Obavezno pročitajte ovaj odlomak! Parametarske jednadžbe, naravno, ne alfa i omega prostorne geometrije, već radnički mrav mnogih zadataka. Štaviše, ova vrsta jednadžbi se često koristi neočekivano i, rekao bih, elegantno.
Ako su poznata tačka koja pripada pravoj i vektor pravca ove prave, tada su parametarske jednačine ove prave date sistemom:
O samom konceptu parametarskih jednačina sam govorio na času Jednačina prave linije na ravni I Derivat parametarski definirane funkcije.
Sve je jednostavnije od repe na pari, pa ćete morati začiniti problem:
Primjer 7
Rješenje: Prave su date kanonskim jednadžbama i u prvoj fazi treba pronaći neku tačku koja pripada pravoj i njen vektor smjera.
a) Iz jednadžbi uklanjamo tačku i vektor smjera: . Možete odabrati drugu tačku (kako to učiniti opisano je gore), ali je bolje uzeti najočitiju. Usput, da biste izbjegli greške, uvijek zamijenite njegove koordinate u jednačine.
Kreirajmo parametarske jednadžbe za ovu liniju:
Pogodnost parametarskih jednačina je u tome što one olakšavaju pronalaženje drugih tačaka na pravoj. Na primjer, pronađimo tačku čije koordinate, recimo, odgovaraju vrijednosti parametra:
ovako:
b) Razmotrimo kanonske jednačine. Odabir tačke ovdje nije težak, ali podmukao: (pazite da ne pobrkate koordinate!!!). Kako ukloniti vodeći vektor? Možete spekulisati o tome čemu je ova linija paralelna, ili možete koristiti jednostavnu formalnu tehniku: proporcija sadrži “Y” i “Z”, tako da zapišemo vektor smjera , i stavimo nulu u preostali prostor: .
Sastavimo parametarske jednačine prave:
c) Hajde da prepišemo jednačine u obliku , odnosno "zet" može biti bilo šta. A ako bilo koji, onda neka, na primjer, . Dakle, tačka pripada ovoj pravoj. Za pronalaženje vektora smjera koristimo sljedeću formalnu tehniku: u originalnim jednadžbama postoje “x” i “y”, au vektor smjera na tim mjestima pišemo nule: . U preostali prostor stavljamo jedinica: . Umjesto jedan, može se koristiti bilo koji broj osim nule.
Zapišimo parametarske jednačine prave:
Za obuku:
Primjer 8
Sastavite parametarske jednačine od sljedećih pravih linija:
Rješenja i odgovori na kraju lekcije. Odgovori koje dobijete mogu se malo razlikovati od mojih, poenta je u tome parametarske jednačine se mogu napisati na više načina. Važno je da vaš i moj vektori smjera budu kolinearni, a vaša tačka "pristaje" mojim jednačinama (dobro, ili obrnuto, moja tačka odgovara vašim jednačinama).
Kako drugačije možete definirati pravu liniju u prostoru? Hteo bih da smislim nešto sa normalnim vektorom. Međutim, broj neće funkcionirati; normalni vektori prostorne linije mogu gledati u potpuno različitim smjerovima.
Druga metoda je već spomenuta u lekciji. Jednačina ravnine i na početku ovog članka.
Neka l- neka prava linija prostora. Kao iu planimetriji, bilo koji vektor
A =/= 0, kolinearna linija l, zvao vodeći vektor ovu pravu liniju.
Položaj prave u prostoru u potpunosti je određen specificiranjem vektora pravca i tačke koja pripada pravoj.
Neka bude pravo l sa vodećim vektorom A prolazi kroz tačku M 0, a M je proizvoljna tačka u prostoru. Očigledno, tačka M (Sl. 197) pripada pravoj l ako i samo ako je vektor \(\overrightarrow(M_0 M)\) kolinearan s vektorom A , tj.
\(\overrightarrow(M_0 M)\) = t a , t\(\in\) R. (1)
Ako su tačke M i M 0 određene svojim radijus vektorima r I r 0 (Sl. 198) u odnosu na neku tačku O u prostoru, tada \(\strelica iznad desno(M_0 M)\) = r - r 0 , a jednačina (1) poprima oblik
r = r 0 + t a , t\(\in\) R. (2)
Jednačine (1) i (2) se nazivaju vektorsko-parametarske jednačine prave. Varijabilna t u vektorsko-parametarskim jednadžbama prava linija se naziva parametar.
Neka je tačka M 0 prava l i vektor smjera a dati su svojim koordinatama:
M 0 ( X 0 ; at 0 , z 0), A = (A 1 ; A 2 ; A 3).
Onda ako ( X; y; z) - koordinate proizvoljne tačke M prave l, To
\(\overrightarrow(M_0 M) \) = ( x - x 0 ; y - y 0 ; z - z 0)
I vektorska jednadžba(1) je ekvivalentna sljedeće tri jednačine:
x - x 0 = ta 1 , y - y 0 = ta 2 , z - z 0 = ta 3
$$ \begin(slučajevi) x = x_0 + ta_1 \\ y = y_0 + ta_2 \\ z = z_0 + ta_3, \;\;t\in R\end(slučajevi) (3)$$
Jednačine (3) se nazivaju parametarske jednačine prave u svemiru.
Zadatak 1. Napišite parametarske jednačine za pravu koja prolazi kroz tačku
M 0 (-3; 2; 4) i ima vektor smjera A = (2; -5; 3).
U ovom slučaju X 0 = -3, at 0 = 2, z 0 = 4; A 1 = 2; A 2 = -5; A 3 = 3. Zamjenom ovih vrijednosti u formule (3) dobijamo parametarske jednačine ove linije
$$ \begin(slučajevi) x = -3 - 2t \\ y = 2 - 5t \\ z = 4 + 3t, \;\;t\in R\end(slučajevi) $$
Isključimo parametar t iz jednačina (3). Ovo se može uraditi jer A =/= 0, a time i jedna od vektorskih koordinata A je očigledno različit od nule.
Neka se prvo sve koordinate razlikuju od nule. Onda
$$ t=\frac(x-x_0)(a_1),\;\;t=\frac(y-y_0)(a_2),\;\;t=\frac(z-z_0)(a_3) $$
i zbog toga
$$ \frac(x-x_0)(a_1)=\frac(y-y_0)(a_2)=\frac(z-z_0)(a_3) \;\; (4)$$
Ove jednačine se nazivaju kanonske jednadžbe prave .
Imajte na umu da jednačine (4) čine sistem od dvije jednačine sa tri varijable x, y I z.
Ako je u jednadžbi (3) jedna od vektorskih koordinata A , Na primjer A 1 je jednako nuli, tada eliminacijom parametra t, ponovo dobijamo sistem od dve jednačine sa tri varijable x, y I z:
\(x=x_0, \;\; \frac(y-y_0)(a_2)=\frac(z-z_0)(a_3)\)
Ove jednačine se nazivaju i kanonske jednačine linija. Radi uniformnosti, oni se takođe konvencionalno pišu u obliku (4)
\(\frac(x-x_0)(0)=\frac(y-y_0)(a_2)=\frac(z-z_0)(a_3)\)
uz pretpostavku da ako je imenilac nula, onda je i odgovarajući brojnik nula. Ove jednadžbe su jednadžbe prave koja prolazi kroz tačku M 0 ( X 0 ; at 0 , z 0) paralelno koordinatna ravan yOz, budući da je njegov vektor smjera (0; A 2 ; A 3).
Konačno, ako u jednadžbi (3) postoje dvije vektorske koordinate A , Na primjer A 1 i A 2 su jednake nuli, tada ove jednačine dobijaju oblik
X = X 0 , y = at 0 , z = z 0 + t a 3 , t\(\in\) R.
Ovo su jednadžbe prave koja prolazi kroz tačku M 0 ( X 0 ; at 0 ; z 0) paralelno sa osom Oz. Za tako ravnu liniju X = X 0 , y = at 0 ,a z- bilo koji broj. I u ovom slučaju, radi uniformnosti, jednačina prave linije može se napisati (sa istom rezervom) u obliku (4)
\(\frac(x-x_0)(0)=\frac(y-y_0)(0)=\frac(z-z_0)(a_3)\)
Dakle, za bilo koju pravu u prostoru mogu se napisati kanonske jednadžbe (4), i, obrnuto, bilo koja jednačina oblika (4) pod uslovom da je barem jedan od koeficijenata A 1 , A 2 , A 3 nije jednako nuli, definira neku pravu liniju u prostoru.
Zadatak 2. Napišite kanonske jednadžbe prave koja prolazi kroz tačku M 0 (- 1; 1, 7) paralelno s vektorom A = (1; 2; 3).
Jednačine (4) u ovom slučaju zapisuju se na sljedeći način:
\(\frac(x+1)(1)=\frac(y-1)(2)=\frac(z-7)(3)\)
Izvedemo jednadžbe prave linije koja prolazi kroz dvije date tačke M 1 ( X 1 ; at 1 ; z 1) i
M2( X 2 ; at 2 ; z 2). Očigledno, možemo uzeti vektor a = (X 2 - X 1 ; at 2 - at 1 ; z 2 - z 1), i iza tačke M 0 kroz koju prolazi prava linija, na primer, tačke M 1. Tada će se jednadžbe (4) napisati na sljedeći način:
\(\frac(x-x_1)(x_2 - x_1)=\frac(y-y_1)(y_2 - y_1)=\frac(z-z_1)(z_2 - z_1)\) (5)
Ovo su jednadžbe prave koja prolazi kroz dvije tačke M 1 ( X 1 ; at 1 ; z 1) i
M2( X 2 ; at 2 ;z 2).
Zadatak 3. Napišite jednačine prave koja prolazi kroz tačke M 1 (-4; 1; -3) i M 2 (-5; 0; 3).
U ovom slučaju X 1 = -4, at 1 = 1, z 1 = -3, X 2 = -5, at 2 = 0, z 2 = 3. Zamjenom ovih vrijednosti u formule (5) dobijamo
\(\frac(x+4)(-1)=\frac(y-1)(-1)=\frac(z+3)(6)\)
Zadatak 4. Napišite jednadžbe prave koja prolazi kroz tačke M 1 (3; -2; 1) i
M 2 (5; -2; 1/2).
Nakon zamjene koordinata tačaka M 1 i M 2 u jednačine (5), dobijamo
\(\frac(x-3)(2)=\frac(y+2)(0)=\frac(z-1)(-\frac(1)(2))\)
Izjednačavanje svakog od razlomaka sa određenim parametrom u kanonskim jednadžbama prave linije t:
Dobijamo jednadžbe koje izražavaju trenutne koordinate svake tačke na liniji kroz parametar t.
Dakle, parametarske jednačine prave imaju oblik:
Jednačine prave koja prolazi kroz dvije date tačke.
Neka su date dvije tačke M 1 (x 1 , y 1 , z 1) i M 2 (x 2 , y 2 , z 2). Jednačine prave koja prolazi kroz dvije date tačke dobijaju se na isti način kao slična jednačina na ravni. Stoga, odmah predstavljamo oblik ove jednačine.
Prava linija na preseku dve ravni. Opća jednačina pravo u svemir.
Ako uzmemo u obzir dvije neparalelne ravni, onda će njihov presjek biti prava linija.
Ako su normalni vektori 
I 
nekolinearno.
U nastavku, kada razmatramo primjere, pokazat ćemo način transformacije takvih jednadžbi linija u kanonske jednadžbe.
5.4 Ugao između dvije prave linije. Uslov paralelnosti i okomitosti dvije prave.
Ugao između dve prave u prostoru naziva se svaki od uglova koji se formiraju od dve prave linije povučene kroz proizvoljnu tačku paralelnu sa podacima.
Neka su dvije linije definirane njihovim kanonskim jednadžbama.
Uzmimo ugao između vektora pravca kao ugao između dve prave.
I 
Uvjet okomitosti dvije prave svodi se na uvjet okomitosti njihovih vektora smjera i , odnosno na jednakost skalarnog proizvoda na nulu: ili u koordinatnom obliku: .
Uvjet paralelizma dvije prave svodi se na uvjet paralelnosti njihovih vektora smjera i
5.5 Međusobni dogovor pravo i ravan.
Neka su date jednačine prave:
i avioni. Ugao između prave i ravni će se zvati bilo koji od dva susedna ugla formirana od prave linije i njene projekcije na ravan (slika 5.5).
Slika 5.5
Ako je prava okomita na ravan, vektor pravca i vektor normale na ravan su kolinearni. Dakle, uslov okomitosti prave i ravni se svodi na uslov kolinearnosti vektora
Ako su prava i ravan paralelne, njihovi gornji vektori su međusobno okomiti. Stoga se uslov paralelnosti prave i ravni svodi na uslov okomitosti vektora; one. njihov skalarni proizvod je nula ili u koordinatnom obliku: .
Ispod su primjeri rješavanja problema vezanih za temu poglavlja 5.
Primjer 1:
Napišite jednačinu za ravan koja prolazi kroz tačku A (1,2,4) okomitu na pravu datu jednadžbom:
Rješenje:
Koristimo jednadžbu ravnine koja prolazi dati poen okomito na dati vektor.
A(x-x 0)+B(y-y 0)+C(z-z 0)=0
Kao tačku uzimamo tačku A (1,2,4), kroz koju prema uslovu prolazi ravan.
Poznavajući kanonske jednačine prave, znamo vektor paralelan pravoj.
Zbog činjenice da je po uslovu prava okomita na željenu ravan, vektor pravca se može uzeti kao vektor normale ravni.
Tako dobijamo jednačinu ravnine u obliku:
2(x-1)+1(y-2)+4(z-4)=0
2x+y+4z-16=0
2x+y+4z-20=0
Primjer 2:
Nađi u avionu 4h-7u+5z-20=0 takva tačka P za koju OR pravi jednake uglove sa koordinatnim osa.
Rješenje:
Napravimo šematski crtež. (Sl. 5.6)
 |
at
Slika 5.6
Prazna tačka P ima koordinate . Budući da vektor čini jednake kutove s koordinatnim osa, kosinusi smjera ovog vektora su međusobno jednaki
Nađimo projekcije vektora:
tada se kosinusi smjera ovog vektora mogu lako naći.
Iz kosinusa pravca jednakost slijedi:
x p =y p =z p
pošto tačka P leži na ravni, onda je zamena koordinata ove tačke u jednadžbu ravni pretvara u identitet.
4x r -7h r +5h r -20=0
2x p =20
x p =10
odnosno: y r=10; z r=10.
Dakle, željena tačka P ima koordinate P(10;10;10)
Primjer 3:
Date su dva boda A (2,-1,-2) i B (8,-7,5). Naći jednačinu ravnine koja prolazi kroz tačku B, okomitu na segment AB.
Rješenje:
Da bismo riješili problem, koristimo jednačinu ravnine koja prolazi kroz datu tačku okomito na dati vektor.
A(x-x 0)+B(y-y 0)+C(z-z 0)=0
Koristimo tačku B (8,-7,5) kao tačku, a vektor okomit na ravan kao vektor. Nađimo projekcije vektora:
tada dobijamo jednacinu ravnine u obliku:
6(x-8)-6(y+7)+7(z-5)=0
6h-48-6u-42+7z-35=0
6x-6y+7z-35=0
6x-6y+7z-125=0
Primjer 4:
Naći jednačinu ravni paralelne sa OY osi i koja prolazi kroz tačke K(1,-5,1) i M(3,2,-2).
Rješenje:
Pošto je ravan paralelna sa OY osom, koristićemo nepotpunu jednačinu ravni.
Ax+Cz+D=0
Zbog činjenice da tačke K i M leže na ravni, dobijamo dva uslova.
Izrazimo koeficijente A i C iz ovih uslova u terminima D.
Zamijenimo pronađene koeficijente u nepotpuna jednačina avion:
budući da , tada smanjujemo D:
Primjer 5:
Naći jednačinu ravni koja prolazi kroz tri tačke M(7,6,7), K(5,10,5), R(-1,8,9)
Rješenje:
Koristimo jednačinu ravni koja prolazi kroz 3 date tačke.
zamena koordinata tačke M,K,R kao prvo, drugo i treće dobijamo:
Proširimo determinantu u 1. redu.
Primjer 6:
Naći jednačinu ravni koja prolazi kroz tačke M 1 (8, -3,1); M 2 (4,7,2) i okomito na ravan 3h+5u-7z-21=0
Rješenje:
Napravimo šematski crtež (slika 5.7)
Slika 5.7
Označimo datu ravan P 2 i željenu ravan P 2. . Iz Eq. dati avion P 1 određujemo projekciju vektora okomitu na ravan P 1.
Vektor se može pomeriti u ravan P2 paralelnim prenosom, pošto je prema uslovima zadatka ravan P2 okomita na ravan P1, što znači da je vektor paralelan sa ravni P2.
Nađimo projekcije vektora koji leži u ravni P2:
sada imamo dva vektora i leže u ravni P 2. očigledno vektor 
, jednak vektorskom proizvodu vektora i bit će okomit na ravan P 2, budući da je okomit na i, prema tome, njegov normalni vektor na ravan P 2.
Vektori i definirani su njihovim projekcijama, dakle:
Zatim koristimo jednadžbu ravnine koja prolazi kroz datu tačku okomito na vektor. Kao tačku možete uzeti bilo koju od tačaka M 1 ili M 2, na primjer M 1 (8,-3,1); Uzimamo kao vektor normale na ravan P2.
74(x-8)+25(y+3)+50(z-1)=0
3(x-8)+(y-3)+2(z-1)=0
3x-24+y+3+27-2=0
3x+y+2z-23=0
Primjer 7:
Prava linija je definisana presekom dve ravni. Naći kanonske jednačine prave.
 |
Rješenje:
Imamo jednačinu u obliku:
Moramo pronaći poentu ( x 0,y 0,z 0), kroz koju prolaze prava linija i vektor smjera.
Odaberimo jednu od koordinata proizvoljno. Na primjer, z=1, tada dobijamo sistem od dvije jednadžbe sa dvije nepoznate:
Tako smo pronašli tačku koja leži na željenoj pravoj (2,0,1).
Kao vektor smjera željene prave linije uzimamo vektorsko umjetničko djelo vektori i , koji su normalni vektori jer 
, i stoga paralelno sa željenom linijom.
Dakle, vektor smjera linije ima projekcije. Koristeći jednadžbu prave koja prolazi kroz datu tačku paralelno sa datim vektorom:
Dakle, ono što tražite kanonska jednačina ima oblik:
Primjer 8:
Pronađite koordinate presečne tačke prave i ravni 2x+3y+3z-8=0
Rješenje:
Zapišimo datu jednačinu prave u parametarskom obliku.
x=3t-2; y=-t+2; z=2t-1
svaka tačka na liniji odgovara jednoj vrijednosti parametra t. Da biste pronašli parametar t koji odgovara tački presjeka prave i ravni, zamjenjujemo izraz u jednadžbu ravnine x, y, z preko parametra t.
2(3t-2)+(-t+2)+3(2t-1)-8=0
6t-4-3t+6+6t-3-8=0
t=1
zatim koordinate željene tačke
željena tačka preseka ima koordinate (1;1;1).
Primjer 9:
Naći jednačinu ravni koja prolazi kroz paralelne prave.
Napravimo šematski crtež (slika 5.9)
 |
Slika 5.9
Od date jednačine prave i odrediti projekcije vektora pravca ovih pravih linija. Nađimo projekcije vektora koji leži u ravni P, i uzmemo tačke iz kanonskih jednačina pravih M 1 (1,-1,2) i M 2 (0,1,-2).
Prava linija i tačka su važnih elemenata geometrije, uz pomoć koje se konstruišu mnoge figure u prostoru i na ravni. Ovaj članak detaljno razmatra parametarski, kao i njegov odnos sa drugim tipovima jednadžbi za ovaj geometrijski element.
Prava linija i jednadžbe za to
Prava linija u geometriji je skup tačaka koje spajaju proizvoljne dvije tačke u prostoru sa segmentom najkraće dužine. Ovaj segment je dio prave linije. Sve druge krive koje povezuju dvije fiksne točke u prostoru bit će duže i stoga neće ravne.
Na gornjoj slici su dvije crne tačke. Plava linija koja ih povezuje je ravna, a crvena zakrivljena. Očigledno je da je dužina crvene linije između crnih tačaka veća od plave.
Postoji nekoliko vrsta jednadžbi linija koje se mogu koristiti za opisivanje linije u trodimenzionalnom prostoru ili u dvodimenzionalnom prostoru. Ispod su nazivi ovih jednačina:
- vektor;
- parametarski;
- u segmentima;
- simetrične ili kanonske;
- opšti tip.
U ovom članku ćemo razmotriti parametarsku jednadžbu prave, ali ćemo je izvesti iz vektorske. Također ćemo pokazati vezu između parametarskih i simetričnih ili kanonskih jednačina.
Vektorska jednadžba
Jasno je da su sve date vrste jednačina za razmatrani geometrijski element međusobno povezane. Međutim, vektorska jednadžba je osnovna za sve njih, budući da direktno slijedi iz definicije prave linije. Razmotrimo kako se to uvodi u geometriju.
Pretpostavimo da nam je data tačka u prostoru P(x 0 ; y 0 ; z 0). Poznato je da ova tačka pripada pravoj. Koliko se linija može povući kroz njega? Beskonačno mnoštvo. Stoga, da biste nacrtali jednu ravnu liniju, potrebno je odrediti smjer potonje. Smjer je, kao što je poznato, određen vektorom. Označimo ga v¯(a; b; c), gdje su simboli u zagradama njegove koordinate. Za svaku tačku Q(x; y; z), koja se nalazi na pravoj koju razmatramo, možemo napisati jednakost:
(x; y; z) = (x 0; y 0; z 0) + α × (a; b; c)
Ovdje je simbol α parametar koji poprima apsolutno bilo koju realnu vrijednost (množenjem vektora brojem može se promijeniti samo njegova veličina ili smjer na suprotan). Ova se jednakost naziva vektorska jednadžba za pravu u trodimenzionalnom prostoru. Promjenom parametra α dobijamo sve tačke (x; y; z) koje formiraju ovu liniju.
Vektor v¯(a; b; c) u jednadžbi naziva se usmjeravajući vektor. Prava linija nema određeni pravac, a njena dužina je beskonačna. Ove činjenice znače da svaki vektor dobijen iz v¯ množenjem sa pravi broj, također će biti vodič za ravnu liniju.
Što se tiče točke P(x 0 ; y 0 ; z 0), tada umjesto nje u jednadžbi možete zamijeniti proizvoljnu tačku koja leži na pravoj liniji, a potonja se neće promijeniti.
Na slici iznad prikazana je ravna linija (plava linija), koja je definirana u prostoru kroz vektor smjera (crveni usmjeren segment).
Nije teško dobiti sličnu jednakost za dvodimenzionalni slučaj. Koristeći slično razmišljanje dolazimo do izraza:
(x; y) = (x 0 ; y 0) + α × (a; b)
Vidimo da je potpuno isti kao i prethodni, samo se dvije koordinate koriste umjesto tri za specificiranje tačaka i vektora.
Parametrijska jednadžba
Prvo, dobijamo parametarsku jednačinu prave u prostoru. Iznad, kada je vektorska jednakost bila zapisana, već smo spomenuli parametar koji je prisutan u njoj. Za dobijanje parametarske jednačine dovoljno je proširiti vektorsku. Dobijamo:
x = x 0 + α × a;
y = y 0 + α × b;
z = z 0 + α × c
Skup ove tri linearne jednakosti, od kojih svaka ima jednu promjenjivu koordinatu i parametar α, obično se naziva parametarska jednačina prave u prostoru. Zapravo, nismo uradili ništa novo, već smo jednostavno eksplicitno zabilježili značenje odgovarajućeg vektorskog izraza. Zapazimo samo jednu tačku: broj α, iako proizvoljan, isti je za sve tri jednakosti. Na primjer, ako je α = -1,5 za 1. jednakost, tada istu vrijednost treba zamijeniti u drugu i treću jednakost prilikom određivanja koordinata tačke.
Parametarska jednačina prave na ravni je slična onoj za prostorni slučaj. Piše se kao:
x = x 0 + α × a;
y = y 0 + α × b
Dakle, da bi se sastavila parametarska jednačina prave, potrebno je eksplicitno zapisati vektorsku jednačinu za nju.
Dobivanje kanonske jednadžbe
Kao što je gore navedeno, sve jednadžbe koje definiraju pravu u prostoru i na ravni dobivaju se jedna od druge. Pokazaćemo kako iz parametarske jednačine dobiti kanonsku ravnu liniju. Za prostorni slučaj imamo:
x = x 0 + α × a;
y = y 0 + α × b;
z = z 0 + α × c
Izrazimo parametar u svakoj jednakosti:
α = (x - x 0) / a;
α = (y - y 0) / b;
α = (z - z 0) / c
Pošto su leve strane iste, onda su i desne strane jednakosti jednake jedna drugoj:
(x - x 0) / a = (y - y 0) / b = (z - z 0) / c
Ovo je kanonska jednadžba za pravu u prostoru. Vrijednost nazivnika u svakom izrazu je odgovarajuća koordinata. Vrijednosti u brojniku koje se oduzimaju od svake varijable su koordinate tačke na toj pravoj.
Odgovarajuća jednačina za slučaj na ravni ima oblik:
(x - x 0) / a = (y - y 0) / b
Jednačina prave kroz 2 tačke
Poznato je da dvije fiksne tačke i na ravni i u prostoru jednoznačno definiraju pravu liniju. Pretpostavimo da su date sljedeće dvije tačke na ravni:
Kako napisati jednačinu prave kroz njih? Prvo morate odrediti vektor smjera. Njegove koordinate imaju sljedeće vrijednosti:
PQ¯(x 2 - x 1 ; y 2 - y 1)
Sada možete napisati jednačinu u bilo kojem od tri oblika o kojima se govorilo u gornjim paragrafima. Na primjer, parametarska jednadžba prave linije ima oblik:
x = x 1 + α × (x 2 - x 1);
y = y 1 + α × (y 2 - y 1)
U kanonskom obliku možete ga prepisati ovako:
(x - x 1) / (x 2 - x 1) = (y - y 1) / (y 2 - y 1)
Vidi se da kanonska jednadžba uključuje koordinate obje tačke, a te tačke se mogu mijenjati u brojiocu. Dakle, poslednja jednačina se može prepisati na sledeći način:
(x - x 2) / (x 2 - x 1) = (y - y 2) / (y 2 - y 1)
Svi pisani izrazi nazivaju se jednadžbama prave linije kroz 2 tačke.
Problem sa tri tačke
Date su koordinate sljedeće tri tačke:
Potrebno je utvrditi da li ove tačke leže na istoj pravoj ili ne.
Ovaj problem treba riješiti na sljedeći način: prvo napraviti jednadžbu prave za bilo koje dvije tačke, a zatim u nju zamijeniti koordinate treće i provjeriti da li one zadovoljavaju rezultirajuću jednakost.
Sastavljamo jednačinu u terminima M i N u parametarskom obliku. Da bismo to učinili, primjenjujemo formulu dobivenu u gornjem pasusu, koju generaliziramo na trodimenzionalni slučaj. Imamo:
x = 5 + α × (-3);
y = 3 + α × (-1);
z = -1 + α × 1
Sada zamenimo koordinate tačke K u ove izraze i pronađemo vrednost alfa parametra koja im odgovara. Dobijamo:
1 = 5 + α × (-3) => α = 4/3;
1 = 3 + α × (-1) => α = 4;
5 = -1 + α × 1 => α = -4
Otkrili smo da će sve tri jednakosti vrijediti ako svaka od njih ima različitu vrijednost za parametar α. Poslednja činjenica je u suprotnosti sa uslovom parametarske jednačine prave linije, u kojoj α mora biti jednako za sve jednačine. To znači da tačka K ne pripada pravoj MN, što znači da sve tri tačke ne leže na istoj pravoj.
Problem paralelizma
Dve jednačine linija su date u parametarskom obliku. Oni su predstavljeni u nastavku:
x = -1 + 5 × α;
x = 2 - 6 × λ;
y = 4 - 3,6 × λ
Potrebno je utvrditi da li su prave paralelne. Najlakši način za određivanje paralelizma dvije prave je korištenje koordinata vektora smjera. Okrećući se općoj formuli parametarske jednadžbe u dvodimenzionalnom prostoru, nalazimo da će vektori smjera svake prave linije imati koordinate:
Dva vektora su paralelna ako se jedan od njih može dobiti množenjem drugog sa nekim brojem. Podijelimo koordinate vektora u parove, dobićemo:
to znači da:
v 2 ¯ = -1,2 × v 1 ¯
Vektorski pravci v 2 ¯ i v 1 ¯ su paralelni, što znači da su i linije u iskazu problema paralelne.
Provjerimo jesu li ista linija. Da biste to učinili, trebate zamijeniti koordinate bilo koje tačke u jednadžbi drugom. Uzmimo tačku (-1; 3) i zamijenimo je jednadžbom za drugu liniju:
1 = 2 - 6 × λ => λ = 1/2;
3 = 4 - 3,6 × λ => λ ≈ 0,28
Odnosno, ravne su različite.
Problem okomitosti pravih
Date su jednadžbe dvije prave:
x = 2 + 6 × λ;
y = -2 - 4 × λ
Jesu li ove linije okomite?
Dvije prave će biti okomite ako je skalarni proizvod njihovih vektora smjera nula. Zapišimo ove vektore:
Nađimo njihov skalarni proizvod:
(v 1 ¯ × v 2 ¯) = 2 × 6 + 3 × (-4) = 12 - 12 = 0
Tako smo saznali da su razmatrane prave okomite. Oni su prikazani na gornjoj slici.
Neka prava prolazi kroz tačku M1 (x1, y1, z1) i paralelna je sa vektorom (m,n, l). Napravimo jednačinu za ovu liniju.
Uzmimo proizvoljnu tačku M (x, y, z) na ovoj pravoj i pronađemo odnos između x, y, z. Napravimo vektor
Vektori su ikolinearni.
- kanonska jednačina prave u prostoru.
44 Parametarske jednadžbe prave
Jer Ako je ova jednadžba zadovoljena koordinatama bilo koje tačke na pravoj, onda je rezultirajuća jednačina parametarska jednačina prave.
Ova vektorska jednadžba se može predstaviti u koordinatnom obliku:
Transformacijom ovog sistema i izjednačavanjem vrednosti parametra t dobijamo kanonske jednačine prave u prostoru:
Definicija. Kosinusi smjera prave linije su kosinusi smjera vektora, koji se mogu izračunati pomoću formula:
Odavde dobijamo: m: n: p = cosa: cosb: cosg.
Brojevi m, n, p nazivaju se nagibi prave. Pošto je vektor različit od nule, m, n i p ne mogu biti jednaki nuli u isto vrijeme, ali jedan ili dva od ovih brojeva mogu biti jednaki nuli. U ovom slučaju, u jednačini linije, odgovarajući brojioci treba da budu jednaki nuli.
45 Jednačina prave u prostoru koja prolazi kroz dvije različite date tačke.
Analitička geometrija
Jednačina prave koja prolazi kroz dvije date tačke.
Neka su M1(x1y1) i M2(x2y2) date na ravni. Sastavimo kanonsku jednačinu prave koja prolazi kroz ove dvije tačke i uzmimo M1M2 kao vektor smjera S
trojka. 
Ovo je jednadžba prave linije koja prolazi kroz dvije date tačke (x1 y1) i (x2, y2)
Pređimo sada na jednačine prave i ravni u prostoru.
Analitička geometrija u 3-dimenzionalnom prostoru
Slično dvodimenzionalnom slučaju, svaka jednačina prvog stepena u odnosu na tri varijable x, y, z je jednačina ravni u Oxyz prostoru.Opšta jednačina ravni je AX + VY + SZ + D = 0 , gdje je vektor N = (A, B, C) normala na ravan. Kanonska jednadžba ravni koja prolazi kroz tačku M(x0,y0,z0) i ima normalan N(A,B,C) A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) =0 – koja je to jednačina?
Vrijednosti x –x0, y-y0 i z –z0 su razlike između koordinata trenutne tačke i fiksne tačke. Dakle, vektor a (x-x 0, y-y0, z-z0) je vektor koji leži u opisanoj ravni, a vektor N je vektor okomit na ravan, što znači da su okomiti jedan na drugi.
Tada njihov skalarni proizvod mora biti jednak nuli.
U koordinatnom obliku (N,a)=0 izgleda ovako:
A·(x-x0)+B·(y-y0)+S·(z-z0)=0
U prostoru se razlikuju desni i levi trojci vektora. Trojka nekoplanarnih vektora a, b, c naziva se desnorukom ako se posmatraču, iz njihovog zajedničkog porijekla, čini da se prelazak krajeva vektora a, b, c u naznačenom redoslijedu odvija u smjeru kazaljke na satu. Inače slučaj a,b,c- lijevo.
46 Ugao između pravih linija u prostoru
Ugao između pravih linija u prostoru naziva se bilo koji od susjednih uglova formiranih od dvije prave linije povučene kroz proizvoljnu tačku paralelnu sa podacima.
Neka su u prostoru date dvije linije:
Očigledno, ugao φ između pravih linija može se uzeti kao ugao između njihovih vektora smjera i. Pošto, koristeći formulu za kosinus ugla između vektora, dobijamo
Uslovi paralelizma i okomitosti dve prave su ekvivalentni uslovima paralelizma i okomitosti njihovih vektora pravca i:
Dvije prave su paralelne ako i samo ako su im odgovarajući koeficijenti proporcionalni, tj. l1 je paralelno sa l2 ako i samo ako je paralelno 
.
Dvije prave su okomite ako i samo ako je zbroj proizvoda odgovarajućih koeficijenata jednak nuli: .
Naći jednačine prave koja prolazi kroz tačku M1(1;2;3) paralelno sa pravom l1:
Pošto je željena prava l paralelna sa l1, tada se vektor usmjeravanja prave l1 može uzeti kao vektor smjera željene prave l.
