- (matematika.) Funkcija y = f (x) se poziva čak i ako se ne mijenja kada nezavisna varijabla mijenja samo predznak, odnosno ako je f (x) = f (x). Ako je f (x) = f (x), onda se funkcija f (x) naziva neparnom. Na primjer, y = cosx, y = x2... ...
F(x) = x je primjer neparne funkcije. f(x) = x2 je primjer parne funkcije. f(x) = x3 ... Wikipedia
Funkcija koja zadovoljava jednakost f (x) = f (x). Pogledajte parne i neparne funkcije... Velika sovjetska enciklopedija
F(x) = x je primjer neparne funkcije. f(x) = x2 je primjer parne funkcije. f(x) = x3 ... Wikipedia
F(x) = x je primjer neparne funkcije. f(x) = x2 je primjer parne funkcije. f(x) = x3 ... Wikipedia
F(x) = x je primjer neparne funkcije. f(x) = x2 je primjer parne funkcije. f(x) = x3 ... Wikipedia
F(x) = x je primjer neparne funkcije. f(x) = x2 je primjer parne funkcije. f(x) = x3 ... Wikipedia
Specijalne funkcije koje je uveo francuski matematičar E. Mathieu 1868. pri rješavanju zadataka o oscilaciji eliptične membrane. M. f. se takođe koriste u proučavanju širenja elektromagnetnih talasa u eliptičnom cilindru... Velika sovjetska enciklopedija
Zahtjev za "grijeh" je preusmjeren ovdje; vidi i druga značenja. Zahtjev "sec" se preusmjerava ovdje; vidi i druga značenja. Zahtjev "Sine" se preusmjerava ovdje; vidi i druga značenja... Wikipedia
Zavisnost varijable y od varijable x, u kojoj svaka vrijednost x odgovara jednoj vrijednosti y, naziva se funkcija. Za označavanje koristite oznaku y=f(x). Svaka funkcija ima niz osnovnih svojstava, kao što su monotonost, parnost, periodičnost i druga.
Pogledajte bliže svojstvo pariteta.
Funkcija y=f(x) se poziva čak i ako zadovoljava sljedeća dva uslova:
2. Vrijednost funkcije u tački x, koja pripada domeni definicije funkcije, mora biti jednaka vrijednosti funkcije u tački -x. To jest, za bilo koju tačku x mora biti zadovoljena sljedeća jednakost iz domena definicije funkcije: f(x) = f(-x).
Grafikon parne funkcije
Ako nacrtate graf parne funkcije, on će biti simetričan u odnosu na Oy os.
Na primjer, funkcija y=x^2 je parna. Hajde da to proverimo. Domen definicije je cijela numerička osa, što znači da je simetrična oko tačke O.
Uzmimo proizvoljan x=3. f(x)=3^2=9.
f(-x)=(-3)^2=9. Stoga je f(x) = f(-x). Dakle, oba uslova su ispunjena, što znači da je funkcija parna. Ispod je graf funkcije y=x^2.
Slika pokazuje da je graf simetričan u odnosu na Oy os.
Grafikon neparne funkcije
Funkcija y=f(x) naziva se neparnom ako zadovoljava sljedeća dva uslova:
1. Područje definicije date funkcije mora biti simetrično u odnosu na tačku O. To jest, ako neka tačka a pripada domeni definicije funkcije, tada odgovarajuća tačka -a također mora pripadati domeni definicije date funkcije.
2. Za bilo koju tačku x, iz domena definicije funkcije mora biti zadovoljena sljedeća jednakost: f(x) = -f(x).
Graf neparne funkcije je simetričan u odnosu na tačku O - ishodište koordinata. Na primjer, funkcija y=x^3 je neparna. Hajde da to proverimo. Domen definicije je cijela numerička osa, što znači da je simetrična oko tačke O.
Uzmimo proizvoljan x=2. f(x)=2^3=8.
f(-x)=(-2)^3=-8. Stoga je f(x) = -f(x). Dakle, oba uslova su ispunjena, što znači da je funkcija neparna. Ispod je graf funkcije y=x^3.
Slika jasno pokazuje da je neparna funkcija y=x^3 simetrična u odnosu na ishodište.
Nazad napred
Pažnja! Pregledi slajdova služe samo u informativne svrhe i možda ne predstavljaju sve karakteristike prezentacije. Ako ste zainteresovani za ovaj rad, preuzmite punu verziju.
Ciljevi:
- formiraju koncept parnosti i neparnosti funkcije, podučavaju sposobnost određivanja i upotrebe ovih svojstava kada istraživanje funkcije, crtanje;
- razvijati kreativno aktivnost učenika, logičko razmišljanje, sposobnost poređenja, generalizacije;
- neguju marljiv rad i matematičku kulturu; razviti komunikacijske vještine .
Oprema: multimedijalna instalacija, interaktivna tabla, materijali.
Oblici rada: frontalni i grupni sa elementima aktivnosti pretraživanja i istraživanja.
Izvori informacija:
1. Algebra 9. razred A.G. Mordkovich. Udžbenik.
2. Algebra 9. razred A.G. Mordkovich. Knjiga problema.
3. Algebra 9. razred. Zadaci za učenje i razvoj učenika. Belenkova E.Yu. Lebedintseva E.A.
TOKOM NASTAVE
1. Organizacioni momenat
Postavljanje ciljeva i zadataka za lekciju.
2. Provjera domaćeg
br. 10.17 (knjiga zadataka 9. razreda. A.G. Mordkovich).
A) at = f(X), f(X) = 
b) f (–2) = –3; f (0) = –1; f(5) = 69;
c) 1. D( f) = [– 2; + ∞)
2. E( f) = [– 3; + ∞)
3. f(X) = 0 at X ~ 0,4
4. f(X) >0 at X > 0,4 ; f(X)
< 0 при – 2 <
X <
0,4.
5. Funkcija se povećava sa X € [– 2; + ∞)
6. Funkcija je ograničena odozdo.
7. at naim = – 3, at naib ne postoji
8. Funkcija je kontinuirana.
(Jeste li koristili algoritam za istraživanje funkcija?) Slajd.
2. Provjerimo tabelu koja vam je postavljena sa slajda.
| Popunite tabelu | |||||
Domain |
Funkcija nule |
Intervali konstantnosti znaka |
Koordinate tačaka preseka grafa sa Oy | ||
 |
x = –5, |
x € (–5;3) U |
x € (–∞;–5) U |
||
 |
x ∞ –5, |
x € (–5;3) U |
x € (–∞;–5) U |
||
x ≠ –5, |
x € (–∞; –5) U |
x € (–5; 2) |
|||
3. Ažuriranje znanja
– Funkcije su date.
– Odredite opseg definicije za svaku funkciju.
– Usporedite vrijednost svake funkcije za svaki par vrijednosti argumenata: 1 i – 1; 2 i – 2.
– Za koju od ovih funkcija u domenu definicije vrijede jednakosti f(– X)
= f(X), f(– X) = – f(X)? (unesite dobijene podatke u tabelu) Slajd
| f(1) i f(– 1) | f(2) i f(– 2) | grafika | f(– X) = –f(X) | f(– X) = f(X) | ||
| 1. f(X) = | ||||||
| 2. f(X) = X 3 | ||||||
| 3. f(X) = | X | | ||||||
| 4.f(X) = 2X – 3 | ||||||
| 5. f(X) = | X ≠ 0 |
|||||
| 6. f(X)= | X > –1 | i nije definisano |
– Dok smo radili ovaj posao, momci, identifikovali smo još jedno svojstvo funkcije, vama nepoznato, ali ništa manje važno od ostalih – to je parnost i neparnost funkcije. Zapišite temu lekcije: "Parne i neparne funkcije", naš zadatak je naučiti odrediti parnost i neparnost funkcije, saznati značaj ove osobine u proučavanju funkcija i crtanju grafova.
Dakle, pronađimo definicije u udžbeniku i pročitajmo (str. 110) . Slajd
Def. 1 Funkcija at = f (X), definisan na skupu X se poziva čak, ako za bilo koju vrijednost XÊ X se izvršava jednakost f(–x)= f(x). Navedite primjere.
Def. 2 Funkcija y = f(x), definisan na skupu X se poziva odd, ako za bilo koju vrijednost XÊ X važi jednakost f(–h)= –f(h). Navedite primjere.
Gdje smo se susreli s pojmovima „parno“ i „neparno“?
Šta mislite koja će od ovih funkcija biti parna? Zašto? Koji su čudni? Zašto?
Za bilo koju funkciju obrasca at= x n, Gdje n– cijeli broj, može se tvrditi da je funkcija neparna kada n– neparan i funkcija je parna kada n– čak.
– Pregledajte funkcije at= i at = 2X– 3 nisu ni parne ni neparne, jer jednakosti nisu zadovoljene f(– X) = – f(X), f(–
X) = f(X)
Studija o tome da li je funkcija parna ili neparna naziva se proučavanjem parnosti funkcije. Slajd
U definicijama 1 i 2 govorili smo o vrijednostima funkcije na x i – x, pri čemu se pretpostavlja da je funkcija također definirana na vrijednosti X, i na – X.
Def 3. Ako set brojeva zajedno sa svakim svojim elementom x sadrži i suprotni element –x, zatim skup X nazvan simetričnim skupom.
primjeri:
(–2;2), [–5;5]; (∞;∞) su simetrični skupovi, a , [–5;4] su asimetrični.
– Imaju li parne funkcije domen definicije koji je simetričan skup? Oni čudni?
– Ako je D( f) je asimetričan skup, koja je onda funkcija?
– Dakle, ako je funkcija at = f(X) – paran ili neparan, tada je njegov domen definicije D( f) je simetričan skup. Da li je istinita obrnuta izjava: ako je domen definicije funkcije simetričan skup, da li je onda paran ili neparan?
– To znači da je prisustvo simetričnog skupa domena definicije neophodan uslov, ali ne i dovoljan.
– Dakle, kako ispitati funkciju na paritet? Pokušajmo napraviti algoritam.
Slajd
Algoritam za proučavanje funkcije za paritet
1. Odrediti da li je domen definicije funkcije simetričan. Ako nije, onda funkcija nije ni parna ni neparna. Ako jeste, onda idite na korak 2 algoritma.
2. Napišite izraz za f(–X).
3. Uporedite f(–X).I f(X):
- Ako f(–X).= f(X), tada je funkcija parna;
- Ako f(–X).= – f(X), tada je funkcija neparna;
- Ako f(–X) ≠ f(X) I f(–X) ≠ –f(X), tada funkcija nije ni parna ni neparna.
primjeri:
Ispitati funkciju a) radi pariteta at= x 5 +; b) at= ; V) at= .
Rješenje.
a) h(x) = x 5 +,
1) D(h) = (–∞; 0) U (0; +∞), simetričan skup.
2) h (– x) = (–x) 5 + – x5 –= – (x 5 +),
3) h(– x) = – h (x) => funkcija h(x)= x 5 + neparan.
b) y =,
at = f(X), D(f) = (–∞; –9)? (–9; +∞), asimetričan skup, što znači da funkcija nije ni parna ni neparna.
V) f(X) = , y = f (x),
1) D( f) = (–∞; 3] ≠ ; b) (∞; –2), (–4; 4]?
Opcija 2
1. Da li je dati skup simetričan: a) [–2;2]; b) (∞; 0], (0; 7) ?
A); b) y = x (5 – x 2).
a) y = x 2 (2x – x 3), b) y =
Grafikujte funkciju at = f(X), Ako at = f(X) je parna funkcija.
Grafikujte funkciju at = f(X), Ako at = f(X) je neparna funkcija.
Međusobna provjera slajd.
6. Domaći zadatak: №11.11, 11.21,11.22;
Dokaz geometrijskog značenja svojstva parnosti.
***(Dodjela opcije Jedinstvenog državnog ispita).
1. Neparna funkcija y = f(x) definirana je na cijeloj brojevnoj pravoj. Za bilo koju nenegativnu vrijednost varijable x, vrijednost ove funkcije poklapa se s vrijednošću funkcije g( X) = X(X + 1)(X + 3)(X– 7). Pronađite vrijednost funkcije h( X) = at X = 3.
7. Sumiranje
Ravnomjerna funkcija.
Čak je funkcija čiji se predznak ne mijenja kada se predznak promijeni x.
x jednakost važi f(–x) = f(x). Potpiši x ne utiče na znak y.
Grafikon parne funkcije je simetričan u odnosu na koordinatnu os (slika 1).
Primjeri parne funkcije:
y=cos x
y = x 2
y = –x 2
y = x 4
y = x 6
y = x 2 + x
Objašnjenje:
Uzmimo funkciju y = x 2 ili y = –x 2 .
Za bilo koju vrijednost x funkcija je pozitivna. Potpiši x ne utiče na znak y. Grafikon je simetričan u odnosu na koordinatnu os. Ovo je ravnomjerna funkcija.
Neparna funkcija.
Odd je funkcija čiji se predznak mijenja kada se predznak promijeni x.
Drugim riječima, za bilo koju vrijednost x jednakost važi f(–x) = –f(x).
Grafikon neparne funkcije je simetričan u odnosu na ishodište (slika 2).
Primjeri neparnih funkcija:
y= grijeh x
y = x 3
y = –x 3
Objašnjenje:
Uzmimo funkciju y = – x 3 .
Sva značenja at imaće znak minus. To je znak x utiče na znak y. Ako je nezavisna varijabla pozitivan broj, onda je funkcija pozitivna, ako je nezavisna varijabla negativan broj, tada je funkcija negativna: f(–x) = –f(x).
Grafikon funkcije je simetričan u odnosu na ishodište. Ovo je čudna funkcija.
Svojstva parnih i neparnih funkcija:
BILJEŠKA:
Nisu sve funkcije parne ili neparne. Postoje funkcije koje se ne povinuju takvoj gradaciji. Na primjer, root funkcija at = √X ne odnosi se ni na parne ni neparne funkcije (slika 3). Prilikom navođenja svojstava takvih funkcija treba dati odgovarajući opis: ni par ni neparan.
Periodične funkcije.
Kao što znate, periodičnost je ponavljanje određenih procesa u određenom intervalu. Pozivaju se funkcije koje opisuju ove procese periodične funkcije . Odnosno, to su funkcije u čijim grafovima postoje elementi koji se ponavljaju u određenim numeričkim intervalima.
Pretvaranje grafova.
Verbalni opis funkcije.
Grafička metoda.
Grafička metoda specificiranja funkcije je najvizuelnija i često se koristi u tehnologiji. U matematičkoj analizi se kao ilustracija koristi grafička metoda specificiranja funkcija.
Funkcijski graf f je skup svih tačaka (x;y) koordinatna ravan, gdje je y=f(x), a x "prolazi" kroz cijeli domen definicije ove funkcije.
Podskup koordinatne ravni je graf funkcije ako ima najviše jedan zajednička tačka od bilo koje prave linije paralelne sa Oy osom.
Primjer. Da li su brojke prikazane ispod grafikona funkcija?
Prednost grafičkog zadatka je njegova jasnoća. Odmah možete vidjeti kako se funkcija ponaša, gdje se povećava, a gdje smanjuje. Iz grafikona možete odmah saznati neke važne karakteristike funkcije.
Općenito, analitički i grafičke načine zadaci funkcija idu ruku pod ruku. Rad sa formulom pomaže u izgradnji grafikona. A grafikon često predlaže rješenja koja ne biste ni primijetili u formuli.
Gotovo svaki učenik zna tri načina za definiranje funkcije koje smo upravo pogledali.
Pokušajmo odgovoriti na pitanje: "Postoje li drugi načini za definiranje funkcije?"
Postoji takav način.
Funkcija se može sasvim nedvosmisleno specificirati riječima.
Na primjer, funkcija y=2x može se specificirati sljedećim verbalnim opisom: svaka realna vrijednost argumenta x je pridružena njegovoj dvostrukoj vrijednosti. Pravilo je uspostavljeno, funkcija specificirana.
Štaviše, možete verbalno odrediti funkciju koju je izuzetno teško, ako ne i nemoguće, definirati pomoću formule.
Na primjer: svaka vrijednost prirodnog argumenta x povezana je sa zbirom cifara koje čine vrijednost x. Na primjer, ako je x=3, onda je y=3. Ako je x=257, onda je y=2+5+7=14. I tako dalje. Problematično je to zapisati u formulu. Ali znak je lako napraviti.
Metoda verbalnog opisa je prilično rijetko korištena metoda. Ali ponekad je tako.
Ako postoji zakon korespondencije jedan prema jedan između x i y, onda postoji funkcija. Koji zakon, u kom obliku je izražen - formula, tabla, grafikon, riječi - ne mijenja suštinu stvari.
Razmotrimo funkcije čiji su domeni definicije simetrični u odnosu na ishodište, tj. za bilo koga X iz domene definicije broja (- X) također pripada domenu definicije. Među ovim funkcijama su paran i neparan.
Definicija. Poziva se funkcija f čak, ako postoji X iz svog domena definicije
Primjer. Razmotrite funkciju 
To je čak. Hajde da to proverimo.
Za bilo koga X jednakosti su zadovoljene
Dakle, oba uslova su ispunjena, što znači da je funkcija parna. Ispod je grafikon ove funkcije.
Definicija. Poziva se funkcija f odd, ako postoji X iz svog domena definicije 
Primjer. Razmotrite funkciju 
Čudno je. Hajde da to proverimo.
Domen definicije je cijela numerička osa, što znači da je simetrična u odnosu na tačku (0;0).
Za bilo koga X jednakosti su zadovoljene
Dakle, oba uslova su ispunjena, što znači da je funkcija neparna. Ispod je grafikon ove funkcije.
Grafovi prikazani na prvoj i trećoj slici su simetrični u odnosu na ordinatnu os, a grafovi prikazani na drugoj i četvrtoj slici su simetrični u odnosu na ishodište.
Koje od funkcija čiji su grafovi prikazani na slikama su parne, a koje neparne?
