Formule za sinus i kosinus zbira argumenata. Zbir i razlika sinusa i kosinusa: izvođenje formula, primjeri. Primjeri rješavanja praktičnih problema

Formule za zbir i razliku sinusa i kosinusa za dva ugla α i β omogućavaju nam da pređemo od zbira ovih uglova na proizvod uglova α + β 2 i α - β 2. Odmah da primijetimo da ne treba brkati formule za zbir i razliku sinusa i kosinusa sa formulama za sinuse i kosinuse zbira i razlike. U nastavku navodimo ove formule, navodimo njihove derivacije i prikazujemo primjere primjene za određene probleme.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Formule za zbir i razliku sinusa i kosinusa

Zapišimo kako izgledaju formule zbira i razlike za sinuse i kosinuse

Formule zbira i razlike za sinuse

sin α + sin β = 2 sin α + β 2 cos α - β 2 sin α - sin β = 2 sin α - β 2 cos α + β 2

Formule zbira i razlike za kosinuse

cos α + cos β = 2 cos α + β 2 cos α - β 2 cos α - cos β = - 2 sin α + β 2 cos α - β 2 , cos α - cos β = 2 sin α + β 2 · β - α 2

Ove formule vrijede za sve uglove α i β. Uglovi α + β 2 i α - β 2 nazivaju se poluzbir i polurazlika uglova alfa i beta, respektivno. Dajemo formulaciju za svaku formulu.

Definicije formula za sume i razlike sinusa i kosinusa

Zbir sinusa dva ugla jednak je dvostrukom umnošku sinusa poluzbira ovih uglova i kosinusa polurazlike.

Razlika sinusa dva ugla jednak je dvostrukom umnošku sinusa polurazlike ovih uglova i kosinusa poluzbira.

Zbir kosinusa dva ugla jednak je dvostrukom umnošku kosinusa poluzbira i kosinusa polurazlike ovih uglova.

Razlika kosinusa dva ugla jednak je dvostrukom umnošku sinusa poluzbira i kosinusa polurazlike ovih uglova, uzetih sa negativnim predznakom.

Izvođenje formula za zbir i razliku sinusa i kosinusa

Za izvođenje formula za zbir i razliku sinusa i kosinusa dva ugla koriste se formule za sabiranje. Hajde da ih navedemo u nastavku

sin (α + β) = sin α · cos β + cos α · sin β sin (α - β) = sin α · cos β - cos α · sin β cos (α + β) = cos α · cos β - sin α sin β cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β

Zamislimo i same uglove kao zbir poluzbira i polurazlika.

α = α + β 2 + α - β 2 = α 2 + β 2 + α 2 - β 2 β = α + β 2 - α - β 2 = α 2 + β 2 - α 2 + β 2

Nastavljamo direktno sa izvođenjem formula za sumu i razliku za sin i cos.

Derivacija formule za zbir sinusa

U zbroju sin α + sin β, zamjenjujemo α i β sa izrazima za ove uglove datim gore. Dobijamo

sin α + sin β = sin α + β 2 + α - β 2 + sin α + β 2 - α - β 2

Sada primjenjujemo formulu za sabiranje na prvi izraz, a na drugi - formulu za sinus razlike kutova (pogledajte formule iznad)

sin α + β 2 + α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 sin α + β 2 - α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 sin α + β 2 + α - β 2 + sin α + β 2 - α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 + sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 Otvorite zagrade, dodajte slične pojmove i dobijete traženu formulu

sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 + sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 = = 2 sin α + β 2 cos α - β 2

Koraci za izvođenje preostalih formula su slični.

Izvođenje formule za razliku sinusa

sin α - sin β = sin α + β 2 + α - β 2 - sin α + β 2 - α - β 2 sin α + β 2 + α - β 2 - sin α + β 2 - α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 - sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 = = 2 sin α - β 2 cos α + β 2

Derivacija formule za zbir kosinusa

cos α + cos β = cos α + β 2 + α - β 2 + cos α + β 2 - α - β 2 cos α + β 2 + α - β 2 + cos α + β 2 - α - β 2 = cos α + β 2 cos α - β 2 - sin α + β 2 sin α - β 2 + cos α + β 2 cos α - β 2 + sin α + β 2 sin α - β 2 = = 2 cos α + β 2 cos α - β 2

Izvođenje formule za razliku kosinusa

cos α - cos β = cos α + β 2 + α - β 2 - cos α + β 2 - α - β 2 cos α + β 2 + α - β 2 - cos α + β 2 - α - β 2 = cos α + β 2 cos α - β 2 - sin α + β 2 sin α - β 2 - cos α + β 2 cos α - β 2 + sin α + β 2 sin α - β 2 = = - 2 sin α + β 2 sin α - β 2

Primjeri rješavanja praktičnih problema

Prvo, provjerimo jednu od formula zamjenom određenih vrijednosti ugla u nju. Neka je α = π 2, β = π 6. Izračunajmo vrijednost zbira sinusa ovih uglova. Prvo, upotrijebimo tablicu osnovnih vrijednosti trigonometrijske funkcije, a zatim primijeniti formulu za zbir sinusa.

Primjer 1. Provjera formule za zbir sinusa dva ugla

α = π 2, β = π 6 sin π 2 + sin π 6 = 1 + 1 2 = 3 2 sin π 2 + sin π 6 = 2 sin π 2 + π 6 2 cos π 2 - π 6 2 = 2 sin π 3 cos π 6 = 2 3 2 3 2 = 3 2

Razmotrimo sada slučaj kada se vrijednosti uglova razlikuju od osnovnih vrijednosti prikazanih u tabeli. Neka je α = 165°, β = 75°. Izračunajmo razliku između sinusa ovih uglova.

Primjer 2. Primjena formule razlike sinusa

α = 165 °, β = 75 ° sin α - sin β = sin 165 ° - sin 75 ° sin 165 - sin 75 = 2 sin 165 ° - sin 75 ° 2 cos 165 ° + sin 75 ° 2 = = 2 sin 45 ° cos 120° = 2 2 2 - 1 2 = 2 2

Koristeći formule za zbir i razliku sinusa i kosinusa, možete prijeći od zbira ili razlike na proizvod trigonometrijskih funkcija. Često se ove formule nazivaju formulama za prelazak sa zbroja na proizvod. Formule za zbir i razliku sinusa i kosinusa se široko koriste u rješavanju trigonometrijske jednačine i pri pretvaranju trigonometrijskih izraza.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

The elektronski resurs je odličan materijal za provođenje interaktivne obuke u moderne škole. Napisan je korektno, ima jasnu strukturu i odgovara školskom planu i programu. Zahvaljujući detaljnim objašnjenjima, tema predstavljena u video lekciji će postati jasna što većem broju učenika u razredu. Nastavnici moraju zapamtiti da nemaju svi učenici isti stepen percepcije, brzine razumijevanja ili baze. Takvi materijali će vam pomoći da se nosite s poteškoćama i sustignete svoje vršnjake, poboljšate svoje akademske rezultate. Uz njihovu pomoć, u mirnom kućnom okruženju, samostalno ili zajedno sa mentorom, student može razumjeti određenu temu, proučavati teoriju i pogledati primjere praktična primjena jednu ili drugu formulu itd.

Ova video lekcija posvećena je temi "Sinus i kosinus razlike argumenata". Pretpostavlja se da su studenti već naučili osnove trigonometrije, upoznati sa osnovnim funkcijama i njihovim svojstvima, formulama duhova i tabelama trigonometrijskih vrijednosti.

Također, prije nego što pređete na proučavanje ove teme, morate razumjeti sinus i kosinus zbira argumenata, znati dvije osnovne formule i moći ih koristiti.

Na početku video lekcije spiker podsjeća učenike na ove dvije formule. Zatim se demonstrira prva formula - sinus razlike argumenata. Pored toga kako je sama formula izvedena, prikazano je kako je izvedena iz druge. Dakle, učenik neće morati da pamti novu formulu a da je ne razume, što je česta greška. Ovo je veoma važno za učenike ovog razreda. Uvijek morate imati na umu da možete dodati znak + ispred znaka minus, a minus na znaku plus će se na kraju pretvoriti u minus. Ovim jednostavnim korakom možete koristiti formulu za sinus zbroja i dobiti formulu za sinus razlike argumenata.

Formula za kosinus razlike izvedena je na sličan način iz formule za kosinus zbira argumenata.

Govornik sve objašnjava korak po korak, a kao rezultat, na sličan način se izvodi opšta formula za kosinus zbira i razlike argumenata i sinusa.

Prvi primjer iz praktičnog dijela ove video lekcije sugerira pronalaženje kosinusa od Pi/12. Predlaže se da se ova vrijednost prikaže u obliku određene razlike, u kojoj će manji i oduzeti biti tabelarne vrijednosti. Zatim će se primijeniti kosinusna formula za razliku argumenata. Zamjenom izraza možete zamijeniti rezultirajuće vrijednosti i dobiti odgovor. Najavljivač čita odgovor, koji je prikazan na kraju primjera.

Drugi primjer je jednadžba. I na desnoj i na lijevoj strani vidimo kosinuse razlika argumenata. Zvučnik liči na formule za prebacivanje, koje se koriste za zamjenu i pojednostavljenje ovih izraza. Ove formule su napisane na desnoj strani kako bi učenici mogli razumjeti odakle dolaze određene promjene.

Drugi primjer, treći, je određeni razlomak, gdje imamo i brojnik i nazivnik trigonometrijski izrazi, naime, razlike proizvoda.

I ovdje se pri rješavanju koriste formule redukcije. Dakle, školarci mogu vidjeti da ako propuste jednu temu iz trigonometrije, bit će sve teže razumjeti ostale.

I na kraju, četvrti primjer. Ovo je također jednadžba u kojoj je potrebno koristiti nove naučene i stare formule prilikom njihovog rješavanja.

Primjere navedene u video tutorijalu možete detaljnije pogledati i pokušati sami riješiti. Mogu se postaviti kao zadaćaškolska djeca.

DEKODIRANJE TEKSTA:

Tema lekcije je “Sinus i kosinus razlike argumenata”.

Na prethodnom kursu upoznali smo dvoje trigonometrijske formule sinus i kosinus zbira argumenata.

sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y,

cos (x + y) = cos x cos y - sin x sin y.

sinus zbira dva ugla jednak je zbroju između umnoška sinusa prvog ugla i kosinusa drugog ugla i umnožaka kosinusa prvog ugla i sinusa drugog ugla;

Kosinus zbira dva ugla jednak je razlici između proizvoda kosinusa ovih uglova i proizvoda zbira ovih uglova.

Koristeći ove formule, izvešćemo formule Sinus i kosinus razlike argumenata.

Sinus razlike argumenata sin(x-y)

Dvije formule (sinus zbira i sinus razlike) mogu se napisati kao:

sin(xy) = sin x cos ycos x sin y.

Slično, izvodimo formulu za kosinus razlike:

Prepišimo kosinus razlike između argumenata kao zbir i primijenimo već poznatu formulu za kosinus sume: cos (x + y) = cosxcosy - sinxsiny.

samo za argumente x i -y. Zamjenom ovih argumenata u formulu, dobijamo cosxcos(- y) - sinxsin(- y).

sin(- y)= - siny). i dobijamo konačni izraz cosxcosy + sinxsiny.

cos (x - y) = cos (x +(- y)) = cos xcos(- y) - sin x sin(- y)= cosx cos y + sin xsin y.

To znači cos (x - y) = cosxcos y + sin xsin y.

Kosinus razlike dva ugla jednak je zbroju proizvoda kosinusa ovih uglova i proizvoda sinusa ovih uglova.

Kombinirajući dvije formule (kosinus zbira i kosinus razlike) u jednu, pišemo

cos(xy) = cosxcos y sin xsin y.

Podsjetimo da se formule u praksi mogu primijeniti i slijeva na desno i obrnuto.

Pogledajmo primjere.

PRIMJER 1. Izračunajte cos (kosinus od pi podijeljen sa dvanaest).

Rješenje. Napišimo pi podijeljeno sa dvanaest kao razliku pi sa tri i pi podijeljeno sa četiri: = - .

Zamijenimo vrijednosti u formulu kosinusa razlike: cos (x - y) = cosxcosy + sinxsiny, dakle cos = cos (-) = cos cos + sin sin

Znamo da je cos = , cos = sin= , sin = . Prikaži tabelu vrijednosti.

Zamijenimo vrijednost sinusa i kosinusa numeričkim vrijednostima i dobijemo ∙ + ∙ kada razlomak množimo razlomkom, pomnožimo brojioce i nazivnike, dobijemo

cos = cos (-) = cos cos + sin sin = ∙ + ∙ = = =.

Odgovor: cos =.

PRIMJER 2. Riješite jednačinu cos(2π - 5x) = cos(- 5x) (kosinus od dva pi minus pet x je jednak kosinsu od pi sa dva minus pet x).

Rješenje. Na lijevu i desnu stranu jednačine primjenjujemo formulu redukcije cos(2π - cos (kosinus dva pi minus alfa jednako kosinsu alfa) i cos(- = sin (kosinus pi za dva minus alfa je jednak sinus alfa), dobijamo cos 5x = sin 5x, svedemo ga na oblik homogene jednadžbe prvog stepena i dobijemo cos 5x - sin 5x = 0. Ovo je homogena jednačina prvog stepena Podijelimo obje strane člana jednačine sa cos 5x. Imamo:

cos 5x: cos 5x - sin 5x: cos 5x = 0, jer cos 5x: cos 5x = 1, i sin 5x: cos 5x = tan 5x, onda dobijamo:

Pošto već znamo da jednačina tgt = a ima rješenje t = arctga + πn, a pošto imamo t = 5x, a = 1, dobijamo

5x = arktan 1 + πn,

a vrijednost arctg je 1, tada je tg 1= Prikaži tabelu

Zamijenite vrijednost u jednačinu i riješite je:

Odgovor: x = +.

PRIMJER 3. Pronađite vrijednost razlomka. (u brojniku je razlika umnoška kosinusa od sedamdeset pet stepeni i šezdeset pet stepeni i umnožaka sinusa od sedamdeset pet stepeni i šezdeset pet stepeni, a u nazivniku je razlika umnoška sinusa osamdeset pet stepeni i kosinus od trideset pet stepeni i proizvod kosinusa osamdeset pet stepeni i sinusa od trideset pet stepeni).

Rješenje. U brojiocu ovog razlomka razlika se može „složiti“ u kosinus zbira argumenata 75° i 65°, a u nazivniku razlika se može „sažmiti“ u sinus razlike između argumenata 85° i 35°. Dobijamo

Odgovor: - 1.

PRIMJER 4. Riješite jednačinu: cos(-x) + sin(-x) = 1(kosinus razlike pi za četiri i x plus sinus razlike pi za četiri i x je jednak jedan).

Rješenje. Primijenimo formule kosinusne razlike i sinusne razlike.

Prikaži opću formulu kosinusa razlike

Tada je cos (-x) = cos cos x + sinsinh