Zanimljive i zanimljive činjenice o matematici. Iz istorije decimalnih razlomaka Smešna matematička priča o razlomcima

Decimalni razlomci su se pojavili u 3. veku. BC. u staroj Kini, gde se koristio decimalni sistem brojeva. Kineski matematičar iz 3. veka. Liu Hui je preporučio korištenje razlomaka s nazivnikom 10, 100, itd. prilikom vađenja kvadratni korijeni. Mislio je na pravilo

koji su kasnije često koristili mnogi arapski i evropski matematičari. Upravo je ovo pravilo, zajedno s nekim drugim računskim tehnikama, u velikoj mjeri doprinijelo uvođenju u nauku. decimale.

U 15. veku Kompletnu teoriju decimalnih razlomaka razvio je astronom iz Samarkanda Jemshid al-Kashi u raspravi "Ključ aritmetike" (1427). Detaljno je iznio pravila za rad sa decimalnim razlomcima. Moguće je da al-Kashi nije znao da se u Kini koriste decimale. I sam ih je smatrao svojim izumom. Nema sumnje da je stalna upotreba decimalnih razlomaka i opis pravila za rad s njima direktna zasluga naučnika. Ali njegovi traktati nisu bili poznati evropskim naučnicima. Oni su samostalno razvili teoriju decimalnih razlomaka.

Ideja o konstruisanju takvog sistema razlomaka s vremena na vreme se javlja u udžbenicima aritmetike od 13. veka. Jordan Nemorarius je o tome pisao u svom djelu “Aritmetika izložena u deset knjiga”.

Francuski naučnik François Viète objavio je u Parizu 1579. godine svoj rad “Matematički kanon” u kojem je predstavio trigonometrijske tablice u čijem je sastavljanju koristio decimalne razlomke. Prilikom pisanja decimalnih razlomaka nije se pridržavao nijedne posebne metode: ponekad je odvajao cijeli dio od razlomaka okomitom linijom, ponekad je podebljano prikazivao brojeve cijelog dijela, ponekad je pisao brojeve razlomaka. manjim slovima. Tako su, zahvaljujući Vieti, decimalni razlomci počeli prodirati u naučne proračune, ali nisu ušli u svakodnevnu praksu.

Holandski naučnik Simon Stevin smatrao je da decimalne razlomke treba koristiti u svim praktičnim proračunima. Tome je posvetio svoje djelo „Deseto“ (1585.) u kojem je uveo decimalne razlomke, razvio pravila za računske operacije s njima i predložio decimalni sistem novčanih jedinica, mjera i težina.

"Deseta" je brzo postala poznata u Evropi. Objavivši knjigu 1585. na flamanskom, autor ju je preveo na francuski, a 1601. godine objavljena je na engleskom jeziku.

Stevin je zapisivao razlomke drugačije nego sada. Zaokružena 0 korištena je za označavanje razlomaka. Zarez je prvi put upotrijebljen pri pisanju razlomaka 1592. U Engleskoj su umjesto zareza počeli koristiti tačku, au SAD-u se i dalje koristi. Koristite zarez kao separator, kao i tačka, predložena je 1616-1617. poznati engleski matematičar John Napier. Astronom Johannes Kepler koristio je decimalni zarez u svojim radovima.

U Rusiji je doktrinu decimalnih razlomaka prvi izložio L.F. Magnitsky u svojoj "Aritmetici".

Pavlikova E.V. (, MAOU Dyatkovskaya srednja škola br. 5)

1. Anishchenko E. A. Broj kao osnovni koncept matematike. Mariupolj, 2002.

2. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematika. 5. razred: obrazovni za obrazovne institucije. – 26. izd., izbrisano. – M.: Mnemosyne, 2009. – 280 str.

3. Gejzir G.I. Istorija matematike u školi. Priručnik za nastavnike. – M.: Prosveta, 1981. – 239 str.

4. Matematika. 5. razred: obrazovni za opšte obrazovanje. institucije / S.M. Nikolsky, M.K. Potapov, N.N. Rešetnikov, A.V. Shevkin. 11. izdanje, revidirano. – M.: Obrazovanje, 2016. – 272 str. – (MSU – škola).

5. Matematički enciklopedijski rječnik. – M., 1988.

6. Dragunsky V. Morate imati smisla za humor. – Način pristupa: http://peskarlib.ru/lib.phpid_sst=248.

7. Iz istorije razlomaka. Način pristupa: http://schools.keldysh.ru/sch1905/drobi/history.htm.

8. Materijal sa Wikipedije - slobodne enciklopedije. Način pristupa: http://ru.wikipedia.org/wiki.

9. Citati. Način pristupa: http://citaty.socratify.net/lev-tolstoi/25013.

Proučavanje razlomaka diktira sam život. Sposobnost izvođenja raznih proračuna i proračuna neophodna je svakom čovjeku, jer se susrećemo s razlomcima Svakodnevni život. Hteo sam da znam odakle naziv ovih brojeva; ko je smislio ove brojeve, tema je “Razlomci”, koju učimo u školi, neophodna u mom životu.

Predmet studija: istorija nastanka običnih razlomaka.

Predmet studija: obične frakcije.

Hipoteza: Da nema razlomaka, da li bi se matematika mogla razviti?

Cilj rada: ukrašavanje štanda „Matematika oko nas“ u učionici matematike zanimljivim činjenicama o razlomcima.

Zadaci:

1. Proučavati istoriju nastanka razlomaka u matematici;

2. Odaberite najviše Zanimljivosti o razlomcima koji se mogu koristiti za sastavljanje dijelova sastojine.

3. Postavite štand u učionici matematike.

Živeći okruženi frakcijama, ne primjećujemo ih uvijek jasno. Međutim, susrećemo se vrlo često: kod kuće, na ulici, u prodavnici. Probudeći se ujutro, gledamo na budilicu i susrećemo razlomke. Koristimo razlomke kada vagamo artikle u trgovinama. U mjerenjima, prilikom određivanja zapremine tereta. Frakcije nas svuda okružuju. Uz pomoć razlomaka možemo izmjeriti dužine i podijeliti cjelinu na dijelove. Kako možete izmjeriti visinu osobe ili udaljenost između objekata bez poznavanja razlomaka? Sve okolo su razlomci!

Relevantnost: Moderni životčini probleme s razlomcima relevantnim, kako se širi opseg praktične primjene razlomaka.

Metode istraživanja:

1. Potražite informacije o razlomcima u raznim izvorima: Internet, fikcija, udžbenici.

2. Analiza, poređenje, sinteza i sistematizacija informacija.

Iz istorije običnih razlomaka

Pojava razlomaka

Od davnina, za rješavanje životnih problema praktična pitanja ljudi su morali prebrojati predmete i mjeriti količine, odnosno odgovoriti na pitanja „Koliko?“: koliko ovaca ima u stadu, koliko mjera žita sakupljeno sa njive, koliko kilometara od okružnog centra, itd. tako su se pojavili brojevi. Nije uvijek bilo moguće izraziti rezultat mjerenja ili cijenu robe prirodni broj. Kada je osoba trebala smisliti nove - razlomke - brojeve, pojavili su se razlomci. U davna vremena, cijeli i razlomci su različito tretirani: preferencije su bile na strani cijelih brojeva. “Ako želite da podijelite jedinicu, matematičari će vas ismijavati i neće vam dozvoliti da to učinite”, napisao je osnivač Atinske akademije Platon.

U svim civilizacijama koncept razlomka je proizašao iz procesa cijepanja cjeline na jednake dijelove. Ruski izraz "razlomak", kao i njegovi analozi u drugim jezicima, dolazi iz lat. “fractura”, što je pak prijevod arapskog izraza sa istim značenjem: slomiti, fragmentirati. Stoga su, vjerovatno, prvi razlomci posvuda bili razlomci oblika 1/n. Dalji razvoj prirodno ide ka razmatranju ovih razlomaka kao jedinica od kojih se mogu sastaviti razlomci m/n – racionalni brojevi. Međutim, tim putem nisu išle sve civilizacije: na primjer, to nikada nije ostvareno u staroegipatskoj matematici.

Prva frakcija s kojom su ljudi predstavljeni bila je polovina. Iako su nazivi svih sljedećih razlomaka povezani s nazivima njihovih nazivnika (tri je "treći", četiri je "četvrtina" itd.), to nije tako za polovicu - njen naziv na svim jezicima nema ništa uradi sa rečju "dva".

Sistem za evidentiranje razlomaka i pravila za postupanje s njima značajno su se razlikovali od različite nacije, i to u različito vrijeme među istim ljudima. Brojna pozajmljivanja ideja također su igrala važnu ulogu u kulturnim kontaktima između različitih civilizacija.

razlomci na ruskom

U ruskom jeziku riječ "frakcija" pojavila se u 8. vijeku; dolazi od glagola "droblit" - razbiti, razbiti na komade. Moderna notacija za razlomke potiče iz Ancient India: I Arapi su ga počeli koristiti.

U starim priručnicima nalazimo sljedeće nazive razlomaka na ruskom:

Slavensko numeriranje se koristilo u Rusiji do 16. stoljeća, a zatim je decimalni pozicioni brojevni sistem postepeno počeo prodirati u zemlju. Konačno je istisnula slovensku numeraciju pod Petrom I.

Zemljišna mjera koja se koristila u Rusiji bila je četvrtina i manja jedna - pola četvrtine, koja se zvala ocmina. To su bili konkretni razlomci, jedinice za mjerenje površine zemlje, ali oktina nije mogla mjeriti vrijeme ili brzinu itd. Mnogo kasnije, oktina je počela značiti apstraktni razlomak 1/8, koji može izraziti bilo koju vrijednost. O upotrebi razlomaka u Rusija XVII veka, možete pročitati u knjizi V. Bellustina „Kako su ljudi postepeno došli do prave aritmetike“ sledeće: „U rukopisu 17. veka. „Član o svim razlomcima uredbe „počinje direktno pisanom oznakom razlomaka i navođenjem brojnika i nazivnika. Prilikom izgovaranja razlomaka interesantne su sljedeće karakteristike: četvrti dio se zvao četvrtina, dok su razlomci sa nazivnikom od 5 do 11 iskazivani riječima koje se završavaju na "ina", tako da je 1/7 sedmica, 1/5 je pet bodova, 1/10 je desetina; dionice sa imeniocima većim od 10 izgovarane su riječima “lotovi”, na primjer 5/13 - pet trinaestih dionica. Numeracija razlomaka je direktno posuđena iz zapadnih izvora. Brojač se zvao gornji broj, a nazivnik donji.”

Razlomci u drugim stanjima antike

Sva pravila brojanja starih Egipćana bila su zasnovana na sposobnosti sabiranja i oduzimanja, udvostručavanja brojeva i potpunih razlomaka na jedan. Postojale su posebne oznake za razlomke. Egipćani su koristili razlomke oblika 1/n, gdje je n prirodan broj. Takve frakcije se nazivaju alikvoti. Ponekad, umjesto da dijele m:n, množe m. n.

U tu svrhu korišteni su posebni stolovi. Mora se reći da su operacije s razlomcima bile odlika egipatske aritmetike, u kojoj su se najjednostavniji proračuni ponekad pretvarali u složeni zadaci. (Aplikacija).

Aplikacija

Štand "Matematika oko nas"

Tabela “Pisanje razlomaka u Egiptu”

Ova tablica je pomogla u izvođenju složenih aritmetičkih proračuna u skladu s prihvaćenim kanonima. Očigledno su ga pisari naučili napamet, kao što sada školarci pamte tablicu množenja. Ova tabela se takođe koristila za deljenje brojeva. Egipćani su također znali kako množe i dijele razlomke. Ali da biste pomnožili, morali ste pomnožiti razlomke sa razlomcima, a zatim, možda, ponovo koristiti tabelu. Situacija s podjelom bila je još složenija.

Već u davna vremena Egipćani su znali kako podijeliti 2 jabuke na tri: čak su imali i posebnu ikonu za ovaj broj. Inače, ovo je bio jedini razlomak u upotrebi egipatskih pisara koji nije imao jedinicu u brojiocu - svi ostali razlomci su sigurno imali 1 u brojiocu (tzv. osnovni razlomci): 1/2, 1/3 , 1/17, ... i sl. Ovakav odnos prema razlomcima prisutan je jako dugo. Civilizacija starog Egipta je već propala, nekadašnju zelenu zemlju progutao je pijesak Sahare, a razlomci su razvrstani u zbir osnovnih - sve do renesanse!

U Kini su gotovo sve aritmetičke operacije s običnim razlomcima uspostavljene do 2. stoljeća. BC e.; oni su opisani u osnovnom korpusu matematičkog znanja drevne Kine - "Matematika u devet knjiga", čije konačno izdanje pripada Zhang Tsangu. Računajući na osnovu pravila sličnog Euklidovom algoritmu (najveći zajednički djelitelj brojnika i nazivnika), kineski matematičari su smanjili razlomke. Množenje razlomaka smatralo se kao pronalaženje površine pravokutne parcele, čija se dužina i širina izražavaju kao razlomci. Podjela se razmatrala korištenjem ideje dijeljenja, dok kineske matematičare nije zbunila činjenica da bi broj učesnika u podjeli mogao biti razlomačan, na primjer, 3 1/2 ljudi.

U početku su Kinezi koristili jednostavne razlomke, koje su nazvane hijeroglifom kupke:

Ban (“pola”) -1\2;

Shao ban (“mala polovina”) -1\3;

Tai banh (“velika polovina”) -2\3.

Zanimljivo je da su Vavilonci preferirali konstantni nazivnik (jednak 60, očigledno zato što je njihov brojevni sistem bio seksagezimalan).

Rimljani su takođe koristili samo jedan imenilac, jednak 12.

Dalji razvoj koncepta običnog razlomka postignut je u Indiji. Matematičari ove zemlje bili su u stanju da brzo pređu sa jediničnih razlomaka na opšte razlomke. Po prvi put se takvi razlomci nalaze u "Pravilima užeta" Apastamba (VII-V st. pne), koji sadrže geometrijske konstrukcije i rezultate nekih proračuna. U Indiji se koristio sistem označavanja - možda kineskog, a možda kasnog grčkog porijekla - u kojem je brojilac razlomka pisan iznad nazivnika - poput našeg, ali bez razlomaka, ali je cijeli razlomak stavljen u pravougaoni okvir.

Zanimljivi razlomci

“Bez znanja o razlomcima, niko se ne može prepoznati kao poznavalac aritmetike!”

Kad god ljudi koriste novac, uvijek naiđu na razlomke: u srednjem vijeku 1 engleski pens = 1/12 šilinga; Trenutno, ruska kopejka = 1/100 rublje.

Merni sistemi nose razlomke: 1 centimetar = 1/10 decimetar = 1/100 metar.

Razlomci su oduvijek bili u modi. Stil tri četvrtine rukava je uvijek relevantan. A 7/8 skraćene pantalone su divan detalj garderobe.

Možete upoznati razlomke u različitim lekcijama. Na primjer, u geografiji: „Za vrijeme postojanja SSSR-a Rusija je zauzimala jednu šestinu zemlje. Sada Rusija zauzima jednu devetu kopnene mase.” U likovnoj umjetnosti - pri prikazivanju ljudske figure. U muzici, ritam, metar muzičkog dela.

Osoba se u životu susreće s riječju "frakcija":

Male olovne kuglice za gađanje iz lovačke puške - šut.

Česti, isprekidani zvuci - bubnjanje.

U mornarici komanda "pucaj!" - prekid vatre.

Numeracija kuća. Broj odvojen razlomkom stavlja se na kuće numerisane duž dve ulice koje se ukrštaju.

Frakcija u plesu. Nemoguće je zamisliti ruski narodni ples bez frakcija i trčanja.

Izbijte djelić zubima - cvokoću zubima (drhtanje od hladnoće, strah).

U fikciji. Deniska, junak priče Viktora Dragunskog „Moraš imati smisla za humor“, jednom je svom prijatelju Mišku postavio problem: kako podeliti dve jabuke podjednako na tri? A kada je Miška konačno popustio, trijumfalno je objavio odgovor: "Napravi kompot!" Miška i Denis još nisu naučili razlomke i sigurno su znali da 2 nije deljivo sa 3?

Strogo govoreći, „kuvati kompot“ je operacija sa frakcijama. Isjecimo jabuke na komade pa ćemo količine ovih komada sabirati i oduzimati, množiti i dijeliti - ko će nas zaustaviti?.. Važno nam je samo da zapamtimo koliko malih komadića čini cijelu jabuku...

Ali nije jedina odluka ovaj zadatak! Svaku jabuku morate podijeliti na tri dijela i podijeliti dva takva dijela na sve tri.

Vjekovima se u jezicima naroda slomljeni broj nazivao razlomak. Na primjer, trebate podijeliti nešto jednako, na primjer, bombon, jabuku, komad šećera, itd. Da biste to učinili, komad šećera se mora podijeliti ili razbiti na dvije jednake polovine. Isto je i sa brojevima, da biste dobili polovinu, morate jednu jedinicu podijeliti ili "razbiti" na dva dijela. Odatle potiče naziv „razbijeni“ brojevi.

Postoje tri vrste razlomaka:

1. Jedinice (alikvoti) ili frakcije (na primjer, 1/2, 1/3, 1/4, itd.).

2. Sistematski, tj. razlomci u kojima je imenilac izražen stepenom broja (na primjer, stepenom 10 ili 60, itd.).

3. Opšti tip, u kojem brojilac i imenilac mogu biti bilo koji broj.

Postoje razlomci "lažni" - nepravilni i "pravi" - tačni.

Razlomak u matematici - oblik reprezentacije matematičke veličine koristeći operaciju dijeljenja, originalno odražavajući koncept necijelih brojeva ili razlomaka. U najjednostavnijem slučaju, brojčani razlomak je omjer dva broja

U razlomku m/n (čitaj: “em nths”), broj m koji se nalazi iznad prave naziva se brojilac, a broj n ispod prave naziva se imenilac. Imenilac pokazuje na koliko je jednakih dijelova podijeljena cjelina, a brojnik na koliko je takvih dijelova uzeto. Razlomak se može shvatiti kao znak podjele.

Prvi evropski naučnik koji je počeo da koristi i širi modernu notaciju razlomaka bio je italijanski trgovac i putnik, sin gradskog činovnika Fibonačija (Leonardo iz Pize).

Godine 1202. uveo je riječ "razlomak".

Nazive brojilac i imenilac uveo je u 13. veku Maksim Planud, grčki monah, naučnik i matematičar.

Moderni sistem pisanja razlomaka nastao je u Indiji. Samo tamo su pisali nazivnik na vrhu i brojilac na dnu, a nisu pisali razlomak. A Arapi su počeli pisati razlomke kao sada. Operacije s razlomcima u srednjem vijeku smatrane su najtežim područjem matematike. Nemci i dan-danas za osobu koja se nađe u teškoj situaciji kažu da je „pao u razlomke“.

Uobičajeni razlomci igrao ulogu i u muzici. A sada u određenom notnom zapisu duga nota - cjelina - podijeljena je na polovine (upola duža), četvrtine, šesnaestine i trideset sekundi. Dakle, ritmički obrazac svakog muzičkog djela, ma koliko ono bilo složeno, određen je običnim razlomcima. Ispostavilo se da je harmonija usko povezana s razlomcima, što je potvrdilo glavnu ideju Evropljana: "Broj vlada svijetom."

„Čovek je kao razlomak: brojilac je on sam, a imenilac je ono što misli o sebi. Što je imenilac veći, to je razlomak manji" (L.N. Tolstoj).

Glavni rezultati studije

Proučavanje razlomaka smatralo se najtežim dijelom matematike u svim vremenima i među svim narodima. Oni koji su poznavali frakcije bili su veoma cijenjeni. Autor staroslovenskog rukopisa iz 15. veka. piše: “Nije divno što ... u cjelini, ali je pohvalno što u dijelovima...”.

Tokom rada naučio sam puno novih i zanimljivih stvari. Pročitao sam mnoge knjige i dijelove iz enciklopedija. Upoznao sam prve frakcije sa kojima su ljudi operisali, sa konceptom alikvotnog razlomka, i saznao nova imena naučnika koji su doprineli razvoju doktrine razlomaka. U procesu rada naučio sam puno novih stvari, mislim da će mi to znanje koristiti u studiranju.

Zaključak: Potreba za razlomcima pojavila se u vrlo ranoj fazi ljudskog razvoja. U životu je osoba morala ne samo brojati predmete, već i mjeriti količine. Ljudi su mjerili dužine, površine zemlje, zapremine, tjelesne mase, vrijeme i plaćali za kupljenu ili prodanu robu. Rezultat mjerenja ili cijenu proizvoda nije uvijek bilo moguće izraziti prirodnim brojem. Tako su se pojavili razlomci i pravila za rukovanje njima.

Praktični značaj rada

Savladao sam vještine rada u uređivaču teksta i radio sa internet resursima. Odabrao sam materijal za ukrašavanje štanda „Matematika oko nas“ u učionici matematike zanimljivim činjenicama o razlomcima (Prilog). I dizajnirao štand (Dodatak).

Kao rezultat istraživanja, potvrdio sam hipotezu: ljudi ne mogu bez razlomaka, bez razlomaka se matematika ne može razviti.

Bibliografska veza

Balbutskaya A.A. ZANIMLJIVO O RAZLOMcima // Početak u znanosti. – 2017. – br. 5-2. – str. 265-268;
URL: http://science-start.ru/ru/article/view?id=874 (datum pristupa: 29.08.2019.).

Danas ćemo sa vama podijeliti zanimljive i neobične činjenice iz svijeta ove ozbiljne nauke. Ima mjesta za neozbiljno ili jednostavno fascinantno, u bilo kojem egzaktna nauka. Glavna stvar je želja da se nađe...

Engleski matematičar Abraham de Moivre, u starosti, jednom je otkrio da se trajanje njegovog sna povećava za 15 minuta dnevno. Sastavljajući aritmetička progresija, odredio je datum kada će dostići 24 sata - 27. novembar 1754. godine. Na današnji dan je umro.
Vjerski Jevreji pokušavaju izbjegavati kršćanske simbole i općenito znakove slične križu. Na primjer, učenici u nekim izraelskim školama umjesto znaka plus pišu znak koji ponavlja obrnuto slovo “t”.
Autentičnost euro novčanice može se provjeriti njenim serijskim brojem, slovima i jedanaest cifara. Morate zamijeniti slovo njime serijski broj V engleska abeceda, zbrojite ovaj broj sa ostalima, zatim dodajte znamenke rezultata dok ne dobijemo jednu znamenku.

Ako je ovaj broj 8, onda je račun originalan. Drugi način za provjeru je dodavanje brojeva na sličan način, ali bez slova. Rezultat jednog slova i broja mora odgovarati određenoj zemlji, jer se u evrima štampaju različite zemlje. Na primjer, za Njemačku je X2.
Riječ "algebra" zvuči isto na svim jezicima svijeta. Arapskog je porijekla, a u upotrebu ga je uveo veliki matematičar centralne Azije s kraja 8. - početka 9. stoljeća, Mahammad ibn Musa al-Khwarizmi. Njegova matematička rasprava zvala se “Aldzhebr wal muqabala”, od čije prve riječi potiče međunarodni naziv nauke – algebra.
Postoji mišljenje da Alfred Nobel nije uvrstio matematiku na listu disciplina svoje nagrade jer ga je žena prevarila sa matematičarkom. U stvari, Nobel se nikada nije ženio. Pravi razlog zašto je Nobel ignorirao matematiku je nepoznat, ali postoji nekoliko pretpostavki. Na primjer, u to vrijeme je već postojala nagrada iz matematike od švedskog kralja. Druga stvar je da matematičari ne prave važne izume za čovečanstvo, jer je ova nauka čisto teorijska.
Reuleauxov trougao je geometrijska figura, formiran presjekom tri jednaka kruga polumjera a sa centrima na vrhovima jednakostranični trougao sa stranom a. Bušilica napravljena na bazi Reuleaux trokuta omogućava vam bušenje kvadratnih rupa (sa nepreciznošću od 2%).

U ruskoj matematičkoj literaturi nula nije prirodan broj, ali u zapadnoj literaturi, naprotiv, pripada skupu prirodnih brojeva.

Zbir svih brojeva na ruletu u kazinu jednak je đavoljem broju - 666.
Godine 1897. Indijana je usvojila zakon kojim je vrijednost Pi bila 3,2. Ovaj zakon nije postao zakon zahvaljujući blagovremenoj intervenciji univerzitetskog profesora.
Sofya Kovalevskaya upoznala se s matematikom u ranom djetinjstvu, kada nije bilo dovoljno tapeta za njenu sobu, umjesto kojih su zalijepljeni listovi predavanja Ostrogradskog o diferencijalnom i integralnom računu.

Da bi dobila priliku da se bavi naukom, Sofija Kovalevskaja je morala da uđe u fiktivni brak i napusti Rusiju. Dok ruski univerziteti jednostavno nisu primali žene, a da bi emigrirala, djevojka je morala imati saglasnost oca ili muža. Pošto je Sofijin otac bio kategorički protiv toga, udala se za mladog naučnika Vladimira Kovalevskog. Iako je na kraju njihov brak postao de facto, i dobili su kćer.
Decimalni brojevni sistem koji koristimo nastao je zato što ljudi imaju 10 prstiju. Sposobnost apstraktnog brojanja kod ljudi se nije pojavila odmah, a pokazalo se da je najzgodnije koristiti prste za brojanje. Civilizacija Maja i, nezavisno od njih, Čukči su istorijski koristili sistem brojeva od dvadeset cifara, koristeći prste ne samo na rukama, već i na nožnim prstima. Duodecimalni i seksagezimalni sistemi uobičajeni u starom Sumeru i Babilonu takođe su bili zasnovani na upotrebi ruku: falange ostalih prstiju dlana, čiji je broj 12, brojale su se palcem.
U mnogim izvorima, često sa svrhom ohrabrivanja učenika sa lošim uspjehom, postoji izjava da je Ajnštajn pao matematiku u školi ili, štaviše, generalno vrlo loše učio sve predmete. Zapravo, sve nije bilo tako: Albert je još uvijek bio unutra rane godine počeo pokazivati talenat za matematiku i znao je to daleko izvan školskog programa.

Kasnije, Ajnštajn nije mogao da upiše švajcarsku višu politehničku školu u Cirihu, pokazujući najviše rezultate iz fizike i matematike, ali nije postigao potreban broj bodova u drugim disciplinama. Savladavši ove predmete, godinu dana kasnije, sa 17 godina, postao je student ove institucije.
Jedna prijateljica je zamolila Ajnštajna da je nazove, ali je upozorila da je njen broj telefona veoma teško zapamtiti: - 24-361. Sjećaš li se? Ponavljam! Iznenađen, Ajnštajn je odgovorio: "Naravno da se sećam!" Dva tuceta i 19 na kvadrat.
Svaki put kada promiješate špil, kreirate niz karata za koji postoji velika vjerovatnoća da nikada ne postoji u svemiru. Broj kombinacija u standardnom špilu za igru je 52!, odnosno 8x1067. Da biste postigli barem 50% šanse da dobijete kombinaciju po drugi put, trebate napraviti 9x1033 miješanja. A ako hipotetički prisilite cjelokupnu populaciju planete da neprekidno miješa karte u posljednjih 500 godina i dobije novi špil svake sekunde, na kraju ćete dobiti ne više od 1020 različitih sekvenci.
Leonardo da Vinci je izveo pravilo prema kojem je kvadrat prečnika debla jednak zbiru kvadrata prečnika grana uzetih na zajedničkoj fiksnoj visini. Kasnije studije su to potvrdile sa samo jednom razlikom - stepen u formuli nije nužno jednak 2, već se nalazi u rasponu od 1,8 do 2,3. Tradicionalno se vjerovalo da se ovaj obrazac objašnjava činjenicom da drvo s takvom strukturom ima optimalan mehanizam za opskrbu svojih grana hranjivim tvarima. Međutim, 2010. godine američki fizičar Christophe Alloy pronašao je jednostavnije mehaničko objašnjenje za ovaj fenomen: ako drvo smatramo fraktalom, onda Leonardov zakon minimizira vjerojatnost da se grane lome pod utjecajem vjetra.
Mravi su u stanju jedni drugima objasniti put do hrane, mogu brojati i izvoditi jednostavne aritmetičke operacije. Na primjer, kada mrav izviđač pronađe hranu u posebno dizajniranom lavirintu, on se vraća i objašnjava drugim mravima kako da dođe do nje.

Ako se u ovom trenutku labirint zamijeni sličnim, odnosno ukloni feromonski trag, rođaci izviđača će i dalje pronaći hranu. U drugom eksperimentu, izviđač pretražuje labirint sa mnogo identičnih grana, a nakon njegovog objašnjenja, drugi insekti odmah trče na naznačenu granu. A ako prvo naviknete izviđača na činjenicu da je vjerojatnije da će hrana biti u 10, 20 i tako dalje, mravi ih uzimaju kao osnovne i počinju se kretati dodavanjem ili oduzimanjem traženog broja od njih, tj. koriste sistem sličan rimskim brojevima.
U februaru 1992. na izvlačenju lutrije Virginia 6/44 dobio je džekpot od 27 miliona dolara. Broj svih mogućih kombinacija u ovoj vrsti lutrije iznosio je nešto više od 7 miliona, a svaki listić koštao je 1 dolar. Preduzetni ljudi iz Australije su stvorili fond tako što su prikupili 3 hiljade dolara od 2.500 ljudi, kupili potreban broj formulara i ručno ih popunjavali raznim kombinacijama brojeva, dobivši trostruku dobit nakon plaćanja poreza.
Stephen Hawking jedan je od vodećih teorijskih fizičara i popularizatora nauke. U svojoj priči o sebi, Hawking je spomenuo da je postao profesor matematike, a da nije stekao nikakvo matematičko obrazovanje od srednja škola. Kada je Hoking počeo da predaje matematiku na Oksfordu, pročitao je udžbenik dve nedelje pre svojih učenika.

Laboratorijske studije su pokazale da pčele mogu odabrati optimalni put. Nakon što lokalizuje cvijeće postavljeno na različitim mjestima, pčela leti i vraća se nazad na način da se konačni put ispostavi najkraćim. Tako se ovi insekti efikasno nose s klasičnim „problemom trgovačkog putnika“ iz informatike, na čije rješavanje savremeni kompjuteri, ovisno o broju bodova, mogu potrošiti više od jednog dana.
Postoji matematički zakon koji se zove Benfordov zakon, koji kaže da je raspodjela prvih cifara u brojevima bilo kojeg skupa podataka u stvarnom svijetu neravnomjerna. Brojevi od 1 do 4 u takvim skupovima (naime, statistika plodnosti ili mortaliteta, kućni brojevi itd.) mnogo se češće nalaze na prvoj poziciji nego brojevi od 5 do 9. Praktična primjena ovog zakona je da se može koristi se provjera tačnosti računovodstvenih i finansijskih podataka, izbornih rezultata i još mnogo toga. U nekim američkim državama, neusklađenost podataka sa Benfordovim zakonom je čak i formalni dokaz na sudu.
Postoje mnoge prispodobe o tome kako jedna osoba poziva drugu da mu plati neku uslugu na sljedeći način: na prvo polje šahovske ploče stavit će jedno zrno riže, na drugo - dva, i tako dalje: na svako sljedeće polje duplo više nego na prethodnoj. Kao rezultat toga, onaj ko plati na ovaj način sigurno će bankrotirati. To nije iznenađujuće: procjenjuje se da će ukupna težina riže biti veća od 460 milijardi tona

Pi ima dva nezvanična praznika. Prvi je 14. mart, jer se ovaj dan u Americi piše kao 3.14. Drugi je 22. jul, koji je u evropskom formatu zapisan kao 22/7, a vrijednost takvog razlomka je prilično popularna približna vrijednost Pi.
Američki matematičar Džordž Dancig, dok je diplomirao na univerzitetu, jednog dana je zakasnio na nastavu i pogrešio je jednačine napisane na tabli kao domaći zadatak. Činilo mu se teže nego inače, ali nakon nekoliko dana uspio je to dovršiti. Ispostavilo se da je riješio dva "nerješiva" problema u statistici sa kojima su se mnogi naučnici borili.
Među svim figurama sa istim perimetrom, krug će imati najveću površinu. Obrnuto, među svim oblicima sa istom površinom, krug će imati najmanji obim.
Zapravo, momenat je jedinica vremena koja traje otprilike stoti dio sekunde.
Rene Descartes je uveo pojmove " pravi broj" i "imaginarni broj".
Kolač se može rezati na osam jednakih komada sa tri poteza noža. Štaviše, postoje dva načina da se to uradi.

U grupi od 23 ili više ljudi, vjerovatnoća da će njih dvoje imati isti rođendan je veća od 50 posto, a u grupi od 60 ili više osoba vjerovatnoća je oko 99 posto.
Ako svoju dob pomnožite sa 7, a zatim pomnožite sa 1443, rezultat će biti vaša starost napisana tri puta zaredom.
U matematici postoje: teorija pletenica, teorija igara i teorija čvorova.
Nula "0" je jedini broj koji se ne može napisati rimskim brojevima.
Maksimalan broj koji se može napisati rimskim brojevima bez kršenja Shvartsmanovih pravila (pravila za pisanje rimskih brojeva) je 3999 (MMMCMXCIX) - ne možete pisati više od tri cifre u nizu
Znak jednakosti "=" prvi je upotrijebio Britanac Robert Record 1557. godine. Napisao je da na svijetu nema više identičnih predmeta od dva jednaka i paralelna segmenta.
Zbir svih brojeva od jedan do sto je 5050.
U tajvanskom gradu Tajpeju stanovnicima je dozvoljeno da izostave broj četiri jer Kineski ova riječ zvuči identično riječi "smrt". Iz tog razloga mnoge zgrade u gradu nemaju četvrti sprat.

Broj trinaest se navodno počeo smatrati nesrećnim zbog biblijske priče o Posljednjoj večeri, gdje je bilo prisutno tačno trinaest ljudi. Štaviše, trinaesti je bio Juda Iskariotski.
Malo poznati matematičar iz Britanije veći dio svog života posvetio je proučavanju zakona logike. Zvao se Charles Lutwidge Dodgson. Ovo ime nije poznato veliki broj ljudi, ali je poznat pseudonim pod kojim je pisao svoja književna remek-djela - Lewis Carroll.
Grčka Hepatia se smatra prvom ženskom matematičarkom u istoriji. Živjela je u 4.-5. vijeku u egipatskoj Aleksandriji.
Nedavna studija sugerira da u poljima u kojima dominiraju muškarci, slabiji spol teži da prikrije tipično ženske kvalitete kako bi izgledao uvjerljivije. Na primjer, matematičarke više vole da idu bez šminke.
Jeste li znali da se jedna od zakrivljenih linija zove "Agnese Curl" u čast prve profesorice matematike na svijetu Maria Gaetano Agnese?
Lermontov, kao multitalentovana osoba, pored književne kreativnosti, bio je dobar umjetnik i volio je matematiku. Elementi više matematike, analitičke geometrije, principi diferencijalnog i integralnog računa fascinirali su Ljermontova cijeloga života. Sa sobom je uvijek nosio udžbenik matematike francuskog autora Bezua.

U 18. veku bila je popularna šahovska mašina jednog mađarskog mehaničara Wolfgang von Kempelen, koji je svoj automobil pokazao na austrijskom i ruskom dvoru, a potom ga je javno pokazao u Parizu i Londonu. Napoleon I Igrao sam sa ovom mašinom, uveren da testiram svoju snagu sa mašinom. U stvarnosti, nijedna šahovska mašina nije radila automatski. Unutra je bio skriven vješt živi šahista koji je pomicao figure. Sredinom prošlog veka, čuveni mitraljez je došao u Ameriku i tamo prekinuo svoje postojanje tokom požara u Filadelfiji.
U igri šaha od 40 poteza, broj opcija za razvoj igre može premašiti broj atoma u vanjski prostor. Uostalom, moguć je ogroman broj opcija - 1,5 sa 10 na 128. stepen.
Napoleon Bonaparte pisao matematičke radove. A jedna geometrijska činjenica se zove "Napoleonov problem"
Listovi na biljnoj grani su uvijek raspoređeni u strogom redoslijedu, razmaknuti jedan od drugog pod određenim uglom u smjeru kazaljke na satu ili suprotnom od kazaljke na satu. Veličina ugla varira među različitim biljkama, ali se uvijek može opisati kao razlomak, čiji su brojnik i nazivnik brojevi iz Fibonačijevog niza. Na primjer, za bukvu je ovaj ugao 1/3, odnosno 120°, za hrast i kajsiju - 2/5, za krušku i topolu - 3/8, za vrba i badem - 5/13, itd. Ovakav raspored omogućava listovima da najefikasnije primaju vlagu i sunčevu svjetlost.
U drevnim vremenima, u Rusiji su se kao jedinice za merenje zapremine koristile kanta (oko 12 litara) i štof (desetina kante). U SAD-u, Engleskoj i drugim zemljama koriste se bačva (oko 159 litara), galon (oko 4 litara), bušel (oko 36 litara) i pinta (od 470 do 568 kubnih centimetara).

Male drevne ruske mjere dužine - raspon i lakat.
Raspon- ovo je razmak između ispruženog palca i kažiprsta na njihovom najvećem rastojanju (veličina raspona se kretala od 19 cm do 23 cm). Kažu „Ne odustajte ni inča zemlje“, što znači ne odustati, ne odreći se ni najmanjeg dijela svoje zemlje. O vrlo pametna osoba Kažu: "Sedam raspona na čelu."
Lakat- ovo je udaljenost od kraja ispruženog srednjeg prsta šake do pregiba lakta (veličina lakta se kretala od 38 cm do 46 cm i odgovarala je dva raspona). Postoji izreka: "Visok je kao nokat, ali mu je brada duga kao lakat."
Kvadratne jednadžbe nastali su u 11. veku u Indiji. Najviše veliki broj, korišćen u Indiji, bio je 10 na 53. stepen, dok su Grci i Rimljani radili samo sa brojevima na 6. stepen.
Verovatno je svako kod sebe i kod onih oko sebe primetio da među brojevima ima i onih omiljenih, prema kojima gajimo posebnu strast. Mi, na primjer, jako volimo “okrugle brojeve”, to jest one koji se završavaju na 0 ili 5. Sklonost određenim brojevima, prednost prema njima u odnosu na druge, leži u ljudskoj prirodi mnogo dublje nego što se obično misli. S tim u vezi, ukusi ne samo Evropljana i njihovih predaka, na primjer, starih Rimljana, već čak i primitivnih naroda iz drugih dijelova svijeta.
Svaki popis obično pokazuje preobilje ljudi čija se starost završava na 5 ili 0; ima ih mnogo više nego što bi trebalo da bude. Razlog leži, naravno, u činjenici da se ljudi ne sjećaju čvrsto koliko imaju godina i, pokazujući svoje godine, nehotice „zaokružuju“ godine. Zanimljivo je da se slična prevlast „okrugla“ doba uočava na grobnim spomenicima starih Rimljana.
O negativnim brojevima razmišljamo kao o nečemu prirodnom, ali to nije uvijek bio slučaj.
Negativni brojevi su prvi put legalizovani u Kini u 3. veku, ali su korišćeni samo u izuzetnim slučajevima, jer su se, generalno, smatrali besmislenim. Nešto kasnije u Indiji su se počeli upotrebljavati negativni brojevi za označavanje dugova, ali na zapadu nisu zaživjeli - poznati Diofant iz Aleksandrije tvrdio je da je jednadžba 4x+20=0 apsurdna.

U Evropi su se negativni brojevi pojavili zahvaljujući Leonardu iz Pize (Fibonači), koji ga je uveo i za rešavanje finansijskih problema sa dugovima - 1202. godine prvi je koristio negativne brojeve da izračuna svoje gubitke.
Ipak, sve do 17. vijeka negativni brojevi su bili „u krilu“, a čak je i u 17. stoljeću poznati matematičar Blaise Pascal tvrdio da je 0-4 = 0 jer ne postoji takav broj koji može biti manji od ničega, a sve do Matematičari iz 19. veka često su odbacivali negativne brojeve u njegovim proračunima, smatrajući ih besmislenim...
Prvi "računarski uređaji" koje su ljudi koristili u antičko doba bili su prsti i kamenčići. Kasnije su se pojavile oznake sa zarezima i užad sa čvorovima. U starom Egiptu i staroj Grčkoj, mnogo prije naše ere, koristili su abakus - ploču s prugama po kojima su se kretali kamenčići. Bio je to prvi uređaj posebno dizajniran za računarstvo. S vremenom je abakus poboljšan - u rimskom abakusu kamenčići ili kuglice pomiču se duž žljebova. Abakus je trajao do 18. vijeka, kada je zamijenjen pisanim proračunima. Ruski abakus - abakus pojavio se u 16. veku. Koriste se i danas. Velika prednost ruskog abakusa je u tome što se zasniva na decimalnom brojevnom sistemu, a ne na petocifrenim, kao svi ostali abaci.
Najstarije matematičko djelo pronađeno je u Svazilendu - kost babuna sa urezanim linijama (kost iz Lemboboa), koje su vjerojatno bile rezultat neke vrste proračuna. Starost kosti je 37 hiljada godina.

Još složeniji matematički rad pronađen je u Francuskoj - the
čija je kost, na kojoj su urezane linije, grupirane u grupe po pet. Starost kosti je oko 30 hiljada godina.
I na kraju, čuvena kost iz Išanga (Kongo) na kojoj su ugravirane grupe prostih brojeva. Vjeruje se da je kost nastala prije 18-20 hiljada godina.
Ali babilonske ploče sa kodnim imenom Plimpton 322, nastale 1800-1900 pne, mogu se smatrati najstarijim matematičkim tekstom.
Stari Egipćani nisu imali tablice množenja ni pravila. Ipak, znali su kako se množe i za to su koristili "kompjutersku" metodu - razlaganje brojeva u binarni niz. Kako su to uradili? Tako:
Na primjer, trebate pomnožiti 22 sa 35.
Zapišite 22 35
Sada dijelimo lijevi broj sa 2, a desni množimo sa 2. Podvlačimo brojeve na desnoj strani samo kada je djeljiv sa 2.
dakle,

Sada dodajte 70+140+560=770
Tačan rezultat!
Egipćani nisu poznavali razlomke kao što su 2/3 ili 3/4. Nema brojača! Egipatski sveštenici su radili samo sa razlomcima, gde je brojilac uvek bio 1, a razlomak se pisao ovako: ceo broj sa ovalom iznad njega. To jest, 4 sa ovalom znači 1/4.
Šta je sa razlomcima poput 5/6? Egipatski matematičari su ih podijelili na razlomke brojicom 1. To jest, 1/2 + 1/3. To jest, 2 i 3 sa ovalom na vrhu.
Pa, to je jednostavno. 2/7 = 1/7 + 1/7. Ne sve! Još jedno pravilo Egipćana bilo je odsustvo ponavljanja brojeva u nizu razlomaka. Odnosno, 2/7 je po njihovom mišljenju bilo 1/4 + 1/28.

Opštinska budžetska obrazovna ustanova

srednja škola br.2

SAŽETAK

disciplina: "Matematika"

na ovu temu: "Neobični razlomci"

Izvedeno:

Učenik 5. razreda

Frolova Natalya

Supervizor:

Drushchenko E.A.

nastavnik matematike

Strezhevoy, Tomsk region


	Uvod
	Iz istorije običnih razlomaka.
	Pojava razlomaka.
	Razlomci u starom Egiptu.
	Razlomci u starom Babilonu.
	Razlomci u starom Rimu.
	Razlomci u staroj Grčkoj.
	Razlomci u Rusiji.
	Razlomci u staroj Kini.
	Razlomci u drugim stanjima antike i srednjeg vijeka.
	Primjena običnih frakcija.
	Alikvotne frakcije.
	Umjesto malih režnjeva, veliki.
	Divizije u teškim okolnostima.
III.	Zanimljivi razlomci.
	Domino razlomci.
	Iz dubine vekova.
	Zaključak
	Bibliografija
	Dodatak 1. Prirodna skala.
	Dodatak 2. Drevni zadaci koji koriste obične razlomke.
	Dodatak 3. Zabavni zadaci sa običnim razlomcima.
	Dodatak 4. Domino razlomci

Uvod

Ove godine smo počeli učiti o razlomcima. Vrlo neobični brojevi, počevši od njihovog neobičnog zapisa i završavajući sa složena pravila akcije sa njima. Iako je od prvog upoznavanja s njima bilo jasno da bez njih ne možemo ni u običnom životu, budući da se svakodnevno suočavamo s problemom podjele cjeline na dijelove, a čak mi se u određenom trenutku činilo da smo više nisu bili okruženi cjelinama, već brojevima razlomaka. S njima se svijet pokazao složenijim, ali istovremeno i zanimljivijim. Imam par pitanja. Da li su razlomci potrebni? Da li su važni? Hteo sam da znam odakle su nam razlomci, ko je smislio pravila za rad sa njima. Iako riječ izmišljena vjerovatno nije baš prikladna, jer u matematici se sve mora provjeriti, jer se sve nauke i industrije u našim životima zasnivaju na jasnim matematičkim zakonima koji važe u cijelom svijetu. Ne može biti da se kod nas sabiranje razlomaka vrši po jednom pravilu, ali negdje u Engleskoj je drugačije.

Dok sam radio na eseju, morao sam da se suočim sa poteškoćama: sa novim terminima i konceptima morao sam da se razbijam, rešavajući probleme i analizirajući rešenje koje su predložili drevni naučnici. Takođe, prilikom kucanja, prvi put sam se susreo sa potrebom da kucam razlomke i frakcione izraze.

Svrha mog eseja: pratiti povijest razvoja pojma običnog razlomka, pokazati potrebu i važnost korištenja običnih razlomaka pri rješavanju praktični problemi. Zadaci koje sam sebi postavio: prikupljanje materijala na temu eseja i njegova sistematizacija, proučavanje antičkih problema, sumiranje obrađenog materijala, priprema generalizovanog materijala, priprema prezentacije, izlaganje sažetka.

Moj rad se sastoji od tri poglavlja. Proučavao sam i obrađivao materijale iz 7 izvora, uključujući obrazovnu, naučnu i enciklopedijsku literaturu, te web stranicu. Dizajnirao sam aplikaciju koja sadrži izbor zadataka iz drevnih izvora, neke zanimljive probleme sa običnim razlomcima, a pripremio sam i prezentaciju napravljenu u Power Point editoru.

I. Iz istorije običnih razlomaka

1.1 Pojava razlomaka

Brojne istorijske i matematičke studije pokazuju da su se razlomci pojavili među različitim narodima u antičko doba, ubrzo nakon prirodnih brojeva. Pojava razlomaka povezana je s praktičnim potrebama: zadaci gdje je bilo potrebno podijeliti na dijelove bili su vrlo česti. Osim toga, u životu je osoba morala ne samo brojati predmete, već i mjeriti količine. Ljudi su nailazili na mjerenja dužina, kopnenih površina, zapremina i masa tijela. U ovom slučaju se desilo da se jedinica mjere ne uklapa cijeli broj puta u izmjerenu vrijednost. Na primjer, prilikom mjerenja dužine dijela u koracima, osoba je naišla na sljedeći fenomen: deset koraka se uklapa u dužinu, a ostatak je manji od jednog koraka. Stoga, drugim značajnim razlogom za pojavu razlomaka treba smatrati mjerenje veličina pomoću odabrane mjerne jedinice.

Tako je u svim civilizacijama koncept razlomka nastao iz procesa cijepanja cjeline na jednake dijelove. Ruski izraz "razlomak", kao i njegovi analozi u drugim jezicima, dolazi iz lat. fractura, što je pak prijevod arapskog izraza sa istim značenjem: slomiti, fragmentirati. Stoga su, vjerovatno, prvi razlomci posvuda bili razlomci oblika 1/n. Dalji razvoj prirodno ide ka razmatranju ovih razlomaka kao jedinica od kojih se mogu sastaviti razlomci m/n – racionalni brojevi. Međutim, tim putem nisu išle sve civilizacije: na primjer, to nikada nije ostvareno u staroegipatskoj matematici.

Prva frakcija s kojom su ljudi predstavljeni bila je polovina. Iako su nazivi svih sljedećih razlomaka povezani s nazivima njihovih nazivnika (tri je „treći“, četiri je „četvrtina“ itd.), to ne vrijedi za polovicu – njen naziv na svim jezicima nema ništa uradite sa rečju "dva".

Sistem bilježenja razlomaka i pravila za postupanje s njima značajno su se razlikovali među različitim nacijama, au različito vrijeme među istim ljudima. Brojna pozajmljivanja ideja također su igrala važnu ulogu u kulturnim kontaktima između različitih civilizacija.

1.2 Razlomci u starom Egiptu

IN drevni Egipat koristili su samo najjednostavnije razlomke u kojima je brojilac jednak jedan (one koje nazivamo “razlomci”). Matematičari takve razlomke nazivaju alikvotima (od latinskog alikvota - nekoliko). Također se koristi naziv osnovne frakcije ili jedinični razlomci.

Egipćani su stavili hijeroglif

(er, "[jedan] od" ili re, usta) iznad broja da bi se označio jedinični razlomak u običnom zapisu, ali u svetim tekstovima korištena je linija. npr.:

veći deo oka

1 / 2 (ili 32 / 64)

1/8 (ili 8/64)

suza (?)

1/32 (ili ²/64)

Osim toga, Egipćani su koristili oblike pisanja zasnovane na hijeroglifima Horusovo oko (wadget). Stare ljude karakteriziralo je preplitanje slike Sunca i oka. U egipatskoj mitologiji često se spominje bog Horus, koji personificira krilato Sunce i jedan je od najčešćih svetih simbola. U borbi sa neprijateljima Sunca, oličenim u liku Seta, Horus je u početku poražen. Seth mu otme Oko - divno oko - i razdere ga u komadiće. Thoth - bog učenja, razuma i pravde - ponovo je sastavio dijelove oka u jednu cjelinu, stvarajući "zdravo Horusovo oko". Slike dijelova izrezanog oka korištene su u pisanju u starom Egiptu za predstavljanje razlomaka od 1/2 do 1/64.

Zbir šest znakova uključenih u Wadget i svedenih na zajednički nazivnik: 32/64 + 16/64 + 8/64 + 4/64 + 2/64 + 1/64 = 63/64

Takvi razlomci su korišteni zajedno s drugim oblicima egipatskih razlomaka za dijeljenje hekat, glavna mjera zapremine u starom Egiptu. Ovaj kombinovani snimak je takođe korišćen za merenje zapremine žitarica, hleba i piva. Ako je nakon bilježenja količine kao djelića Horusovog oka postojao neki ostatak, on je bio zapisan u uobičajenom obliku kao višekratnik rho, mjerne jedinice jednake 1/320 hekata.

Na primjer, ovako:

U ovom slučaju, "usta" su postavljena ispred svih hijeroglifa.

Hekat ječam: 1/2 + 1/4 + 1/32 (odnosno 25/32 posude ječma).

Hekat bio je oko 4.785 litara.

Egipćani su predstavljali bilo koju drugu frakciju kao zbir alikvotnih frakcija, na primjer 9/16 = 1/2+1/16; 7/8=1/2+1/4+1/8 i tako dalje.

Napisano je ovako: /2 /16; /2 /4 /8.

U nekim slučajevima ovo izgleda dovoljno jednostavno. Na primjer, 2/7 = 1/7 + 1/7. Ali još jedno pravilo Egipćana bilo je odsustvo ponavljanja brojeva u nizu razlomaka. Odnosno, 2/7 je po njihovom mišljenju bilo 1/4 + 1/28.

Sada se zbir nekoliko alikvotnih frakcija naziva egipatski razlomak. Drugim riječima, svaki razlomak sume ima brojnik jednak jedan i imenilac jednak prirodnom broju.

Izvođenje različitih proračuna, izražavanje svih razlomaka u jedinicama, bilo je, naravno, vrlo teško i dugotrajno. Stoga su se egipatski naučnici pobrinuli da pisaru olakšaju posao. Sastavili su posebne tabele dekompozicije razlomaka na jednostavne. Matematički dokumenti starog Egipta nisu naučne rasprave o matematici, već praktični udžbenici sa primjerima iz života. Među zadacima koje je učenik pisarske škole morao riješiti bili su proračuni kapaciteta štala, zapremine korpe, površine njive, podjela imovine među nasljednicima i dr. Pisar je morao zapamtiti ove uzorke i biti u stanju da ih brzo koristi za proračune.

Jedna od prvih poznatih referenci na egipatske razlomke je Rhind matematički papirus. Tri starija teksta koja spominju egipatske razlomke su Egipatski matematički kožni svitak, Moskovski matematički papirus i Akhmim drvena ploča.

Najstariji spomenik egipatske matematike, takozvani „moskovski papirus“, dokument je iz 19. veka pre nove ere. Pribavio ga je 1893. kolekcionar antičkog blaga Goleniščov, a 1912. postao je vlasništvo Moskovskog muzeja likovnih umjetnosti. Sadržao je 25 različitih problema.

Na primjer, razmatra problem dijeljenja 37 brojem datim kao (1 + 1/3 + 1/2 + 1/7). Sukcesivnim udvostručavanjem ovog razlomka i izražavanjem razlike između 37 i rezultata, te korištenjem postupka koji je u suštini sličan pronalaženju zajedničkog nazivnika, dobije se odgovor: količnik je 16 + 1/56 + 1/679 + 1/776.

Najveći matematički dokument - papirus o računskom priručniku pisara Ahmesa - pronašao je 1858. engleski kolekcionar Rhind. Papirus je sastavljen u 17. veku pre nove ere. Dužina mu je 20 metara, širina 30 centimetara. Sadrži 84 matematička zadatka, njihova rješenja i odgovore, napisane kao egipatski razlomci.

Papirus Ahmesa počinje tablicom u kojoj su svi razlomci oblika 2\n od 2/5 do 2/99 zapisani kao sumi alikvotnih razlomaka. Egipćani su također znali kako množe i dijele razlomke. Ali da biste pomnožili, morali ste pomnožiti razlomke sa razlomcima, a zatim, možda, ponovo koristiti tabelu. Situacija s podjelom bila je još složenija. Evo, na primjer, kako je 5 podijeljeno sa 21:

Često nailazimo na problem iz Ahmesovog papirusa: “Neka vam se kaže: podijelite 10 mjera ječma na 10 ljudi; razlika između svake osobe i njegovog komšije je - 1/8 mjere. Prosječan udio je jedna mjera. Oduzmi jedan od 10; ostatak 9. Nadoknaditi polovinu razlike; ovo je 1/16. Uzmi 9 puta. Nanesite ovo na srednji ritam; oduzmite 1/8 mjere za svako lice dok ne dođete do kraja.”

Još jedan problem iz Ahmesovog papirusa koji pokazuje upotrebu alikvotnih frakcija: “Podijelite 7 hljebova na 8 ljudi.”
Ako svaku veknu isečete na 8 delova, moraćete da napravite 49 rezova.
A u egipatskom je ovaj problem riješen ovako. Razlomak 7/8 napisan je kao razlomci: 1/2 + 1/4 + 1/8. To znači da svakoj osobi treba dati pola vekne, četvrtinu vekne i osminu hleba; Dakle, četiri vekne prepolovimo, dve vekne na 4 dela i jednu veknu na 8 delova, nakon čega svakoj dajemo po deo.

Egipatske tablice razlomaka i razne babilonske tablice su najstarija poznata sredstva za olakšavanje proračuna.

Egipatski razlomci su se nastavili koristiti u staroj Grčkoj, a potom i od strane matematičara širom svijeta sve do srednjeg vijeka, uprkos komentarima drevnih matematičara o njima. Na primjer, Klaudije Ptolomej je govorio o neugodnosti upotrebe egipatskih razlomaka u poređenju sa babilonskim sistemom (pozicijski brojevni sistem). Važan rad na proučavanju egipatskih razlomaka obavio je matematičar iz 13. stoljeća Fibonacci u svom djelu "Liber Abaci" - to su proračuni pomoću decimalnih i običnih razlomaka, koji su na kraju zamijenili egipatske razlomke. Fibonači je koristio složenu notaciju razlomaka, uključujući notaciju sa mješovitom bazom i zbiru razlomaka, a često su se koristile i egipatske razlomke. Knjiga je također pružala algoritme za pretvaranje običnih razlomaka u egipatske.

1.3 Razlomci u starom Babilonu.

Poznato je da su u starom Babilonu koristili seksagezimalni sistem brojeva. Naučnici ovu činjenicu pripisuju činjenici da su vavilonske novčane i težinske mjerne jedinice bile podijeljene, zbog istorijskih uslova, na 60 jednakih dijelova: 1 talenat = 60 min; 1 min = 60 šekela. Šezdesete su bile uobičajene u životu Babilonaca. Zato su koristili seksagezimalne razlomke, koji uvijek imaju nazivnik 60 ili njegove potencije: 60 2 = 3600, 60 3 = 216 000, itd. Ovo su prvi sistematski razlomci na svijetu, tj. razlomci u kojima su imenilac potenci istog broja. Koristeći takve razlomke, Babilonci su morali približno predstaviti mnogo razlomaka. To je nedostatak i istovremeno prednost ovih frakcija. Ovi razlomci su postali stalni alat naučnih proračuna grčkih, a potom i arapskih i srednjovjekovnih evropskih naučnika sve do 15. stoljeća, kada su ustupili mjesto decimalnim razlomcima. Ali naučnici svih nacija koristili su seksagezimalne razlomke u astronomiji do 17. stoljeća, nazivajući ih astronomskim razlomcima.

Šeksagezimalni brojevni sistem predodredio je veliku ulogu u matematici Babilona za različite tabele. Potpuna babilonska tablica množenja bi sadržavala proizvode od 1x1 do 59x59, odnosno 1770 brojeva, a ne 45 kao naša tablica množenja. Gotovo je nemoguće zapamtiti takvu tabelu. Čak i u pisanoj formi to bi bilo veoma glomazno. Stoga je za množenje, kao i za dijeljenje, postojao opsežan skup različitih tablica. Operacija podjele u babilonskoj matematici može se nazvati “problemom broj jedan”. Babilonci su sveli dijeljenje broja m brojem n na množenje broja m razlomkom 1\ n, a nisu imali čak ni izraz “dijeli”. Na primjer, kada su računali šta bismo zapisali kao x = m: n, uvijek su razmišljali ovako: uzmite inverzno od n, vidjet ćete 1\ n, pomnožite m sa 1\ n, i vidjet ćete x. Naravno, umjesto naših slova, stanovnici Babilona su nazivali određene brojeve. Dakle, najvažniju ulogu u babilonskoj matematici imale su brojne tablice recipročnosti.

Osim toga, za proračune s razlomcima, Babilonci su sastavili opsežne tablice koje su glavne razlomke izražavale u seksagezimalnim razlomcima. Na primjer:

1\16 = 3\60 + 45\60 2 , 1\54 = 1\60 + 6\60 2 + 40\60 3 .

Vavilonci su sabiranje i oduzimanje razlomaka obavljali slično kao i odgovarajuće operacije s cijelim brojevima i decimalnim razlomcima u našem pozicijskom brojevnom sistemu. Ali kako je razlomak pomnožen razlomkom? Prilično visok razvoj mjerne geometrije (premjer zemljišta, mjerenje površine) sugerira da su Babilonci ove poteškoće savladali uz pomoć geometrije: promjena u linearnoj skali za 60 puta daje promjenu skale površine za 60 do 60 puta. Treba napomenuti da u Babilonu do proširenja polja prirodnih brojeva na područje pozitivnih racionalnih brojeva konačno nije došlo, budući da su Babilonci smatrali samo konačne seksagezimalne razlomke, u čijem području podjela nije uvijek izvodljiva. Uz to, Babilonci su koristili razlomke 1\2,1\3,2\3,1\4,1\5,1\6,5\6, za koje su postojali pojedinačni znakovi.

Tragovi babilonskog seksagezimalnog sistema brojeva zadržali su se u modernoj nauci u mjerenju vremena i uglova. Do danas se očuvala podjela sata na 60 minuta, minuta na 60 sekundi, kruga na 360 stepeni, stepena na 60 minuta, minuta na 60 sekundi. Minuta na latinskom znači "mali dio", sekunda znači "sekunda"

(mali dio).

1.4. Razlomci u starom Rimu.

Rimljani su uglavnom koristili samo konkretne frakcije, koje su apstraktne dijelove zamijenile podjelama korištenih mjera. Ovaj sistem razlomaka bio je zasnovan na podjeli jedinice težine na 12 dijelova, koji se zvao magarca. Tako su nastali rimski duodecimalni razlomci, tj. razlomci čiji je imenilac uvek bio dvanaest. Dvanaesti dio asa zvao se unca. Umjesto 1/12, Rimljani su govorili "jedna unca", 5/12 - "pet unci" itd. Tri unce se zvalo četvrtina, četiri unce trećina, šest unci polovina.

A put, vrijeme i druge veličine upoređivani su s vizualnom stvari - težinom. Na primjer, Rimljanin bi mogao reći da je prešao sedam unci staze ili pročitao pet unci knjige. U ovom slučaju, naravno, nije se radilo o vaganju puta ili knjige. To je značilo da je 7/12 puta završeno ili da je pročitano 5/12 knjige. A za razlomke dobivene smanjenjem razlomaka s nazivnikom 12 ili dijeljenjem dvanaestina na manje, postojala su posebna imena. Ukupno je korišteno 18 različitih naziva za razlomke. Na primjer, u upotrebi su bili sljedeći nazivi:

“scrupulus” - 1/288 assa,

"polu" - poluguzica,

"sextance" je njegov šesti dio,

“polunce” - pola unce, tj. 1/24 magarca itd.

Za rad s takvim razlomcima bilo je potrebno zapamtiti tablicu sabiranja i tablicu množenja za te razlomke. Stoga su rimski trgovci čvrsto znali da pri sabiranju triena (1/3 assa) i sextans-a rezultat je semis, a kada se imp (2/3 assa) množe sa seskunceom (2/3 unce, tj. 1/8 assa), rezultat je unca. Da bi se olakšao rad, sastavljene su posebne tabele, od kojih su neke došle do nas.

Unca se označavala linijom - pola assa (6 unci) - slovom S (prvo u latinskoj riječi Semis - pola). Ova dva znaka služila su za bilježenje bilo kojeg duodecimalnog razlomka, od kojih je svaki imao svoje ime. Na primjer, 7\12 je napisano ovako: S-.

Još u prvom veku pre nove ere, istaknuti rimski govornik i pisac Ciceron je rekao: „Bez znanja o razlomcima, niko se ne može prepoznati da zna aritmetiku!“

Tipičan je sledeći odlomak iz dela poznatog rimskog pesnika iz 1. veka pre Hrista Horacija, o razgovoru učitelja i učenika u jednoj od rimskih škola tog doba:

Učitelj: Neka mi Albinov sin kaže koliko će ostati ako se od pet unci oduzme jedna unca!

Učenik: Jedna trećina.

Učitelj: Tako je, dobro poznajete razlomke i moći ćete da sačuvate svoju imovinu.

1.5. Razlomci u staroj Grčkoj.

U staroj Grčkoj, aritmetika - proučavanje opštih svojstava brojeva - bila je odvojena od logistike - umetnosti računanja. Grci su vjerovali da se frakcije mogu koristiti samo u logistici. Grci su slobodno izvodili sve aritmetičke operacije sa razlomcima, ali ih nisu priznavali kao brojeve. Razlomci nisu pronađeni u grčkim radovima iz matematike. Grčki naučnici su verovali da matematika treba da se bavi samo celim brojevima. Prepustili su petljanje s frakcijama trgovcima, zanatlijama, kao i astronomima, geodetima, mehaničarima i drugim „crnim ljudima“. “Ako želite da podijelite jedinicu, matematičari će vas ismijavati i neće vam dozvoliti da to učinite”, napisao je osnivač Atinske akademije Platon.

Ali nisu se svi starogrčki matematičari složili s Platonom. Stoga, u svojoj raspravi "O mjerenju kruga" Arhimed koristi razlomke. Heron od Aleksandrije je takođe slobodno baratao frakcijama. Kao i Egipćani, on rastavlja razlomak na zbir osnovnih razlomaka. Umjesto 12\13 piše 1\2 + 1\3 + 1\13 + 1\78, umjesto 5\12 piše 1\3 + 1\12 itd. Čak je i Pitagora, koji je sa svetom strepnjom tretirao prirodne brojeve, pri stvaranju teorije muzičke ljestvice povezao glavne muzičke intervale s razlomcima. Istina, Pitagora i njegovi učenici nisu koristili sam koncept razlomaka. Dozvolili su sebi da govore samo o omjerima cijelih brojeva.

Pošto su Grci radili sa razlomcima samo sporadično, koristili su različite oznake. Heron i Diofant pisali su razlomke u abecednom obliku, sa brojicom ispod nazivnika. Za neke razlomke korištene su posebne oznake, na primjer, za 1\2 - L′′, ali općenito je njihovo abecedno numeriranje otežavalo označavanje razlomaka.

Za jedinične razlomke korištena je posebna oznaka: nazivnik razlomka je praćen potezom udesno, brojnik nije napisan. Na primjer,
u abecednom sistemu je značilo 32, a " - razlomak 1\32. Postoje takvi snimci običnih razlomaka u kojima se brojilac sa prostim brojem i imenilac uzet dva puta sa dva prosta broja pišu jedan pored drugog u jednom redu. Ovako , na primjer, Heron iz Aleksandrije zapisao je razlomak 3\4:
.

Nedostaci grčkih notacija za razlomke su zbog činjenice da su Grci shvatili riječ "broj" kao skup jedinica, tako da ono što sada smatramo jednim racionalni broj– razlomak – Grci su shvatali kao odnos dva cela broja. Ovo objašnjava zašto se razlomci rijetko nalaze u grčkoj aritmetici. Prednost su imali razlomci sa jediničnim brojivom ili seksagezimalni razlomci. Područje u kojem su praktični proračuni imali najveću potrebu za tačnim razlomcima bila je astronomija, a ovdje je babilonska tradicija bila toliko jaka da su je koristili svi narodi, uključujući i Grčku.

1.6. razlomci na ruskom

Prvi ruski matematičar, nama poznat po imenu, monah novgorodskog manastira Kirik, bavio se pitanjima hronologije i kalendara. U svojoj rukom pisanoj knjizi „Učenje da kaže čoveku brojeve svih godina“ (1136), tj. “Uputa o tome kako osoba može znati broj godina” primjenjuje podjelu sata na kvinte, dvadeset pete, itd. razlomaka, koje je nazvao "razlomcima" ili "časovima". Dolazi do sedmog razlomka, kojih ima 937.500 u danu ili noći, i kaže da od sedmog razlomka nema ništa.

U prvim udžbenicima matematike (7. vek) razlomci su se nazivali razlomci, kasnije „izlomljeni brojevi“. U ruskom jeziku riječ frakcija pojavila se u 8. vijeku; dolazi od glagola "droblit" - razbiti, razbiti na komade. Prilikom pisanja broja korištena je vodoravna linija.

U starim priručnicima postoje sljedeći nazivi razlomaka na ruskom:

1/2 - pola, pola

1/3 – treći

1/4 – parno

1/6 – pola trećine

1/8 - polovina

1/12 – pola trećine

1/16 - pola pola

1/24 – pola i pola trećine (mala trećina)

1/32 – pola pola pola (mala polovina)

1/5 – pyatina

1/7 - sedmica

1/10 je desetina.

U Rusiji se koristila zemljišna mjera od četvrtine ili manja -

pola četvrtine, koja se zvala oktina. To su bili konkretni razlomci, jedinice za mjerenje površine zemlje, ali oktina nije mogla mjeriti vrijeme ili brzinu itd. Mnogo kasnije, oktina je počela značiti apstraktni razlomak 1/8, koji može izraziti bilo koju vrijednost.

O upotrebi razlomaka u Rusiji u 17. veku možete pročitati sledeće u knjizi V. Bellustina „Kako su ljudi postepeno došli do prave aritmetike“: „U rukopisu iz 17. veka. „Uredba o brojčanim člancima o svim razlomcima“ počinje direktno pisanom oznakom razlomaka i naznakom brojnika i nazivnika. Prilikom izgovaranja razlomaka interesantne su sljedeće karakteristike: četvrti dio se zvao četvrtina, dok su razlomci sa nazivnikom od 5 do 11 iskazivani riječima koje se završavaju na "ina", tako da je 1/7 sedmica, 1/5 je pet, 1/10 je desetina; dionice sa imeniocima većim od 10 izgovarane su riječima “lotovi”, na primjer 5/13 - pet trinaestih dionica. Numeracija razlomaka je direktno posuđena iz zapadnih izvora... Brojilac se zvao gornji broj, nazivnik se zvao donji.”

Od 16. veka, u Rusiji je bio veoma popularan abakus od daske - proračuni pomoću uređaja koji je bio prototip ruskog abakusa. Omogućio je brzo i jednostavno izvođenje složenih aritmetičkih operacija. Plank račun je bio veoma rasprostranjen među trgovcima, službenicima moskovskih narudžbi, "mjernicima" - zemljomjerima, monaškim ekonomistima itd.

U svom izvornom obliku, aritmetika ploče je posebno prilagođena potrebama napredne aritmetike. Ovo je sistem oporezivanja u Rusiji 15.-17. vijeka, u kojem je, uz sabiranje, oduzimanje, množenje i dijeljenje cijelih brojeva, bilo potrebno izvršiti iste operacije sa razlomcima, budući da je konvencionalna jedinica oporezivanja - plug - bio podeljen na delove.

Račun daske sastojao se od dvije sklopive kutije. Svaka kutija je bila podijeljena na dva dijela (kasnije samo na dnu); druga kutija je bila neophodna zbog prirode gotovinskog računa. Unutar kutije, kosti su bile nanizane na istegnute konopce ili žice. U skladu sa decimalnim brojevnim sistemom, redovi za cele brojeve imali su 9 ili 10 kockica; operacije sa razlomcima su se izvodile na nepotpunim redovima: red od tri kockice bio je tri trećine, red od četiri kocke bio je četiri četvrtine (četiri). Ispod su bili redovi u kojima se nalazila jedna kocka: svaka kockica predstavlja polovinu razlomka ispod kojeg se nalazi (na primjer, kockica ispod reda od tri kockice bila je polovina jedne trećine, kocka ispod nje je bila polovina polovice jedna trećina itd.). Sabiranje dva identična "kohezivna" razlomka daje razlomak najbližeg višeg ranga, na primjer, 1/12+1/12=1/6, itd. U abakusu, dodavanje dva takva razlomka odgovara prelasku na najbliži viši domino.

Razlomci su se zbrajali bez svođenja na zajednički imenilac, na primjer, „četvrtina i po trećine i pola“ (1/4 + 1/6 + 1/16). Ponekad su se operacije sa razlomcima izvodile kao sa cjelinama tako što se cjelina (ralo) izjednačavala s određenim novcem. Na primjer, ako je sokha = 48 novčanih jedinica, gornji dio će biti 12 + 8 + 3 = 23 monetarne jedinice.

U naprednoj aritmetici morali su se baviti manjim razlomcima. Neki rukopisi sadrže crteže i opise „daska za brojanje“ sličnih onima o kojima smo upravo govorili, ali sa velikim brojem redova sa jednom kosti, tako da se na njih mogu položiti razlomci do 1/128 i 1/96. Nema sumnje da su proizvedeni i odgovarajući instrumenti. Za praktičnost kalkulatora data su mnoga pravila “Kodeksa malih kostiju”, tj. zbrajanje razlomaka koji se obično koriste u uobičajenim proračunima, kao što su: tri četiri pluga i pola pluga i pola pluga, itd. do pola-pola-pola-pola-pola plug je plug bez pola-pola-pola-pola, tj. 3/4+1/8+1/16+1/32 +1/64 + 1/128 = 1 - 1/128, itd.

Ali od razlomaka su uzete u obzir samo 1/2 i 1/3, kao i oni dobijeni od njih pomoću sekvencijalnog dijeljenja sa 2. „Brojanje dasaka“ nije bilo prikladno za operacije s razlomcima drugih serija. Prilikom rada s njima bilo je potrebno pozvati se na posebne tablice u kojima su dati rezultati različitih kombinacija razlomaka.

IN 1703 Objavljen je prvi ruski štampani udžbenik matematike „Aritmetika“. Autor Magnitsky Leonty Filipovich. U 2. dijelu ove knjige, „O brojevima slomljenim ili sa razlomcima“, detaljno je predstavljeno proučavanje razlomaka.

Magnitsky ima skoro moderan karakter. Magnitsky se detaljnije zadržava na obračunu udjela nego u modernim udžbenicima. Magnitsky smatra razlomke imenovanim brojevima (ne samo 1/2, već 1/2 rublje, puda, itd.), i proučava operacije sa razlomcima u procesu rješavanja problema. Da postoji slomljeni broj, Magnitsky odgovara: „Pokvareni broj nije ništa drugo, samo dio stvari deklariran kao broj, to jest, pola rublje je pola rublje, a napisano je kao rublja, ili rublja, ili rublja, ili dvije petine, i sve vrste stvari koje su ili dio deklarirane kao broj, odnosno izlomljeni broj." Magnitsky daje imena svih pravih razlomaka sa nazivnicima od 2 do 10. Na primjer, razlomci sa nazivnikom 6: jedan šesnaest, dva šesnaest, tri šesnaest, četiri šesnaest, pet šesnaest.

Magnitsky koristi naziv brojnik, nazivnik, razmatra nepravilne razlomke, mješovite brojeve, pored svih radnji, izoluje cijeli dio nepravilnog razlomka.

Izučavanje razlomaka je oduvijek ostalo najteži dio aritmetike, ali u isto vrijeme, u bilo kojoj od prethodnih epoha, ljudi su shvatili važnost proučavanja razlomaka, a nastavnici su se trudili da svoje učenike ohrabre u poeziji i prozi. L. Magnitsky je napisao:

Ali nema aritmetike

Izho je cijeli optuženi,

I u ovim akcijama nema ništa,

Moguće je odgovoriti.

Oh, molim te, molim te,

Budite u mogućnosti da budete u dijelovima.

1.7. Razlomci u staroj Kini

U Kini su gotovo sve aritmetičke operacije s običnim razlomcima uspostavljene do 2. stoljeća. BC e.; oni su opisani u osnovnom korpusu matematičkog znanja drevne Kine - "Matematika u devet knjiga", čije konačno izdanje pripada Zhang Cangu. Računajući na osnovu pravila sličnog Euklidovom algoritmu (najveći zajednički djelitelj brojnika i nazivnika), kineski matematičari su smanjili razlomke. Množenje razlomaka smatralo se kao pronalaženje površine pravokutne parcele, čija se dužina i širina izražavaju kao razlomci. Razmatrano je da se podjela koristi idejom dijeljenja, dok kineski matematičari nisu bili zbunjeni činjenicom da bi broj učesnika u podjeli mogao biti razlomak, na primjer, 3⅓ ljudi.

U početku su Kinezi koristili jednostavne razlomke, koje su nazvane hijeroglifom kupke:

zabrana (“pola”) –1\2;

shao ban (“mala polovina”) –1\3;

tai banh („velika polovina“) –2\3.

Sljedeća faza bila je razvoj općeg razumijevanja razlomaka i formiranje pravila za rad s njima. Ako su se u starom Egiptu koristile samo alikvotne frakcije, onda su u Kini one, smatrane frakcijama-fen, smatrane jednom od varijanti frakcija, a ne jedinim mogućim. Kineska matematika se od davnina bavila mješovitim brojevima. Najraniji matematički tekst, Zhou Bi Xuan Jing (Kanon izračunavanja Zhou Gnomona/Matematički traktat o Gnomonu), sadrži proračune koji podižu brojeve kao što je 247 933 / 1460 na stepen.

U „Jiu Zhang Xuan Shu“ („Pravila brojanja u devet sekcija“), razlomak se smatra dijelom cjeline, koji je izražen u n-broju njegovih razlomaka-fen – m (n

U prvom odeljku „Jiu Zhang Xuan Shu“, koji je uglavnom posvećen merenju polja, posebno su data pravila za smanjenje, sabiranje, oduzimanje, deljenje i množenje razlomaka, kao i njihovo poređenje i „izjednačavanje“. takvo poređenje tri razlomka u kojem je potrebno pronaći njihovu aritmetičku sredinu (jednostavnije pravilo za izračunavanje aritmetičke sredine dva broja nije dato u knjizi).

Na primjer, da bi se dobio zbir razlomaka u navedenom eseju, nude se sljedeće upute: „Naizmenično množite (hu cheng) brojioce sa nazivnicima. Dodaj - ovo je dividenda (shi). Pomnožite nazivnike - ovo je djelitelj (fa). Kombinirajte dividendu i djelitelj u jedan(e). Ako postoji ostatak, povežite ga s djeliteljem.” Ova instrukcija znači da ako se zbroji nekoliko razlomaka, tada se brojnik svakog razlomka mora pomnožiti sa nazivnicima svih ostalih razlomaka. Prilikom “kombiniranja” dividende (kao zbroja rezultata takvog množenja) sa djeliteljem (proizvodom svih nazivnika) dobije se razlomak koji treba po potrebi smanjiti i od kojeg se cijeli dio treba odvojiti dijeljenjem. , tada je “ostatak” brojilac, a smanjeni djelitelj imenilac. Zbir skupa razlomaka je rezultat takvog dijeljenja, koji se sastoji od cijelog broja plus razlomka. Izjava „pomnoži nazivnike“ u suštini znači svođenje razlomaka na njihov najveći zajednički imenilac.

Pravilo za smanjenje razlomaka u Jiu Zhang Xuan Shu sadrži algoritam za pronalaženje najvećeg zajedničkog djelitelja brojnika i nazivnika, koji se poklapa s takozvanim Euklidovim algoritmom, dizajniranim da odredi najveći zajednički djelitelj dva broja. Ali ako je ovo drugo, kao što je poznato, dato u Principima u geometrijskoj formulaciji, onda je kineski algoritam predstavljen čisto aritmetički. Kineski algoritam za pronalaženje najvećeg zajedničkog djelitelja, nazvan deng shu („isti broj“), konstruiran je kao sekvencijalno oduzimanje manjeg broja od većeg. Frakcija se mora smanjiti za ovaj broj den shua. Na primjer, predlaže se smanjenje razlomka 49\91. Vršimo sekvencijalno oduzimanje: 91 – 49 = 42; 49 – 42 = 7; 42 – 7 – 7 – 7 – 7 – 7 – 7 = 0. Dan shu = 7. Smanjite razlomak za ovaj broj. Dobijamo: 7\13.

Podjela razlomaka u Jiu Zhang Xuan Shu je drugačija od one koja je prihvaćena danas. Pravilo "jing fen" ("red dijeljenja") kaže da prije dijeljenja razlomaka moraju biti svedeni na zajednički nazivnik. Dakle, postupak dijeljenja razlomaka ima nepotreban korak: a/b: c/d = ad/bd: cb/bd = ad/cb. Tek u 5. veku. Zhang Qiu-jian u svom djelu "Zhang Qiu-jian suan jing" ("Kanon za brojanje Zhang Qiu-jiana") ga se riješio, dijeleći razlomke prema uobičajenom pravilu: a/b: c/d = ad/ cb.

Možda je duga posvećenost kineskih matematičara sofisticiranom algoritmu za dijeljenje razlomaka bila posljedica želje da se zadrži njegova univerzalnost i upotrebe ploče za brojanje. U suštini, sastoji se od svođenja dijeljenja razlomaka na dijeljenje cijelih brojeva. Ovaj algoritam vrijedi ako je cijeli broj djeljiv mješovitim brojem. Prilikom dijeljenja, na primjer, 2922 sa 182 5 / 8, oba broja su prvo pomnožena sa 8, što je omogućilo dalje dijeljenje cijelih brojeva: 23376:1461= 16

1.8. Razlomci u drugim stanjima antike i srednjeg vijeka.

Na primjer, razlomak snimljeno kao

Pravila za rad sa razlomcima, koja je postavio indijski naučnik Bramagupta (8. vek), gotovo se nisu razlikovala od savremenih. Kao iu Kini, u Indiji, da bi se doveo do zajedničkog imenioca, imenioci svih pojmova su se dugo množili, ali od 9. veka. već koristi najmanji zajednički višekratnik.

Srednjovjekovni Arapi koristili su tri sistema za pisanje razlomaka. Prvo, na indijski način, upisivanje imenioca ispod brojioca; Razlomka se pojavila krajem 12. - početkom 13. stoljeća. Drugo, službenici, zemljomjeri i trgovci koristili su račun alikvotnih razlomaka, sličan egipatskom, koristeći razlomke čiji imenioci ne prelaze 10 (samo za takve razlomke arapski jezik ima posebne termine); često su se koristile približne vrijednosti; Arapski naučnici radili su na poboljšanju ovog proračuna. Treće, arapski naučnici su naslijedili babilonsko-grčki seksagezimalni sistem, u kojem su, kao i Grci, koristili abecedni zapis, proširivši ga na čitave dijelove.

Indijska notacija za razlomke i pravila za rad s njima usvojeni su u 9. vijeku. u muslimanskim zemljama zahvaljujući Muhamedu iz Horezma (al-Horezmi). U trgovačkoj praksi u islamskim zemljama, jedinični razlomci su bili široko korišteni; u nauci su korišteni seksagezimalni razlomci i, u mnogo manjoj mjeri, obični razlomci. Al-Karaji (X-XI vek), al-Khassar (XII vek), al-Kalasadi (XV vek) i drugi naučnici su u svojim radovima predstavili pravila za predstavljanje običnih razlomaka u obliku zbira i proizvoda jediničnih razlomaka. Podatke o razlomcima prenio je u zapadnu Evropu talijanski trgovac i naučnik Leonardo Fibonacci iz Pize (13. vijek). Uveo je riječ razlomak, počeo koristiti razlomak (1202) i dao formule za sistematsku podjelu razlomaka na osnovne. Nazive brojilac i imenilac uveo je u 13. veku Maksim Planud, grčki monah, naučnik i matematičar. Metodu za svođenje razlomaka na zajednički nazivnik predložio je 1556. N. Tartaglia. Moderna shema za zbrajanje običnih razlomaka datira iz 1629. godine. kod A. Girarda.

II. Primjena običnih frakcija

2.1 Alikvotne frakcije

Problemi koji koriste alikvotne frakcije predstavljaju veliku klasu nestandardnih problema, uključujući i one koji potiču iz antičkih vremena. Alikvotni razlomci se koriste kada trebate nešto podijeliti na nekoliko dijelova u najmanjem mogućem broju koraka. Dekompozicija razlomaka oblika 2/n i 2/(2n +1) na dva alikvotna razlomka sistematizovana je u obliku formula

Razlaganje na tri, četiri, pet itd. alikvotne frakcije se mogu proizvesti razlaganjem jednog od pojmova na dvije frakcije, sljedećeg člana na još dvije alikvotne frakcije, itd.

Da biste broj predstavili kao zbir alikvotnih razlomaka, ponekad morate pokazati izuzetnu domišljatost. Recimo da je broj 2/43 izražen ovako: 2/43=1/42+1/86+1/129+1/301. Vrlo je nezgodno izvoditi aritmetičke operacije nad brojevima, razlažući ih u zbir razlomaka jedan. Stoga se u procesu rješavanja zadataka za razlaganje alikvotnih frakcija u obliku zbira manjih alikvotnih frakcija pojavila ideja da se razlaganje razlomaka sistematizuje u obliku formule. Ova formula vrijedi ako trebate rastaviti alikvotnu frakciju na dvije alikvotne frakcije.

Formula izgleda ovako:

1/n=1/(n+1) + 1/n ·(n+1)

Primjeri proširenja frakcija:

1/3=1/(3+1)+1/3·(3+1)=1/4 +1/12;

1/5=1/(5+1)+1/5·(5+1)=1/6 +1/30;

1/8=1/(8+1)+1/8·(8+1)=1/9+ 1/72.

Ova formula se može transformisati da bi se dobila sljedeća korisna jednakost: 1/n·(n+1)=1/n -1/(n+1)

Na primjer, 1/6=1/(2 3)=1/2 -1/3

To jest, alikvotni razlomak se može predstaviti razlikom dvaju alikvotnih frakcija, ili razlikom dvaju alikvotnih frakcija, čiji su nazivnici uzastopni brojevi jednaki njihovom proizvodu.

Primjer. Predstavite broj 1 kao zbir različitih alikvotnih frakcija

a) tri člana 1=1/2+1/2=1/2+(1/3+1/6)=1/2+1/3+1/6

b) četiri mandata

1=1/2+1/2=1/2+(1/3+1/6)=1/2+1/3+1/6=1/2+1/3+(1/7+1/42)= 1/2+1/3+1/7+1/42

c) pet mandata

1=1/2+1/2=1/2+(1/3+1/6)=1/2+1/3+1/6=1/2+1/3+(1/7+1/42)=1/2+1/3+1/7+1/42=1/2+(1/4+ +1/12) +1/7+1/42=1/2+1/4+1/12 +1/7+1/42

2.2 Umjesto malih frakcija, velike

U fabrikama mašinogradnje postoji veoma uzbudljiva profesija, zove se marker. Marker označava linije na radnom komadu duž kojih se ovaj radni komad treba obraditi kako bi mu se dao traženi oblik.

Marker mora rješavati zanimljive i ponekad teške geometrijske probleme, izvoditi aritmetičke proračune itd.
“Trebalo je nekako rasporediti 7 identičnih pravougaonih ploča u jednakim udjelima između 12 dijelova. Donijeli su ovih 7 ploča do markera i zamolili ga, ako je moguće, da označi ploče tako da se nijedna ne mora smrskati na vrlo sitne dijelove. Dakle, najjednostavnije rješenje je - Rezanje svake ploče na 12 jednakih dijelova nije bilo prikladno, jer bi to rezultiralo mnogo sitnih dijelova.
Da li je moguće podijeliti ove ploče na veće dijelove? Marker je razmišljao, napravio neke aritmetičke proračune sa razlomcima i konačno pronašao najekonomičniji način da podijeli ove ploče.
Nakon toga je lako zdrobio 5 tanjira da ih rasporedi u jednakim udjelima između šest dijelova, 13 ploča za 12 dijelova, 13 ploča za 36 dijelova, 26 za 21, itd.

Ispostavilo se da je marker predstavio razlomak 7\12 kao zbir jediničnih razlomaka 1\3 + 1\4. To znači da ako se od 7 datih ploča 4 izreže na tri jednaka dijela, onda dobijemo 12 trećina, odnosno po jednu trećinu za svaki dio. Preostale 3 ploče isječemo na 4 jednaka dijela, dobijemo 12 četvrtina, odnosno po jednu četvrtinu za svaki dio. Slično, koristeći prikaze razlomaka u obliku zbira jediničnih razlomaka 5\6=1\2+1\3; 13\121\3+3\4; 13\36=1\4+1\9.

2.3 Divizije u teškim okolnostima

Poznata je istočnjačka parabola da je otac ostavio 17 kamila svojim sinovima i naredio im da podijele među sobom: najstariju polovinu, srednju trećinu, najmlađu devetu. Ali 17 nije deljivo sa 2, 3 ili 9. Sinovi su se okrenuli mudracu. Mudrac je poznavao razlomke i mogao je pomoći u ovoj teškoj situaciji.

Pribjegao je smicalici. Mudrac je krdu privremeno dodao svoju kamilu, tada ih je bilo 18. Podijelivši ovaj broj, kako stoji u testamentu, mudrac je vratio svoju kamilu. Tajna je u tome da dijelovi na koje su sinovi trebali podijeliti stado prema oporuci ne zbrajaju 1. Zaista, 1\2 + 1\3 + 1\9 = 17\18.

Ima dosta takvih zadataka. Na primjer, problem iz ruskog udžbenika o 4 prijatelja koji su pronašli novčanik sa 8 kreditnih novčanica: jedan za jednu, tri, pet rubalja, a ostatak za deset rubalja. Po obostranom dogovoru, jedni su htjeli treći dio, drugi četvrtinu, treći peti, četvrti šesti. Međutim, sami to nisu mogli učiniti: pomogao je prolaznik, nakon što je dodao svoju rublju. Da bi riješio ovu poteškoću, prolaznik je dodao jedinične razlomke 1\3 + 1\4 + 1\5 + 1\6 = 57\60, udovoljavajući zahtjevima svojih prijatelja i zaradivši za sebe 2 rublje.

III.Zanimljivi razlomci

3.1 Domino razlomci

Domino je društvena igra popularna u cijelom svijetu. Domino igra se najčešće sastoji od 28 pravokutnih pločica. Domino je pravokutna pločica čija je prednja strana podijeljena linijom na dva kvadratna dijela. Svaki dio sadrži od nula do šest bodova. Ako uklonite kockice koje ne sadrže bodove na barem jednoj polovini (prazne), tada se preostale kockice mogu smatrati razlomcima. Kockice, čije obje polovice sadrže isti broj bodova (dvostruke), su nepravilni razlomci jednaki jedan. Ako uklonite još ovih kostiju, ostat ćete sa 15 kostiju. Mogu se rasporediti na različite načine i dobiti zanimljive rezultate.

1. Raspored u 3 reda, zbir razlomaka u svakom od njih je 2.

;
;

2. Rasporedite svih 15 pločica u tri reda od po 5 pločica, koristeći neke od domina kao nepravilne razlomke, kao što su 4/3, 6/1, 3/2, itd., tako da zbir razlomaka u svakom redu izjednačio broj 10.

1\3+6\1+3\4+5\3+5\4=10

2\1+5\1+2\6+6\3+4\6=10

4\1+2\3+4\2+5\2+5\6=10

3. Raspored razlomaka u redove, čiji će zbir biti cijeli broj (ali različit u različitim redovima).

3.2 Od pamtivijeka.

“On je pažljivo proučavao ovo pitanje.” To znači da je pitanje proučeno do kraja, da ne ostaje ni najmanja nejasnoća. A čudna riječ “savjesno” dolazi od rimskog imena za 1/288 assa – “skrupulus”.

"Ulazak u razlomke." Ovaj izraz znači naći se u teškoj situaciji.

"Ass" je jedinica mjere mase u farmakologiji (farmaceutska funta).

“Unca” je jedinica za masu u engleskom sistemu mjera, jedinica mjerenja mase u farmakologiji i hemiji.

IV. Zaključak.

Zaključio sam da je istorija razlomaka krivudavi put sa mnogo prepreka i poteškoća. Radeći na svom eseju, naučio sam puno novih i zanimljivih stvari. Pročitao sam mnoge knjige i dijelove iz enciklopedija. Upoznao sam prve frakcije sa kojima su ljudi operisali, sa konceptom alikvotnog razlomka, i saznao nova imena naučnika koji su doprineli razvoju doktrine razlomaka. I sam sam pokušavao rješavati olimpijske i zabavne zadatke, samostalno birao primjere razlaganja običnih razlomaka na alikvotne razlomke i analizirao rješenja primjera i zadataka datih u tekstovima. Odgovor na pitanje koje sam sebi postavio prije početka rada na eseju: obični razlomci su neophodni, važni su. Bilo je zanimljivo pripremati prezentaciju, morao sam se obratiti učiteljici i drugarima iz razreda za pomoć. Takođe, prilikom kucanja, prvi put sam se susreo sa potrebom da kucam razlomke i frakcione izraze. Izložio sam svoj sažetak na školskoj konferenciji. Nastupala je i pred drugaricama iz razreda. Slušali su vrlo pažljivo i, po mom mišljenju, bili su zainteresovani.

Vjerujem da sam ispunio zadatke koje sam postavio prije početka rada na sažetku.

Književnost.

1. Borodin A.I. Iz istorije aritmetike. Glavna izdavačka kuća “Vishcha School”-K., 1986

2. Glazer G.I. Istorija matematike u školi: IV-VI razred. Priručnik za nastavnike. – M.: Obrazovanje, 1981.

3. Ignatiev E.I. U carstvu genijalnosti. Glavna redakcija fizičke i matematičke literature izdavačke kuće "Nauka", M., 1978.

4. Kordemskoy G.A. Matematička domišljatost - 10. izd., revidirano. I dodatno - M.: Yunisam, MDS, 1994.

5. Stroik D.Ya. Kratak esej istorija matematike. M.: Nauka, 1990.

6.Enciklopedija za djecu. Tom 11. Matematika. Moskva, Avanta+, 1998.

7. /wiki.Materijal sa Wikipedije - slobodne enciklopedije.

Aneks 1.

Prirodna skala

Svi znaju da je Pitagora bio naučnik, a posebno autor čuvene teoreme. Ali činjenica da je bio i briljantan muzičar nije toliko poznata. Kombinacija ovih talenata omogućila mu je da prvi pogodi postojanje prirodne skale. Još sam to morao dokazati. Pitagora je za svoje eksperimente napravio poluinstrument i poluuređaj - „monokord“. Bila je to duguljasta kutija preko koje je bila razvučena vrpca. Ispod kanapa, na gornjem poklopcu kutije, Pitagora je nacrtao skalu kako bi lakše vizuelno podelio kanap na delove. Pitagora je izveo mnoge eksperimente s monokordom i na kraju matematički opisao ponašanje zvučne žice. Pitagorina djela činila su osnovu nauke koju danas nazivamo muzičkom akustikom. Ispostavilo se da je za muziku sedam zvukova unutar oktave prirodna stvar kao deset prstiju na rukama u aritmetici. Već je tetiva prvog gudala, oscilirajući nakon udarca, dala spreman onaj skup muzičkih zvukova koji i danas koristimo gotovo nepromijenjenim.

Sa stanovišta fizike, tetiva i tetiva su jedno te isto. I čovjek je napravio tetivu, obraćajući pažnju na svojstva tetive. Zvučna žica vibrira ne samo u cjelini, već i u polovinama, trećinama, četvrtinama itd. Pristupimo ovom fenomenu sa aritmetičke strane. Polovice vibriraju dva puta češće od cijele žice, trećine - tri puta, četvrtine - četiri puta. Jednom riječju, koliko je puta manji vibrirajući dio strune, toliko je i frekvencija njenih oscilacija veća. Recimo da cijela struna vibrira na frekvenciji od 24 herca. Brojeći fluktuacije razlomaka do šesnaestih, dobijamo niz brojeva prikazan u tabeli. Ovaj niz frekvencija naziva se prirodnim, tj. prirodan, razmjer.

Dodatak 2.

Drevni problemi koji koriste obične razlomke.

U drevnim rukopisima i drevnim udžbenicima aritmetike iz različitih zemalja postoji mnogo zanimljivih problema koji uključuju razlomke. Rješavanje svakog od ovih problema zahtijeva značajnu domišljatost, domišljatost i sposobnost rasuđivanja.

1. Dolazi pastir sa 70 bikova. Pita se:

Koliko ih donosite iz svog brojnog stada?

Pastir odgovara:

Dovozim dve trećine stoke. Izbroj koliko bikova ima u stadu?

Ahmesov papirus (Egipat, oko 2000 pne).

2. Neko je uzeo 1/13 iz riznice. Od onoga što je ostalo, drugi je uzeo 1/17. U trezoru je ostavio 192. Želimo da saznamo koliko je bilo u trezoru na početku

Akmim papirus (VI vek)

3. Putnik! Ovdje je zakopan Diofantov pepeo. A brojke mogu reći, eto, koliko je dug bio njegov život.

Njegov šesti dio bilo je divno djetinjstvo.

Prošao je dvanaesti dio njegovog života - tada mu je brada bila prekrivena paperjem.
Diofant je sedmi put proveo u braku bez djece.

Prošlo je pet godina; bio je blagoslovljen rođenjem svog prelijepog prvorođenog sina.
Kome je sudbina dala samo polovinu lijepog i svijetlog života na zemlji u poređenju sa njegovim ocem.

I u dubokoj tuzi starac je prihvatio kraj svoje zemaljske sudbine, preživjevši četiri godine otkako je izgubio sina.

Reci mi koliko je godina života Diofant izdržao smrt?

4. Neko je, umirući, zavještao: „Ako moja žena rodi sina, neka ima 2/3 imanja, a ostalo neka ima njegova žena. Ako se rodi ćerka, tada će 1/3 biti dato njoj, a 2/3 ženi.” Rođeni su blizanci - sin i ćerka. Kako podijeliti imanje?

Antički rimski problem (II vek)

Nađi tri broja takva da najveći premašuje prosjek za dati dio najmanjeg, tako da prosjek premašuje najmanji za dati dio najvećeg i tako da najmanji premašuje broj 10 za dati dio prosjeka.

Diofantova aleksandrijska rasprava “Aritmetika” (2. – 3. vek nove ere)

5. Divlja patka leti iz Južnog mora u Sjeverno more 7 dana. Divlja guska leti od sjevernog do južnog mora 9 dana. Sada patka i guska izlete u isto vrijeme. Za koliko dana će se sastati?

Kina (2. vek nove ere)

6. “Jedan trgovac je prošao kroz 3 grada, i u prvom gradu su od njega naplatili dažbine za polovinu i trećinu njegove imovine, a u drugom gradu za polovinu i trećinu njegove preostale imovine, a u trećem gradu za polovinu i trećinu njegove preostale imovine. A kad je došao kući, ostalo mu je 11 novca. Saznajte koliko je novca trgovac imao na početku.”

Ananiy Shirakatsi. Zbirka “Pitanja i odgovori” (VIIveka nove ere).

Postoji cvijet kadamba,

Za jednu laticu

Petina pčela je opala.

Odrastao sam u blizini

Sva u cvatu Simengda,

I treći dio mu je stao.

Pronađite njihovu razliku

Presavijte ga tri puta

I posadi te pčele na kutai.

Samo dva nisu pronađena

Nigde nema mesta za sebe

Svi su letjeli tamo-amo i svuda

Uživali u mirisu cvijeća.

Sad mi reci

Računajući u mislima,

Koliko pčela ima ukupno?

Staroindijski problem (XI vek).

8. “Pronađi broj, znajući da ako od njega oduzmeš jednu trećinu i jednu četvrtinu, dobićeš 10.”

Muhammad ibn Musa al Khwarizmi "Aritmetika" (9. vek)

9. Jedna žena je otišla u baštu da ubere jabuke. Da bi napustila baštu, morala je proći kroz četiri vrata, od kojih je svaka imala stražara. Žena je dala polovinu jabuka koje je ubrala čuvaru na prvim vratima. Došavši do drugog stražara, žena mu je dala polovinu preostalih. Isto je uradila i sa trećim čuvarom, a kada je podelila jabuke četvrtom čuvaru, ostalo joj je 10 jabuka. Koliko je jabuka ubrala u bašti?

"1001 noć"

10. Samo “ono” i “ovo”, i polovina “onog” i “ovog” - koliki će postotak od tri četvrtine “onog” i “ovog” biti.

Drevni rukopis drevne Rusije (X-XI stoljeće)

11. Tri kozaka su došla kod stočara da kupe konje.

„Dobro, prodat ću ti konje“, rekao je pastir, „Prodat ću pola stada i još pola konja prvom, pola preostalih konja i još pola konja drugom, treći će također dobiti polovicu preostalih konja sa pola konja.

Za sebe ću ostaviti samo 5 konja.”

Kozaci su bili iznenađeni kako će stočar podijeliti konje na dijelove. Ali nakon malo razmišljanja, smirili su se i dogovor je postignut.

Koliko je konja stočar prodao svakom od kozaka?

12. Neko je pitao učiteljicu: „Reci mi koliko učenika imaš u razredu, jer želim da upišem sina kod tebe.“ Učitelj je odgovorio: „Ako dođe onoliko učenika koliko ja imam, i upola manje, i četvrtina, i tvoj sin, onda ću imati 100 učenika.” Postavlja se pitanje koliko je učenika imao nastavnik?

L. F. Magnitsky “Aritmetika” (1703.)

13. Putnik, sustigavši onog drugog, upita ga: "Koliko ima do sela ispred?" Drugi putnik je odgovorio: „Udaljenost od sela iz kojeg dolazite jednaka je trećini ukupne udaljenosti između sela. A ako hodate još dvije milje, bit ćete tačno na sredini između sela. Koliko milja preostaje prvom putniku?

L. F. Magnitsky “Aritmetika” (1703.)

14. Seljanka je prodavala jaja na pijaci. Prva mušterija je kupila polovinu njenih jaja i drugu polovinu jajeta, drugu polovinu ostatka i drugu polovinu jajeta, a treća zadnjih 10 jaja.

Koliko je jaja seljanka donela na pijacu?

L. F. Magnitsky “Aritmetika” (1703.)

15. Muž i žena su uzeli novac iz istog sanduka, a ništa nije ostalo. Muž je uzeo 7/10 svega novca, a žena 690 rubalja. Koliko je bio sav novac?

L. N. Tolstoj "Aritmetika"

16. Jedna osmina broja

Uzmi i dodaj bilo šta

Pola od tri stotine

I osam će nadmašiti

Ne malo - pedeset

Tri četvrtine. bit će mi drago,

Ako onaj ko zna rezultat

Reći će mi broj.

Johann Hemeling, nastavnik matematike (1800.)

17. Tri osobe su osvojile određenu svotu novca. Prvi je iznosio 1/4 ovog iznosa, drugi -1/7, a treći - 17 florina. Koliki je ukupan dobitak?

Adam Riese (Nemačka, 16. vek) 18. Odlučivši da svu svoju ušteđevinu podijeli podjednako na sve svoje sinove, neko je napravio testament. „Najstariji od mojih sinova treba da dobije 1000 rubalja i osminu ostatka; sljedeći - 2000 rubalja i osmina novog stanja; treći sin - 3.000 rubalja i osmina narednog bilansa, itd." Odredite broj sinova i iznos zaveštane ušteđevine.

Leonhard Euler (1780.)

19. Troje ljudi želi da kupi kuću za 24.000 livra. Dogovorili su se da će prvi dati polovinu, drugi jednu trećinu, a treći ostatak. Koliko novca će dati treći?

Razlomci ", " Obicno razlomci" Igra "O čemu mogu pričati... za mentalnu aritmetiku." Zadaci za temu " Obicno razlomci i djelovanje na njih" 1. U... filozof, pisac. B. Pascal je bio neobično talentovan i svestran, njegov život je bio...

» članak ««. Članak je odgovor na pitanje naših čitatelja: „Naše dijete zanima matematika. Šta možete ponuditi na temu „razlomaka“ što je zanimljivo, korisno, neobično i poučno? Ne volimo kolače sečene na komade.”

Vizuelna simetrija razlomaka je naš odgovor. Generalno, matematika je nauka. Prvobitno je razvijena kao nauka u najviši stepen beton, pravi. Njeni subjekti su bili stvarni predmeti, predmeti, stvari. Ali onda, počevši od Pitagore i njegovog čuvenog kvadrata, matematika je počela da prelazi u apstraktno carstvo. Odnosno, nije u vezi sa stvarno postojećom realnošću.

Naravno, ovo može biti korisno prilikom izračunavanja raznih viših stvari. Ali dok učim osnove matematici je najbolje pribjeći što je više moguće materijal primjeri.

Odnosno, minimum akcija u umu, maksimum akcija sa masama.

Ovo funkcionira čak i ako učenik ima 18 godina i hitno mora poboljšati svoju matematiku. Provedite malo vremena dajući masu i materijalnost objekta - i učenje će ići mnogo brže.

Sa ove tačke gledišta, kolači su prava stvar (osim što možda i nisu tako dobri za vaše zube :) Ali mnogo je jednostavnije i mnogo jeftinije koristiti grane i štapove. Koje djeca mogu SAMOSTALNO podijeliti na potrebne dijelove.

Naravno, u početku će to biti samo grmlje. Ali postepeno, postepeno, možete doći do stvari. Na primjer, na simetriju razlomaka.

Dakle, na osnovu materijalnosti, a uzimajući u obzir pitanje, opisujemo gradivo koje se obično ne uzima u obzir u školi.

Vizuelna simetrija razlomaka je nauka, estetika i razvoj.

Metodološka pitanja

Slike slijede. Bez i najmanjeg pitanja, pokazivanje slika deci je skoro BESKOrisno. U najboljem slučaju, ljubazno će reći “vau…” i otići da se igraju na kompjuteru.

Umesto slika treba da budu pravi, čvrsti objekti. Na primjer, grane je razbio na potrebne dijelove. Napomena: od ovoga razlomci(od riječi "zgnječiti"), onda ne treba davati šibice itd. i zatražite da ih izložite. To mora biti nešto cjelina koja je podijeljena na potrebne dijelove.

Ako sjednete svoje dijete i položite grančice ispred njega u obliku koji je predložen u nastavku, može se čak zainteresirati. Ali ništa više. A ako ga zamolite da ponovi ono što je vidio za pet dana, neće moći. Odnosno, jednostavno je bio iznenađen, kao što su ljudi iznenađeni beskorisnim, ali zanimljivim činjenicama (poput „ako stavite sve krvne žile u jednu liniju, možete umotati cijelo krdo slonova u gustu čahuru“).

Ako želite beneficije za dijete, onda on Morate to razbiti i sami objaviti obrasci predloženi u nastavku. Naravno, ne morate sve raditi odjednom.

Postepeno, štap po štapić, gotov crtež.
Molimo potražite uzorke.
Vrijeme za “razmišljanje” je možda jedan dan, a možda i sedmica.
Molimo zapišite uzorak koji ste pronašli.
Molimo provjerite obrazac u praksi.

Nakon toga možete prijeći na sljedeću grupu uzoraka.

Zapravo, simetrija razlomaka.

Obratite pažnju na sliku.

Postoji simetrija koju čine razlomci cjeline. Simetrija dolazi u dva oblika:

vizuelno, figurativno
vizuelni, numerički.

Dakle, rezultat nije bio samo prekrasna glatka kriva. Numerički obrazac: prvo na vrhu razlomka nalazi se jedan, a na dnu broj se smanjuje za jedan. A nakon 1/2 postoji još jedan obrazac - i gornji i donji brojevi se povećavaju za jedan.

Zapravo, filozofsko pitanje: zašto povećanje nazivnika (ili brojioca i imenioca) za jedan daje prekrasnu glatku krivulju?

Možda će djeca uspjeti pronaći odgovor na pitanje :)

Pogotovo ako slijede korake 1-5 smjernica.

Sada prelazimo na drugu tačku simetrije razlomaka. Isti crtež, ali sa malim dodatkom:

Kao što vidite, pronađeni obrazac o promjeni brojnika i nazivnika za jedan je zrcalno simetričan.

Sada za sljedeći trenutak simetrije. Izrežemo dijagram na 4 dijela i preslikamo gornji lijevi ugao. Dobićete ovu sliku:

Slažem se, ima više simetrije. Ali ostaje nam bijela, nepopunjena sredina. Simetričan je... Možda u njemu postoji neka šara? hajde da proverimo:

Da da! I brojnik i imenilac se smanjuju za jedan. Ali razlika između brojnika i nazivnika je drugačija - 2 jedinice.

Sada je vrijeme da zapamtite da se razlomci mogu smanjiti:

Zanimljivo je da i ovdje postoji simetrija - brojilac i imenilac su smanjeni za jedan. A razlika između njih je jedna.

Ali još uvijek imamo prazne ćelije... koje su vjerovatno i prirodne:

I opet na stvar! Isti obrazac - smanjenje za jedan i razlika od jedan.

Evo nekoliko zanimljivih stvari o simetriji razlomaka. Jednom kada upoznate obrazac, moći ćete pronaći simetriju iz bilo kojeg razlomka na bilo koji način.

Savet za roditelje (ili nešto što bi bilo lepo da dete razume):

Prirodna promjena daje simetričan uzorak.

U našem slučaju, razlomci se mijenjaju prirodno. Ali to se odnosi i na sve druge pojave u okolnom svijetu.

Ne veruješ mi? Provjeri! 🙂

Napišite svoje recenzije i savjete u komentarima!