Znak aritmetičke sredine. Određivanje srednje vrijednosti, varijanse i oblika distribucije. Deskriptivna statistika. Može li se dogoditi da aritmetička sredina postane jednaka geometrijskoj sredini?

Tema aritmetička sredina i geometrijska sredina uključena je u program matematike za 6-7 razred. Pošto je paragraf prilično lak za razumevanje, brzo se završava, i to do kraja školske godineškolarci ga zaboravljaju. Ali poznavanje osnovnih statistika je potrebno za polaganje Jedinstvenog državnog ispita, kao i za međunarodni ispiti SAT. Da i za Svakodnevni život razvijeno analitičko mišljenje nikad ne škodi.

Kako izračunati aritmetičku sredinu i geometrijsku sredinu brojeva

Recimo da postoji niz brojeva: 11, 4 i 3. Aritmetička sredina je zbir svih brojeva podijeljen brojem datih brojeva. To jest, u slučaju brojeva 11, 4, 3, odgovor će biti 6. Kako se dobija 6?

Rješenje: (11 + 4 + 3) / 3 = 6

Imenilac mora sadržavati broj jednak broju brojeva čiji prosjek treba pronaći. Zbir je djeljiv sa 3, jer postoje tri člana.

Sada treba da odredimo geometrijsku sredinu. Recimo da postoji niz brojeva: 4, 2 i 8.

Prosjek geometrijski brojevi naziva se umnožak svih datih brojeva, koji se nalaze ispod korena sa stepenom jednakim broju datih brojeva.To jest, u slučaju brojeva 4, 2 i 8, odgovor će biti 4. Ovako je ispalo :

Rješenje: ∛(4 × 2 × 8) = 4

U obje opcije dobili smo cijele odgovore, jer su za primjer uzeti posebni brojevi. To se ne dešava uvijek. U većini slučajeva, odgovor se mora zaokružiti ili ostaviti u korijenu. Na primjer, za brojeve 11, 7 i 20, aritmetička sredina je ≈ 12,67, a geometrijska sredina je ∛1540. A za brojeve 6 i 5 odgovori će biti 5,5 i √30, respektivno.

Može li se dogoditi da aritmetička sredina postane jednaka geometrijskoj sredini?

Naravno da može. Ali samo u dva slučaja. Ako postoji niz brojeva koji se sastoji samo od jedinica ili nula. Također je vrijedno napomenuti da odgovor ne ovisi o njihovom broju.

Dokaz sa jedinicama: (1 + 1 + 1) / 3 = 3 / 3 = 1 (aritmetička sredina).

∛(1 × 1 × 1) = ∛1 = 1 (geometrijska sredina).

Dokaz sa nulama: (0 + 0) / 2=0 (aritmetička sredina).

√(0 × 0) = 0 (geometrijska sredina).

Druge opcije nema i ne može biti.

Suština i značenje prosječnih vrijednosti.

Apsolutne i relativne vrijednosti.

Vrste grupa.

Ovisno o zadacima koji se rješavaju uz pomoć grupiranja, razlikuju se sljedeće vrste:

Tipološki

Strukturno

Analitički

Glavni zadatak tipologije je da klasifikuje društveno-ekonomske pojave identifikacijom grupa koje su homogene po kvalitativnim odnosima.

Kvalitativna homogenost se shvata u smislu da se, s obzirom na imovinu koja se proučava, sve jedinice stanovništva poštuju isti zakon razvoja. Na primjer: grupisanje preduzeća iz privrednih sektora.

Apsolutna vrijednost je pokazatelj koji izražava veličinu društveno-ekonomskog fenomena.

U statistici, relativna vrijednost je indikator koji izražava kvantitativni odnos između pojava. Dobiva se dijeljenjem jedne apsolutne vrijednosti drugom apsolutna vrijednost. Količina s kojom vršimo poređenja naziva se osnovu ili baza za poređenje.

Apsolutne količine su uvijek imenovane veličine.

Relativne vrijednosti su izražene u koeficijentima, procentima, ppm, itd.

Relativna vrijednost pokazuje koliko je puta, ili u kom postotku, upoređena vrijednost veća ili manja od baze poređenja.

U statistici postoji 8 vrsta relativnih veličina:

Prosjeci su jedna od najčešćih zbirnih statistika. Oni imaju za cilj da jednim brojem okarakterišu statističku populaciju koja se sastoji od manjine jedinica. Prosječne vrijednosti su usko povezane sa zakonom veliki brojevi. Suština ove zavisnosti leži u činjenici da se sa velikim brojem posmatranja slučajna odstupanja od opšte statistike međusobno poništavaju i u prosjeku se statistički obrazac pojavljuje jasnije.

Koristeći metodu prosjek Rješavaju se sljedeći glavni zadaci:

1. Karakteristike stepena razvijenosti pojava.

2. Poređenje dva ili više nivoa.

3. Proučavanje međuodnosa društveno-ekonomskih pojava.

4. Analiza položaja društveno-ekonomskih pojava u prostoru.

Za rješavanje ovih problema, statistička metodologija je razvila različite vrste prosjeka.

Da bismo razjasnili metodu za izračunavanje aritmetičke sredine, koristimo sljedeću notaciju:

X - aritmetički znak

X (X1, X2, ... X3) - varijante određene karakteristike

n - broj jedinica stanovništva

Prosječna vrijednost atributa

Ovisno o izvornim podacima, aritmetička sredina se može izračunati na dva načina:

1. Ako statistički podaci posmatranja nisu grupisani, ili grupisane opcije imaju iste frekvencije, tada se izračunava prosta aritmetička sredina:

2. Ako su frekvencije grupisane u podacima različite, onda se izračunava ponderisana aritmetička sredina:

Broj (učestalost) opcija

Zbir frekvencija

Aritmetička sredina se različito izračunava u diskretnim i intervalnim serijama varijacije.

U diskretnim serijama, varijante karakteristike se množe sa frekvencijama, ovi proizvodi se zbrajaju, a rezultujući zbir proizvoda se dijeli zbirom frekvencija.

Razmotrimo primjer izračunavanja aritmetičke sredine u diskretnom nizu:

U intervalnim serijama vrijednost karakteristike je data, kao što je poznato, u obliku intervala, stoga, prije izračunavanja aritmetičke sredine, morate prijeći s intervalne serije na diskretnu.

Sredina odgovarajućih intervala se koristi kao Xi opcije. Definirane su kao polovina zbroja donje i gornje granice.

Ako interval nema donju granicu, tada se njegova sredina određuje kao razlika između gornje granice i polovine vrijednosti sljedećih intervala. U nedostatku gornjih granica, sredina intervala se određuje kao zbir donje granice i polovine vrijednosti prethodnog intervala. Nakon prijelaza na diskretnu seriju, daljnji proračuni se odvijaju prema gore opisanoj metodi.

Ako težina fi nisu dati u apsolutnim izrazima, već u relativnim izrazima, tada će formula za izračunavanje aritmetičke sredine biti sljedeća:

pi - relativne vrijednosti strukture, koje pokazuju koliki je postotak frekvencija varijanti u zbroju svih frekvencija.

Ako su relativne vrijednosti strukture navedene ne u postocima, već u udjelima, tada će se aritmetička sredina izračunati pomoću formule:

Prosječna vrijednost

Prosječna vrijednost- numeričke karakteristike skupa brojeva ili funkcija (u matematici); - određeni broj između najmanje i najveće njihove vrijednosti.

Osnovne informacije

Polazna tačka za razvoj teorije prosjeka bila je proučavanje proporcija Pitagorine škole. Istovremeno, nije napravljena stroga razlika između pojmova prosječne veličine i proporcije. Značajan podsticaj razvoju teorije proporcija sa aritmetičke tačke gledišta dali su grčki matematičari - Nikomah iz Gerasa (kraj 1. - početak 2. veka nove ere) i Papus iz Aleksandrije (3. vek nove ere). Prva faza u razvoju koncepta prosjeka je faza kada se prosjek počeo smatrati centralnim članom kontinuirane proporcije. Ali koncept prosjeka kao centralne vrijednosti progresije ne omogućava izvođenje koncepta prosjeka u odnosu na niz od n članova, bez obzira na redosljed kojim se oni slijede. U tu svrhu potrebno je pribjeći formalnoj generalizaciji prosjeka. Sljedeća faza je prijelaz sa kontinuiranih proporcija na progresije - aritmetičke, geometrijske i harmonijske ( engleski).

U istoriji statistike, po prvi put, široka upotreba prosjeka povezana je sa imenom engleskog naučnika W. Pettyja. W. Petty je bio jedan od prvih koji je pokušao prosječnoj vrijednosti dati statističko značenje, povezujući je sa ekonomskim kategorijama. Ali Petty nije opisao koncept prosječne veličine niti ga razlikovao. A. Quetelet se smatra osnivačem teorije prosjeka. Bio je jedan od prvih koji je dosljedno razvijao teoriju prosjeka, pokušavajući da joj pruži matematičku osnovu. A. Quetelet je razlikovao dvije vrste prosjeka - stvarne prosjeke i aritmetičke prosjeke. Zapravo, prosjek predstavlja stvar, broj, koji stvarno postoji. Zapravo, proseci ili statistički proseci treba da budu izvedeni iz fenomena istog kvaliteta, identičnih po svom unutrašnje značenje. Aritmetički prosjeci su brojevi koji daju najbližu moguću predstavu o mnogim brojevima, različitim, iako homogenim.

Svaki tip prosjeka može se pojaviti ili u obliku jednostavnog ili u obliku ponderiranog prosjeka. Ispravan izbor srednjeg oblika proizlazi iz materijalne prirode predmeta proučavanja. Jednostavne prosječne formule se koriste ako se pojedinačne vrijednosti karakteristike koja se prosječuju ne ponavljaju. Kada se u praktičnim istraživanjima pojedinačne vrijednosti karakteristike koja se proučava pojavljuju nekoliko puta u jedinicama populacije koja se proučava, tada je učestalost ponavljanja pojedinačnih vrijednosti karakteristike prisutna u formulama za izračunavanje prosječnih snaga. U ovom slučaju, one se nazivaju ponderiranim prosječnim formulama.

Hijerarhija prosjeka u matematici

Prosječna vrijednost funkcije je koncept definiran na mnogo načina.
- Konkretnije, ali na osnovu proizvoljnih funkcija, Kolmogorovljeva sredstva se određuju za skup brojeva.
  - prosek snage - poseban slučaj Kolmogorovljevi prosjeci za ϕ (x) = x α (\displaystyle \phi (x)=x^(\alpha)) . Prosjeci različitih stupnjeva povezani su nejednakošću o prosjekima. Najčešći posebni slučajevi:
    1. aritmetička sredina (α = 1 (\displaystyle \alpha =1));
    2. srednji kvadrat (α = 2 (\displaystyle \alpha =2));
    3. harmonijska sredina (α = − 1 (\displaystyle \alpha =-1));
    4. kontinuitetom kao α → 0 (\displaystyle \alpha \to 0) dalje je definirana geometrijska sredina, koja je također Kolmogorovljeva sredina za ϕ (x) = log ⁡ x (\displaystyle \phi (x)=\log x)
Ponderisani prosjek je generalizacija prosjeka na slučaj proizvoljne linearne kombinacije:
- Ponderisana aritmetička sredina.
- Ponderisana geometrijska sredina.
- Ponderisana harmonijska sredina.
prosječni hronološki - generalizira vrijednosti karakteristike za istu jedinicu ili populaciju u cjelini, mijenjajući se tokom vremena.
logaritamska sredina, određena formulom a ¯ = a 1 − a 2 ln ⁡ (a 1 / a 2) (\textstyle (\bar (a))=(\frac (a_(1)-a_(2))( \ ln(a_(1)/a_(2))))), koristi se u toplotnoj tehnici
logaritamski prosjek, određen u električnoj izolaciji u skladu sa GOST 27905.4-88, definiran je kao l o g a ¯ = log ⁡ a 1 + l o g a 2 + . . . + . . . l o g a n a 1 + a 2 + . . . + a n (\textstyle log(\bar (a))=(\frac (\log a_(1)+loga_(2)+...+...loga_(n))(a_(1)+a_( 2)+...+a_(n)))) (logaritam na bilo koju bazu)

U teoriji vjerojatnosti i statistici

Glavni članak: Indikatori distributivnog centra

neparametrijska sredstva - mod, medijan.
prosječna vrijednost slučajne varijable je ista kao očekivanu vrijednost slučajna varijabla. U stvari, to je prosječna vrijednost njegove funkcije distribucije.

Koji znak označava aritmetičku sredinu?

Recimo da je zbir kapitalni ipsilon...

Ksenia

Aritmetička sredina je granica oko koje se grupišu pojedinačne vrijednosti posmatranih i proučavanih karakteristika.Aritmetička sredina je količnik dijeljenja zbira vrijednosti određene karakteristike brojem elemenata u populaciji. U statistici se aritmetička sredina obično označava kroz pojedinačne vrijednosti karakteristike (ili određene rezultate eksperimenta) - kroz x1, x2, x3, itd., i ukupan broj karakteristika (ili broj eksperimenata) - n.
At velike količine mjerenja, pozitivne i negativne slučajne greške se javljaju podjednako često. Prema višestrukim mjerenjima bilo koje fizička količina možete odrediti njegovu aritmetičku srednju vrijednost. Ponovljena mjerenja također omogućavaju utvrđivanje tačnosti mjerenja, kako za konačni rezultat tako i za pojedinačna mjerenja, odnosno pronalaženje granica unutar kojih se nalazi rezultirajući rezultat mjerene vrijednosti.
Sa n mjerenja određene veličine, dobijamo n različitih vrijednosti. Najbliža pravoj vrednosti izmerene vrednosti biće aritmetička sredina svih merenja.
Ako pojedinačna mjerenja označimo sa a\, az, a3, ..an, tada se srednja aritmetička vrijednost izmjerene vrijednosti određuje po formuli:
P
n - at + ag + - + D„_\1 a,-
A _ ------------------
=Y-^
^J P
Vrijednosti pojedinačnih mjerenja razlikuju se od srednje aritmetičke vrijednosti a0 za sljedeće vrijednosti:
Apsolutne vrijednosti razlika (Da^Dag,...) između aritmetičke srednje vrijednosti mjerene veličine i vrijednosti pojedinačnih mjerenja nazivaju se apsolutne greške pojedinačnih mjerenja. Aritmetička sredina apsolutnih grešaka svih mjerenja, koja je neophodna da bi se odredila relativna greška mjerenja i zabilježio konačni rezultat, izračunava se po formuli:
^-. (2)
Ova greška se naziva prosječna apsolutna greška mjerenja. Prihvatajući jedan znak apsolutne greške, mi namjerno uzimamo najveću moguću grešku.

Šta je aritmetička sredina? Kako pronaći aritmetičku sredinu?

Formula za aritmetički prosjek?

Alex-89

Aritmetička sredina nekoliko brojeva je zbir ovih brojeva podijeljen njihovim brojem.

x av - aritmetička sredina

S - zbir brojeva

n - broj brojeva.

Na primjer, trebamo pronaći prosjek aritmetički brojevi 3, 4, 5 i 6.

Da bismo to učinili, moramo ih zbrojiti i rezultujući zbroj podijeliti sa 4:

(3 + 4 + 5 + 6) : 4 = 18: 4 = 4,5.

Alsou - sh

Kao matematičara, zanimaju me pitanja na ovu temu.

Počeću sa istorijom problema. O prosječnim vrijednostima razmišljalo se od davnina. Aritmetička sredina, geometrijska sredina, harmonijska sredina. Ove koncepte su u staroj Grčkoj predložili Pitagorejci.

A sada pitanje koje nas zanima. Šta se podrazumeva pod aritmetička sredina nekoliko brojeva:

Dakle, da biste pronašli aritmetičku sredinu brojeva, trebate sabrati sve brojeve i rezultujući zbir podijeliti brojem članova.

Formula je:

Primjer. Pronađite aritmetičku sredinu brojeva: 100, 175, 325.

Koristimo formulu za pronalaženje aritmetičke sredine tri broja (to jest, umjesto n će biti 3; potrebno je sabrati sva 3 broja i rezultujući zbir podijeliti njihovim brojem, tj. sa 3). Imamo: x=(100+175+325)/3=600/3=200.

Odgovor: 200.

Aritmetika se smatra najelementarnijom granom matematike i proučava jednostavne operacije s brojevima. Stoga je i aritmetičku sredinu vrlo lako pronaći. Počnimo s definicijom. Aritmetička sredina je vrijednost koja pokazuje koji je broj najbliži istini nakon nekoliko uzastopnih operacija istog tipa. Na primjer, kada trči sto metara, osoba se svaki put pokaže drugačije vrijeme, ali će prosječna vrijednost biti unutar, na primjer, 12 sekundi. Pronalaženje aritmetičke sredine na ovaj način svodi se na sekvencijalno sabiranje svih brojeva u određenoj seriji (rezultati trke) i dijeljenje tog zbroja sa brojem ovih trka (pokušaja, brojevi). U formuli to izgleda ovako:

Sarif = (H1+H2+..+Hn)/n

Aritmetička sredina je prosječan broj između nekoliko brojeva.

Na primjer, između brojeva 2 i 4, prosječan broj je 3.

Formula za pronalaženje aritmetičke sredine je:

Morate sabrati sve brojeve i podijeliti sa brojem ovih brojeva:

Na primjer, imamo 3 broja: 2, 5 i 8.

Pronalaženje aritmetičke sredine:

X=(2+5+8)/3=15/3=5

Opseg primjene aritmetičke sredine je prilično širok.

Na primjer, znajući koordinate dvije tačke na segmentu, možete pronaći koordinate sredine ovog segmenta.

Na primjer, koordinate segmenta: (X1,Y1,Z1)-(X2,Y2,Z2).

Označimo sredinu ovog segmenta koordinatama X3,Y3,Z3.

Zasebno nalazimo sredinu za svaku koordinatu:

Predivan proplanak

Aritmetička sredina su brojevi koji se zbrajaju i dijele sa njihovim brojem, a rezultat je aritmetička sredina.

Na primjer: Katja je stavila 50 rubalja u kasicu, Maksim 100 rubalja, a Sasha 150 rubalja u kasicu. 50 + 100 + 150 = 300 rubalja u kasici prasici, sada ovaj iznos podijelimo sa tri (troje ljudi stavljaju novac). Dakle 300: 3 = 100 rubalja. Ovih 100 rubalja bit će aritmetički prosjek, svaki od njih stavljen u kasicu prasicu.

Postoji tako jednostavan primjer: jedna osoba jede meso, druga osoba jede kupus, a aritmetički prosjek oboje jedu kiflice.

Na isti način se obračunava i prosječna plata...

Aritmetička sredina je prosek datog...

One. Jednostavno, imamo veliki broj štapova različitih dužina i želimo saznati njihovu prosječnu vrijednost.

Logično je da ih za to spojimo, dobivši dugačak štap, a zatim ga podijelimo na potreban broj dijelova..

Evo aritmetičke sredine...

Ovako se izvodi formula: Sa=(S(1)+..S(n))/n..

Birdie2014

Aritmetička sredina je zbir svih vrijednosti i podijeljena s njihovim brojem.

Na primjer brojevi 2, 3, 5, 6. Morate ih sabrati 2+ 3+ 5 + 6 = 16

Podijelimo 16 sa 4 i dobijemo odgovor 4.

4 je aritmetička sredina ovih brojeva.

Azamatik

Aritmetička sredina je zbir brojeva podijeljen brojem tih istih brojeva. A pronalaženje aritmetičke sredine je vrlo jednostavno.

Kao što slijedi iz definicije, moramo uzeti brojeve, sabrati ih i podijeliti s njihovim brojem.

Dajemo primjer: dati su nam brojevi 1, 3, 5, 7 i trebamo pronaći aritmetičku sredinu tih brojeva.

prvo saberite ove brojeve (1+3+5+7) i dobijete 16
Dobijeni rezultat trebamo podijeliti sa 4 (količina): 16/4 i dobiti rezultat 4.

Dakle, aritmetička sredina brojeva 1, 3, 5 i 7 je 4.

Aritmetička sredina - prosječna vrijednost među datim indikatorima.

Nalazi se tako što se zbir svih pokazatelja podijeli njihovim brojem.

Na primjer, imam 5 jabuka od 200, 250, 180, 220 i 230 grama.

Prosječnu težinu 1 jabuke nalazimo na sljedeći način:

tražimo ukupnu težinu svih jabuka (zbir svih pokazatelja) - jednaka je 1080 grama,
podijeliti ukupnu težinu sa brojem jabuka 1080:5 = 216 grama. Ovo je aritmetička sredina.

Ovo je najčešće korišteni indikator u statistici.

Green cheburechek

Znamo to iz škole. Ko je imao dobar učitelj u matematici, bilo je moguće zapamtiti ovu jednostavnu radnju prvi put.

Prilikom pronalaženja aritmetičke sredine potrebno je sabrati sve dostupne brojeve i podijeliti s njihovim brojem.

Na primjer, u trgovini sam kupio 1 kg jabuka, 2 kg banana, 3 kg narandzi i 1 kg kivija. Koliko sam u prosjeku kilograma voća kupio?

7/4= 1,8 kilograma. Ovo će biti aritmetička sredina.

Byemon epu

Sjećam se da sam polagao završni test iz matematike

Dakle, tu je bilo potrebno pronaći aritmetičku sredinu.

Dobro to dobri ljudi Rekli su mi šta da radim, inače će biti problema.

Na primjer, imamo 4 broja.

Zbrojite brojeve i podijelite s njihovim brojem (u ovom slučaju 4)

Na primjer brojevi 2,6,1,1. Dodajte 2+6+1+1 i podijelite sa 4 = 2,5

Kao što vidite, ništa komplikovano. Dakle, aritmetička sredina je prosjek svih brojeva.

Dobiva se zbrajanjem svih članova brojevnog niza i dijeljenjem zbroja sa brojem članova. Na primjer, aritmetička vrijednost 7, 20, 152 i 305 je 484/4 = 121. Međutim, prosječna vrijednost nam ne dozvoljava da sudimo o širenju brojeva. uporedi: geometrijska sredina.

Posao. Rječnik. - M.: "INFRA-M", Izdavačka kuća "Ves Mir". Graham Betts, Barry Brindley, S. Williams i drugi. Opšte izdanje: doktor ekonomskih nauka Osadchaya I.M.. 1998 .

Pogledajte šta je "ARITMETIČKI PROSEK" u drugim rečnicima:

- (aritmetička sredina) Zbir N brojeva x1 x2,...,xN podijeljen sa N, koji je izražen formulom (Σixi)/N. Aritmetička sredina se može izračunati za bilo koju konačan niz N brojeva, gdje mogu biti pozitivni, nula ili ... ... Ekonomski rječnik

- (aritmetička sredina) Prosječna vrijednost dobijena zbrajanjem svih članova niza brojeva i dijeljenjem sume sa brojem članova, na primjer, aritmetička sredina od 7, 20, 107 i 350 je 484/4 = 121. Međutim , prosječna vrijednost ne dozvoljava suditi ... ... Financial Dictionary

aritmetička sredina- aritmetinis vidurkis statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. aritmetički prosjek; aritmetička sredina; aritmetička sredina vok. arithmetischer Mittelwert, m; arithmetisches Mittel, n rus. aritmetička sredina, n; aritmetička srednja vrijednost, n … Fizikos terminų žodynas

aritmetička sredina (vrijednost rezultata geodetskih mjerenja)- 3.7.2 aritmetička sredina (vrijednost rezultata geodetskih mjerenja) Procjena vrijednosti geodetske veličine iz višestrukih mjerenja jednake preciznosti, dobijena po formuli gdje je rezultat pojedinačnog mjerenja, n je broj mjerenja . Izvor…

Ovaj izraz ima druga značenja, pogledajte prosječno značenje. U matematici i statistici, aritmetička sredina je jedna od najčešćih mjera centralne tendencije, koja predstavlja zbir svih posmatranih vrijednosti podijeljenih sa njihovim ... ... Wikipedia

prosjek- 3,1 aritmetička sredina; aritmetička sredina / prosjek: Zbroj vrijednosti podijeljen njihovim brojem. [ISO 3534 1:1993, 2.26] Izvor... Rječnik-priručnik pojmova normativne i tehničke dokumentacije

Prosječna vrijednost, koja karakteriše bilo koju grupu zapažanja, izračunava se sabiranjem brojeva iz ove serije, a zatim dijeljenjem rezultujuće sume sa brojem zbrojenih brojeva. Ako je jedan ili više brojeva uključeno u grupu ... ... Medicinski termini

BROJ PROSJEČAN, ARITMETIČKA SREDINA- (aritmetička sredina) prosječna vrijednost koja karakteriše bilo koju grupu zapažanja; izračunava se zbrajanjem brojeva iz ovog niza, a zatim dijeljenjem rezultirajućeg zbroja sa brojem zbrojenih brojeva. Ako jedan ili više brojeva...... Eksplanatorni rječnik medicine

- (prosjek) Jedan broj koji predstavlja niz brojeva; prosječna vrijednost. Vidi: aritmetička sredina; geometrijska sredina; medijana. Posao. Rječnik. M.: INFRA M, Izdavačka kuća...... Rječnik poslovnih pojmova

- (prosjek) 1. Jedan broj koji predstavlja niz brojeva; prosječna vrijednost. Vidi: aritmetička sredina; geometrijska sredina; medijana. 2. Način podjele gubitaka u osiguranju imovine... Financial Dictionary

Ovaj izraz ima druga značenja, pogledajte prosječno značenje.

Prosjek(u matematici i statistici) skupovi brojeva - zbir svih brojeva podijeljen njihovim brojem. To je jedna od najčešćih mjera centralne tendencije.

Predložili su ga (zajedno sa geometrijskom sredinom i harmonijskom sredinom) Pitagorejci.

Posebni slučajevi aritmetičke sredine su srednja vrijednost (opća populacija) i uzorkovana sredina (uzorak).

Uvod

Označimo skup podataka X = (x 1 , x 2 , …, x n), tada je srednja vrijednost uzorka obično označena horizontalnom crtom iznad varijable (x ¯ (\displaystyle (\bar (x))), izgovara se " x sa linijom").

Grčko slovo μ koristi se za označavanje aritmetičke sredine cjelokupne populacije. Za slučajnu varijablu za koju je određena srednja vrijednost, μ je vjerovatnoća prosjeka ili matematičko očekivanje slučajne varijable. Ako je set X je kolekcija slučajnih brojeva sa vjerovatnoćom srednje vrijednosti μ, tada za bilo koji uzorak x i iz ovog skupa μ = E( x i) je matematičko očekivanje ovog uzorka.

U praksi, razlika između μ i x ¯ (\displaystyle (\bar (x))) je u tome što je μ tipična varijabla jer možete vidjeti uzorak, a ne cijelu populaciju. Stoga, ako je uzorak predstavljen nasumično (u smislu teorije vjerovatnoće), tada se x ¯ (\displaystyle (\bar (x))) (ali ne μ) može tretirati kao slučajna varijabla koja ima distribuciju vjerovatnoće na uzorku ( distribucija vjerovatnoće srednje vrijednosti).

Obje ove količine se izračunavaju na isti način:

X ¯ = 1 n ∑ i = 1 n x i = 1 n (x 1 + ⋯ + x n) . (\displaystyle (\bar (x))=(\frac (1)(n))\suma _(i=1)^(n)x_(i)=(\frac (1)(n))(x_ (1)+\cdots +x_(n)).)

Ako X je slučajna varijabla, zatim matematičko očekivanje X može se smatrati aritmetičkom sredinom vrijednosti u ponovljenim mjerenjima veličine X. Ovo je manifestacija zakona velikih brojeva. Stoga se srednja vrijednost uzorka koristi za procjenu nepoznate očekivane vrijednosti.

U elementarnoj algebri je dokazano da je srednja vrijednost n+ 1 broj iznad prosjeka n brojevi ako i samo ako je novi broj veći od starog prosjeka, manji ako i samo ako je novi broj manji od prosjeka i ne mijenja se ako i samo ako je novi broj jednak prosjeku. Više n, što je manja razlika između novog i starog prosjeka.

Imajte na umu da postoji nekoliko drugih dostupnih "prosjeka", uključujući srednju snagu, Kolmogorovljevu sredinu, harmonijsku sredinu, aritmetičko-geometrijsku sredinu i različite ponderisane prosjeke (npr. ponderirana aritmetička sredina, ponderirana geometrijska sredina, ponderirana harmonijska sredina).

Primjeri

Za tri broja, trebate ih sabrati i podijeliti sa 3:

x 1 + x 2 + x 3 3 . (\displaystyle (\frac (x_(1)+x_(2)+x_(3))(3)).)

Za četiri broja, trebate ih sabrati i podijeliti sa 4:

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 4 . (\displaystyle (\frac (x_(1)+x_(2)+x_(3)+x_(4))(4)).)

Ili jednostavnije 5+5=10, 10:2. Pošto smo sabirali 2 broja, što znači koliko brojeva sabiramo, dijelimo s tim brojem.

Kontinuirana slučajna varijabla

Za kontinuirano distribuiranu veličinu f (x) (\displaystyle f(x)), aritmetička sredina na intervalu [ a ; b ] (\displaystyle ) određuje se kroz određeni integral:

F (x) ¯ [ a ; b ] = 1 b − a ∫ a b f (x) d x (\displaystyle (\overline (f(x)))_()=(\frac (1)(b-a))\int _(a)^(b) f(x)dx)

Neki problemi korištenja prosjeka

Nedostatak robusnosti

Glavni članak: Robusnost u statistici

Iako se aritmetičke sredine često koriste kao proseci ili centralne tendencije, ovaj koncept nije čvrsta statistika, što znači da je aritmetička sredina pod velikim uticajem "velikih odstupanja". Važno je napomenuti da za distribucije s velikim koeficijentom asimetrije, aritmetička sredina možda neće odgovarati konceptu „srednje vrijednosti“, a vrijednosti srednje vrijednosti iz robusne statistike (na primjer, medijan) mogu bolje opisati središnji sklonost.

Klasičan primjer je izračunavanje prosječnog prihoda. Aritmetička sredina se može pogrešno protumačiti kao medijana, što može dovesti do zaključka da ima više ljudi s većim primanjima nego što ih zapravo ima. “Prosječni” prihod se tumači tako da većina ljudi ima prihode oko ovog broja. Ovaj “prosječni” (u smislu aritmetičke sredine) prihod je veći od prihoda većine ljudi, budući da visok dohodak sa velikim odstupanjem od prosjeka čini aritmetičku sredinu jako iskrivljenom (nasuprot tome, prosječni prihod na medijani „opire se“ takvom iskošenju). Međutim, ovaj "prosječni" prihod ne govori ništa o broju ljudi blizu srednjeg prihoda (i ne govori ništa o broju ljudi blizu modalnog prihoda). Međutim, ako pojmove “prosjek” i “većina ljudi” shvatite olako, možete izvući pogrešan zaključak da većina ljudi ima prihode veće nego što jesu. Na primjer, izvještaj o "prosječnom" neto prihodu u Medini u Washingtonu, izračunatom kao aritmetički prosjek svih godišnjih neto prihoda stanovnika, iznenađujuće će dati veliki broj zbog Bila Gejtsa. Razmotrite uzorak (1, 2, 2, 2, 3, 9). Aritmetička sredina je 3,17, ali pet od šest vrijednosti je ispod ove sredine.

Složena kamata

Glavni članak: Povrat investicije

Ako su brojevi umnožiti, ali ne fold, trebate koristiti geometrijsku sredinu, a ne aritmetičku sredinu. Najčešće se ovaj incident dešava prilikom izračunavanja povrata ulaganja u finansije.

Na primjer, ako je dionica pala za 10% u prvoj godini i porasla za 30% u drugoj, onda je pogrešno izračunati „prosječan“ porast u te dvije godine kao aritmetičku sredinu (−10% + 30%) / 2 = 10%; tačan prosjek u ovom slučaju je dat složenom godišnjom stopom rasta, koja daje godišnju stopu rasta od samo oko 8,16653826392% ≈ 8,2%.

Razlog tome je što procenti svaki put imaju novu početnu tačku: 30% je 30% od broja manjeg od cijene na početku prve godine: ako je dionica počela na 30 dolara i pala za 10%, vrijedi 27 dolara na početku druge godine. Ako bi dionice porasle za 30%, na kraju druge godine vrijedile bi 35,1 dolara. Aritmetički prosjek ovog rasta je 10%, ali pošto je dionica porasla samo za 5,1 USD u 2 godine, prosječan rast od 8,2% daje konačni rezultat od 35,1 USD:

[30 USD (1 - 0,1) (1 + 0,3) = 30 USD (1 + 0,082) (1 + 0,082) = 35,1 USD]. Ako koristimo aritmetički prosjek od 10% na isti način, nećemo dobiti stvarnu vrijednost: [30 USD (1 + 0,1) (1 + 0,1) = 36,3 USD].

Složena kamata na kraju 2 godine: 90% * 130% = 117%, odnosno ukupno povećanje je 17%, a prosječna godišnja složena kamata je 117% ≈ 108,2% (\displaystyle (\sqrt (117\% ))\cca 108,2\%), odnosno prosječno godišnje povećanje od 8,2%.

Upute

Glavni članak: Statistika odredišta

Prilikom izračunavanja aritmetičke sredine neke varijable koja se ciklički mijenja (kao što je faza ili ugao), mora se obratiti posebna pažnja. Na primjer, prosjek od 1° i 359° bi bio 1 ∘ + 359 ∘ 2 = (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+359^(\circ ))(2))=) 180°. Ovaj broj je netačan iz dva razloga.

Prvo, ugaone mere su definisane samo za opseg od 0° do 360° (ili od 0 do 2π kada se mere u radijanima). Dakle, isti par brojeva može se napisati kao (1° i -1°) ili kao (1° i 719°). Prosječne vrijednosti svakog para bit će različite: 1 ∘ + (− 1 ∘) 2 = 0 ∘ (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+(-1^(\circ )))(2 ))=0 ^(\circ )) , 1 ∘ + 719 ∘ 2 = 360 ∘ (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+719^(\circ ))(2))=360^(\ circ )).
Drugo, u ovom slučaju, vrijednost od 0° (ekvivalentno 360°) će biti geometrijski bolja prosječna vrijednost, pošto brojevi odstupaju manje od 0° nego od bilo koje druge vrijednosti (vrijednost 0° ima najmanju varijansu). uporedi:
- broj 1° odstupa od 0° samo za 1°;
- broj 1° odstupa od izračunatog prosjeka od 180° za 179°.

Prosječna vrijednost za cikličnu varijablu izračunatu korištenjem gornje formule bit će umjetno pomjerena u odnosu na stvarni prosjek prema sredini numeričkog raspona. Zbog toga se prosek izračunava na drugačiji način, odnosno kao prosečna vrednost se bira broj sa najmanjom varijansom (centralna tačka). Također, umjesto oduzimanja, koristi se modularna udaljenost (tj. obodna udaljenost). Na primjer, modularna udaljenost između 1° i 359° je 2°, a ne 358° (na krugu između 359° i 360°==0° - jedan stepen, između 0° i 1° - također 1°, ukupno - 2°).

Prosječna vrijednost

Prosječna vrijednost- numeričke karakteristike skupa brojeva ili funkcija (u matematici); - određeni broj između najmanje i najveće njihove vrijednosti.

Osnovne informacije

U istoriji statistike, po prvi put, široka upotreba prosjeka povezana je sa imenom engleskog naučnika W. Pettyja. W. Petty je bio jedan od prvih koji je pokušao prosječnoj vrijednosti dati statističko značenje, povezujući je sa ekonomskim kategorijama. Ali Petty nije opisao koncept prosječne veličine niti ga razlikovao. A. Quetelet se smatra osnivačem teorije prosjeka. Bio je jedan od prvih koji je dosljedno razvijao teoriju prosjeka, pokušavajući da joj pruži matematičku osnovu. A. Quetelet je razlikovao dvije vrste prosjeka - stvarne prosjeke i aritmetičke prosjeke. Zapravo, prosjek predstavlja stvar, broj, koji stvarno postoji. Zapravo, proseci ili statistički proseci treba da budu izvedeni iz fenomena istog kvaliteta, identičnih po svom unutrašnjem značenju. Aritmetički prosjeci su brojevi koji daju najbližu moguću predstavu o mnogim brojevima, različitim, iako homogenim.

Hijerarhija prosjeka u matematici

Prosječna vrijednost funkcije je koncept definiran na mnogo načina.
- Konkretnije, ali na osnovu proizvoljnih funkcija, Kolmogorovljeva sredstva se određuju za skup brojeva.
  - Prosek snage je poseban slučaj Kolmogorovljevih proseka sa ϕ (x) = x α (\displaystyle \phi (x)=x^(\alpha)) . Prosjeci različitih stupnjeva povezani su nejednakošću o prosjekima. Najčešći posebni slučajevi:
    1. aritmetička sredina (α = 1 (\displaystyle \alpha =1));
    2. srednji kvadrat (α = 2 (\displaystyle \alpha =2));
    3. harmonijska sredina (α = − 1 (\displaystyle \alpha =-1));
    4. kontinuitetom kao α → 0 (\displaystyle \alpha \to 0) dalje je definirana geometrijska sredina, koja je također Kolmogorovljeva sredina za ϕ (x) = log ⁡ x (\displaystyle \phi (x)=\log x)
Ponderisani prosjek je generalizacija prosjeka na slučaj proizvoljne linearne kombinacije:
- Ponderisana aritmetička sredina.
- Ponderisana geometrijska sredina.
- Ponderisana harmonijska sredina.
prosječni hronološki - generalizira vrijednosti karakteristike za istu jedinicu ili populaciju u cjelini, mijenjajući se tokom vremena.
logaritamska sredina, određena formulom a ¯ = a 1 − a 2 ln ⁡ (a 1 / a 2) (\textstyle (\bar (a))=(\frac (a_(1)-a_(2))( \ ln(a_(1)/a_(2))))), koristi se u toplotnoj tehnici
logaritamski prosjek, određen u električnoj izolaciji u skladu sa GOST 27905.4-88, definiran je kao l o g a ¯ = log ⁡ a 1 + l o g a 2 + . . . + . . . l o g a n a 1 + a 2 + . . . + a n (\textstyle log(\bar (a))=(\frac (\log a_(1)+loga_(2)+...+...loga_(n))(a_(1)+a_( 2)+...+a_(n)))) (logaritam na bilo koju bazu)

U teoriji vjerojatnosti i statistici

Glavni članak: Indikatori distributivnog centra

neparametrijska sredstva - mod, medijan.
prosječna vrijednost slučajne varijable je ista kao i matematičko očekivanje slučajne varijable. U stvari, to je prosječna vrijednost njegove funkcije distribucije.

Simbol

Ovaj izraz ima druga značenja, pogledajte Simbol (značenja).

Simbol(starogrčki σύμβολον - “ (konvencionalni) znak, signal"") je znak, slika predmeta ili životinje, koji označava kvalitet objekta; konvencionalni znak bilo kojih pojmova, ideja, pojava 2.

Ponekad su znak i simbol različiti jer se, za razliku od znaka, simbolu pripisuje dublja društveno-normativna (duhovna) dimenzija.

Priča

Koncept simbola usko je povezan sa kategorijama kao što su umjetnička slika, alegorija i poređenje. Na primjer, u kasnoj antici, krst je postao simbol kršćanstva[ neugledni izvor?]. IN modernim vremenima Svastika je postala simbol nacionalsocijalizma.

F. I. Girenok je skrenuo pažnju na činjenicu da je u modernoj kulturi izbrisana razlika „između znaka i simbola“, dok je specifičnost simbola indikacija nadrealnog.

A.F. Losev je definisao simbol kao "supstancijalni identitet ideje i stvari". Svaki simbol sadrži sliku, ali se na nju ne može svesti, jer podrazumijeva prisustvo određenog značenja, neodvojivo stopljenog sa slikom, ali ne i identično njoj. Slika i značenje čine dva elementa simbola, nezamisliva jedno bez drugog. Dakle, simboli postoje kao simboli (a ne kao stvari) samo unutar interpretacija.

Neokantovski Kasirer je u 20. veku generalizovao koncept simbola i klasifikovao kao „simboličke forme” široku klasu kulturnih fenomena, kao što su jezik, mit, religija, umetnost i nauka, kroz koje čovek organizuje haos oko sebe. Ranije je Kant tvrdio da je umjetnost, kao intuitivan način predstavljanja, simbolične prirode.

Zanima me šta tačno znači pentagram upisan u krug sunčevih zraka.

Ujak Nikita

Nakon čitanja odgovora drugih, odmah je jasno da ljudi odmah vide simbol đavola u pentagramu))) Ljudi ne žele znati, njihov strah od Sotone zamjenjuje njihovo znanje.
Pentagram, kao i u krugu, je drevni zaštitni znak. I ispravan pentagram stoji na oba kraja. Kao što vidim na slici, na slici nema obrnutog pentagrama. Samo stiliziran jednostavan pentagram u krug, nešto poput zraka, pipaka, plamena (?)
U teoriji, ovo nije samo zaštitni znak, već i simbol pobjede duhovnog nad materijalnim. Ovo su četiri alhemijska elementa, plus etar.

A obrnuti pentagram simbolizira suprotno - pobjedu materijalnog nad duhovnim. I općenito, satanizam ne treba brkati sa obožavanjem đavola. To su dvije različite stvari i ljudi vole sve da slikaju istim kistom, jer nemaju znanja, ali imaju strahove, nagađanja, nagađanja i fantazije.

Usamljena vrana

Najpoznatiji mađioničar 20. veka, Aleister Crowley, tumačio je obrnuti pentagram kao duh predstavljen u obliku sunčevih zraka koji oživljava materiju-Zemlju. Drugi ezoteričari tvrde da obrnuti pentagram prenosi energiju s neba na zemlju i stoga je simbol materijalističkih tendencija, dok običan pentagram usmjerava energiju prema gore, kao simbol duhovne potrage čovječanstva.

Oh, masoni imaju toliko različitih simbola...
Najvjerovatnije je to nešto kabalističko.
A zašto vas zanimaju satanski simboli? ! Izbacite to iz glave - i tu je kraj, kako kažu.

Najviše u ek. U praksi moramo koristiti aritmetičku sredinu, koja se može izračunati kao jednostavna i ponderisana aritmetička sredina.

aritmetički prosjek (SA)-n Najčešći tip prosjeka. Koristi se u slučajevima kada je volumen promjenljive karakteristike za cijelu populaciju zbir vrijednosti karakteristika njenih pojedinačnih jedinica. Društvene pojave karakterizira aditivnost (ukupnost) volumena različite karakteristike; to određuje obim primjene SA i objašnjava njegovu rasprostranjenost kao opći pokazatelj, na primjer: opšti fond plata je zbir plata svih zaposlenih.

Da biste izračunali SA, trebate podijeliti zbir svih vrijednosti karakteristika njihovim brojem. SA se koristi u 2 oblika.

Hajde da prvo razmotrimo jednostavnu aritmetičku sredinu.

1-CA jednostavan (početni, definirajući oblik) jednak je jednostavnom zbroju pojedinačnih vrijednosti karakteristike koja se u prosjeku dijeli s ukupnim brojem ovih vrijednosti (koristi se kada postoje negrupirane vrijednosti indeksa karakteristike):

Napravljeni proračuni mogu se generalizirati u sljedeću formulu:

(1)

Gdje - prosječna vrijednost varijabilne karakteristike, odnosno prosječne aritmetičke sredine;

znači sumiranje, odnosno dodavanje individualnih karakteristika;

x- pojedinačne vrijednosti varijabilne karakteristike, koje se nazivaju varijante;

n - broj jedinica stanovništva

Primjer 1, potrebno je pronaći prosječan učinak jednog radnika (mehaničara), ako se zna koliko je dijelova proizveo svaki od 15 radnika, tj. s obzirom na seriju ind. vrijednosti atributa, kom.: 21; 20; 20; 19; 21; 19; 18; 22; 19; 20; 21; 20; 18; 19; 20.

Jednostavni SA izračunava se pomoću formule (1), kom.:

Primjer 2. Izračunajmo SA na osnovu uslovnih podataka za 20 prodavnica uključenih u trgovačko preduzeće (tabela 1). Tabela 1

Distribucija lokala trgovačkog preduzeća "Vesna" po prodajnoj površini, kv. M

Prodavnica br.		Prodavnica br.

Za izračunavanje prosječne površine trgovine ( ) potrebno je zbrojiti površine svih trgovina i dobiveni rezultat podijeliti s brojem trgovina:

Tako je prosječna prodajna površina za ovu grupu maloprodajnih preduzeća 71 m2.

Stoga, da biste odredili jednostavan SA, trebate podijeliti zbroj svih vrijednosti datog atributa s brojem jedinica koje posjeduju ovaj atribut.

Gdje f 1 , f 2 , … ,f n – težina (učestalost ponavljanja identičnih znakova);

– zbir proizvoda veličine karakteristika i njihovih frekvencija;

– ukupan broj populacijskih jedinica.

- SA ponderisan - Sa Sredina opcija koje se ponavljaju različit broj puta, ili, kako kažu, imaju različite težine. Težine su broj jedinica u različite grupe agregati (identične opcije se kombinuju u grupu). SA ponderisan – prosjek grupisanih vrijednosti x 1 , x 2 , .., x n, – izračunato:

(2)

Gdje X- opcije;

f- frekvencija (težina).

Ponderisani SA je količnik dijeljenja zbira proizvoda opcija i njihovih odgovarajućih frekvencija zbirom svih frekvencija. Frekvencije ( f) koji se pojavljuju u SA formuli obično se nazivaju vage, zbog čega se SA izračunat uzimajući u obzir pondere naziva ponderiranim.

Ilustrovaćemo tehniku izračunavanja ponderisanog SA koristeći gore opisani primer 1. Da bismo to uradili, grupisaćemo početne podatke i staviti ih u tabelu.

Prosjek grupisanih podataka određuje se na sljedeći način: prvo se opcije množe sa frekvencijama, zatim se sabiraju proizvodi i rezultirajuća suma se dijeli zbirom frekvencija.

Prema formuli (2), ponderisani SA je jednak, kom.:

Raspodjela radnika za proizvodnju dijelova

Podaci prikazani u prethodnom primjeru 2 mogu se kombinovati u homogene grupe, koje su prikazane u tabeli. Table

Raspodjela prodavnica Vesna po prodajnim površinama, kv. m

Dakle, rezultat je bio isti. Međutim, ovo će već biti ponderisana aritmetička srednja vrednost.

U prethodnom primjeru izračunali smo aritmetički prosjek pod uvjetom da su poznate apsolutne frekvencije (broj trgovina). Međutim, u velikom broju slučajeva apsolutne frekvencije izostaju, ali su relativne frekvencije poznate, ili, kako se obično nazivaju, frekvencije koje pokazuju proporciju ili udio frekvencija u cijelom setu.

Prilikom izračunavanja SA ponderisane upotrebe frekvencije omogućava vam da pojednostavite proračune kada je frekvencija izražena velikim, višecifrenim brojevima. Izračun se vrši na isti način, međutim, budući da se prosječna vrijednost poveća za 100 puta, rezultat treba podijeliti sa 100.

Tada će formula za aritmetički ponderirani prosjek izgledati ovako:

Gdje d– frekvencija, tj. udio svake frekvencije u ukupnom zbiru svih frekvencija.

(3)

U našem primjeru 2 prvo utvrđujemo udio trgovina po grupama u ukupnom broju radnji kompanije Vesna. Dakle, za prvu grupu specifična težina odgovara 10%
. Dobijamo sljedeće podatke Tabela3