Prilikom rješavanja logaritamskih jednadžbi i nejednačina koristiti svojstva logaritama, kao i svojstva logaritamske funkcije

y=log a x, a > 0, a 1:

1) Domen definicije: x > 0;

2) Raspon: y R ;

3) log a x 1 =log a x 2 x 1 =x 2 ;

4) Za a>1 funkcija y=log a x raste, za 0< a < 1 функция y=log a x убывает при всех x >0, tj.

a >1 i log a x 1 >log a x 2 x 1 >x 2 ,
0 log a x 2 x 1< x 2 ;

Prilikom prelaska sa logaritamskih jednadžbi (nejednačina) na jednadžbe (nejednačine) koje ne sadrže predznak logaritma, treba voditi računa o rasponu dopuštenih vrijednosti (APV) izvorne jednadžbe (nejednakosti).

Zadaci i testovi na temu "Logaritmske jednadžbe"

  • Logaritamske jednadžbe

    Lekcije: 4 Zadaci: 25 Testovi: 1

  • Sistemi eksponencijalnih i logaritamskih jednadžbi - Eksponencijalne i logaritamske funkcije 11. razred

    Lekcije: 1 Zadaci: 15 Testovi: 1

  • §5.1. Rješavanje logaritamskih jednadžbi

    Lekcije: 1 Zadaci: 38

  • §7 Eksponencijalne i logaritamske jednačine i nejednačine - Odjeljak 5. Eksponencijalne i logaritamske funkcije, ocjena 10

    Lekcije: 1 Zadaci: 17

  • Ekvivalencija jednačina - Jednačine i nejednačine 11. razred

    Lekcije: 2 Zadaci: 9 Testovi: 1

Prilikom rješavanja logaritamskih jednadžbi u mnogim slučajevima je potrebno koristiti svojstva logaritma proizvoda, količnika ili stepena. U slučajevima kada jedna logaritamska jednačina sadrži logaritme sa različitim bazama, primena ovih svojstava je moguća tek nakon prelaska na logaritme sa jednakim bazama.

Osim toga, rješavanje logaritamske jednadžbe treba započeti pronalaženjem raspona dopuštenih vrijednosti (O.D.Z.) zadata jednačina, jer Tokom procesa rješenja mogu se pojaviti strani korijeni. Kada dovršavate rješenje, ne zaboravite provjeriti pronađene korijene da li pripadaju O.D.Z.

Logaritamske jednadžbe možete riješiti bez korištenja O.D.Z. U ovom slučaju, verifikacija je obavezan element rješenja.

Primjeri.

Riješite jednačine:

a) log 3 (5x – 1) = 2.

Rješenje:

ODZ: 5x – 1 > 0; x > 1/5.
log 3 (5x– 1) = 2,
log 3 (5x – 1) = log 3 3 2,
5x - 1 =9,
x = 2.























1 od 22

Opis prezentacije po pojedinačnim slajdovima:

Slajd br. 1

Naučni priručnik o algebri Tema: „Logaritmički i eksponencijalne jednačine i nejednakosti" Završio: Manuilova L.N. - nastavnik matematike, MBOU Srednja škola br. 76, Izhevsk, Udmurtia

Slajd broj 2

Sadržaj: Poglavlje 1. 1.1. Pojam logaritma 1.2. Svojstva logaritma 1.3. Logaritamske jednadžbe A. Teorijski dio B. Primjeri 1.4. Logaritamske nejednakosti A. Teorijski dio B. Primjeri Poglavlje 2. 2.1. Potencija pozitivnog broja je 2,2. Eksponencijalna funkcija 2.3. Eksponencijalne jednadžbe A. Teorijski dio B. Primjeri 2.4. Eksponencijalne nejednakosti A. Teorijski dio B. Primjeri Poglavlje 3. 3.1. Test na temu “Logaritamske jednačine i nejednačine” I nivo složenosti II nivo složenosti III nivo složenosti 3.2. Test na temu “Eksponencijalne jednačine i nejednačine” I nivo složenosti II nivo složenosti III nivo složenosti

Slajd br.3

1.1 Koncept logaritma y x y = b b M 1 0 n y = ax (a > 1) x y = ax (0< a < 1) y= b M 1 0 b у Для любого положительного числа b существует, и притом только одно, число n, такое, что b = an . Это число называют логарифмом числа b по основанию a. n Логарифмом положительного числа b по основанию a (a >0, a ≠ 0) je broj n takav da je b = an Logaritam pozitivnog broja b prema bazi a (a > 0,a ≠ 1) označava se na sljedeći način: n = loga b Iz definicije logaritma očito slijedi da za a > 0 , a ≠ 1, b > 0: a loga b = b

Slajd broj 4

Logaritamska funkcija y y x x 1 2 2 1 1 1 -1 -1 2 2 -2 -2 3 0 0 y = log2 x y = log3 x y = log⅓x y = log½x Funkcija y = loga x se naziva logaritamska funkcija. Svojstva funkcije y = loga x, za a > 0: Kontinuirana i rastuća na intervalu (0;+∞); Ako je x→+∞, onda y→+∞; ako je x→0, onda y→ -∞. Pošto je loga1=0, onda iz svojstva 1 slijedi: ako je x > 1, onda je y > 0; ako je 0< х < 1 ,то у < 0. Свойства функции y = loga x, при 0 < a < 1: Непрерывна и убывает на промежутке (0;+∞); Если х→ +∞, то у→ -∞; если х→0, то у→+∞. Так как loga1=0, то из свойства 1 следует: если х >1, zatim y< 0; если 0 < х < 1 ,то у >0.

Slajd br.5

Neka su a, M i N pozitivni brojevi, sa a ≠ 1, a k je realan broj. Tada su tačne sljedeće jednakosti: 1. loga (M·N) = loga M + loga N - Logaritam proizvoda pozitivnih brojeva jednak je zbiru logaritama ovih brojeva. 2. loga M = loga M – loga N - Logaritam količnika pozitivnih brojeva N jednak je razlici između logaritama dividende i djelitelja. 3. loga Mk = k · loga M - Logaritam stepena pozitivnog broja jednak je proizvodu eksponenta i logaritma ovog broja. 4. loga M = logb M → loga b = 1 - Formula za pretvaranje logaritama iz jednog logb a logb a baze u drugi. Pojedinačni slučajevi: 1. log10 b = log b - Logaritam pozitivnog broja b na osnovu 10 se naziva decimalni logaritam brojevi b. 2. loge b = ln b - Logaritam pozitivnog broja b prema bazi e se naziva prirodni logaritam brojevi b 1.2 Svojstva logaritama

Slajd broj 6

1. Neka je a dati pozitivan broj koji nije jednak 1, b je dati realni broj. Tada se jednačina loga x = b naziva najjednostavnija logaritamska jednačina. Na primjer, jednačine a) log3 x = 3 ; (1) b) log⅓ x = -2 ; (2) c) log25 x + 5·log4 x·log3 x + 7·log22 x = 0 ; (3) su najjednostavnije logaritamske jednadžbe. Prema definiciji logaritma, ako broj x0 zadovoljava numeričku jednakost loga x = b, tada je broj x0 ab, a ovaj broj x0 = ab je jedini. Dakle, za bilo koga pravi broj b jednačina loga x = b ima jedan korijen x0 = ab . 2. Jednačine koje se nakon zamjene nepoznatog pretvaraju u najjednostavnije logaritamske jednačine: a) log5 (4x – 3) = 2; (4) b) 2 + 1 = -1 ; (5) log(3x + 1) + log0.01 log(3x + 1) 1.3 Jednačine (teoretski dio)

Slajd broj 7

1.3 Primjeri log3 x = 3 Prepišimo jednačinu u obliku: log3 x = log3 27 Tada je očigledno da ova jednačina ima jedan korijen x0 = 27. Odgovor: 27. b) log1/3 x = -2 Ova jednačina ima jedan korijen x0 = ( ⅓)-2 =9 Odgovor: 9. c) log25 x + 5 · log4 x · log3 x + 7 · log22 x = 0 (1) Svodeći sve logaritme na istu bazu, prepisujemo jednačina kao: 1 + 5 + 7 = 0 (2) log25 x · log5 4 · log5 3 log25 2 Pošto je svaki član sume u zagradi pozitivan, zbir nije jednak nuli. Prema tome, jednačina (1), a samim tim i jednačina (2), su ekvivalentne jednačini log25 x = 0, koja ima jedan korijen x0 = 1. Dakle, jednačina (1) ima jedan korijen x0 = 1. Odgovor: 1 . a, b – najjednostavnije jednačine; c je jednadžba koja se nakon transformacija pretvara u najjednostavniji log. jednačina

Slajd broj 8

1.3 Primjeri a) log5 (4x – 3) = 2 (1) Uvodeći novo poznato t = 4x – 3, prepisujemo jednačinu u obliku: log5 t = 2. Ova jednačina ima jedan korijen t1 = 52 =25. Da biste pronašli korijen jednačine (1), trebate riješiti jednačinu: 4x – 3 = 25. (2) Ima jedan korijen x1 =7. Dakle, jednačina (1) također ima jedan korijen x1=7. Odgovor: 7. b) 2 + 1 = -1 (1) log(3x + 1) + log0.01 log(3x + 1) Uvodeći novu nepoznatu t = log (3x + 1) i uzimajući u obzir da je log 0,01 = -2, prepisujemo jednačinu (1) u obliku: 2 + 1 = -1 (2) t - 2 t Nakon što smo riješili racionalnu jednačinu (2), nalazimo da ona ima dva korijena t1 = -2 i t2 = 1. Da biste pronašli sve korijene jednačine (1), potrebno je kombinirati korijene dvije jednačine log(3x + 1) = -2 i log(3x + 1) = 1. Prva jednačina je ekvivalentna jednadžbi 3x + 1 = 10-2, koji ima jedan korijen x1 = -0,33. Druga jednačina je ekvivalentna jednačini 3x + 1 = 10, koja također ima jedan korijen x2 = 3. Odgovor: -0,33 ; 3. a, b – jednačine svedene na najjednostavnije zamjenom nepoznate

Slajd broj 9

1.4 Nejednačine (teorijski dio) Neka je a dati pozitivan broj koji nije jednak 1, b je dati realni broj. Tada su nejednačine: loga x > b (1) loga x< b (2) являются простейшими logaritamske nejednakosti. Nejednačine (1) i (2) se mogu prepisati kao: loga x > loga x0 (3) loga x< loga x0 (4) , где x0 = ab . Если a >1, tada funkcija y = loga x raste u cijelom svom domenu definicije, tj. na intervalu (0;+∞). Dakle, za bilo koji broj x > x0 to je tačno numerička nejednakost loga x > loga x0 , i za bilo koji broj x iz intervala 0< x < x0 справедливо числовое неравенство logа x < logа x0 . Кроме того, равенство logа x = logа x0 справедливо лишь при х = х0 . Таким образом, при а >1 i bilo kojeg realnog broja b, skup svih rješenja nejednakosti (3) je interval (x0 ;+ ∞), a skup svih rješenja nejednakosti (4) je interval (0; x0). Ako je 0< a < 1, то функция y = loga х убывает. Поэтому для любого числа x >x0 numerička nejednakost loga x je tačna< loga x0 , а для любого числа х из промежутка 0 < x < x0 справедливо числовое неравенство loga x >loga x0 . Osim toga, jednakost loga x = loga x0 vrijedi samo za x = x0. Dakle, na 0< a < 1 и любом действительном числе b множество всех решений неравенства (3) есть интервал (0; х0) , а множество всех решений неравенства (4) есть интервал (х0 ;+∞).

Slajd br.10

1.4 Nejednakosti (teorijski dio) Uklj koordinatna ravan xOy razmotriti grafove funkcije y = loga x i y = b. Prava linija y = b siječe grafik funkcije y = loga x u jednoj tački x0 = ab. Ako je a > 1, tada se za svako x > x0 odgovarajuća tačka na grafu funkcije y = loga x nalazi iznad prave linije y = b, tj. za svaki x > x0 odgovarajuća ordinata y = ax je veća od ordinate ax0, a za svaki x iz intervala 0< x < x0 соответствующая точка графика функции y = loga x находится ниже прямой y = b. Если же 0 < a <1, то, наоборот, для каждого x >x0 odgovarajuća tačka na grafiku funkcije y = loga x je ispod prave linije y = b, a za svaki x od intervala 0< x < x0 соответствующая точка графика функции y = loga x находится выше прямой y = b. у у х х 1 1 1 1 х0 0 0 y = b y = loga x (a >1) y = b y = loga x (0< a < 1) х0

Slajd broj 11

1.4 Primjeri Riješimo nejednakost log1/3 x > -2. (1) Kako je -2 = log⅓ 9, onda se nejednakost (1) može prepisati kao log ⅓x > log ⅓ 9 (2) Pošto je ⅓< 1, то функция y = log⅓ x убывающая. Поэтому множество всех решений неравенства (2), а значит и неравенства (1), есть интервал 0 < x <9. Ответ: (0;9). 2. Решим неравенство log4 x >½. (3) Kako je ½ = log4 2, onda se nejednakost (3) može prepisati kao log4 x > log4 2 (4) Pošto je 4 > 1, funkcija y = log4 x raste. Dakle, skup svih rješenja nejednakosti (4), a samim tim i nejednakosti (3), je interval (2;+∞). Odgovor: (2;+∞). (vidi sliku 1) x y 1 2 3 4 1 -1 0 Slika 1 y = ½ y = log4 x

Slajd br.12

1.4 Primjeri Riješimo nejednakost log3 x – 3log9 x – log81 x > 1.5. (5) Pošto je log9 x = (log3 x) / (log3 9) = (log3 x) / 2 = ½ (log3 x), log81 x = (log3 x) / (log3 81) = (log3 x) / 4 = ¼ (log3 x), tada se nejednakost (5) može prepisati kao: (1 – 1,5 – ¼) log3 x > 1,5 ili kao log3 x< log3 1/9. (6) Так как 3 >1, tada funkcija y = log3 x raste. Stoga je skup svih rješenja nejednakosti (6), a time i nejednakosti (5), interval 0< x < 1/9 (рис.2) Ответ: (0 ; 1/9). y x 1 2 0 -1 y = log3 x y = -2 (рис.2) 1/9

Slajd broj 13

2.1 Potencija pozitivnog broja Potencija c racionalni indikator Neka je a pozitivan broj i neka je p/q racionalni broj(q ≥ 2). Po definiciji, broj a na stepen p/q je aritmetički korijen stepena q od a na stepen p, tj. a p/q = q√ap . TEOREMA. Neka je a pozitivan broj, p cijeli broj, k i q cijeli brojevi, q ≥ 2, k ≥ 2. Tada su tačne jednakosti: a) ap/q = (a1/p)p ; b) ap/q = a pk /qk ; c) ap = a pq /q ; Svojstva stepena sa racionalnim eksponentom TEOREMA 1. Pozitivan broj a u stepenu sa bilo kojim racionalnim eksponentom r je pozitivan: ar > 0 TEOREMA 2. Neka je a pozitivan broj, a r1, r2 i r su racionalni brojevi. Tada su tačna sljedeća svojstva: 1. Prilikom množenja stepena sa racionalnim eksponentima istog pozitivnog broja, eksponenti sabiraju: ar1 ∙ ar2 = ar1 + r2. 2. Prilikom dijeljenja stepena sa racionalnim eksponentima istog pozitivnog broja, eksponenti se oduzimaju: ar1: ar2 = ar1 – r2. 3. Kada se stepen sa racionalnim eksponentom pozitivnog broja podiže na racionalni stepen, eksponenti se množe: (a r1) r2 = a r1∙ r2. TEOREMA 3. Neka su a i b pozitivni brojevi, a r racionalni broj. Tada vrijede sljedeće osobine stepena sa racionalnim eksponentom: Stepen sa racionalnim eksponentom proizvoda pozitivnih brojeva jednak je proizvodu istih potencija faktora: (ab)r = ar ∙ br . Potencija s racionalnim eksponentom količnika pozitivnih brojeva jednaka je količniku istih potencija dividende i djelitelja: (a / b)r = ar / br. TEOREMA 4. Neka je broj a > 1, a r je racionalan broj. Tada je ar > 1 za r > 0 0< ar < 1 при r < 0 ТЕОРЕМА 5. Пусть число a >1, a racionalni brojevi r1 i r2 zadovoljavaju nejednakost r1< r2 . Тогда a r1 < a r2 . ТЕОРЕМА 6. Пусть число a принадлежит интервалу (0;1), а рациональные числа r1 и r2 удовлетворяют неравенству r1< r2 . Тогда a r1 < a r2 .

Slajd broj 14

2.2 Eksponencijalna funkcija Razmotrimo funkciju y = a (1) , gdje je a > 0 i a ≠ 0, na skupu racionalnih brojeva. Za svaki racionalni broj r definiran je broj ar. Ovako je za sada definirana funkcija (1) na skupu racionalnih brojeva. Graf ove funkcije u koordinatnom sistemu x0y je skup tačaka (x; ax), gdje je x bilo koji racionalni broj. Za a > 1, ovaj grafikon je shematski prikazan na slici (1), a za 0< a < 1 – на рисунке (2). у у x x 1 2 1 2 3 -2 -1 -2 -1 0 1 1 2 2 Рис. 1 Рис. 2 Её называют eksponencijalna funkcija sa bazom a.

Slajd broj 15

2.3 Eksponencijalne jednadžbe (Teorijski dio) 1. Neka je a dati pozitivan broj koji nije jednak 1, a b dati realni broj. Tada se jednačina ax = b (1) naziva najjednostavnija eksponencijalna jednačina. Na primjer, jednačine 2x = 8, (1/3)x = 9, 25x = -25 su najjednostavnije eksponencijalne jednačine. Korijen (ili rješenje) jednadžbe s nepoznatim x je broj x0, kada ga zamijenimo u jednačinu umjesto x, dobije se ispravna brojčana jednakost. Rješavanje jednadžbe znači pronaći sve njene korijene ili pokazati da ih nema. Pošto je ax0 > 0 za bilo koji realan broj x0 za koji bi numerička jednakost ax0 = b bila tačna, jedinstveni broj x0 = loga b zadovoljava. Dakle, jednačina (1): Za b ≤ 0 nema korijena; Za b > 0, ima jedan korijen x0 = loga b. 2. Jednačine koje se, nakon zamjene nepoznatog, pretvaraju u najjednostavnije eksponencijalne jednačine.

Slajd broj 16

2.3 Primjeri Riješimo jednačinu (1/2)x = 2 (2) Pošto je 2 > 1, ova jednačina ima jedan korijen x0 = log½ 2 = -1. Odgovor: -1. Rešimo jednačinu 3x = 5 (3) Pošto je 5 > 0, ova jednačina ima jedan koren x0 = log3 5. Odgovor: log3 5. Riješi jednačinu 25x = -25 Pošto je -25< 0, то это уравнение не имеет корней. Ответ: нет корней. Для отыскания корня уравнения ax = b (1) при b >0 ova jednačina se često piše kao ax = aα, gdje je α = loga b. Tada je očito da je jedini korijen ove jednačine, a samim tim i jednačine (1), broj α. Kako se jednačina (2) može napisati u obliku (1/2)x = (1/2)-1, tada je njen jedini korijen x0 = -1. Kako se jednačina (3) može napisati kao 3x = 3log 35, njen jedini korijen je x0 = log3 5.

Slajd broj 17

2.3 Primjeri Pogledajmo sada jednadžbe koje se nakon jednostavnih transformacija pretvaraju u jednostavne eksponencijalne jednačine. Rešimo jednačinu 5x+2 - 2 5x - 3 5x+1 = 200 (4) Kako je 5x+2 = 25 5x, 5x+1 = 5 5x, onda se jednačina (4) može prepisati kao 5x ( 25 - 2 – 15) = 200 ili u obliku 5x = 52 (5) Očigledno je da jednačina (5), a samim tim i jednačina (4), imaju jedan korijen x0 = 2. Odgovor: 2. Riješite jednačinu 4 3x - 9 2x = 0 (6) Pošto je 2x ≠ 0 za bilo koji realan broj, onda dijeljenjem jednačine (6) sa 2x, dobijamo jednačinu 4 (3/2)x - 9 = 0, (7) ekvivalentno jednačini(6). Jednačina (7) se može prepisati kao (3/2)x = (3/2)2. (8) Kako jednačina (8) ima jedan korijen x0 = 2, onda ekvivalentna jednačina (6) ima jedan korijen x0 = 2. Odgovor: 2.

Slajd broj 18

2.3 Primjeri Rešimo jednačinu 9 2x2-4x + 2 - 2 · 34x2 – 8x + 3 -1 = 0. (9) Nakon što smo prepisali jednačinu (9) u obliku 34x2 – 8x + 3 = 1, uvodimo novu nepoznanicu t = 4x2 – 8x + 3. Tada se jednačina (9) može prepisati u obliku 3t = 1. (10 ) Kako jednačina (10 ) ima jedan korijen t1 = 0, onda je za pronalaženje korijena jednačine (9) potrebno riješiti jednačinu 4x2 – 8x + 3 = 0. Ova jednačina ima dva korijena x1 = 1 /2, x2 = 3/2, pa jednadžba (9) ima isti korijen. Odgovor: 1/2 ; 3/2. Sada razmotrite rješavanje jednadžbi koje se nakon uvođenja nove nepoznate t pretvaraju u kvadratne ili racionalne jednačine sa nepoznatim t. Rešimo jednačinu 4x - 3 2x + 2 = 0. (11) Kako je 4x = (2x)2, onda se jednačina (11) može prepisati kao (2x)2 - 3 2x + 2 = 0. Uvođenjem nove nepoznate t = 2x, dobijamo kvadratna jednačina t2 - 3t + 2 = 0, koji ima dva korijena t1 = 1, t2 = 2. Stoga, da bismo pronašli sve korijene jednadžbe (11), moramo kombinovati sve korijene dvije jednačine 2x = 1 i 2x = 2. Nakon što smo riješili ove jednostavne eksponencijalne jednačine , nalazimo da su svi korijeni jednačine (11) x1 = 0; x2 = 1. Odgovor: 0; 1 .

Slajd broj 19

2.4 Eksponencijalne nejednakosti (Teorijski dio) Neka je a dati pozitivan broj koji nije jednak 1, b je dati realni broj. Tada su nejednačine ax > b (1) i ax< b (2) называют простейшими показательными неравенствами. Например, неравенства: 2x < 3 , (1/3)x >4√3, 25x< -25 являются простейшими показательными неравенствами. Решением неравенства с неизвестным х называют число х0 , при подстановке которого в неравенство вместо х получается верное числовое неравенство. Решить неравенство - значит найти все его решения или показать, что их нет. Поскольку a x0 >0 za bilo koji realan broj x0, tada je za b ≤ 0 nejednakost a x0 > b tačna za bilo koji realni broj x0, ali ne postoji niti jedan realan broj x0 za koji bi numerička nejednakost a x0 bila tačna< b . Таким образом, если b ≤ 0 , то множество всех решений неравенства (1) есть интервал (-∞;+∞), а неравенство (2) решений не имеет. Если же b >0, onda se nejednakost (1) i (2) može prepisati kao ax > ax0 (1) i ax< ax0 , (2) , где х0 = loga b. Рассмотрим решение неравенств (3) и (4) сначала при а >1. Kako je za takvu funkciju y = ax rastuća, onda je za bilo koji broj x > > ax0 i za bilo koji broj x > x0 tačna numerička nejednakost ax< ax0 . Кроме того, равенство ax = ax0 справедливо лишь при х = x0 .

Slajd broj 20

2.4 Eksponencijalne nejednakosti (teorijski dio) Dakle, za b > 0 i a > 1, skup svih rješenja nejednakosti (3) je interval (x0 ;+∞), a skup svih rješenja nejednačine (4) je interval (-∞; x0) , gdje je x0 = loga b. Neka sada 0< a < 1. Так как для такого а функция y = aх является убывающей, то для любого числа х >x0 numerička nejednakost ax je tačna< ax0 . Кроме того, равенство ax = ax0 справедливо лишь при х = x0 . Таким образом, при b >0 i 0< a < 1 множество всех решений неравенства (3) есть интервал (-∞; x0), а множество всех решений неравенства (4) есть интервал (x0 ;+∞), где x0 = loga b. Приведенное выше решение простейших показательных неравенств можно дополнить графической иллюстрацией. Рассмотрим графики функций y = aх и y = b. Ясно, что при b ≤ 0 прямая y = b не пересекает график функции y = aх, так как расположена под кривой y = aх (а, б). Поэтому для любых х выполняется неравенство ax >b i nema x za koji je nejednakost ax< b . При b >0 prava linija y = b seče grafik funkcije y = ah u jednoj tački x0 = loga b. 1 y y x x y = 0 y = 0 y = ax (a > 1) 0 1 y = b (b< 0) y = b (b < 0) 1 0 1 y = ax (0 < a < 1) a) б)

Slajd broj 22

2.4 Primjeri Riješite nejednačinu 2x< 8 . (1) Так как 8 >0, onda se nejednakost (1) može prepisati kao 2x< 23. (2) Так как 2 >1, onda je funkcija y = 2x rastuća. Dakle, sva rješenja nejednakosti (2), a samim tim i nejednakosti (1), su x< 3. Ответ: (-∞; 3). Решим неравенство (1/3)х < 5 . (3) Так как 5 >0, onda se ova nejednakost (3) može prepisati kao (1/3) x< (1/3) log⅓ 5 . (4) Так как 0 < 1/3 < 1, то функция y = (1/3)x убывающая. Поэтому решениями неравенства (4), а значит и неравенства (3), являются все х >log⅓5. Odgovor: (log⅓ 5; +∞). Razmotrimo nejednakost koja se nakon zamjene nepoznatog pretvara u najjednostavniju eksponencijalna nejednakost. Riješimo nejednačinu 5 3x2 - 2x – 6< 1/5 . (5) Введя новое неизвестное t = 3x2 - 2x – 6, перепишем неравенство (5) в виде 5t < 5-1 . Так как 5 >1, onda su sva rješenja ove nejednakosti t< -1. следовательно, все решения неравенства (5) есть решения неравенства 3x2 - 2x – 6 < -1. (6) Решив kvadratna nejednakost(6), nalazimo sva njegova rješenja: -1< x < 5/3 . Они являются решениями неравенства (5). Ответ: (-1 ; 5/3).

  • osigurati ponavljanje, generalizaciju, sistematizaciju materijala na temu;
  • stvaraju uslove za kontrolu i samokontrolu stečenih znanja i vještina;
  • promovirati formiranje vještina primjene tehnika: poređenje, generalizacija, isticanje glavne stvari, prenošenje znanja u novu situaciju, razvijanje matematičkog pogleda;
  • stvoriti uslove za razvoj kognitivnog interesovanja učenika;
  • negovati odgovornost za kvalitet i rezultat obavljenog rada na času, matematičku aktivnost, sposobnost grupnog rada i opštu kulturu.
  • Pregledajte teorijski materijal. Obratite posebnu pažnju na ODZ logaritamske funkcije.
  • Sistematizirati metode za rješavanje logaritamskih jednačina.
  • Sprovesti dijagnostiku znanja.

Tip časa: čas generalizacije i sistematizacije znanja.

Format lekcije: radionica

Oprema: udžbenik, nastavni materijali, individualni kartoni za samostalan rad, listovi za zapis znanja, medijski projektor.

Tokom nastave

1. Organizacioni momenat

Učenici se upoznaju sa temom časa i ciljevima, te se naglašava važnost ponavljanja ove teme za pripremu za Jedinstveni državni ispit.

2. Provjera domaćeg zadatka

3. Ažuriranje prethodnog znanja

Učenici usmeno rade vježbe prikazane na platnu koristeći projektor.

Izračunati

1 opcija

2)

Opcija 2

2)

3)

5)

4. Formiranje vještina i sposobnosti.

Rad u grupama nakon čega slijedi testiranje.

1) Rješavanje logaritamskih jednadžbi definiranjem logaritma.


Odgovori:

Odgovori: 256

2) Jednačine riješene potenciranjem.

Prvo morate riješiti jednačinu sistema, a na osnovu nejednakosti sistema odabiru se korijeni.


Odgovori: 3
Odgovori: 3,5

Jednačine rješavane zamjenom.

odgovor:

Ova jednačina je ekvivalentna jednačini

Neka bude onda

odgovor:

Jednačine riješene logaritmom.

.

=Dakle Odgovori: 0,1; 10..

ODZ: x. Uzmimo logaritme obje strane na bazu 10.

Gdje

Odgovor: 1; 4.

Jednačine oblika

Ova jednadžba je ekvivalentna jednadžbi za

.

DZ je određen sistemom

DZ je određen sistemom

Odgovor: ( (0;)

Jednačine se rješavaju korištenjem različitih svojstava logaritama.

Primjenom formule dobijamo

Zamjenom ovih x vrijednosti u originalnu jednadžbu vidimo da je to korijen jednadžbe, a 0,1 nije korijen jednadžbe.

odgovor:

One jednačine koje su stvarale poteškoće učenicima rješavaju na tabli učenici koji su ih završili.

5. Fizički minut

Sklopili su ruke u „bravu“, ispružili ih ispred sebe, podigli ih i dobro se protegnuli. Doktori kažu da se u ovom trenutku oslobađa "enzim sreće".

6. Samostalan rad

(Slajd po ekranu i kartice za svakog učenika). Od učenika se traži da procijene svoje sposobnosti i odaberu nivo zadatka A, B ili C.

Nakon završenog rada studenti ga predaju na provjeru. Odgovori i kratko rješenje se prikazuju na ekranu. Studenti se podstiču da provjere i ocjenjuju svoj rad dodjeljivanjem ocjene za samostalan rad.

6. Domaći

Ponovite P.6.2, 6.3. D.M. C – 21 br. 2 (b, c), br. 3 (d, e) opcije 3 i 4.

7. Sažetak lekcije

Dakle, danas smo rješavali logaritamske jednačine. Sada da sumiramo koje smo metode koristili za rješavanje jednačina:

  • koristeći definicija logaritma,
  • koristeći osnovni logaritamski identitet,
  • koristeći metodu potenciranja,
  • uvođenje nove varijable,
  • prijelaz iz jednačine sa iz različitih razloga na jednu bazu
  • koristeći svojstva logaritma.

Davanje ocena na osnovu broja „+“ u svesci, za rešenje na tabli i na karticama. Utvrđivanje učinka učenika.

Naša lekcija je došla do kraja. Jesmo li postigli svoje ciljeve?

Vrijeme neopaženo leti, danas ste deseti razred, a sutra ste već maturanti. Kada se spremate za ispit, nikada nemojte misliti da se nećete nositi sa zadatkom, već, naprotiv, mentalno slikajte sebi sliku uspjeha i tada ćete sigurno uspjeti!

književnost:

  1. Nikolsky S.M., Potapov M.K., Reshetnikov N.N., Shevkin A.V.. Algebra i početak matematičke analize. 10. razred. Tutorial za obrazovne institucije: osnovni i nivoi profila. – M., 2009
  2. Potapov M.K., Shevkin A.V.. Algebra i početak matematičke analize. Didaktički materijali za 10. razred. – M., 2009.
  3. Shepeleva Yu.V.. Algebra i početak matematičke analize. Tematski i završni testovi za 10. razred. – M., 2009.
  4. Lysenko F.F.. Jedinstveni državni ispit iz matematike-2009. Legion. – M., 2009.
  5. Klovo A.G.. Jedinstveni državni ispit iz matematike-2010 - M., 2010.
  6. Erina T.M. Algebra. Logaritamske jednačine i nejednačine - M, 2004.

1 opcija

    1. Pronađite proizvod korijena jednadžbe: log π (x 2 + 0,1) = 0
    1) - 1,21; 2) - 0,9; 3) 0,81; 4) 1,21.
    2. Navedite interval kojem pripadaju korijeni jednadžbe: log 0,5 (x - 9) = 1 + log 0,5 5
    1) (11; 13); 2) (9; 11); 3) (-12; -10); 4) [ -10; -9 ].
    3. Navedite interval kojem pripada korijen jednadžbe log 4 (4 - x) + log 4 x = 1
    1) (-3; -1); 2) (0; 2); 3) [ 2; 3 ]; 4) [ 4; 8 ].
    4. Pronađite zbir korijena jednačine log √3 x 2 = log √3 (9x - 20)
    1) - 13; 2) - 5; 3) 5; 4) 9.
    5. Označite interval kojem pripada korijen jednačine log 1/3 (2x - 3) 5 = 15
    1) [ -3; 2); 2) [ 2; 5); 3) [ 5; 8); 4) [ 8; 11).
    6. . Navedite interval kojem pripada korijen jednadžbe lg (x + 7) - log (x + 5) = 1
    1) (-∞; -7); 2) (-7; -5); 3) (-5; -3); 4) (0; +∞).
    7. Riješite log nejednakosti 3 (4 - 2x) >= 1
    1) (-∞; 0,5 ]; 2) (-∞; 2 ]; 3) [ 2; + ∞); 4) [ 0,5; + ∞).
    8. Riješite nejednakost log π (3x + 2)<= log π (х - 1)
    1) (-2/3; + ∞); 2) (-∞; - 2/3 ]; 3) [ -1,5; - 2/3 ]; 4) nema rješenja.
    9. Riješite log nejednakosti 1/9 (6 - 0,3x) > -1
    1) (-10; +∞); 2) (-∞; -10); 3) (-10; 20); 4) (-0,1; 20).
    10. Pronađite broj cjelobrojnih negativnih rješenja nejednakosti lg (x + 5)<= 2 - lg 2
    15; 2) 4; 3) 10; 4) nijedan

Opcija 2

    1. Pronađite proizvod korijena jednadžbe: lg (x 2 + 1) = 1
    1) - 99; 2) - 9; 3) 33; 4) -33.
    2. Navedite interval kojem pripada korijen jednadžbe log 4 (x - 5) = log 25 5
    1) (-4; -2); 2) (6; 8); 3) (3; 6); 4) [ -8; -6 ].
    3. Navedite interval kojem pripada korijen jednadžbe log 0,4 (5 - 2x) - log 0,4 2 = 1
    1) (-∞; -2); 2) [ -2; 1 ]; 3) [ 1; 2 ]; 4) (2; +∞).
    4. Pronađite zbir korijena jednačine log (4x - 3) = 2 log x
    1) - 2; 2) 4; 3) -4; 4) 2.
    5. Navedite interval kojem pripada korijen jednadžbe log 2 (64x²) = 6
    1) [ 5; 7]; 2) [ 9; 11 ]; 3) (3; 5); 4) [ 1; 3 ].
    6. . Označite interval kojem pripada korijen jednadžbe log 2 (x - 1)³ = 6 log 2 3
    1) [ 0; 5); 2) [ 5; 8); 3) [ 8; 11); 4) [ 11; 14).
    7. Riješite log nejednakosti 0,8 (0,25 - 0,1x) > -1
    1) (-∞; 2,5); 2) (-10; 2,5); 3) (2,5; + ∞); 4) (-10; + ∞).
    8. Riješite log nejednakosti 1,25 (0,8x + 0,4)<= - l
    1) (-0,5; + ∞); 2) (-∞; - 0,5 ]; 3) (-0,5; 0,5 ]; 4) (-2; 2 ] .
    9. Riješite log nejednakosti 10/3 (1 - 1,4x)< -1
    1) (0,5; +∞); 2) (-∞; 0,5); 3) (1,4; 2); 4) (0,5; 5/7).
    10. Pronađite broj cjelobrojnih rješenja log nejednakosti 0,5 (x - 2) >= - 2
    15; 2) 4; 3) beskonačno mnogo; 4) nijedan.

Ključ

A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 B1 B2 C1
1 opcija 2 1 3 4 1 3 1 4 3 2
Opcija 2 2 2 4 2 4 3 2 3 4 2