Ovaj članak se bavi poređenjem razlomaka. Ovdje ćemo saznati koji je razlomak veći ili manji, primijeniti pravilo i pogledati primjere rješenja. Uporedimo razlomke sa oba jednaka i različiti imenioci. Uporedimo običan razlomak sa prirodnim brojem.

Upoređivanje razlomaka sa istim nazivnicima

Kada poredimo razlomke sa istim nazivnicima, radimo samo sa brojicom, što znači da poredimo razlomke broja. Ako postoji razlomak 3 7, onda ima 3 dijela 1 7, onda razlomak 8 7 ima 8 takvih dijelova. Drugim riječima, ako je imenilac isti, upoređuju se brojnici ovih razlomaka, odnosno 3 7 i 8 7 se upoređuju sa brojevima 3 i 8.

Ovo slijedi pravilo za poređenje razlomaka sa istim nazivnicima: od postojećih razlomaka sa istim eksponentima, razlomak sa većim brojinikom se smatra većim i obrnuto.

Ovo sugerira da biste trebali obratiti pažnju na brojioce. Da bismo to učinili, pogledajmo primjer.

Primjer 1

Uporedite date razlomke 65 126 i 87 126.

Rješenje

Pošto su nazivnici razlomaka isti, prelazimo na brojioce. Iz brojeva 87 i 65 vidljivo je da je 65 manje. Na osnovu pravila za poređenje razlomaka sa istim nazivnicima, imamo da je 87,126 veće od 65,126.

odgovor: 87 126 > 65 126 .

Uspoređivanje razlomaka sa različitim nazivnicima

Poređenje takvih razlomaka može se povezati sa poređenjem razlomaka sa istim eksponentima, ali postoji razlika. Sada trebate svesti razlomke na zajednički nazivnik.

Ako postoje razlomci s različitim nazivnicima, da biste ih uporedili trebate:

  • pronaći zajednički imenitelj;
  • uporedi razlomke.

Pogledajmo ove radnje koristeći primjer.

Primjer 2

Uporedite razlomke 5 12 i 9 16.

Rješenje

Prije svega, potrebno je svesti razlomke na zajednički nazivnik. To se radi na ovaj način: pronađite LCM, odnosno najmanji zajednički djelitelj, 12 i 16. Ovaj broj je 48. Prvom razlomku 5 12 potrebno je dodati dodatne faktore, ovaj broj se nalazi iz količnika 48: 12 = 4, za drugi razlomak 9 16 – 48: 16 = 3. Zapišimo rezultat na sljedeći način: 5 12 = 5 4 12 4 = 20 48 i 9 16 = 9 3 16 3 = 27 48.

Nakon poređenja razlomaka dobijamo da je 20 48< 27 48 . Значит, 5 12 меньше 9 16 .

odgovor: 5 12 < 9 16 .

Postoji još jedan način za poređenje razlomaka s različitim nazivnicima. Izvodi se bez svođenja na zajednički nazivnik. Pogledajmo primjer. Da bismo uporedili razlomke a b i c d, svodimo ih na zajednički imenilac, zatim b · d, odnosno proizvod ovih imenilaca. Tada će dodatni faktori za razlomke biti imenioci susjednog razlomka. Ovo će biti zapisano kao a · d b · d i c · b d · b . Koristeći pravilo sa identičnim nazivnicima, dobili smo da je poređenje razlomaka svedeno na poređenje proizvoda a · d i c · b. Odavde dobijamo pravilo za poređenje razlomaka sa različitim nazivnicima: ako je a · d > b · c, onda je a b > c d, ali ako je a · d< b · c , тогда a b < c d . Рассмотрим сравнение с разными знаменателями.

Primjer 3

Uporedite razlomke 5 18 i 23 86.

Rješenje

Ovaj primjer ima a = 5, b = 18, c = 23 i d = 86. Tada je potrebno izračunati a·d i b·c. Iz toga slijedi da je a · d = 5 · 86 = 430 i b · c = 18 · 23 = 414. Ali 430 > 414, tada je dati razlomak 5 18 veći od 23 86.

odgovor: 5 18 > 23 86 .

Upoređivanje razlomaka sa istim brojiocima

Ako razlomci imaju iste brojioce i različite nazivnike, onda se poređenje može izvršiti prema prethodnoj tački. Rezultat poređenja je moguć upoređivanjem njihovih nazivnika.

Postoji pravilo za poređenje razlomaka sa istim brojiocima : Od dva razlomka sa istim brojiocima, razlomak koji ima manji nazivnik je veći i obrnuto.

Pogledajmo primjer.

Primjer 4

Uporedite razlomke 54 19 i 54 31.

Rješenje

Imamo da su brojnici isti, što znači da je razlomak sa nazivnikom 19 veći od razlomka sa nazivnikom 31. Ovo je razumljivo na osnovu pravila.

odgovor: 54 19 > 54 31 .

Inače, možemo pogledati primjer. Postoje dva tanjira na kojima su 12 pite, i još jedna 116 anna. Ako pojedete 12 pite, bit ćete siti brže nego samo 116. Otuda je zaključak da je najveći imenilac sa jednakim brojnicima najmanji kada se porede razlomci.

Poređenje razlomka s prirodnim brojem

Poređenje običnog razlomka sa prirodnim brojem isto je kao i poređenje dva razlomka sa imeniocima zapisanim u obrascu 1. Za detaljan pregled, u nastavku je primjer.

Primjer 4

Potrebno je napraviti poređenje između 63 8 i 9 .

Rješenje

Potrebno je broj 9 predstaviti kao razlomak 9 1. Zatim moramo uporediti razlomke 63 8 i 9 1. Nakon toga slijedi svođenje na zajednički imenitelj pronalaženjem dodatnih faktora. Nakon ovoga vidimo da trebamo uporediti razlomke sa istim nazivnicima 63 8 i 72 8. Na osnovu pravila poređenja, 63< 72 , тогда получаем 63 8 < 72 8 . Значит, заданная дробь меньше целого числа 9 , то есть имеем 63 8 < 9 .

odgovor: 63 8 < 9 .

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Pravila poređenja obične frakcije zavise od vrste razlomka (pravilan, nepravilan, mješoviti razlomak) i od nazivnika (isti ili različit) razlomaka koji se uspoređuju.

Ovaj odjeljak razmatra opcije za poređenje razlomaka koji imaju iste brojioce ili nazivnike.

Pravilo. Da biste uporedili dva razlomka sa istim nazivnicima, morate uporediti njihove brojnike. Veći (manje) je razlomak čiji je brojilac veći (manji).

Na primjer, uporedite razlomke:

Pravilo. Da biste uporedili prave razlomke sa sličnim brojiocima, morate uporediti njihove nazivnike. Veći (manje) je razlomak čiji je imenilac manji (veći).

Na primjer, uporedite razlomke:

Upoređivanje pravilnih, nepravilnih i mješovitih razlomaka međusobno

Pravilo. Nepravilni i mješoviti razlomci su uvijek veći od bilo kojeg pravilnog razlomka.

Pravi razlomak je po definiciji manji od 1, tako da su nepravilni i mješoviti razlomci (oni koji sadrže broj jednak ili veći od 1) veći od pravilnog razlomka.

Pravilo. Od njih dvoje miješane frakcije veći (manji) je onaj čiji je cijeli dio razlomka veći (manji). Kada su cijeli dijelovi mješovitih razlomaka jednaki, onaj sa većim (manjim) razlomkom je veći (manji).

Pravila za poređenje običnih razlomaka zavise od vrste razlomka (pravilni, nepravilni, mješoviti razlomci) i od nazivnika (isti ili različiti) razlomaka koji se uspoređuju. Pravilo. Da biste uporedili dva razlomka sa istim nazivnicima, morate uporediti njihove brojnike. Veći (manje) je razlomak čiji je brojilac veći (manji). Na primjer, uporedi razlomke:

Upoređivanje pravilnih, nepravilnih i mješovitih razlomaka međusobno.

Pravilo. Nepravilni i mješoviti razlomci su uvijek veći od bilo kojeg pravilnog razlomka. Pravi razlomak je po definiciji manji od 1, tako da su nepravilni i mješoviti razlomci (oni koji sadrže broj jednak ili veći od 1) veći od pravilnog razlomka.

Pravilo. Od dva mješovita razlomka veći je (manji) onaj čiji je cijeli dio razlomka veći (manji). Kada su cijeli dijelovi mješovitih razlomaka jednaki, onaj sa većim (manjim) razlomkom je veći (manji).

Na primjer, uporedi razlomke:

Slično kao kod poređenja prirodnih brojeva na brojevnoj pravoj, veći razlomak je desno od manjeg razlomka.

Ne mogu se porediti samo prosti brojevi, već i razlomci. Uostalom, razlomak je isti broj kao, na primjer, prirodni brojevi. Potrebno je samo znati pravila po kojima se upoređuju razlomci.

Upoređivanje razlomaka sa istim nazivnicima.

Ako dva razlomka imaju iste nazivnike, onda je lako uporediti takve razlomke.

Da biste uporedili razlomke sa istim nazivnicima, morate uporediti njihove brojioce. Razlomak koji ima veći brojilac je veći.

Pogledajmo primjer:

Uporedite razlomke \(\frac(7)(26)\) i \(\frac(13)(26)\).

Imenioci oba razlomka su isti i jednaki su 26, pa upoređujemo brojioce. Broj 13 je veći od 7. Dobijamo:

\(\frac(7)(26)< \frac{13}{26}\)

Poređenje razlomaka sa jednakim brojiocima.

Ako razlomak ima iste brojioce, onda je razlomak sa manjim nazivnikom veći.

Ovo pravilo se može razumjeti davanjem primjera iz života. Imamo tortu. Može nam doći 5 ili 11 gostiju. Ako dođe 5 gostiju, onda ćemo tortu izrezati na 5 jednakih komada, a ako dođe 11 gostiju, onda ćemo je podijeliti na 11 jednakih dijelova. Sada razmislite u kom slučaju bi bilo većeg komada torte po gostu? Naravno, kada dođe 5 gostiju, komad torte će biti veći.

Ili drugi primjer. Imamo 20 bombona. Možemo dati bombone podjednako za 4 prijatelja ili podijeliti bombone na 10 prijatelja. U kom slučaju će svaki prijatelj imati više slatkiša? Naravno, kada podijelimo na samo 4 prijatelja, broj bombona za svakog prijatelja će biti veći. Provjerimo ovaj problem matematički.

\(\frac(20)(4) > \frac(20)(10)\)

Ako prethodno riješimo ove razlomke, dobićemo brojeve \(\frac(20)(4) = 5\) i \(\frac(20)(10) = 2\). Dobijamo da je 5 > 2

Ovo je pravilo za poređenje razlomaka sa istim brojiocima.

Pogledajmo još jedan primjer.

Uporedite razlomke sa istim brojivom \(\frac(1)(17)\) i \(\frac(1)(15)\) .

Pošto su brojnici isti, razlomak sa manjim nazivnikom je veći.

\(\frac(1)(17)< \frac{1}{15}\)

Uspoređivanje razlomaka s različitim nazivnicima i brojiocima.

Da biste uporedili razlomke s različitim nazivnicima, trebate smanjiti razlomke na , a zatim uporediti brojioce.

Uporedite razlomke \(\frac(2)(3)\) i \(\frac(5)(7)\).

Prvo, pronađimo zajednički imenitelj razlomaka. To će biti jednako broju 21.

\(\begin(align)&\frac(2)(3) = \frac(2 \times 7)(3 \times 7) = \frac(14)(21)\\\\&\frac(5) (7) = \frac(5 \puts 3)(7 \times 3) = \frac(15)(21)\\\\ \end(align)\)

Zatim prelazimo na poređenje brojilaca. Pravilo za poređenje razlomaka sa istim nazivnicima.

\(\begin(align)&\frac(14)(21)< \frac{15}{21}\\\\&\frac{2}{3} < \frac{5}{7}\\\\ \end{align}\)

Poređenje.

Nepravilan razlomak je uvijek veći od pravilnog razlomka. Zato što je nepravilan razlomak veći od 1, a pravi razlomak manji od 1.

primjer:
Uporedite razlomke \(\frac(11)(13)\) i \(\frac(8)(7)\).

Razlomak \(\frac(8)(7)\) je nepravilan i veći je od 1.

\(1 < \frac{8}{7}\)

Razlomak \(\frac(11)(13)\) je tačan i manji je od 1. Uporedimo:

\(1 > \frac(11)(13)\)

Dobijamo, \(\frac(11)(13)< \frac{8}{7}\)

Povezana pitanja:
Kako uporediti razlomke sa različitim nazivnicima?
Odgovor: potrebno je razlomke dovesti do zajedničkog nazivnika, a zatim uporediti njihove brojnike.

Kako uporediti razlomke?
Odgovor: Prvo morate odlučiti kojoj kategoriji pripadaju razlomci: imaju zajednički imenilac, imaju zajednički brojnik, nemaju zajednički imenilac i brojilac, ili imate pravilan i nepravilan razlomak. Nakon klasifikacije razlomaka, primijeniti odgovarajuće pravilo poređenja.

Šta je poređenje razlomaka sa istim brojiocima?
Odgovor: Ako razlomci imaju iste brojioce, razlomak sa manjim nazivnikom je veći.

Primjer #1:
Uporedite razlomke \(\frac(11)(12)\) i \(\frac(13)(16)\).

Rješenje:
S obzirom da ne postoje identični brojnici ili nazivnici, primjenjujemo pravilo poređenja sa različitim nazivnicima. Moramo pronaći zajednički imenitelj. Zajednički imenilac će biti 96. Smanjimo razlomke na zajednički imenilac. Pomnožite prvi razlomak \(\frac(11)(12)\) dodatnim faktorom 8, a drugi razlomak \(\frac(13)(16)\) sa 6.

\(\begin(align)&\frac(11)(12) = \frac(11 \times 8)(12 \times 8) = \frac(88)(96)\\\\&\frac(13) (16) = \frac(13 \times 6)(16 \times 6) = \frac(78)(96)\\\\ \end(align)\)

Upoređujemo razlomke sa brojiocima, razlomak sa većim brojiocem je veći.

\(\begin(align)&\frac(88)(96) > \frac(78)(96)\\\\&\frac(11)(12) > \frac(13)(16)\\\ \\end(poravnati)\)

Primjer #2:
Uporedite pravi razlomak sa jednim?

Rješenje:
Svaki pravi razlomak je uvijek manji od 1.

Zadatak #1:
Sin i otac su igrali fudbal. Sin je pogodio gol 5 puta od 10 pristupa. I tata je pogodio gol 3 puta od 5 pristupa. čiji je rezultat bolji?

Rješenje:
Sin je pogodio 5 puta od 10 mogućih pristupa. Zapišimo ga kao razlomak \(\frac(5)(10)\).
Tata je pogodio 3 puta od 5 mogućih pristupa. Zapišimo ga kao razlomak \(\frac(3)(5)\).

Hajde da uporedimo razlomke. Imamo različite brojnike i nazivnike, svodimo ih na jedan imenilac. Zajednički imenilac će biti 10.

\(\begin(align)&\frac(3)(5) = \frac(3 \times 2)(5 \times 2) = \frac(6)(10)\\\\&\frac(5) (10)< \frac{6}{10}\\\\&\frac{5}{10} < \frac{3}{5}\\\\ \end{align}\)

Odgovor: Tata ima bolji rezultat.


Ovaj članak će govoriti o poređenje mešovitih brojeva. Prvo ćemo otkriti koji se mješoviti brojevi nazivaju jednaki, a koji nejednaki. Zatim ćemo dati pravilo za poređenje nejednakih mješovitih brojeva, koje vam omogućava da saznate koji je broj veći, a koji manji, te razmotrite primjere. Na kraju ćemo pogledati kako se mješoviti brojevi upoređuju s prirodnim brojevima i razlomcima.

Navigacija po stranici.

Jednaki i nejednaki mješoviti brojevi

Prvo morate znati koji se mješoviti brojevi nazivaju jednaki, a koji nejednaki. Hajde da damo odgovarajuće definicije.

Definicija.

Jednaki mješoviti brojevi- To su mješoviti brojevi koji imaju jednake cijele i razlomke.

Drugim riječima, kaže se da su dva mješovita broja jednaka ako su njihovi unosi potpuno isti. Ako je notacija mješovitih brojeva drugačija, onda se takvi mješoviti brojevi nazivaju nejednakim.

Definicija.

Nejednaki mješoviti brojevi su mješoviti brojevi čije su oznake različite.

Navedene definicije vam omogućavaju da na prvi pogled odredite da li su dati mješoviti brojevi jednaki ili ne. Na primjer, mješoviti brojevi i jednaki brojevi, jer su njihove oznake potpuno iste. Ovi brojevi imaju jednake cijele dijelove i jednake razlomke. I mješoviti brojevi i su nejednaki, jer imaju nejednake cijele dijelove. Drugi primjeri nejednakih mješovitih brojeva su i , kao i i .

Ponekad je potrebno otkriti koji je od dva nejednaka mješovita broja veći od drugog, a koji manji. Pogledaćemo kako se to radi u sledećem paragrafu.

Poređenje mješovitih brojeva

Poređenje mješovitih brojeva može se svesti na poređenje običnih razlomaka. Da biste to učinili, dovoljno je mješovite brojeve pretvoriti u nepravilne razlomke.

Na primjer, uporedimo mješoviti broj i mješoviti broj, predstavljajući ih u obliku nepravilni razlomci. Imamo i . Dakle, poređenje originalnih mješovitih brojeva svodi se na poređenje razlomaka s različitim nazivnicima i . Od tada.

Upoređivanje mješovitih brojeva poređenjem jednakih razlomaka nije najbolje rješenje. Mnogo je zgodnije koristiti sljedeće pravilo za poređenje mešovitih brojeva: veći je mješoviti broj čiji je cijeli dio veći, ali ako su cijeli dijelovi jednaki, tada je veći mješoviti broj čiji je razlomak veći.

Pogledajmo kako se mješoviti brojevi upoređuju prema navedenom pravilu. Da bismo to učinili, pogledajmo rješenja primjera.

Primjer.

Koji od mješovitih brojeva i veći?

Rješenje.

Cjelobrojni dijelovi mješovitih brojeva koji se uspoređuju su jednaki, tako da se poređenje svodi na poređenje razlomaka i . Od tada . Dakle, mješoviti broj je veći od mješovitog broja.

odgovor:

Poređenje mješovitog i prirodnog broja

Hajde da shvatimo kako da uporedimo mješoviti broj i prirodni broj.

Ovo je pošteno pravilo poređenja mješoviti broj sa prirodnim brojem: ako je cijeli dio mješovitog broja manji od datog prirodnog broja, tada je mješoviti broj manji od datog prirodnog broja, a ako je cijeli dio mješovitog broja veći ili jednak datom mješovitom broju, tada mješoviti broj je veći od datog prirodnog broja.

Pogledajmo primjere poređenja mješovitog broja i prirodnog broja.

Primjer.

Uporedite brojeve 6 i .

Rješenje.

Cijeli dio mješoviti broj je 9. Budući da je veći od prirodnog broja 6, onda .

odgovor:

Primjer.

Za mješoviti broj i prirodan broj 34, koji je broj manji?

Rješenje.

Cijeli dio mješovitog broja manji je od 34 (11<34 ), поэтому .

odgovor:

Mješoviti broj je manji od 34.

Primjer.

Uporedite broj 5 i mješoviti broj.

Rješenje.

Cijeli dio ovog mješovitog broja jednak je prirodnom broju 5, pa je ovaj mješoviti broj veći od 5.

odgovor:

Da zaključimo ovo, napominjemo da je svaki mješoviti broj veći od jedan. Ova izjava proizilazi iz pravila za poređenje mješovitog broja i prirodnog broja, kao i iz činjenice da je cijeli dio bilo kojeg mješovitog broja ili veći od 1 ili jednak 1.

Poređenje mješovitog broja i običnog razlomka

Prvo hajde da pričamo o tome poređenje mješovitog broja i pravilnog razlomka. Svaki pravi razlomak je manji od jedan (vidi pravilne i nepravilne razlomke), dakle, svaki pravi razlomak je manji od bilo kojeg mješovitog broja (pošto je svaki mješoviti broj veći od 1).