Tema lekcije: „Diferencijacija eksponencijalnih i logaritamskih funkcija. Antiderivativ eksponencijalna funkcija» u UNT zadacima
Target : razvijati vještine učenika u primjeni teorijskih znanja na temu „Diferencijacija eksponencijalnih i logaritamskih funkcija. Antiderivat eksponencijalne funkcije" za rješavanje UNT problema.
Zadaci
edukativni: sistematizirati teorijska znanja učenika, konsolidirati vještine rješavanja problema na ovu temu.
edukativni: razviti pamćenje, zapažanje, logičko razmišljanje, matematički govor učenika, pažnja, samopoštovanje i vještine samokontrole.
edukativni: doprinijeti:
razvijanje odgovornog odnosa prema učenju kod učenika;
razvoj održivog interesovanja za matematiku;
stvaranje pozitivne unutrašnje motivacije za učenje matematike.
Metode nastave: verbalno, vizuelno, praktično.
Oblici rada: individualno, frontalno, u paru.
Tokom nastave
Epigraf: „Um nije samo u znanju, već i u sposobnosti da se znanje primeni u praksi“ Aristotel (slajd 2)
II. Rješavanje ukrštenice. (slajd 3-21)
Francuski matematičar iz 17. veka Pjer Ferma definisao je ovu liniju kao „pravu koja je najbliža krivoj u malom kraju tačke“.
Tangenta
Funkcija koja je data formulom y = log a x.
Logaritamski
Funkcija koja je data formulom y = A X.
Indikativno
U matematici se ovaj koncept koristi za pronalaženje brzine kretanja. materijalna tačka i ugaoni koeficijent tangente na graf funkcije u datoj tački.
Derivat
Kako se zove funkcija F(x) za funkciju f(x), ako je za bilo koju tačku iz intervala I zadovoljen uslov F"(x) =f(x).
Antiderivativ
Kako se zove odnos između X i Y, u kojem je svaki element X povezan s jednim elementom Y.
Derivat pomaka
Brzina
Funkcija koja je data formulom y = e x.
Izlagač
Ako se funkcija f(x) može predstaviti kao f(x)=g(t(x)), tada se ova funkcija naziva...
III. Matematički diktat (slajd 22)
1. Zapišite formulu za izvod eksponencijalne funkcije. ( A x)" = A x ln a
2. Zapišite formulu za izvod eksponencijala. (e x)" = e x
3. Zapišite formulu za izvod prirodnog logaritma. (ln x)"=
4. Zapišite formulu za izvod logaritamske funkcije. (log a x)"=
5. Zapišite opći oblik antiderivata za funkciju f(x) = A X. F(x)=
6. Zapišite opći oblik antiderivata za funkciju f(x) =, x≠0. F(x)=ln|x|+C
Provjerite svoj rad (odgovori na slajdu 23).
IV. Rješavanje UNT problema (simulator)
A) Br. 1,2,3,6,10,36 na tabli i u svesci (slajd 24)
B) Rad u parovima br. 19,28 (simulator) (slajd 25-26)
V. 1. Pronađi greške: (slajd 27)
1) f(x)=5 e – 3h, f "(x)= – 3 e – 3h
2) f(x)=17 2x, f "(x)= 17 2x ln17
3) f(x)=log 5
(7x+1), f "(x)=
4) f(x)= ln(9 – 4h), f "(x)=
.
VI. Studentska prezentacija.
Epigraf: „Znanje je toliko dragoceno da ga nije sramota dobiti iz bilo kog izvora“ Toma Akvinski (slajd 28)
VII. Domaća zadaća br. 19,20 str.116
VIII. Test (rezervni zadatak) (slajd 29-32)
IX. Sažetak lekcije.
„Ako želite da učestvujete u sjajan život, pa napuni glavu matematikom dok imaš priliku. Ona će vam tada pružiti veliku pomoć tokom života” M. Kalinjin (slajd 33)
Čas algebre u 11. razredu na temu: "Diferencijacija i integracija eksponencijalnih i logaritamskih funkcija"
Ciljevi lekcije:
Sistematizirati proučeno gradivo na temu “Eksponencijalne i logaritamske funkcije”.
Razvijati sposobnost rješavanja problema koji uključuju diferencijaciju i integraciju eksponencijalnih i logaritamskih funkcija.
Iskoristite prilike informacione tehnologije razviti motivaciju za proučavanje složenih tema u matematičkoj analizi.
Navedite zahtjeve za završetak probnog rada na ovu temu u sljedećoj lekciji.
Tokom nastave
I. Organizacioni momenat (1 – 2 minuta).
Nastavnik saopštava ciljeve časa.
Odeljenje je podeljeno u 4 grupe.
II. Blitz anketa po formulama (domaći zadatak).
Razgovor u formi dijaloga sa učenicima.
Recimo da ste deponovali 10.000 rubalja u banci uz kamatnu stopu od 12% godišnje. Za koliko godina će se vaša investicija udvostručiti?
Da bismo to učinili, moramo riješiti jednačinu: , tj Kako?
Moramo ići na bazu 10, odnosno (pomoću kalkulatora)
Dakle, udvostručenje doprinosa će se desiti za šest godina (nešto više).
Ovdje nam je bila potrebna formula za prelazak u novu bazu. Koje formule za diferencijaciju i integraciju logaritamskih i eksponencijalnih funkcija znate? (sve formule su preuzete sa stranica udžbenika, str. 81, str. 86).
Pitanja jedno drugom u lancu.
Pitanja za nastavnika.
Nastavnik traži da izvede 1–2 formule.
Na odvojenim malim komadićima papira nalazi se matematički diktat o poznavanju formula. U toku je međusobna provjera. Seniori u grupama prikazuju prosječan aritmetički rezultat i unose ga u tabelu.
Tabela aktivnosti
Vrsta aktivnosti | ||||
1. Poznavanje formula. | ||||
2. Individualno znanje. Raditi u parovima. | ||||
3. Usmeni rad. | ||||
4. Kontrolni testovi (računarska procjena). | ||||
5. Samostalan rad(obavezni nivo zadataka). | ||||
6. Zadaci povećane složenosti. | ||||
III. Usmeni rad:
Odrediti broj rješenja jednadžbi.
A) ;
B) ;
Nakon što učenici odgovore koristeći grafoskop, na ekranu se prikazuju grafikoni.
A) 2 rješenja
B) 1 rješenje
Dodatno pitanje: Nađi najveća vrijednost funkcije
Opadajuća funkcija je najveća kada indikator ima najmanju vrijednost.
(2 načina)
IV. Individualni rad.
Tokom usmenog rada, 2 osobe iz svake grupe rade na individualnim zadacima.
1. grupa: Jedan istražuje funkciju, drugi ima graf ove funkcije na interaktivnoj ploči.
Dodatno pitanje:. Odgovor: (Br e? Vidi stranicu 86 udžbenika).
Grupa 2: Pronađite krivu koja prolazi kroz tačku n (0; 2) ako je nagib tangente u bilo kojoj tački krive jednak proizvodu koordinata tačke tangente. Jedan je diferencijalna jednadžba i pronalazi opšte rješenje, drugi pronalazi posebno rješenje koristeći početne uslove.
odgovor:
Dodatno pitanje: Zašto jednaka uglu između tangente povučene u tački X=0 na graf funkcije y = e x i x-osa. (45 o)
Grafikon ove funkcije naziva se “eksponent” (Pronađite informacije o tome u udžbeniku i provjerite svoje obrazloženje s objašnjenjima u udžbeniku, stranica 86).
Grupa 3:
Uporedite
Jedan upoređuje pomoću mikrokalkulatora, a drugi bez.
Dodatno pitanje: Odrediti pri čemu je x0 jednakost ?
odgovor: x = 2 0,5.
Grupa 4: Dokaži to
Dokaz na različite načine.
Dodatno pitanje: Pronađite približnu vrijednost e 1.01. Uporedite svoju vrijednost sa odgovorom u primjeru 2 (strana 86 udžbenika).
V. Rad sa udžbenikom.
Djeca su pozvana da razmotre primjere iz primjera 1 - primjer 9 (stranice 81 - 84 udžbenika). Na osnovu ovih primjera, pokrenite kontrolni testovi.
VI. Kontrolni testovi.
Zadatak na ekranu. U toku je diskusija. Odabire se tačan odgovor i daje se opravdanje. Kompjuter daje rezultat. Najstariji u grupi beleži u tabeli aktivnost svojih drugova tokom testa.
1) Zadata funkcija f(x)= 2-e 3x . Odredi pri kojoj vrijednosti C graf njegovog antiderivata F(x)+C prolazi kroz tačku M (1/3;-e/3)
Odgovor: a) e-1 ; b) 5/8; c) -2/3; d) 2.
2) Zadata funkcija f(x)= e 3x-2 +ln(2x+3). Nađi f"(2/3)
Odgovor: a) -1; b) 45/13; c) 1/3; d) 2.
3) Da li funkcija zadovoljava y = e sjekira jednačina y" = ay.
Odgovor: a) da; b) ne; c) sve zavisi od oboje; d) nemoguće je reći definitivno.
VII. Samostalan rad.
Zadaci obaveznog nivoa: Pronađite ekstremne tačke funkcija.
III grupa | |||
Najstariji u grupi za ovaj zadatak stavlja bodove u tabelu.
U ovom trenutku po jedna osoba iz svake grupe radi za tablom sa zadacima povećane složenosti.
III grupa | |||
Nastavnik usput pokazuje kompletnu pisanu dokumentaciju zadataka (projicira se na ekran, što je veoma važno za završetak narednog testa).
VIII. Zadaća.
IX. Sažetak lekcije:
Davanje ocjena uzimajući u obzir osvojene bodove Norme ocjena za predstojeći testni rad na sljedećem času.
Razlikovanje eksponencijalnih i logaritamskih funkcija
1. Broj e. Funkcija y = e x, njena svojstva, graf, diferencijacija
Razmotrimo eksponencijalnu funkcija y=a x, gdje je a > 1. Za različite baze a dobijamo različite grafove (sl. 232-234), ali možete primijetiti da svi prolaze kroz tačku (0; 1), svi imaju horizontalnu asimptotu y = 0 na , svi su konveksno okrenuti prema dolje i, konačno, svi imaju tangente u svim svojim tačkama. Nacrtajmo, na primjer, tangentu na grafika funkcija y=2x u tački x = 0 (Sl. 232). Ako napravite precizne konstrukcije i mjerenja, možete osigurati da ova tangenta formira ugao od 35° (približno) sa x-osom.
Sada nacrtajmo tangentu na graf funkcije y = 3 x, također u tački x = 0 (slika 233). Ovdje će ugao između tangente i x-ose biti veći - 48°. I za eksponencijalnu funkciju y = 10 x u sličnom
situaciji dobijamo ugao od 66,5° (Sl. 234).
Dakle, ako se baza a eksponencijalne funkcije y=ax postepeno povećava od 2 do 10, tada se ugao između tangente na graf funkcije u tački x=0 i x-ose postepeno povećava od 35° do 66,5 °. Logično je pretpostaviti da postoji osnova a kojoj je odgovarajući ugao 45°. Ova baza mora biti zatvorena između brojeva 2 i 3, jer za funkciju y-2x ugao koji nas zanima iznosi 35°, što je manje od 45°, a za funkciju y=3 x je jednako 48°. , što je već nešto više od 45°. Osnovu koja nas zanima obično označavamo slovom e. Ustanovljeno je da je broj e iracionalan, tj. predstavlja beskonačan decimalni neperiodični frakcija:
e = 2,7182818284590...;
u praksi se obično pretpostavlja da je e=2,7.
Komentar(nije baš ozbiljno). Jasno je da je L.N. Tolstoj nema nikakve veze sa brojem e, međutim, u pisanju broja e, imajte na umu da se broj 1828 ponavlja dva puta zaredom - godina rođenja L.N. Tolstoj.
Grafikon funkcije y=e x prikazan je na sl. 235. Ovo je eksponencijal koji se razlikuje od ostalih eksponencijala (grafova eksponencijalnih funkcija sa drugim bazama) po tome što je ugao između tangente na graf u tački x=0 i x-ose 45°.
Svojstva funkcije y = e x:
1)
2) nije ni paran ni neparan;
3) povećanja;
4) nije ograničeno odozgo, ograničeno odozdo;
5) nema ni najveću ni najmanju vrednost;
6) kontinuirano;
7)
8) konveksno nadole;
9) diferencibilan.
Vratite se na § 45, pogledajte listu svojstava eksponencijalne funkcije y = a x za a > 1. Naći ćete ista svojstva 1-8 (što je sasvim prirodno), a deveto svojstvo povezano sa
tada nismo spomenuli diferencijabilnost funkcije. Hajde da razgovaramo o tome sada.
Izvedemo formulu za pronalaženje izvoda y-ex. U ovom slučaju nećemo koristiti uobičajeni algoritam, koji smo razvili u § 32 i koji je uspješno korišten više puta. U ovom algoritmu je u završnoj fazi potrebno izračunati granicu, a naše znanje o teoriji granica je i dalje vrlo, vrlo ograničeno. Stoga ćemo se osloniti na geometrijske premise, uzimajući u obzir, posebno, samu činjenicu postojanja tangente na graf eksponencijalne funkcije bez sumnje (zato smo tako samouvjereno zapisali deveto svojstvo u gornjoj listi svojstava - diferencijabilnost funkcije y = e x).
1. Imajte na umu da za funkciju y = f(x), gdje je f(x) =ex, već znamo vrijednost derivacije u tački x =0: f / = tan45°=1.
2. Uvedimo funkciju y=g(x), gdje je g(x) -f(x-a), tj. g(x)-ex" a. Slika 236 prikazuje grafik funkcije y = g(x): dobija se iz grafika funkcije y - fx) pomeranjem duž x ose za |a| jedinice skale Tangenta na graf funkcije y = g (x) in tačka x-a je paralelna sa tangentom na graf funkcije y = f(x) u tački x -0 (vidi sliku 236), što znači da formira ugao od 45° sa x osom. Koristeći geometrijsko značenje derivacije, možemo napisati da je g(a) =tg45°;=1.
3. Vratimo se na funkciju y = f(x). Imamo:
4. Utvrdili smo da je za bilo koju vrijednost a relacija važeća. Umjesto slova a, možete, naravno, koristiti slovo x; onda dobijamo
Iz ove formule dobijamo odgovarajuću formulu integracije:
A.G. Mordkovich algebra 10. razred
Kalendarsko-tematsko planiranje u matematici, video u matematici online, matematika u školi preuzimanje
Sadržaj lekcije beleške sa lekcija podrška okvirnoj prezentaciji lekcija metode ubrzanja interaktivne tehnologije Vježbajte zadaci i vježbe radionice za samotestiranje, obuke, slučajevi, potrage domaća zadaća diskusija pitanja retorička pitanja učenika Ilustracije audio, video i multimedija fotografije, slike, grafike, tabele, dijagrami, humor, anegdote, vicevi, stripovi, parabole, izreke, ukrštene reči, citati Dodaci sažetakačlanci trikovi za radoznale jaslice udžbenici osnovni i dodatni rječnik pojmova ostalo Poboljšanje udžbenika i lekcijaispravljanje grešaka u udžbeniku ažuriranje fragmenta u udžbeniku, elementi inovacije u lekciji, zamjena zastarjelog znanja novim Samo za nastavnike savršene lekcije kalendarski plan za godinu smjernice diskusioni programi Integrisane lekcijeAlgebra i početak matematičke analize
Razlikovanje eksponencijalnih i logaritamskih funkcija
Sastavio:
nastavnik matematike, Opštinska obrazovna institucija Srednja škola br. 203 KhEC
Novosibirsk grad
Vidutova T.V.
Broj e. Funkcija y = e x, njegova svojstva, graf, diferencijacija
1. Napravimo grafikone za različite baze: 1. y = 2 x 3. y = 10 x 2. y = 3 x (2. opcija) (1. opcija) " width="640"
Razmotrimo eksponencijalnu funkciju y = a x, gdje je a 1.
Gradićemo za razne baze A grafika:
1. y=2 x
3. y=10 x
2. y=3 x
(Opcija 2)
(1 opcija)
1) Svi grafovi prolaze kroz tačku (0; 1);
2) Svi grafovi imaju horizontalnu asimptotu y = 0
at X ∞;
3) Svi su konveksno okrenuti nadole;
4) Svi imaju tangente u svim svojim tačkama.
Nacrtajmo tangentu na graf funkcije y=2 x u tački X= 0 i izmjeriti ugao koji formira tangenta sa osom X
Koristeći precizne konstrukcije tangenti na grafove, možete primijetiti da ako je baza A eksponencijalna funkcija y = a x baza se postepeno povećava od 2 do 10, a zatim kut između tangente na graf funkcije u tački X= 0 i x-osa se postepeno povećava sa 35’ na 66,5’.
Stoga postoji razlog A, za koji je odgovarajući ugao 45’. I ovo je smisao A se zaključuje između 2 i 3, jer at A= 2 ugao je 35’, sa A= 3 jednako je 48’.
U toku matematičke analize dokazuje se da ovaj temelj postoji, obično se označava slovom e.
Odlučio to e – iracionalan broj, tj. predstavlja beskonačan neperiodični decimalni razlomak:
e = 2,7182818284590… ;
U praksi se obično pretpostavlja da e ≈ 2,7.
Funkcijski graf i svojstva y = e x :
1) D(f) = (- ∞; + ∞);
3) povećanja;
4) nije ograničeno odozgo, ograničeno odozdo
5) nema ni najvećeg ni najmanjeg
vrijednosti;
6) kontinuirano;
7) E(f) = (0; + ∞);
8) konveksno nadole;
9) diferencibilan.
Funkcija y = e x pozvao eksponent .
U toku matematičke analize dokazano je da funkcija y = e x ima derivat u bilo kojoj tački X :
(e x ) = e x
(e 5x )" = 5e 5x
(e x-3 )" = e x-3
(e -4x+1 )" = -4e -4x-1
Primjer 1 . Nacrtajte tangentu na graf funkcije u tački x=1.
2) f()=f(1)=e
4) y=e+e(x-1); y = pr
odgovor:
Primjer 2 .
x = 3.
Primjer 3 .
Ispitajte funkciju ekstrema
x=0 i x=-2
X= -2 – maksimalna tačka
X= 0 – minimalna tačka
Ako je osnova logaritma broj e, onda kažu da je dato prirodni logaritam . Za prirodni logaritmi uvedena posebna oznaka ln (l – logaritam, n – prirodan).
Grafikon i svojstva funkcije y = ln x
Svojstva funkcije y = lnx:
1) D(f) = (0; + ∞);
2) nije ni paran ni neparan;
3) raste za (0; + ∞);
4) nije ograničeno;
5) nema ni najveću ni najmanju vrednost;
6) kontinuirano;
7) E(f) = (- ∞; + ∞);
8) konveksni vrh;
9) diferencibilan.
0 formula diferencijacije "width="640" je važeća
U toku matematičke analize dokazano je da za bilo koju vrijednost x0 formula diferencijacije je važeća
Primjer 4:
Izračunajte vrijednost izvoda funkcije u tački x = -1.
Na primjer:
Internet resursi:
- http://egemaximum.ru/pokazatelnaya-funktsiya/
- http://or-gr2005.narod.ru/grafik/sod/gr-3.html
- http://ru.wikipedia.org/wiki/
- http://900igr.net/prezentatsii
- http://ppt4web.ru/algebra/proizvodnaja-pokazatelnojj-funkcii.html
Pregled lekcije
Predmet: Algebra
Datum: 2.04.13.
Razred: 11. razred
Nastavnik: Tyshibaeva N.Sh.
Predmet: Diferencijacija logaritamskih i eksponencijalnih funkcija. Antiderivat eksponencijalne funkcije.
Cilj:
1) formulisati formule za izvode logaritamskih i eksponencijalnih funkcija; naučiti kako pronaći antiderivat eksponencijalne funkcije
2) razvijaju pamćenje, zapažanje, logičko mišljenje, matematički govor učenika, sposobnost analize i upoređivanja, razvijaju kognitivni interes za predmet;
3) spomenuti komunikativna kultura studenti, vještine kolektivnog djelovanja, saradnje, uzajamne pomoći.
Vrsta lekcije: objašnjavanje novog gradiva i učvršćivanje stečenih znanja, vještina i sposobnosti.
Oprema : kartice, interaktivna tabla.
tehnologija: diferenciran pristup
Tokom nastave:
1.Org. trenutak .(2min) .
2. Rješavanje ukrštenice (8 min)
1. Francuski matematičar iz 17. vijeka Pierre Fermat definirao je ovu liniju kao “pravu koja je najbliža krivu u malom susjedstvu tačke.”
Tangenta
2.Funkcija, koja je data formulom y = sjekira.
Indikativno
3. Funkcija, koja je data formulom y = log sjekira.
Logaritamski
4. Derivat pomaka
Brzina
5.Kako se zove funkcija F(x) za funkciju f(x), ako je za bilo koju tačku iz intervala I zadovoljen uslov F"(x) =f(x).
Antiderivativ
6. Kako se zove odnos između X i Y, u kojem je svaki element X povezan sa jednim elementom Y.
Funkcija
7. Ako se funkcija f(x) može predstaviti u obliku f(x)=g(t(x)), onda se ova funkcija naziva...
Kompleks
Vertikalna riječ prezime francuskog matematičara i mehaničara
Lagrange
3.Objašnjenje novog materijala: (10 min)
Eksponencijalna funkcija u bilo kojoj tački u domeni definicije ima izvod i ovaj izvod se nalazi po formuli:
(.U a u formuli zamjenjujemo broj i na e, dobijamo
(e x)" = e x_ formula derivat eksponencijala
Logaritamska funkcija ima izvod u bilo kojoj tački u svojoj domeni definicije, a ovaj izvod se nalazi po formuli:
(log a x)" = zamijenite broj u formuli i na e, dobijamo
Eksponencijalna funkcija y =(A u bilo kojoj tački u domeni definicije ima antiderivat i taj antiderivat se nalazi po formuli F(x) =+ C
4. Konsolidacija novog materijala (20 min)
Matematički diktat.
1. Napišite formulu za izvod eksponencijalne funkcije (a X)"
(a x)" = a x ln a
2. Zapišite formulu za izvod eksponencijala. (e X)"
(e x )" = e x
3. Zapišite formulu za izvod prirodnog logaritma
4. Zapišite formulu za izvod logaritamske funkcije (log a x)"=?
(log a x)" =
5. Zapišite opći oblik antiderivata za funkciju f(x) = a X .
F(x) = + C
6. Zapišite opći oblik antiderivata za funkciju:, x≠0. F(x)=ln|x|+S
Radite za odborom
№255,№256,№258,№259(2,4)
6.D/z br. 257, br. 261 (2 min)
7. Sažetak lekcije: (3 min)
- Koja je formula za logaritamsku funkciju?
Koja formula definira eksponencijalnu funkciju?
Koja se formula koristi za pronalaženje izvoda logaritamske funkcije?
Koja se formula koristi za pronalaženje izvoda eksponencijalne funkcije