Vrsta lekcije: učenje novog gradiva.

Ciljevi lekcije:

  • proširivanje i produbljivanje razumijevanja učenika o problemima rješavanim aritmetičkom progresijom; organiziranje aktivnosti pretraživanja učenika pri izvođenju formule za zbir prvih n članova aritmetičke progresije;
  • razvijanje sposobnosti za samostalno sticanje novih znanja i korištenje već stečenih znanja za postizanje zadatog zadatka;
  • razvijanje želje i potrebe za uopštavanjem dobijenih činjenica, razvijanje samostalnosti.

Zadaci:

  • sumirati i sistematizovati postojeća znanja na temu „Aritmetička progresija“;
  • izvesti formule za izračunavanje sume prvih n članova aritmetičke progresije;
  • naučiti kako primijeniti dobijene formule pri rješavanju razne zadatke;
  • skrenuti pažnju učenika na postupak nalaženja vrijednosti brojevnog izraza.

Oprema:

I. Ažuriranje osnovnih znanja.

1. Samostalan rad u parovima.

1. opcija:

Definirajte aritmetičku progresiju. Zapišite formulu ponavljanja koja definira aritmetičku progresiju. Navedite primjer aritmetičke progresije i navedite njegovu razliku.

2. opcija:

Zapišite formulu za n-ti član aritmetičke progresije. Pronađite 100. član aritmetičke progresije ( a n}: 2, 5, 8 …
U ovom trenutku dva studenta stražnja strana odbori pripremaju odgovore na ista pitanja.
Učenici ocjenjuju rad svog partnera tako što ga provjeravaju na tabli. (Liste sa odgovorima se predaju.)

2. Trenutak igre.

Vježba 1.

Učitelju. Mislio sam na neku aritmetičku progresiju. Postavite mi samo dva pitanja kako biste nakon odgovora mogli brzo imenovati 7. član ove progresije. (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15…)

Pitanja studenata.

  1. Koji je šesti termin progresije i koja je razlika?
  2. Koji je osmi termin progresije i koja je razlika?

Ako više nema pitanja, nastavnik ih može stimulisati - „zabrana“ na d (razliku), odnosno nije dozvoljeno pitati čemu je razlika jednaka. Možete postavljati pitanja: čemu je jednak 6. član progresije, a čemu 8. član progresije?

Zadatak 2.

Na tabli je napisano 20 brojeva: 1, 4, 7 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58.

Učitelj stoji leđima okrenut tabli. Učenici prozivaju broj, a nastavnik odmah proziva sam broj. Objasnite kako to mogu učiniti?

Nastavnik pamti formulu za n. član a n = 3n – 2 i, zamjenom navedenih vrijednosti n, pronalazi odgovarajuće vrijednosti a n.

II. Postavljanje zadatka za učenje.

Predlažem da rešim drevni problem koji datira iz 2. milenijuma pre nove ere, koji je pronađen u egipatskim papirusima.

zadatak:“Neka vam se kaže: podijelite 10 mjera ječma na 10 ljudi, razlika između svakog čovjeka i njegovog susjeda je 1/8 mjere.”

  • Kako je ovaj problem povezan s aritmetičkom progresijom teme? (Svaka sljedeća osoba dobija 1/8 mjere više, što znači da je razlika d=1/8, 10 osoba, što znači n=10.)
  • Šta mislite da znači broj 10 mjera? (Zbroj svih uslova progresije.)
  • Šta još trebate znati da biste lako i jednostavno podijelili ječam prema uvjetima problema? (Prvi period napredovanja.)

Cilj lekcije– dobijanje zavisnosti zbira članova progresije od njihovog broja, prvog člana i razlike i provera da li je problem u antičko doba bio ispravno rešen.

Prije nego što zaključimo formulu, pogledajmo kako su stari Egipćani riješili problem.

I to su riješili na sljedeći način:

1) 10 mjera: 10 = 1 mjera – prosječan udio;
2) 1 takt ∙ = 2 takta – udvostručen prosjek dijeliti.
Udvostručeno prosjek udio je zbir udjela 5. i 6. lica.
3) 2 takta – 1/8 takta = 1 7/8 takta – duplo više od petog lica.
4) 1 7/8: 2 = 5/16 – dio petine; i tako dalje, možete pronaći udio svake prethodne i sljedeće osobe.

Dobijamo slijed:

III. Rješavanje problema.

1. Rad u grupama

Grupa I: Pronađite zbroj 20 uzastopnih prirodni brojevi: S 20 =(20+1)∙10 =210.

Uglavnom

II grupa: Pronađite zbir prirodnih brojeva od 1 do 100 (Legenda o malom Gausu).

S 100 = (1+100)∙50 = 5050

zaključak:

III grupa: Pronađite zbir prirodnih brojeva od 1 do 21.

Rješenje: 1+21=2+20=3+19=4+18…

zaključak:

IV grupa: Pronađite zbir prirodnih brojeva od 1 do 101.

zaključak:

Ova metoda rješavanja razmatranih problema naziva se “Gaussova metoda”.

2. Svaka grupa predstavlja rješenje problema na tabli.

3. Generalizacija predloženih rješenja za proizvoljnu aritmetičku progresiju:

a 1 , a 2 , a 3 ,…, a n-2 , a n-1 , a n .
S n =a 1 + a 2 + a 3 + a 4 +…+ a n-3 + a n-2 + a n-1 + a n.

Nađimo ovaj zbir koristeći slično rezonovanje:

4. Jesmo li riješili problem?(Da.)

IV. Primarno razumijevanje i primjena dobijenih formula pri rješavanju zadataka.

1. Provjera rješenja starog problema pomoću formule.

2. Primjena formule u rješavanju različitih problema.

3. Vježbe za razvijanje sposobnosti primjene formula pri rješavanju zadataka.

A) Ne. 613

Dato: ( a n) – aritmetička progresija;

(a n): 1, 2, 3, …, 1500

Pronađite: S 1500

Rješenje: , a 1 = 1 i 1500 = 1500,

B) Dato: ( a n) – aritmetička progresija;
(a n): 1, 2, 3, …
S n = 210

Pronađite: n
Rješenje:

V. Samostalan rad uz međusobnu provjeru.

Denis je počeo da radi kao kurir. Prvog mjeseca njegova plata iznosila je 200 rubalja, u svakom narednom mjesecu povećavala se za 30 rubalja. Koliko je ukupno zaradio za godinu dana?

Dato: ( a n) – aritmetička progresija;
a 1 = 200, d=30, n=12
Pronađite: S 12
Rješenje:

Odgovor: Denis je za godinu dobio 4380 rubalja.

VI. Instrukcije za domaći rad.

  1. Odjeljak 4.3 – naučite izvođenje formule.
  2. №№ 585, 623 .
  3. Napravite problem koji se može riješiti korištenjem formule za zbir prvih n članova aritmetičke progresije.

VII. Sumiranje lekcije.

1. Rezultat

2. Nastavite rečenice

  • Danas na času sam naučio...
  • Naučene formule...
  • Vjerujem da …

3. Možete li pronaći zbir brojeva od 1 do 500? Koju metodu ćete koristiti za rješavanje ovog problema?

Bibliografija.

1. Algebra, 9. razred. Tutorial za obrazovne institucije. Ed. G.V. Dorofeeva. M.: „Prosvetljenje“, 2009.

Neki ljudi s oprezom tretiraju riječ „progresija“, kao vrlo složen termin iz grana više matematike. U međuvremenu, najjednostavnija aritmetička progresija je rad taksimetra (gdje još postoje). A razumijevanje suštine (a u matematici nema ništa važnije od "razumijevanja suštine") aritmetičkog niza nije tako teško, analizirajući nekoliko elementarnih koncepata.

Matematički niz brojeva

Numerički niz se obično naziva nizom brojeva, od kojih svaki ima svoj broj.

a 1 je prvi član niza;

i 2 je drugi član niza;

i 7 je sedmi član niza;

i n je n-ti član niza;

Međutim, ne zanima nas bilo koji proizvoljan skup brojeva i brojeva. Pažnju ćemo usmjeriti na numerički niz u kojem je vrijednost n-og člana povezana sa njegovim rednim brojem odnosom koji se može jasno matematički formulirati. Drugim riječima: brojčana vrijednost n-tog broja je neka funkcija od n.

a je vrijednost člana numeričkog niza;

n - njegov serijski broj;

f(n) je funkcija, gdje je redni broj u numeričkom nizu n argument.

Definicija

Aritmetičkom progresijom se obično naziva numerički niz u kojem je svaki sljedeći član veći (manji) od prethodnog za isti broj. Formula za n-ti član aritmetičkog niza je sljedeća:

a n - vrijednost trenutnog člana aritmetičke progresije;

a n+1 - formula sledećeg broja;

d - razlika (određeni broj).

Lako je utvrditi da ako je razlika pozitivna (d>0), tada će svaki sljedeći član razmatranog niza biti veći od prethodnog i takva će se aritmetička progresija povećavati.

Na donjem grafikonu lako je vidjeti zašto se brojčani niz naziva „rastući“.

U slučajevima kada je razlika negativna (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.

Navedena vrijednost člana

Ponekad je potrebno odrediti vrijednost bilo kojeg proizvoljnog člana a n aritmetičke progresije. To se može učiniti uzastopnim izračunavanjem vrijednosti svih članova aritmetičke progresije, počevši od prvog do željenog. Međutim, ovaj put nije uvijek prihvatljiv ako je, na primjer, potrebno pronaći vrijednost pethiljaditog ili osammilionitog člana. Tradicionalni proračuni će oduzeti dosta vremena. Međutim, određena aritmetička progresija može se proučavati korištenjem određenih formula. Postoji i formula za n-ti član: vrijednost bilo kojeg člana aritmetičke progresije može se odrediti kao zbir prvog člana progresije s razlikom progresije, pomnoženom brojem željenog člana, umanjenom za jedan.

Formula je univerzalna za povećanje i smanjenje progresije.

Primjer izračunavanja vrijednosti datog pojma

Rešimo sledeći problem nalaženja vrednosti n-og člana aritmetičke progresije.

Uvjet: postoji aritmetička progresija s parametrima:

Prvi član niza je 3;

Razlika u nizu brojeva je 1,2.

Zadatak: potrebno je pronaći vrijednost 214 pojmova

Rješenje: da bismo odredili vrijednost datog pojma, koristimo formulu:

a(n) = a1 + d(n-1)

Zamjenom podataka iz iskaza problema u izraz, imamo:

a(214) = a1 + d(n-1)

a(214) = 3 + 1,2 (214-1) = 258,6

Odgovor: 214. član niza je jednak 258,6.

Prednosti ove metode proračuna su očigledne - cijelo rješenje ne traje više od 2 reda.

Zbir datog broja pojmova

Vrlo često je u datom aritmetičkom nizu potrebno odrediti zbir vrijednosti nekih njegovih segmenata. Da biste to učinili, također nije potrebno izračunati vrijednosti svakog pojma i zatim ih zbrajati. Ova metoda je primjenjiva ako je mali broj pojmova čiji zbir treba pronaći. U drugim slučajevima, prikladnije je koristiti sljedeću formulu.

Zbir članova aritmetičke progresije od 1 do n jednak je zbiru prvog i n-tog člana, pomnoženog sa brojem člana n i podijeljenog sa dva. Ako se u formuli vrijednost n-tog člana zamijeni izrazom iz prethodnog stava članka, dobijamo:

Primjer izračuna

Na primjer, riješimo problem sa sljedećim uvjetima:

Prvi član niza je nula;

Razlika je 0,5.

Problem zahtijeva određivanje zbira članova niza od 56 do 101.

Rješenje. Koristimo formulu za određivanje količine progresije:

s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2

Prvo, određujemo zbir vrijednosti 101 člana progresije zamjenom datih uslova našeg problema u formulu:

s 101 = (2∙0 + 0,5∙(101-1))∙101/2 = 2,525

Očigledno, da bismo saznali zbir članova progresije od 56. do 101., potrebno je od S 101 oduzeti S 55.

s 55 = (2∙0 + 0,5∙(55-1))∙55/2 = 742,5

Dakle, zbir aritmetičke progresije za ovaj primjer je:

s 101 - s 55 = 2.525 - 742,5 = 1.782,5

Primjer praktične primjene aritmetičke progresije

Na kraju članka, vratimo se primjeru aritmetičkog niza datog u prvom pasusu - taksimetar (taxi auto mjerač). Razmotrimo ovaj primjer.

Ukrcaj u taksi (koji uključuje 3 km putovanja) košta 50 rubalja. Svaki naredni kilometar se plaća po stopi od 22 rublja/km. Udaljenost putovanja je 30 km. Izračunajte cijenu putovanja.

1. Odbacimo prva 3 km čija je cijena uključena u cijenu slijetanja.

30 - 3 = 27 km.

2. Dalje izračunavanje nije ništa drugo do raščlanjivanje niza aritmetičkih brojeva.

Broj člana - broj prijeđenih kilometara (minus prva tri).

Vrijednost člana je zbir.

Prvi član u ovom zadatku će biti jednak a 1 = 50 rubalja.

Razlika progresije d = 22 r.

broj koji nas zanima je vrijednost (27+1)-og člana aritmetičke progresije - očitavanje brojila na kraju 27. kilometra je 27.999... = 28 km.

a 28 = 50 + 22 ∙ (28 - 1) = 644

Proračuni kalendarskih podataka za proizvoljno dug period zasnivaju se na formulama koje opisuju određene numeričke nizove. U astronomiji, dužina orbite geometrijski zavisi od udaljenosti nebeskog tijela do zvijezde. Osim toga, različiti brojevni redovi se uspješno koriste u statistici i drugim primijenjenim oblastima matematike.

Druga vrsta niza brojeva je geometrijska

Geometrijsku progresiju karakteriziraju veće stope promjene u odnosu na aritmetičku progresiju. Nije slučajno da se u politici, sociologiji i medicini, da bi se prikazala velika brzina širenja određene pojave, na primjer, bolesti tokom epidemije, kaže da se proces razvija geometrijskom progresijom.

N-ti član niza geometrijskih brojeva razlikuje se od prethodnog po tome što se množi s nekim konstantnim brojem - nazivnik, na primjer, prvi član je 1, nazivnik je odgovarajući jednak 2, zatim:

n=1: 1 ∙ 2 = 2

n=2: 2 ∙ 2 = 4

n=3: 4 ∙ 2 = 8

n=4: 8 ∙ 2 = 16

n=5: 16 ∙ 2 = 32,

b n - vrijednost trenutnog člana geometrijske progresije;

b n+1 - formula sledećeg člana geometrijske progresije;

q je imenilac geometrijske progresije (konstantni broj).

Ako je graf aritmetičke progresije prava linija, onda geometrijska progresija daje malo drugačiju sliku:

Kao iu slučaju aritmetike, geometrijska progresija ima formulu za vrijednost proizvoljnog člana. Svaki n-ti član geometrijske progresije jednak je umnošku prvog člana i nazivnika progresije na stepen n smanjen za jedan:

Primjer. Imamo geometrijsku progresiju sa prvim članom jednakim 3 i nazivnikom progresije jednakim 1,5. Nađimo 5. član progresije

b 5 = b 1 ∙ q (5-1) = 3 ∙ 1,5 4 = 15,1875

Zbir datog broja termina se također izračunava pomoću posebne formule. Zbir prvih n članova geometrijske progresije jednak je razlici između umnoška n-tog člana progresije i njegovog nazivnika i prvog člana progresije, podijeljenog nazivnikom smanjenim za jedan:

Ako se b n zamijeni gore opisanom formulom, vrijednost zbroja prvih n članova brojevnog niza koji se razmatra imat će oblik:

Primjer. Geometrijska progresija počinje sa prvim članom jednakim 1. Imenilac je postavljen na 3. Nađimo zbir prvih osam članova.

s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280

Prilikom izučavanja algebre u srednjoj školi (9. razred) jedna od važnih tema je izučavanje numeričkih nizova, koji uključuju progresije – geometrijske i aritmetičke. U ovom članku ćemo pogledati aritmetičku progresiju i primjere s rješenjima.

Šta je aritmetička progresija?

Da bi se ovo razumjelo, potrebno je definirati o kojoj se progresiji radi, kao i navesti osnovne formule koje će se kasnije koristiti u rješavanju problema.

Aritmetička ili algebarska progresija je skup uređenih racionalnih brojeva, čiji se svaki član razlikuje od prethodnog za neku konstantnu vrijednost. Ova vrijednost se naziva razlika. To jest, znajući bilo koji član uređenog niza brojeva i razliku, možete vratiti cjelokupnu aritmetičku progresiju.

Dajemo primjer. Sljedeći niz brojeva će biti aritmetička progresija: 4, 8, 12, 16, ..., pošto je razlika u ovom slučaju 4 (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12). Ali skup brojeva 3, 5, 8, 12, 17 više se ne može pripisati tipu progresije koji se razmatra, jer razlika za njega nije konstantna vrijednost (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17 - 12).

Važne formule

Predstavimo sada osnovne formule koje će biti potrebne za rješavanje problema korištenjem aritmetičke progresije. Označimo simbolom a n n-ti član niza, gdje je n cijeli broj. Razliku označavamo latiničnim slovom d. Tada su važeći sljedeći izrazi:

  1. Za određivanje vrijednosti n-tog člana prikladna je sljedeća formula: a n = (n-1)*d+a 1 .
  2. Odrediti zbir prvih n članova: S n = (a n +a 1)*n/2.

Da bismo razumjeli bilo koji primjer aritmetičke progresije sa rješenjima u 9. razredu, dovoljno je zapamtiti ove dvije formule, jer se svaki problem tipa koji se razmatra zasniva na njihovoj upotrebi. Također treba imati na umu da je razlika u progresiji određena formulom: d = a n - a n-1.

Primjer #1: pronalaženje nepoznatog člana

Navedimo jednostavan primjer aritmetičke progresije i formule koje je potrebno koristiti za rješavanje.

Neka je zadan niz 10, 8, 6, 4, ..., u njemu morate pronaći pet članova.

Već iz uslova zadatka proizilazi da su prva 4 člana poznata. Peti se može definisati na dva načina:

  1. Prvo izračunajmo razliku. Imamo: d = 8 - 10 = -2. Slično, možete uzeti bilo koja druga dva člana koji stoje jedan pored drugog. Na primjer, d = 4 - 6 = -2. Pošto je poznato da je d = a n - a n-1, onda je d = a 5 - a 4, od čega dobijamo: a 5 = a 4 + d. Zamijenjujemo poznate vrijednosti: a 5 = 4 + (-2) = 2.
  2. Druga metoda također zahtijeva poznavanje razlike dotične progresije, tako da je prvo trebate odrediti kao što je prikazano gore (d = -2). Znajući da je prvi član a 1 = 10, koristimo formulu za n broj niza. Imamo: a n = (n - 1) * d + a 1 = (n - 1) * (-2) + 10 = 12 - 2*n. Zamjenom n = 5 u posljednji izraz dobijamo: a 5 = 12-2 * 5 = 2.

Kao što vidite, oba rješenja su dovela do istog rezultata. Imajte na umu da je u ovom primjeru razlika d u progresiji negativna vrijednost. Takvi nizovi se nazivaju opadajućim, jer je svaki sljedeći član manji od prethodnog.

Primjer #2: razlika u progresiji

Sada ćemo malo zakomplikovati zadatak, dajmo primjer kako

Poznato je da je u nekima 1. član jednak 6, a 7. član jednak 18. Potrebno je pronaći razliku i vratiti ovaj niz na 7. član.

Koristimo formulu da odredimo nepoznati pojam: a n = (n - 1) * d + a 1 . Zamenimo u njega poznate podatke iz uslova, odnosno brojeve a 1 i a 7, imamo: 18 = 6 + 6 * d. Iz ovog izraza možete lako izračunati razliku: d = (18 - 6) /6 = 2. Dakle, odgovorili smo na prvi dio zadatka.

Da biste vratili niz na 7. član, trebali biste koristiti definiciju algebarske progresije, to jest, a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d, i tako dalje. Kao rezultat, vraćamo cijeli niz: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2=8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16, a 7 = 18.

Primjer br. 3: izrada progresije

Hajde da još više zakomplikujemo problem. Sada moramo odgovoriti na pitanje kako pronaći aritmetičku progresiju. Može se dati sljedeći primjer: data su dva broja, na primjer - 4 i 5. Potrebno je napraviti algebarsku progresiju tako da se između njih smjeste još tri člana.

Prije nego počnete rješavati ovaj problem, morate razumjeti koje će mjesto dati brojevi zauzeti u budućoj progresiji. Pošto će između njih biti još tri člana, onda je a 1 = -4 i a 5 = 5. Nakon što smo ovo ustanovili, prelazimo na problem koji je sličan prethodnom. Opet, za n-ti član koristimo formulu, dobijamo: a 5 = a 1 + 4 * d. Od: d = (a 5 - a 1)/4 = (5 - (-4)) / 4 = 2,25. Ono što smo dobili ovdje nije cjelobrojna vrijednost razlike, već je to racionalan broj, tako da formule za algebarsku progresiju ostaju iste.

Sada dodajmo pronađenu razliku na 1 i vratimo nedostajuće članove progresije. Dobijamo: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2,25 = - 1,75, a 3 = -1,75 + 2,25 = 0,5, a 4 = 0,5 + 2,25 = 2,75, a 5 = 2,75 + 2,25 = 5, što odgovara sa uslovima problema.

Primjer br. 4: prvi termin progresije

Nastavimo davati primjere aritmetičke progresije s rješenjima. U svim prethodnim problemima prvi broj algebarske progresije je bio poznat. Sada razmotrimo problem drugačijeg tipa: neka su data dva broja, pri čemu je a 15 = 50 i a 43 = 37. Potrebno je pronaći kojim brojem počinje ovaj niz.

Do sada korištene formule pretpostavljaju poznavanje a 1 i d. U opisu problema ništa se ne zna o ovim brojevima. Ipak, za svaki termin ćemo zapisati izraze o kojima su dostupne informacije: a 15 = a 1 + 14 * d i a 43 = a 1 + 42 * d. Dobili smo dvije jednačine u kojima postoje 2 nepoznate veličine (a 1 i d). To znači da se problem svodi na rješavanje sistema linearnih jednačina.

Najlakši način da se riješi ovaj sistem je izraziti 1 u svakoj jednačini i zatim uporediti rezultirajuće izraze. Prva jednadžba: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; druga jednadžba: a 1 = a 43 - 42 * d = 37 - 42 * d. Izjednačavanjem ovih izraza dobijamo: 50 - 14 * d = 37 - 42 * d, odakle je razlika d = (37 - 50) / (42 - 14) = - 0,464 (date su samo 3 decimale).

Znajući d, možete koristiti bilo koji od 2 gornja izraza za 1. Na primjer, prvo: a 1 = 50 - 14 * d = 50 - 14 * (- 0,464) = 56,496.

Ako sumnjate u dobijeni rezultat, možete ga provjeriti, na primjer, odrediti 43. član progresije, koji je naveden u uvjetu. Dobijamo: a 43 = a 1 + 42 * d = 56,496 + 42 * (- 0,464) = 37,008. Mala greška je zbog činjenice da je u proračunima korišteno zaokruživanje na hiljaditi dio.

Primjer br. 5: iznos

Pogledajmo sada nekoliko primjera s rješenjima za zbir aritmetičke progresije.

Neka je data numerička progresija sljedećeg oblika: 1, 2, 3, 4, ...,. Kako izračunati zbir 100 ovih brojeva?

Zahvaljujući razvoju računarske tehnologije, moguće je riješiti ovaj problem, odnosno sabrati sve brojeve uzastopno, što će računar učiniti čim osoba pritisne tipku Enter. Međutim, problem se može riješiti mentalno ako obratite pažnju da je prikazani niz brojeva algebarska progresija, a njegova razlika je jednaka 1. Primjenom formule za zbir dobijamo: S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

Zanimljivo je da je ovaj problem nazvan „Gausov” jer je početkom 18. veka slavni Nemac, još uvek samo 10-godišnjak, uspeo da ga reši u svojoj glavi za nekoliko sekundi. Dječak nije znao formulu za zbir algebarske progresije, ali je primijetio da ako dodate brojeve na krajevima niza u parovima, uvijek dobijete isti rezultat, odnosno 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ..., a pošto će ovi zbroji biti tačno 50 (100 / 2), onda je za tačan odgovor dovoljno pomnožiti 50 sa 101.

Primjer br. 6: zbir članova od n do m

Još jedan tipičan primjer zbira aritmetičke progresije je sljedeći: dajući niz brojeva: 3, 7, 11, 15, ..., morate pronaći koliko će biti jednak zbir njegovih članova od 8 do 14 .

Problem se rješava na dva načina. Prvi od njih uključuje pronalaženje nepoznatih pojmova od 8 do 14, a zatim njihovo sumiranje uzastopno. Budući da postoji malo pojmova, ova metoda nije baš radno intenzivna. Ipak, predlaže se rješavanje ovog problema korištenjem druge metode, koja je univerzalnija.

Ideja je dobiti formulu za zbir algebarske progresije između pojmova m i n, gdje su n > m cijeli brojevi. Za oba slučaja pišemo dva izraza za zbir:

  1. S m = m * (a m + a 1) / 2.
  2. S n = n * (a n + a 1) / 2.

Pošto je n > m, očigledno je da 2. zbir uključuje prvi. Posljednji zaključak znači da ako uzmemo razliku između ovih zbira i dodamo joj pojam a m (u slučaju uzimanja razlike, ona se oduzme od zbira S n), dobićemo neophodan odgovor na problem. Imamo: S mn = S n - S m + a m =n * (a 1 + a n) / 2 - m *(a 1 + a m)/2 + a m = a 1 * (n - m) / 2 + a n * n/2 + a m * (1- m/2). U ovaj izraz potrebno je zamijeniti formule za n i a m. Tada dobijamo: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d *(3 * m - m 2 - 2) / 2.

Rezultirajuća formula je pomalo glomazna, međutim, zbir S mn ovisi samo o n, m, a 1 i d. U našem slučaju, a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Zamjenom ovih brojeva dobijamo: S mn = 301.

Kao što se vidi iz gornjih rješenja, svi problemi se zasnivaju na poznavanju izraza za n-ti član i formule za zbir skupa prvih članova. Prije nego počnete rješavati bilo koji od ovih problema, preporučuje se da pažljivo pročitate uvjet, jasno shvatite šta trebate pronaći i tek onda nastaviti s rješavanjem.

Još jedan savjet je da težite jednostavnosti, odnosno, ako možete odgovoriti na pitanje bez korištenja složenih matematičkih proračuna, onda morate učiniti upravo to, jer je u ovom slučaju vjerovatnoća da ćete pogriješiti manja. Na primjer, u primjeru aritmetičke progresije sa rješenjem br. 6, moglo bi se zaustaviti na formuli S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m, i break zajednički zadatak u zasebne podzadatke (u ovom slučaju prvo pronađite pojmove a n i a m).

Ako sumnjate u dobijeni rezultat, preporučuje se da ga provjerite, kao što je to učinjeno u nekim od navedenih primjera. Saznali smo kako pronaći aritmetičku progresiju. Ako to shvatite, nije tako teško.

Matematika ima svoju lepotu, baš kao i slikarstvo i poezija.

Ruski naučnik, mehaničar N.E. Zhukovsky

Vrlo uobičajeni zadaci u prijemni ispiti u matematici su problemi vezani za koncept aritmetičke progresije. Da biste uspješno rješavali takve probleme, morate dobro poznavati svojstva aritmetičke progresije i imati određene vještine u njihovoj primjeni.

Prisjetimo se najprije osnovnih svojstava aritmetičke progresije i predstavimo najvažnije formule, vezano za ovaj koncept.

Definicija. Redoslijed brojeva, u kojoj se svaki naredni pojam razlikuje od prethodnog za isti broj, zove se aritmetička progresija. U ovom slučaju, brojnazvana razlika u progresiji.

Za aritmetičku progresiju važe sljedeće formule:

, (1)

Gdje . Formula (1) se naziva formulom opšteg člana aritmetičke progresije, a formula (2) predstavlja glavno svojstvo aritmetičke progresije: svaki član progresije se poklapa sa aritmetičkom sredinom njegovih susednih članova i .

Imajte na umu da se upravo zbog ovog svojstva progresija koja se razmatra naziva "aritmetička".

Gore navedene formule (1) i (2) su generalizirane na sljedeći način:

(3)

Za izračunavanje iznosa prvo termini aritmetičke progresijeformula se obično koristi

(5) gdje i .

Ako uzmemo u obzir formulu (1), onda iz formule (5) slijedi

Ako označimo , onda

Gdje . Budući da su formule (7) i (8) generalizacija odgovarajućih formula (5) i (6).

posebno, iz formule (5) slijedi, Šta

Većini studenata malo je poznato svojstvo aritmetičke progresije, formulisano kroz sljedeću teoremu.

Teorema. Ako onda

Dokaz. Ako onda

Teorema je dokazana.

Na primjer , koristeći teoremu, može se pokazati da

Idemo dalje na razmatranje tipičnih primjera rješavanja zadataka na temu „Aritmetička progresija“.

Primjer 1. Neka bude. Pronađite .

Rješenje. Primjenom formule (6) dobijamo . Budući da i , onda ili .

Primjer 2. Neka je tri puta veći, a kada se podijeli s količnikom, rezultat je 2, a ostatak je 8. Odrediti i .

Rješenje. Iz uslova primjera slijedi sistem jednačina

Pošto , , i , onda iz sistema jednačina (10) dobijamo

Rješenje ovog sistema jednačina je i .

Primjer 3. Pronađite ako i .

Rješenje. Prema formuli (5) imamo ili . Međutim, koristeći svojstvo (9), dobijamo .

Budući da i , Zatim iz jednakosti jednačina slijedi ili .

Primjer 4. Pronađite ako .

Rješenje.Prema formuli (5) imamo

Međutim, koristeći teoremu, možemo pisati

Odavde i iz formule (11) dobijamo .

Primjer 5. Dato: . Pronađite .

Rješenje. Od tada. Međutim, stoga.

Primjer 6. Neka , i . Pronađite .

Rješenje. Koristeći formulu (9), dobijamo . Stoga, ako , onda ili .

Od i onda ovde imamo sistem jednačina

Rješavajući koje, dobivamo i .

Prirodni korijen jednadžbe je .

Primjer 7. Pronađite ako i .

Rješenje. Pošto prema formuli (3) imamo da , onda sistem jednačina slijedi iz uslova problema

Ako zamijenimo izrazu drugu jednačinu sistema, tada dobijamo ili .

Roots kvadratna jednačina su i .

Razmotrimo dva slučaja.

1. Neka , onda . Od i , onda .

U ovom slučaju, prema formuli (6), imamo

2. Ako , onda , i

Odgovor: i.

Primjer 8. Poznato je da i. Pronađite .

Rješenje. Uzimajući u obzir formulu (5) i uvjet primjera, pišemo i .

To podrazumijeva sistem jednačina

Ako pomnožimo prvu jednačinu sistema sa 2, a zatim je dodamo drugoj jednačini, dobićemo

Prema formuli (9) imamo. S tim u vezi, proizilazi iz (12) ili .

Od i , onda .

Odgovor: .

Primjer 9. Pronađite ako i .

Rješenje. Budući da , i pod uvjetom , onda ili .

Iz formule (5) je poznato, Šta . Od tada.

dakle, ovdje imamo sistem linearnih jednačina

Odavde dobijamo i . Uzimajući u obzir formulu (8), pišemo .

Primjer 10. Riješite jednačinu.

Rješenje. Od zadata jednačina sledi to. Pretpostavimo da , , i . U ovom slučaju .

Prema formuli (1), možemo napisati ili .

Budući da , tada jednačina (13) ima jedini odgovarajući korijen .

Primjer 11. Pronađite maksimalnu vrijednost pod uvjetom da i .

Rješenje. Budući da , tada se razmatrana aritmetička progresija smanjuje. U tom smislu izraz poprima svoju maksimalnu vrijednost kada je broj minimalnog pozitivnog člana progresije.

Koristimo formulu (1) i činjenicu, to i . Onda dobijemo to ili .

Od , tada ili . Međutim, u ovoj nejednakostinajveći prirodni broj, Zbog toga .

Ako se vrijednosti , i zamijene u formulu (6), dobivamo .

Odgovor: .

Primjer 12. Odredite zbir svih dvocifrenih prirodnih brojeva koji, kada se podijele brojem 6, ostavljaju ostatak od 5.

Rješenje. Označimo skupom svih dvocifrenih prirodnih brojeva, tj. . Zatim ćemo konstruisati podskup koji se sastoji od onih elemenata (brojeva) skupa koji, kada se podijele brojem 6, daju ostatak od 5.

Jednostavan za instalaciju, Šta . Očigledno, da su elementi skupaformiraju aritmetičku progresiju, u kojem i .

Da bismo ustanovili kardinalnost (broj elemenata) skupa, pretpostavljamo da je . Budući da i , proizlazi iz formule (1) ili . Uzimajući u obzir formulu (5), dobijamo .

Gore navedeni primjeri rješavanja problema nikako ne mogu tvrditi da su iscrpni. Ovaj članak je napisan na osnovu analize savremenim metodama rješavanje tipičnih problema na zadatu temu. Za dublje proučavanje metoda za rješavanje problema vezanih za aritmetičku progresiju, preporučljivo je pogledati listu preporučene literature.

1. Zbirka zadataka iz matematike za kandidate na fakultetima / Ed. M.I. Skanavi. – M.: Mir i obrazovanje, 2013. – 608 str.

2. Suprun V.P. Matematika za srednjoškolce: dodatni dijelovi školski program. – M.: Lenand / URSS, 2014. – 216 str.

3. Medynsky M.M. Puni kurs elementarna matematika u zadacima i vježbama. knjiga 2: Brojčani nizovi i napredovanje. – M.: Editus, 2015. – 208 str.

Imate još pitanja?

Da biste dobili pomoć od tutora, registrujte se.

web stranicu, kada kopirate materijal u cijelosti ili djelomično, link na izvor je obavezan.


Na primjer, niz \(2\); \(5\); \(8\); \(jedanaest\); \(14\)... je aritmetička progresija, jer se svaki sljedeći element razlikuje od prethodnog za tri (može se dobiti od prethodnog dodavanjem tri):

U ovoj progresiji, razlika \(d\) je pozitivna (jednaka \(3\)), i stoga je svaki sljedeći član veći od prethodnog. Takve progresije se nazivaju povećanje.

Međutim, \(d\) također može biti negativan broj. Na primjer, u aritmetičkoj progresiji \(16\); \(10\); \(4\); \(-2\); \(-8\)... razlika u progresiji \(d\) jednaka je minus šest.

I u ovom slučaju, svaki sljedeći element bit će manji od prethodnog. Ove progresije se nazivaju opadajući.

Zapis aritmetičke progresije

Napredak je označen malim latiničnim slovom.

Zovu se brojevi koji formiraju progresiju članovi(ili elemenata).

Označavaju se istim slovom kao aritmetička progresija, ali s numeričkim indeksom jednakim broju elementa po redu.

Na primjer, aritmetička progresija \(a_n = \lijevo\( 2; 5; 8; 11; 14...\desno\)\) se sastoji od elemenata \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) i tako dalje.

Drugim riječima, za progresiju \(a_n = \lijevo\(2; 5; 8; 11; 14...\desno\)\)

Rješavanje problema aritmetičke progresije

U principu, gore predstavljene informacije su već dovoljne za rješavanje gotovo svakog problema aritmetičke progresije (uključujući one koje se nude na OGE).

Primjer (OGE). Aritmetička progresija je određena uslovima \(b_1=7; d=4\). Pronađite \(b_5\).
Rješenje:

odgovor: \(b_5=23\)

Primjer (OGE). Prva tri člana aritmetičke progresije su data: \(62; 49; 36…\) Pronađite vrijednost prvog negativnog člana ove progresije..
Rješenje:

Dati su nam prvi elementi niza i znamo da je to aritmetička progresija. To jest, svaki element se razlikuje od svog susjeda za isti broj. Hajde da saznamo koji oduzimanjem prethodnog od sljedećeg elementa: \(d=49-62=-13\).

Sada možemo vratiti naš napredak do (prvog negativnog) elementa koji nam je potreban.

Spreman. Možete napisati odgovor.

odgovor: \(-3\)

Primjer (OGE). Dato je nekoliko uzastopnih elemenata aritmetičke progresije: \(…5; x; 10; 12,5...\) Pronađite vrijednost elementa označenog slovom \(x\).
Rješenje:


Da bismo pronašli \(x\), moramo znati koliko se sljedeći element razlikuje od prethodnog, drugim riječima, razliku u progresiji. Nađimo ga iz dva poznata susjedna elementa: \(d=12,5-10=2,5\).

I sada lako možemo pronaći ono što tražimo: \(x=5+2.5=7.5\).


Spreman. Možete napisati odgovor.

odgovor: \(7,5\).

Primjer (OGE). Aritmetička progresija je definisana sledećim uslovima: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Pronađite zbir prvih šest članova ove progresije.
Rješenje:

Moramo pronaći zbir prvih šest članova progresije. Ali mi ne znamo njihova značenja; dat nam je samo prvi element. Stoga prvo izračunavamo vrijednosti ​​jednu po jednu, koristeći ono što nam je dato:

\(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\)
\(n=2\); \(a_(2+1)=a_2+5=-6+5=-1\)
\(n=3\); \(a_(3+1)=a_3+5=-1+5=4\)
I nakon što smo izračunali šest elemenata koji su nam potrebni, nalazimo njihov zbir.

\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\)
\(=(-11)+(-6)+(-1)+4+9+14=9\)

Traženi iznos je pronađen.

odgovor: \(S_6=9\).

Primjer (OGE). U aritmetičkoj progresiji \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Pronađite razliku ove progresije.
Rješenje:

odgovor: \(d=7\).

Važne formule za aritmetičku progresiju

Kao što vidite, mnogi problemi s aritmetičkom progresijom mogu se riješiti jednostavnim razumijevanjem glavne stvari - da je aritmetička progresija lanac brojeva, a svaki sljedeći element u ovom lancu se dobija dodavanjem istog broja prethodnom ( razlika u progresiji).

Međutim, ponekad se dešavaju situacije kada je odlučivanje o "čelnom" vrlo nezgodno. Na primjer, zamislite da u prvom primjeru ne trebamo pronaći peti element \(b_5\), već trista osamdeset šesti \(b_(386)\). Trebamo li sabrati četiri \(385\) puta? Ili zamislite da u pretposljednjem primjeru trebate pronaći zbir prva sedamdeset tri elementa. Bićete umorni od brojanja...

Stoga u takvim slučajevima ne rješavaju stvari „iz glave“, već koriste posebne formule izvedene za aritmetičku progresiju. A glavne su formula za n-ti član progresije i formula za zbir \(n\) prvih članova.

Formula \(n\)-tog člana: \(a_n=a_1+(n-1)d\), gdje je \(a_1\) prvi član progresije;
\(n\) – broj potrebnog elementa;
\(a_n\) – termin progresije sa brojem \(n\).


Ova formula nam omogućava da brzo pronađemo čak i tristoti ili milioniti element, znajući samo prvi i razliku progresije.

Primjer. Aritmetička progresija je određena uslovima: \(b_1=-159\); \(d=8,2\). Pronađite \(b_(246)\).
Rješenje:

odgovor: \(b_(246)=1850\).

Formula za zbir prvih n članova: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), gdje je



\(a_n\) – posljednji zbrojeni član;


Primjer (OGE). Aritmetička progresija je određena uslovima \(a_n=3.4n-0.6\). Pronađite zbir prvih \(25\) članova ove progresije.
Rješenje:

\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2 )\) \(\cdot 25\)

Da bismo izračunali zbir prvih dvadeset pet članova, moramo znati vrijednost prvog i dvadeset petog člana.
Naša progresija je data formulom n-tog člana u zavisnosti od njegovog broja (za više detalja vidi). Izračunajmo prvi element zamjenom jednog za \(n\).

\(n=1;\) \(a_1=3,4·1-0,6=2,8\)

Sada pronađimo dvadeset peti član zamjenom dvadeset pet umjesto \(n\).

\(n=25;\) \(a_(25)=3,4·25-0,6=84,4\)

Pa, sada možemo lako izračunati potrebnu količinu.

\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\)
\(=\) \(\frac(2.8+84.4)(2)\) \(\cdot 25 =\)\(1090\)

Odgovor je spreman.

odgovor: \(S_(25)=1090\).

Za zbir \(n\) prvih članova možete dobiti drugu formulu: samo trebate \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) umjesto \(a_n\) zamijenite formulu za to \(a_n=a_1+(n-1)d\). Dobijamo:

Formula za zbir prvih n članova: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), gdje je

\(S_n\) – traženi zbir \(n\) prvih elemenata;
\(a_1\) – prvi zbrojeni član;
\(d\) – razlika u progresiji;
\(n\) – ukupan broj elemenata.

Primjer. Naći zbir prvih \(33\)-ex članova aritmetičke progresije: \(17\); \(15,5\); \(14\)…
Rješenje:

odgovor: \(S_(33)=-231\).

Složeniji problemi aritmetičke progresije

Sada imate sve informacije koje su vam potrebne za rješavanje gotovo svakog problema aritmetičke progresije. Hajde da završimo temu razmatranjem problema u kojima ne samo da treba da primenite formule, već i malo razmislite (u matematici to može biti korisno ☺)

Primjer (OGE). Pronađite zbir svih negativnih članova progresije: \(-19.3\); \(-19\); \(-18,7\)…
Rješenje:

\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\)

Zadatak je vrlo sličan prethodnom. Počinjemo rješavati istu stvar: prvo pronađemo \(d\).

\(d=a_2-a_1=-19-(-19,3)=0,3\)

Sada bih htio zamijeniti \(d\) u formulu za zbir... i ovdje se pojavljuje mala nijansa - ne znamo \(n\). Drugim riječima, ne znamo koliko termina treba dodati. Kako to saznati? Hajde da razmislimo. Prestat ćemo sa dodavanjem elemenata kada dođemo do prvog pozitivnog elementa. Odnosno, morate saznati broj ovog elementa. Kako? Zapišimo formulu za izračunavanje bilo kojeg elementa aritmetičke progresije: \(a_n=a_1+(n-1)d\) za naš slučaj.

\(a_n=a_1+(n-1)d\)

\(a_n=-19,3+(n-1)·0,3\)

Treba nam \(a_n\) da postane veći od nule. Hajde da saznamo u čemu će se to \(n\) dogoditi.

\(-19,3+(n-1)·0,3>0\)

\((n-1)·0,3>19,3\) \(|:0,3\)

Obje strane nejednakosti dijelimo sa \(0.3\).

\(n-1>\)\(\frac(19.3)(0.3)\)

Prenosimo minus jedan, ne zaboravljajući promijeniti znakove

\(n>\)\(\frac(19.3)(0.3)\) \(+1\)

Hajde da izračunamo...

\(n>65,333…\)

...i ispostavilo se da će prvi pozitivni element imati broj \(66\). Prema tome, zadnja negativna ima \(n=65\). Za svaki slučaj, hajde da proverimo ovo.

\(n=65;\) \(a_(65)=-19,3+(65-1)·0,3=-0,1\)
\(n=66;\) \(a_(66)=-19,3+(66-1)·0,3=0,2\)

Dakle, moramo dodati prve \(65\) elemente.

\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19.3)+(65-1)0.3)(2)\)\(\cdot 65\)
\(S_(65)=\)\((-38,6+19,2)(2)\)\(\cdot 65=-630,5\)

Odgovor je spreman.

odgovor: \(S_(65)=-630,5\).

Primjer (OGE). Aritmetička progresija je određena uslovima: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). Pronađite zbroj od \(26\)-og do \(42\) elementa uključujući.
Rješenje:

\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\)

U ovom zadatku također morate pronaći zbir elemenata, ali ne počevši od prvog, već od \(26\)-og. Za takav slučaj nemamo formulu. Kako odlučiti?
Lako je - da biste dobili zbir od \(26\)-og do \(42\)-og, prvo morate pronaći zbir od \(1\)-og do \(42\)-og, a zatim oduzeti od toga zbir od prvog do \(25\)-og (vidi sliku).


Za našu progresiju \(a_1=-33\), i razliku \(d=4\) (na kraju krajeva, dodajemo četiri prethodnom elementu da pronađemo sljedeći). Znajući ovo, nalazimo zbir prvih \(42\)-y elemenata.

\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\)
\(=\)\(\frac(-66+164)(2)\) \(\cdot 42=2058\)

Sada zbir prvih \(25\) elemenata.

\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\)
\(=\)\(\frac(-66+96)(2)\) \(\cdot 25=375\)

I konačno, izračunavamo odgovor.

\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\)

odgovor: \(S=1683\).

Za aritmetičku progresiju postoji još nekoliko formula koje nismo razmatrali u ovom članku zbog njihove niske praktične korisnosti. Međutim, lako ih možete pronaći.