Teorema 3.1. Unija bilo kojeg broja otvorenih skupova je otvoreni skup.
Neka Gk, gdje su k O N otvoreni skupovi.
3 Odaberite bilo koju tačku X O ÎG. Po definiciji unije skupova, tačka X o pripada jednom od skupova Gk. Zbog Gk je otvoren skup, onda postoji e- susjedstvo tačke x o, koji u potpunosti leži u setu Gk: U(x o , e)Ì G k Þ U(xo,e)Ì G.
Shvatio sam to x o ÎG– interni, što znači da G– otvoreni set. 4
Teorema 3.2 . Presjek konačnog broja otvorenih nepraznih skupova je otvoreni skup.
Neka Gk (k = 1,2, …,n) su otvoreni skupovi.
Dokažimo da je to otvoren skup.
3 Odaberite bilo koju tačku X O ÎG. Po definiciji presjeka skupova X o pripada svakom od skupova Gk. Od svakog seta Gk otvoren, zatim u bilo kom setu Gk postoji e k- susjedstvo tačke X O : U(x o , e k)Ì G k. Puno brojeva ( e 1 , e 2 ,…, e n) je konačan, tako da postoji broj e = min{e 1 ,e 2 ,…,e n). Onda e- susjedstvo tačke X o je u svakom e k- susjedstvo tačke X O :U(x o , e)M U e(x o , e k) Þ U(x o , e)Ì G.
Shvatio sam X o – unutrašnja tačka kompleta G, što znači da G– otvoreni set. 4
Napomena 3.1. Presjek beskonačnog broja otvorenih skupova možda nije otvoren skup.
Primjer 3.1. Pustite u svemir R G k =(2 – 1/k; 4+ 1/k), Gdje k= 1,2,…,n,…. G 1 =(1;5), G 2(1.5;4.5), segment Ì G k i nije otvoren skup, tačke 2 i 4 nisu interne.
Teorema 3.3 . Presjek bilo koje kolekcije zatvorenih nepraznih skupova je zatvoren skup.
Neka Fk- zatvorene garniture.
Dokažimo da je skup zatvoren, tj. sadrži sve svoje granične tačke.
3Let X F. Iz definicije presjeka skupova slijedi da u bilo kojem e- susjedstvo tačke X o postoji beskonačno mnogo tačaka svakog skupa Fk, što znači da X o – granična tačka svakog skupa Fk. Zbog zatvorenosti skupova Fk dot
X O O F k "k Þ x O Î F. Od tačke X F, a to mnogo znači F zatvoreno. 4
Teorema 3.4. Unija konačnog broja zatvorenih skupova je zatvoreni skup.
Neka svaki set Fk zatvoreno.
Dokažimo da je skup zatvoren, tj. ako X o – granična tačka skupa F, To X O O F.
3Let X o – bilo koja granična tačka skupa F, zatim na bilo koji e- susjedstvo tačke X o postoji beskonačno mnogo tačaka skupa. Od broja setova Fk onda konačno X o pripada barem jednom od skupova Fk, tj. X o je granična tačka za ovaj skup.
Zbog izolacije Fk dot X o pripada Fk, a samim tim i mnoge. Od tačke X o se bira proizvoljno, tada sve granične tačke pripadaju skupu F, što mnogo znači F zatvoreno. 4
Napomena 3.2. Unija beskonačnog broja zatvorenih skupova može biti otvoreni skup.
Primjer 3.2 . U svemiru R: F k =
F 1 =; F 2 = ; …. Interval (2;5) je otvoren skup.
Prihvatimo bez dokaza teoreme 3.5 i 3.6 koje se odnose na komplement skupa E mnogo X: C x E=CE.
Teorema 3.5 . Ako je set E zatvorena, zatim njena dopuna SE otvoreni set.
Primjer 3.3 . E=, C RE =(- ¥, 2)È (5,+¥ ).
Teorema 3.6 . Ako je set E otvoren, zatim njegov komplementar SE zatvoren set.
Primjer 3.4 . E=(2,5), C RE =(-¥, 2]È[ 5, +¥ ).
Jedan od glavnih zadataka teorije skupova tačaka je proučavanje svojstava različitih tipova skupova tačaka. Hajde da se upoznamo sa ovom teorijom na dva primera i proučimo svojstva takozvanih zatvorenih i otvorenih skupova.
Skup se zove zatvoreno , ako sadrži sve svoje granične točke. Ako skup nema ni jednu graničnu tačku, onda se i on smatra zatvorenim. Pored svojih graničnih tačaka, zatvoreni skup može sadržati i izolovane tačke. Skup se zove otvoren , ako je svaka njegova tačka interna za nju.
Hajde da damo primjeri zatvorenih i otvorenih skupova .
Svaki segment je zatvoren skup, a svaki interval (a, b) je otvoren skup. Nepravilni polu-intervali i zatvoreno, i nepravilni intervali i otvoren. Čitava linija je i zatvoren i otvoren skup. Zgodno je smatrati da je prazan skup i zatvoren i otvoren u isto vrijeme. Svaki konačni skup tačaka na pravoj je zatvoren, jer nema graničnih tačaka.
Skup koji se sastoji od tačaka:
zatvoreno; ovaj skup ima jedinstvenu graničnu tačku x=0, koja pripada skupu.
Glavni zadatak je otkriti kako je strukturiran proizvoljni zatvoreni ili otvoreni skup. Za to će nam trebati niz pomoćnih činjenica, koje ćemo prihvatiti bez dokaza.
- 1. Presjek bilo kojeg broja zatvorenih skupova je zatvoren.
- 2. Zbir bilo kojeg broja otvorenih skupova je otvoreni skup.
- 3. Ako je zatvoreni skup ograničen odozgo, onda sadrži njegov supremum. Slično, ako je zatvoreni skup ograničen odozdo, tada sadrži svoj infimum.
Neka je E proizvoljan skup tačaka na pravoj. Nazovimo komplement skupa E i označimo sa CE skup svih tačaka na pravoj koje ne pripadaju skupu E. Jasno je da ako je x vanjska tačka za E, onda je to unutrašnja tačka za skup CE i obrnuto.
4. Ako je skup F zatvoren, onda je njegov komplement CF otvoren i obrnuto.
Propozicija 4 pokazuje da postoji vrlo bliska veza između zatvorenih i otvorenih skupova: neki su komplementarni drugima. Zbog toga je dovoljno proučavati samo zatvorene ili samo otvorene skupove. Poznavanje svojstava skupova jednog tipa omogućava vam da odmah saznate svojstva skupova drugog tipa. Na primjer, bilo koji otvoreni skup se dobija uklanjanjem nekog zatvorenog skupa iz linije.
Počnimo proučavati svojstva zatvorenih skupova. Hajde da uvedemo jednu definiciju. Neka je F zatvoren skup. Interval (a, b) koji ima svojstvo da nijedna njegova tačka ne pripada skupu F, ali tačke a i b pripadaju F, naziva se susedni interval skupa F.
Također ćemo uključiti nepravilne intervale među susjedne intervale, ili ako tačka a ili tačka b pripada skupu F, a sami intervali se ne sijeku sa F. Pokažimo da ako tačka x ne pripada zatvorenom skupu F, onda pripada jednom od njegovih susjednih intervala.
Označimo sa dijelom skupa F koji se nalazi desno od tačke x. Pošto sama tačka x ne pripada skupu F, može se predstaviti u obliku preseka:
Svaki od skupova je F i zatvoren. Dakle, po Propoziciji 1, skup je zatvoren. Ako je skup prazan, onda cijeli poluinterval ne pripada skupu F. Pretpostavimo sada da skup nije prazan. Pošto je ovaj skup u potpunosti lociran na poluintervalu, on je ograničen ispod. Označimo njegovu donju granicu sa b. Prema Propoziciji 3, što znači. Dalje, pošto je b infimum skupa, poluinterval (x, b) koji leži lijevo od tačke b ne sadrži tačke skupa i, prema tome, ne sadrži tačke skupa F. Dakle, konstruisali smo poluinterval (x, b) koji ne sadrži tačke skupa F, a ili ili tačka b pripada skupu F. Slično, konstruisan je poluinterval (a, x) koji ne sadrži tačke skupa F, i ili ili. Sada je jasno da interval (a, b) sadrži točku x i da je susjedni interval skupa F. Lako je vidjeti da ako su i dva susjedna intervala skupa F, onda se ovi intervali ili poklapaju ili ne ne seku.
Iz prethodnog slijedi da se svaki zatvoreni skup na pravoj dobiva uklanjanjem određenog broja intervala iz prave, odnosno susjednih intervala skupa F. Pošto svaki interval sadrži barem jednu racionalnu točku, a postoji prebrojiv skup od svih racionalnih tačaka na pravoj, lako je osigurati da je broj svih susjednih intervala najviše prebrojiv. Odavde dolazimo do konačnog zaključka. Svaki zatvoreni skup na liniji se dobija uklanjanjem iz linije najviše prebrojivog skupa disjunktnih intervala.
Na osnovu Propozicije 4, odmah slijedi da svaki otvoreni skup na liniji nije ništa drugo do prebrojiv zbir disjunktnih intervala. Na osnovu Propozicija 1 i 2, takođe je jasno da je svaki skup uređen kako je gore naznačeno zaista zatvoren (otvoren).
Kao što se može vidjeti iz sljedećeg primjera, zatvoreni skupovi mogu imati vrlo složenu strukturu.
Otvorene i zatvorene garniture
Aneks 1 . Otvorene i zatvorene garniture
Gomila M na pravoj se zove otvoren, ako je svaka njegova točka sadržana u ovom skupu zajedno sa određenim intervalom. Zatvoreno je skup koji sadrži sve svoje granične tačke (tj. takav da bilo koji interval koji sadrži ovu tačku siječe skup barem u još jednoj tački). Na primjer, segment je zatvoren skup, ali nije otvoren, a interval je, naprotiv, otvoren skup, ali nije zatvoren. Postoje skupovi koji nisu ni otvoreni ni zatvoreni (na primjer, polu-interval). Postoje dva seta koji su i zatvoreni i otvoreni - ovo je prazno i to je to Z(dokazati da nema drugih). Lako je to vidjeti ako M otvori, zatim [` M] (ili Z \ M- dodatak setu M prije Z) je zatvoren. Zaista, ako [` M] nije zatvoren, onda ne sadrži nikakvu svoju graničnu tačku m. Ali onda m O M, i svaki interval koji sadrži m, seče sa skupom [` M], tj. ima poentu da ne laže M, a to je u suprotnosti sa činjenicom da M– otvoren. Slično, također direktno iz definicije, dokazuje se da ako M je zatvoren, onda [` M] otvori (provjeri!).
Sada ćemo dokazati sljedeću važnu teoremu.
Teorema. Bilo koji otvoreni set M može se predstaviti kao unija intervala sa racionalnim krajevima (to jest, sa krajevima u racionalnim tačkama).
Dokaz . Razmislite o sindikatu U svi intervali sa racionalnim krajevima koji su podskupovi našeg skupa. Dokažimo da se ova unija poklapa sa cijelim skupom. Zaista, ako m- od neke tačke M, tada postoji interval ( m 1 , m 2) M M koji sadrži m(ovo proizilazi iz činjenice da M– otvoren). Na bilo kom intervalu možete pronaći racionalnu tačku. pusti ( m 1 , m) - Ovo m 3, na ( m, m 2) – ovo jeste m 4 . Onda pokažite m pokriveno sindikatom U, naime, interval ( m 3 , m 4). Tako smo dokazali da svaka tačka m od M pokriveno sindikatom U. Štaviše, kako to očito proizlazi iz konstrukcije U, nema tačke koja nije sadržana u M, nije pokriveno U. znači, U I M podudaraju se.
Važna posljedica ove teoreme je činjenica da svaki otvoreni skup jeste countable kombinovanje intervala.
Nigdje gusti skupovi i skupovi mjere nula. Cantor set>
Dodatak 2 . Nigdje gusti skupovi i skupovi mjere nula. Cantor set
Gomila A pozvao nigdje gusto, ako za bilo koje različite točke a I b postoji segment [ c, d] M [ a, b], ne presijeca se sa A. Na primjer, skup tačaka u nizu a n = [ 1/(n)] nigdje nije gust, ali skup racionalnih brojeva nije.
Baireova teorema. Segment se ne može predstaviti kao prebrojiva unija nigdje gustih skupova.
Dokaz . Pretpostavimo da postoji niz A k nigdje gustih skupova takvih da And i A i = [a, b]. Konstruirajmo sljedeći niz segmenata. Neka I 1 – neki segment ugrađen u [ a, b] i ne presijeca se sa A 1 . Po definiciji, nigdje gust skup na intervalu I 1 postoji segment koji se ne siječe sa skupom A 2. Hajde da ga pozovemo I 2. Dalje, o segmentu I 2, na sličan način uzmite segment I 3, ne ukršta se sa A 3, itd. Sekvenca I k ugniježđeni segmenti imaju zajedničku tačku (ovo je jedno od glavnih svojstava realnih brojeva). Po konstrukciji, ova tačka ne leži ni u jednom od skupova A k, što znači da ovi skupovi ne pokrivaju cijeli segment [ a, b].
Nazovimo set M imaju mjeru nulu, ako za bilo koje pozitivno e postoji niz I k intervali ukupne dužine manje od e, pokrivanje M. Očigledno, svaki prebrojiv skup ima mjeru nula. Međutim, postoje i nebrojeni skupovi koji imaju mjeru nula. Hajde da napravimo jedan, veoma poznat, nazvan Cantor's.
|
|
| Rice. jedanaest |
Uzmimo segment. Podijelimo ga na tri jednaka dijela. Izbacimo srednji segment (slika 11, A). Biće dva segmenta ukupne dužine [2/3]. Sa svakim od njih ćemo izvršiti potpuno istu operaciju (slika 11, b). Ostaće četiri segmenta ukupne dužine [ 4/9] = ([ 2/3]) \ B 2 . Nastavljajući ovako (sl. 11, V–e) do beskonačnosti, dobijamo skup koji ima mjeru manju od bilo koje unaprijed određene pozitivne mjere, tj. mjeru nula. Moguće je uspostaviti korespondenciju jedan prema jedan između tačaka ovog skupa i beskonačnih nizova nula i jedinica. Ako pri prvom “izbacivanju” naša tačka padne u desni segment, stavićemo 1 na početak niza, ako je u lijevom - 0 (Sl. 11, A). Zatim, nakon prvog "izbacivanja", dobijamo malu kopiju velikog segmenta, s kojim radimo istu stvar: ako naša tačka nakon izbacivanja padne u desni segment, stavljamo 1, ako je u lijevi – 0, itd. (provjerite odnos jedan na jedan) , pirinač. jedanaest, b, V. Kako skup nizova nula i jedinica ima kontinuum kardinalnosti, Cantorov skup također ima kontinuum kardinalnosti. Štaviše, lako je dokazati da nigdje nije gusto. Međutim, nije tačno da ima strogu mjeru nula (vidi definiciju stroge mjere). Ideja dokazivanja ove činjenice je sljedeća: uzmite niz a n, vrlo brzo teži nuli. Na primjer, sekvenca a n = [ 1/(2 2 n)]. Tada ćemo dokazati da ovaj niz ne može pokriti Cantorov skup (učini to!).
Dodatak 3 . Zadaci
Postavite operacije
Setovi A I B su pozvani jednaka, ako je svaki element skupa A pripada skupu B, i obrnuto. Oznaka: A = B.
Gomila A pozvao podset setovi B, ako je svaki element skupa A pripada skupu B. Oznaka: A M B.
1.
Za svaka dva od sljedeća skupa navedite da li je jedan podskup drugog:
|
2. Dokaži da je skup A ako i samo ako je podskup skupa B, kada svaki element ne pripada B, ne pripadaju A.
3. Dokažite to za proizvoljne skupove A, B I C
A) A M A; b) ako A M B I B M C, To A M C;
V) A = B, ako i samo ako A M B I B M A.
Skup se zove prazan, ako ne sadrži nikakve elemente. Oznaka: F.
4.
Koliko elemenata ima svaki od sljedećih skupova:
|
5. Koliko podskupova ima skup od tri elementa?
6. Može li skup imati tačno a) 0; b*) 7; c) 16 podskupova?
Udruženje setovi A I B x, Šta x O A ili x O B. Oznaka: A I B.
Prelaskom setovi A I B naziva se skup koji se sastoji od takvih x, Šta x O A I x O B. Oznaka: A Z B.
Po razlici setovi A I B naziva se skup koji se sastoji od takvih x, Šta x O A I x P B. Oznaka: A \ B.
7. Dati setovi A = {1,3,7,137}, B = {3,7,23}, C = {0,1,3, 23}, D= (0,7,23,1998). Pronađite setove:
| A) A I B; | b) A Z B; | V) ( A Z B)AND D; |
| G) C Z ( D Z B); | d) ( A I B)Z ( C I D); | e) ( A I ( B Z C))Z D; |
| i) ( C Z A)I (( A I ( C Z D))Z B); | h) ( A I B) \ (C Z D); | i) A \ (B \ (C \ D)); |
| Za) (( A \ (B I D)) \ C)AND B. |
8. Neka A je skup parnih brojeva, i B– skup brojeva djeljivih sa 3. Nađi A Z B.
9. Dokažite to za bilo koji skup A, B, C
A) A I B = B I A, A Z B = B Z A;
b) A I ( B I C) = (A I B)AND C, A Z ( B Z C) = (A Z B)Z C;
V) A Z ( B I C) = (A Z B)I ( A Z C), A I ( B Z C) = (A I B)Z ( A I C);
G) A \ (B I C) = (A \ B)Z ( A \ C), A \ (B Z C) = (A \ B)I ( A \ C).
10. Da li je tačno da za bilo koji set A, B, C
| A) A Z ZH = F, A I F = A; | b) A I A = A, A Z A = A; | V) A Z B = A Y A M B; |
| G) ( A \ B)AND B = A; 7 d) A \ (A \ B) = A Z B; | e) A \ (B \ C) = (A \ B)I ( A Z C); | |
| i) ( A \ B)I ( B \ A) = A I B? |
Postavite mapiranja
Ako svaki element x setovi X tačno jedan element se podudara f(x) setovi Y, onda kažu da je dato displej f od mnogih X u mnoštvo Y. Istovremeno, ako f(x) = y, zatim element y pozvao način element x kada se prikaže f, i element x pozvao prototip element y kada se prikaže f. Oznaka: f: X ® Y.
11. Nacrtajte sva moguća preslikavanja iz skupa (7,8,9) u skup (0,1).
Neka f: X ® Y, y O Y, A M X, B M Y. Potpuni prototip elementa y kada se prikaže f se zove skup ( x O X | f(x) = y). Oznaka: f - 1 (y). Slika mnoštva A M X kada se prikaže f se zove skup ( f(x) | x O A). Oznaka: f(A). Prototip kompleta B M Y se zove skup ( x O X | f(x) O B). Oznaka: f - 1 (B).
12. Prikazati f: (0,1,3,4) ® (2,5,7,18), dato slikom, pronađite f({0,3}), f({1,3,4}), f - 1 (2), f - 1 ({2,5}), f - 1 ({5,18}).
| a B C) |
13. Neka f: X ® Y, A 1 , A 2 M X, B 1 , B 2 M Y. Da li je to uvek tačno
A) f(X) = Y;
b) f - 1 (Y) = X;
V) f(A 1 I A 2) = f(A 1)I f(A 2);
G) f(A 1 W A 2) = f(A 1)Z f(A 2);
d) f - 1 (B 1 I B 2) = f - 1 (B 1)I f - 1 (B 2);
e) f - 1 (B 1 W B 2) = f - 1 (B 1)Z f - 1 (B 2);
g) ako f(A 1M f(A 2), zatim A 1M A 2 ;
h) ako f - 1 (B 1M f - 1 (B 2), zatim B 1M B 2 ?
Kompozicija mapiranja f: X ® Y I g: Y ® Z naziva se mapiranje koje povezuje element x setovi X element g(f(x)) setovi Z. Oznaka: g° f.
14. Dokažite to za proizvoljna preslikavanja f: X ® Y, g: Y ® Z I h: Z ® W radi se sljedeće: h° ( g° f) = (h° g)° f.
15. Neka f: (1,2,3,5) ® (0,1,2), g: (0,1,2) ® (3,7,37,137), h: (3,7,37,137) ® (1,2,3,5) – preslikavanja prikazana na slici:
| f: g: h: |
Nacrtajte slike za sljedeće prikaze:
A) g° f; b) h° g; V) f° h° g; G) g° h° f.
Display f: X ® Y pozvao bijektivno, ako za svaki y O Y postoji tačno jedan x O X takav da f(x) = y.
16. Neka f: X ® Y, g: Y ® Z. Da li je istina da ako f I g onda su bijektivni g° f bijektivno?
17. Neka f: (1,2,3) ® (1,2,3), g: (1,2,3) ® (1,2,3), – preslikavanja prikazana na slici:
18. Za svaka dva od sljedeća skupa saznajte da li postoji bijekcija od prvog do drugog (pod pretpostavkom da je nula prirodan broj):
a) skup prirodnih brojeva;
b) skup parnih prirodnih brojeva;
c) skup prirodnih brojeva bez broja 3.
Metrički prostor zove set X sa datim metrički r: X× X ® Z
1) " x,y O X r ( x,y) i 0, i r ( x,y) = 0 ako i samo ako x = y (nenegativnost ); 2) " x,y O X r ( x,y) = r ( y,x) (simetrija ); 3) " x,y,z O X r ( x,y) + r ( y,z) i r ( x,z) (nejednakost trougla ). 19 19. X
A) X = Z, r ( x,y) = | x - y| ;
b) X = Z 2 , r 2 (( x 1 ,y 1),(x 2 ,y 2)) = C (( x 1 - x 2) 2 + (y 1 - y 2) 2 };
V) X = C[a,ba,b] funkcije,
Otvori(odnosno, zatvoreno) lopta radijusa r u svemiru X centriran u tački x zove set U r (x) = {y O x:r ( x,y) < r) (odnosno, B r (x) = {y O X:r ( x,y) Ј r}).
Unutrašnja tačka setovi U M X U
otvoren okolina ovu tačku.
Limit point setovi F M X F.
zatvoreno
20. Dokaži to
21. Dokaži to
b) unija skupa A kratki spoj A
Display f: X ® Y pozvao kontinuirano
22.
23. Dokaži to
F (x) = inf y O F r ( x,y
F.
24. Neka f: X ® Y– . Da li je tačno da je njegov inverz kontinuiran?
Kontinuirano jedan-na-jedan mapiranje f: X ® Y homeomorfizam. Prostori X, Yhomeomorfna.
25.
26. Za koje parove? X, Y f: X ® Y, koji ne drži zajedno bodova (tj. f(x) № f(y) at x № y ulaganja)?
27*. lokalni homeomorfizam(tj. u svakoj tački x avion i f(x) torus postoje takva susjedstva U I V, Šta f homeomorfne karte U on V).
Metrički prostori i kontinuirana preslikavanja
Metrički prostor zove set X sa datim metrički r: X× X ® Z, zadovoljavajući sljedeće aksiome:
1) " x,y O X r ( x,y) i 0, i r ( x,y) = 0 ako i samo ako x = y (nenegativnost ); 2) " x,y O X r ( x,y) = r ( y,x) (simetrija ); 3) " x,y,z O X r ( x,y) + r ( y,z) i r ( x,z) (nejednakost trougla ). 28. Dokažite da su sljedeći parovi ( X,r ) su metrički prostori:
A) X = Z, r ( x,y) = | x - y| ;
b) X = Z 2 , r 2 (( x 1 ,y 1),(x 2 ,y 2)) = C (( x 1 - x 2) 2 + (y 1 - y 2) 2 };
V) X = C[a,b] – skup kontinuiranog na [ a,b] funkcije,
Otvori(odnosno, zatvoreno) lopta radijusa r u svemiru X centriran u tački x zove set U r (x) = {y O x:r ( x,y) < r) (odnosno, B r (x) = {y O X:r ( x,y) Ј r}).
Unutrašnja tačka setovi U M X je tačka koja je sadržana u U zajedno sa nekom kuglom poluprečnika različitog od nule.
Zove se skup čije su sve tačke unutrašnje otvoren. Poziva se otvoreni skup koji sadrži datu tačku okolina ovu tačku.
Limit point setovi F M X je tačka takva da bilo koja okolina koja sadrži beskonačno mnogo tačaka skupa F.
Poziva se skup koji sadrži sve svoje granične tačke zatvoreno(uporedite ovu definiciju sa onom datom u Dodatku 1).
29. Dokaži to
a) skup je otvoren ako i samo ako je njegov komplement zatvoren;
b) konačna unija i prebrojiv presek zatvorenih skupova je zatvoren;
c) prebrojiva unija i konačan presek otvorenih skupova su otvoreni.
30. Dokaži to
a) skup graničnih tačaka bilo kojeg skupa je zatvoren skup;
b) unija skupa A i skup njegovih graničnih tačaka ( kratki spoj A) je zatvoren skup.
Display f: X ® Y pozvao kontinuirano, ako je inverzna slika svakog otvorenog skupa otvorena.
31. Dokazati da je ova definicija u skladu sa definicijom kontinuiteta funkcija na liniji.
32. Dokaži to
a) udaljenost za postavljanje r F (x) = inf y O F r ( x,y) je kontinuirana funkcija;
b) skup nula funkcije u tački a) poklapa se sa zatvaranjem F.
33. Neka f: X ® Y
Kontinuirano jedan-na-jedan mapiranje f: X ® Y, čiji je inverz također kontinuiran se zove homeomorfizam. Prostori X, Y, za koje takvo preslikavanje postoji, nazivaju se homeomorfna.
34. Za svaki par sljedećih skupova odredite jesu li homeomorfni:
35. Za koje parove? X, Y prostora iz prethodnog problema postoji kontinuirano preslikavanje f: X ® Y, koji ne drži zajedno bodova (tj. f(x) № f(y) at x № y– takva preslikavanja se nazivaju ulaganja)?
36*. Smislite kontinuirano mapiranje od ravni do torusa koje bi bilo lokalni homeomorfizam(tj. u svakoj tački x avion i f(x) torus postoje takva susjedstva U I V, Šta f homeomorfne karte U on V).
Kompletnost. Baireova teorema
Neka X– metrički prostor. Subsequence x n njegovi elementi se nazivaju fundamentalno, Ako
|
37. Dokažite da je konvergentni niz fundamentalan. Da li je suprotna izjava tačna?
Metrički prostor se zove kompletan, ako svaki fundamentalni niz konvergira u njemu.
38. Je li istina da je prostor homeomorfan potpunom potpun?
39. Dokazati da je zatvoreni podprostor potpunog prostora sam po sebi potpun; u njemu je zatvoren kompletan podprostor proizvoljnog prostora.
40. Dokažite da u potpunom metričkom prostoru niz ugniježđenih zatvorenih kuglica s polumjerima koji teže nuli ima zajednički element.
41. Da li je u prethodnom zadatku moguće ukloniti uslov potpunosti prostora ili tendenciju poluprečnika kuglica na nulu?
Display f metrički prostor X pozvan u sebe kompresivan, Ako
|
42. Dokažite da je mapa kontrakcije kontinuirana.
43. a) Dokazati da kontrakciono preslikavanje kompletnog metričkog prostora u sebe ima tačno jednu fiksnu tačku.
b) Postavite kartu Rusije razmere 1 : 20 000 000 na kartu Rusije razmere 1 : 5 000 000. Dokažite da postoji tačka čije se slike na obe karte poklapaju.
44*. Postoji li nekompletan metrički prostor u kojem je izjava problema tačna?
Podskup metričkog prostora se zove svuda gusto, ako se njegovo zatvaranje poklapa sa cijelim prostorom; nigdje gusto– ako njegovo zatvaranje nema neprazne otvorene podskupove (uporedite ovu definiciju sa onom datom u Dodatku 2).
45. a) Neka a, b, a , b O Z I a < a < b < b. Dokažite da je skup kontinuiranih funkcija na [ a,b], monotono na , nigdje gusto u prostoru svih kontinuiranih funkcija na [ a,b] sa uniformnom metrikom.
b) Neka a, b, c, e O Z I a < b, c> 0, e > 0. Tada je skup kontinuiranih funkcija na [ a,b], takav da
|
46. (Generalizovana Baireova teorema .) Dokažite da se kompletan metrički prostor ne može predstaviti kao unija prebrojivog broja nigdje gustih skupova.
47. Dokažite da je skup kontinuiranih, nemonotonnih na bilo kojem nepraznom intervalu i nigdje diferencibilnih funkcija definiranih na intervalu svuda gust u prostoru svih kontinuiranih funkcija na s uniformnom metrikom.
48*. Neka f– diferencijabilna funkcija na intervalu. Dokažite da je njegov izvod kontinuiran na svuda gustom skupu tačaka. Ovo je definicija Lebesgue mjeri nulu. Ako se prebrojiv broj intervala zamijeni konačnim, dobićemo definiciju Jordanova mjeri nulu.
Dokažimo sada neka posebna svojstva zatvorenih i otvorenih skupova.
Teorema 1. Zbir konačnog ili prebrojivog broja otvorenih skupova je otvoreni skup. Proizvod konačnog broja otvorenih skupova je otvoreni skup,
Razmotrimo zbir konačnog ili prebrojivog broja otvorenih skupova:
Ako je , tada P pripada barem jednom od Neka Budući da je otvoren skup, onda pripada i neka -susjedstvo od P. Ista -susjedstvo od P također pripada sumi g, iz čega slijedi da je g otvoren skup. Pogledajmo sada konačni proizvod
i neka P pripada g. Dokažimo, kao što je gore navedeno, da neka -susedstvo od P takođe pripada g. Pošto P pripada g, onda P pripada svima. Budući da su - otvoreni skupovi, onda za bilo koji postoji neki -susjedstvo točke koja pripada . Ako se uzme da je broj jednak najmanjem od kojih je broj konačan, tada će -susjedstvo tačke P pripadati svima i, prema tome, g. Imajte na umu da ne možemo tvrditi da je proizvod prebrojivog broja otvorenih skupova otvoren skup.
Teorema 2. Skup CF je otvoren, a skup CO zatvoren.
Dokažimo prvu tvrdnju. Neka P pripada CF. Potrebno je dokazati da neka okolina P pripada CF. Ovo proizilazi iz činjenice da kada bi postojale tačke F u bilo kojoj okolini P, tačka P, koja ne pripada po uslovu, bila bi granična tačka za F i, zbog svoje zatvorenosti, trebalo bi da pripada, što dovodi do kontradikcija.
Teorema 3. Proizvod konačnog ili prebrojivog broja zatvorenih skupova je zatvoren skup. Zbir konačnog broja zatvorenih skupova je zatvoren skup.
Dokažimo, na primjer, da je skup
zatvoreno. Prelazimo na dodatne skupove, možemo pisati
Po teoremi, skupovi su otvoreni, a prema teoremi 1 i skup je otvoren, pa je dodatni skup g zatvoren. Imajte na umu da se zbir prebrojivog broja zatvorenih skupova takođe može pokazati kao otvoreni skup.
Teorema 4. Skup je otvoren skup i zatvoren skup.
Lako je provjeriti sljedeće jednakosti:
Iz njih, na osnovu prethodnih teorema, slijedi teorema 4.
Reći ćemo da je skup g pokriven sistemom M određenih skupova ako je svaka tačka g uključena u barem jedan od skupova sistema M.
Teorema 5 (Borel). Ako je zatvoreni ograničeni skup F pokriven beskonačnim sistemom a otvorenih skupova O, tada je iz ovog beskonačnog sistema moguće izdvojiti konačan broj otvorenih skupova koji takođe pokrivaju F.
Ovu teoremu dokazujemo inverzno. Pretpostavimo da nijedan konačan broj otvorenih skupova iz sistema a ne pokriva i ovo dovodimo u kontradikciju. Pošto je F ograničen skup, onda sve tačke F pripadaju nekom konačnom dvodimenzionalnom intervalu. Podijelimo ovaj zatvoreni interval na četiri jednaka dijela, podijelimo intervale na pola. Uzet ćemo svaki od rezultirajuća četiri intervala za zatvaranje. One tačke F koje padaju na jedan od ova četiri zatvorena intervala će, na osnovu teoreme 2, predstavljati zatvoreni skup, a barem jedan od ovih zatvorenih skupova ne može biti pokriven konačnim brojem otvorenih skupova iz sistema a. Uzimamo jedan od četiri gore navedena zatvorena intervala gdje se ova okolnost javlja. Ponovo dijelimo ovaj interval na četiri jednaka dijela i razumimo na isti način kao gore. Tako dobijamo sistem ugniježđenih intervala od kojih svaki sljedeći predstavlja četvrti dio prethodnog, a vrijedi sljedeća okolnost: skup tačaka F koje pripadaju bilo kojem k ne može biti pokriven konačnim brojem otvorenih skupova iz sistema a. Sa beskonačnim povećanjem k, intervali će se beskonačno smanjiti do određene tačke P, koja pripada svim intervalima. Pošto za bilo koje k sadrže beskonačan broj tačaka, tačka P je granična tačka za i stoga pripada F, pošto je F zatvoren skup. Dakle, tačka P je pokrivena nekim otvorenim skupom koji pripada sistemu a. Neka -okolina tačke P takođe će pripadati otvorenom skupu O. Za dovoljno velike vrednosti k, intervali D će pasti unutar gornje -susedstva tačke P. Dakle, oni će u potpunosti biti pokriveni samo jednim otvoreni skup O sistema a, a to je u suprotnosti sa činjenicom da tačke koje pripadaju za bilo koji k ne mogu biti pokrivene konačnim brojem otvorenih skupova koji pripadaju a. Tako je teorema dokazana.
Teorema 6. Otvoreni skup se može predstaviti kao zbir prebrojivog broja poluotvorenih intervala u parovima bez zajedničkih tačaka.
Podsjetimo da poluotvoreni interval u ravni nazivamo konačnim intervalom definiranim nejednačinama oblika .
Nacrtajmo na ravni mrežu kvadrata sa stranicama paralelnim osama i dužine stranice jednake jedan. Skup ovih kvadrata je prebrojiv skup. Od ovih kvadrata izaberimo one kvadrate čije sve tačke pripadaju datom otvorenom skupu O. Broj takvih kvadrata može biti konačan ili prebrojiv, ili možda uopće neće biti takvih kvadrata. Svaki od preostalih kvadrata mreže podijelimo na četiri identična kvadrata i iz novodobljenih kvadrata ponovo biramo one čije sve tačke pripadaju O. Ponovo podijelimo svaki od preostalih kvadrata na četiri jednaka dijela i izaberemo one kvadrate čije su sve točke pripadaju O, itd. Pokažimo da će svaka tačka P skupa O pasti u jedan od odabranih kvadrata, čije sve tačke pripadaju O. Zaista, neka je d pozitivna udaljenost od P do granice O. Kada dođemo do kvadrata čija je dijagonala manja od , tada možemo, očigledno, tvrditi da je tačka P već pala u kvadrat čiji svi volumeni pripadaju O. Ako se odabrani kvadrati smatraju poluotvorenim, onda neće imaju zajedničke tačke u parovima i teorema je dokazana. Broj odabranih kvadrata će nužno biti prebrojiv, budući da konačni zbir poluotvorenih intervala očigledno nije otvoren skup. Označavajući sa DL one poluotvorene kvadrate koje smo dobili kao rezultat gornje konstrukcije, možemo pisati
Dokaz.
1) Zaista, ako je tačka A pripada uniji otvorenih skupova, onda pripada barem jednom od ovih skupova, koji je, prema uslovima teoreme, otvoren. To znači da pripada određenoj okolini O(a) tačke A, ali onda i ovo susjedstvo pripada uniji svih otvorenih skupova. Dakle, poenta A je tačka unutrašnjeg spajanja. Jer A je proizvoljna uniona tačka, onda se sastoji samo od unutrašnjih tačaka, i stoga je, po definiciji, otvoren skup.
2) Pustite sada X– presek konačnog broja otvorenih skupova. Ako A je zadana tačka X, tada pripada svakom od otvorenih skupova, i stoga je unutrašnja tačka svakog od otvorenih skupova. Drugim riječima, postoje intervali koji su u potpunosti sadržani u skupovima, respektivno. Označimo najmanjim od brojeva. Tada će interval biti sadržan istovremeno u svim intervalima, tj. će biti u potpunosti sadržana u , i u ,..., i u , tj. . Odavde i zaključujemo da je bilo koja tačka unutrašnja tačka skupa X, tj. gomila X je otvoren.
Iz ove teoreme slijedi da je presjek konačnog broja susjedstava tačke a opet susjedstvo ove tačke. Imajte na umu da presek beskonačnog broja otvorenih skupova nije uvek otvoren skup. Na primjer, presjek intervala ,... je skup koji se sastoji od jedne tačke a, koja nije otvoreni skup (zašto?).
Tačka a naziva se granična tačka skupa X ako u bilo kojoj probušenoj okolini ove tačke postoji barem jedna tačka skupa X.
Dakle, tačka je granična tačka segmenta , pošto u bilo kom probušenom intervalu tačke postoji tačka koja pripada ovom segmentu. Na primjer, točka koja zadovoljava nejednakost . A takvih tačaka očigledno ima mnogo.
Lako je dokazati da je svaka tačka segmenta [ 0, 1] je krajnji tačka ovog segmenta. Drugim riječima, segment sastoji se u potpunosti od svojih graničnih tačaka. Slična izjava vrijedi za bilo koji segment. Imajte na umu da su sve granične tačke skupa pripadaju ovom segmentu. Takođe je očigledno da će sve tačke segmenta biti granične tačke za interval (0, 1 ) (dokaži to!). Međutim, već postoje dvije ograničavajuće tačke 0 i 1 ne pripadaju intervalu (0, 1). U ovim primjerima to vidimo
granične tačke skupa mogu ili ne moraju pripadati njemu. Može se dokazati da u bilo kojoj probušenoj okolini granične tačke a skupa X postoji beskonačno mnogo tačaka skupa X.
Skup X naziva se zatvorenim ako sadrži sve svoje granične tačke.
dakle, svaki segment je zatvoren skup. Interval (0, 1) nije zatvoren skup, pošto mu dve granične tačke ne pripadaju 0 i 1. Skup svih racionalnih brojeva Q nije zatvoren, jer ne sadrži neke od svojih graničnih tačaka. Konkretno, broj je granična tačka skupa Q(dokaži!), ali Q.
Od svake tačke skupa R je granična tačka ovog skupa i pripada joj, dakle R – zatvoren set.
Svaki konačan skup je zatvoren, pošto je skup njegovih graničnih tačaka prazan skup Æ , koji pripada samom skupu.
Zatvoreni skupovi mogu biti ograničeni, na primjer, segment, i neograničeni, na primjer, skup realnih brojeva R. Tačno
