Pažnja!
Postoje dodatni
materijala u Posebnom dijelu 555.
Za one koji su veoma "ne baš..."
I za one koji "jako...")
Šta se desilo "kvadratna nejednakost"? Nema sumnje!) Ako uzmete bilo koji kvadratnu jednadžbu i zamijenite znak u njoj "=" (jednako) bilo kojem znaku nejednakosti ( > ≥ < ≤ ≠ ), dobijamo kvadratnu nejednakost. Na primjer:
1. x 2 -8x+12 ≥ 0
2. -x 2 +3x > 0
3. x 2 ≤ 4
Pa razumes...)
Nije uzalud ovdje povezao jednačine i nejednačine. Poenta je da je prvi korak u rješavanju bilo koji kvadratna nejednakost - riješiti jednačinu iz koje je ova nejednakost napravljena. Iz tog razloga, nemogućnost rješavanja kvadratnih jednačina automatski dovodi do potpunog neuspjeha u nejednačinama. Je li nagovještaj jasan?) Ako ništa drugo, pogledajte kako riješiti bilo koju kvadratnu jednačinu. Tamo je sve detaljno opisano. I u ovoj lekciji ćemo se pozabaviti nejednakostima.
Nejednačina spremna za rješenje ima oblik: lijevo - kvadratni trinom sjekira 2 +bx+c, desno - nula. Znak nejednakosti može biti apsolutno bilo šta. Prva dva primjera su ovdje već su spremni da donesu odluku. Treći primjer tek treba pripremiti.
Ako vam se sviđa ovaj sajt...
Inače, imam još par zanimljivih stranica za vas.)
Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoj nivo. Testiranje sa trenutnom verifikacijom. Učimo - sa interesovanjem!)
Možete se upoznati sa funkcijama i izvedenicama.
U kubnoj jednadžbi, najveći eksponent je 3, takva jednačina ima 3 korijena (rješenja) i ima oblik . Neke kubične jednadžbe nije tako lako riješiti, ali ako koristite pravu metodu (s dobrom teorijska obuka), možete pronaći korijene čak i najsloženije kubične jednadžbe - da biste to učinili, koristite formulu za rješavanje kvadratna jednačina, pronađite cijele korijene ili izračunajte diskriminanta.
Koraci
Kako riješiti kubnu jednačinu bez slobodnog člana
- U našem primjeru zamijenite vrijednosti koeficijenata a (\displaystyle a), b (\displaystyle b), c (\displaystyle c) (3 (\displaystyle 3), − 2 (\displaystyle -2), 14 (\displaystyle 14)) u formulu: − b ± b 2 − 4 a c 2 a (\displaystyle (\frac (-b\pm (\sqrt (b^(2)-4ac)))(2a))) − (− 2) ± ((− 2) 2 − 4 (3) (14) 2 (3) (\displaystyle (\frac (-(-2)\pm (\sqrt (((-2)^(2) )-4(3)(14))))(2(3)))) 2 ± 4 − (12) (14) 6 (\displaystyle (\frac (2\pm (\sqrt (4-(12)(14))))(6))) 2 ± (4 − 168 6 (\displaystyle (\frac (2\pm (\sqrt ((4-168)))(6))) 2 ± − 164 6 (\displaystyle (\frac (2\pm (\sqrt (-164)))(6)))
- Prvi korijen: 2 + − 164 6 (\displaystyle (\frac (2+(\sqrt (-164)))(6))) 2 + 12 , 8 i 6 (\displaystyle (\frac (2+12,8i)(6)))
- Drugi korijen: 2 − 12 , 8 i 6 (\displaystyle (\frac (2-12,8i)(6)))
-
Koristite nulu i korijene kvadratne jednadžbe kao rješenja kubne jednadžbe. Kvadratne jednadžbe imaju dva korijena, dok kubične jednadžbe imaju tri. Već ste pronašli dva rješenja - ovo su korijeni kvadratne jednadžbe. Ako uzmete "x" iz zagrada, treće rješenje bi bilo .
Kako pronaći cijele korijene koristeći faktore
-
Uvjerite se da postoji presjek u kubnoj jednadžbi d (\displaystyle d) . Ako u jednadžbi oblika a x 3 + b x 2 + c x + d = 0 (\displaystyle ax^(3)+bx^(2)+cx+d=0) imati besplatnog člana d (\displaystyle d)(što nije nula), stavljanje “x” iz zagrada neće raditi. U tom slučaju koristite metodu opisanu u ovom odeljku.
Zapišite faktore koeficijenta a (\displaystyle a) i besplatan član d (\displaystyle d) . Odnosno, pronađite faktore broja kada x 3 (\displaystyle x^(3)) i brojevi ispred znaka jednakosti. Podsjetimo da su faktori broja brojevi koji, kada se pomnože, proizvode taj broj.
Podijelite svaki faktor a (\displaystyle a) za svaki množilac d (\displaystyle d) . Krajnji rezultat je puno razlomaka i nekoliko cijelih brojeva; Korijeni kubične jednadžbe bit će jedan od cijelih brojeva ili negativna vrijednost jednog od cijelih brojeva.
- U našem primjeru podijelite faktore a (\displaystyle a) (1 I 2 ) faktorima d (\displaystyle d) (1 , 2 , 3 I 6 ). dobit ćete: 1 (\displaystyle 1), , , , 2 (\displaystyle 2) i . Sada dodajte na ovu listu negativne vrijednosti rezultirajući razlomci i brojevi: 1 (\displaystyle 1), − 1 (\displaystyle -1), 1 2 (\displaystyle (\frac (1)(2))), − 1 2 (\displaystyle -(\frac (1)(2))), 1 3 (\displaystyle (\frac (1)(3))), − 1 3 (\displaystyle -(\frac (1)(3))), 1 6 (\displaystyle (\frac (1)(6))), − 1 6 (\displaystyle -(\frac (1)(6))), 2 (\displaystyle 2), − 2 (\displaystyle -2), 2 3 (\displaystyle (\frac (2)(3))) I − 2 3 (\displaystyle -(\frac (2)(3))). Cjelobrojni korijeni kubične jednadžbe su neki brojevi sa ove liste.
-
Zamijenite cijele brojeve u kubnu jednačinu. Ako je jednakost zadovoljena, zamijenjeni broj je korijen jednadžbe. Na primjer, zamijenite u jednadžbi 1 (\displaystyle 1):
Koristite metodu dijeljenja polinoma sa Hornerova šema da brzo pronađemo korijene jednadžbe. Uradite ovo ako ne želite ručno da ubacite brojeve u jednadžbu. U Hornerovoj shemi, cijeli brojevi se dijele vrijednostima koeficijenata jednačine a (\displaystyle a), b (\displaystyle b), c (\displaystyle c) I d (\displaystyle d). Ako su brojevi djeljivi cijelim brojem (to jest, ostatak je), cijeli broj je korijen jednadžbe.
-
Saznajte da li kubična jednadžba ima pojam koji objašnjava d (\displaystyle d) . Kubična jednačina ima oblik a x 3 + b x 2 + c x + d = 0 (\displaystyle ax^(3)+bx^(2)+cx+d=0). Da bi se jednačina smatrala kubnom, dovoljno je da sadrži samo član x 3 (\displaystyle x^(3))(odnosno, možda uopšte nema drugih članova).
Bracket out x (\displaystyle x) . Pošto u jednačini nema slobodnog člana, svaki član jednačine uključuje varijablu x (\displaystyle x). To znači da je jedan x (\displaystyle x) može se izvaditi iz zagrada radi pojednostavljenja jednačine. Dakle, jednačina će biti napisana ovako: x (a x 2 + b x + c) (\displaystyle x(ax^(2)+bx+c)).
Faktor (proizvod dva binoma) kvadratne jednačine (ako je moguće). Mnoge kvadratne jednadžbe oblika a x 2 + b x + c = 0 (\displaystyle ax^(2)+bx+c=0) može biti faktorizovana. Ova jednačina će se dobiti ako izvadimo x (\displaystyle x) van zagrada. U našem primjeru:
Riješite kvadratnu jednačinu pomoću posebne formule. Uradite to ako se kvadratna jednačina ne može rastaviti na faktore. Da biste pronašli dva korijena jednadžbe, vrijednosti koeficijenata a (\displaystyle a), b (\displaystyle b), c (\displaystyle c) zamijeniti u formulu.
Broj e je važna matematička konstanta koja je osnova prirodnog logaritma. Broj e približno jednako 2,71828 sa ograničenjem (1 + 1/n)n at n teži beskonačnosti.
Unesite vrijednost x da biste pronašli vrijednost eksponencijalne funkcije ex
Za izračunavanje brojeva sa slovom E koristite kalkulator eksponencijalne konverzije u cijeli broj
Prijavite grešku
‘; setTimeout(function() ( $('form:first:button:first , #form_ca:first:button:first , form:first:submit:first , #form_ca:first:submit:first').css('display). ':'inline-block')); $("#boxadno").remove(); $('form:first:button:first , #form_ca:first:button:first , form:first:submit:first , #form_ca:first:submit:first').click(); $('form:first:button:first , #form_ca:first:button:first , form:first:submit:first , #form_ca:first:submit: first').css(('display':'none')); $('form:first:button:first , #form_ca:first:button:first , form:first:submit:first , #form_ca:first: submit:first').parent().prepend(); ), 32000); ) Da li vam je ovaj kalkulator pomogao?
Podijelite ovaj kalkulator sa prijateljima na forumu ili online.
Time Vi hoćeš li pomoći Nas u razvoju novi kalkulatori i rafiniranje starih.
Algebra Kalkulator Kalkulacija
Broj e je važna matematička konstanta koja leži u osnovi prirodnog logaritma.
0,3 na snagu x puta 3 na snagu x su isti
Broj e je približno 2,71828 sa ograničenjem od (1 + 1/n)n za n koje ide u beskonačnost.
Ovaj broj se još naziva i Eulerov broj ili Napierov broj.
Eksponencijalna - eksponencijalna funkcija f (x) = exp (x) = ex, gdje je e Ojlerov broj.
Unesite vrijednost x da biste pronašli vrijednost eksponencijalne funkcije ex
Izračunavanje vrijednosti eksponencijalne funkcije u mreži.
Kada Ojlerov broj (e) poraste na nulu, odgovor je 1.
Kada podignete na više od jednog nivoa, odgovor će biti veći od prvobitnog. Ako je brzina veća od nule, ali manja od 1 (na primjer, 0,5), odgovor će biti veći od 1, ali manji od originala (oznaka E). Kada indikator poraste na negativnu snagu, 1 se mora podijeliti s brojem e po datoj snazi, ali sa znakom plus.
Definicije
izlagač Ovo je eksponencijalna funkcija y (x) = e x, čiji se izvod poklapa sa samom funkcijom.
Indikator je označen kao, ili.
Broj e
Osnova eksponenta je broj e.
Ovo je iracionalan broj. To je otprilike isto
e ≈ 2,718281828459045 …
Broj e je određen izvan granice niza. Ovo je takozvana druga izuzetna granica:
.
Broj e se također može predstaviti kao niz:
.
Eksponencijalni graf
Grafikon prikazuje eksponent, e u toku X.
y(x) = pr
Grafikon pokazuje da raste monotono eksponencijalno.
formula
Osnovne formule su iste kao i za eksponencijalnu funkciju sa baznim nivoom e.
Izraz eksponencijalnih funkcija sa proizvoljnom osnovom a u smislu eksponencijala:
.
također odjel "Eksponencijalna funkcija" >>>
Privatne vrijednosti
Neka je y(x) = e x.
5 na stepen x i jednako je 0
Eksponencijalna svojstva
Indikator ima svojstva eksponencijalne funkcije sa osnovom stepena e> prvo
Polje definicije, postavljena vrijednost
Za x se određuje indikator y (x) = e x.
Njegov volumen:
— ∞ < x + ∞.
Njegovo značenje:
0 < Y < + ∞.
Ekstremi, povećanje, smanjenje
Eksponencijalna je monotona rastuća funkcija, tako da nema ekstrema.
Njegova glavna svojstva prikazana su u tabeli.
Inverzna funkcija
Recipročna vrijednost je prirodni logaritam.
;
.
Derivati indikatora
derivat e u toku X Ovo e u toku X
:
.
Izvedeni N-red:
.
Izvršavanje formula > > >
integral
također odjeljak "Tabela neodređenih integrala" >>>
Kompleksni brojevi
Operacije sa kompleksni brojevi se izvode pomoću Ojlerova formula:
,
gdje je imaginarna jedinica:
.
Izrazi kroz hiperboličke funkcije
Izrazi koji koriste trigonometrijske funkcije
Proširenje niza snaga
Kada je x jednako nuli?
Običan ili online kalkulator
Običan kalkulator
Standardni kalkulator vam daje jednostavne operacije kalkulatora kao što su zbrajanje, oduzimanje, množenje i dijeljenje.
Možete koristiti brzi matematički kalkulator
Naučni kalkulator vam omogućava da izvodite složenije operacije kao i kalkulator kao što je sinus, kosinus, inverzni sinus, inverzni kosinus koji je tangenta, tangenta, eksponent, eksponent, logaritam, kamata i takođe poslovanje u kalkulatoru web memorije.
Možete uneti direktno sa tastature, prvo kliknite na područje pomoću kalkulatora.
Izvodi jednostavne operacije s brojevima kao i one složenije kao npr
online matematički kalkulator.
0 + 1 = 2.
Evo dva kalkulatora:
- Izračunajte prvo kao i obično
- Drugi to računa kao inženjering
Pravila se odnose na kalkulator izračunat na serveru
Pravila za unos pojmova i funkcija
Zašto mi treba ovaj online kalkulator?
Online kalkulator - kako se razlikuje od običnog kalkulatora?
Prvo, standardni kalkulator nije prikladan za prijevoz, a drugo, sada je internet gotovo posvuda, to ne znači da ima problema, idite na našu web stranicu i koristite web kalkulator.
Online kalkulator - po čemu se razlikuje od java kalkulatora, kao i od drugih kalkulatora za operativne sisteme?
- opet - mobilnost. Ako ste na drugom računaru, ne morate ga ponovo instalirati
Dakle, koristite ovu stranicu!
Izrazi se mogu sastojati od funkcija (navedenih po abecednom redu):
apsolutno (x) Apsolutna vrijednost X
(modul X ili | x |) arccos(x) Funkcija - arkoksin iz Xarccosh(x) Arxosine je hiperboličko od Xarcsin(x) Odvojeni sin Xarcsinh(x) HyperX hiperbolični Xarktan(x) Funkcija je arktangens od Xarctgh(x) Arktangens je hiperboličan Xee broj - oko 2,7 exp(x) Funkcija - indikator X(Kako e^X) log(x) ili ln(x) Prirodni logaritam X
(Da log7(x) Morate unijeti log(x)/log(7) (ili na primjer, log10(x)= log(x)/log(10)) pi Broj "Pi", koji je oko 3,14 sin(x) Funkcija - Sinus Xcos(x) Funkcija - Konus od Xsinh(x) Funkcija - Hiperbolički sinus Xcosh(x) Funkcija - kosinus-hiperbolična Xsqrt(x) Funkcija je Kvadratni korijen od Xsqr(x) ili x^2 Funkcija - kvadrat Xtg(x) Funkcija - Tangenta od Xtgh(x) Funkcija je hiperbolički tangent iz Xcbrt(x) Funkcija je kubni korijen Xtlo (x) Funkcija zaokruživanja X na donjoj strani (primjer tla (4.5) == 4.0) znak (x) Funkcija - simbol Xerf(x) Funkcija greške (Laplace ili integral vjerovatnoće)
Sljedeće operacije se mogu koristiti u terminima:
Realni brojevi unesite u formular 7,5 , ne 7,5 2*x- množenje 3/x- divizija x^3— eksponentiacija x+7- Osim toga, x - 6- odbrojavanje
Preuzmite PDF
Eksponencijalne jednačine su jednačine oblika
x je nepoznat eksponent,
a I b- neki brojevi.
Primjeri eksponencijalne jednadžbe:
I jednačine:
više neće biti indikativno.
Pogledajmo primjere rješavanja eksponencijalnih jednadžbi:
Primjer 1.
Pronađite korijen jednačine:
Smanjimo stepene na istu osnovu da iskoristimo svojstvo snage sa realnim eksponentom
Tada će biti moguće ukloniti bazu stepena i preći na jednakost eksponenata.
Transformirajmo lijevu stranu jednačine:
Transformirajmo desnu stranu jednačine:
Koristeći svojstvo stepena
Odgovor: 4.5.
Primjer 2.
Riješite nejednačinu:
Podijelimo obje strane jednačine sa
Obrnuta zamjena:
Odgovor: x=0.
Riješite jednačinu i pronađite korijene na datom intervalu:
Sve pojmove svodimo na istu bazu:
Zamjena:
Tražimo korijene jednadžbe odabirom višekratnika slobodnog člana:
– pogodno, jer
jednakost je zadovoljena.
– pogodno, jer
Kako riješiti? e^(x-3) = 0 e na stepen x-3
jednakost je zadovoljena.
– pogodno, jer jednakost je zadovoljena.
– nije prikladno, jer jednakost nije zadovoljena.
Obrnuta zamjena:
Broj postaje 1 ako je njegov eksponent 0
Nije prikladno jer
Desna strana je jednaka 1, jer
Odavde:
Riješite jednačinu:
Zamjena: , onda
Obrnuta zamjena:
1 jednadžba:
ako su baze brojeva jednake, tada će njihovi eksponenti biti jednaki
2 jednadžba:
Logaritujmo obje strane na bazu 2:
Eksponent dolazi ispred izraza, jer
Lijeva strana je 2x, jer
Odavde:
Riješite jednačinu:
Transformirajmo lijevu stranu:
Množimo stepene koristeći formulu:
Hajde da pojednostavimo: prema formuli:
Predstavimo to u obliku:
Zamjena:
Pretvorimo razlomak u nepravilan:
a2 - nije prikladno, jer
Obrnuta zamjena:
Da pređemo na opštu poentu:
Ako
Odgovor: x=20.
Riješite jednačinu:
O.D.Z.
Transformirajmo lijevu stranu koristeći formulu:
Zamjena:
Izračunavamo korijen diskriminanta:
a2-nije prikladno, jer
ali ne uzima negativne vrijednosti
Da pređemo na opštu poentu:
Ako
Kvadratiziramo obje strane:
Urednici članka: Gavrilina Anna Viktorovna, Ageeva Lyubov Aleksandrovna
Povratak na teme
Prijevod velikog članka “Intuitivni vodič za eksponencijalne funkcije i e”
Broj e me je oduvijek uzbuđivao – ne kao slovo, već kao matematička konstanta.
Šta zapravo znači broj e?
Razne matematičke knjige, pa čak i moja voljena Wikipedija opisuju ovu veličanstvenu konstantu u potpuno glupom naučnom žargonu:
Matematička konstanta e je baza prirodnog logaritma.
Ako se pitate šta je to prirodni logaritam, naći ćete ovu definiciju:
Prirodni logaritam, ranije poznat kao hiperbolički logaritam, je logaritam sa bazom e, gdje je e iracionalna konstanta približno jednaka 2,718281828459.
Definicije su, naravno, tačne.
Ali ih je izuzetno teško razumjeti. Naravno, Wikipedia nije kriva za to: obično su matematička objašnjenja suha i formalna, sastavljena u skladu sa punom strogošću nauke. To otežava početnicima da savladaju predmet (a svi su u jednom trenutku bili početnici).
Prevazišao sam to! Danas dijelim svoja veoma inteligentna razmišljanja o... koji je broj e, i zašto je tako cool! Ostavite svoje debele, zastrašujuće knjige iz matematike po strani!
Broj e nije samo broj
Opisivanje e kao "konstante približno jednake 2,71828..." je kao da zovete broj pi " iracionalan broj, približno jednako 3,1415...".
Ovo je nesumnjivo tačno, ali poenta nam još uvek izmiče.
Pi je omjer obima i prečnika, isti za sve krugove. To je osnovna proporcija zajednička svim kružnicama i stoga je uključena u izračunavanje obima, površine, zapremine i površine za krugove, sfere, cilindre itd.
Pi pokazuje da su svi krugovi povezani, da ne spominjemo trigonometrijske funkcije, izvedeno iz krugova (sinus, kosinus, tangenta).
Broj e je osnovni omjer rasta za sve kontinuirano rastuće procese. E broj vam omogućava da uzmete jednostavnu stopu rasta (gdje je razlika vidljiva tek na kraju godine) i izračunate komponente ovog indikatora, normalnog rasta, u kojem sa svakom nanosekundom (ili čak i brže) sve malo raste više.
Broj e je uključen i u eksponencijalni i u sistem konstantnog rasta: stanovništvo, radioaktivni raspad, izračun procenta i mnoge, mnoge druge.
Čak i sistemi koraka koji ne rastu jednoliko mogu se aproksimirati pomoću broja e.
Baš kao što se bilo koji broj može smatrati "skalariranom" verzijom 1 (osnovna jedinica), bilo koji krug se može smatrati "skaliranom" verzijom jedinični krug(sa radijusom 1).
Jednačina je data: e na stepen x = 0. Čemu je jednako x?
I bilo koji faktor rasta može se posmatrati kao "skalarirana" verzija e (faktor rasta "jedinica").
Dakle, broj e nije nasumično uzet broj. Broj e utjelovljuje ideju da su svi kontinuirano rastući sistemi skalirane verzije iste metrike.
Koncept eksponencijalnog rasta
Počnimo sa osvrtom na osnovni sistem koji se udvostručuje tokom određenog vremenskog perioda.
Na primjer:
- Bakterije se dijele i "udvostručuju" broj svaka 24 sata
- Dobijamo duplo više rezanaca ako ih prepolovimo
- Vaš novac se udvostručuje svake godine ako ostvarite 100% profit (sreća!)
I izgleda otprilike ovako:
Dijeljenje sa dva ili udvostručavanje je vrlo jednostavna progresija. Naravno, možemo utrostručiti ili četverostruko, ali udvostručavanje je pogodnije za objašnjenje.
Matematički, ako imamo x podjela, na kraju ćemo dobiti 2^x puta više dobrih nego što smo započeli.
Ako se napravi samo 1 particija, dobijamo 2^1 puta više. Ako postoje 4 particije, dobijamo 2^4=16 dijelova. Opća formula izgleda ovako:
Drugim riječima, udvostručenje je povećanje od 100%.
Ovu formulu možemo prepisati ovako:
visina = (1+100%)x
Ovo je ista jednakost, samo smo podijelili “2” na sastavne dijelove, što je u suštini ovaj broj: početna vrijednost (1) plus 100%. Pametno, zar ne?
Naravno, možemo zamijeniti bilo koji drugi broj (50%, 25%, 200%) umjesto 100% i dobiti formulu rasta za ovaj novi koeficijent.
Opća formula za x perioda vremenske serije bit će:
rast = (1+rast)x
To jednostavno znači da koristimo stopu povrata, (1 + dobitak), "x" puta za redom.
Pogledajmo izbliza
Naša formula pretpostavlja da se rast odvija u diskretnim koracima. Naše bakterije čekaju i čekaju, a onda bam!, a u zadnji čas se udvostruče. Naš profit na kamatu na depozit magično se pojavljuje tačno nakon 1 godine.
Na osnovu gore napisane formule, profit raste u koracima. Zelene tačke se pojavljuju iznenada.
Ali svijet nije uvijek takav.
Ako uvećamo, možemo vidjeti da se naši prijatelji bakterije neprestano dijele:
Zeleni momak ne nastaje ni iz čega: on polako izrasta iz plavog roditelja. Nakon 1 vremenskog perioda (24 sata u našem slučaju), zeleni prijatelj je već potpuno zreo. Sazrevši, postaje punopravni plavi član stada i može sam stvoriti nove zelene ćelije.
Hoće li ova informacija na bilo koji način promijeniti našu jednačinu?
U slučaju bakterija, poluformirane zelene ćelije još uvijek ne mogu učiniti ništa dok ne odrastu i potpuno se odvoje od svojih plavih roditelja. Dakle, jednadžba je tačna.
U sljedećem članku ćemo pogledati primjer eksponencijalnog rasta vašeg novca.
