Razmotrimo homogeni sistem diferencijalnih jednačina trećeg reda
Ovdje su x(t), y(t), z(t) tražene funkcije na intervalu (a, b), a ij (i, j =1, 2, 3) su realni brojevi.
Zapišimo originalni sistem u matričnom obliku
,
Gdje 
Tražićemo rešenje za originalni sistem u formi
,
Gdje 
, C 1 , C 2 , C 3 su proizvoljne konstante.
Da biste pronašli osnovni sistem rješenja, potrebno je riješiti takozvanu karakterističnu jednačinu 
Ova jednadžba je algebarska jednadžba trećeg reda, stoga ima 3 korijena. Mogući su sljedeći slučajevi:
1. Korijeni (svojstvene vrijednosti) su stvarni i različiti.
2. Među korijenima (svojstvenim vrijednostima) postoje kompleksno konjugirani, neka
- pravi korijen
=
3. Korijeni (svojstvene vrijednosti) su realni. Jedan od korijena je višestruki.
Da bismo shvatili kako postupiti u svakom od ovih slučajeva, trebat će nam:
Teorema 1.
Neka su parno različite svojstvene vrijednosti matrice A, i neka su njihovi odgovarajući svojstveni vektori. Onda
formiraju fundamentalni sistem rješenja originalnog sistema.
Komentar
.
Neka je stvarna svojstvena vrijednost matrice A (pravi korijen karakteristične jednadžbe), i neka je odgovarajući svojstveni vektor.
= - kompleksne svojstvene vrijednosti matrice A, - odgovarajući - svojstveni vektor. Onda
(Re - realni dio, Im - imaginarni dio)
formiraju fundamentalni sistem rješenja originalnog sistema. (tj. i = razmatrano zajedno)
Teorema 3.
Neka je korijen karakteristične jednadžbe višestrukosti 2. Tada originalni sistem ima 2 linearno nezavisna rješenja oblika 
,
gdje su , vektorske konstante. Ako je višestrukost 3, tada postoje 3 linearno nezavisna rješenja oblika
.
Vektori se nalaze zamjenom rješenja (*) i (**) u originalni sistem.
Da biste bolje razumjeli metodu za pronalaženje rješenja oblika (*) i (**), pogledajte tipične primjere u nastavku.
Pogledajmo sada svaki od gore navedenih slučajeva detaljnije.
1. Algoritam za rješavanje homogenih sistema diferencijalnih jednačina trećeg reda u slučaju različitih realnih korijena karakteristične jednačine.
S obzirom na sistem
1) Sastavljamo karakterističnu jednačinu
- stvarne i različite svojstvene vrijednosti 9 korijena ove jednadžbe).
2) Mi gradimo gde 
3) Mi gradimo gde
- svojstveni vektor matrice A, koji odgovara , tj. - bilo koje sistemsko rješenje 
4) Mi gradimo gde
- svojstveni vektor matrice A, koji odgovara , tj. - bilo koje sistemsko rješenje 
5)
čine temeljni sistem rješenja. Zatim zapisujemo opće rješenje originalnog sistema u obliku
,
ovdje su C 1, C 2, C 3 proizvoljne konstante,
,
ili u koordinatnom obliku 
Pogledajmo nekoliko primjera:
Primjer 1.
2) Pronađite 
3) Nađi 
4) Vektorske funkcije 
ili u koordinatnoj notaciji 
Primjer 2.
1) Sastavljamo i rješavamo karakterističnu jednačinu: 
2) Pronađite 
3) Nađi 
4) Nađi 
5) Vektorske funkcije 
formiraju fundamentalni sistem. Opšte rješenje ima oblik 
ili u koordinatnoj notaciji 
2. Algoritam za rješavanje homogenih sistema diferencijalnih jednačina trećeg reda u slučaju kompleksnih konjugiranih korijena karakteristične jednačine.
- pravi korijen,
2) Mi gradimo gde
 |
3) Mi gradimo
| - svojstveni vektor matrice A, koji odgovara , tj. zadovoljava sistem |  |
Ovdje je Re pravi dio
Im - imaginarni dio
4) čine temeljni sistem rješenja. Zatim zapisujemo opće rješenje originalnog sistema:
, Gdje
C 1, C 2, C 3 su proizvoljne konstante.
Primjer 1.
1) Sastavite i riješite karakterističnu jednačinu 
2)Mi gradimo
3) Mi gradimo
, Gdje
Smanjimo prvu jednačinu za 2. Zatim drugoj jednačini dodajte prvu pomnoženu sa 2i, a od treće jednačine oduzmite prvu pomnoženu sa 2. 
Dalje 
dakle, 
4) - osnovni sistem rješenja. Zapišimo generalno rješenje originalnog sistema: 
Primjer 2.
1) Sastavljamo i rješavamo karakterističnu jednačinu 
2)Mi gradimo
(tj. i razmatrani zajedno), gdje
Pomnožite drugu jednačinu sa (1-i) i smanjite za 2. 
dakle, 
3)
Opšte rješenje originalnog sistema
ili 
2. Algoritam za rješavanje homogenih sistema diferencijalnih jednačina trećeg reda u slučaju višestrukih korijena karakteristične jednačine.
Sastavljamo i rješavamo karakterističnu jednačinu
Postoje dva moguća slučaja: 
Razmotrimo slučaj a) 1), gdje
| - svojstveni vektor matrice A, koji odgovara , tj. zadovoljava sistem | |
2) Pozovimo se na teoremu 3, iz koje slijedi da postoje dva linearno nezavisna rješenja oblika 
,
gdje su , su konstantni vektori. Uzmimo ih za .
3) - osnovni sistem rješenja. Zatim zapisujemo opće rješenje originalnog sistema:
Razmotrimo slučaj b):
1) Pozovimo se na teoremu 3, iz koje slijedi da postoje tri linearno nezavisna rješenja oblika
,
gdje su , , konstantni vektori. Uzmimo ih za .
2) - osnovni sistem rješenja. Zatim zapisujemo opće rješenje originalnog sistema.
Da biste bolje razumjeli kako pronaći rješenja oblika (*), razmotrite nekoliko tipičnih primjera.
Primjer 1.
Sastavljamo i rješavamo karakterističnu jednačinu: 
Imamo slučaj a)
1) Mi gradimo 
, Gdje
Od druge jednačine oduzimamo prvu:
? Treći red je sličan drugom, precrtavamo ga. Oduzmi drugu od prve jednačine: 
2) = 1 (višestruko od 2)
Prema T.3, ovaj korijen mora odgovarati dvama linearno nezavisnim rješenjima oblika .
Pokušajmo pronaći sva linearno nezavisna rješenja za koja, tj. rješenja oblika
.
Takav vektor će biti rješenje ako i samo ako svojstveni vektor odgovara =1, tj.
, ili 
, drugi i treći red su slični prvom, izbacite ih. 
Sistem je sveden na jednu jednačinu. Prema tome, postoje dvije slobodne nepoznanice, na primjer, i . Hajde da im prvo damo vrednosti 1, 0; zatim vrijednosti 0, 1. Dobijamo sljedeća rješenja: 
.
dakle, 
.
3) - osnovni sistem rješenja. Ostaje da zapišemo opšte rešenje originalnog sistema: 
. .. Dakle, postoji samo jedno rešenje oblika Zamenimo X 3 u ovaj sistem: Precrtaj treći red (sličan je drugom). Sistem je konzistentan (ima rješenje) za bilo koje c. Neka je c=1. 
ili 
Obična diferencijalna jednadžba je jednadžba koja povezuje nezavisnu varijablu, nepoznatu funkciju ove varijable i njene derivate (ili diferencijale) različitih redova.
Red diferencijalne jednadžbe naziva se red najviše izvedenice sadržane u njemu.
Osim običnih, proučavaju se i parcijalne diferencijalne jednadžbe. To su jednadžbe koje se odnose na nezavisne varijable, nepoznatu funkciju ovih varijabli i njene parcijalne derivacije u odnosu na iste varijable. Ali mi ćemo samo razmotriti obične diferencijalne jednadžbe i stoga ćemo, radi sažetosti, izostaviti riječ „običan“.
Primjeri diferencijalnih jednadžbi:
(1) 
;
(3) 
;
(4) 
;
Jednačina (1) je četvrtog reda, jednačina (2) je trećeg reda, jednačine (3) i (4) su drugog reda, jednačina (5) je prvog reda.
Diferencijalna jednadžba n red ne mora nužno sadržavati eksplicitnu funkciju, sve njene derivate od prvog do n-ti red i nezavisna varijabla. Ne smije eksplicitno sadržavati derivate određenih redova, funkciju ili nezavisnu varijablu.
Na primjer, u jednačini (1) očito nema izvoda trećeg i drugog reda, kao ni funkcije; u jednačini (2) - izvod drugog reda i funkcija; u jednačini (4) - nezavisna varijabla; u jednačini (5) - funkcije. Samo jednadžba (3) sadrži eksplicitno sve izvode, funkciju i nezavisnu varijablu.
Rješavanje diferencijalne jednadžbe svaka funkcija se poziva y = f(x), kada se zameni u jednačinu pretvara se u identitet.
Proces nalaženja rješenja diferencijalne jednadžbe naziva se njegov integracija.
Primjer 1. Pronađite rješenje diferencijalne jednadžbe.
Rješenje. Zapišimo ovu jednačinu u obliku . Rješenje je pronaći funkciju iz njene derivacije. Originalna funkcija, kao što je poznato iz integralnog računa, je antiderivat za, tj.
To je ono što je rješenje ove diferencijalne jednadžbe . Presvlačenje u njemu C, dobićemo različita rješenja. Otkrili smo da postoji beskonačan broj rješenja diferencijalne jednadžbe prvog reda.
Opće rješenje diferencijalne jednadžbe n th red je njegovo rješenje, izraženo eksplicitno u odnosu na nepoznatu funkciju i sadrži n nezavisne proizvoljne konstante, tj.
Rješenje diferencijalne jednadžbe u primjeru 1 je općenito.
Parcijalno rješenje diferencijalne jednadžbe naziva se rješenje u kojem su proizvoljne konstante date određene numeričke vrijednosti.
Primjer 2. Naći opće rješenje diferencijalne jednadžbe i posebno rješenje za 
.
Rješenje. Integrirajmo obje strane jednačine broj puta jednak redu diferencijalne jednačine.
,
.
Kao rezultat, dobili smo generalno rješenje -
date diferencijalne jednadžbe trećeg reda.
Hajde sada da pronađemo određeno rešenje pod određenim uslovima. Da biste to učinili, zamijenite njihove vrijednosti umjesto proizvoljnih koeficijenata i dobijete
.
Ako je, pored diferencijalne jednadžbe, početni uvjet dat u obliku , tada se takav problem naziva Cauchy problem . Zamijenite vrijednosti i u opšte rješenje jednadžbe i pronađite vrijednost proizvoljne konstante C, a zatim određeno rješenje jednadžbe za pronađenu vrijednost C. Ovo je rješenje za Cauchyjev problem.
Primjer 3. Riješite Cauchyjev problem za diferencijalnu jednadžbu iz primjera 1 podložna .
Rješenje. Zamijenimo vrijednosti iz početnog stanja u opšte rješenje y = 3, x= 1. Dobijamo
Zapisujemo rješenje Cauchyjevog problema za ovu diferencijalnu jednadžbu prvog reda:
Rješavanje diferencijalnih jednadžbi, čak i onih najjednostavnijih, zahtijeva dobru integraciju i vještine izvođenja, uključujući složene funkcije. To se može vidjeti u sljedećem primjeru.
Primjer 4. Naći opće rješenje diferencijalne jednadžbe.
Rješenje. Jednačina je napisana u takvom obliku da možete odmah integrirati obje strane.
.
Primjenjujemo metodu integracije promjenom varijable (supstitucijom). Neka bude onda.
Obavezno uzeti dx a sada - pažnja - to radimo prema pravilima diferencijacije složene funkcije, budući da x i postoji složena funkcija ("jabuka" je vađenje kvadratnog korijena ili, što je isto, podizanje na stepen "pola", a "mljeveno meso" je sam izraz ispod korijena):
Nalazimo integral:
Vraćanje na varijablu x, dobijamo:
.
Ovo je opšte rešenje ove diferencijalne jednačine prvog stepena.
Za rješavanje diferencijalnih jednačina bit će potrebne ne samo vještine iz prethodnih odjeljaka više matematike, već i vještine iz osnovne, odnosno školske matematike. Kao što je već spomenuto, u diferencijalnoj jednadžbi bilo kojeg reda možda ne postoji nezavisna varijabla, tj. x. Znanje o proporcijama iz škole koje nije zaboravljeno (međutim, u zavisnosti od koga) iz škole će pomoći u rješavanju ovog problema. Ovo je sljedeći primjer.
Za ovu jednačinu imamo:
; (5.22)
. (5.23)
Poslednja determinanta daje uslov a 3 > 0. Uslov Δ 2 > 0, za a 0 > 0, a 1 > 0 i a 3 > 0, može biti zadovoljen samo za a 2 > 0.
Shodno tome, za jednačinu trećeg reda, pozitivnost svih koeficijenata karakteristične jednačine više nije dovoljna. Također je potrebno ispuniti određeni odnos između koeficijenata a 1 a 2 > a 0 a 3.
4. Jednačina četvrtog reda
Slično kao što je gore urađeno, možemo dobiti da za jednačinu četvrtog reda, pored pozitivnosti svih koeficijenata, mora biti ispunjen i sljedeći uvjet:
Značajan nedostatak algebarskih kriterijuma, uključujući Hurwitzov kriterijum, je i to što se za jednačine visokog reda, u najboljem slučaju, može dobiti odgovor da li je sistem automatskog upravljanja stabilan ili nestabilan. Štaviše, u slučaju nestabilnog sistema, kriterijum ne daje odgovor na koji način treba promeniti parametre sistema da bi bio stabilan. Ova okolnost dovela je do traženja drugih kriterija koji bi bili prikladniji u inženjerskoj praksi.
5.3. Mihajlovljev kriterijum stabilnosti
Razmotrimo odvojeno lijevu stranu karakteristične jednadžbe (5.7), koja je karakteristični polinom
Zamijenimo u ovaj polinom čisto imaginarnu vrijednost p = j, gdje predstavlja ugaonu frekvenciju oscilacija koja odgovara čisto imaginarnom korijenu karakterističnog rješenja. U ovom slučaju dobijamo karakterističan kompleks
gdje će pravi dio sadržavati parne snage frekvencije
i imaginarne – neparne snage frekvencije
E
Rice. 5.4. Mihailovljev hodograf
U praksi, Mihajlovljeva kriva se konstruiše tačku po tačku, a specificiraju se različite vrednosti frekvencije i U() i V() se izračunavaju pomoću formula (5.28), (5.29). Rezultati proračuna su sažeti u tabeli. 5.1.
Tabela 5.1
Konstrukcija krivulje Mihajlov
Koristeći ovu tabelu, konstruiše se i sama kriva (slika 5.4).
Odredimo koliko treba da bude jednak ugao rotacije vektora D(j) kada se frekvencija menja od nule do beskonačnosti. Da bismo to učinili, zapisujemo karakteristični polinom kao proizvod faktora
gdje su 1 – n korijeni karakteristične jednadžbe.
Karakteristični vektor se tada može predstaviti na sljedeći način:
Svaka zagrada predstavlja kompleksan broj. Dakle, D(j) je proizvod n kompleksnih brojeva. Prilikom množenja dodaju se argumenti kompleksnih brojeva. Stoga će rezultujući ugao rotacije vektora D(j) biti jednak zbiru uglova rotacije pojedinačnih faktora (5.31) kada se frekvencija promijeni od nule do beskonačnosti
Definirajmo svaki član u (5.31) posebno. Da biste generalizirali problem, razmotrite različite vrste korijena.
1. Neka je neki korijen, na primjer 1 stvarne i negativne , odnosno 1 = – 1 . Faktor u izrazu (5.31), određen ovim korijenom, imat će oblik ( 1 + j). Konstruirajmo hodograf ovog vektora na kompleksnoj ravni kako se frekvencija mijenja od nule do beskonačnosti (slika 5.5, A). Kada je = 0, realni dio je U= 1, a imaginarni dio je V= 0. Ovo odgovara tački A koja leži na realnoj osi. Na 0, vektor će se promijeniti tako da će njegov realni dio i dalje biti jednak , a imaginarni dio V = (tačka B na grafu). Kako frekvencija raste do beskonačnosti, vektor ide u beskonačnost, a kraj vektora uvijek ostaje na okomitoj pravoj liniji koja prolazi kroz tačku A, a vektor se rotira u smjeru suprotnom od kazaljke na satu.
Rice. 5.5. Pravi koreni
Rezultirajući ugao rotacije vektora 1 = +( / 2).
2. Neka je sada korijen 1 stvarno i pozitivno , odnosno 1 = + 1. Tada će faktor u (5.31) određen ovim korijenom imati oblik (– 1 + j). Slične konstrukcije (sl. 5.5, b) pokazuju da će rezultujući ugao rotacije biti 1 = –( / 2). Znak minus označava da se vektor rotira u smjeru kazaljke na satu.
3. Neka su dva konjugirana korijena, na primjer 2 i 3 kompleks sa negativnim realnim dijelom , odnosno 2;3 = –±j. Slično, faktori u izrazu (5.31), određeni ovim korijenima, imat će oblik (–j + j)( + j + j).
Kada je = 0, početne pozicije dva vektora određene su tačkama A 1 i A 2 (slika 5.6, A). Prvi vektor se rotira u smjeru kazaljke na satu u odnosu na realnu osu za ugao jednak arctg( / ), a drugi vektor rotira za isti ugao u smjeru suprotnom od kazaljke na satu. Sa postepenim povećanjem od nule do beskonačnosti, krajevi oba vektora idu do beskonačnosti i oba vektora se na kraju spajaju sa imaginarnom osom.
Rezultirajući ugao rotacije prvog vektora je 2 = ( / 2) + . Rezultirajući ugao rotacije drugog vektora 3 = ( / 2) –. Vektor koji odgovara proizvodu (–j + j)( + j + j) će se rotirati za ugao 2 + 3 = 2 / 2 =.
Rice. 5.6. Složeni korijeni
4. Neka budu isti složeni korijeni imaju pozitivan stvarni dio , odnosno 2;3 = +±j.
Izvođenje konstrukcije slično kao u prethodno razmatranom slučaju (slika 5.6, b), dobijamo rezultujući ugao rotacije 2 + 3 = –2 / 2 = –.
Dakle, ako karakteristična jednadžba ima f korijena sa pozitivnim realnim dijelom, onda kakvi god da su ti korijeni (stvarni ili kompleksni), oni će odgovarati zbiru uglova rotacije jednakom –f ( / 2). Svi ostali (n – f) korijeni karakteristične jednadžbe koji imaju negativne realne dijelove odgovarat će zbiru uglova rotacije jednakim +(n – f)( / 2). Kao rezultat toga, ukupni ugao rotacije vektora D(j) kada se frekvencija promijeni od nule do beskonačnosti prema formuli (5.32) imat će oblik
= (n – f)( / 2) –f( / 2) = n ( / 2) –f . (5.33)
Ovaj izraz određuje željenu vezu između oblika Mihajlovljeve krive i znakova realnih dijelova korijena karakteristične jednačine. Godine 1936. A.V. Mihajlov je formulisao sledeći kriterijum stabilnosti za linearne sisteme bilo kog reda.
Za stabilnost sistema n-tog reda potrebno je i dovoljno da vektor D(j ), koji opisuje krivulju Mihajlova, pri promeni imao ugao rotacije od nule do beskonačnosti = n ( / 2).
Ova formulacija direktno slijedi iz (5.33). Da bi sistem bio stabilan, potrebno je da svi korijeni leže u lijevoj poluravni. Odavde se određuje traženi rezultujući ugao rotacije vektora.
Mikhailovljev kriterijum stabilnosti je formulisan na sledeći način: za stabilnost linearnog ACS-a potrebno je i dovoljno da Mihajlovljev hodograf, kada se frekvencija mijenja od nule do beskonačnosti, počevši od pozitivne poluravnine i ne prelazi ishodište koordinata, sekvencijalno siječe što više kvadranata kompleksa ravan kao red polinoma karakteristične jednačine sistema.
O
Rice. 5.7. Otporan ATS
Za stabilan sistem, Mihajlovljeva kriva prolazi kroz sukcesivno n kvadranata kompleksne ravni.
Prisustvo granica stabilnosti sva tri tipa može se odrediti iz Mihajlovljeve krive na sledeći način.
U prisustvu granice stabilnosti prvi tip (nulti koren) nema slobodnog člana karakterističnog polinoma n = 0, a Mihajlovljeva kriva napušta ishodište (slika 5.9, kriva 1)
|
Rice. 5.8. Nestabilan ATS |
Rice. 5.9. Granice stabilnosti |
Na granici stabilnosti drugi tip (granica oscilatorne stabilnosti) lijeva strana karakteristične jednadžbe, odnosno karakteristični polinom, nestaje pri zamjeni p = j 0
D(j 0) = X( 0) + Y( 0) = 0. (5.34)
To implicira dvije jednakosti: X( 0) = 0; Y( 0) = 0. To znači da tačka = 0 na krivulji Mihajlova pada na početak koordinata (slika 5.9, kriva 2). U ovom slučaju, vrijednost 0 je frekvencija neprigušenih oscilacija sistema.
Za granicu stabilnosti treći tip (beskonačan koren) kraj Mihajlovljeve krive se baca (slika 5.9, kriva 3) iz jednog kvadranta u drugi kroz beskonačnost. U ovom slučaju, koeficijent a 0 karakterističnog polinoma (5.7) će proći kroz nultu vrijednost, mijenjajući predznak iz plusa u minus.
Diferencijalne jednadžbe višeg reda
Osnovna terminologija diferencijalnih jednačina višeg reda (DEHE).
Jednadžba oblika , gdje n >1 (2)
naziva se diferencijalna jednačina višeg reda, tj. n-th red.
područje definicije DU, n reda postoji regija .
Na ovom kursu će se razmatrati sljedeće vrste upravljačkih sistema:
Cauchy problem DU VP:
Dajte daljinski upravljač, 
i početni uslovi n/a: brojevi .
Morate pronaći kontinuiranu i n puta diferencibilnu funkciju 
:
1
) 
je rješenje za datu DE na , tj. 
;
2) zadovoljava date početne uslove: .
Za DE drugog reda, geometrijska interpretacija rješenja problema je sljedeća: traži se integralna kriva koja prolazi kroz tačku (x 0 , y 0 ) i tangenta na pravu liniju sa ugaonim koeficijentom k = y 0 ́ .
Teorema postojanja i jedinstvenosti(rješenja Cauchyjevog problema za DE (2)):
ako 1) 
kontinuirano (ukupno (n+1)
argumenti) na tom području 
; 2) 
kontinuirano (preko ukupnosti argumenata 
) u , dakle 
! rješenje Cauchyjevog problema za DE, zadovoljavajući date početne uslove n/a: 
.
Region se naziva region jedinstvenosti DE.
Opšte rješenje daljinskog upravljanja VP (2) – n
-parametrijski funkcija, 
, Gdje 
– proizvoljne konstante, koje zadovoljavaju sljedeće zahtjeve:
1) 
– rješenje DE (2) na ;
2) 
n/a iz oblasti jedinstvenosti! 
: 
zadovoljava zadate početne uslove.
Komentar.
Pogledaj odnos 
, koje implicitno određuje opće rješenje DE (2) se zove opšti integral DU.
Privatno rješenje DE (2) se dobija iz njegovog opšteg rešenja za određenu vrednost 
.
Integracija VP daljinskog upravljanja.
Diferencijalne jednadžbe višeg reda se po pravilu ne mogu riješiti egzaktnim analitičkim metodama.
Identifikujemo određeni tip DUVP-a koji dozvoljava redukcije po redu i može se svesti na kvadrature. Hajde da tabelarno prikažemo ove vrste jednačina i metode za smanjenje njihovog reda.
VP DU koji dozvoljavaju smanjenje narudžbi
Metoda smanjenja narudžbe |
||
Kontrolni sistem je nekompletan, ne sadrži |
itd. Poslije n Višestruka integracija daje opće rješenje za DE. |
|
Jednačina je nepotpuna; očito ne sadrži traženu funkciju Na primjer, | Zamjena
snižava red jednačine za k jedinice. |
|
Nepotpuna jednadžba; jasno ne sadrži argument | Zamjena
red jednadžbe se smanjuje za jedan. |
|
Jednačina je u egzaktnim izvedenicama može biti potpuna ili nepotpuna. Takva jednadžba se može transformirati u oblik (*) ́= (*)́, gdje su desna i lijeva strana jednadžbe tačan izvod nekih funkcija. | Integriranje desne i lijeve strane jednačine preko argumenta snižava redoslijed jednačine za jedan. |
|
Zamjena snižava red jednačine za jedan. |
. Na primjer, 
i ona 
prvi derivati.
željenu funkciju. Na primjer, 
Definicija homogene funkcije:
Funkcija 
naziva se homogenim u varijablama 
, Ako 
u bilo kojoj tački u domeni definicije funkcije 
;
– red homogenosti.
Na primjer, je homogena funkcija 2. reda u odnosu na 
, tj. .
Primjer 1:
Pronađite opšte rješenje daljinskog upravljača 
.
DE 3. reda, nepotpuna, ne sadrži eksplicitno 
. Jednačinu uzastopno integrišemo tri puta.
,
– opšte rešenje daljinskog upravljača.
Primjer 2:
Riješite Cauchyjev problem za daljinsko upravljanje 
at 
.
DE drugog reda, nepotpuna, ne sadrži eksplicitno 
.
Zamjena 
i njen derivat 
će smanjiti redosled daljinskog upravljača za jedan.
. Dobili smo DE prvog reda – Bernoullijevu jednačinu. Za rješavanje ove jednačine koristimo Bernoullijevu zamjenu:
,
i ubacite ga u jednačinu.
U ovoj fazi rješavamo Cauchyjev problem za jednačinu 
: 
.
– jednačina prvog reda sa odvojivim varijablama.
Početne uslove zamjenjujemo u posljednju jednakost:
odgovor: 
je rješenje Cauchyjevog problema koje zadovoljava početne uslove.
Primjer 3:
Riješi DE.
– DE 2. reda, nepotpuna, ne sadrži eksplicitno varijablu , te stoga dozvoljava da se red smanji za jedan korištenjem zamjene ili 
.
Dobijamo jednačinu 
(neka 
).
– DE 1. reda sa razdvojenim varijablama. Hajde da ih razdvojimo.
– opšti integral DE.
Primjer 4:
Riješi DE.
Jednačina 
postoji jednadžba u egzaktnim derivatima. stvarno, 
.
Integrirajmo lijevu i desnu stranu s obzirom na , tj. 
ili . Dobili smo DE 1. reda sa odvojivim varijablama, tj. 
– opšti integral DE.
Primjer 5:
Riješite Cauchyjev problem za 
u .
DE 4. reda, nepotpuna, ne sadrži eksplicitno 
. Primjećujući da je ova jednadžba u egzaktnim derivatima, dobijamo 
ili 
, 
. Zamenimo početne uslove u ovu jednačinu: 
. Uzmimo daljinski 
3. red prvog tipa (vidi tabelu). Integrirajmo ga tri puta, a nakon svake integracije zamijenićemo početne uslove u jednačinu:
odgovor: 
- rješenje Cauchyjevog problema originalnog DE.
Primjer 6:
Riješite jednačinu.
– DE 2. reda, kompletan, sadrži homogenost u odnosu na 
. Zamjena 
će smanjiti red jednačine. Da bismo to učinili, svestimo jednačinu na oblik 
, dijeleći obje strane originalne jednadžbe sa 
. I razlikovati funkciju str:
.
Zamenimo 
I 
u daljinskom upravljanju: 
. Ovo je jednačina 1. reda sa odvojivim varijablama.
S obzirom na to 
, dobijamo daljinsko upravljanje ili 
– opšte rješenje originalnog DE.
Teorija linearnih diferencijalnih jednadžbi višeg reda.
Osnovna terminologija.
– NLDU 
reda, gdje su kontinuirane funkcije na određenom intervalu.
Zove se interval kontinuiteta daljinskog upravljača (3).
Hajde da uvedemo (uslovni) diferencijalni operator th reda
Kada djeluje na funkciju, dobivamo
To jest, lijeva strana linearne diferencijalne jednadžbe th reda.
Kao rezultat, LDE se može napisati
Linearna svojstva operatora 
:
1) – svojstvo aditivnosti
2) 
– broj – svojstvo homogenosti
Svojstva se lako provjeravaju, jer derivacije ovih funkcija imaju slična svojstva (konačan zbir izvoda jednak je zbiru konačnog broja izvoda; konstantni faktor se može izvaditi iz predznaka izvoda).
To. 
– linearni operator.
Razmotrimo pitanje postojanja i jedinstvenosti rješenja Cauchyjevog problema za LDE 
.
Hajde da riješimo LDE u odnosu na 
: , 
, – interval kontinuiteta.
Funkcija kontinuirana u domeni, derivati 
kontinuirano na tom području
Posljedično, područje jedinstvenosti u kojem Cauchy LDE problem (3) ima jedinstveno rješenje i zavisi samo od izbora tačke 
, sve ostale vrijednosti argumenata 
funkcije 
može se uzeti proizvoljno.
Opća teorija OLDE.
– interval kontinuiteta.
Glavna svojstva OLDE rješenja:
1. Svojstvo aditivnosti
(
– rješenje OLDE (4) na ) 
(
– rješenje OLDE (4) na ).
dokaz:
– rješenje OLDE (4) uključeno 
– rješenje OLDE (4) uključeno 
Onda 
2. Svojstvo homogenosti
( – rješenje OLDE (4) na ) ( 
(
– numeričko polje))
– rješenje za OLDE (4) na .
Dokaz je sličan.
Svojstva aditivnosti i homogenosti nazivaju se linearnim svojstvima OLDE (4).
Posljedica:
(
– rješenje za OLDE (4) na )( 
– rješenje OLDE (4) na ).
3. ( – kompleksno rješenje OLDE (4) na )( 
su realnovrijedna rješenja OLDE (4) na ).
dokaz:
Ako je rješenje za OLDE (4) na , onda kada se zameni u jednačinu to ga pretvara u identitet, tj. 
.
Zbog linearnosti operatora, lijeva strana posljednje jednakosti može se napisati na sljedeći način: 
.
To znači da su , tj. su realnovrijedna rješenja OLDE (4) na .
Naknadna svojstva rješenja starih vezana su za koncept “ linearna zavisnost”.
Određivanje linearne zavisnosti konačnog sistema funkcija
Za sistem funkcija se kaže da je linearno zavisan od toga da li postoji netrivijalan skup brojeva 
tako da je linearna kombinacija 
funkcije 
sa ovim brojevima je identično jednak nuli na , tj. 
.n što je netačno. Teorema je dokazana jednačineviširedova veličine(4 sata...
