Lekcija iz serije “ Geometrijski algoritmi»

Zdravo dragi čitaoče.

Rješenje mnogih problema u računarskoj geometriji zasniva se na pronalaženju područje poligona. U ovoj lekciji ćemo izvesti formulu za izračunavanje površine poligona kroz koordinate njegovih vrhova i napisati funkciju za izračunavanje ove površine.

Zadatak. Izračunajte površinu poligona, dat koordinatama njegovih vrhova, po redoslijedu njihovog obilaska u smjeru kazaljke na satu.

Insights from Computational Geometry

Da bismo izveli formulu za površinu poligona, potrebne su nam informacije iz računske geometrije, odnosno koncept orijentirane površine trokuta.

Orijentirana površina trokuta je obična površina opremljena znakom. Znak orijentirane površine trokuta ABC isto kao i orijentisani ugao između vektora i . To jest, njegov predznak zavisi od redosleda po kojem su vrhovi navedeni.

On pirinač. 1 trougao ABC– pravougaoni. Njegova orijentisana površina je jednaka (veća je od nule, pošto je par pozitivno orijentisan). Ista vrijednost može se izračunati i na drugi način.

Neka O– proizvoljna tačka ravni. Na našoj slici područje trougao ABC dobijeno oduzimanjem površina OAB i OCA od površine trokuta OBC. Tako da ti samo treba dodajte orijentisana područja trouglovi OAB, OBC i OCA. Ovo pravilo radi za bilo koju tačku O.

Slično tome, da biste izračunali površinu bilo kojeg poligona, morate zbrojiti orijentirane površine trokuta

Zbir će biti površina poligona, uzeta sa znakom plus ako je pri prelasku poligona poligon lijevo (prelazak granice u smjeru suprotnom od kazaljke na satu), a sa znakom minus ako je desno ( pomicanje u smjeru kazaljke na satu).

Dakle, izračunavanje površine poligona svodi se na pronalaženje površine trokuta. Hajde da vidimo kako to izraziti u koordinatama.

Vector artwork dva vektora na ravni je površina paralelograma konstruisanog na ovim vektorima.

Unakrsni proizvod izražen u vektorskim koordinatama:

Površina trokuta će biti jednaka polovini ove površine:

Zgodno je uzeti početak koordinata kao tačku O, tada će se koordinate vektora na osnovu kojih se izračunavaju orijentirane površine poklapati s koordinatama tačaka.

Neka (x 1, y 1), (x 2, y 2), ..., (x N, y N) - koordinate vrhova datog poligona u smjeru kretanja kazaljke na satu ili suprotnom od kazaljke na satu. Tada će njegova orijentirana površina S biti jednaka:

Ovo je naše radna formula, koristi se u našem programu.

Ako su koordinate vrhova navedene u smjeru suprotnom od kazaljke na satu, tada je broj S, izračunato pomoću ove formule će biti pozitivno. U suprotnom će biti negativan, i dobiti uobičajeno geometrijsko područje moramo uzeti njegovu apsolutnu vrijednost.

Dakle, razmotrimo program za pronalaženje površine poligona zadanog koordinatama vrhova.

Program geom6; Konst n_max=200; (maksimalni broj bodova+1) tip b=zapis x,y:real; kraj; myArray= niz b; var input:text; A:myArray; s:real; i,n:ceo broj; procedura ZapMas(var n:integer; var A:myArray); (Popunjavanje niza) begin assign(input,"input.pas"); reset (ulaz); readln(ulaz, n); za i:=1 do n do read(input, a[i].x,a[i].y); zatvori (unos); kraj; funkcija Kvadrat (A:myarray): realna; (Izračunavanje površine poligona) var i:integer; S: pravi; započeti a.x:=a.x; a.y:=a.y; s:=0; za i:=1 do n do s:= s + (a[i].x*a.y - a[i].y*a.x); s:=abs(s/2); Kvadrat:= S kraj; (Kvadrat) begin (glavni) Zapmas(n, a); PrintMas(a); S:= Kvadrat(a); writeln("S= ",s:6:2); kraj.

Koordinate vrhova se čitaju iz datoteke input.pas., pohranjene u nizu A kao zapisi sa dva polja. Radi lakšeg prelaska poligona, u niz se uvodi n+1 elemenata čija je vrijednost jednaka vrijednosti prvog elementa niza.

Ulazni podaci:
5
0.6 2.1 1.8 3.6 2.2 2.3 3.6 2.4 3.1 0.5

Izlaz:
S= 3,91

Riješili smo problem pronalaženja površine poligona iz koordinata njegovih vrhova. Zadaci postaju sve teži. Ako imate komentare na ovaj članak ili prijedloge, pišite u komentarima. Biću veoma zahvalan na saradnji.

Vidimo se na sledećoj lekciji.

U ovom članku ćemo govoriti o tome kako izraziti površinu poligona u koji se može upisati krug, kroz polumjer ovog kruga. Vrijedi odmah napomenuti da svaki poligon ne može stati u krug. Međutim, ako je to moguće, onda formula po kojoj se izračunava površina takvog poligona postaje vrlo jednostavna. Pročitajte ovaj članak do kraja ili pogledajte priloženi video tutorijal i naučit ćete kako izraziti površinu poligona u smislu radijusa upisane kružnice.

Formula za površinu poligona u smislu polumjera upisane kružnice

Nacrtajmo poligon A 1 A 2 A 3 A 4 A 5, nije nužno tačna, ali ona u koju se može upisati krug. Da vas podsjetim da je upisan krug krug koji dodiruje sve strane poligona. Na slici je to zeleni krug sa centrom u tački O:

Uzeli smo 5-gon kao primjer ovdje. Ali u stvari, to nije od velike važnosti, budući da dalji dokaz vrijedi i za 6-ugao i za 8-ugao, i općenito za bilo koji proizvoljni "kut".

Ako središte upisane kružnice povežete sa svim vrhovima poligona, tada će on biti podijeljen na onoliko trokuta koliko ima vrhova u datom poligonu. U našem slučaju: za 5 trokuta. Ako povežemo tačku O sa svim tačkama dodira upisane kružnice sa stranicama poligona, onda dobijete 5 segmenata (na slici ispod ovo su segmenti OH 1 , OH 2 , OH 3 , OH 4 i OH 5), koji su jednaki poluprečniku kružnice i okomiti na stranice poligona na koji su povučeni. Potonje je tačno, budući da je polumjer povučen do točke kontakta okomit na tangentu:

Kako pronaći površinu našeg opisanog poligona? Odgovor je jednostavan. Morate sabrati površine svih rezultirajućih trokuta:

Razmotrimo kolika je površina trougla. Na slici ispod je istaknuto žutom bojom:

Jednaka je polovini proizvoda baze A 1 A 2 do visine OH 1, privučen ovoj bazi. Ali, kao što smo već saznali, ova visina je jednaka polumjeru upisane kružnice. Odnosno, formula za površinu trokuta ima oblik: , Gdje r— poluprečnik upisane kružnice. Površine svih preostalih trouglova nalaze se na sličan način. Kao rezultat, potrebna površina poligona je jednaka:

Vidi se da u svim terminima ove sume postoji zajednički faktor koji se može izvaditi iz zagrada. Rezultat će biti sljedeći izraz:

To jest, ono što ostaje u zagradama je jednostavno zbir svih strana poligona, odnosno njegovog perimetra P. Najčešće se u ovoj formuli izraz jednostavno zamjenjuje sa str i to slovo zovu “poluperimetar”. Kao rezultat, konačna formula poprima oblik:

To jest, površina poligona u koji je upisan krug poznatog radijusa jednaka je proizvodu ovog poluprečnika i poluperimetra poligona. Ovo je rezultat kojem smo težili.

Na kraju će primijetiti da se kružnica uvijek može upisati u trokut, što je poseban slučaj poligona. Stoga se za trokut uvijek može primijeniti ova formula. Za druge poligone s više od 3 strane, prvo morate biti sigurni da se u njih može upisati krug. Ako je tako, možete bezbedno koristiti ovo jednostavna formula i koristite ga da pronađete površinu ovog poligona.

Materijal pripremio Sergej Valerijevič

1.1 Proračun površina u antičko doba

1.2 Različiti pristupi proučavanju pojmova „područje“, „poligon“, „područje poligona“

1.2.1 Koncept područja. Area Properties

1.2.2 Koncept poligona

1.2.3 Koncept površine poligona. Deskriptivna definicija

1.3 Različite formule za površine poligona

1.4 Izvođenje formula za površine poligona

1.4.1 Površina trougla. Heronova formula

1.4.2 Površina pravougaonika

1.4.3 Površina trapeza

1.4.4 Površina četvorougla

1.4.5 Univerzalna formula

1.4.6 Površina n-ugla

1.4.7 Izračunavanje površine poligona iz koordinata njegovih vrhova

1.4.8 Pikova formula

1.5 Pitagorina teorema o zbiru površina kvadrata izgrađenih na nogama pravougaonog trougla

1.6 Ravnopravan raspored trouglova. Bolyay-Gerwin teorema

1.7 Omjer površina sličnih trouglova

1.8 Slike sa najvećom površinom

1.8.1 Trapez ili pravougaonik

1.8.2 Izvanredno svojstvo trga

1.8.3 Sekcije drugih oblika

1.8.4 Trougao najveće površine

Poglavlje 2. Metodičke karakteristike proučavanja površina poligona u nastavi matematike

2.1 Tematsko planiranje i karakteristike nastave u odeljenjima sa detaljnim proučavanjem matematike

2.2 Metodologija izvođenja nastave

2.3 Rezultati eksperimentalnog rada

Zaključak

Književnost

Uvod

Tema “Površine poligona” je sastavni dio školski kurs matematike, što je sasvim prirodno. Uostalom, povijesno je sama pojava geometrije povezana s potrebom za upoređivanjem zemljišnih parcela jednog ili drugog oblika. Međutim, treba napomenuti da su obrazovne mogućnosti za pokrivanje ove teme u srednja škola su daleko od potpunog korišćenja.

Osnovni zadatak nastave matematike u školi je da se učenicima obezbijedi snažno i svjesno ovladavanje sistemom matematičkih znanja i vještina potrebnih u Svakodnevni život I radna aktivnost svaki član modernog društva dovoljno za izučavanje srodnih disciplina i nastavak obrazovanja.

Uz rješavanje glavnog problema, dubinsko izučavanje matematike podrazumijeva formiranje kod učenika održivog interesovanja za predmet, prepoznavanje i razvijanje njihovog matematičke sposobnosti, orijentacija na zanimanja značajno vezana za matematiku, priprema za studiranje na fakultetu.

Kvalifikacioni rad obuhvata sadržaj kursa matematike srednja škola i brojna dodatna pitanja koja su direktno uz ovaj kurs i produbljuju ga duž glavnih ideoloških linija.

Uključivanje dodatnih pitanja ima dvije međusobno povezane svrhe. S jedne strane, ovo je stvaranje, u sprezi sa glavnim dijelovima predmeta, osnove za zadovoljavanje interesovanja i razvoj sposobnosti učenika sa sklonostima matematici, s druge strane, ispunjavanje sadržajne praznine glavnog jela, dajući sadržaj dubinska studija neophodnog integriteta.

Kvalifikacioni rad se sastoji od uvoda, dva poglavlja, zaključka i citirane literature. Prvo poglavlje razmatra teorijske osnove proučavanja površina poligona, a drugo poglavlje direktno se bavi metodološke karakteristike oblasti studiranja.

Poglavlje 1. Teorijska osnova proučavanje površina poligona

1.1 Proračun površina u antičko doba

Počeci geometrijskog znanja vezanog za mjerenje površina gube se u dubinama hiljadama godina.

Još prije 4-5 hiljada godina, Babilonci su mogli odrediti površinu pravokutnika i trapeza u kvadratne jedinice. Kvadrat je dugo služio kao standard za mjerenje površina zbog svojih brojnih izvanrednih svojstava: jednakih stranica, jednakih i pravih uglova, simetrije i općeg savršenstva oblika. Kvadrati se lako konstruišu ili možete ispuniti ravan bez praznina.

IN drevne Kine Mjera površine bila je pravougaonik. Kada su zidari određivali površinu pravokutnog zida kuće, množili su visinu i širinu zida. Ovo je definicija prihvaćena u geometriji: površina pravokutnika jednaka je proizvodu njegovih susjednih stranica. Obje ove strane moraju biti izražene u istim linearnim jedinicama. Njihov proizvod će biti površina pravougaonika, izražena u odgovarajućim kvadratnim jedinicama. Recimo, ako se visina i širina zida mjere u decimetrima, onda će proizvod oba mjerenja biti izražen u kvadratnim decimetrima. A ako je površina svake obložene splavi kvadratni decimetar, tada će rezultirajući proizvod ukazati na broj pločica potrebnih za oblaganje. Ovo proizilazi iz tvrdnje na kojoj se temelji mjerenje površina: površina figure sastavljene od figura koje se ne sijeku jednaka je zbroju njihovih površina.

Stari Egipćani prije 4000 godina koristili su gotovo iste tehnike kao i mi za mjerenje površine pravokutnika, trokuta i trapeza: osnova trokuta je podijeljena na pola i pomnožena visinom; za trapez, zbir paralelnih stranica je podijeljen na pola i pomnožen sa visinom, itd. Za izračunavanje površine

četverokut sa stranicama (slika 1.1), korištena je formula (1.1).

one. Polovične sume suprotnih strana su pomnožene.

Ova formula je očigledno netačna za bilo koji četvorougao; posebno sledi da su površine svih rombova iste. U međuvremenu, očigledno je da površine takvih rombova zavise od veličine uglova na vrhovima. Ova formula vrijedi samo za pravougaonik. Uz njegovu pomoć možete približno izračunati površinu četverokuta čiji su uglovi blizu pravih uglova.

Za određivanje područja

jednakokraki trougao(Slika 1.2), u kojoj su Egipćani koristili približnu formulu:
(1.2) Sl. 1.2 Greška napravljena u ovom slučaju je manja, što je manja razlika između strane i visine trokuta, drugim riječima, što je bliži vrh (i ) bazi visine od . Zato je približna formula (1.2) primenljiva samo za trouglove sa relativno malim uglom na vrhu.

Ali već su stari Grci znali kako ispravno pronaći područja poligona. U svojim Elementima, Euklid ne koristi riječ "oblast", jer pod samom riječju "figura" razumije dio ravni omeđen jednom ili drugom zatvorenom linijom. Euklid ne izražava rezultat mjerenja površine brojem, već međusobno uspoređuje površine različitih figura.

Kao i drugi drevni naučnici, Euklid se bavi transformacijom nekih figura u druge jednake veličine. Površina kompozitne figure neće se promijeniti ako su njeni dijelovi raspoređeni drugačije, ali bez presijecanja. Stoga je, na primjer, moguće, na osnovu formula za površinu pravokutnika, pronaći formule za površine drugih figura. Dakle, trokut je podijeljen na dijelove od kojih se može formirati pravougaonik jednake veličine. Iz ove konstrukcije slijedi da je površina trokuta jednaka polovini umnoška njegove osnove i visine. Pribjegavajući takvom recutu, otkrivaju da je površina paralelograma jednaka umnošku osnove i visine, a površina trapeza je proizvod polovine zbira osnovica i visine .

Kada zidari moraju popločati zid složene konfiguracije, oni mogu odrediti površinu zida prebrojavanjem broja pločica koje se koriste za oblaganje. Neke će pločice, naravno, morati biti usitnjene tako da se rubovi obloge podudaraju s rubom zida. Broj svih pločica korišćenih u radu procenjuje površinu zida sa viškom, a broj nerazbijenih pločica – sa nedostatkom. Kako se veličina ćelija smanjuje, količina otpada se smanjuje, a površina zida, određena brojem pločica, sve se preciznije izračunava.

Jedan od kasnijih grčkih matematičara i enciklopedista, čiji su radovi uglavnom bili primenjene prirode, bio je Heron Aleksandrijski, koji je živeo u 1. veku. n. e. Kao izvanredan inženjer, zvali su ga i "Čaplja mehaničar". U svom djelu "Dioptrija" Heron opisuje različite mašine i praktične mjerne instrumente.

Jedna od Heronovih knjiga zvala se "Geometrija" i predstavlja svojevrsnu zbirku formula i odgovarajućih problema. Sadrži primjere za izračunavanje površina kvadrata, pravokutnika i trokuta. O pronalaženju površine trokuta na osnovu njegovih stranica, Heron piše: „Neka, na primjer, jedna strana trokuta ima dužinu od 13 mjernih užadi, druga 14, a treća 15. Da biste pronašli površinu, nastavite kao što slijedi. Dodajte 13, 14 i 15; to će biti 42. Polovina ovoga će biti 21. Oduzmite od ovoga tri strane jednu po jednu; prvo oduzmite 13 - ostaje vam 8, zatim 14 - ostaje vam 7, i na kraju 15 - ostaje vam 6. Sada ih pomnožite: 21 puta 8 daje 168, uzmite ovo 7 puta - dobijete 1176, i uzmite ovo još 6 puta - dobićete 7056. Odavde Kvadratni korijen bit će 84. Toliko će biti mjernih kablova u području trougla.”

Pretvarač jedinica udaljenosti i dužine Pretvarač jedinica površine Pridružite nam se © 2011-2017 Dovzhik Mikhail Kopiranje materijala je zabranjeno. U online kalkulatoru možete koristiti vrijednosti u istim mjernim jedinicama! Ako imate poteškoća s pretvaranjem mjernih jedinica, koristite konvertor jedinica za udaljenost i dužinu i konvertor jedinica za površinu. Dodatne mogućnosti kalkulatora kvadratne površine

• Možete se kretati između polja za unos pritiskom na tipke “desno” i “lijevo” na tastaturi.

Teorija. Površina četverougla Četvorokut je geometrijska figura koja se sastoji od četiri tačke (vrhova), od kojih tri ne leže na istoj pravoj liniji, i četiri segmenta (stranice) koje povezuju ove tačke u paru. Četvorougao se naziva konveksan ako se unutar njega nalazi segment koji spaja bilo koje dvije točke ovog četverougla.

Kako saznati površinu poligona?

Formula za određivanje površine se određuje uzimanjem svake ivice poligona AB, i izračunavanjem površine trokuta ABO sa vrhom u početku O, preko koordinata vrhova. Prilikom hodanja oko poligona formiraju se trouglovi koji uključuju unutrašnjost poligona i one koji se nalaze izvan njega. Razlika između zbira ovih površina je površina samog poligona.

Stoga se formula naziva geodetskom formulom, budući da se "kartograf" nalazi na početku; ako obiđe područje u smjeru suprotnom od kazaljke na satu, površina se dodaje ako je lijevo i oduzima se ako je desno sa stanovišta ishodišta. Formula površine vrijedi za bilo koji samodisjunktan (jednostavan) poligon, koji može biti konveksan ili konkavan. Sadržaj

• 1 Definicija
• 2 Primjera
• 3 Složeniji primjer
• 4 Objašnjenje imena
• 5 Vidi

Površina poligona

Pažnja

To može biti:

• trokut;
• četverougao;
• pentagon ili heksagon i tako dalje.

Takvu figuru svakako će karakterizirati dvije pozicije:

1. Susedne strane ne pripadaju istoj pravoj liniji.
2. Nesusedni nemaju zajedničkih tačaka, odnosno ne seku se.

Da biste razumjeli koji su vrhovi susjedni, morat ćete vidjeti da li pripadaju istoj strani. Ako da, onda susjedne. Inače se mogu povezati segmentom, koji se mora nazvati dijagonalom. Mogu se izvesti samo u poligonima koji imaju više od tri vrha.

Koje vrste njih postoje? Poligon sa više od četiri ugla može biti konveksan ili konkavan. Razlika između potonjeg je u tome što neki od njegovih vrhova mogu ležati duž različite strane od prave linije povučene kroz proizvoljnu stranu poligona.

Kako pronaći površinu pravilnog i nepravilnog šesterokuta?

• Znajući dužinu stranice, pomnožite je sa 6 i dobijete obim šesterokuta: 10 cm x 6 = 60 cm
• Zamijenimo dobivene rezultate u našu formulu:
Površina = 1/2*perimetar*apotema Površina = ½*60cm*5√3 Riješi: Sada ostaje da pojednostavimo odgovor da bismo se riješili kvadratni korijeni, i navedite rezultat dobiven u kvadratnim centimetrima: ½ * 60 cm * 5√3 cm =30 * 5√3 cm =150 √3 cm =259,8 cm² Video o tome kako pronaći površinu pravilnog šesterokuta Postoji nekoliko opcije za određivanje površine nepravilnog šesterokuta:

• Trapezoidna metoda.
• Metoda za izračunavanje površine nepravilnih poligona pomoću koordinatne ose.
• Metoda za razbijanje šesterokuta u druge oblike.

Ovisno o početnim podacima koje poznajete, odabire se odgovarajuća metoda.

Bitan

Neki nepravilni šestouglovi sastoje se od dva paralelograma. Da biste odredili površinu paralelograma, pomnožite njegovu dužinu sa širinom, a zatim dodajte dvije već poznate površine. Video o tome kako pronaći površinu poligona Jednakostranični šesterokut ima šest jednakih stranica i pravilan je šesterokut.

Površina jednakostraničnog šesterokuta jednaka je 6 površina trokuta na koje je podijeljena pravilna šesterokutna figura. Svi trouglovi u šesterokutu ispravan oblik su jednake, dakle, da biste pronašli površinu takvog šesterokuta, dovoljno je znati površinu barem jednog trokuta. Da bismo pronašli površinu jednakostraničnog šesterokuta, koristimo, naravno, formulu za površinu pravilnog šesterokuta opisanu gore.

404 nije pronađeno

Uređenje doma, odjeća i crtanje slika doprinijeli su procesu formiranja i gomilanja informacija iz oblasti geometrije, do kojih su ljudi tog vremena dolazili empirijski, malo po malo, i prenosili s generacije na generaciju. Danas je poznavanje geometrije neophodno i za rezača, i za graditelja, i za arhitektu, i za sve običnom čoveku kod kuce. Stoga morate naučiti izračunati površinu razne figure, i zapamtite da svaka od formula može biti korisna kasnije u praksi, uključujući formulu za pravilan šesterokut.
Šestougao je poligonalna figura čiji je ukupan broj uglova šest. Pravilan šestougao je šestougaona figura koja ima jednake stranice. Uglovi pravilnog šestougla su takođe jednaki jedan drugom.
U svakodnevnom životu često možemo naići na predmete koji imaju oblik pravilnog šesterokuta.

Kalkulator površine nepravilnog poligona po stranama

Trebaće ti

• - rulet;
• — elektronski daljinomjer;
• - list papira i olovka;
• - kalkulator.

Uputstvo 1 Ako vam je potrebno ukupna površina stan ili zasebnu sobu, samo procitajte tehnicki pasoš za stan ili kucu, on pokazuje snimak svake sobe i ukupnu snimku stana. 2 Da biste izmjerili površinu pravokutne ili kvadratne prostorije, uzmite mjernu traku ili elektronski daljinomjer i izmjerite dužinu zidova. Prilikom mjerenja udaljenosti daljinomjerom, vodite računa da smjer zraka bude okomit, inače rezultati mjerenja mogu biti izobličeni. 3 Zatim pomnožite rezultujuću dužinu (u metrima) sobe sa širinom (u metrima). Dobivena vrijednost će biti površina poda, mjeri se u kvadratnim metrima.

Formula Gausove površine

Ako trebate izračunati površinu poda više od složen dizajn Na primjer, peterokutnu sobu ili sobu s okruglim lukom, nacrtajte skicu na komadu papira. Onda podijelite složenog oblika u nekoliko jednostavnih, na primjer, u kvadrat i trokut ili pravougaonik i polukrug. Koristeći mjernu traku ili daljinomjer, izmjerite veličinu svih strana rezultirajućih figura (za krug morate znati promjer) i zabilježite rezultate na svom crtežu.

5 Sada izračunajte površinu svake figure posebno. Izračunajte površinu pravokutnika i kvadrata množenjem stranica. Da biste izračunali površinu kruga, podijelite promjer na pola i kvadratirajte ga (pomnožite ga sam po sebi), a zatim pomnožite rezultirajuću vrijednost sa 3,14.
Ako vam treba samo pola kruga, podijelite rezultirajuću površinu na pola. Da biste izračunali površinu trokuta, pronađite P tako što ćete podijeliti zbir svih strana sa 2.

Formula za izračunavanje površine nepravilnog poligona

Ako su tačke numerisane uzastopno u smeru suprotnom od kazaljke na satu, tada su determinante u gornjoj formuli pozitivne i modul u njoj se može izostaviti; ako su numerisane u smeru kazaljke na satu, determinante će biti negativne. To je zato što se formula može zamisliti kao poseban slučaj Greenova teorema. Da biste primijenili formulu, morate znati koordinate vrhova poligona u kartezijskoj ravni.

Na primjer, uzmimo trokut sa koordinatama ((2, 1), (4, 5), (7, 8)). Uzmimo prvu x-koordinatu prvog vrha i pomnožimo je sa y-koordinatom drugog vrha, a zatim pomnožimo x-koordinatu drugog vrha sa y-koordinatom trećeg. Ponovimo ovaj postupak za sve vrhove. Rezultat se može odrediti sljedećom formulom: A tri.

Formula za izračunavanje površine nepravilnog četvorougla

A) _(\text(tri.))=(1 \preko 2)|x_(1)y_(2)+x_(2)y_(3)+x_(3)y_(1)-x_(2) y_(1)-x_(3)y_(2)-x_(1)y_(3)|) gdje xi i yi označavaju odgovarajuću koordinatu. Ova formula se može dobiti otvaranjem zagrada u opštoj formuli za slučaj n = 3. Koristeći ovu formulu, možete pronaći da je površina trokuta jednaka polovini zbroja 10 + 32 + 7 − 4 − 35 − 16, što daje 3. Broj varijabli u formuli ovisi o broju stranica poligona. Na primjer, formula za površinu pentagona koristila bi varijable do x5 i y5: pent. = 1 2 | x 1 y 2 + x 2 y 3 + x 3 y 4 + x 4 y 5 + x 5 y 1 − x 2 y 1 − x 3 y 2 − x 4 y 3 − x 5 y 4 − x 1 y 5 | (\displaystyle \mathbf (A) _(\text(pent.))=(1 \preko 2)|x_(1)y_(2)+x_(2)y_(3)+x_(3)y_(4 )+x_(4)y_(5)+x_(5)y_(1)-x_(2)y_(1)-x_(3)y_(2)-x_(4)y_(3)-x_(5 )y_(4)-x_(1)y_(5)|) A za četvorougao - varijable do x4 i y4: A quad.

Poligon je ravna ili konveksna figura koja se sastoji od pravih linija koje se seku (više od 3) i oblika veliki broj tačke preseka linija. Drugi poligon se može definirati kao isprekidana linija koja se zatvara. Na drugi način, tačke preseka se mogu nazvati vrhovima figure. U zavisnosti od broja vrhova, figura se može nazvati petougao, šestougao i tako dalje. Ugao poligona je ugao koji formiraju strane koje se sastaju u jednom vrhu. Ugao je unutar poligona. Štaviše, uglovi mogu biti različiti, do 180 stepeni. Postoje i vanjski uglovi, koji se obično nalaze uz unutrašnji.

Prave linije koje se kasnije sijeku nazivaju se stranice poligona. Mogu biti susjedni, susjedni ili nesusjedni. Predstavljena je vrlo važna karakteristika geometrijska figura je da se njegove nesusjedne strane ne sijeku, pa stoga i nemaju zajedničke tačke. Susedne strane figure ne mogu biti na istoj pravoj liniji.

Oni vrhovi figure koji pripadaju istoj pravoj mogu se nazvati susjednim. Ako povučete liniju između dva vrha koji nisu susjedni, dobit ćete dijagonalu poligona. Što se tiče površine figure, to je unutrašnji dio ravnine geometrijske figure s velikim brojem vrhova, koji je stvoren od strane poligonskih segmenata koji ga dijele.

Ne postoji jedinstveno rješenje za određivanje površine prikazane geometrijske figure, jer može postojati beskonačan broj varijanti figure i za svaku varijantu postoji svoje rješenje. Međutim, još uvijek treba razmotriti neke od najčešćih opcija za pronalaženje površine figure (najčešće se koriste u praksi i čak su uključene u školski kurikulum).

Prije svega, razmotrimo pravilan poligon, odnosno figuru u kojoj su svi uglovi formirani jednakim stranicama također jednaki. Dakle, kako pronaći površinu poligona u konkretnom primjeru? U ovom slučaju, pronalaženje površine poligonalne figure moguće je ako je dat polumjer kružnice upisane u figuru ili opisane oko nje. Da biste to učinili, možete koristiti sljedeću formulu:

S = ½∙P∙r, gdje je r polumjer kružnice (upisane ili opisane), a P je obim geometrijske poligonalne figure, koji se može naći množenjem broja strana figure njihovom dužinom.

Kako pronaći površinu poligona

Da biste odgovorili na pitanje kako pronaći površinu poligona, dovoljno je slijediti sljedeće zanimljivo svojstvo poligonalne figure, koje je svojevremeno otkrio poznati austrijski matematičar Georg Pieck. Na primjer, koristeći formulu S = N + M/2 -1, možete pronaći površinu poligona čiji se vrhovi nalaze na čvorovima kvadratne mreže. U ovom slučaju, S je, prema tome, površina; N – broj kvadratnih čvorova mreže koji se nalaze unutar figure sa mnogo uglova; M je broj onih čvorova kvadratne mreže koji se nalaze na vrhovima i stranicama poligona. Međutim, uprkos svojoj ljepoti, Pickova formula se praktički ne koristi u praktičnoj geometriji.

Najjednostavniji i najpoznatiji metod za određivanje površine, koji se izučava u školi, je podjela poligonalne geometrijske figure na jednostavnije dijelove (trapeze, pravokutnike, trokute). Pronalaženje površine ovih figura nije teško. U ovom slučaju, površina poligona se određuje jednostavno: morate pronaći površine svih onih figura na koje je poligon podijeljen.

U osnovi, definicija površine poligona se određuje u mehanici (dimenzija dijelova).