Izračunajte površinu okretanja online. Određivanje volumena tijela iz površina poprečnih presjeka. Proračun volumena tijela okretanja

Prije nego što pređemo na formule za površinu okretne površine, daćemo kratku formulaciju same površine okretanja. Revoluciona površina ili, što je isto, površina obrtnog tijela je prostorna figura nastala rotacijom segmenta AB krivulja oko ose Ox(slika ispod).

Hajde da zamislimo zakrivljeni trapez, omeđen gore navedenim segmentom krive. Tijelo nastalo rotacijom ovog trapeza oko iste ose Ox, i tijelo je rotacije. A površina površine okretanja ili površina tijela okretanja je njegova vanjska ljuska, ne računajući krugove nastale rotacijom oko osi pravih linija x = a I x = b .

Imajte na umu da se tijelo okretanja i, shodno tome, njegova površina također mogu formirati rotiranjem figure ne oko ose Ox, i oko ose Oy.

Izračunavanje površine okretne površine navedene u pravokutnim koordinatama

Neka u pravokutnim koordinatama na ravni bude jednačina y = f(x) specificirana je kriva čija rotacija oko koordinatne ose formira tijelo okretanja.

Formula za izračunavanje površine okretanja je sljedeća:

(1).

Primjer 1. Pronađite površinu paraboloida nastalog rotacijom oko svoje ose Ox luk parabole koji odgovara promjeni x od x= 0 do x = a .

Rješenje. Izrazimo eksplicitno funkciju koja definira luk parabole:

Nađimo derivaciju ove funkcije:

Prije upotrebe formule za pronalaženje površine okretne površine, napišimo dio njenog integrala koji predstavlja korijen i zamijenimo derivaciju koju smo upravo tamo pronašli:

Odgovor: Dužina luka krive je

Primjer 2. Pronađite površinu nastalu rotacijom oko ose Ox astroid.

Rješenje. Dovoljno je izračunati površinu koja nastaje rotacijom jedne grane astroida, koja se nalazi u prvoj četvrtini, i pomnožiti je sa 2. Iz jednačine astroida eksplicitno ćemo izraziti funkciju koju ćemo morati zamijeniti u formula za pronalaženje površine rotacije:

Integriramo od 0 do a:

Izračunavanje parametarski specificirane površine okretne površine

Razmotrimo slučaj kada je kriva koja formira površinu okretanja data parametarskim jednadžbama

Tada se površina rotacije izračunava po formuli

(2).

Primjer 3. Pronađite površinu okretne površine koja se formira rotacijom oko ose Oy lik omeđen cikloidom i pravom linijom y = a. Zadana je cikloida parametarske jednačine

Rješenje. Nađimo tačke preseka cikloide i prave linije. Izjednačavanje cikloidne jednačine i jednadžba linije y = a, hajde da nađemo

Iz ovoga slijedi da granice integracije odgovaraju

Sada možemo primijeniti formulu (2). Nađimo derivate:

Zapišimo radikalni izraz u formulu, zamjenjujući pronađene derivate:

Nađimo korijen ovog izraza:

Zamijenimo ono što smo pronašli u formulu (2):

Napravimo zamjenu:

I konačno pronalazimo

Za transformaciju izraza korištene su trigonometrijske formule

Odgovor: Površina okretanja je .

Izračunavanje površine okretne površine određene u polarnim koordinatama

Neka je kriva, čija rotacija formira površinu, specificirana u polarnim koordinatama.

Ako je kriva data parametarskim jednadžbama, tada se površina dobivena rotacijom ove krive oko ose izračunava po formuli . U ovom slučaju, „smjer crtanja“ linije, o kojoj je u članku polomljeno toliko kopija, je indiferentan. Ali, kao iu prethodnom paragrafu, važno je da se kriva nalazi viši x-osa - inače će preuzeti funkcija "odgovorna za igre". negativne vrijednosti i moraćete da stavite znak minus ispred integrala.

Primjer 3

Izračunajte površinu sfere dobijenu rotacijom kruga oko ose.

Rješenje: iz članka na površini i zapremini za parametarski definisanu liniju znate da jednačine definiraju krug sa centrom u početku poluprečnika 3.

dobro i sfera , za one koji su zaboravili, ovo je površina lopta(ili sferna površina).

Pridržavamo se utvrđene šeme rješenja. Nađimo derivate:

Hajde da sastavimo i pojednostavimo korijen "formule":

Nepotrebno je reći da se ispostavilo da je to bio slatkiš. Pogledajte za poređenje kako je Fichtenholtz udario glavom s tim područjem elipsoid revolucije.

Prema teorijskoj napomeni, smatramo gornji polukrug. Ona se „crta“ kada se vrijednost parametra promijeni unutar granica (to je lako vidjeti na ovom intervalu), dakle:

Odgovori:

Ako problem riješite u općem obliku, dobit ćete tačno školsku formulu za površinu kugle, gdje je njen polumjer.

Bio je to tako bolno jednostavan zadatak, čak sam se i sramio... Predlažem da ispravite ovu grešku =)

Primjer 4

Izračunajte površinu dobivenu rotacijom prvog luka cikloide oko ose.

Zadatak je kreativan. Pokušajte izvesti ili intuitivno pogoditi formulu za izračunavanje površine dobivene rotiranjem krivulje oko ordinatne ose. I, naravno, treba ponovo istaći prednost parametarskih jednačina – ne moraju se ni na koji način modificirati; nema potrebe da se mučite sa pronalaženjem drugih granica integracije.

Grafikon cikloida možete pogledati na stranici Površina i volumen, ako je linija specificirana parametarski. Površina rotacije će ličiti... ne znam ni sa čim da je uporedim... nešto nezemaljsko - okruglog oblika sa šiljastim udubljenjem u sredini. Za slučaj rotacije cikloide oko ose, odmah mi je pala na pamet asocijacija - duguljasta ragbi lopta.

Rješenje i odgovor nalaze se na kraju lekcije.

Završavamo našu fascinantnu recenziju slučajem polarne koordinate. Da, samo pregled, ako pogledate udžbenike matematičke analize (Fichtenholtz, Bokhan, Piskunov, drugi autori), možete dobiti desetak (ili čak mnogo više) standardnih primjera, među kojima ćete možda pronaći problem koji vam je potreban .

Kako izračunati površinu okretanja,
ako je prava data u polarnom koordinatnom sistemu?

Ako je kriva data polarne koordinate jednadžba, a funkcija ima kontinuirani izvod na datom intervalu, tada se površina dobijena rotacijom ove krive oko polarne ose izračunava po formuli , gdje su ugaone vrijednosti koje odgovaraju krajevima krive.

U skladu sa geometrijskog smisla integrand problemi , a to se postiže samo pod uslovom (i očito su nenegativni). Stoga je potrebno uzeti u obzir vrijednosti uglova iz raspona, drugim riječima, krivulja treba biti locirana viši polarne ose i njenog nastavka. Kao što vidite, ista priča kao u prethodna dva paragrafa.

Primjer 5

Izračunajte površinu nastalu rotacijom kardioida oko polarne ose.

Rješenje: grafik ove krive se može vidjeti u primjeru 6 lekcije o polarni koordinatni sistem. Kardioid je simetričan u odnosu na polarne ose, pa u intervalu razmatramo njegovu gornju polovinu (što je, u stvari, posledica gornje napomene).

Površina rotacije će ličiti na jabuku.

Tehnika rješenja je standardna. Nađimo derivat u odnosu na "phi":

Sastavimo i pojednostavimo korijen:

Nadam se sa redovnim trigonometrijske formule niko nije imao poteškoća.

Koristimo formulu:

Između , dakle: (Detaljno sam govorio o tome kako se pravilno riješiti root-a u članku Dužina luka krive).

Odgovori:

Zanimljiv i kratak zadatak za nezavisna odluka:

Primjer 6

Izračunajte površinu sfernog pojasa,

Šta je kuglični pojas? Stavite okruglu, neoljuštenu narandžu na sto i uzmite nož. Napravite dva paralelno rezati i tako podijeliti voće na 3 dijela proizvoljne veličine. Sada uzmite centar, koji ima sočno meso izloženo sa obe strane. Ovo tijelo se zove sferni sloj, i površina koja ga ograničava (narandžina kora) – loptasti pojas.

Čitaoci upoznati sa polarne koordinate, lako je predstavio crtež problema: jednačina specificira krug sa centrom na polu polumjera , iz kojeg zraci odsječen manje arc. Ovaj luk rotira oko polarne ose i tako stvara sferni pojas.

Sada možete jesti narandžu mirne savjesti i laka srca, a na ovoj ukusnoj noti ćemo završiti lekciju, nemojte si kvariti apetit drugim primjerima =)

Rješenja i odgovori:

Primjer 2:Rješenje : izračunajte površinu nastalu rotacijom gornje grane oko ose apscise. Koristimo formulu .
U ovom slučaju: ;

ovako:

Odgovori:

Primjer 4:Rješenje : koristite formulu . Prvi luk cikloide definiran je na segmentu .
Nađimo derivate:

Sastavimo i pojednostavimo korijen:

Dakle, površina rotacije je:

Između , Zbog toga

Prvi integralintegrirati po dijelovima :

U drugom integralu koji koristimotrigonometrijska formula .

Odgovori:

Primjer 6:Rješenje : koristite formulu:

Odgovori:

Viša matematika za dopisne studente i više >>>

(Idi na glavnu stranicu)

Kako izračunati definitivni integral
korištenjem trapezoidne formule i Simpsonove metode?

Numeričke metode su prilično veliki dio više matematike i ozbiljni udžbenici na ovu temu sadrže stotine stranica. U praksi, u testovi Tradicionalno se neki problemi predlažu za rješavanje numeričkim metodama, a jedan od uobičajenih problema je približni proračun određeni integrali. U ovom članku ću pogledati dvije metode približnog izračuna definitivni integral – trapezoidna metoda I Simpsonova metoda.

Šta trebate znati da biste savladali ove metode? Možda zvuči smiješno, ali možda uopće nećete moći uzeti integrale. A ti ni ne razumiješ šta su integrali. Od tehničkih sredstava trebat će vam mikrokalkulator. Da, da, čekaju nas rutinski školski obračuni. Još bolje, preuzmite moj poluautomatski kalkulator za metodu trapeza i Simpsonovu metodu. Kalkulator je napisan u Excel-u i smanjiće vrijeme potrebno za rješavanje i dovršavanje problema za desetine puta. Za Excel lutke, video priručnik je uključen! Inače, prvi video snimak sa mojim glasom.

Prvo, zapitajmo se: zašto su nam uopće potrebni približni proračuni? Izgleda da ga možete pronaći antiderivat funkcije i koristite Newton-Leibniz formulu, izračunavajući tačnu vrijednost određenog integrala. Da bismo odgovorili na pitanje, pogledajmo odmah demo primjer sa slikom.

Izračunati definitivni integral

Sve bi bilo u redu, ali u ovom primjeru integral se ne može uzeti - pred vama je neuzeti integral, tzv integralni logaritam. Da li ovaj integral uopšte postoji? Opišimo na crtežu graf integrand funkcije:

Sve je uredu. Integrand kontinuirano na segmentu i definitivni integral je numerički jednak osenčenoj površini. Postoji samo jedna kvaka: integral se ne može uzeti. I u takvim slučajevima oni priskaču u pomoć numeričke metode. U ovom slučaju problem se javlja u dvije formulacije:

1) Približno izračunati definitivni integral , zaokružujući rezultat na određeno decimalno mjesto. Na primjer, do dvije decimale, do tri decimale, itd. Pretpostavimo da je približan odgovor 5.347. Zapravo, možda nije sasvim tačno (u stvarnosti, recimo, tačniji odgovor je 5,343). Naš zadatak je samo to zaokružiti rezultat na tri decimale.

2) Približno izračunati definitivni integral, sa određenom tačnošću. Na primjer, izračunajte određeni integral približno s točnošću od 0,001. Šta to znači? To znači da ako je približan odgovor 5,347, onda Sve brojevi moraju biti armiranobetonski ispravan. Tačnije, odgovor 5,347 bi se trebao razlikovati od istine u apsolutnoj vrijednosti (u jednom ili drugom smjeru) za najviše 0,001.

Postoji nekoliko osnovnih metoda za približno izračunavanje definitivnog integrala koji se javlja u problemima:

Metoda pravougaonika. Segment integracije je podijeljen na nekoliko dijelova i konstruisana je figura koraka ( trakasti grafikon), koji je po površini blizu željenog područja:

Ne sudite strogo po crtežima, tačnost nije idealna - oni samo pomažu da se shvati suština metoda.

U ovom primjeru, segment integracije je podijeljen u tri segmenta:
. Očigledno, što je particioniranje češće (više manjih međusegmenata), to je veća tačnost. Metoda pravokutnika daje grubu aproksimaciju površine, zbog čega se očito vrlo rijetko nalazi u praksi (sjećam se samo jednog praktični primjer). S tim u vezi, neću razmatrati metodu pravokutnika, pa čak ni neću dati jednostavna formula. Ne zato što sam lijen, već zbog principa moje knjige rješenja: ne uzima se u obzir ono što je izuzetno rijetko u praktičnim problemima.

Trapezoidna metoda. Ideja je slična. Integracijski segment je podijeljen na nekoliko srednjih segmenata, a graf funkcije integranda se približava slomljena linija linija:

Dakle, naše područje (plavo sjenčanje) je aproksimirano zbirom površina trapeza (crveno). Otuda i naziv metode. Lako je vidjeti da metoda trapeza daje mnogo bolju aproksimaciju od metode pravokutnika (sa istim brojem segmenata particije). I, naravno, što više manjih međusegmenata uzmemo u obzir, to će biti veća preciznost. Trapezoidna metoda se s vremena na vrijeme nalazi u praktični zadaci, a u ovom članku ćemo pogledati nekoliko primjera.

Simpsonova metoda (parabola metoda). Ovo je naprednija metoda - graf integranda se aproksimira ne isprekidanom linijom, već malim parabolama. Malih parabola ima onoliko koliko i srednjih segmenata. Ako uzmemo ista tri segmenta, onda će Simpsonova metoda dati još precizniju aproksimaciju od metode pravokutnika ili metode trapeza.

Ne vidim smisao u konstruiranju crteža, jer će se vizualna aproksimacija nadovezati na graf funkcije (isprekidana linija prethodnog pasusa - a čak i tada se gotovo poklopila).

Problem izračunavanja određenog integrala pomoću Simpsonove formule je najpopularniji zadatak u praksi. A metodi parabole će se posvetiti velika pažnja.

5. Pronalaženje površine rotacijskih tijela

Neka je kriva AB grafik funkcije y = f(x) ≥ 0, gdje je x [a; b], a funkcija y = f(x) i njen izvod y" = f"(x) su neprekidni na ovom segmentu.

Nađimo površinu S površine nastalu rotacijom krive AB oko ose Ox (slika 8).

Primijenimo šemu II (diferencijalna metoda).

Kroz proizvoljnu tačku x [a; b] nacrtajte ravan P okomitu na osu Ox. Ravan P seče površinu rotacije u krugu poluprečnika y – f(x). Veličina S površine dijela figure okretanja koja leži lijevo od ravni je funkcija x, tj. s = s(x) (s(a) = 0 i s(b) = S).

Dajemo argumentu x prirast Δx = dx. Kroz tačku x + dx [a; b] također crtamo ravan okomitu na Ox osu. Funkcija s = s(x) će dobiti povećanje od Δs, prikazano na slici kao “pojas”.

Nađimo diferencijalnu površinu ds tako što lik formiran između presjeka zamijenimo skraćenim konusom, čija je generatrisa jednaka dl, a polumjeri baza jednaki y i y + du. Površina njegove bočne površine jednaka je: = 2ydl + dydl.

Odbacivanje proizvoda du d1 kao beskonačno malog višeg reda nego ds, dobijamo ds = 2udl, ili, pošto je d1 = dx.

Integrirajući rezultirajuću jednakost u rasponu od x = a do x = b, dobijamo

Ako je kriva AB data parametarskim jednadžbama x = x(t), y = y(t), t≤ t ≤ t, tada formula za površinu rotacije ima oblik

S=2 dt.

Primjer: Pronađite površinu lopte polumjera R.

S=2 =

6. Pronalaženje rada promjenjive sile

Rad promjenjive sile

Neka materijalna tačka M se kreće duž ose Ox pod dejstvom promenljive sile F = F(x) usmerene paralelno sa ovom osom. Rad koji vrši sila prilikom pomeranja tačke M iz položaja x = a u položaj x = b (a

Koliki rad treba obaviti da se opruga rastegne za 0,05 m ako sila od 100 N istegne oprugu za 0,01 m?

Prema Hookeovom zakonu, sila elastičnosti koja rasteže oprugu proporcionalna je ovom istezanju x, tj. F = kh, gdje je k koeficijent proporcionalnosti. Prema uslovima zadatka, sila F = 100 N rasteže oprugu za x = 0,01 m; dakle, 100 = k 0,01, odakle je k = 10000; dakle, F = 10000x.

Potreban posao na osnovu formule

Pronađite rad koji se mora uložiti da bi se tečnost pumpala preko ivice iz vertikalnog cilindričnog rezervoara visine N m i poluprečnika osnove R m (slika 13).

Rad utrošen na podizanje tijela težine p na visinu h jednak je p N. Ali različiti slojevi tekućine u spremniku su na različitim dubinama i visini uspona (do ruba rezervoara) različitih slojevi nisu isti.

Za rješavanje problema primjenjujemo šemu II (diferencijalna metoda). Hajde da uvedemo koordinatni sistem.

1) Rad utrošen na ispumpavanje sloja tečnosti debljine x (0 ≤ x ≤ H) iz rezervoara je funkcija x, tj. A = A(x), gdje je (0 ≤ x ≤ H) (A(0) = 0, A(H) = A 0).

2) Pronađite glavni dio prirasta ΔA kada se x promijeni za iznos Δx = dx, tj. nalazimo diferencijal dA funkcije A(x).

Zbog male veličine dx, pretpostavljamo da se „elementarni“ sloj tečnosti nalazi na istoj dubini x (od ivice rezervoara). Tada je dA = drh, gdje je dr težina ovog sloja; jednaka je g AV, gdje je g ubrzanje gravitacije, gustina tečnosti, dv zapremina „elementarnog“ sloja tečnosti (naglašeno je na slici), tj. dr = g. Zapremina naznačenog sloja tečnosti je očigledno jednaka , gde je dx visina cilindra (sloja), površina njegove osnove, tj. dv = .

Dakle, dr = . I

3) Integracijom rezultirajuće jednakosti u rasponu od x = 0 do x = H, nalazimo

8. Proračun integrala pomoću MathCAD paketa

Prilikom rješavanja nekih primijenjenih problema potrebno je koristiti operaciju simboličke integracije. U ovom slučaju, program MathCad može biti koristan kako u početnoj fazi (dobro je unaprijed znati odgovor ili znati da postoji) tako i u završnoj fazi (dobro je provjeriti rezultat koristeći odgovor iz drugog izvora ili rešenje druge osobe).

Prilikom rješavanja velikog broja zadataka možete uočiti neke karakteristike rješavanja zadataka pomoću MathCad programa. Pokušajmo na nekoliko primjera razumjeti kako ovaj program funkcionira, analizirati rješenja dobivena uz njegovu pomoć i uporediti ova rješenja s rješenjima dobivenim drugim metodama.

Glavni problemi pri korištenju MathCad programa su sljedeći:

a) program daje odgovor ne u obliku poznatih elementarnih funkcija, već u obliku posebnih funkcija koje nisu svima poznate;

b) u nekim slučajevima “odbija” da da odgovor, iako postoji rješenje za problem;

c) ponekad je nemoguće iskoristiti dobijeni rezultat zbog njegove glomaznosti;

d) ne rješava problem u potpunosti i ne analizira rješenje.

Da bi se ovi problemi riješili, potrebno je iskoristiti prednosti i slabosti programa.

Uz njegovu pomoć lako je i jednostavno izračunati integrale razlomaka racionalnih funkcija. Stoga se preporučuje korištenje metode zamjene varijable, tj. Prethodno pripremite integral za rješenje. U ove svrhe mogu se koristiti gore opisane zamjene. Takođe treba imati na umu da se dobijeni rezultati moraju ispitati na podudarnost domena definicije originalne funkcije i dobijenog rezultata. Osim toga, neka od dobivenih rješenja zahtijevaju dodatna istraživanja.

Program MathCad oslobađa studenta ili istraživača od rutinskog rada, ali ga ne može osloboditi dodatne analize kako prilikom postavljanja problema tako i prilikom dobijanja bilo kakvih rezultata.

U ovom radu su ispitane glavne odredbe vezane za proučavanje primjene određenog integrala u predmetu matematike.

– izvršena je analiza teorijske osnove za rješavanje integrala;

– materijal je sistematizovan i generalizovan.

U procesu izvođenja nastavnog rada razmatrani su primjeri praktičnih zadataka iz oblasti fizike, geometrije i mehanike.

Zaključak

Gore navedeni primjeri praktičnih problema daju nam jasnu predstavu o važnosti određenog integrala za njihovu rješivost.

Teško je imenovati naučnu oblast u kojoj se ne bi koristile metode integralnog računa uopšte, a posebno svojstva određenog integrala. Dakle, u procesu izvođenja kursa razmatrali smo primjere praktičnih zadataka iz oblasti fizike, geometrije, mehanike, biologije i ekonomije. Naravno, ovo je daleko od iscrpnog spiska nauka koje koriste integralni metod za traženje utvrđene vrednosti prilikom rešavanja konkretnog problema i utvrđivanja teorijskih činjenica.

Definitivni integral se takođe koristi za proučavanje same matematike. Na primjer, prilikom rješavanja diferencijalnih jednadžbi, koje zauzvrat daju nezamjenjiv doprinos rješavanju praktičnih problema. Možemo reći da je određeni integral određena osnova za proučavanje matematike. Otuda je važno znati kako ih riješiti.

Iz svega navedenog jasno je zašto do upoznavanja određenog integrala dolazi u okviru srednje škole, gdje učenici uče ne samo pojam integrala i njegova svojstva, već i neke od njegovih primjena.

Književnost

1. Volkov E.A. Numeričke metode. M., Nauka, 1988.

2. Piskunov N.S. Diferencijalni i integralni račun. M., Integral-Pres, 2004. T. 1.

3. Shipachev V.S. Viša matematika. M., Viša škola, 1990.

primjer: Pronađite zapreminu sfere poluprečnika R.

U poprečnim presjecima lopte dobijaju se krugovi promjenjivog polumjera y. Ovisno o trenutnoj x koordinati, ovaj radijus se izražava formulom.

Tada funkcija površine poprečnog presjeka ima oblik: Q(x) = .

Dobijamo volumen lopte:

primjer: Odrediti zapreminu proizvoljne piramide visine H i površine osnove S.

Kada piramidu preseku ravnine okomite na visinu, u poprečnom preseku dobijamo figure slične osnovici. Koeficijent sličnosti ovih figura jednak je omjeru x/H , gdje je x udaljenost od ravnine presjeka do vrha piramide.

Iz geometrije je poznato da je omjer površina sličnih figura jednak koeficijentu sličnosti na kvadrat, tj.

Odavde dobijamo funkciju površina poprečnog preseka:

Određivanje zapremine piramide:

Zapremina tijela rotacije.

Razmotrimo krivu koju daje jednačina y = f(x ). Pretpostavimo da je funkcija f(x ) je kontinuiran na intervalu [ a, b ]. Ako je odgovarajući krivolinijski trapez sa bazama a i b rotirati oko ose Ox, dobijamo tzv tijelo rotacije.

y = f(x)

Površina okretnog tijela.

M i B

definicija: Površina rotacije kriva AB oko date ose je granica kojoj teže površine površina rotacije izlomljenih linija upisanih u krivu AB kada najveća od dužina karika ovih izlomljenih linija teži nuli.

Podijelimo luk AB na n dijelova po tačkama M 0, M 1, M 2, …, M n . Koordinate vrhova rezultirajuće polilinije imaju koordinate x i i y i . Rotacijom izlomljene linije oko svoje ose dobijamo površinu koja se sastoji od bočnih površina krnjih čunjeva, čija je površina jednaka D P i . Ovo područje se može pronaći pomoću formule:

Neka je tijelo dato u prostoru. Neka su njegovi presjeci konstruirani ravninama okomitim na osu koja prolazi kroz tačke
na njoj. Površina figure formirane u presjeku ovisi o tački X, definiranje presječne ravni. Neka je ova zavisnost poznata i data kontinuirano na funkcija. Zatim volumen dijela tijela koji se nalazi između ravnina x=a I x=b izračunato po formuli

Primjer. Nađimo zapreminu omeđenog tijela zatvorenog između površine cilindra polumjera :, horizontalne ravni i nagnute ravni z = 2y i koja leži iznad horizontalne ravni.

Očigledno je da je tijelo koje se razmatra projektovano na segment osovine
, i atx
presjek tijela je pravokutni trokut sa kracima y i z = 2y, gdje se y može izraziti kroz x iz jednačine cilindra:

Prema tome, površina poprečnog presjeka S(x) je:

Koristeći formulu, nalazimo volumen tijela:

Proračun volumena tijela okretanja

Neka na segmentu[ a, b] specificirana je kontinuirana funkcija predznaka konstante y= f(x). Zapremine tijela okretanja formirane rotacijom oko ose Oh(ili sjekire OU) zakrivljeni trapez omeđen krivom y= f(x) (f(x) 0) i ravno y=0, x=a, x=b, izračunavaju se prema formulama:

, ( 19)

(20)

Ako je tijelo formirano rotacijom oko ose OU krivolinijski trapez omeđen krivom
i ravno x=0, y= c, y= d, tada je zapremina tijela okretanja jednaka

. (21)

Primjer. Izračunajte volumen tijela koji se dobije rotacijom figure ograničene linijama oko ose Oh.

Prema formuli (19), potrebna zapremina

Primjer. Razmotrimo pravu y=cosx na segmentu u ravni xOy .

E Ta linija rotira u prostoru oko ose, a rezultirajuća površina rotacije ograničava neko tijelo rotacije (vidi sliku). Nađimo zapreminu ovog tijela rotacije.

Prema formuli dobijamo:

Površina rotacije

,
, rotira oko ose Ox, tada se površina rotacije izračunava po formuli
, Gdje a I b- apscisa početka i kraja luka.

Ako je luk krive definiran nenegativnom funkcijom
,
, rotira oko ose Oy, tada se površina rotacije izračunava po formuli

gdje su c i d apscisa početka i kraja luka.

Ako je zadan luk krive parametarske jednačine
,
, i
, To

Ako je luk naveden u polarne koordinate
, To

Primjer. Izračunajmo površinu nastalu rotacijom u prostoru oko ose dijela prave y= koji se nalazi iznad šipke za rezanje.

Jer
, tada nam formula daje integral

Napravimo promjenu t=x+(1/2) u posljednjem integralu i dobijemo:

U prvom od integrala na desnoj strani vršimo zamjenu z=t 2 -:

Da bismo izračunali drugi od integrala na desnoj strani, označavamo ga i integrišemo po dijelovima, dobijajući jednačinu za:

Kretanjem na lijevu stranu i dijeljenjem sa 2, dobijamo

gdje, konačno,

Primjena određenog integrala za rješavanje nekih problema u mehanici i fizici

Rad promjenjive sile. Razmotrimo kretanje materijalne tačke duž ose OX pod uticajem promenljive sile f, u zavisnosti od položaja tačke x na osi, tj. sila, koja je funkcija x. Onda radi A, neophodno za pomicanje materijalne tačke sa pozicije x = a u poziciju x = b izračunato po formuli:

Da izračunam sile pritiska fluida koristite Pascalov zakon, prema kojem je pritisak fluida na platformu jednak njenoj površini S, pomnoženo sa dubinom uranjanja h, na gustinu ρ i ubrzanje gravitacije g, tj.

1. Momenti i centri mase ravnih krivih. Ako je luk krive zadan jednadžbom y=f(x), a≤x≤b, i ima gustinu
, To statične trenutke ovog luka M x i M y u odnosu na koordinatne ose Ox i Oy su jednake

;

momenti inercije I X i I y u odnosu na iste ose Ox i Oy izračunavaju se pomoću formula

A koordinate centra mase I - prema formulama

gdje je l masa luka, tj.

Primjer 1. Naći statičke momente i momente inercije oko Ox i Oy osi luka lančane linije y=chx za 0≤x≤1.

Ako gustina nije specificirana, pretpostavlja se da je kriva uniformna i
. Imamo: Dakle,

Primjer 2. Naći koordinate centra mase kružnog luka x=acost, y=asint, koji se nalazi u prvoj četvrtini. Imamo:

Odavde dobijamo:

U aplikacijama je sljedeće često korisno Teorema Gulden. Površina površine nastala rotacijom luka ravne krive oko ose koja leži u ravnini luka i ne siječe je jednaka je umnošku dužine luka i dužine opisane kružnice po svom centru mase.

Primjer 3. Pronađite koordinate centra mase polukruga

Zbog simetrije
. Kada se polukrug okrene oko ose Ox, dobije se sfera čija je površina jednaka, a dužina polukruga jednaka na. Po Guldenovom teoremu imamo 4

Odavde
, tj. centar mase C ima koordinate C
.

2. Fizički zadaci. Neke primjene određenog integrala u rješavanju fizičkih problema ilustrovane su u primjerima ispod.

Primjer 4. Brzina pravolinijskog kretanja tijela izražava se formulom (m/s). Pronađite put koji je tijelo prešlo za 5 sekundi od početka kretanja.

Jer putanju koju pređe telo sa brzinom v(t) tokom vremenskog perioda, izražava se integralom

onda imamo:

P
primjer. Nađimo površinu ograničene površine koja leži između ose i prave y=x 3 -x. Zbog

prava seče osu u tri tačke: x 1 =-1, x 2 =0, x 3 =1.

Ograničena površina između linije i ose se projektuje na segment
,i na segmentu
,liney=x 3 -x ide iznad ose (to jest, liney=0, i dalje - ispod. Stoga se površina regije može izračunati na sljedeći način:

P
primjer. Nađimo površinu područja zatvorene između prvog i drugog zavoja Arhimedove spirale r=a (a>0) i segment horizontalne ose
.

Prvi zavoj spirale odgovara promjeni ugla u rasponu od 0 do, a drugi - od. Da dam promjenu argumenta na jednu prazninu zapisujemo jednačinu drugog zavoja spirale u obliku
,

. Tada se površina može pronaći pomoću formule, stavljajući
I
: