Objasnite princip rješavanja problema. Kocka je bačena jednom. Kolika je vjerovatnoća da se kotrlja manje od 4 boda? i dobio najbolji odgovor
Odgovor od Divergent[gurua]
50 posto
Princip je izuzetno jednostavan. Ukupni ishodi 6: 1,2,3,4,5,6
Od toga tri ispunjavaju uslov: 1,2,3, a tri ne: 4,5,6. Stoga je vjerovatnoća 3/6=1/2=0,5=50%
Odgovor od Ja sam supermen[guru]
Može postojati ukupno šest opcija (1,2,3,4,5,6)
A od ovih opcija 1, 2 i 3 su manje od četiri
Dakle 3 odgovora od 6
Da bismo izračunali vjerovatnoću, podijelimo povoljnu distribuciju na sve, tj. 3 sa 6 = 0,5 ili 50%
Odgovor od Oriy Dovbysh[aktivan]
50%
podijelite 100% sa brojem brojeva na kocki,
a zatim pomnožite primljeni postotak sa iznosom koji trebate saznati, odnosno sa 3)
Odgovor od Ivan Panin[guru]
Ne znam sigurno, spremam se za GIA, ali profesor mi je danas rekao nešto, samo o verovatnoći automobila, pošto sam shvatio da je odnos prikazan kao razlomak, na vrhu je broj povoljan , a na dnu, po mom mišljenju, generalno je generalno, pa, imali smo to o automobilima : U taksi kompaniji u ovog trenutka besplatno 3 crna, 3 žuta i 14 zelenih automobila. Jedan od automobila se odvezao do kupca. Nađite vjerovatnoću da će žuti taksi doći do njega. Dakle, postoje 3 žuta taksija i od ukupnog broja automobila njih su 3, ispada da na vrhu razlomka pišemo 3, pošto je ovo povoljan broj automobila, a na dnu pišemo 20 , posto ima ukupno 20 auta u taksi floti, tako da dobijemo vjerovatnocu 3 do 20 ili 3/20 kao razlomak, pa tako sam ja shvatio.... ne znam tacno kako da se nosim sa kosti, ali mozda je pomoglo na neki nacin...
Odgovor od 3 odgovora[guru]
Zdravo! Evo izbora tema sa odgovorima na vaše pitanje: Objasnite princip rješavanja problema. Kocka je bačena jednom. Kolika je vjerovatnoća da se kotrlja manje od 4 boda?
Zadaci za vjerovatnoća kockice ništa manje popularan od problema sa bacanjem novčića. Uslov takvog problema obično zvuči ovako: pri bacanju jedne ili više kockica (2 ili 3), kolika je vjerovatnoća da će zbir bodova biti jednak 10, ili će broj bodova biti 4, ili proizvod broja bodova, ili proizvod broja bodova podijeljen sa 2 itd.
Primena klasične formule verovatnoće je glavni metod za rešavanje problema ovog tipa.
Jedna smrt, vjerovatnoća.
Situacija je prilično jednostavna sa jednom kockom. određuje se formulom: P=m/n, gdje je m broj ishoda povoljnih za događaj, a n broj svih elementarnih jednako mogućih ishoda eksperimenta sa bacanjem kosti ili kocke.
Problem 1. Kockice se bacaju jednom. Kolika je vjerovatnoća da dobijete paran broj bodova?
Budući da je kocka kocka (ili se još naziva i obična kocka, kockica će pasti na sve strane sa jednakom vjerovatnoćom, budući da je uravnotežena), kockica ima 6 strana (broj bodova od 1 do 6, koji su obično označeno tačkama), to znači da problem ima ukupan broj ishoda: n=6. Događaju favorizuju samo ishodi u kojima se pojavljuje strana sa parnim tačkama 2,4 i 6, kocka ima sledeće strane: m=3. Sada možemo odrediti željenu vjerovatnoću kockice: P=3/6=1/2=0,5.
Zadatak 2. Kockice se bacaju jednom. Kolika je vjerovatnoća da ćete dobiti najmanje 5 bodova?
Ovaj problem je riješen analogno s gore navedenim primjerom. Prilikom bacanja kocke, ukupan broj jednako mogućih ishoda je: n=6, a samo 2 ishoda zadovoljavaju uslov zadatka (najmanje 5 bodova izbačeno, odnosno 5 ili 6 bodova), što znači m =2. Zatim nalazimo traženu vjerovatnoću: P=2/6=1/3=0,333.
Dve kocke, verovatnoća.
Prilikom rješavanja zadataka koji uključuju bacanje 2 kocke, vrlo je zgodno koristiti posebnu tablicu za bodovanje. Na njemu je horizontalno prikazan broj bodova koji su pali na prvu kocku, a vertikalno broj bodova koji su pali na drugu kocku. Radni komad izgleda ovako:
Ali postavlja se pitanje šta će biti u praznim ćelijama tabele? Zavisi od problema koji treba riješiti. Ako je problem u zbroju bodova, onda se tu upisuje zbir, a ako se radi o razlici, onda se upisuje razlika i tako dalje.
Zadatak 3. 2 kockice se bacaju u isto vrijeme. Kolika je vjerovatnoća da dobijete manje od 5 bodova?
Prvo, morate shvatiti koliki će biti ukupan broj ishoda eksperimenta. Sve je bilo očigledno pri bacanju jedne kockice, 6 strana kockice - 6 ishoda eksperimenta. Ali kada već postoje dvije kocke, mogući ishodi se mogu predstaviti kao uređeni parovi brojeva oblika (x, y), gdje x pokazuje koliko je bodova bačeno na prvoj kocki (od 1 do 6), a y - koliko je bodova bačeno na drugoj kocki (od 1 do 6). Ukupno će biti takvih parova brojeva: n=6*6=36 (u tabeli ishoda odgovaraju tačno 36 ćelija).
Sada možete popuniti tabelu; da biste to učinili, u svaku ćeliju se upisuje broj bodova koji je pao na prvu i drugu kocku. Popunjena tabela izgleda ovako:
Pomoću tabele ćemo odrediti broj ishoda koji favorizuju događaj „pojaviće se ukupno manje od 5 poena“. Izbrojimo broj ćelija u kojima će zbroj biti manji od broja 5 (to su 2, 3 i 4). Radi praktičnosti slikamo preko takvih ćelija; bit će ih m=6:
Uzimajući u obzir podatke tabele, vjerovatnoća kockice jednako: P=6/36=1/6.
Zadatak 4. Bačene su dvije kockice. Odrediti vjerovatnoću da će proizvod broja bodova biti djeljiv sa 3.
Da bismo riješili problem, napravimo tablicu proizvoda bodova koji su pali na prvu i drugu kocku. U njemu odmah ističemo brojeve koji su višestruki od 3:
Zapisujemo ukupan broj ishoda eksperimenta n=36 (razlog je isti kao u prethodnom zadatku) i broj povoljnih ishoda (broj ćelija koje su zasjenjene u tabeli) m=20. Vjerovatnoća događaja je: P=20/36=5/9.
Zadatak 5. Kocka se baca dva puta. Kolika je vjerovatnoća da će razlika u broju poena na prvoj i drugoj kocki biti od 2 do 5?
Kako bi se utvrdilo vjerovatnoća kockice Zapišimo tablicu razlika u bodovima i izaberimo u njoj one ćelije čija će vrijednost razlike biti između 2 i 5:
Broj povoljnih ishoda (broj ćelija zasjenjenih u tabeli) je m=10, ukupan broj jednako mogućih elementarnih ishoda će biti n=36. Određuje vjerovatnoću događaja: P=10/36=5/18.
U slučaju jednostavnog događaja i kada bacate 2 kockice, morate napraviti tablicu, zatim odabrati potrebne ćelije u njoj i podijeliti njihov broj sa 36, to će se smatrati vjerojatnošću.
Problem 19 ( OGE - 2015, Yashchenko I.V.)
Olya, Denis, Vitya, Arthur i Rita bacili su ždrijeb ko bi trebao započeti igru. Pronađite vjerovatnoću da Rita počne igru.
Rješenje
Ukupno 5 ljudi može započeti igru.
Odgovor: 0.2.
Problem 19 ( OGE - 2015, Yashchenko I.V.)
Miša je u džepu imao četiri bombona - "Grillage", "Maska", "Vjeverica" i "Crvenkapa", kao i ključeve od stana. Dok je vadio ključeve, Miši je slučajno ispao jedan slatkiš. Pronađite vjerovatnoću da se maska bombon izgubi.
Rješenje
Postoje ukupno 4 opcije.
Verovatnoća da je Miši ispao bombon Mask jednaka je
Odgovor: 0,25.
Problem 19 ( OGE - 2015, Yashchenko I.V.)
Kockice (kockice) se bacaju jednom. Kolika je vjerovatnoća da dobijeni broj nije manji od 3?
Rješenje
Postoji ukupno 6 različitih opcija za bodovanje na kockici.
Broj bodova, ne manji od 3, može biti: 3,4,5,6 - odnosno 4 opcije.
To znači da je vjerovatnoća P = 4/6 = 2/3.
Odgovor: 2/3.
Problem 19 ( OGE - 2015, Yashchenko I.V.)
Baka je odlučila svom unuku Iljuši dati neko nasumično odabrano voće za putovanje. Imala je 3 zelene jabuke, 3 zelene kruške i 2 žute banane. Nađite vjerovatnoću da će Ilja dobiti zeleno voće od svoje bake.
Rješenje
3+3+2 = 8 - ukupno plodova. Od toga je 6 zelenih (3 jabuke i 3 kruške).
Tada je vjerovatnoća da će Ilja dobiti zeleno voće od svoje bake jednaka
P = 6/8 = 3/4 = 0,75.
Odgovor: 0,75.
Problem 19 ( OGE - 2015, Yashchenko I.V.)
Kockice se bacaju dva puta. Nađite vjerovatnoću da se broj veći od 3 baca oba puta.
Rješenje
6*6 = 36 - ukupan broj mogućih brojeva pri bacanju dvije kocke.
Opcije koje nam odgovaraju su:
Ukupno postoji 9 takvih opcija.
To znači da je vjerovatnoća da je broj veći od 3 bačen oba puta jednaka
P = 9/36 = 1/4 = 0,25.
Odgovor: 0,25.
Problem 19 ( OGE - 2015, Yashchenko I.V.)
Kockice (kockice) se bacaju 2 puta. Odredite vjerovatnoću da se jednom baci broj veći od 3, a drugi put broj manji od 3.
Rješenje
Ukupno opcija: 6*6 = 36.
Odgovaraju nam sljedeći rezultati:
Ciljevi lekcije:
Učenici treba da znaju:
- određivanje vjerovatnoće slučajnog događaja;
- biti u stanju riješiti probleme kako bi pronašao vjerovatnoću slučajnog događaja;
- biti u stanju primijeniti teorijska znanja u praksi.
Ciljevi lekcije:
Obrazovni: stvoriti uslove da učenici ovladaju sistemom znanja, vještina i sposobnosti sa konceptima vjerovatnoće događaja.
Vaspitni: formirati naučni pogled na svijet kod učenika
Razvojni: razvijati kod učenika kognitivni interes, kreativnost, volju, pamćenje, govor, pažnju, maštu, percepciju.
Metode organizovanja obrazovnih i kognitivnih aktivnosti:
- vizuelno,
- praktično,
- po mentalnoj aktivnosti: induktivna,
- prema asimilaciji materijala: djelimično traženi, reproduktivni,
- po stepenu samostalnosti: samostalan rad,
- stimulativno: ohrabrenje,
- vrste kontrole: provjeravanje samostalno riješenih problema.
Plan lekcije
- Oralne vježbe
- Učenje novog gradiva
- Rješavanje zadataka.
- Samostalan rad.
- Sumiranje lekcije.
- Komentarišući domaći zadatak.
Oprema: multimedijalni projektor (prezentacija), kartice ( samostalan rad)
Tokom nastave
I. Organizacioni momenat.
Organizacija časa tokom čitavog časa, spremnost učenika za čas, red i disciplina.
Postavljanje ciljeva učenja za učenike, kako za cijeli čas tako i za njegove pojedinačne faze.
Odrediti značaj gradiva koje se proučava, kako u ovoj temi, tako iu cijelom predmetu.
II. Ponavljanje
1. Šta je vjerovatnoća?
Vjerovatnoća je mogućnost da se nešto dogodi ili da je izvodljivo.
2. Koju definiciju daje osnivač moderne teorije vjerovatnoće A.N. Kolmogorov?
Matematička vjerovatnoća je numerička karakteristika stepena mogućnosti nastanka određenog događaja u određenim određenim uslovima koji se može ponoviti neograničen broj puta.
3. Koji klasična definicija Daju li autori školskih udžbenika vjerovatnoće?
Vjerovatnoća P(A) događaja A u ispitivanju sa jednako mogućim elementarnim ishodima je omjer broja ishoda m povoljnih za događaj A prema broju n svih ishoda ispitivanja.
Zaključak: u matematici se vjerovatnoća mjeri brojem.
Danas ćemo nastaviti da razmatramo matematički model „kockice“.
Predmet istraživanja u teoriji vjerovatnoće su događaji koji se pojavljuju pod određenim uslovima i koji se mogu reproducirati neograničen broj puta. Svako pojavljivanje ovih stanja naziva se test.
Test je bacanje kocke.
Događaj – bacanje šestice ili bacanje paran broj poena.
Kada bacate kockicu više puta, svaka strana ima istu vjerovatnoću da se pojavi (kocka je poštena).
III. Usmeno rješavanje problema.
1. Kockice (kockice) su bačene jednom. Kolika je vjerovatnoća da je 4 bačena?
Rješenje. Nasumični eksperiment je bacanje kockice. Događaj – broj na ispuštenoj strani. Ima samo šest lica. Nabrojimo sve događaje: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Dakle P= 6. Događaj A = (4 bačena boda) favorizira jedan događaj: 4. Dakle T= 1. Događaji su podjednako mogući, jer se pretpostavlja da je kockica poštena. Stoga je P(A) = t/n= 1/6 = 0,17.
2. Kockice (kockice) su bačene jednom. Kolika je vjerovatnoća da ne dobijete više od 4 boda?
P= 6. Događaj A = (ne više od 4 bačena boda) favoriziraju 4 događaja: 1, 2, 3, 4. Stoga T= 4. Prema tome P(A) = t/n= 4/6 = 0,67.
3. Kockice (kockice) su bačene jednom. Kolika je vjerovatnoća da se kotrlja manje od 4 boda?
Rješenje. Nasumični eksperiment je bacanje kockice. Događaj – broj na ispuštenoj strani. Sredstva P= 6. Događaj A = (manje od 4 bačena boda) favoriziraju 3 događaja: 1, 2, 3. Stoga T= 3. P(A) = t/n= 3/6 = 0,5.
4. Kockice (kockice) su bačene jednom. Kolika je vjerovatnoća da se dobije neparan broj bodova?
Rješenje. Nasumični eksperiment je bacanje kockice. Događaj – broj na ispuštenoj strani. Sredstva P= 6. Događaj A = (ispušten neparan broj bodova) favorizuje 3 događaja: 1,3,5. Zbog toga T= 3. P(A) = t/n= 3/6 = 0,5.
IV. Učenje novih stvari
Danas ćemo razmotriti probleme kada se u slučajnom eksperimentu koriste dvije kockice ili se izvode dva ili tri bacanja.
1. U slučajnom eksperimentu bacaju se dvije kockice. Nađite vjerovatnoću da je zbir izvučenih bodova 6. Zaokružite odgovor na najbližu stotinu .
Rješenje. Ishod ovog eksperimenta je uređeni par brojeva. Prvi broj će se pojaviti na prvom kocku, drugi na drugom. Zgodno je prikazati skup ishoda u tabeli.
Redovi odgovaraju broju bodova na prvom kocku, stupci - na drugom kocku. Ukupni elementarni događaji P= 36.
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | |
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |
| 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
Napišimo zbir ubačenih bodova u svakoj ćeliji i bojimo ćelije u kojima je zbir 6.
Takvih ćelija ima 5. To znači da događaj A = (zbir izvučenih bodova je 6) favorizira 5 ishoda. dakle, T= 5. Dakle, P(A) = 5/36 = 0,14.
2. U slučajnom eksperimentu bacaju se dvije kockice. Pronađite vjerovatnoću da će ukupan iznos biti 3 boda. Zaokružite rezultat na stotinke .
P= 36.
Događaju A = (zbir je jednak 3) favoriziraju 2 ishoda. dakle, T= 2.
Dakle, P(A) = 2/36 = 0,06.
3. U slučajnom eksperimentu bacaju se dvije kockice. Pronađite vjerovatnoću da će ukupan iznos biti veći od 10 bodova. Zaokružite rezultat na stotinke .
Rješenje. Ishod ovog eksperimenta je uređeni par brojeva. Totalni događaji P= 36.
Događaj A = (ukupno više od 10 bodova će biti bačeno) favoriziraju 3 ishoda.
dakle, T
4. Lyuba baca kocku dva puta. Ukupno je postigla 9 poena. Nađite vjerovatnoću da jedno od bacanja rezultira sa 5 poena .
Rješenje Ishod ovog eksperimenta je uređeni par brojeva. Prvi broj će se pojaviti na prvom bacanju, drugi na drugom. Zgodno je prikazati skup ishoda u tabeli.
Redovi odgovaraju rezultatu prvog bacanja, kolone - rezultatu drugog bacanja.
Ukupni događaji za koje je ukupan rezultat 9 P= 4. Događaj A = (jedno od bacanja je rezultiralo 5 poena) favoriziraju 2 ishoda. dakle, T= 2.
Dakle, P(A) = 2/4 = 0,5.
5. Sveta baca kocku dva puta. Ukupno je postigla 6 poena. Pronađite vjerovatnoću da jedno od bacanja rezultira 1 poen.
Prvo bacanje |
Drugo bacanje |
Zbir bodova |
||
Postoji 5 jednako mogućih ishoda.
Vjerovatnoća događaja je p = 2/5 = 0,4.
6. Olya baca kocku dva puta. Osvojila je ukupno 5 poena. Pronađite vjerovatnoću da pri prvom bacanju dobijete 3 boda.
Prvo bacanje |
Drugo bacanje |
Zbir bodova |
||
| + | = | |||
| + | = | |||
| + | = | |||
| + | = |
Postoje 4 jednako moguća ishoda.
Povoljni ishodi – 1.
Vjerovatnoća događaja R= 1/4 = 0,25.
7. Natasha i Vitya igraju kockice. Bacaju kockice jednom.
Onaj ko baci više poena pobjeđuje. Ako su bodovi jednaki, onda je neriješeno. Ukupno ima 8 bodova. Pronađite vjerovatnoću da je Nataša pobijedila.
Zbir bodova |
||||
| + | = | |||
| + | = | |||
| + | = | |||
| + | = | |||
| + | = |
Postoji 5 jednako mogućih ishoda.
Povoljni ishodi – 2.
Vjerovatnoća događaja R= 2/5 = 0,4.
8. Tanya i Natasha igraju kockice. Bacaju kockice jednom. Onaj ko baci više poena pobjeđuje. Ako su bodovi jednaki, onda je neriješeno. Ukupno je bačeno 6 bodova. Pronađite vjerovatnoću da je Tanja izgubila.
| Tanja | Natasha | Zbir bodova | ||
| + | = | |||
| + | = | |||
| + | = | |||
| + | = | |||
| + | = |
Postoji 5 jednako mogućih ishoda.
Povoljni ishodi – 2.
Vjerovatnoća događaja R= 2/5 = 0,4.
9. Kolya i Lena igraju kockice. Bacaju kockice jednom. Onaj ko baci više poena pobjeđuje. Ako su bodovi jednaki, onda je neriješeno. Kolja je prvi bacio i dobio 3 poena. Pronađite vjerovatnoću da Lena ne pobijedi.
Kolya je dobio 3 boda.
Lena ima 6 jednako mogućih ishoda.
Postoje 3 povoljna ishoda za gubitak (kod 1 i kod 2 i kod 3).
Vjerovatnoća događaja R= 3/6 = 0,5.
10. Maša baca kocku tri puta. Kolika je vjerovatnoća da sva tri puta dobijete parne brojeve?
Maša ima 6 6 6 = 216 jednako mogućih ishoda.
Postoji 3 · 3 · 3 = 27 povoljnih ishoda za gubitak.
Vjerovatnoća događaja R= 27/216 = 1/8 = 0,125.
11. U slučajnom eksperimentu bacaju se tri kockice. Pronađite vjerovatnoću da će ukupan iznos biti 16 bodova. Zaokružite rezultat na stotinke.
Rješenje.
| Sekunda | Treće | Zbir bodova | ||||
| + | + | = | ||||
| + | + | = | ||||
| + | + | = | ||||
| + | + | = | ||||
| + | + | = | ||||
| + | + | = |
Jednako mogući ishodi – 6 6 6 = 216.
Povoljni ishodi – 6.
Vjerovatnoća događaja R= 6/216 = 1/36 = 0,277... = 0,28. dakle, T= 3. Dakle, P (A) = 3/36 = 0,08.
V. Samostalni rad.
Opcija 1.
- Kockice (kockice) se bacaju jednom. Kolika je vjerovatnoća da ste osvojili najmanje 4 boda? (Odgovor: 0,5)
- U nasumičnom eksperimentu bacaju se dvije kockice. Pronađite vjerovatnoću da će ukupan iznos biti 5 bodova. Zaokružite rezultat na stotinke. (Odgovor: 0,11)
- Anya baca kockice dva puta. Osvojila je ukupno 3 boda. Pronađite vjerovatnoću da pri prvom bacanju dobijete 1 bod. (Odgovor: 0,5)
- Katya i Ira igraju kockice. Bacaju kockice jednom. Onaj ko baci više poena pobjeđuje. Ako su bodovi jednaki, onda je neriješeno. Ukupno je 9 bodova. Pronađite vjerovatnoću da je Ira izgubila. (Odgovor: 0,5)
- U slučajnom eksperimentu bacaju se tri kockice. Pronađite vjerovatnoću da će ukupan iznos biti 15 bodova. Zaokružite rezultat na stotinke. (Odgovor: 0,05)
Opcija 2.
- Kockice (kockice) se bacaju jednom. Kolika je vjerovatnoća da ne dobijete više od 3 boda? (Odgovor: 0,5)
- U nasumičnom eksperimentu bacaju se dvije kockice. Pronađite vjerovatnoću da će ukupan iznos biti 10 bodova. Zaokružite rezultat na stotinke. (Odgovor: 0,08)
- Zhenya baca kocku dvaput. Osvojila je ukupno 5 poena. Pronađite vjerovatnoću da pri prvom bacanju dobijete 2 boda. (Odgovor: 0,25)
- Maša i Daša igraju kockice. Bacaju kockice jednom. Onaj ko baci više poena pobjeđuje. Ako su bodovi jednaki, onda je neriješeno. Ukupno je bilo 11 bodova. Pronađite vjerovatnoću da je Maša pobijedila. (Odgovor: 0,5)
- U slučajnom eksperimentu bacaju se tri kockice. Pronađite vjerovatnoću da će ukupan iznos biti 17 bodova. Zaokružite rezultat
VI. Zadaća
- U slučajnom eksperimentu bacaju se tri kockice. Ukupno ima 12 bodova. Pronađite vjerovatnoću da pri prvom bacanju dobijete 5 bodova. Zaokružite rezultat na najbližu stotu.
- Katya baca kocku tri puta. Kolika je vjerovatnoća da će se isti brojevi pojaviti sva tri puta?
VII. Sažetak lekcije
Šta trebate znati da biste pronašli vjerovatnoću slučajnog događaja?
Da biste izračunali klasičnu vjerovatnoću, morate znati sve moguće ishode događaja i povoljne ishode.
Klasična definicija vjerovatnoće primjenjiva je samo na događaje sa jednako vjerovatnim ishodima, što ograničava njen obim.
Zašto u školi učimo teoriju vjerovatnoće?
Mnoge pojave u svijetu oko nas mogu se opisati samo pomoću teorije vjerovatnoće.
Književnost
- Algebra i počeci matematičke analize 10-11. razred: udžbenik. za opšte obrazovne ustanove: osnovni nivo / [Sh.A. Alimov, Yu.M. Kolyagin, M.V. Tkacheva, itd.]. – 16. izd., prerađeno. – M.: Obrazovanje, 2010. – 464 str.
- Semenov A.L. Jedinstveni državni ispit: 3000 zadataka sa odgovorima iz matematike. Svi zadaci grupe B / – 3. izd., prerađeno. i dodatne – M.: Izdavačka kuća “Ispit”, 2012. – 543 str.
- Vysotsky I.R., Yashchenko I.V. Jedinstveni državni ispit 2012. Matematika. Problem B10. Teorija vjerovatnoće. Radna sveska/Ed. A.L. Semenov i I.V. Yashchenko. – M.: MCSHMO, 2012. – 48 str.
