Ciljevi lekcije: U ovoj lekciji ćete se upoznati s konceptom „paralelnih pravih“, naučiti kako možete provjeriti paralelnost pravih, kao i koja svojstva imaju uglovi koje formiraju paralelne prave i transverzala.

Paralelne linije

Znate da je koncept "prave" jedan od takozvanih nedefinivih koncepata geometrije.

Već znate da se dvije prave mogu poklapati, odnosno imati sve zajedničke tačke, ili seći, odnosno imati jednu zajedničku tačku. Prave se sijeku pod različitim uglovima, a ugao između pravih smatra se najmanjim od uglova koje one formiraju. Poseban slučaj presjeka može se smatrati slučajem okomitosti, kada je ugao koji formiraju prave linije jednak 90 0.

Ali dvije ravne linije možda nemaju zajedničke tačke, odnosno ne seku. Takve linije se nazivaju paralelno.

Rad sa elektronikom obrazovni resurs « ».

Da biste se upoznali s konceptom „paralelnih linija“, radite s video materijalima za lekciju

Dakle, sada znate definiciju paralelnih linija.

Iz materijala u fragmentu video lekcije naučili ste o različitim vrstama uglova koji nastaju kada se dvije ravne linije sijeku s trećom.

Parovi uglova 1 i 4; 3 i 2 se zovu unutrašnji jednostrani uglovi(leže između pravih linija a I b).

Parovi uglova 5 i 8; 7 i 6 se zovu vanjski jednostrani uglovi(leže izvan linija a I b).

Parovi uglova 1 i 8; 3 i 6; 5 i 4; 7 i 2 nazivaju se jednostrani uglovi pod pravim uglom a I b i sekansa c. Kao što vidite, od par odgovarajućih uglova, jedan leži između pravog ugla a I b, a drugi je izvan njih.

Znakovi paralelnih linija

Očigledno je da je korištenjem definicije nemoguće zaključiti da su dvije prave paralelne. Stoga, da biste zaključili da su dvije prave paralelne, koristite znakovi.

Već možete formulirati jedan od njih nakon što se upoznate s materijalima prvog dijela video lekcije:

Teorema 1. Dvije prave okomite na treću se ne sijeku, odnosno paralelne su.

Sa ostalim znacima paralelizma pravih zasnovanim na jednakosti određenih parova uglova upoznaćete se radom sa materijalima u drugom delu video lekcije"Znakovi paralelnih linija."

Dakle, trebali biste znati još tri znaka paralelnih linija.

Teorema 2 (prvi znak paralelnih pravih). Ako su, kada se dvije prave sijeku poprečno, uključeni uglovi jednaki, tada su prave paralelne.

Rice. 2. Ilustracija za prvi znak paralelizam linija

Ponovite još jednom prvi znak paralelnih linija radeći sa elektronskim obrazovnim resursom « ».

Tako se pri dokazivanju prvog znaka paralelnosti pravih koristi znak jednakosti trouglova (na dvije strane i ugla između njih), kao i znak paralelnosti pravih kao okomitih na jednu pravu.

Vježba 1.

Zapišite formulaciju prvog znaka paralelnih pravih i njegov dokaz u svoje bilježnice.

Teorema 3 (drugi znak paralelnih pravih). Ako su, kada se dvije prave seku sa transverzalom, odgovarajući uglovi jednaki, tada su prave paralelne.

Ponovite još jednom drugi znak paralelnih prava radeći sa elektronskim obrazovnim resursom « ».

Prilikom dokazivanja drugog znaka paralelnosti pravih koristi se svojstvo vertikalnih uglova i prvi znak paralelnosti pravih.

Zadatak 2.

Zapišite formulaciju drugog kriterija za paralelnost pravih i njegov dokaz u svoje bilježnice.

Teorema 4 (treći znak paralelnih pravih). Ako je, kada se dvije prave seku sa transverzalom, zbir jednostranih uglova jednak 180 0, tada su prave paralelne.

Ponovite još jednom treći znak paralelnih prava radeći sa elektronskim obrazovnim resursom « ».

Dakle, pri dokazivanju prvog znaka paralelnosti pravih koristi se svojstvo susjednih uglova i prvi znak paralelnosti pravih.

Zadatak 3.

Zapišite formulaciju trećeg kriterija za paralelne prave i njegov dokaz u svoje bilježnice.

Da biste vježbali rješavanje jednostavnih zadataka, radite s materijalima elektronskog obrazovnog resursa « ».

U rješavanju zadataka koriste se znaci paralelizma pravih.

Sada pogledajte primjere rješavanja problema na znakovima paralelnih linija, radeći s materijalima video lekcije“Rješavanje zadataka na temu “Znaci paralelnih pravih.”

Sada se testirajte ispunjavanjem zadataka kontrolnog elektronskog obrazovnog resursa « ».

Svako ko želi više raditi s rješenjem složeni zadaci, može raditi sa video materijalima za lekcije "Zadaci o znakovima paralelizma pravih."

Svojstva paralelnih pravih

Paralelne linije imaju skup svojstava.

Koja su to svojstva naučit ćete radeći s materijalima video tutorijala "Svojstva paralelnih pravih."

Dakle, važna činjenica koju biste trebali znati je aksiom konkurentnosti.

Aksiom paralelizma. Kroz tačku koja ne leži na datoj pravoj moguće je povući pravu paralelnu datoj, i štaviše, samo jednu.

Kao što ste naučili iz video tutorijala, na osnovu ovog aksioma mogu se formulirati dvije posljedice.

Zaključak 1. Ako prava siječe jednu od paralelnih pravih, tada siječe i drugu paralelnu pravu.

Zaključak 2. Ako su dvije prave paralelne s trećom, onda su paralelne jedna s drugom.

Zadatak 4.

Zapišite formulaciju navedenih posljedica i njihove dokaze u svoje bilježnice.

Svojstva uglova formiranih paralelnim linijama i transverzalom su teoreme koje su inverzne odgovarajućim svojstvima.

Dakle, iz materijala za video lekciju naučili ste svojstvo uglova koji se nalaze u križu.

Teorema 5 (teorema inverzna prvom kriteriju za paralelne prave). Kada se dvije paralelne prave sijeku poprečno, uključeni uglovi su jednaki.

Zadatak 5.

Ponovite još jednom prvo svojstvo paralelnih pravih radeći sa elektronskim obrazovnim resursom « ».

Teorema 6 (teorema suprotna drugom kriteriju za paralelizam pravih). Kada se dvije paralelne prave seku, odgovarajući uglovi su jednaki.

Zadatak 6.

Zapišite tvrdnju ove teoreme i njen dokaz u svoje bilježnice.

Ponovite još jednom drugu osobinu paralelnih linija radeći sa elektronskim obrazovnim resursom « ».

Teorema 7 (teorema suprotna trećem kriteriju za paralelizam pravih). Kada se dvije paralelne prave seku, zbir jednostranih uglova je 180 0.

Zadatak 7.

Zapišite tvrdnju ove teoreme i njen dokaz u svoje bilježnice.

Ponovite još jednom treće svojstvo paralelnih pravih radeći sa elektronskim obrazovnim resursom « ».

Sva svojstva paralelnih pravih također se koriste u rješavanju problema.

Razmotrite tipične primjere rješavanja problema radeći s video materijalima za lekciju “Paralelne linije i problemi na uglovima između njih i transverzale.”

Znakovi paralelizma dvije prave

Teorema 1. Ako, kada se dvije prave seku sa sekantom:

    ukršteni uglovi su jednaki, ili

    odgovarajući uglovi su jednaki, ili

    tada je zbir jednostranih uglova 180°

prave su paralelne(Sl. 1).

Dokaz. Ograničavamo se na dokazivanje slučaja 1.

Neka su prave a i b ukrštene, a uglovi AB jednaki. Na primjer, ∠ 4 = ∠ 6. Dokažimo da je a || b.

Pretpostavimo da prave a i b nisu paralelne. Tada se sijeku u nekoj tački M i stoga će jedan od uglova 4 ili 6 biti vanjski ugao trougla ABM. Radi određenosti, neka je ∠ 4 vanjski ugao trougla ABM, a ∠ 6 unutrašnji. Iz teoreme o spoljašnjem uglu trougla sledi da je ∠ 4 veći od ∠ 6, a to je u suprotnosti sa uslovom, što znači da se prave a i 6 ne mogu seći, pa su paralelne.

Zaključak 1. Dvije različite prave u ravni okomitoj na istu pravu su paralelne(Sl. 2).

Komentar. Način na koji smo upravo dokazali slučaj 1 teoreme 1 nazivamo metodom dokaza kontradikcijom ili svođenjem na apsurd. Ova metoda je dobila svoje prvo ime jer se na početku argumenta postavlja pretpostavka koja je suprotna (suprotna) onome što treba dokazati. To se naziva dovođenjem do apsurda zbog činjenice da, rezonujući na osnovu postavljene pretpostavke, dolazimo do apsurdnog zaključka (do apsurda). Primanje takvog zaključka tjera nas da odbacimo pretpostavku iznesenu na početku i prihvatimo onu koju je trebalo dokazati.

Zadatak 1. Konstruisati pravu koja prolazi kroz datu tačku M i paralelna sa datom pravom a, a ne prolazi kroz tačku M.

Rješenje. Provlačimo pravu p kroz tačku M okomitu na pravu a (slika 3).

Zatim povučemo pravu b kroz tačku M okomitu na pravu p. Prava b je paralelna pravoj a prema posljedici teoreme 1.

Iz razmatranog problema proizlazi važan zaključak:
kroz tačku koja ne leži na datoj pravoj uvek je moguće povući pravu paralelnu datoj.

Glavno svojstvo paralelnih linija je sljedeće.

Aksiom paralelnih pravih. Kroz datu tačku koja ne leži na datoj pravoj prolazi samo jedna prava paralelna sa datom.

Razmotrimo neka svojstva paralelnih pravih koja slijede iz ovog aksioma.

1) Ako prava seče jednu od dve paralelne prave, onda seče i drugu (slika 4).

2) Ako su dvije različite prave paralelne s trećom pravom, onda su one paralelne (slika 5).

Sljedeća teorema je također tačna.

Teorema 2. Ako se dvije paralelne prave sijeku transverzalom, onda:

    poprečni uglovi su jednaki;

    odgovarajući uglovi su jednaki;

    zbir jednostranih uglova je 180°.

Zaključak 2. Ako je prava okomita na jednu od dvije paralelne prave, ona je također okomita na drugu(vidi sliku 2).

Komentar. Teorema 2 se naziva inverzna teorema 1. Zaključak teoreme 1 je uslov teoreme 2. A uslov teoreme 1 je zaključak teoreme 2. Nema svaka teorema inverz, tj. ovu teoremu onda je istina obrnuta teorema može biti netačno.

Objasnimo ovo na primjeru teoreme o vertikalnim uglovima. Ova teorema se može formulirati na sljedeći način: ako su dva ugla okomita, onda su jednaki. Obrnuti teorem bi bio: ako su dva ugla jednaka, onda su vertikalni. A ovo, naravno, nije tačno. Dva jednakih uglova uopšte ne moraju biti okomiti.

Primjer 1. Dvije paralelne prave se ukrštaju trećom. Poznato je da je razlika između dva unutrašnja jednostrana ugla 30°. Pronađite ove uglove.

Rješenje. Neka slika 6 ispuni uslov.

U ovom članku ćemo govoriti o paralelnim linijama, dati definicije i skicirati znakove i uvjete paralelizma. Da bi teorijski materijal bio jasniji, koristit ćemo ilustracije i rješenja tipičnih primjera.

Definicija 1

Paralelne prave na ravni– dvije prave na ravni koje nemaju zajedničkih tačaka.

Definicija 2

Paralelne linije u trodimenzionalnom prostoru– dvije prave u trodimenzionalnom prostoru, koje leže u istoj ravni i nemaju zajedničkih tačaka.

Potrebno je napomenuti da je za određivanje paralelnih pravih u prostoru izuzetno važno pojašnjenje „leže u istoj ravni“: dvije prave u trodimenzionalnom prostoru koje nemaju zajedničke tačke i ne leže u istoj ravni nisu paralelne. , ali se ukrštaju.

Za označavanje paralelnih linija uobičajeno je koristiti simbol ∥. Odnosno, ako su date prave a i b paralelne, ovaj uslov treba ukratko napisati na sljedeći način: a ‖ b. Verbalno, paralelnost pravih se označava na sledeći način: prave a i b su paralelne, ili prava a je paralelna pravoj b, ili prava b paralelna pravoj a.

Hajde da formulišemo izjavu koja igra važnu ulogu u temi koja se proučava.

Aksiom

Kroz tačku koja ne pripada datoj pravoj prolazi jedina prava paralelna datoj. Ova tvrdnja se ne može dokazati na osnovu poznatih aksioma planimetrije.

U slučaju kada govorimo o prostoru, tačna je teorema:

Teorema 1

Kroz bilo koju tačku u prostoru koja ne pripada datoj pravoj, proći će jedna prava paralelna datoj.

Ovu teoremu je lako dokazati na osnovu gornjeg aksioma (program geometrije za 10. - 11. razred).

Kriterijum paralelizma je dovoljan uslov, čije ispunjenje garantuje paralelnost pravih. Drugim riječima, ispunjenje ovog uslova je dovoljno da potvrdi činjenicu paralelizma.

Konkretno, postoje neophodni i dovoljni uslovi za paralelnost pravih na ravni i u prostoru. Objasnimo: nužan je uslov čije je ispunjenje neophodno za paralelne prave; ako nije ispunjen, prave nisu paralelne.

Da rezimiramo, neophodan i dovoljan uslov za paralelnost pravih je uslov čije je poštovanje neophodno i dovoljno da prave budu međusobno paralelne. S jedne strane, ovo je znak paralelizma, s druge strane, to je svojstvo svojstveno paralelnim linijama.

Prije nego što damo tačnu formulaciju potrebnog i dovoljnog uvjeta, podsjetimo se na nekoliko dodatnih pojmova.

Definicija 3

Sekantna linija– prava linija koja siječe svaku od dvije date nepodudarne prave.

Presijecajući dvije prave, transverzala formira osam nerazvijenih uglova. Da bismo formulirali neophodan i dovoljan uvjet, koristit ćemo takve vrste uglova kao što su ukršteni, odgovarajući i jednostrani. Hajde da ih demonstriramo na ilustraciji:

Teorema 2

Ako se dvije prave u ravni sijeku transverzalom, onda je da bi date prave bile paralelne potrebno i dovoljno da su uglovi koji se seku jednaki, ili odgovarajući uglovi jednaki, ili zbir jednostranih uglova jednak 180 stepeni.

Ilustrujmo grafički neophodan i dovoljan uslov za paralelnost pravih na ravni:

Dokaz ovih uslova je prisutan u programu geometrije za 7-9 razred.

Generalno, ovi uslovi važe i za trodimenzionalni prostor, pod uslovom da dve prave i sekansa pripadaju istoj ravni.

Naznačimo još nekoliko teorema koje se često koriste za dokazivanje činjenice da su prave paralelne.

Teorema 3

Na ravni su dvije prave paralelne s trećom paralelne jedna s drugom. Ova karakteristika je dokazana na osnovu aksioma paralelizma koji je gore naznačen.

Teorema 4

U trodimenzionalnom prostoru, dvije linije paralelne s trećom su paralelne jedna s drugom.

Dokaz znaka se izučava u nastavnom planu i programu geometrije 10. razreda.

Dajemo ilustraciju ovih teorema:

Naznačimo još jedan par teorema koje dokazuju paralelizam pravih.

Teorema 5

Na ravni, dvije prave okomite na treću su paralelne jedna s drugom.

Formulirajmo sličnu stvar za trodimenzionalni prostor.

Teorema 6

U trodimenzionalnom prostoru, dvije prave okomite na treću su paralelne jedna s drugom.

Ilustrujmo:

Sve gore navedene teoreme, znaci i uvjeti omogućuju praktično dokazivanje paralelizma pravih metodama geometrije. To jest, da bi se dokazala paralelnost pravih, može se pokazati da su odgovarajući uglovi jednaki, ili dokazati činjenicu da su dvije date prave okomite na treću, itd. Ali imajte na umu da je često zgodnije koristiti koordinatnu metodu za dokazivanje paralelnosti linija na ravni ili u trodimenzionalnom prostoru.

Paralelizam pravih u pravougaonom koordinatnom sistemu

U datom pravougaonom koordinatnom sistemu, prava je određena jednadžbom prave linije na ravni jednog od mogućih tipova. Isto tako, prava linija definisana u pravougaonom koordinatnom sistemu u trodimenzionalnom prostoru odgovara nekim jednačinama za pravu liniju u prostoru.

Zapišimo potrebne i dovoljne uslove za paralelnost pravih u pravougaonom koordinatnom sistemu u zavisnosti od tipa jednačine koja opisuje date prave.

Počnimo sa uslovom paralelnosti pravih na ravni. Zasnovan je na definicijama vektora smjera prave i vektora normale prave na ravni.

Teorema 7

Da bi dvije nepodudarne prave bile paralelne na ravni, potrebno je i dovoljno da su vektori smjera datih pravih kolinearni, ili da su vektori normale datih pravih kolinearni, ili da je vektor smjera jedne prave okomit na vektor normale druge linije.

Postaje očigledno da se uslov paralelnosti pravih na ravni zasniva na uslovu kolinearnosti vektora ili uslovu okomitosti dva vektora. To jest, ako su a → = (a x, a y) i b → = (b x, b y) vektori pravca a i b;

i n b → = (n b x , n b y) su normalni vektori pravih a i b, tada zapisujemo gornji neophodan i dovoljan uslov na sljedeći način: a → = t · b → ⇔ a x = t · b x a y = t · b y ili n a → = t · n b → ⇔ n a x = t · n b x n a y = t · n b y ili a → , n b → = 0 ⇔ a x · n b x + a y · n b y = 0 , gdje je t neki realni broj. Koordinate vodilica ili pravih vektora određene su datim jednačinama pravih linija. Pogledajmo glavne primjere.

  1. Definisana je prava a u pravougaonom koordinatnom sistemu opšta jednačina prava linija: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0; prava b - A 2 x + B 2 y + C 2 = 0. Tada će normalni vektori datih linija imati koordinate (A 1, B 1) i (A 2, B 2), respektivno. Uslov paralelizma pišemo na sljedeći način:

A 1 = t A 2 B 1 = t B 2

  1. Prava a je opisana jednadžbom prave sa nagibom oblika y = k 1 x + b 1 . Prava linija b - y = k 2 x + b 2. Tada će normalni vektori datih pravih imati koordinate (k 1, - 1) i (k 2, - 1), respektivno, a uslov paralelizma ćemo napisati na sljedeći način:

k 1 = t k 2 - 1 = t (- 1) ⇔ k 1 = t k 2 t = 1 ⇔ k 1 = k 2

Dakle, ako su paralelne prave na ravni u pravougaonom koordinatnom sistemu date jednačinama sa ugaonim koeficijentima, onda će ugaoni koeficijenti datih pravih biti jednaki. I suprotna izjava je tačna: ako su nepodudarne prave na ravni u pravougaonom koordinatnom sistemu određene jednadžbama prave sa identičnim ugaonim koeficijentima, onda su ove date prave paralelne.

  1. Prave a i b u pravougaonom koordinatnom sistemu određene su kanonskim jednačinama prave na ravni: x - x 1 a x = y - y 1 a y i x - x 2 b x = y - y 2 b y ili parametarskim jednačinama prava na ravni: x = x 1 + λ · a x y = y 1 + λ · a y i x = x 2 + λ · b x y = y 2 + λ · b y .

Tada će vektori smjera datih linija biti: a x, a y i b x, b y, respektivno, a uvjet paralelizma ćemo napisati na sljedeći način:

a x = t b x a y = t b y

Pogledajmo primjere.

Primjer 1

Date su dvije linije: 2 x - 3 y + 1 = 0 i x 1 2 + y 5 = 1. Potrebno je utvrditi da li su paralelne.

Rješenje

Zapišimo jednačinu prave u segmentima u obliku opšte jednačine:

x 1 2 + y 5 = 1 ⇔ 2 x + 1 5 y - 1 = 0

Vidimo da je n a → = (2, - 3) vektor normale prave 2 x - 3 y + 1 = 0, a n b → = 2, 1 5 je vektor normale prave x 1 2 + y 5 = 1.

Rezultirajući vektori nisu kolinearni, jer ne postoji takva vrijednost tat da bi jednakost bila istinita:

2 = t 2 - 3 = t 1 5 ⇔ t = 1 - 3 = t 1 5 ⇔ t = 1 - 3 = 1 5

Dakle, nužan i dovoljan uslov za paralelnost pravih na ravni nije zadovoljen, što znači da date prave nisu paralelne.

odgovor: date prave nisu paralelne.

Primjer 2

Date su linije y = 2 x + 1 i x 1 = y - 4 2. Jesu li paralelne?

Rješenje

Transformirajmo kanonsku jednačinu ravne x 1 = y - 4 2 u jednačinu prave linije sa nagibom:

x 1 = y - 4 2 ⇔ 1 · (y - 4) = 2 x ⇔ y = 2 x + 4

Vidimo da jednačine pravih y = 2 x + 1 i y = 2 x + 4 nisu iste (da je drugačije, prave bi se poklopile) i da su ugaoni koeficijenti pravih jednaki, što znači date prave su paralelne.

Pokušajmo drugačije riješiti problem. Prvo, hajde da proverimo da li se date linije poklapaju. Koristimo bilo koju tačku na pravoj y = 2 x + 1, na primjer, (0, 1), koordinate ove tačke ne odgovaraju jednačini prave x 1 = y - 4 2, što znači da prave odgovaraju ne poklapaju.

Sledeći korak je da se utvrdi da li je ispunjen uslov paralelnosti datih pravih.

Vektor normale prave y = 2 x + 1 je vektor n a → = (2 , - 1) , a vektor pravca druge date linije je b → = (1 , 2) . Skalarni proizvod ovih vektora jednak je nuli:

n a → , b → = 2 1 + (- 1) 2 = 0

Dakle, vektori su okomiti: ovo nam pokazuje ispunjenje neophodnog i dovoljnog uslova za paralelnost originalnih pravih. One. date prave su paralelne.

odgovor: ove prave su paralelne.

Za dokazivanje paralelnosti pravih u pravougaonom koordinatnom sistemu trodimenzionalnog prostora koristi se sledeći neophodan i dovoljan uslov.

Teorema 8

Da bi dvije nepodudarne prave u trodimenzionalnom prostoru bile paralelne, potrebno je i dovoljno da vektori smjera ovih linija budu kolinearni.

One. s obzirom na jednačine linija u trodimenzionalnom prostoru, odgovor na pitanje: da li su paralelne ili ne, nalazi se određivanjem koordinata vektora pravca datih linija, kao i provjerom uslova njihove kolinearnosti. Drugim riječima, ako su a → = (a x , a y , a z) i b → = (b x , b y , b z) vektori pravca a i b, respektivno, onda da bi one bile paralelne, postojanje takav pravi broj t tako da vrijedi jednakost:

a → = t b → ⇔ a x = t b x a y = t b y a z = t b z

Primjer 3

Date su linije x 1 = y - 2 0 = z + 1 - 3 i x = 2 + 2 λ y = 1 z = - 3 - 6 λ. Potrebno je dokazati paralelizam ovih pravih.

Rješenje

Dati su uslovi problema kanonske jednačine jedna prava linija u prostoru i parametarske jednačine još jedna linija u prostoru. Vodeći vektori a → i b → date linije imaju koordinate: (1, 0, - 3) i (2, 0, - 6).

1 = t · 2 0 = t · 0 - 3 = t · - 6 ⇔ t = 1 2 , tada je a → = 1 2 · b → .

Posljedično, nužni i dovoljni uvjet za paralelnost pravih u prostoru je zadovoljen.

odgovor: paralelnost datih pravih je dokazana.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

1. Ako su dvije prave paralelne s trećom linijom, onda su paralelne:

Ako a||c I b||c, To a||b.

2. Ako su dvije prave okomite na treću pravu, onda su paralelne:

Ako a⊥c I b⊥c, To a||b.

Preostali znaci paralelizma pravih zasnovani su na uglovima koji nastaju kada se dve prave seku sa trećom.

3. Ako je zbir unutrašnjih jednostranih uglova 180°, tada su prave paralelne:

Ako je ∠1 + ∠2 = 180°, onda a||b.

4. Ako su odgovarajući uglovi jednaki, tada su prave paralelne:

Ako je ∠2 = ∠4, onda a||b.

5. Ako su unutrašnji poprečni uglovi jednaki, tada su prave paralelne:

Ako je ∠1 = ∠3, onda a||b.

Svojstva paralelnih pravih

Izjave suprotnih znakova paralelnost pravih su njihova svojstva. Oni se zasnivaju na svojstvima uglova nastalih presekom dve paralelne prave sa trećom linijom.

1. Kada dvije paralelne prave sijeku treću pravu, zbir unutrašnjih jednostranih uglova koji su formirani njima jednak je 180°:

Ako a||b, tada ∠1 + ∠2 = 180°.

2. Kada dvije paralelne prave sijeku treću pravu, odgovarajući uglovi formirani od njih su jednaki:

Ako a||b, tada je ∠2 = ∠4.

3. Kada dvije paralelne prave sijeku treću pravu, poprečni uglovi koje formiraju su jednaki:

Ako a||b, tada je ∠1 = ∠3.

Sljedeće svojstvo je poseban slučaj za svako prethodno:

4. Ako je prava na ravni okomita na jednu od dvije paralelne prave, ona je također okomita na drugu:

Ako a||b I c⊥a, To c⊥b.

Peto svojstvo je aksiom paralelnih pravih:

5. Kroz tačku koja ne leži na datoj pravoj, može se povući samo jedna prava paralelna datoj pravoj.

POGLAVLJE III.
PARALLEL DIRECT

§ 35. ZNACI PARALELNOSTI DVA PRAVA.

Teorema da su dve okomite na jednu pravu paralelne (§ 33) daje znak da su dve prave paralelne. Možete povući više opšti znakovi paralelizam dve prave.

1. Prvi znak paralelizma.

Ako su, kada dvije prave sijeku treću, unutrašnji uglovi koji leže poprečno jednaki, tada su ove prave paralelne.

Neka prave AB i CD sijeku prava EF i / 1 = / 2. Uzmite tačku O - sredinu segmenta KL sekante EF (Sl. 189).

Spustimo okomicu OM iz tačke O na pravu liniju AB i nastavimo je dok se ne ukrsti sa pravom linijom CD, AB_|_MN. Hajde da dokažemo da je CD_|_MN.
Da biste to učinili, razmotrite dva trokuta: MOE i NOK. Ovi trouglovi su međusobno jednaki. Zaista: / 1 = / 2 prema uslovima teoreme; OK = OL - po konstrukciji;
/ MOL = / NOK, poput vertikalnih uglova. Dakle, stranica i dva susedna ugla jednog trougla su respektivno jednaki strani i dva susedna ugla drugog trougla; dakle, /\ MOL = /\ NOK, i stoga
/ LMO = / KNO, ali / LMO je direktan, što znači / KNO je također ravna. Dakle, prave AB i CD su okomite na istu pravu MN, dakle, paralelne su (§ 33), što je i trebalo dokazati.

Bilješka. Presek pravih MO i CD može se uspostaviti rotacijom trougla MOL oko tačke O za 180°.

2. Drugi znak paralelizma.

Pogledajmo da li su prave AB i CD paralelne ako su, kada seku treću pravu EF, odgovarajući uglovi jednaki.

Neka su neki odgovarajući uglovi jednaki, na primjer / 3 = / 2 (crtež 190);
/ 3 = / 1, pošto su uglovi vertikalni; znači, / 2 će biti jednako / 1. Ali uglovi 2 i 1 su unutrašnji uglovi koji seku, a već znamo da ako dve prave sijeku treću, unutrašnji uglovi koji se seku su jednaki, onda su ove prave paralelne. Stoga AB || CD.

Ako su, kada dvije prave sijeku treću, odgovarajući uglovi jednaki, tada su ove dvije prave paralelne.

Na ovoj osobini zasniva se konstrukcija paralelnih linija pomoću ravnala i trougla za crtanje. To se radi na sljedeći način.

Pričvrstimo trougao na lenjir kao što je prikazano na crtežu 191. Trougao ćemo pomeriti tako da mu jedna strana klizi duž lenjira, a duž neke druge strane trougla povući nekoliko pravih linija. Ove linije će biti paralelne.

3. Treći znak paralelizma.

Neka znamo da kada se dvije prave AB i CD seku sa trećom pravom linijom, zbir svih unutrašnjih jednostranih uglova jednak je 2 d(ili 180°). Da li će u ovom slučaju prave AB i CD biti paralelne (Sl. 192).

Neka / 1 i / 2 su unutrašnji jednostrani uglovi i zbrajaju do 2 d.
Ali / 3 + / 2 = 2d kao susedni uglovi. dakle, / 1 + / 2 = / 3+ / 2.

Odavde / 1 = / 3, a ovi unutrašnji uglovi leže poprečno. Stoga AB || CD.

Ako, kada dvije prave sijeku treću, zbir unutrašnjih jednostranih uglova jednak je 2 d, onda su ove dvije prave paralelne.

Vježbajte.

Dokaži da su prave paralelne:
a) ako su spoljašnji poprečni uglovi jednaki (Sl. 193);
b) ako je zbir vanjskih jednostranih uglova jednak 2 d(crtež 194).