 2 1 - 1 = 0.
Podijelimo izraz - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 binomom x - 1, dobijamo: - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 ⇔ - (x - 1) (x 2 - 3 x - 1) = 0
Preostale korijene možemo pronaći iz jednačine x 2 - 3 x - 1 = 0:
x 2 - 3 x - 1 = 0 D = (- 3) 2 - 4 · 1 · (- 1) = 13 x 1 = 3 + 13 2 ≈ 3 . 3; x 2 = 3 - 13 2 ≈ - 0 . 3
Našli smo interval x ∈ 1; 3 + 13 2, u kojem se lik G nalazi iznad plave i ispod crvene linije. Ovo nam pomaže da odredimo površinu figure:
S (G) = ∫ 1 3 + 13 2 - x 2 + 4 x - 2 - 1 x d x = - x 3 3 + 2 x 2 - 2 x - ln x 1 3 + 13 2 = = - 3 + 13 2 3 3 + 2 3 + 13 2 2 - 2 3 + 13 2 - ln 3 + 13 2 - - - 1 3 3 + 2 1 2 - 2 1 - ln 1 = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2
Odgovor: S (G) = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2
Primjer 4
Potrebno je izračunati površinu figure koja je ograničena krivuljama y = x 3, y = - log 2 x + 1 i osom apscise.
Rješenje
Nacrtajmo sve linije na graf. Graf funkcije y = - log 2 x + 1 možemo dobiti iz grafa y = log 2 x ako ga postavimo simetrično oko x-ose i pomaknemo za jednu jedinicu gore. Jednačina x-ose je y = 0.
Označimo tačke preseka pravih.
Kao što se vidi sa slike, grafovi funkcija y = x 3 i y = 0 seku se u tački (0; 0). Ovo se dešava zato što je x = 0 jedini pravi koren jednačine x 3 = 0.
x = 2 je jedini korijen jednadžbe - log 2 x + 1 = 0, pa se grafovi funkcija y = - log 2 x + 1 i y = 0 sijeku u tački (2; 0).
x = 1 je jedini korijen jednadžbe x 3 = - log 2 x + 1 . U tom smislu, grafovi funkcija y = x 3 i y = - log 2 x + 1 seku se u tački (1; 1). Posljednja izjava možda nije očigledna, ali jednačina x 3 = - log 2 x + 1 ne može imati više od jednog korijena, jer je funkcija y = x 3 striktno rastuća, a funkcija y = - log 2 x + 1 je striktno opadajuće.
Dalje rješenje uključuje nekoliko opcija.
Opcija #1
Možemo zamisliti figuru G kao zbir dva krivolinijska trapeza smještena iznad x-ose, od kojih se prvi nalazi ispod srednja linija na segmentu x ∈ 0; 1, a drugi je ispod crvene linije na segmentu x ∈ 1; 2. To znači da će površina biti jednaka S (G) = ∫ 0 1 x 3 d x + ∫ 1 2 (- log 2 x + 1) d x .
Opcija br. 2
Slika G se može predstaviti kao razlika dvije figure, od kojih se prva nalazi iznad x-ose i ispod plave linije na segmentu x ∈ 0; 2, a druga između crvene i plave linije na segmentu x ∈ 1; 2. To nam omogućava da pronađemo područje na sljedeći način:
S (G) = ∫ 0 2 x 3 d x - ∫ 1 2 x 3 - (- log 2 x + 1) d x
U ovom slučaju, da biste pronašli površinu morat ćete koristiti formulu oblika S (G) = ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y)) d y. U stvari, linije koje ograničavaju figuru mogu se predstaviti kao funkcije argumenta y.
Riješimo jednadžbe y = x 3 i - log 2 x + 1 u odnosu na x:
y = x 3 ⇒ x = y 3 y = - log 2 x + 1 ⇒ log 2 x = 1 - y ⇒ x = 2 1 - y
Dobijamo potrebnu površinu:
S (G) = ∫ 0 1 (2 1 - y - y 3) d y = - 2 1 - y ln 2 - y 4 4 0 1 = = - 2 1 - 1 ln 2 - 1 4 4 - - 2 1 - 0 ln 2 - 0 4 4 = - 1 ln 2 - 1 4 + 2 ln 2 = 1 ln 2 - 1 4
Odgovor: S (G) = 1 ln 2 - 1 4
Primjer 5
Potrebno je izračunati površinu figure koja je ograničena linijama y = x, y = 2 3 x - 3, y = - 1 2 x + 4.
Rješenje
Na grafikonu ćemo nacrtati liniju crvenom linijom, dato funkcijom y = x. Plavom bojom nacrtamo liniju y = - 1 2 x + 4, a crnom liniju y = 2 3 x - 3.
Označimo tačke ukrštanja.
Nađimo točke presjeka grafova funkcija y = x i y = - 1 2 x + 4:
x = - 1 2 x + 4 O DZ: x ≥ 0 x = - 1 2 x + 4 2 ⇒ x = 1 4 x 2 - 4 x + 16 ⇔ x 2 - 20 x + 64 = 0 D = (- 20 ) 2 - 4 1 64 = 144 x 1 = 20 + 144 2 = 16 ; x 2 = 20 - 144 2 = 4 Provjerite: x 1 = 16 = 4, - 1 2 x 1 + 4 = - 1 2 16 + 4 = - 4 ⇒ x 1 = 16 nije rješenje jednadžbe x 2 = 4 = 2, - 1 2 x 2 + 4 = - 1 2 4 + 4 = 2 ⇒ x 2 = 4 je rješenje jednadžbe ⇒ (4; 2) presječna tačka i y = x i y = - 1 2 x + 4
Nađimo točku presjeka grafova funkcija y = x i y = 2 3 x - 3:
x = 2 3 x - 3 O DZ: x ≥ 0 x = 2 3 x - 3 2 ⇔ x = 4 9 x 2 - 4 x + 9 ⇔ 4 x 2 - 45 x + 81 = 0 D = (- 45 ) 2 - 4 4 81 = 729 x 1 = 45 + 729 8 = 9, x 2 45 - 729 8 = 9 4 Provjerite: x 1 = 9 = 3, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 - 3 = 3 ⇒ x 1 = 9 je rješenje jednadžbe ⇒ (9 ; 3) tačka a s y = x i y = 2 3 x - 3 x 2 = 9 4 = 3 2, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 4 - 3 = - 3 2 ⇒ x 2 = 9 4 Ne postoji rješenje jednačine
Nađimo točku presjeka pravih y = - 1 2 x + 4 i y = 2 3 x - 3:
1 2 x + 4 = 2 3 x - 3 ⇔ - 3 x + 24 = 4 x - 18 ⇔ 7 x = 42 ⇔ x = 6 - 1 2 6 + 4 = 2 3 6 - 3 = 1 ⇒ (6 ; 1 ) tačka presjeka y = - 1 2 x + 4 i y = 2 3 x - 3
Metoda br. 1
Zamislimo površinu željene figure kao zbir površina pojedinih figura.
Tada je površina figure:
S (G) = ∫ 4 6 x - - 1 2 x + 4 d x + ∫ 6 9 x - 2 3 x - 3 d x = = 2 3 x 3 2 + x 2 4 - 4 x 4 6 + 2 3 x 3 2 - x 2 3 + 3 x 6 9 = = 2 3 6 3 2 + 6 2 4 - 4 6 - 2 3 4 3 2 + 4 2 4 - 4 4 + + 2 3 9 3 2 - 9 2 3 + 3 9 - 2 3 6 3 2 - 6 2 3 + 3 6 = = - 25 3 + 4 6 + - 4 6 + 12 = 11 3
Metoda br. 2
Površina originalne figure može se predstaviti kao zbir dvije druge figure.
Zatim rješavamo jednadžbu linije u odnosu na x, a tek nakon toga primjenjujemo formulu za izračunavanje površine figure.
y = x ⇒ x = y 2 crvena linija y = 2 3 x - 3 ⇒ x = 3 2 y + 9 2 crna linija y = - 1 2 x + 4 ⇒ x = - 2 y + 8 s i n i a l i n e
Dakle, područje je:
S (G) = ∫ 1 2 3 2 y + 9 2 - - 2 y + 8 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = ∫ 1 2 7 2 y - 7 2 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = 7 4 y 2 - 7 4 y 1 2 + - y 3 3 + 3 y 2 4 + 9 2 y 2 3 = 7 4 2 2 - 7 4 2 - 7 4 1 2 - 7 4 1 + + - 3 3 3 + 3 3 2 4 + 9 2 3 - - 2 3 3 + 3 2 2 4 + 9 2 2 = = 7 4 + 23 12 = 11 3
Kao što vidite, vrijednosti su iste.
Odgovor: S (G) = 11 3
Rezultati
Da biste pronašli područje figure koja je ograničena date linije trebamo konstruirati prave na ravni, pronaći njihove točke presjeka i primijeniti formulu da pronađemo površinu. U ovom dijelu smo ispitali najčešće varijante zadataka.
Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter
