Izvod eksponenta jednak je samom eksponentu (izvod e na x stepen je jednak e na x stepen):
(1) (e x )′ = e x.

Derivat eksponencijalna funkcija sa osnovom stepena a jednako je samoj funkciji pomnoženoj prirodnim logaritmom a:
(2) .

Derivacija formule za izvod eksponencijala, e na x stepen

Eksponencijalna je eksponencijalna funkcija čija je baza jednaka broju e, što je sljedeća granica:
.
Ovdje to može biti i prirodno i pravi broj. Zatim ćemo izvesti formulu (1) za izvod eksponencijala.

Izvođenje formule eksponencijalnog izvoda

Razmotrimo eksponencijal, e na x potenciju:
y = e x .
Ova funkcija je definirana za svakoga. Nađimo njen izvod u odnosu na varijablu x. Po definiciji, derivat je sljedeća granica:
(3) .

Hajde da transformišemo ovaj izraz da ga svedemo na poznata matematička svojstva i pravila. Da bismo to uradili, potrebne su nam sledeće činjenice:
A) Svojstvo eksponenta:
(4) ;
B) Svojstvo logaritma:
(5) ;
IN) Kontinuitet logaritma i svojstvo granica za kontinuiranu funkciju:
(6) .
Ovdje je funkcija koja ima ograničenje i ovo ograničenje je pozitivno.
G) Značenje druge izuzetne granice:
(7) .

Primijenimo ove činjenice do naše granice (3). Koristimo imovinu (4):
;
.

Hajde da napravimo zamenu. Onda ; .
Zbog kontinuiteta eksponencijala,
.
Stoga, kada , . Kao rezultat dobijamo:
.

Hajde da napravimo zamenu. Onda . U , . i imamo:
.

Primijenimo svojstvo logaritma (5):
. Onda
.

Primijenimo svojstvo (6). Pošto postoji pozitivna granica i logaritam je kontinuiran, onda:
.
Ovdje smo također koristili drugi izuzetna granica(7). Onda
.

Tako smo dobili formulu (1) za izvod eksponencijala.

Derivacija formule za izvod eksponencijalne funkcije

Sada izvodimo formulu (2) za izvod eksponencijalne funkcije sa bazom stepena a. Vjerujemo da i . Zatim eksponencijalna funkcija
(8)
Definisano za svakoga.

Transformirajmo formulu (8). Da bismo to učinili, koristit ćemo svojstva eksponencijalne funkcije i logaritma.
;
.
Dakle, transformisali smo formulu (8) u sledeći oblik:
.

Derivati ​​višeg reda od e na x stepen

Sada pronađimo derivate viših redova. Pogledajmo prvo eksponent:
(14) .
(1) .

Vidimo da je derivacija funkcije (14) jednaka samoj funkciji (14). Diferencirajući (1) dobijamo derivate drugog i trećeg reda:
;
.

Ovo pokazuje da je izvod n-tog reda također jednak originalnoj funkciji:
.

Izvodi višeg reda eksponencijalne funkcije

Sada razmotrite eksponencijalnu funkciju sa osnovom stepena a:
.
Našli smo njen derivat prvog reda:
(15) .

Diferenciranjem (15) dobijamo derivate drugog i trećeg reda:
;
.

Vidimo da svaka diferencijacija vodi do množenja originalne funkcije sa . Dakle, izvod n-tog reda ima sljedeći oblik:
.

Lekcija i prezentacija na temu: "Broj e. Funkcija. Grafikon. Svojstva"

Dodatni materijali
Dragi korisnici, ne zaboravite ostaviti svoje komentare, recenzije, želje! Svi materijali su provjereni antivirusnim programom.

Nastavna sredstva i simulatori u internet prodavnici Integral za 11. razred
Interaktivni priručnik za 9-11 razred "Trigonometrija"
Interaktivni priručnik za 10-11 razred "Logaritmi"

Ljudi, danas ćemo proučiti poseban broj. Zauzima posebno mjesto u matematici „odraslih“ i ima mnoga izvanredna svojstva, od kojih ćemo neka razmotriti.

Vratimo se na eksponencijalne funkcije $y=a^x$, gdje je $a>1$. Možemo nacrtati mnogo različitih grafova funkcija za različite baze.
Ali treba napomenuti da:

  • sve funkcije prolaze kroz tačku (0;1),
  • za $x→-∞$, graf ima horizontalnu asimptotu $y=0$,
  • sve funkcije rastu i konveksne prema dolje,
  • a takođe i kontinuirani, što zauzvrat znači da su diferencibilni.
Ako su funkcije svugdje diferencibilne, tada se na njih mogu konstruirati tangente u svakoj tački. Ako sve funkcije prolaze kroz tačku (0;1), onda je to od posebnog interesa. Izgradimo nekoliko tangenta uzastopno.

Razmotrimo funkciju $y=2^x$ i konstruirajmo tangentu na nju.
Nakon što smo pažljivo nacrtali naše grafikone, možete vidjeti da je ugao nagiba tangente 35°.
Sada nacrtajmo funkciju $y=3^x$ i također nacrtajmo tangentnu liniju:
Ovaj put ugao tangente je približno 48°. Općenito, vrijedi napomenuti: što je veća baza eksponencijalne funkcije, veći je kut nagiba.
Posebno je zanimljiva tangenta sa uglom nagiba jednakim 45°. Na graf čije eksponencijalne funkcije se može povući takva tangenta u tački (0;1)?
Baza eksponencijalne funkcije mora biti veća od 2, ali manja od 3, pošto se traženi ugao tangente postiže negdje između funkcija $y=2^x$ i $y=3^x$. Takav broj je pronađen i ispostavilo se da je prilično jedinstven.

Eksponencijalna funkcija u kojoj tangenta koja prolazi kroz tačku (0;1) ima ugao nagiba jednak 45° obično se označava sa: $y=e^x$ .
Osnova naše funkcije je iracionalan broj. Matematičari su izveli približnu vrijednost ovog broja $e=2,7182818284590…$.
U školskim predmetima matematike uobičajeno je zaokruživanje na najbližu desetinu, odnosno $e=2,7$.
Napravimo graf funkcije $y=e^x$ i tangentu na ovaj graf.
Naša funkcija se obično naziva eksponencijalna.
Svojstva funkcije $y=e^x$.
1. $D(f)=(-∞;+∞)$.
2. Nije ni paran ni neparan.
3. Povećava se u cijelom domenu definicije.
4. Nije ograničeno odozgo, ograničeno odozdo.
5. Najveća vrijednost ne, ne postoji minimalna vrijednost.
6. Kontinuirano.
7. $E(f)=(0; +∞)$.
8. Konveksno prema dolje.
U višoj matematici je dokazano da je eksponencijalna funkcija svuda diferencibilna, a njen izvod je jednak samoj funkciji: $(e^x)"=e^x$.
Naša funkcija se široko koristi u mnogim oblastima matematike (u matematičkoj analizi, u teoriji vjerovatnoće, u programiranju), a mnogi stvarni objekti su povezani sa ovim brojem.

Primjer.
Pronađite tangentu na graf funkcije $y=e^x$ u tački $x=2$.
Rješenje.
Jednačina tangente je opisana formulom: $y=f(a)+f"(a)(x-a)$.
Redovno pronalazimo tražene vrijednosti:
1. $f(a)=f(2)=e^2$.
2. $f"(a)=e^a$.
3. $f"(2)=e^2$.
4. $y=f(a)+f"(a)(x-a)=e^2+e^2(x-2)=e^2*x-e^2$.
Odgovor: $y=e^2*x-e^2$

Primjer.
Pronađite vrijednost izvoda funkcije $y=e^(3x-15)$ u tački $x=5$.
Rješenje.
Prisjetimo se pravila za diferenciranje funkcije oblika $y=f(kx+m)$.
$y"=k*f"(kx+m)$.
U našem slučaju $f(kx+m)=e^(3x-15)$.
Nađimo derivat:
$y"=(e^(3x-15))"=3*e^(3x-15)$.
$y"(5)=3*e^(15-15)=3*e^0=3$.
Odgovor: 3.

Primjer.
Ispitajte funkciju $y=x^3*e^x$ za ekstreme.
Rješenje.
Nađimo izvod naše funkcije $y"=(x^3*e^x)"=(x^3)"*e^x+x^3(e^x)"=3x^2*e^x +x^ 3*e^x=x^2*e^x(x+3)$.
Funkcija nema kritične tačke, jer izvod postoji za bilo koji x.
Izjednačavajući izvod sa 0, dobijamo dva korena: $x_1=0$ i $x_2=-3$.
Označimo naše tačke na brojevnoj pravoj:

Problemi koje treba riješiti samostalno

1. Pronađite tangentu na graf funkcije $y=e^(2x)$ u tački $x=2$.
2. Pronađite vrijednost izvoda funkcije $y=e^(4x-36)$ u tački $x=9$.
3. Ispitajte funkciju $y=x^4*e^(2x)$ za ekstreme.

Ciljevi lekcije: formiraju ideju o broju e; dokazati diferencijabilnost funkcije u bilo kojoj tački X;razmotrimo dokaz teoreme o diferencijabilnosti funkcije; provjeravanje zrelosti vještina i sposobnosti prilikom rješavanja primjera njihove primjene.

Ciljevi lekcije.

Obrazovni: ponoviti definiciju derivacije, pravila diferencijacije, izvoda elementarnih funkcija, zapamtiti graf i svojstva eksponencijalne funkcije, razviti sposobnost pronalaženja izvoda eksponencijalne funkcije, provjeriti znanje pomoću testnog zadatka i test.

Razvojni: promovirati razvoj pažnje, razvoj logičkog mišljenja, matematičke intuicije, sposobnost analize i primjene znanja u nestandardnim situacijama.

Obrazovni: njegovati informatičku kulturu, razvijati vještine grupnog i individualnog rada.

Nastavne metode: verbalna, vizuelna, aktivna.

Oblici obuke: kolektivni, individualni, grupni.

Oprema : udžbenik “Algebra i počeci analize” (priredio Kolmogorov), svi zadaci grupe B “Zatvoreni segment” urednik A.L. Semenova, I.V. Yashchenko, multimedijalni projektor.

Koraci lekcije:

  1. Izjava o temi, svrsi i ciljevima časa (2 min.).
  2. Priprema za učenje novog gradiva ponavljanjem prethodno naučenog gradiva (15 min.).
  3. Uvod u novi materijal (10 min.)
  4. Početno razumevanje i učvršćivanje novih znanja (15 min.).
  5. Domaći zadatak (1 min.).
  6. Sumiranje (2 min.).

Tokom nastave

1. Organizacioni momenat.

Najavljuje se tema časa: „Izvod eksponencijalne funkcije. Broj e.”, ciljevi, zadaci. Slajd 1. Prezentacija

2. Aktiviranje pratećih znanja.

Da bismo to učinili, u prvoj fazi lekcije odgovorit ćemo na pitanja i riješiti probleme s ponavljanjem. Slajd 2.

Na tabli dva učenika rade na karticama, ispunjavajući zadatke kao što je Jedinstveni državni ispit B8.

Zadatak za prvog učenika:

Zadatak za drugog učenika:

Ostali studenti rade samostalan rad prema sljedećim opcijama:

Opcija 1 Opcija 2
1. 1.
2. 2.
3.
3.
4.
4.
5. 5.

Parovi razmjenjuju rješenja i međusobno provjeravaju rad, provjeravajući odgovore na slajdu 3.

Razmatraju se rješenja i odgovori učenika koji rade na tabli.

Provjera domaćeg zadatka br. 1904. Prikazan je slajd 4.

3. Ažuriranje teme lekcije, stvaranje problemske situacije.

Nastavnik traži da se definiše eksponencijalna funkcija i navedu svojstva funkcije y = 2 x. Grafovi eksponencijalnih funkcija su prikazani kao glatke linije, na koje se može povući tangenta u svakoj tački. Ali postojanje tangente na graf funkcije u tački sa apscisom x 0 je ekvivalentno njenoj diferencijabilnosti na x 0.

Za grafove funkcije y = 2 x i y = 3 x povlačimo tangente na njih u tački sa apscisom 0. Uglovi nagiba ovih tangenta na osu apscisa su približno jednaki 35° i 48°, respektivno. . Slajd 5.

Zaključak: ako je baza eksponencijalne funkcije A raste od 2 do, na primjer, 10, a zatim se ugao između tangente na graf funkcije u tački x = 0 i x-ose postepeno povećava od 35° do 66,5°. Logično je pretpostaviti da postoji razlog A, za koji je odgovarajući ugao 45

Dokazano je da postoji broj veći od 2 i manji od 3. Obično se označava slovom e. U matematici je utvrđeno da je broj e– iracionalno, tj. predstavlja beskonačan decimalni neperiodični razlomak.

e = 2,7182818284590…

Napomena (nije baš ozbiljno). Slajd 6.

Na sljedećem slajdu 7 pojavljuju se portreti velikih matematičara - John Napier, Leonhard Euler i kratke informacije o njima.

  • Razmotrimo svojstva funkcije y=e x
  • Dokaz teoreme 1. Slajd 8.
  • Dokaz teoreme 2. Slajd 9.

4. Dinamička pauza ili opuštanje za oči.

(Početni položaj - sjedeći, svaka vježba se ponavlja 3-4 puta):

1. Nagnite se unazad, duboko udahnite, a zatim, naginjući se naprijed, izdahnite.

2. Zavalivši se u stolicu, zatvorite kapke, čvrsto zatvorite oči bez otvaranja kapaka.

3. Ruke duž tela, kružni pokreti ramena napred-nazad.

5. Konsolidacija proučenog gradiva.

5.1 Rješenje vježbi br. 538, br. 540, br. 544c.

5.2 Samostalna primjena znanja, vještina i sposobnosti. Posao verifikacije u obliku testa. Vrijeme završetka zadatka – 5 minuta.

Kriterijumi za ocjenjivanje:

“5” – 3 boda

“4” – 2 boda

“3” - 1 bod

6. Sumiranje rezultata rada na času.

  1. Refleksija.
  2. Ocjenjivanje.
  3. Dostavljanje testnih zadataka.

7. Domaći zadatak: stav 41 (1, 2); br. 539 (a, b, d); 540 (c, d), 544 (a, b).

“Zatvoreni segment” br. 1950, 2142.

Grafikon eksponencijalne funkcije je zakrivljena, glatka linija bez pregiba, na koju se može povući tangenta u svakoj tački kroz koju prolazi. Logično je pretpostaviti da ako se tangenta može povući, onda će funkcija biti diferencibilna u svakoj tački svoje domene definicije.

Hajde da prikažemo nekoliko grafova funkcije y = x a u istim koordinatnim osama.Za a = 2; a = 2,3; a = 3; a = 3.4.

U tački s koordinatama (0;1). Uglovi ovih tangenta će biti približno 35, 40, 48 i 51 stepen respektivno. Logično je pretpostaviti da u intervalu od 2 do 3 postoji broj kod kojeg će ugao nagiba tangente biti jednak 45 stepeni.

Dajemo preciznu formulaciju ove tvrdnje: postoji broj veći od 2 i manji od 3, označen slovom e, takav da eksponencijalna funkcija y = e x u tački 0 ima izvod jednak 1. To jest: (e ∆x -1) / ∆x teži 1 dok ∆x teži nuli.

Ovaj broj e je iracionalan i zapisuje se kao beskonačan neperiodični decimalni razlomak:

e = 2,7182818284…

Pošto je e pozitivno i nije nula, postoji logaritam bazi e. Ovaj logaritam se zove prirodni logaritam. Označava se sa ln(x) = log e (x).

Derivat eksponencijalne funkcije

Teorem: Funkcija e x je diferencibilna u svakoj tački svoje domene definicije, i (e x)’ = e x .

Eksponencijalna funkcija a x je diferencibilna u svakoj tački svoje domene definicije, i (a x)’ = (a x)*ln(a).
Posljedica ove teoreme je činjenica da je eksponencijalna funkcija kontinuirana u bilo kojoj tački u svom domenu definicije.

Primjer: pronađite izvod funkcije y = 2 x.

Koristeći formulu za izvod eksponencijalne funkcije, dobijamo:

(2 x)’ = (2 x)*ln(2).

Odgovor: (2 x)*ln(2).

Antiderivat eksponencijalne funkcije

Za eksponencijalnu funkciju a x definiranu na skupu realnih brojeva, antiderivat će biti funkcija (a x)/(ln(a)).
ln(a) je neka konstanta, tada je (a x / ln(a))’= (1 / ln(a)) * (a x) * ln(a) = a x za bilo koji x. Mi smo dokazali ovu teoremu.

Razmotrimo primjer pronalaženja antiderivata eksponencijalne funkcije.

Primjer: naći antiderivat funkcije f(x) = 5 x. Koristimo gornju formulu i pravila za pronalaženje antiderivata. Dobijamo: F(x) = (5 x) / (ln(5)) +C.

Tema: Derivat eksponencijalne funkcije. Broj .

Didaktička svrha: formirati ideju o broju e, dokazati diferencijabilnost funkcije u bilo kom trenutku , diferencijacija funkcije . Dajte koncept prirodni logaritam.

Razvojni cilj: razviti sposobnost brzog i pravilnog izvođenja proračuna pomoću osobnog računara.

Obrazovni cilj: nastaviti razvijati sposobnost pravilnog opažanja i aktivnog pamćenja nove informacije, To je najvažniji kvalitet budući specijalista.

Vizualna pomagala: posteri.

brošura: kartice zadataka za samostalni rad. Oprema: učiteljski računar, multimedijalni projektor, platno. Motivacija kognitivna aktivnost studenti. Objasniti značajnu ulogu logaritma u predmetima matematike, kao iu opštim tehničkim i specijalnim disciplinama, naglašavajući važnost broja e i prirodnog logaritma.

Tokom nastave.

I. Organizacioni momenat.

II. Objašnjenje novog materijala.

1) Grafovi eksponencijalnih funkcija.

3) Broj .

4) Obračun broja .

5) Formula za izvod eksponencijalne funkcije.

6) Izračunajte prirodni logaritam koristećiGOSPOĐAExcel.

7) Antiderivat eksponencijalne funkcije.

8) 3 značenje broja .

III. Primjeri rješavanja.

IV. Sažetak lekcije.

V. Zadaća.

Objašnjenje. Grafovi eksponencijalne funkcije su prikazani kao glatke linije (tj. bez kiksova), na koje se može povući tangenta u svakoj tački. Ali postojanje tangente na graf funkcije u tački sa apscisom je ekvivalentno njegovoj diferencijabilnosti po x 0 . Stoga je prirodno pretpostaviti da je diferencijabilna u svim tačkama domene definicije. Nacrtajmo nekoliko grafova funkcije y=a X za y=2 X , y=Z X , y=2,Z X (Dodatak br. 1)

Nacrtajmo tangente na njih u tački sa apscisom . Tangente koje se nalaze na grafovima su različite. Mjerimo uglove nagiba svakog od njih prema osi apscise i uvjerimo se da su uglovi nagiba ovih tangenta približno jednaki 35°...51°, tj. sa povećanjem a, ugaoni koeficijent na graf u tački M(0;1) postepeno raste odtg35 totg51.

Postoji broj veći od 2 i manji od 3 takav da je eksponencijalna funkcija y = a X u tački 0 ima derivaciju jednaku 1. Osnova ove funkcije se obično označava slovom e. Broj e je iracionalan i stoga je zapisan u obliku beskonačnog decimalni

e ≈ 2,7182818284…

Pomoću kompjutera pronađeno je više od 2 hiljade decimalnih mjesta broja e. Prvi brojevi su 2,718288182459045 ~ 2,7.

Funkcija često se naziva eksponentom. Dobijeni broj igra veliku ulogu u višoj matematici, baš kao i čuveni broj 3,14. Formula za izvod eksponencijalne funkcije.

Teorema 1. Funkcija .

Dokaz. Pronalaženje prirasta funkcije

at .

Po definiciji derivata , tj. za bilo koji .

Dokaži to na svoju ruku.

Primjer.

Dajem definiciju: prirodni logaritam je logaritam bazi :

Teorema 2. Eksponencijalna funkcija je diferencibilan u svakoj tački u domeni definicije, i .

Primjeri. , . Pronađite izvode funkcija.

Izračunavanje prirodnog logaritma pomoćuGOSPOĐAExcel.

Primjer. Hajde da istražimo funkciju za povećanje (smanjenje) i ekstremum i konstruisanje njegovog grafa.

Jer za bilo koji , tada se znak poklapa sa predznakom . Dakle on , - povećava

on , - smanjuje se.

Za izradu grafikona koristimo programGOSPOĐAExcel.

Antiderivat eksponencijalne funkcije.

Teorema 3. Antiderivat za funkciju onRje funkcija . dokaz:

primjeri:

A) ,

b) ,

V) , .

d) Izračunaj površinu figure, ograničena linijama , , , .

Značenje e.

Rezultirajući broj igra veliku ulogu u matematici, fizici, astronomiji, biologiji i drugim naukama. Evo nekih:

Ovo je veličanstveno

Pomaže dosta

Neka bude jasno i tebi i meni

Godina rođenja Tolstoja L.N. 2.71828

Ojlerova formula.

Leonhard Euler (1707-1783) Čuveni matematičar 18. vijeka. Euler je ustanovio ovisnost sile trenja o broju okretaja užeta oko gomile.

, -sila protiv koje je naš napor usmjeren ; e;

Koeficijent trenja između užeta i gomile, - ugao namotavanja, tj. odnos dužine luka pokrivenog užetom i poluprečnika ovog luka. U svakodnevnom životu, a da to i ne znamo, često koristimo prednosti koje nam pokazuje Ojlerova formula.

Šta je čvor? Ovo je konac namotan oko valjka. Kako veći broj okretaja užeta, veće je trenje. Pravilo za povećanje trenja je takvo da, kako se broj okretaja povećava u aritmetičkoj progresiji, trenje raste u geometrijskoj progresiji.

Krojač nesvjesno koristi istu okolnost kada šije dugme. Više puta omota konac oko područja materijala zarobljenog ubodom, a zatim ga prekine, osim ako je konac jak, dugme se neće otkačiti. Ovdje vrijedi pravilo koje nam je već poznato: s povećanjem broja zavoja konca u aritmetičkoj progresiji, snaga šivanja raste u geometrijskoj progresiji. Da nije bilo trenja, ne bismo mogli koristiti dugmad: niti bi se raspleli pod njihovom težinom i dugmad bi otpala. , -Ludwig Boltzmann (1844-1906), austrijski fizičar koji je otkrio osnovni zakon prirode, koji određuje smjer svih fizičkih procesa koji teže ravnoteži kao najvjerovatnije stanje. -entropija, tj. mjera postignuća ravnotežni sistem, - vjerovatnoća stanja sistema.

Sažetak lekcije. Domaći zadatak: br. 538, br. 542

Dodatak br. 1