Linearni diferencijalni sistemi jednačine.
Sistem diferencijalnih jednadžbi se naziva linearni, ako je linearan u odnosu na nepoznate funkcije i njihove derivate. sistem n-linearne jednačine 1. reda zapisuju se u obliku:
Sistemski koeficijenti su konst.
Ovaj sistem je zgodno napisati u matričnom obliku: ,
gdje je vektor stupca nepoznatih funkcija ovisno o jednom argumentu.
Vektor stupaca derivacija ovih funkcija.
Vektor kolone slobodnih pojmova.
Matrica koeficijenata.
Teorema 1: Ako su svi matrični koeficijenti A su kontinuirani na određenom intervalu i , zatim u određenom susjedstvu svakog m. 
TS&E uslovi su ispunjeni. Prema tome, kroz svaku takvu tačku prolazi jedna integralna kriva.
Zaista, u ovom slučaju, desne strane sistema su kontinuirane u odnosu na skup argumenata i njihove parcijalne derivacije u odnosu na (jednake koeficijentima matrice A) su ograničene, zbog kontinuiteta na zatvorenom intervalu.
Metode rješavanja SLD-ova
1. Sistem diferencijalnih jednačina može se svesti na jednu jednačinu eliminacijom nepoznanica.
primjer: Riješite sistem jednačina: 
(1)
Rješenje: isključiti z iz ovih jednačina. Iz prve jednačine imamo . Zamjenom u drugu jednačinu, 
nakon pojednostavljenja dobijamo: 
.
Ovaj sistem jednačina (1) svedeno na jednu jednačinu drugog reda. Nakon nalaženja iz ove jednačine y, trebalo bi da se nađe z, koristeći jednakost.
2. Prilikom rješavanja sistema jednačina eliminacijom nepoznanica obično se dobija jednačina višeg reda, pa je u mnogim slučajevima zgodnije riješiti sistem pronalaženjem integrisane kombinacije.
Nastavak 27b
primjer: Riješite sistem 
Rješenje:
Rešimo ovaj sistem Ojlerovom metodom. Zapišimo determinantu za pronalaženje karakteristike
jednačina: , (pošto je sistem homogen, da bi imao netrivijalno rješenje, ova determinanta mora biti jednaka nuli). Dobijamo karakterističnu jednačinu i nalazimo njene korijene: 
Opšte rješenje je: 
;
- sopstveni vektor.
Zapisujemo rješenje za: 
;
- sopstveni vektor.
Zapisujemo rješenje za: 
;
Dobijamo opće rješenje: 
.
provjerimo:
hajde da pronađemo : i zamenimo ga u prvu jednačinu ovog sistema, tj. .
Dobijamo:
- istinska jednakost.
Linearna dif. jednačine n-tog reda. Teorema o općem rješenju nehomogene linearne jednadžbe n-tog reda.
Linearna diferencijalna jednadžba n-tog reda je jednadžba oblika: (1)
Ako ova jednadžba ima koeficijent, onda dijeljenjem s njim dolazimo do jednačine: (2) .
Obično jednačine tipa (2). Pretpostavimo da u ur-i (2) sve šanse, kao i f(x) kontinuirano u nekom intervalu (a,b). Zatim, prema TS&E, jednadžba (2) ima jedinstveno rješenje koje zadovoljava početne uslove: , , …, za . Ovdje - bilo koja tačka iz intervala (a,b), i sve - bilo koji dati brojevi. Jednačina (2) zadovoljava TC&E , dakle nema posebna rješenja.
Def.: posebno tačke su one u kojima je =0.
Svojstva linearne jednačine:
- Linearna jednačina ostaje takva za svaku promjenu nezavisne varijable.
- Linearna jednačina ostaje takva za svaku linearnu promjenu željene funkcije.
Def: ako je u jednačini (2) staviti f(x)=0, tada dobijamo jednačinu oblika: (3) , koji se zove homogena jednačina u odnosu na nehomogenu jednačinu (2).
Hajde da uvedemo linearni diferencijalni operator: (4). Koristeći ovaj operator, možete ukratko prepisati jednačinu (2) I (3): L(y)=f(x), L(y)=0. Operater (4) ima sljedeća jednostavna svojstva:
Iz ova dva svojstva može se izvesti zaključak: .
Funkcija y=y(x) je rješenje nehomogene jednadžbe (2), Ako L(y(x))=f(x), Onda f(x) naziva rješenjem jednačine. Dakle, rješenje jednačine (3) nazvana funkcija y(x), Ako L(y(x))=0 na razmatranim intervalima.
Razmislite nehomogena linearna jednadžba: , L(y)=f(x).
Pretpostavimo da smo na neki način pronašli određeno rješenje, onda .
Hajde da predstavimo novu nepoznatu funkciju z prema formuli: , gdje je određeno rješenje.
Zamijenimo ga u jednadžbu: , otvorimo zagrade i dobijemo: .
Rezultirajuća jednačina se može prepisati kao: 
Budući da je posebno rješenje izvorne jednadžbe, onda .
Tako smo dobili homogenu jednačinu u odnosu na z. Opšte rješenje ove homogene jednačine je linearna kombinacija: , gdje funkcije - čine osnovni sistem rješenja homogene jednačine. Zamena z u formulu zamjene, dobijamo: 
(*) za funkciju y– nepoznata funkcija izvorne jednadžbe. Sva rješenja originalne jednačine će biti sadržana u (*).
Dakle, opšte rješenje nehomogene linije. jednačina je predstavljena kao zbir opšteg rešenja homogene linearne jednačine i nekog posebnog rešenja nehomogene jednačine.
(nastavak na drugoj strani)
30. Teorema postojanja i jedinstvenosti rješenja diferencijala. jednačine
Teorema: Ako je desna strana jednadžbe kontinuirana u pravokutniku 
i ograničen je, a također zadovoljava Lipschitzov uvjet: , N=const, tada postoji jedinstveno rješenje koje zadovoljava početne uslove i definirano je na segmentu 
, Gdje .
dokaz:
Razmotrite kompletan metrički prostor SA,čije su tačke sve moguće kontinuirane funkcije y(x) definirane na intervalu , čiji grafovi leže unutar pravokutnika, a udaljenost je određena jednakošću: 
. Ovaj prostor se često koristi u matematičkoj analizi i naziva se prostor uniformne konvergencije, budući da je konvergencija u metrici ovog prostora uniformna.
Zamenimo diferencijal. jednačina sa datim početnim uslovima na ekvivalentnu integralnu jednačinu: 
i razmotrite operatera A(y), jednako desnoj strani ove jednačine: 
. Ovaj operator dodjeljuje svakoj kontinuiranoj funkciji
Koristeći Lipschitzovu nejednakost, možemo zapisati da je udaljenost . Sada izaberimo jednu za koju bi vrijedila sljedeća nejednakost: .
Onda bi trebalo da izaberete tako. Tako smo to pokazali.
Prema principu kontrakcijskih preslikavanja, postoji jedna tačka ili, što je isto, jedna funkcija - rješenje diferencijalne jednadžbe koje zadovoljava date početne uslove.
Teorema o opštem rešenju (o strukturi opšteg rešenja) normalnog sistema nehomogenih linearnih oda.
Razmotrimo nehomogeni linearni sistem običnih diferencijalnih jednadžbi n-tog reda
Evo 
A 
Istina je sljedeće opšta teorema o strukturi rješenja ovog nehomogenog linearnog sistema ODE.
Ako je matrica A(x) i vektorska funkcija b
(x) su kontinuirani na [ a,
b], pusti to Φ
(x) je osnovna matrica rješenja homogenog linearnog sistema, zatim opće rješenje nehomogenog sistema Y"
= A(x) Y
+ b(x) ima oblik: 
Gdje C- proizvoljni konstantni vektor stupca, x 0 - proizvoljna fiksna tačka iz segmenta.
Iz gornje formule lako je dobiti formulu za rješavanje Cauchyjevog problema za linearni nehomogeni ODE sistem - Cauchyjevu formulu.
Rješavanje Cauchyjevog problema, Y(x 0) = Y 0 je vektorska funkcija
Metoda varijacije proizvoljnih konstanti za pronalaženje parcijalnih rješenja normalnog sistema nehomogenih linearnih oda.
Definicija sistema nehomogenih linearnih ODE. ODU sistem tip:
pozvao linearno heterogena . Neka
Sistem (*) u obliku vektorske matrice: .- sistem je homogen, inače je nehomogen.
Sama metoda.
Neka postoji linearni nehomogen sistem 
, tada je linearni homogeni sistem koji odgovara linearnom nehomogenom. Neka je osnovna matrica sistema odlučivanja, 
, gdje je C proizvoljni konstantni vektor, je opšte rješenje sistema. Potražimo rješenje za sistem (1) u obliku 
, gdje je C(x) nepoznata (još) vektorska funkcija. Želimo da vektorska funkcija (3) bude rješenje za sistem (1). Tada identitet mora biti istinit:
(proizvoljni konstantni vektor, koji se dobije kao rezultat integracije, može se smatrati jednakim 0). Ovdje su tačke x 0 bilo koje.
Vidimo, dakle, da ako u (3) uzmemo kao C(t) 
, zatim vektorsku funkciju 
će biti rješenje za sistem (1).
Opšte rješenje linearnog nehomogenog sistema (1) može se zapisati u obliku 
. Neka je potrebno pronaći rješenje za sistem (1) koje zadovoljava početni uslov 
. Zamjena (4) početnih podataka (5) daje 
. Stoga se rješenje Cauchyjevog problema (1)-(5) može zapisati kao: 
. U posebnom slučaju kada posljednja formula ima oblik: 
.
Osnovni sistem rješenja normalnog sistema homogenih linearnih jednačina sa konstantnim koeficijentima u slučaju jednostavnih realnih korijena karakteristične jednačine.
Normalan linearni homogeni sistemnred sa konstantnim koeficijentima
-
ili 
,Koeficijenti linearnih kombinacija traženih funkcija su konstantni. Ovaj sistem je u matričnom obliku 
– oblik matrice, gdje je A konstantna matrica. Matrična metoda: Od karakteristična jednačina 
naći ćemo različite korijene i za svaki korijen (uzimajući u obzir njegovu višestrukost) odredit ćemo odgovarajuće određeno rješenje. Opšte rješenje je: 
. U ovom slučaju 1) ako -
onda je pravi korijen višestruke 1 
, gdje je svojstveni vektor matrice A koji odgovara svojstvenoj vrijednosti, tj. 2)
–
korijen višestrukosti, onda se sistemsko rješenje koje odgovara ovom korijenu traži u obliku vektora 
(**), čiji su koeficijenti 
određuju se iz sistema linearnih jednačina dobijenih izjednačavanjem koeficijenata na istim stepenimax kao rezultat zamjene vektora (**) u originalni sistem.
Osnovni sistem NLOS rješenja je skup proizvoljnih n linearno nezavisnih rješenja
Osnovni sistem rješenja normalnog sistema homogenih linearnih ODE sa konstantnim koeficijentima u slučaju kada su svi korijeni karakteristične jednadžbe jednostavni, ali postoje kompleksni korijeni.
Pitanje je uklonjeno.
Opšti pogled na sistem
, i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., n, - sistemski koeficijenti; - slobodni članovi; - varijable;
Ako je sve = 0, sistem se naziva homogenim.
Opšte rješenje sistema linearnih jednačina
Definicija 1. Homogeni sistem m linearne algebarske jednadžbe za n nepoznate se nazivaju sistemom jednačina
tip (1) ili u matričnom obliku (2)
gdje je A data matrica koeficijenata veličine mxn,
Kolona n nepoznatih je nulta kolona visine m.
Homogeni sistem je uvek konzistentan (proširena matrica se poklapa sa A) i ima očigledna rešenja: x 1 = x 2 = ... = x n = 0.
Ovo rješenje se naziva nula ili trivijalan. Poziva se svako drugo rješenje, ako ga postoji netrivijalan.
Teorema 1. Ako je rang matrice A jednak broju nepoznatih, onda sistem (1) ima jedinstveno (trivijalno) rješenje.
Zaista, prema Cramerovom teoremu, r=n i rješenje je jedinstveno.
Teorema 2. Da bi homogeni sistem imao rješenje različito od nule, potrebno je i dovoljno da rang matrice sistema bude manji od broja nepoznatih ( proizlazi iz teoreme o broju rješenja).
Þ ako postoje rješenja različita od nule, onda rješenje nije jedinstveno, tada je determinanta sistema jednaka nuli, tada je r Ü ako je r Teorema 3. Homogeni sistem od n jednačina sa n nepoznatih ima rešenje različito od nule ako i samo ako je detA = 0. Þ ako postoje rješenja različita od nule, onda postoji beskonačno mnogo rješenja, tada prema teoremi o broju rješenja r Ü ako je detA = 0, tada je r Teorema 4. Da bi homogeni sistem imao rešenje različito od nule, potrebno je da broj jednačina sistema bude manji od broja nepoznatih. Pošto rang matrice koeficijenata ne može biti veći od broja njenih redova (kao i broja kolona), tada je r Definicija 2. Pozivaju se sistemske varijable koje se nalaze na osnovnim stupcima originalne matrice koeficijenata osnovne varijable, a preostale varijable sistema se pozivaju besplatno. Definicija 4. Privatna odluka nehomogeni sistem AX = B naziva se vektor kolone X dobijen pomoću nula vrijednosti besplatno varijable. Teorema 6. Opšte rješenje nehomogenog sistema linearne jednačine AX = B imaju oblik , gdje je određeno rješenje sistema jednačina AX = B, a FSR homogenog sistema AX = 0. Nehomogen sistem linearnih jednačina je sistem oblika: Njegova proširena matrica. Teorema (o opštem rješenju nehomogenih sistema). · ako je , gdje je broj varijabli sistema (2), onda rješenje (2) postoji i jedinstveno je; · ako , onda opšte rješenje sistema (2) ima oblik , gdje je opšte rješenje sistema (1), tzv. opšte homogeno rešenje, je posebno rješenje sistema (2), tzv privatno nehomogeno rješenje. Homogeni sistem linearnih jednačina je sistem oblika: Nulto rješenje sistema (1) se zove trivijalno rešenje. Homogeni sistemi su uvijek kompatibilni, jer uvijek postoji trivijalno rješenje. Ako postoji neko rješenje različito od nule za sistem, onda se ono zove netrivijalan. Rješenja homogenog sistema imaju svojstvo linearnosti: Teorema (o linearnom rješenju homogenih sistema). Teorema (o strukturi općeg rješenja). · ako je , gdje je broj sistemskih varijabli, onda postoji samo trivijalno rješenje; · ako , tada postoje linearno nezavisna rješenja za sistem koji se razmatra: , i njegov zajednička odluka ima oblik: , gdje su neke konstante. 2. Permutacije i zamjene. Odrednica n-tog reda. Svojstva determinanti. Definicija determinante - ti red. Neka je data kvadratna matrica prvog reda: Definicija. Proizvod elemenata matrice A, uzet po jedan iz svakog reda i svakog stupca, naziva se članom determinante matrice A.3 Ako se bilo koja dva reda ili dva stupca zamijene u determinanti, tada determinanta mijenja svoj predznak u suprotno. 4Ako matrica sadrži nulti red (stupac), tada je determinanta ove matrice jednaka nuli.5 Ako su dva reda (kolone) matrice jednaka jedan drugom, tada je determinanta ove matrice jednaka na nulu.6 Ako su dva reda (stupca) matrice proporcionalna jedan drugom, tada je determinanta ove matrice jednaka nuli.7 Determinanta trokutaste matrice jednaka je proizvodu elemenata na glavna dijagonala.8 Ako svi elementi k th red (kolona) determinante su predstavljeni kao zbir a k j + b k j, tada se determinanta može predstaviti kao zbir odgovarajućih determinanti.9 Determinanta se neće promijeniti ako se odgovarajući elementi drugog reda (ili odgovarajuće kolone) dodaju elementima bilo kojeg njegovog reda (ili odgovarajuće kolone) , pomnoženo sa istim brojem.10. Neka A I B su kvadratne matrice istog reda. Tada je determinanta proizvoda matrica jednaka umnošku determinanti: Ciklus – takav niz ćelija u transportnoj tabeli (i 1 ,j 1), (i 1 ,j 2), (i 2 ,j 2),...(i k ,j 1), u kojem su dve i samo dve susedne ćelije nalaze se u jednom redu ili koloni, pri čemu su prva i posljednja ćelija također u istom redu ili koloni. (?)Permutacija duž ciklusa - (pomak duž ciklusa za vrijednost t)- povećanje volumena u svim neparnim ćelijama ciklusa označenim znakom “+” za t i smanjenje volumena transporta u svim parnim ćelijama označenim znakom “-” za t. Optimalni plan transporta odgovara minimumu linearne funkcije cilja f(X)= min pod ograničenjima potrošnje i ponude Jednačina oblika F(n; x n; x n +1 ;…; x n + k) = 0, gdje je k fiksni broj, a n proizvoljan prirodan broj, x n; x n +1 ;…; x n + k su članovi nekog nepoznatog brojevnog niza, koji se nazivaju jednadžba razlike reda k. Rješavanje jednačine razlike znači pronalaženje svih nizova (x n) koji zadovoljavaju jednačinu. Opšte rješenje jednačine k-tog reda je njeno rješenje x n = φ(n, C 1 , C 2 , …, C k ), ovisno o k nezavisnim proizvoljnim konstantama C 1 , C 2 , …, C k . Broj k konstanti jednak je redu jednačine razlike, a nezavisnost znači da se nijedna od konstanti ne može izraziti u terminima ostalih. Razmotrimo jednadžbu linearne razlike reda k sa konstantnim koeficijentima: a k x n+k + a k-1 x n+k-1 + … + a 1 x n+1 + a 0 x n = f n , gdje je a i R (a k ≠ 0, a 0 ≠ 0) i (f n ) – dati brojevi i niz. ^
Teorema o općem rješenju nehomogene jednačine.
Opće rješenje x n linearne nehomogene diferencijske jednačine je zbir posebnog rješenja x n * ove jednačine i općeg rješenja n odgovarajuće homogene jednačine. ^
Teorema o općem rješenju homogene jednačine.
Neka je x n 1 ,…, x n k sistem koji se sastoji od k linearno nezavisnih rješenja linearne homogene diferencialne jednačine. Tada je opšte rješenje ove jednačine dato formulom: x n = C 1 x n 1 + … + C k x n k. Poznavanje korijena karakteristične jednadžbe nam omogućava da konstruiramo opće rješenje homogene diferencijske jednačine. Razmotrimo ovo na primjeru jednadžbe drugog reda: Rezultirajuća rješenja mogu se lako prenijeti na slučaj jednačina višeg reda. Ovisno o vrijednostima diskriminanta D=b 2 -4ac karakteristične jednadžbe, mogući su sljedeći slučajevi: Skup rješenja linearne homogene diferencijalne jednadžbe k-tog reda čini k-dimenzionalni linearni prostor, a bilo koji skup od k linearno nezavisnih rješenja (koji se naziva osnovni skup) je njegova osnova. Znak linearne nezavisnosti rješenja homogene jednadžbe je da Casorattijeva determinanta nije jednaka nuli: Jednačina se naziva karakteristična jednačina homogene linearne jednačine. ^
U kom obliku treba tražiti njegovo konkretno rješenje? Objasnite odgovor.
X n +2 -4x n +1 +3x n =n 2 2 n +n 3 3 n U kom obliku treba tražiti njegovo konkretno rješenje? Odgovor se mora objasniti. X n +2 -4x n +1 +3x n =n 2 2 n +n 3 3 n X n +2 -4x n +1 +3x n =0 X n =C 1 3 n +C 2 1 n X 1 n =(a 1 n 2 +b 1 n+C 1)2 n X 2 n =(d 2 n 3 +a 2 n 2 +b 2 n+C 2)n2 n X n = C 1 3 n + C 2 1 n + X 1 n + X 2 n x n +2 -4x n +1 +3x n =n 2 +2 n +3 n 1) x n +2 -4x n +1 +3x=0 λ 1 =3, λ 2 =1 x n o =C 1 (3) n +C 2 (1) n = C 1 (3) n +C 2 2) f(n)=2 n , g(n)=3 n , z(n)=n 2 Budući da se baza eksponencijalne snage f(n)=2 n, jednaka 2, ne poklapa ni sa jednim od korijena karakteristične jednadžbe, odgovarajuće rješenje tražimo u obliku Y n =C(2) n . Budući da se baza eksponencijalne funkcije g(n)=3 n, jednaka 3, poklapa sa jednim od korijena karakteristične jednadžbe, odgovarajuće rješenje tražimo u obliku X n =Bn(3) n. Kako je z(n)=n 2 polinom, tražit ćemo određeno rješenje u obliku polinoma: Z n =A 1 n 2 +A 2 n+A 3 . x n +2 +2x n +1 +4x n =cos +3 n +n 2 1) x n+2 +2x n+1 +4x n =0 λ 1 =-1+i, λ 2 =-1-i Budući da se baza eksponencijalne snage f(n)=3 n, jednaka 3, ne poklapa ni sa jednim od korijena karakteristične jednadžbe, tražimo odgovarajuće određeno rješenje u obliku Y n =B(3) n . Kako je g(n)=n 2 polinom, tražit ćemo određeno rješenje u obliku polinoma: X n =A 1 n 2 +A 2 n+A 3. Z n = Ccos x n +2 +2x n +1 +4x n = cos +3 n +n 2 λ 1 =-1+i, λ 2 =-1-i X n 0 =(2) n (C 1 cos +C 2 sin ) 2) f(n)=3 n , g(n)=n 2 , z(n)=cos Budući da se baza eksponencijalne snage f(n)=3 n, jednaka 3, ne poklapa ni sa jednim od korijena karakteristične jednadžbe, tražimo odgovarajuće određeno rješenje u obliku Y n =B(3) n . Budući da je g(n)=n 2 polinom, tražit ćemo određeno rješenje u obliku polinoma: X n =A 1 n 2 +A 2 n+A 3. Z n = Cncos Samuelson-Hicks model poslovnog ciklusa pretpostavlja direktnu proporcionalnost obima investicija sa povećanjem nacionalnog dohotka (princip ubrzanja), tj. gdje je koeficijent V>0 faktor ubrzanja, I t - iznos ulaganja u periodu t, X t -1 ,X t -2 - vrijednost nacionalnog dohotka u periodima (t-1) i (t-2), respektivno. Takođe se pretpostavlja da potražnja u ovoj fazi gdje su a, b koeficijenti linearnog izraza potražnje u ovoj fazi: Stacionarni niz 40. Formulirajte problem određivanja trenutne vrijednosti kuponske obveznice. Šta je Cauchyjev problem za diferencijsku jednačinu? Pronađite ravnotežno rješenje za Cauchyjev problem određivanja trenutne vrijednosti kuponske obveznice. Provjerite da li pronađena vrijednost odgovara iznosu koji se mora platiti u ovom trenutku da biste primili iznos kupona u svakom kuponskom periodu na beskonačno dugo vrijeme po datoj kamatnoj stopi za jedan kuponski period. Neka F
– nominalnu vrijednost kuponske obveznice (tj. iznos novca koji je emitent platio u trenutku otkupa koji se poklapa s krajem posljednjeg kuponskog perioda), K
– vrijednost kupona (tj. iznos novca uplaćen na kraju svakog kuponskog perioda), X One. str Gdje su C 1 i C 2 nepoznati. Svi y su poznati brojevi, izračunati po x = x 0. Da bi sistem imao rješenje za bilo koju desnu stranu, potrebno je i dovoljno da glavna determinanta bude različita od 0. Ako je , tada determinanta Wronskog nije jednaka 0, za bilo koju vrijednost x 0. Dokaz. Neka je determinanta jednaka 0, ali izaberimo početne uslove različite od nule y=0, y’=0. Tada dobijamo sledeći sistem: Ovaj sistem ima beskonačan broj rješenja kada je determinanta 0. C 11 i C 12 su rješenja sistema. Ovo je u suprotnosti s prvim slučajem, što znači da determinanta Wronskog nije jednaka 0 za bilo koji x 0 ako je . Uvijek je moguće odabrati posebno rješenje iz općeg rješenja za . Ulaznica br. 33 Teorema o strukturi općeg rješenja linearne homogene diferencijalne jednadžbe 2. reda sa dokazom. Teorema o općem rješenju diferencijalne jednadžbe: rješenja ove jednadžbe, zatim funkciju dokaz: Ulaznica br. 34 Teorema o strukturi općeg rješenja linearne nehomogene diferencijalne jednadžbe 2. reda sa dokazom. Neka je data jednadžba sa desnom stranom: . Jednačina bez desne strane Teorema o strukturi općeg rješenja jednadžbe s desnom stranom. T.1 Opće rješenje jednačine sa desnom stranom može se sastaviti kao zbir opšteg rješenja jednačine bez desne strane i nekog posebnog rješenja ove jednačine. Dokaz. Označimo sa općim rješenjem i nekim posebnim rješenjem ove jednačine. Uzmimo funkciju Zamjenom izraza za y, y', y'' u lijevu stranu jednačine, nalazimo: Izraz u prvoj uglastoj zagradi jednak je 0. A izraz u drugoj zagradi jednak je funkciji f(x ). Dakle, funkcija Ulaznica br. 35 Linearne homogene diferencijalne jednadžbe 2. reda sa konstantnim koeficijentima, F.S.R. i opšte rješenje u slučaju različitih realnih korijena, karakteristične jednadžbe sa dokazom. Uzmimo homogenu linearnu jednačinu drugog reda sa konstantnim koeficijentima: gdje su a brojevi. Pokušajmo zadovoljiti jednačinu s funkcijom oblika . Odavde imamo: Iz ovoga možemo vidjeti kakvo će biti rješenje ove jednačine ako je r korijen kvadratne jednačine. Ova jednačina se naziva karakteristična. Da biste kreirali karakterističnu jednačinu, trebate zamijeniti y jednim, a svaki izvod r na stepen reda derivacije. 1) Korijeni karakteristične jednačine su realni i različiti. U ovom slučaju, oba korijena se mogu uzeti kao indikatori r funkcije. Ovdje možete odmah dobiti dvije jednačine. Jasno je da njihov omjer nije jednak konstantnoj vrijednosti. Opće rješenje u slučaju realnih i različitih korijena je dato formulom: Ulaznica br. 36 Linearne homogene diferencijalne jednadžbe 2. reda sa konstantnim koeficijentima, F.S.R. i opšte rješenje u slučaju višestrukih korijena, karakteristične jednadžbe sa dokazom. Korijeni realne jednačine su realni i jednaki.
Neka je (tj. sistem (2) konzistentan), onda:
Neka su rješenja homogenog sistema (1), i neka su proizvoljne konstante. Zatim je također rješenje za sistem koji se razmatra.
Neka onda:
1
| | | | | | | | | | |
Besplatna procjena ćelije– (vidi potencijalnu metodu)
Optimalni plan treba da odredi minimalne ukupne troškove transporta, bez prekoračenja obima proizvodnje svakog od dobavljača i u potpunosti pokrivajući potrebe svakog od potrošača.
^
Uslov za optimalnost referentnog plana.
Br. 32. Formulisati definiciju diferencialne jednačine reda k i njeno opšte rešenje. Navedite definiciju jednačine linearne razlike reda k sa konstantnim koeficijentima. Formulirati teoreme o općem rješenju homogenih i nehomogenih linearnih razlika (bez dokaza).
Br. 33. Opisati algoritam za rješavanje homogene linearne diferencialne jednačine sa konstantnim koeficijentima. Formulirati definicije sljedećih pojmova: osnovni skup rješenja linearne diferencialne jednačine, karakteristična jednačina, Kasorattijeva determinanta.
C 1 , C 2 su proizvoljne konstante.
№ 34. Zadana je jednačina linearne razlike sa konstantnim koeficijentima X n +2 – 4x n +1 + 3x n = n 2 2 n + n 3 3 n.
br. 35. Zadana je jednačina linearne razlike sa konstantnim koeficijentima x n +2 -4x n +1 +3x n =n 2 +2 n +3 n. U kom obliku treba tražiti njegovo konkretno rješenje?
br. 36. Dana je jednadžba linearne razlike sa konstantnim koeficijentima x n +2 +2x n +1 +4x n =cos+3 n +n 2. U kom obliku treba tražiti njegovo konkretno rješenje?
br. 37. Zadana je jednačina linearne razlike sa konstantnim koeficijentima x n +2 +2x n +1 +4x n = cos+3 n +n 2 . U kom obliku treba tražiti njegovo konkretno rješenje?
#38: Opišite Samuelson-Hicks model. Koje su ekonomske pretpostavke u osnovi toga? U kom slučaju je rješenje Hicksove jednadžbe stacionarni niz?
zavisi od visine nacionalnog dohotka u prethodnoj fazi 
linearno 
. Uslov jednakosti ponude i potražnje ima oblik 
. Zatim dolazimo do Hicksove jednačine
je rješenje samo Hicksove jednadžbe za 
; faktor 
naziva se Kejnsov množitelj (jednodimenzionalni analog matrice ukupnih troškova).
№ ^
39. Opišite model paukovog tržišta. Koje su ekonomske pretpostavke u osnovi toga? Pronađite ravnotežno stanje modela web tržišta.
- trenutna vrijednost obveznice na kraju n-tog kuponskog perioda, 
poklapa se sa iznosom koji se mora uplatiti u ovom trenutku da bi se primio iznos kupona u svakom kuponskom periodu na beskonačno dugo vrijeme po datoj kamatnoj stopi za jedan kuponski period.
Odrednica Vronskog. Ako je determinanta 0, onda sistem ima rješenje samo ako postoji proporcija početnih uslova. Dakle, iz ovoga proizilazi da je izbor početnih uslova podložan zakonu, tako da se ne mogu uzeti bilo kakvi početni uslovi, a to je kršenje uslova Cauchyjevog problema.
takođe rešenje. Na osnovu ove teoreme možemo zaključiti o strukturi općeg rješenja homogene jednadžbe: ako 1 i 2 imaju rješenja diferencijalne jednadžbe takva da njihovi omjeri nisu jednaki konstanti, tada je linearna kombinacija ovih funkcija opšte rešenje diferencijalne jednačine. Trivijalno rješenje (ili nulto) ne može poslužiti kao rješenje ove jednačine.
ako stavimo 0 umjesto funkcije, nazivamo je karakteristikom.
. Imamo
, 
.
postoji rješenje ove jednačine.,
.
