IN transformacije identiteta trigonometrijski izrazi Mogu se koristiti sljedeće algebarske tehnike: sabiranje i oduzimanje identičnih pojmova; stavljanje zajedničkog faktora iz zagrada; množenje i dijeljenje istom količinom; primjena skraćenih formula za množenje; alokacija pun kvadrat; raspadanje kvadratni trinom po množiteljima; uvođenje novih varijabli za pojednostavljenje transformacija.

Prilikom pretvaranja trigonometrijskih izraza koji sadrže razlomke, možete koristiti svojstva proporcije, reduciranja razlomaka ili svođenja razlomaka na zajednički nazivnik. Osim toga, možete koristiti izolaciju cijelog dijela razlomka, množenjem brojnika i nazivnika razlomka sa iste veličine, a također, ako je moguće, uzeti u obzir homogenost brojnika ili nazivnika. Ako je potrebno, možete predstaviti razlomak kao zbir ili razliku nekoliko jednostavnijih razlomaka.

Osim toga, prilikom primjene svih potrebnih metoda za pretvaranje trigonometrijskih izraza, potrebno je stalno voditi računa o rasponu dopuštenih vrijednosti izraza koji se pretvaraju.

Pogledajmo nekoliko primjera.

Primjer 1.

Izračunajte A = (sin (2x – π) cos (3π – x) + sin (2x – 9π/2) cos (x + π/2)) 2 + (cos (x – π/2) cos ( 2x – 7π) /2) +
+ sin (3π/2 – x) sin (2x –5π/2)) 2

Rješenje.

Iz formula redukcije slijedi:

sin (2x – π) = -sin 2x; cos (3π – x) = -cos x;

sin (2x – 9π/2) = -cos 2x; cos (x + π/2) = -sin x;

cos (x – π/2) = sin x; cos (2x – 7π/2) = -sin 2x;

sin (3π/2 – x) = -cos x; sin (2x – 5π/2) = -cos 2x.

Odatle, na osnovu formula za sabiranje argumenata i glavnog trigonometrijskog identiteta, dobijamo

A = (sin 2x cos x + cos 2x sin x) 2 + (-sin x sin 2x + cos x cos 2x) 2 = sin 2 (2x + x) + cos 2 (x + 2x) =
= sin 2 3x + cos 2 3x = 1

Odgovor: 1.

Primjer 2.

Pretvorite izraz M = cos α + cos (α + β) · cos γ + cos β – sin (α + β) · sin γ + cos γ u proizvod.

Rješenje.

Od formula za dodavanje argumenata i formula za pretvaranje suma trigonometrijske funkcije u proizvod nakon odgovarajućeg grupisanja koje imamo

M = (cos (α + β) cos γ – sin (α + β) sin γ) + cos α + (cos β + cos γ) =

2cos ((β + γ)/2) cos ((β – γ)/2) + (cos α + cos (α + β + γ)) =

2cos ((β + γ)/2) cos ((β – γ)/2) + 2cos (α + (β + γ)/2) cos ((β + γ)/2)) =

2cos ((β + γ)/2) (cos ((β – γ)/2) + cos (α + (β + γ)/2)) =

2cos ((β + γ)/2) 2cos ((β – γ)/2 + α + (β + γ)/2)/2) cos ((β – γ)/2) – (α + ( β + γ)/2)/2) =

4cos ((β + γ)/2) cos ((α +β)/2) cos ((α + γ)/2).

Odgovor: M = 4cos ((α + β)/2) · cos ((α + γ)/2) · cos ((β + γ)/2).

Primjer 3.

Pokažite da izraz A = cos 2 (x + π/6) – cos (x + π/6) cos (x – π/6) + cos 2 (x – π/6) uzima jedan za sve x iz R i isto značenje. Pronađite ovu vrijednost.

Rješenje.

Evo dva načina za rješavanje ovog problema. Primjenom prve metode, izolacijom cijelog kvadrata i korištenjem odgovarajućih osnovnih trigonometrijskih formula, dobijamo

A = (cos (x + π/6) – cos (x – π/6)) 2 + cos (x – π/6) cos (x – π/6) =

4sin 2 x sin 2 π/6 + 1/2(cos 2x + cos π/3) =

Sin 2 x + 1/2 · cos 2x + 1/4 = 1/2 · (1 – cos 2x) + 1/2 · cos 2x + 1/4 = 3/4.

Rješavajući problem na drugi način, razmotrite A kao funkciju x od R i izračunajte njegov izvod. Nakon transformacija dobijamo

A´ = -2cos (x + π/6) sin (x + π/6) + (sin (x + π/6) cos (x – π/6) + cos (x + π/6) sin (x) + π/6)) – 2cos (x – π/6) sin (x – π/6) =

Sin 2(x + π/6) + sin ((x + π/6) + (x – π/6)) – sin 2(x – π/6) =

Sin 2x – (sin (2x + π/3) + sin (2x – π/3)) =

Sin 2x – 2sin 2x · cos π/3 = sin 2x – sin 2x ≡ 0.

Dakle, zbog kriterija konstantnosti funkcije diferencibilne na intervalu, zaključujemo da

A(x) ≡ (0) = cos 2 π/6 - cos 2 π/6 + cos 2 π/6 = (√3/2) 2 = 3/4, x € R.

Odgovor: A = 3/4 za x € R.

Glavne tehnike za dokazivanje trigonometrijskih identiteta su:

A) svođenje lijeve strane identiteta na desnu kroz odgovarajuće transformacije;
b) svođenje desne strane identiteta na lijevu;
V) svođenje desne i lijeve strane identiteta na isti oblik;
G) svodeći na nulu razliku između lijeve i desne strane identiteta koji se dokazuje.

Primjer 4.

Provjerite da li je cos 3x = -4cos x · cos (x + π/3) · cos (x + 2π/3).

Rješenje.

Transformirajući desnu stranu ovog identiteta koristeći odgovarajuće trigonometrijske formule, imamo

4cos x cos (x + π/3) cos (x + 2π/3) =

2cos x (cos ((x + π/3) + (x + 2π/3)) + cos ((x + π/3) – (x + 2π/3))) =

2cos x (cos (2x + π) + cos π/3) =

2cos x · cos 2x - cos x = (cos 3x + cos x) – cos x = cos 3x.

Desna strana identiteta svedena je na lijevu.

Primjer 5.

Dokazati da je sin 2 α + sin 2 β + sin 2 γ – 2cos α · cos β · cos γ = 2, ako su α, β, γ unutrašnji uglovi nekog trougla.

Rješenje.

S obzirom da su α, β, γ unutrašnji uglovi nekog trougla, dobijamo da

α + β + γ = π i, prema tome, γ = π – α – β.

sin 2 α + sin 2 β + sin 2 γ – 2cos α · cos β · cos γ =

Sin 2 α + sin 2 β + sin 2 (π – α – β) – 2cos α · cos β · cos (π – α – β) =

Sin 2 α + sin 2 β + sin 2 (α + β) + (cos (α + β) + cos (α – β) · (cos (α + β) =

Sin 2 α + sin 2 β + (sin 2 (α + β) + cos 2 (α + β)) + cos (α – β) (cos (α + β) =

1/2 · (1 – cos 2α) + ½ · (1 – cos 2β) + 1 + 1/2 · (cos 2α + cos 2β) = 2.

Izvorna jednakost je dokazana.

Primjer 6.

Dokazati da je da bi jedan od uglova α, β, γ trougla bio jednak 60°, potrebno je i dovoljno da je sin 3α + sin 3β + sin 3γ = 0.

Rješenje.

Uslov ovog problema uključuje dokazivanje i neophodnosti i dovoljnosti.

Prvo da dokažemo nužnost.

To se može pokazati

sin 3α + sin 3β + sin 3γ = -4cos (3α/2) cos (3β/2) cos (3γ/2).

Dakle, uzimajući u obzir da je cos (3/2 60°) = cos 90° = 0, dobijamo da ako je jedan od uglova α, β ili γ jednak 60°, onda

cos (3α/2) cos (3β/2) cos (3γ/2) = 0 i, prema tome, sin 3α + sin 3β + sin 3γ = 0.

Dokažimo sada adekvatnost navedenom stanju.

Ako je sin 3α + sin 3β + sin 3γ = 0, tada je cos (3α/2) cos (3β/2) cos (3γ/2) = 0, i stoga

ili cos (3α/2) = 0, ili cos (3β/2) = 0, ili cos (3γ/2) = 0.

dakle,

ili 3α/2 = π/2 + πk, tj. α = π/3 + 2πk/3,

ili 3β/2 = π/2 + πk, tj. β = π/3 + 2πk/3,

ili 3γ/2 = π/2 + πk,

one. γ = π/3 + 2πk/3, gdje je k ϵ Z.

Iz činjenice da su α, β, γ uglovi trougla, imamo

0 < α < π, 0 < β < π, 0 < γ < π.

Dakle, za α = π/3 + 2πk/3 ili β = π/3 + 2πk/3 ili

γ = π/3 + 2πk/3 od svih kϵZ je pogodan samo k = 0.

Iz toga slijedi da je ili α = π/3 = 60°, ili β = π/3 = 60°, ili γ = π/3 = 60°.

Tvrdnja je dokazana.

Imate još pitanja? Niste sigurni kako pojednostaviti trigonometrijske izraze?
Da biste dobili pomoć od tutora, registrujte se.
Prva lekcija je besplatna!

web stranicu, kada kopirate materijal u cijelosti ili djelomično, link na izvor je obavezan.

Za rješavanje nekih problema bit će korisna tablica trigonometrijskih identiteta, koja će znatno olakšati transformaciju funkcija:

Najjednostavniji trigonometrijski identiteti

Kvocijent dijeljenja sinusa ugla alfa kosinusom istog ugla jednak je tangentu ovog ugla (Formula 1). Vidi i dokaz ispravnosti transformacije najjednostavnijih trigonometrijskih identiteta.
Kvocijent dijeljenja kosinusa ugla alfa sa sinusom istog ugla jednak je kotangensu istog ugla (Formula 2)
Sekansa ugla jednaka je jedinici podijeljenoj kosinusom istog ugla (Formula 3)
Zbir kvadrata sinusa i kosinusa istog ugla jednak je jedan (Formula 4). vidi i dokaz zbira kvadrata kosinusa i sinusa.
Zbir jedinice i tangenta ugla jednak je omjeru jedan i kvadrata kosinusa ovog ugla (Formula 5)
Jedan plus kotangens ugla jednak je količniku jedan podijeljen sa sinusnim kvadratom ovog ugla (Formula 6)
Proizvod tangente i kotangensa istog ugla jednak je jedan (Formula 7).

Pretvaranje negativnih uglova trigonometrijskih funkcija (parnih i neparnih)

Da biste se riješili negativne vrijednosti stepen mera ugao kada se računa sinus, kosinus ili tangenta, možete koristiti sljedeće trigonometrijske transformacije (identitete) na osnovu principa parnih ili neparnih trigonometrijskih funkcija.


kao što se vidi, kosinus a sekansa je ravnomjerna funkcija , sinus, tangent i kotangens su neparne funkcije.

Sinus negativnog ugla je jednak negativnu vrijednost sinus istog pozitivnog ugla (minus sinus alfa).
Kosinus minus alfa će dati istu vrijednost kao kosinus alfa ugla.
Tangenta minus alfa je jednaka minus tangenta alfa.

Formule za smanjenje dvostrukih uglova (sinus, kosinus, tangenta i kotangens dvostrukih uglova)

Ako trebate podijeliti ugao na pola, ili obrnuto, preći iz dvostrukog ugao u jedan, možete koristiti sljedeće trigonometrijske identitete:


Double Angle Conversion (sinus dvostrukog ugla, kosinus dvostrukog ugla i tangens dvostrukog ugla) u jednom javlja se po slijedeći pravila:

Sinus dvostrukog ugla jednak dvostrukom umnošku sinusa i kosinusa jednog ugla

Kosinus dvostrukog ugla jednaka je razlici između kvadrata kosinusa jednog ugla i kvadrata sinusa ovog ugla

Kosinus dvostrukog ugla jednak dvostrukom kvadratu kosinusa jednog ugla minus jedan

Kosinus dvostrukog ugla jednako jednom minus dvostruki sinus na kvadrat jednostrukog kuta

Tangenta dvostrukog ugla jednak je razlomku čiji je brojilac dvostruki tangent jednog ugla, a imenilac je jednak jedan minus tangenta na kvadrat jednog ugla.

Kotangens dvostrukog ugla jednak je razlomku čiji je brojilac kvadrat kotangensa jednog ugla minus jedan, a imenilac je jednak dvostrukom kotangensu jednog ugla

Formule za univerzalnu trigonometrijsku supstituciju

Formule konverzije u nastavku mogu biti korisne kada trebate podijeliti argument trigonometrijske funkcije (sin α, cos α, tan α) sa dva i svesti izraz na vrijednost od pola ugla. Iz vrijednosti α dobijamo α/2.

Ove formule se nazivaju formule univerzalne trigonometrijske supstitucije. Njihova vrijednost je u tome što se trigonometrijski izraz uz njihovu pomoć svodi na izražavanje tangente pola ugla, bez obzira na to koje trigonometrijske funkcije ( sincos tg ctg) su u početku bili u izrazu. Nakon toga, jednadžba s tangentom pola ugla je mnogo lakše riješiti.

Trigonometrijski identiteti za transformacije poluugla

Formule u nastavku trigonometrijska transformacija pola vrijednosti ugla do cijele njegove vrijednosti.
Vrijednost argumenta trigonometrijske funkcije α/2 svodi se na vrijednost argumenta trigonometrijske funkcije α.

Trigonometrijske formule za sabiranje uglova

cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β

sin (α + β) = sin α cos β + sin β cos α

sin (α - β) = sin α cos β - sin β cos α
cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β

Tangenta i kotangensa zbira uglova alfa i beta mogu se konvertirati korištenjem sljedećih pravila za pretvaranje trigonometrijskih funkcija:

Tangenta zbira uglova jednak je razlomku čiji je brojilac zbir tangente prvog i tangenta drugog ugla, a nazivnik je jedan minus proizvod tangente prvog ugla i tangente drugog ugla.

Tangent razlike uglova jednak je razlomku čiji je brojnik jednak razlici između tangente ugla koji se smanjuje i tangente ugla koji se oduzima, a imenilac je jedan plus proizvod tangenta ovih uglova.

Kotangens zbira uglova jednak je razlomku čiji je brojilac jednak umnošku kotangensa ovih uglova plus jedan, a nazivnik je jednak razlici između kotangensa drugog ugla i kotangensa prvog ugla.

Kotangens razlike uglova jednak je razlomku čiji je brojilac proizvod kotangensa ovih uglova minus jedan, a imenilac je jednak zbiru kotangensa ovih uglova.

Podaci trigonometrijski identiteti Pogodno je koristiti kada trebate izračunati, na primjer, tangent od 105 stepeni (tg 105). Ako ga predstavite kao tg (45 + 60), onda možete koristiti dato identične transformacije tangenta zbira uglova, a zatim jednostavno zamijenite tabelarne vrijednosti tangente 45 i tangente 60 stepeni.

Formule za pretvaranje zbira ili razlike trigonometrijskih funkcija

Izrazi koji predstavljaju zbir oblika sin α + sin β mogu se transformirati pomoću sljedećih formula:

Formule trostrukog ugla - pretvaranje sin3α cos3α tan3α u sinα cosα tanα

Ponekad je potrebno transformirati trostruku vrijednost ugla tako da argument trigonometrijske funkcije postane ugao α umjesto 3α.
U ovom slučaju možete koristiti formule za transformaciju trostrukog ugla (identitete):

Formule za pretvaranje proizvoda trigonometrijskih funkcija

Ako postoji potreba za transformacijom proizvoda sinusa različitih uglova, kosinusa različitih uglova ili čak proizvoda sinusa i kosinusa, tada možete koristiti sljedeće trigonometrijske identitete:


U ovom slučaju, proizvod sinusnih, kosinusnih ili tangentnih funkcija različitih uglova će se pretvoriti u zbroj ili razliku.

Formule za redukciju trigonometrijskih funkcija

Trebate koristiti tablicu redukcije na sljedeći način. U liniji biramo funkciju koja nas zanima. U koloni se nalazi ugao. Na primjer, sinus ugla (α+90) na presjeku prvog reda i prve kolone, saznajemo da je sin (α+90) = cos α.

Izvršava se za sve vrijednosti argumenata (od opšta oblast definicije).

Univerzalne supstitucijske formule.

Sa ovim formulama, lako je pretvoriti bilo koji izraz koji sadrži različite trigonometrijske funkcije jednog argumenta u racionalni izraz jedne funkcije tg (α /2):

Formule za pretvaranje suma u proizvode i proizvoda u zbrojeve.

Prethodno su se gornje formule koristile za pojednostavljenje proračuna. Računali su pomoću logaritamskih tablica, a kasnije - kliznog pravila, jer su logaritmi najprikladniji za množenje brojeva. Zato je svaki originalni izraz sveden na oblik koji bi bio pogodan za logaritmizaciju, odnosno na proizvode Na primjer:

2 grijeh α grijeh b = cos (α - b) - cos (α + b);

2 cos α cos b = cos (α - b) + cos (α + b);

2 grijeh α cos b = grijeh (α - b) + grijeh (α + b).

gdje je ugao za koji je, posebno,

Formule za tangentne i kotangensne funkcije se lako mogu dobiti iz gore navedenog.

Formule za smanjenje stepena.

sin 2 α = (1 - cos 2α)/2;

cos 2 α = (1 + cos 2α)/2;

grijeh 3α = (3 sinα - greh 3α )/4;

cos 3 a = (3 cosα + cos 3α )/4.

Koristeći ove formule, trigonometrijske jednadžbe se lako svode na jednadžbe s manjim snagama. Na isti način, formule redukcije se izvode za više visoki stepeni grijeh I cos.

Izražavanje trigonometrijskih funkcija kroz jednu od njih istog argumenta.

Znak ispred korijena ovisi o lokaciji četvrtine kuta α .


Odnosi između osnovnih trigonometrijskih funkcija – sinus, kosinus, tangent i kotangens- pitaju se trigonometrijske formule. A budući da postoji dosta veza između trigonometrijskih funkcija, to objašnjava obilje trigonometrijskih formula. Neke formule povezuju trigonometrijske funkcije istog ugla, druge - funkcije višestrukog ugla, druge - omogućavaju smanjenje stepena, četvrte - izražavaju sve funkcije kroz tangentu pola ugla, itd.

U ovom članku ćemo navesti redom sve osnovne trigonometrijske formule, koje su dovoljne za rješavanje velike većine trigonometrijskih problema. Radi lakšeg pamćenja i upotrebe, grupiraćemo ih po namjeni i unijeti u tabele.

Navigacija po stranici.

Osnovni trigonometrijski identiteti

Osnovni trigonometrijski identiteti definirati odnos između sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa jednog ugla. One slijede iz definicije sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa, kao i koncepti jediničnog kruga. Oni vam omogućavaju da izrazite jednu trigonometrijsku funkciju u terminima bilo koje druge.

Za detaljan opis ovih trigonometrijskih formula, njihovo izvođenje i primjere primjene pogledajte članak.

Formule redukcije




Formule redukcije slijediti iz svojstva sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa, odnosno odražavaju svojstvo periodičnosti trigonometrijskih funkcija, svojstvo simetrije, kao i svojstvo pomaka za dati ugao. Ove trigonometrijske formule omogućavaju vam da pređete sa rada sa proizvoljnim uglovima na rad sa uglovima u rasponu od nule do 90 stepeni.

Obrazloženje ovih formula, mnemoničko pravilo za njihovo pamćenje i primjeri njihove primjene mogu se proučavati u članku.

Formule sabiranja

Trigonometrijske formule dodatak pokazuju kako se trigonometrijske funkcije zbira ili razlike dvaju uglova izražavaju u terminima trigonometrijskih funkcija tih uglova. Ove formule služe kao osnova za izvođenje sljedećih trigonometrijskih formula.

Formule za duplo, trostruko itd. ugao



Formule za duplo, trostruko itd. ugao (oni se nazivaju i formule višestrukog ugla) pokazuju kako trigonometrijske funkcije dvostruke, trostruke itd. uglovi () su izraženi u terminima trigonometrijskih funkcija jednog ugla. Njihovo izvođenje se zasniva na formulama sabiranja.

Detaljnije informacije prikupljene su u članku formule za duplo, trostruko itd. ugao.

Formule poluugla

Formule poluugla pokazuju kako se trigonometrijske funkcije poluugla izražavaju kosinusom cijelog ugla. Ove trigonometrijske formule slijede iz formula dvostrukog ugla.

Njihov zaključak i primjere primjene možete pronaći u članku.

Formule za smanjenje stepena


Trigonometrijske formule za redukciju stupnjeva dizajnirani su da olakšaju prijelaz sa prirodnih snaga trigonometrijskih funkcija na sinuse i kosinuse u prvom stepenu, ali više uglova. Drugim riječima, omogućavaju vam da smanjite moći trigonometrijskih funkcija na prvu.

Formule za zbir i razliku trigonometrijskih funkcija


Glavna svrha formule za zbir i razliku trigonometrijskih funkcija je ići na proizvod funkcija, što je vrlo korisno kada se pojednostavljuju trigonometrijski izrazi. Ove formule se također široko koriste u rješavanju trigonometrijske jednačine, budući da vam omogućavaju da faktorizirate zbir i razliku sinusa i kosinusa.

Formule za proizvod sinusa, kosinusa i sinus po kosinus


Prijelaz sa umnoška trigonometrijskih funkcija na zbir ili razliku vrši se pomoću formule za proizvod sinusa, kosinusa i sinus po kosinus.

Univerzalna trigonometrijska supstitucija

Pregled osnovnih formula trigonometrije završavamo formulama koje izražavaju trigonometrijske funkcije u terminima tangenta poluugla. Ova zamjena je pozvana univerzalna trigonometrijska supstitucija. Njegova pogodnost leži u činjenici da se sve trigonometrijske funkcije izražavaju u terminima tangente poluugla racionalno bez korijena.

Bibliografija.

  • algebra: Udžbenik za 9. razred. avg. škola/Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovsky - M.: Obrazovanje, 1990. - 272 str.: ilustr. - ISBN 5-09-002727-7
  • Bašmakov M. I. Algebra i počeci analize: Udžbenik. za 10-11 razred. avg. škola - 3. izd. - M.: Prosveta, 1993. - 351 str.: ilustr. - ISBN 5-09-004617-4.
  • Algebra i početak analize: Proc. za 10-11 razred. opšte obrazovanje institucije / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn i drugi; Ed. A. N. Kolmogorov - 14. izd. - M.: Obrazovanje, 2004. - 384 str.: ilustr. - ISBN 5-09-013651-3.
  • Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematika (priručnik za polaznike tehničkih škola): Proc. dodatak.- M.; Više škola, 1984.-351 str., ilustr.

Autorska prava cleverstudents

Sva prava zadržana.
Zaštićeno zakonom o autorskim pravima. Nijedan dio stranice, uključujući interne materijale i izgled, ne smije se reproducirati u bilo kojem obliku ili koristiti bez prethodne pismene dozvole vlasnika autorskih prava.