Srednja škola br.45.

Moskva grad.

Učenik 10. razreda „B“ Gorokhov Evgenij

Nastavni rad (nacrt).

Uvod u teoriju matrica i determinanti.

1. Matrice.................................................................. ........................................................ ................................................................ ................... ......

1.1 Koncept matrice ........................................................ ........................................................ ............................................

1.2 Osnovne operacije na matricama................................................ ........................................................ ............. .

2. Odrednice ................................................................ ........................................................ ................................................................ ........

2.1 Koncept determinante ................................................................ ........................................................ .............. ................................

2.2 Izračunavanje determinanti.................................................................. ........................................................ ............ ...............

2.3 Osnovna svojstva determinanti.................................................. ........................................................ .............

3. Sistemi linearnih jednačina.................................................. ........................................................ .............. .

3.1 Osnovne definicije ................................................................ .... ................................................ ........................................

3.2 Uslov konzistentnosti za sisteme linearnih jednačina.................................................. ........................................

3.3 Rješavanje sistema linearnih jednačina korištenjem Cramerove metode.................................................. ........... .........

3.4 Rješavanje sistema linearnih jednadžbi Gaussovom metodom................................. ............ ............

4. Inverzna matrica.................................................. ........................................................ ............................................

4.1 Koncept inverzne matrice................................................ ........................................................ ............. ................

4.2 Izračunavanje inverzne matrice................................................ ........................................................ .............. ........

Bibliografija ................................................. ................................................................ .....................................

Matrix je pravokutna tablica brojeva koja sadrži određenu količinum linije i određeni brojn kolone. Brojevim In su pozvani naređenja matrice. Akom = n , matrica se zove kvadrat, a brojm = n -- ona u redu.

Osnovne aritmetičke operacije na matricama su množenje matrice brojem, sabiranje i množenje matrica.

Pređimo na definiranje osnovnih operacija nad matricama.

Sabiranje matrice: Zbir dvije matrice, na primjer:AIB, sa istim brojem redova i kolona, drugim riječima, istim redoslijedomm In naziva se matrica C = (WITHij)(i = 1, 2, …m; j = 1, 2, …n)iste naredbemIn, elementiCijkoji su jednaki.

Cij = Aij + Bij (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n) (1.2 )

Za označavanje sume dvije matrice koristi se notacijaC = A + B.Operacija sabiranja matrica naziva se njihova dodatak

Dakle, po definiciji imamo:

+ =

Iz definicije zbira matrica, tačnije iz formule ( 1.2 ) odmah slijedi da operacija sabiranja matrica ima ista svojstva kao i operacija sabiranja realnih brojeva, i to:

1) komutativno svojstvo:A + B = B + A

2) kombinovanje imovine:(A + B) + C = A + (B + C)

Ova svojstva omogućavaju da ne brinete o redoslijedu matričnih pojmova prilikom dodavanja dvije ili više matrica.

Množenje matrice brojem :

Matrični proizvod jer se realan broj naziva matricaC = (Cij) (i = 1, 2, … , m; j = 1, 2, …, n), čiji su elementi jednaki

Cij = Aij (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n). (1.3 )

Za označavanje proizvoda matrice i broja koristi se notacijaC= AiliC=A . Operacija sastavljanja proizvoda matrice brojem naziva se množenjem matrice ovim brojem.

Direktno iz formule ( 1.3 ) jasno je da množenje matrice brojem ima sljedeća svojstva:

1) distributivno svojstvo u odnosu na zbir matrica:

(A + B) = A+ B

2) asocijativno svojstvo u pogledu numeričkog faktora:

() A= ( A)

3) distributivno svojstvo u odnosu na zbir brojeva:

( + ) A= A + A.

Komentar :Razlika dvije matrice A IB identičnih redova prirodno je nazvati takvu matricuC istih redova, koji u zbiru sa matricomB daje matricuA . Da bi se označila razlika između dvije matrice, koristi se prirodna notacija:C = A – B.

Množenje matrice :

Matrični proizvodA = (Aij) (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n), sa jednakim redoslijedomm In , po matriciB = (Bij) (i = 1, 2, …, n;

j = 1, 2, …, p), sa jednakim redoslijedomn Istr , naziva se matricaC=(SAij) (i = 1, 2, … , m; j = 1, 2, … , p), s odgovarajućim jednakim redoslijedomm Istr , i elementiCij, definisan formulom

Cij = (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, p) (1.4 )

Za označavanje proizvoda matriceA na matricuB koristite snimanje

C=AB. Operacija sastavljanja matričnog proizvodaA na matricuB pozvao množenje ove matrice. Iz gore formulirane definicije slijedi da matrica A ne može se pomnožiti ni sa jednom matricom B : potrebno je da broj kolona matriceA bio jednaki broj redova matriceB . Za oba radaAB IB.A. ne samo da su definisane, već su imale i isti redosled, potrebno je i dovoljno da obe matriceA IB bile su kvadratne matrice istog reda.

formula ( 1.4 ) je pravilo za sastavljanje matričnih elemenataC ,

koji je proizvod matriceA na matricuB . Ovo pravilo se može formulisati usmeno: Element Cij , stoji na raskrsnici i th linija i j- th kolona matrice C=AB , je jednako zbir parnih proizvoda odgovarajućih elemenata i th line matrice A I j- th kolona matrice B . Kao primjer primjene ovog pravila predstavljamo formulu za množenje kvadratnih matrica drugog reda

Iz formule ( 1.4 ) slijede sljedeća svojstva matričnog proizvoda:Ana matricuB :

1) asocijativno svojstvo: (AB)C= A(BC);

2) distributivno svojstvo u odnosu na zbir matrica:

(A + B) C = AC + BCiliA (B + C) = AB + AC.

Ima smisla postaviti pitanje svojstva permutacije proizvoda matrica samo za kvadratne matrice istog reda. Elementarni primjeri pokazuju da proizvod dvije kvadratne matrice istog reda, općenito govoreći, nema svojstvo komutacije. U stvari, ako stavimo

A = , B =

Obično se nazivaju iste matrice za koje proizvod ima svojstvo komutacije putovanje na posao.

Tema 1. Matrice i matrične determinante

Šta učimo:

Osnovni pojmovi linearne algebre: matrica, determinanta.

Šta ćemo naučiti:

Izvođenje operacija na matricama;

Izračunajte sa determinantama drugog i trećeg reda.

Tema 1.1. Koncept matrice. Akcije na matrice

∆ Matrix je pravougaona tabela koja se sastoji od redova i kolona, ispunjena nekim matematičkim objektima.

Matrice su označene velikim latiničnim slovima, sama tabela je zatvorena u zagradama (rjeđe u obliku kvadrata ili drugog oblika).

Elementi A ij pozvao matričnih elemenata . Prvi indeks i– broj reda, sekundaj– broj kolone. Najčešće su elementi brojevi.

Unos "matrica" A ima veličinu m× n» znači da govorimo o matrici koja se sastoji odm linije i n kolone.

Ako m = 1, a n > 1, onda je matricamatrica - red . Ako m > 1, a n = 1, onda je matricamatrica - kolona .

Matrica u kojoj se broj redova poklapa s brojem stupaca (m= n), zove kvadrat .

Elementi a 11 , a 22 ,…, a nn kvadratna matricaA (veličina n× n) formu glavna dijagonala , elementi a 1 n , a 2 n -1 ,…, a n 1 - bočna dijagonala .

U matrici
elementi 5; 7 čine glavnu dijagonalu, elementi –5; 8 – bočna dijagonala.

Matrice A I B su pozvani jednaka (A= B), ako su iste veličine i njihovi elementi na istim pozicijama se poklapaju, tj.A ij = b ij .

Matrica identiteta je kvadratna matrica u kojoj su elementi glavne dijagonale jednaki jedan, a preostali elementi jednaki nuli. Matrica identiteta se obično označava sa E.

Matrix transponovano na matricu A veličinem× n, naziva se matrica A T veličina n× m, dobijeno iz matrice A, ako su njeni redovi upisani u kolone, a njeni stupci u redove.

Aritmetičke operacije nad matricama.

Naći zbir matrica A I B iste dimenzije, potrebno je dodati elemente sa istim indeksima (koji stoje na istim mjestima):

Sabiranje matrice je komutativno, odnosno A + B = B + A.

Naći matrična razlika A I B iste dimenzije, potrebno je pronaći razliku elemenata sa istim indeksima:

To matrica množenja Apo broju k, Potrebno je pomnožiti svaki element matrice ovim brojem:

Posao matrice AB može se definirati samo za matriceA veličina m× n I B veličina n× str, tj. broj kolona matriceA mora biti jednak broju redova matriceIN. Gde A· B= C, matrica C ima veličinu m× str, i njegov element c ij nalazi se kao skalarni proizvodith matrični redovi A on jth matrični stupacB: ( i=1,2,…, m; j=1,2,…, str).

!! Zapravo svaka linija je potrebna matrice A (stoji s lijeve strane) pomnožiti skalarno sa svakim stupcem matrice B (stoji sa desne strane).

Proizvod matrica nije komutativan, tjA·V ≠ V·A . ▲

☺ Za konsolidaciju teorijskog materijala potrebno je analizirati primjere.

Primjer 1. Određivanje veličine matrica.

Primjer 2. Definicija matričnih elemenata.

U matričnom elementu A 11 = 2, A 12 = 5, A 13 = 3.

U matričnom elementu A 21 = 2, A 13 = 0.

Primjer 3: Izvođenje transpozicije matrice.

Primjer 4. Izvođenje operacija na matricama.

Nađi 2 A- B, Ako , .

Rješenje. .

Primjer 5. Pronađite proizvod matrica I .

Rješenje. Veličina matriceA – 3 × 2 , matrice IN – 2 × 2 . Stoga proizvodA·B možete ga pronaći. Dobijamo:

Posao VA ne može se naći.

Primjer 6. Pronađite A 3 ako A =
.

Rješenje. A 2 = ·=
=
,

A 3 = ·=
=
.

Primjer 6. Pronađite 2 A 2 + 3 A + 5 E at
,
.

Rješenje. ,

,
,

,
.

Zadaci za završetak

1. Popunite tabelu.

Matrix	Veličina	Tip matrice	Elementi matrice
Matrix	Veličina	Tip matrice		a 12	a 23	a 32	a 33

2. Izvršite operacije na matricama
I
:

3. Izvršite množenje matrice:

4. Transponirane matrice:

? 1. Šta je matrica?

2. Kako razlikovati matricu od ostalih elemenata linearne algebre?

3. Kako odrediti veličinu matrice? Zašto je to potrebno?

4. Šta znači unos? A ij ?

5. Objasnite sljedeće pojmove: glavna dijagonala, sekundarna dijagonala matrice.

6. Koje operacije se mogu izvoditi na matricama?

7. Objasniti suštinu operacije množenja matrice?

8. Da li se bilo koja matrica može pomnožiti? Zašto?

Tema 1.2. Odrednice drugog i trećeg reda : m metode za njihovo izračunavanje

∆ Ako je A kvadratna matrica n--ti red, onda mu možemo pridružiti broj tzv odrednica n-ti red i označeno sa |A|. Odnosno, determinanta je zapisana kao matrica, ali je umjesto zagrada zatvorena u prave zagrade.

!! Ponekad se determinatori nazivaju determinantama na engleski način, tj = det A.

Odrednica 1. reda (determinanta matrice A veličine1 × 1 ) je sam element koji sadrži matrica A, tj.

Odrednica 2. reda (matrična determinanta Veličina 2 × 2 ) je broj koji se može pronaći pomoću pravila:

(proizvod elemenata na glavnoj dijagonali matrice minus proizvod elemenata na sekundarnoj dijagonali).

Odrednica 3. reda (matrična determinanta Veličina 3 × 3 ) je broj koji se može pronaći pomoću pravila "trokuta":

Da biste izračunali determinante trećeg reda, možete koristiti jednostavnije pravilo - pravilo pravca (paralelne linije).

Pravila uputstava : With desno od determinante dodaje se prva dva stupca, proizvodi elemenata na glavnoj dijagonali i na dijagonalama paralelnim s njom uzimaju se sa znakom plus; a proizvodi elemenata sekundarne dijagonale i dijagonala paralelnih s njom su sa predznakom minus.

!! Da biste izračunali determinante, možete koristiti njihova svojstva, koja vrijede za determinante bilo kojeg reda.

Svojstva determinanti:

1° . Determinanta matrice A se ne menja tokom transpozicije, tj. |A| = |A T |. Ovo svojstvo karakterizira jednakost redova i stupaca.

2° . Prilikom preuređivanja dva reda (dvije kolone), determinanta zadržava svoju prethodnu vrijednost, ali je predznak obrnut.

4° . Ako bilo koji red ili kolona sadrži zajednički faktor, onda se može izvući iz predznaka determinante.

Korolar 4.1. Ako su svi elementi bilo kojeg niza determinante jednaki nuli, tada je determinanta jednaka nuli.

Korolar 4.2. Ako su elementi bilo kojeg niza determinante proporcionalni odgovarajućim elementima niza koji su joj paralelni, tada je determinanta jednaka nuli.▲

☺ Potrebno je analizirati pravila za izračunavanje determinanti.

Primjer 1: Proračundeterminante drugog reda,
.

Rješenje.

Metrički i normirani prostori.

Euklidski i unitarni prostori.

Euklidski prostori. Tačkasti proizvod u euklidskom prostoru i njegova svojstva.

Dužina vektora u Euklidskom prostoru, ugao između vektora. Nejednakost Cauchy-Bunyakovsky i nejednakost trougla.

Ortogonalni i ortonormalni sistemi vektora u Euklidskom prostoru. Točkasti proizvod u ortonormalnoj osnovi.

Šturmov proces ortogonalizacije sistema vektora.

Izomorfizam euklidskih prostora.

Unitarni prostori. Skalarni proizvod u unitarnom prostoru i njegova svojstva.

Dužina vektora u unitarnom prostoru. Nejednakost Cauchy-Bunyakovsky i nejednakost trougla.

Ortogonalni i ortonormalni sistemi u unitarnom prostoru. Točkasti proizvod u ortonormalnoj osnovi.

Ortogonalni komplement podprostora. Svojstva ortogonalnog komplementa.

Reprezentacija prostora kao direktan zbir podprostora i njegovog ortogonalnog komplementa.

Ortogonalna projekcija i ortogonalna komponenta vektora na podprostor.

Udaljenost između vektora i podprostora, vektora i mnogostrukosti.

Ugao između vektora i podprostora euklidskog prostora, ugao između vektora i mnogostrukosti euklidskog prostora.

Metrički prostori. Granica niza u metričkom prostoru.

Loptice u metričkom prostoru. Ograničeni skupovi. Limit bodova.

Kompletnost metričkih prostora. Teorema o ugniježđenim loptama.

Normalizovani prostori. Veza između normiranih i metričkih prostora.

Koordinatna konvergencija i konvergencija norme, veza između njih. Kompletnost normiranih prostora.

Linearni funkcionali na linearnom prostoru. Prostor linearnih funkcionala.

Bilinearne funkcionalnosti na linearnom prostoru. Simetrične i antisimetrične bilinearne funkcije.

Multilinearne funkcionalnosti na linearnom prostoru. Simetrični, antisimetrični, apsolutno simetrični i apsolutno antisimetrični multilinearni funkcionali.

Determinanta kvadratne matrice kao multilinearne apsolutno antisimetrične funkcije. Formule za izračunavanje determinanti drugog i trećeg reda.

Svojstva determinanti.

Dekompozicija determinante na elemente reda ili na elemente stupca.

Minori reda, njihovi algebarski komplementi. Laplaceov teorem.

Metoda za izračunavanje determinanti reda svođenjem na trokutasti oblik.

Metoda za identifikaciju linearnih faktora pri izračunavanju determinanti reda. Vandermonde determinanta.

Metoda rekurentnih odnosa pri izračunavanju determinante reda.

Metoda predstavljanja determinante kao zbira dvije determinante pri izračunavanju determinanti reda.

Metoda za promjenu elemenata determinante pri izračunavanju determinante reda.

Determinante drugog i trećeg reda.

Zovu se brojevi m i n dimenzije matrice.

Matrica se zove kvadrat, ako je m = n. Broj n u ovom slučaju se zove u redu kvadratna matrica.

Svaka kvadratna matrica može biti povezana s brojem koji je jedinstveno određen korištenjem svih elemenata matrice. Ovaj broj se zove determinanta.

Odrednica drugog reda je broj dobiven korištenjem elemenata kvadratne matrice 2. reda kako slijedi: .

U ovom slučaju, od umnožaka elemenata koji se nalaze na takozvanoj glavnoj dijagonali matrice (od gornjeg lijevog do donjeg desnog ugla) oduzima se umnožak elemenata koji se nalaze na drugoj, odnosno sekundarnoj, dijagonali. .

Odrednica trećeg reda je broj određen korištenjem elemenata kvadratne matrice trećeg reda kako slijedi:

Komentar. Da biste lakše zapamtili ovu formulu, možete koristiti takozvano Cramerovo pravilo (trokuta). To je kako slijedi: elementi čiji su proizvodi uključeni u determinantu sa znakom “+” raspoređeni su na sljedeći način:

Formiranje dva trougla, simetrična oko glavne dijagonale. Elementi čiji su proizvodi uključeni u determinantu sa znakom "-" nalaze se na sličan način u odnosu na sekundarnu dijagonalu:

14. Odrednice . reda. (odrednice višeg reda)

Odrednica n th red koji odgovara matrici n´n, broj se zove:

Osnovne metode za izračunavanje determinanti:

1) Metoda smanjenja narudžbe Odrednica se zasniva na odnosu: (1)

Gdje naziva se algebarski komplement th elementa. Minor th element se zove determinanta n-1 poredak, dobijen iz originalne determinante brisanjem i-ta linija i j th column.

Relacija (1) se naziva proširenjem determinante u i- ta linija. Slično, možemo napisati proširenje determinante duž stupca:

Teorema: Za bilo koju kvadratnu matricu vrijedi jednakost ,

gdje je i Kroneckerov simbol

2) Metoda redukcije na trokutasti oblik zasniva se na sedmom svojstvu determinanti.

Primjer: Izračunajte determinantu: Oduzmite prvi red od svih ostalih.

3) Metoda relacije recidiva omogućava da se data determinanta izrazi kroz determinantu istog tipa, ali nižeg reda.

Permutacije, inverzije.

Bilo koji raspored brojeva 1, 2, ..., n nekim specifičnim redoslijedom, tzv preuređenje od n znakova (brojeva).

Opšti pogled na permutaciju: .

Nijedan od njih se ne pojavljuje dvaput u permutaciji.

Permutacija se zove čak , ako njegovi elementi čine paran broj inverzija, i odd inače.

Brojevi k i p u permutaciji su inverzija (poremećaj), ako je k > p, ali k dolazi ispred p u ovoj permutaciji.

Tri svojstva permutacija.

Nekretnina 1: Broj različitih permutacija je jednak ( , glasi: “ n faktorije").

Dokaz. Broj permutacija poklapa se s brojem načina na koje se mogu sastaviti različite permutacije. Prilikom sastavljanja permutacija kao j 1 možete uzeti bilo koji od brojeva 1, 2, ..., n, šta daje n mogućnosti. Ako j 1 je već odabran, a zatim kao j 2 možete uzeti jedan od preostalih n– 1 broj i broj načina koje možete izabrati j 1 i j 2 će biti jednako, itd. Posljednji broj u permutaciji može se odabrati samo na jedan način, što daje načine, a samim tim i permutacije.

Nekretnina 2: Svaka transpozicija mijenja paritet permutacije.

Dokaz.Slučaj 1. Transponovani brojevi su u permutaciji jedan pored drugog, tj. izgleda (..., k,str, ...), ovdje elipsa (...) označava brojeve koji ostaju na svojim mjestima tokom transpozicije. Transpozicija ga pretvara u permutaciju oblika (..., str, k,...). U ovim permutacijama, svaki od brojeva k,R pravi iste inverzije s brojevima koji ostaju na mjestu. Ako su brojevi k I str nisu prethodno kompajlirali inverzije (tj. k < R), tada će se u novoj permutaciji pojaviti još jedna inverzija i broj inverzija će se povećati za jedan; ako k I R predstavlja inverziju, tada će se nakon transpozicije broj inverzija smanjiti za jedan. U svakom slučaju, paritet permutacije se mijenja.

Svojstvo 3: Kada se preuredi, determinanta mijenja predznak.

17. Svojstva determinanti: determinanta transponovane matrice, zamena redova u determinanti, determinanta matrice sa identičnim redovima.

Nekretnina 1. Odrednica se ne mijenja tokom transpozicije, tj.

Dokaz.

Komentar. Sljedeća svojstva determinanti će biti formulirana samo za nizove. Štaviše, iz svojstva 1 slijedi da će kolone imati ista svojstva.

Nekretnina 6. Kada preuređujete dva reda determinante, ona se množi sa –1.

Dokaz.

Nekretnina 4. Odrednica koja ima dva jednaka niza je 0:

dokaz:

18. Svojstva determinanti: dekompozicija determinante u niz.

Minor element determinante je determinanta dobijena od datog elementa precrtavanjem reda i stupca u kojima se izabrani element pojavljuje.

Oznaka: odabrani element determinante, njegov minor.

Primjer. Za

Algebarski komplement element determinante naziva se njegov minor ako je zbir indeksa ovog elementa i+j paran broj, odnosno broj suprotan minoru ako je i+j neparan, tj.

Razmotrimo još jedan način izračunavanja determinanti trećeg reda - takozvano proširenje reda ili stupca. Da bismo to učinili, dokazujemo sljedeću teoremu:

Teorema: Determinanta je jednaka zbroju proizvoda elemenata bilo kojeg njegovog reda ili stupca i njihovih algebarskih komplemenata, tj.: gdje je i=1,2,3.

Dokaz.

Dokažimo teoremu za prvi red determinante, jer se za bilo koji drugi red ili stupac može izvesti slično razmišljanje i dobiti isti rezultat.

Nađimo algebarske komplemente elementima prvog reda:

Ovo svojstvo možete sami dokazati upoređujući vrijednosti lijeve i desne strane jednakosti pronađene pomoću definicije 1.5.

Srednja škola br.45.

Moskva grad.

Učenik 10. razreda „B“ Gorokhov Evgenij

Nastavni rad (nacrt).

Uvod u teoriju matrica i determinanti .

1996

1. Matrice.

1.1 Koncept matrice.

Matrix je pravokutna tablica brojeva koja sadrži određenu količinu m linije i određeni broj n kolone. Brojevi m I n su pozvani naređenja matrice. Ako m = n , matrica se zove kvadrat, a broj m = n - ona u redu .

1.2 Osnovne operacije na matricama.

Osnovne aritmetičke operacije na matricama su množenje matrice brojem, sabiranje i množenje matrica.

Pređimo na definiranje osnovnih operacija nad matricama.

Sabiranje matrice : Zbir dvije matrice, na primjer: A I B , sa istim brojem redova i kolona, drugim riječima, istim redoslijedom m I n naziva se matrica C = ( WITH ij )( i = 1, 2, …m; j = 1, 2, …n) iste naredbe m I n , elementi Cij koji su jednaki.

Cij = Aij + Bij (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n) ( 1.2 )

Za označavanje sume dvije matrice koristi se notacija C = A + B. Operacija sabiranja matrica naziva se njihova dodatak

Dakle, po definiciji imamo:

+ =

Iz definicije zbira matrica, tačnije iz formule ( 1.2 ) odmah slijedi da operacija sabiranja matrica ima ista svojstva kao i operacija sabiranja realnih brojeva, i to:

komutativno svojstvo: A + B = B + A

kombinovanje imovine: (A + B) + C = A + (B + C)

Ova svojstva omogućavaju da ne brinete o redoslijedu matričnih pojmova prilikom dodavanja dvije ili više matrica.

Množenje matrice brojem :

Matrični proizvod na pravi broj zove se matrica C = (Cij) (i = 1, 2, … , m; j = 1, 2, …, n) , čiji su elementi jednaki

Cij = Aij (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n). ( 1.3 )

Za označavanje proizvoda matrice i broja koristi se notacija C= A ili C=A . Operacija sastavljanja proizvoda matrice brojem naziva se množenjem matrice ovim brojem.

Direktno iz formule ( 1.3 ) jasno je da množenje matrice brojem ima sljedeća svojstva:

distributivno svojstvo u odnosu na zbir matrica:

( A + B) = A+ B

asocijativno svojstvo u pogledu numeričkog faktora:

( ) A= ( A)

distributivno svojstvo u odnosu na zbir brojeva:

( + ) A= A + A .

Komentar : Razlika dvije matrice A I B identičnih redova prirodno je nazvati takvu matricu C istih redova, koji u zbiru sa matricom B daje matricu A . Da bi se označila razlika između dvije matrice, koristi se prirodna notacija: C = A – B.

Množenje matrice :

Matrični proizvod A = (Aij) (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n) , sa jednakim redoslijedom m I n , po matrici B = (Bij) (i = 1, 2, …, n;

j = 1, 2, …, p) , sa jednakim redoslijedom n I str , naziva se matrica C= (SA ij) (i = 1, 2, … , m; j = 1, 2, … , p) , s odgovarajućim jednakim redoslijedom m I str , i elementi Cij , definisan formulom

Cij = (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, p) ( 1.4 )

Za označavanje proizvoda matrice A na matricu B koristite snimanje

C=AB . Operacija sastavljanja matričnog proizvoda A na matricu B pozvao množenje ove matrice. Iz gore formulirane definicije slijedi da matrica A ne može se pomnožiti ni sa jednom matricom B : potrebno je da broj kolona matrice A bio jednaki broj redova matrice B . Za oba rada AB I B.A. ne samo da su definisane, već su imale i isti redosled, potrebno je i dovoljno da obe matrice A I B bile su kvadratne matrice istog reda.

formula ( 1.4 ) je pravilo za sastavljanje matričnih elemenata C ,

koji je proizvod matrice A na matricu B . Ovo pravilo se može formulisati usmeno: Element Cij , stoji na raskrsnici i th linija i j- th kolona matrice C=AB , je jednako zbir parnih proizvoda odgovarajućih elemenata i th line matrice A I j- th kolona matrice B . Kao primjer primjene ovog pravila predstavljamo formulu za množenje kvadratnih matrica drugog reda

Iz formule ( 1.4 ) slijede sljedeća svojstva matričnog proizvoda: A na matricu B :

asocijativno svojstvo: ( AB)C = A(BC);

distributivno svojstvo u odnosu na zbir matrica:

(A + B) C = AC + BC ili A (B + C) = AB + AC.

Ima smisla postaviti pitanje svojstva permutacije proizvoda matrica samo za kvadratne matrice istog reda. Elementarni primjeri to pokazuju proizvodi dvije kvadratne matrice istog reda, općenito govoreći, nemaju svojstvo komutacije. U stvari, ako stavimo

A= , B = , To AB = , A BA =

Obično se nazivaju iste matrice za koje proizvod ima svojstvo komutacije putovanje na posao.

Među kvadratnim matricama izdvajamo klasu tzv dijagonala matrice, od kojih svaka ima elemente koji se nalaze izvan glavne dijagonale jednake nuli. Među svim dijagonalnim matricama sa podudarnim elementima na glavnoj dijagonali, dvije matrice igraju posebno važnu ulogu. Prva od ovih matrica se dobija kada su svi elementi glavne dijagonale jednaki jedan i naziva se matrica identiteta n- E . Druga matrica se dobija sa svim elementima jednakim nuli i naziva se nulta matrica n- red i označen je simbolom O . Pretpostavimo da postoji proizvoljna matrica A , Onda

AE=EA=A , AO=OA=O .

Prva od formula karakterizira posebnu ulogu matrice identiteta E , slično ulozi koju ima broj 1 prilikom množenja realnih brojeva. Što se tiče posebne uloge nulte matrice O , tada se otkriva ne samo drugom od formula, već i elementarnom provjerljivom jednakošću: A+O=O+A=A . Koncept nulte matrice može se uvesti ne za kvadratne matrice.

2. Determinante.

2.1 Koncept determinante.

Prije svega, morate zapamtiti da determinante postoje samo za matrice kvadratnog tipa, jer ne postoje determinante za matrice drugih tipova. U teoriji sistema linearnih jednačina i u nekim drugim pitanjima zgodno je koristiti koncept odrednica , ili odrednica .

2.2 Izračunavanje determinanti.

Razmotrimo bilo koja četiri broja napisana u obliku matrice po dva u redovima i svaki dvije kolone , Odrednica ili odrednica , sastavljen od brojeva u ovoj tabeli, je broj ad-bc , označeno kako slijedi: . Takva determinanta se zove determinanta drugog reda , pošto je uzeta tabela od dva reda i dvije kolone za njeno sastavljanje. Brojevi koji čine determinantu nazivaju se njenim elementi ; istovremeno kažu da su elementi a I d šminka glavna dijagonala determinanta i elementi b I c njegov bočna dijagonala . Vidi se da je determinanta jednaka razlici proizvoda parova elemenata koji se nalaze na njegovoj glavnoj i sekundarnoj dijagonali. Odrednica trećeg i bilo kojeg drugog reda je približno ista, naime: Recimo da imamo kvadratnu matricu . Odrednica sljedeće matrice je sljedeći izraz: a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 – a11a23a32 – a12a21a33 – a13a22a31. . Kao što vidite, izračunava se prilično lako ako zapamtite određeni niz. Sa pozitivnim predznakom su glavna dijagonala i trokuti formirani od elemenata, koji imaju stranu paralelnu glavnoj dijagonali, u ovom slučaju to su trokuti a12a23a31 , a13a21a32 .

Bočna dijagonala i trouglovi koji su s njom paralelni imaju negativan predznak, tj. a11a23a32 , a12a21a33 . Na ovaj način se mogu pronaći determinante bilo kojeg reda. Ali postoje slučajevi kada ova metoda postaje prilično komplicirana, na primjer, kada ima puno elemenata u matrici, a da biste izračunali determinantu potrebno je potrošiti puno vremena i pažnje.

Postoji lakši način za izračunavanje determinante n- oh red, gdje n 2 . Hajde da se dogovorimo da bilo koji element nazovemo minor Aij matrice n- determinanta prvog reda koja odgovara matrici koja se dobija iz matrice kao rezultat brisanja i th linija i j- th kolona (taj red i kolona na čijem se presjeku nalazi element Aij ). Element minor Aij označićemo simbolom . U ovoj notaciji, gornji indeks označava broj reda, donji indeks broj kolone, a traka iznad M znači da su navedeni red i stupac precrtani. Odrednica reda n , koji odgovara matrici, broj nazivamo jednakim i označeno simbolom .

Teorema 1.1 Bez obzira na broj linije i ( i =1, 2…, n) , za determinantu n- vrijedi formula prvog reda veličine

= det A =

pozvao ja- th line . Naglašavamo da je u ovoj formuli eksponent na koji je broj podignut (-1) jednak zbroju brojeva reda i stupca na čijem se presjeku element nalazi Aij .

Teorema 1.2 Bez obzira na broj kolone j ( j =1, 2…, n) , za determinantu n formula th reda je važeća

= det A =

pozvao proširenje ove determinante u j- th column .

2.3 Osnovna svojstva determinanti.

Determinante također imaju svojstva koja olakšavaju zadatak njihovog izračunavanja. Dakle, u nastavku utvrđujemo brojna svojstva koja ima proizvoljna determinanta n -th red.

1 . Svojstvo jednakosti reda i stupca . Transponiranje bilo koje matrice ili determinante je operacija zbog koje se redovi i stupci zamjenjuju uz održavanje njihovog redoslijeda. Kao rezultat transpozicije matrice A rezultirajuća matrica naziva se matrica, naziva se transponovana u odnosu na matricu A i označen je simbolom A .

Prvo svojstvo determinante formuliše se na sledeći način: prilikom transpozicije se čuva vrednost determinante, tj. = .

2 . Svojstvo antisimetrije prilikom preuređivanja dva reda (ili dvije kolone) . Kada se dva reda (ili dvije kolone) zamjene, determinanta zadržava apsolutnu vrijednost, ali mijenja predznak u suprotan. Za determinantu drugog reda ovo svojstvo se može provjeriti na elementaran način (iz formule za izračunavanje determinante drugog reda odmah slijedi da se determinante razlikuju samo po predznaku).

3 . Linearno svojstvo determinante. Reći ćemo da neki niz ( a) je linearna kombinacija druga dva niza ( b I c ) sa koeficijentima I . Linearno svojstvo se može formulirati na sljedeći način: ako je u determinanti n -th red neki i -ti red je linearna kombinacija dva reda sa koeficijentima I , To = + , Gdje

– odrednica koja ima i -ti red je jednak jednom od dva reda linearne kombinacije, a svi ostali redovi su isti kao , A - odrednica koja ima ja- i niz je jednak drugom od dva niza, a svi ostali nizovi su isti kao .

Ova tri svojstva su glavna svojstva determinante, koja otkrivaju njenu prirodu. Sljedećih pet nekretnina su logične posledice tri glavna svojstva.

Zaključak 1. Determinanta sa dva identična reda (ili kolone) jednaka je nuli.

Zaključak 2. Množenje svih elemenata nekog reda (ili kolone) determinante brojem a je ekvivalentno množenju determinante ovim brojem a . Drugim riječima, zajednički faktor svih elemenata određenog reda (ili nekog stupca) determinante može se izvaditi iz predznaka ove determinante.

Zaključak 3. Ako su svi elementi određenog reda (ili neke kolone) jednaki nuli, tada je i sama determinanta jednaka nuli.

Zaključak 4. Ako su elementi dva reda (ili dva stupca) determinante proporcionalni, tada je determinanta jednaka nuli.

Zaključak 5. Ako elementima određenog reda (ili nekog stupca) determinante dodamo odgovarajuće elemente drugog reda (druge kolone), množenje sa proizvoljnim faktorom , tada se vrijednost determinante ne mijenja. Korolar 5, poput linearnog svojstva, omogućava općenitiju formulaciju, koju ću dati za nizove: ako elementima određenog reda determinante dodamo odgovarajuće elemente niza koji je linearna kombinacija nekoliko drugih redova ove determinante (sa bilo kojim koeficijentima), tada se vrijednost determinante neće promijeniti. Korolar 5 se široko koristi u konkretnom proračunu determinanti.

3. Sistemi linearnih jednačina.

3.1 Osnovne definicije.

…….

3.2 Uslov za kompatibilnost sistema linearnih jednačina.

…….

3.3 Rješavanje sistema linearnih jednadžbi pomoću Cramerove metode.

Poznato je da pomoću matrica možemo rješavati različite sisteme jednačina, a ti sistemi mogu biti bilo koje veličine i imati bilo koji broj varijabli. Uz nekoliko izvođenja i formula, rješavanje ogromnih sistema jednačina postaje prilično brzo i lakše.

Posebno ću opisati Cramerove i Gaussove metode. Najlakši način je Cramerova metoda (za mene), ili kako je još zovu, Cramerova formula. Dakle, recimo da imamo neki sistem jednačina . Glavna determinanta, kao što ste već primijetili, je matrica sastavljena od koeficijenata varijabli. Pojavljuju se i po redoslijedu kolona, tj. prva kolona sadrži koeficijente koji se nalaze na x , u drugoj koloni u y , i tako dalje. Ovo je vrlo važno, jer ćemo u sljedećim koracima svaki stupac koeficijenata za varijablu zamijeniti stupcem odgovora na jednadžbe. Dakle, kao što rekoh, stupac u prvoj varijabli zamjenjujemo kolonom odgovora, zatim u drugoj, naravno sve ovisi o tome koliko varijabli trebamo pronaći.

1 = , 2 = , 3 = .