Usmeno rješenje kvadratnih jednadžbi i Vietin teorem. Kako riješiti jednadžbe koristeći Vietin teorem u matematici Vietin teorem formula za primjere kvadratne jednadžbe

U osmom razredu učenici se upoznaju sa kvadratnim jednačinama i načinom njihovog rješavanja. Istovremeno, kao što pokazuje iskustvo, većina učenika pri rješavanju potpunih kvadratnih jednadžbi koristi samo jednu metodu - korijen formulu kvadratna jednačina. Za učenike koji imaju dobre mentalne aritmetičke vještine, ova metoda je očigledno iracionalna. Učenici često moraju rješavati kvadratne jednačine čak iu srednjoj školi i tamo je jednostavno šteta trošiti vrijeme na računanje diskriminanta. Po mom mišljenju, prilikom proučavanja kvadratnih jednačina, više vremena i pažnje treba posvetiti primeni Vietine teoreme (prema programu A.G. Mordkovich Algebra-8, predviđeno je samo dva sata za proučavanje teme „Vietina teorema. Dekompozicija kvadrata trinom u linearne faktore”).

U većini udžbenika algebre, ova teorema je formulisana za redukovanu kvadratnu jednačinu i kaže da ako jednadžba ima korijene i , tada su jednakosti , , zadovoljene za njih. Zatim se formulira izjava suprotna Vietinoj teoremi i nudi se niz primjera za vježbanje ove teme.

Uzmimo konkretne primjere i pratimo logiku rješenja koristeći Vietin teorem.

Primjer 1. Riješite jednačinu.

Recimo da ova jednadžba ima korijene, naime, i . Zatim, prema Vietinoj teoremi, jednakosti moraju istovremeno vrijediti:

Imajte na umu da je proizvod korijena pozitivan broj. To znači da su korijeni jednadžbe istog predznaka. A kako je i zbir korijena pozitivan broj, zaključujemo da su oba korijena jednadžbe pozitivna. Vratimo se opet proizvodu korijena. Pretpostavimo da su korijeni jednadžbe pozitivni cijeli brojevi. Tada se ispravna prva jednakost može dobiti samo na dva načina (do reda faktora): ili . Provjerimo za predložene parove brojeva izvodljivost druge izjave Vietine teoreme: . Dakle, brojevi 2 i 3 zadovoljavaju obje jednakosti i stoga su korijeni date jednačine.

Odgovor: 2; 3.

Istaknimo glavne faze zaključivanja pri rješavanju gornje kvadratne jednadžbe koristeći Vietin teorem:

zapišite izjavu Vietine teoreme

(*)

• odrediti predznake korijena jednadžbe (Ako su proizvod i zbir korijena pozitivni, onda su oba korijena pozitivni brojevi. Ako je proizvod korijena pozitivan broj, a zbir korijena negativan, tada oba korijena su negativni brojevi. Ako je proizvod korijena negativan broj, onda korijeni imaju različite predznake. Štaviše, ako je zbroj korijena pozitivan, tada je veći korijen u modulu pozitivan broj, a ako je zbir od korijena manji od nule, tada je veći korijen u modulu negativan broj);
• odaberite parove cijelih brojeva čiji proizvod daje ispravnu prvu jednakost u zapisu (*);
• od pronađenih parova brojeva odaberite par koji će, kada se unese u drugu jednakost u zapisu (*), dati ispravnu jednakost;
• navedite u svom odgovoru pronađene korijene jednadžbe.

Navedimo više primjera.

Primjer 2: Riješite jednačinu .

Rješenje.

Neka su i korijeni date jednadžbe. Zatim, prema Vietinom teoremu, primjećujemo da je proizvod pozitivan, a zbroj negativan broj. To znači da su oba korijena negativni brojevi. Odabiremo parove faktora koji daju proizvod od 10 (-1 i -10; -2 i -5). Drugi par brojeva daje -7. To znači da su brojevi -2 i -5 korijeni ove jednadžbe.

odgovor: -2; -5.

Primjer 3: Riješite jednačinu .

Rješenje.

Neka su i korijeni date jednadžbe. Zatim, prema Vietinom teoremu, primjećujemo da je proizvod negativan. To znači da su korijeni različitih znakova. Zbir korijena je također negativan broj. To znači da je korijen s najvećim modulom negativan. Odabiremo parove faktora koji daju proizvod -10 (1 i -10; 2 i -5). Drugi par brojeva daje -3. To znači da su brojevi 2 i -5 korijeni ove jednadžbe.

odgovor: 2; -5.

Imajte na umu da se Vietin teorem, u principu, može formulirati za potpunu kvadratnu jednačinu: ako je kvadratna jednačina ima korijene i , Tada su jednakosti , , su zadovoljene za njih. Međutim, primjena ove teoreme je prilično problematična, budući da je u potpunoj kvadratnoj jednadžbi barem jedan od korijena (ako ih ima, naravno) frakcijski broj. A rad sa odabirom razlomaka je dug i težak. Ali ipak postoji izlaz.

Razmotrimo kompletnu kvadratnu jednačinu . Pomnožite obje strane jednačine s prvim koeficijentom A i napišite jednačinu u formu . Hajde da uvedemo novu varijablu i dobijemo redukovanu kvadratnu jednadžbu, čiji se korijeni i (ako su dostupni) mogu pronaći pomoću Vietine teoreme. Tada će korijeni originalne jednadžbe biti . Imajte na umu da je vrlo jednostavno napraviti pomoćnu redukovanu jednačinu: drugi koeficijent je sačuvan, a treći koeficijent jednak je proizvodu ac. Uz određenu vještinu, učenici odmah kreiraju pomoćnu jednadžbu, pronalaze njene korijene koristeći Vietin teorem i ukazuju na korijene date kompletne jednadžbe. Navedimo primjere.

Primjer 4: Riješite jednačinu .

Napravimo pomoćnu jednačinu i pomoću Vietine teoreme naći ćemo njene korijene. To znači da su korijeni izvorne jednadžbe .

odgovor: .

Primjer 5: Riješite jednačinu .

Pomoćna jednadžba ima oblik . Prema Vietinoj teoremi, njegovi korijeni su . Pronalaženje korijena izvorne jednadžbe .

odgovor: .

I još jedan slučaj kada vam primjena Vietine teoreme omogućava verbalno pronalaženje korijena potpune kvadratne jednadžbe. To nije teško dokazati broj 1 je korijen jednadžbe , ako i samo ako. Drugi korijen jednadžbe nalazi se Vietinim teoremom i jednak je . Još jedna izjava: tako da je broj –1 korijen jednačine neophodno i dovoljno za. Tada je drugi korijen jednadžbe prema Vietinoj teoremi jednak . Slične izjave se mogu formulisati za redukovanu kvadratnu jednačinu.

Primjer 6: Riješite jednačinu.

Imajte na umu da je zbir koeficijenata jednačine nula. Dakle, korijeni jednadžbe .

odgovor: .

Primjer 7. Riješite jednačinu.

Koeficijenti ove jednačine zadovoljavaju svojstvo (zaista, 1-(-999)+(-1000)=0). Dakle, korijeni jednadžbe .

odgovor: ..

Primjeri primjene Vietine teoreme

Zadatak 1. Riješite datu kvadratnu jednačinu koristeći Vietin teorem.

1.	6.	11.	16.
2.	7.	12.	17.
3.	8.	13.	18.
4.	9.	14.	19.
5.	10.	15.	20.

Zadatak 2. Riješite kompletnu kvadratnu jednačinu prelaskom na pomoćnu redukovanu kvadratnu jednačinu.

1.	6.	11.	16.
2.	7.	12.	17.
3.	8.	13.	18.
4.	9.	14.	19.
5.	10.	15.	20.

Zadatak 3. Riješite kvadratnu jednačinu koristeći svojstvo.

Gotovo svaka kvadratna jednadžba \može se pretvoriti u oblik \ Međutim, ovo je moguće ako u početku podijelite svaki član koeficijentom \prije \ Osim toga, možete uvesti novu notaciju:

\[(\frac (b)(a))= p\] i \[(\frac (c)(a)) = q\]

Zbog toga ćemo imati jednačinu \ koja se u matematici naziva redukovana kvadratna jednačina. Korijeni ove jednadžbe i koeficijenti su međusobno povezani, što potvrđuje Vietin teorem.

Vietin teorem: Zbir korijena redukovane kvadratne jednadžbe \ jednak je drugom koeficijentu \ uzetom sa suprotnim predznakom, a proizvod korijena je slobodni član \

Radi jasnoće, riješimo sljedeću jednačinu:

Rešimo ovu kvadratnu jednačinu koristeći napisana pravila. Analizirajući početne podatke, možemo zaključiti da će jednadžba imati dva različita korijena, jer:

Sada od svih faktora broja 15 (1 i 15, 3 i 5) biramo one čija je razlika jednaka 2. Pod ovaj uslov potpadaju brojevi 3 i 5. Ispred manjeg stavljamo znak minus broj. Tako dobijamo korijene jednadžbe \

Odgovor: \[ x_1= -3 i x_2 = 5\]

Gdje mogu riješiti jednačinu koristeći Vietin teorem na mreži?

Jednačinu možete riješiti na našoj web stranici https://site. Besplatni online rješavač će vam omogućiti da riješite online jednadžbe bilo koje složenosti za nekoliko sekundi. Sve što trebate učiniti je jednostavno unijeti svoje podatke u rješavač. Također možete pogledati video upute i naučiti kako riješiti jednadžbu na našoj web stranici. A ako i dalje imate pitanja, možete ih postaviti u našoj VKontakte grupi http://vk.com/pocketteacher. Pridružite se našoj grupi, mi ćemo vam uvijek rado pomoći.

Između korijena i koeficijenata kvadratne jednadžbe, osim korijenskih formula, postoje i drugi korisni odnosi koji su dati Vietin teorem. U ovom članku ćemo dati formulaciju i dokaz Vietinog teorema za kvadratnu jednadžbu. Zatim ćemo razmotriti teoremu suprotnu Vietinoj teoremi. Nakon toga ćemo analizirati rješenja najtipičnijih primjera. Konačno, zapisujemo Vietine formule koje definiraju odnos između pravih korijena algebarska jednačina stepen n i njegovi koeficijenti.

Navigacija po stranici.

Vietin teorem, formulacija, dokaz

Iz formula korena kvadratne jednačine a·x 2 +b·x+c=0 oblika, gde je D=b 2 −4·a·c, slede sledeće relacije: x 1 +x 2 =− b/a, x 1 ·x 2 = c/a . Ovi rezultati su potvrđeni Vietin teorem:

Teorema.

Ako x 1 i x 2 su korijeni kvadratne jednadžbe a x 2 +b x+c=0, tada je zbir korijena jednak omjeru koeficijenata b i a, uzetih sa suprotnim predznakom, i proizvodu korijeni su jednaki omjeru koeficijenata c i a, odnosno, .

Dokaz.

Provest ćemo dokaz Vietine teoreme prema sljedećoj shemi: sastavljamo zbir i proizvod korijena kvadratne jednadžbe koristeći poznate korijenske formule, zatim transformiramo rezultirajuće izraze i osiguravamo da su jednaki −b/ a i c/a, respektivno.

Počnimo sa zbirom korijena i nadoknadimo ga. Sada dovodimo razlomke do zajedničkog nazivnika, imamo . U brojitelju rezultirajućeg razlomka, nakon čega:. Konačno, nakon 2, dobijamo . Ovo dokazuje prvu relaciju Vietine teoreme za zbir korijena kvadratne jednadžbe. Pređimo na drugu.

Sastavljamo proizvod korijena kvadratne jednadžbe: . Prema pravilu za množenje razlomaka, zadnji komad može se napisati kao . Sada množimo zagradu sa zagradom u brojiocu, ali brže je sažmiti ovaj proizvod za formula kvadratne razlike, Dakle . Zatim, prisjećajući se, izvodimo sljedeći prijelaz. A pošto diskriminanta kvadratne jednačine odgovara formuli D=b 2 −4·a·c, onda umesto D u poslednjem razlomku možemo zameniti b 2 −4·a·c, dobijamo. Nakon otvaranja zagrada i lijevanja sličnim terminima dolazimo do razlomka , a njegovo smanjenje za 4·a daje . Ovo dokazuje drugu relaciju Vietine teoreme za proizvod korijena.

Ako izostavimo objašnjenja, dokaz Vietine teoreme poprimiće lakonski oblik:
,
.

Ostaje samo primijetiti da ako je diskriminanta jednaka nuli, kvadratna jednadžba ima jedan korijen. Međutim, ako pretpostavimo da jednadžba u ovom slučaju ima dva identična korijena, onda vrijede i jednakosti iz Vietine teoreme. Zaista, kada je D=0 korijen kvadratne jednadžbe jednak je , tada i , a pošto je D=0, odnosno b ​​2 −4·a·c=0, odakle je b 2 =4·a·c, tada .

U praksi se Vietin teorem najčešće koristi u odnosu na redukovanu kvadratnu jednačinu (sa vodećim koeficijentom a jednakim 1) oblika x 2 +p·x+q=0. Ponekad se formulira za kvadratne jednadžbe upravo ovog tipa, što ne ograničava općenitost, budući da se svaka kvadratna jednačina može zamijeniti ekvivalentnom jednačinom dijeljenjem obje strane brojem a koji nije nula. Dajemo odgovarajuću formulaciju Vietine teoreme:

Teorema.

Zbir korijena redukovane kvadratne jednadžbe x 2 +p x+q=0 jednak je koeficijentu od x uzetom sa suprotnim predznakom, a proizvod korijena jednak je slobodnom članu, odnosno x 1 +x 2 =−p, x 1 x 2 = q.

Teorema suprotna Vietinoj teoremi

Druga formulacija Vietine teoreme, data u prethodnom pasusu, pokazuje da ako su x 1 i x 2 korijeni redukovane kvadratne jednadžbe x 2 +p x+q=0, onda su relacije x 1 +x 2 =−p , x 1 x 2 =q. S druge strane, iz zapisanih relacija x 1 +x 2 =−p, x 1 x 2 =q slijedi da su x 1 i x 2 korijeni kvadratne jednačine x 2 +p x+q=0. Drugim riječima, istina je obrnuto od Vietine teoreme. Hajde da to formulišemo u obliku teoreme i dokažemo.

Teorema.

Ako su brojevi x 1 i x 2 takvi da je x 1 +x 2 =−p i x 1 · x 2 =q, tada su x 1 i x 2 korijeni redukovane kvadratne jednadžbe x 2 +p · x+q =0.

Dokaz.

Nakon zamjene koeficijenata p i q u jednadžbi x 2 +p x+q=0 njihovim izrazima kroz x 1 i x 2 , pretvara se u ekvivalentna jednačina.

Zamijenimo broj x 1 umjesto x u rezultirajuću jednadžbu i imamo jednakost x 1 2 −(x 1 +x 2) x 1 +x 1 x 2 =0, što za bilo koje x 1 i x 2 predstavlja tačnu numeričku jednakost 0=0, budući da x 1 2 −(x 1 +x 2) x 1 +x 1 x 2 = x 1 2 −x 1 2 −x 2 ·x 1 +x 1 ·x 2 =0. Dakle, x 1 je korijen jednadžbe x 2 −(x 1 +x 2) x+x 1 x 2 =0, što znači da je x 1 korijen ekvivalentne jednačine x 2 +p·x+q=0.

Ako je u jednadžbi x 2 −(x 1 +x 2) x+x 1 x 2 =0 zamijenimo broj x 2 umjesto x, dobićemo jednakost x 2 2 −(x 1 +x 2) x 2 +x 1 x 2 =0. Ovo je prava jednakost, jer x 2 2 −(x 1 +x 2) x 2 +x 1 x 2 = x 2 2 −x 1 ·x 2 −x 2 2 +x 1 ·x 2 =0. Dakle, x 2 je također korijen jednadžbe x 2 −(x 1 +x 2) x+x 1 x 2 =0, pa prema tome i jednačine x 2 +p·x+q=0.

Time je završen dokaz teoreme, obrnuto od teoreme Vieta.

Primjeri korištenja Vietine teoreme

Vrijeme je da razgovaramo o praktičnoj primjeni Vietine teoreme i njene suprotne teoreme. U ovom dijelu ćemo analizirati rješenja za nekoliko najtipičnijih primjera.

Počnimo s primjenom teoreme suprotne Vietinoj teoremi. Pogodno je koristiti za provjeru da li su data dva broja korijeni date kvadratne jednadžbe. U tom slučaju se računa njihov zbir i razlika, nakon čega se provjerava valjanost relacija. Ako su oba ova odnosa zadovoljena, onda se na osnovu teoreme suprotne Vietinoj teoremi zaključuje da su ovi brojevi korijeni jednadžbe. Ako barem jedna od relacija nije zadovoljena, onda ovi brojevi nisu korijeni kvadratne jednadžbe. Ovaj pristup se može koristiti pri rješavanju kvadratnih jednadžbi za provjeru pronađenih korijena.

Primjer.

Koji je od parova brojeva 1) x 1 =−5, x 2 =3 ili 2) ili 3) par korijena kvadratne jednačine 4 x 2 −16 x+9=0?

Rješenje.

Koeficijenti date kvadratne jednačine 4 x 2 −16 x+9=0 su a=4, b=−16, c=9. Prema Vietinoj teoremi, zbir korijena kvadratne jednadžbe trebao bi biti jednak −b/a, odnosno 16/4=4, a proizvod korijena trebao bi biti jednak c/a, odnosno 9 /4.

Sada izračunajmo zbir i proizvod brojeva u svakom od tri data para i uporedimo ih sa vrijednostima koje smo upravo dobili.

U prvom slučaju imamo x 1 +x 2 =−5+3=−2. Rezultirajuća vrijednost je različita od 4, tako da se daljnja provjera ne može izvršiti, ali koristeći teorem inverznu Vietinoj teoremi, može se odmah zaključiti da prvi par brojeva nije par korijena date kvadratne jednadžbe.

Pređimo na drugi slučaj. Ovdje je, odnosno, ispunjen prvi uslov. Provjeravamo drugi uvjet: rezultirajuća vrijednost se razlikuje od 9/4. Prema tome, drugi par brojeva nije par korijena kvadratne jednadžbe.

Ostao je još jedan slučaj. Ovdje i . Oba uslova su ispunjena, pa su ovi brojevi x 1 i x 2 koreni date kvadratne jednačine.

odgovor:

Obrat Vietinog teorema može se koristiti u praksi za pronalaženje korijena kvadratne jednadžbe. Obično se biraju cjelobrojni korijeni date kvadratne jednadžbe sa cjelobrojnim koeficijentima, jer je u drugim slučajevima to prilično teško učiniti. U ovom slučaju koriste činjenicu da ako je zbroj dva broja jednak drugom koeficijentu kvadratne jednadžbe, uzetoj sa predznakom minus, a umnožak tih brojeva jednak je slobodnom članu, onda su ti brojevi korijene ove kvadratne jednadžbe. Hajde da to shvatimo na primjeru.

Uzmimo kvadratnu jednačinu x 2 −5 x+6=0. Da bi brojevi x 1 i x 2 bili korijeni ove jednačine, moraju biti zadovoljene dvije jednakosti: x 1 + x 2 =5 i x 1 ·x 2 =6. Ostaje samo odabrati takve brojeve. U ovom slučaju, to je prilično jednostavno učiniti: takvi brojevi su 2 i 3, pošto je 2+3=5 i 2·3=6. Dakle, 2 i 3 su korijeni ove kvadratne jednadžbe.

Teorema inverzna Vietinoj teoremi je posebno pogodna za korištenje za pronalaženje drugog korijena date kvadratne jednadžbe kada je jedan od korijena već poznat ili očigledan. U ovom slučaju, drugi korijen se može pronaći iz bilo koje relacije.

Na primjer, uzmimo kvadratnu jednačinu 512 x 2 −509 x −3=0. Ovdje je lako vidjeti da je jedinica korijen jednačine, pošto je zbir koeficijenata ove kvadratne jednačine jednak nuli. Dakle, x 1 =1. Drugi korijen x 2 može se naći, na primjer, iz relacije x 1 ·x 2 =c/a. Imamo 1 x 2 =−3/512, od čega je x 2 =−3/512. Ovako smo odredili oba korijena kvadratne jednadžbe: 1 i −3/512.

Jasno je da je odabir korijena preporučljiv samo u najjednostavnijim slučajevima. U drugim slučajevima, da biste pronašli korijene, možete koristiti formule za korijene kvadratne jednadžbe preko diskriminanta.

Drugi praktična upotreba teorema, suprotna Vietinoj teoremi, sastoji se od sastavljanja kvadratnih jednadžbi prema date korene x 1 i x 2 . Da biste to učinili, dovoljno je izračunati zbir korijena koji daje koeficijent za x sa suprotnim predznakom date kvadratne jednadžbe i proizvod korijena koji daje besplatni član.

Primjer.

Napišite kvadratnu jednačinu čiji su korijeni −11 i 23.

Rješenje.

Označimo x 1 =−11 i x 2 =23. Izračunavamo zbir i proizvod ovih brojeva: x 1 +x 2 =12 i x 1 ·x 2 =−253. Dakle, navedeni brojevi su korijeni redukovane kvadratne jednadžbe s drugim koeficijentom od −12 i slobodnim članom od −253. To jest, x 2 −12·x−253=0 je tražena jednačina.

odgovor:

x 2 −12·x−253=0 .

Vietin teorem se vrlo često koristi pri rješavanju problema vezanih za predznake korijena kvadratnih jednadžbi. Kako je Vietin teorem povezan sa predznacima korijena redukovane kvadratne jednadžbe x 2 +p·x+q=0? Evo dvije relevantne izjave:

• Ako je presek q pozitivan broj i ako kvadratna jednadžba ima realne korijene, tada su oba pozitivna ili oba negativna.
• Ako je slobodni član q negativan broj i ako kvadratna jednadžba ima realne korijene, onda su njihovi predznaci različiti, drugim riječima, jedan korijen je pozitivan, a drugi negativan.

Ovi iskazi proizlaze iz formule x 1 · x 2 =q, kao i pravila pozitivnog množenja, negativni brojevi i brojeve sa različitim predznacima. Pogledajmo primjere njihove primjene.

Primjer.

R je pozitivan. Koristeći diskriminantnu formulu nalazimo D=(r+2) 2 −4 1 (r−1)= r 2 +4 r+4−4 r+4=r 2 +8, vrijednost izraza r 2 +8 je pozitivan za bilo koje realno r, dakle D>0 za bilo koje realno r. Prema tome, originalna kvadratna jednadžba ima dva korijena za bilo koju realnu vrijednost parametra r.

Sada ćemo saznati kada korijeni imaju različite znakove. Ako su predznaci korijena različiti, onda je njihov umnožak negativan, a prema Vietinom teoremu, proizvod korijena redukovane kvadratne jednadžbe jednak je slobodnom članu. Stoga nas zanimaju one vrijednosti r za koje je slobodni član r−1 negativan. Dakle, da bismo pronašli vrijednosti r koje nas zanimaju, trebamo odlučiti linearne nejednakosti r−1<0 , откуда находим r<1 .

odgovor:

na r<1 .

Vieta formule

Gore smo govorili o Vietinoj teoremi za kvadratnu jednačinu i analizirali odnose koje ona tvrdi. Ali postoje formule koje povezuju prave korijene i koeficijente ne samo kvadratnih jednadžbi, već i kubnih jednačina, jednadžbi četvrtog stepena i općenito, algebarske jednačine stepen n. Oni se nazivaju Vietine formule.

Napišimo Vietinu formulu za algebarsku jednadžbu stepena n oblika, i pretpostavit ćemo da ima n realnih korijena x 1, x 2, ..., x n (među njima mogu biti i podudarni):

Vietine formule se mogu dobiti teorema o dekompoziciji polinoma na linearne faktore, kao i definicija jednakih polinoma kroz jednakost svih njihovih odgovarajućih koeficijenata. Dakle, polinom i njegova ekspanzija u linearne faktore oblika su jednaki. Otvarajući zagrade u posljednjem proizvodu i izjednačavajući odgovarajuće koeficijente, dobivamo Vietine formule.

Konkretno, za n=2 imamo već poznate Vietine formule za kvadratnu jednačinu.

Za kubnu jednačinu, Vietine formule imaju oblik

Ostaje samo napomenuti da se na lijevoj strani Vietinih formula nalaze tzv. simetrični polinomi.

Bibliografija.

• algebra: udžbenik za 8. razred. opšte obrazovanje institucije / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; uređeno od S. A. Telyakovsky. - 16. ed. - M.: Obrazovanje, 2008. - 271 str. : ill. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovich A. G. Algebra. 8. razred. U 2 sata. Dio 1. Udžbenik za učenike opšteobrazovnih ustanova / A. G. Mordkovich. - 11. izdanje, izbrisano. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 str.: ilustr. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Algebra i početak matematičke analize. 10. razred: udžbenik. za opšte obrazovanje institucije: osnovne i profilne. nivoa / [Yu. M. Koljagin, M. V. Tkačeva, N. E. Fedorova, M. I. Šabunjin]; uređeno od A. B. Zhizhchenko. - 3. izd. - M.: Obrazovanje, 2010.- 368 str. : ill. - ISBN 978-5-09-022771-1.

U matematici postoje posebne tehnike kojima se mnoge kvadratne jednadžbe mogu riješiti vrlo brzo i bez ikakvih diskriminanata. Štoviše, uz odgovarajuću obuku, mnogi počinju rješavati kvadratne jednadžbe usmeno, doslovno "na prvi pogled".

Nažalost, u savremenom kursu školske matematike takve tehnologije se gotovo i ne proučavaju. Ali morate znati! A danas ćemo pogledati jednu od ovih tehnika - Vietin teorem. Prvo, uvedemo novu definiciju.

Kvadratna jednačina oblika x 2 + bx + c = 0 naziva se redukovana. Imajte na umu da je koeficijent za x 2 1. Nema drugih ograničenja za koeficijente.

1. x 2 + 7x + 12 = 0 je redukovana kvadratna jednačina;
2. x 2 − 5x + 6 = 0 - takođe smanjen;
3. 2x 2 − 6x + 8 = 0 - ali to uopšte nije dato, pošto je koeficijent od x 2 jednak 2.

Naravno, svaka kvadratna jednadžba oblika ax 2 + bx + c = 0 može se reducirati - samo podijelite sve koeficijente brojem a. To uvijek možemo učiniti, jer definicija kvadratne jednadžbe implicira da je a ≠ 0.

Istina, ove transformacije neće uvijek biti korisne za pronalaženje korijena. U nastavku ćemo se uvjeriti da to treba učiniti samo kada su u konačnoj jednadžbi datoj kvadratom svi koeficijenti cijeli brojevi. Za sada, pogledajmo najjednostavnije primjere:

Zadatak. Pretvorite kvadratnu jednačinu u redukovanu jednačinu:

1. 3x 2 − 12x + 18 = 0;
2. −4x 2 + 32x + 16 = 0;
3. 1,5x 2 + 7,5x + 3 = 0;
4. 2x 2 + 7x − 11 = 0.

Podijelimo svaku jednačinu koeficijentom varijable x 2. Dobijamo:

1. 3x 2 − 12x + 18 = 0 ⇒ x 2 − 4x + 6 = 0 - podijeliti sve sa 3;
2. −4x 2 + 32x + 16 = 0 ⇒ x 2 − 8x − 4 = 0 - podijeljeno sa −4;
3. 1,5x 2 + 7,5x + 3 = 0 ⇒ x 2 + 5x + 2 = 0 - podijeljeno sa 1,5, svi koeficijenti su postali cijeli brojevi;
4. 2x 2 + 7x − 11 = 0 ⇒ x 2 + 3,5x − 5,5 = 0 - podijeljeno sa 2. U ovom slučaju su se pojavili razlomci.

Kao što vidite, gornje kvadratne jednadžbe mogu imati cjelobrojne koeficijente čak i ako je originalna jednadžba sadržavala razlomke.

Sada formulirajmo glavnu teoremu, za koju je, zapravo, uveden koncept reducirane kvadratne jednadžbe:

Vietin teorem. Razmotrimo redukovanu kvadratnu jednačinu oblika x 2 + bx + c = 0. Pretpostavimo da ova jednačina ima realne korijene x 1 i x 2. U ovom slučaju tačne su sljedeće tvrdnje:

1. x 1 + x 2 = −b. Drugim riječima, zbir korijena date kvadratne jednačine jednak je koeficijentu varijable x, uzetoj sa suprotnim predznakom;
2. x 1 x 2 = c . Proizvod korijena kvadratne jednadžbe jednak je slobodnom koeficijentu.

Primjeri. Radi jednostavnosti, razmotrit ćemo samo gornje kvadratne jednadžbe koje ne zahtijevaju dodatne transformacije:

1. x 2 − 9x + 20 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = − (−9) = 9; x 1 x 2 = 20; korijeni: x 1 = 4; x 2 = 5;
2. x 2 + 2x − 15 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = −2; x 1 x 2 = −15; korijeni: x 1 = 3; x 2 = −5;
3. x 2 + 5x + 4 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = −5; x 1 x 2 = 4; korijeni: x 1 = −1; x 2 = −4.

Vietin teorem nam daje dodatne informacije o korijenima kvadratne jednadžbe. Na prvi pogled ovo može izgledati teško, ali čak i uz minimalnu obuku naučit ćete "vidjeti" korijene i doslovno ih pogoditi za nekoliko sekundi.

Zadatak. Riješite kvadratnu jednačinu:

1. x 2 − 9x + 14 = 0;
2. x 2 − 12x + 27 = 0;
3. 3x 2 + 33x + 30 = 0;
4. −7x 2 + 77x − 210 = 0.

Pokušajmo ispisati koeficijente koristeći Vietin teorem i "pogoditi" korijene:

1. x 2 − 9x + 14 = 0 je redukovana kvadratna jednačina.
   Prema Vietinoj teoremi imamo: x 1 + x 2 = −(−9) = 9; x 1 · x 2 = 14. Lako je vidjeti da su korijeni brojevi 2 i 7;
2. x 2 − 12x + 27 = 0 - takođe smanjeno.
   Prema Vietinom teoremu: x 1 + x 2 = −(−12) = 12; x 1 x 2 = 27. Otuda korijeni: 3 i 9;
3. 3x 2 + 33x + 30 = 0 - ova jednačina nije redukovana. Ali ovo ćemo sada ispraviti tako što ćemo obje strane jednačine podijeliti sa koeficijentom a = 3. Dobijamo: x 2 + 11x + 10 = 0.
   Rješavamo korištenjem Vietine teoreme: x 1 + x 2 = −11; x 1 x 2 = 10 ⇒ korijena: −10 i −1;
4. −7x 2 + 77x − 210 = 0 - opet koeficijent za x 2 nije jednak 1, tj. jednačina nije data. Sve dijelimo brojem a = −7. Dobijamo: x 2 − 11x + 30 = 0.
   Po Vietinom teoremu: x 1 + x 2 = −(−11) = 11; x 1 x 2 = 30; Iz ovih jednačina lako je pogoditi korijene: 5 i 6.

Iz gornjeg obrazloženja jasno je kako Vietin teorem pojednostavljuje rješenje kvadratnih jednadžbi. Bez komplikovanih proračuna, bez aritmetičkih korijena i razlomaka. A nije nam ni trebao diskriminant (pogledajte lekciju “Rješavanje kvadratnih jednačina”).

Naravno, u svim našim razmišljanjima polazili smo od dvije važne pretpostavke, koje se, općenito govoreći, ne ispunjavaju uvijek u stvarnim problemima:

1. Kvadratna jednačina se reducira, tj. koeficijent za x 2 je 1;
2. Jednačina ima dva različita korijena. Sa algebarske tačke gledišta, u ovom slučaju diskriminanta je D > 0 - u stvari, u početku pretpostavljamo da je ova nejednakost tačna.

Međutim, u tipičnim matematičkim problemima ovi uslovi su ispunjeni. Ako izračun rezultira "lošom" kvadratnom jednadžbom (koeficijent x 2 je drugačiji od 1), to se lako može ispraviti - pogledajte primjere na samom početku lekcije. O korijenima uglavnom šutim: kakav je to problem na koji nema odgovora? Naravno da će biti korijena.

Dakle, opća shema za rješavanje kvadratnih jednadžbi pomoću Vietine teoreme je sljedeća:

1. Kvadratnu jednačinu svesti na datu, ako to već nije učinjeno u iskazu problema;
2. Ako su koeficijenti u gornjoj kvadratnoj jednadžbi razlomački, rješavamo pomoću diskriminanta. Možete se čak vratiti na originalnu jednačinu da biste radili sa više "zgodnijih" brojeva;
3. U slučaju cjelobrojnih koeficijenata, rješavamo jednačinu koristeći Vietin teorem;
4. Ako ne možete pogoditi korijene u roku od nekoliko sekundi, zaboravite na Vietin teorem i riješite pomoću diskriminanta.

Zadatak. Riješite jednačinu: 5x 2 − 35x + 50 = 0.

Dakle, pred nama je jednačina koja nije redukovana, jer koeficijent a = 5. Podijelimo sve sa 5, dobićemo: x 2 − 7x + 10 = 0.

Svi koeficijenti kvadratne jednadžbe su cijeli brojevi - pokušajmo to riješiti korištenjem Vietine teoreme. Imamo: x 1 + x 2 = −(−7) = 7; x 1 · x 2 = 10. U ovom slučaju, korijene je lako pogoditi - oni su 2 i 5. Nema potrebe za brojanjem pomoću diskriminanta.

Zadatak. Riješite jednačinu: −5x 2 + 8x − 2,4 = 0.

Pogledajmo: −5x 2 + 8x − 2,4 = 0 - ova jednačina nije redukovana, podijelimo obje strane koeficijentom a = −5. Dobijamo: x 2 − 1,6x + 0,48 = 0 - jednačinu sa razlomcima koeficijenata.

Bolje je vratiti se na prvobitnu jednačinu i brojati kroz diskriminant: −5x 2 + 8x − 2,4 = 0 ⇒ D = 8 2 − 4 · (−5) · (−2,4) = 16 ⇒ ... ⇒ x 1 = 1,2; x 2 = 0,4.

Zadatak. Riješite jednačinu: 2x 2 + 10x − 600 = 0.

Prvo, podijelimo sve sa koeficijentom a = 2. Dobijamo jednačinu x 2 + 5x − 300 = 0.

Ovo je redukovana jednačina, prema Vietinoj teoremi imamo: x 1 + x 2 = −5; x 1 x 2 = −300. Teško je pogoditi korijene kvadratne jednačine u ovom slučaju - lično sam ozbiljno zapeo prilikom rješavanja ovog problema.

Morat ćete tražiti korijene kroz diskriminantu: D = 5 2 − 4 · 1 · (−300) = 1225 = 35 2 . Ako se ne sjećate korijena diskriminanta, samo ću napomenuti da je 1225: 25 = 49. Dakle, 1225 = 25 49 = 5 2 7 2 = 35 2.

Sada kada je korijen diskriminanta poznat, rješavanje jednačine nije teško. Dobijamo: x 1 = 15; x 2 = −20.

Postoji niz odnosa u kvadratnim jednačinama. Glavni su odnosi između korijena i koeficijenata. Također u kvadratnim jednačinama postoji niz odnosa koji su dati Vietinom teoremom.

U ovoj temi ćemo predstaviti samu Vietinu teoremu i njen dokaz za kvadratnu jednadžbu, teorem inverznu Vietinom teoremu, te analizirati niz primjera rješavanja problema. U materijalu ćemo posebnu pažnju posvetiti razmatranju Vietinih formula, koje definiraju vezu između realnih korijena algebarske jednadžbe stepena n i njegove koeficijente.

Formulacija i dokaz Vietine teoreme

Formula za korijene kvadratne jednadžbe a x 2 + b x + c = 0 oblika x 1 = - b + D 2 · a, x 2 = - b - D 2 · a, gdje je D = b 2 − 4 a c, uspostavlja odnose x 1 + x 2 = - b a, x 1 x 2 = c a. Ovo potvrđuje Vietina teorema.

Teorema 1

U kvadratnoj jednadžbi a x 2 + b x + c = 0, Gdje x 1 I x 2– korijeni, zbir korijena će biti jednak omjeru koeficijenata b I a, koji je uzet sa suprotnim predznakom, a proizvod korijena će biti jednak omjeru koeficijenata c I a, tj. x 1 + x 2 = - b a, x 1 x 2 = c a.

Dokazi 1

Nudimo vam sljedeću shemu za izvođenje dokaza: uzmite formulu korijena, sastavite zbir i proizvod korijena kvadratne jednadžbe, a zatim transformirajte rezultirajuće izraze kako biste bili sigurni da su jednaki - b a I c a respektivno.

Napravimo zbir korijena x 1 + x 2 = - b + D 2 · a + - b - D 2 · a. Dovedemo razlomke na zajednički imenilac - b + D 2 · a + - b - D 2 · a = - b + D + - b - D 2 · a. Otvorimo zagrade u brojiocu dobijenog razlomka i predstavimo slične pojmove: - b + D + - b - D 2 · a = - b + D - b - D 2 · a = - 2 · b 2 · a . Smanjimo razlomak za: 2 - b a = - b a.

Tako smo dokazali prvu relaciju Vietine teoreme, koja se odnosi na zbir korijena kvadratne jednadžbe.

Pređimo sada na drugu vezu.

Da bismo to učinili, trebamo sastaviti proizvod korijena kvadratne jednačine: x 1 · x 2 = - b + D 2 · a · - b - D 2 · a.

Prisjetimo se pravila za množenje razlomaka i napišimo posljednji proizvod na sljedeći način: - b + D · - b - D 4 · a 2.

Pomnožimo zagradu sa zagradom u brojiocu razlomka ili upotrebimo formulu razlike kvadrata da brže transformišemo ovaj proizvod: - b + D · - b - D 4 · a 2 = - b 2 - D 2 4 · a 2 .

Koristimo definiciju kvadratnog korijena da napravimo sljedeći prijelaz: - b 2 - D 2 4 · a 2 = b 2 - D 4 · a 2 . Formula D = b 2 − 4 a c odgovara diskriminantu kvadratne jednadžbe, dakle, u razlomak umjesto na D može biti zamijenjen b 2 − 4 a c:

b 2 - D 4 a 2 = b 2 - (b 2 - 4 a c) 4 a 2

Otvorimo zagrade, dodamo slične pojmove i dobijemo: 4 · a · c 4 · a 2 . Ako ga skratimo na 4 a, onda ono što ostaje je c a . Tako smo dokazali drugu relaciju Vietine teoreme za proizvod korijena.

Dokaz Vietine teoreme može se napisati u vrlo lakoničnom obliku ako izostavimo objašnjenja:

x 1 + x 2 = - b + D 2 a + - b - D 2 a = - b + D + - b - D 2 a = - 2 b 2 a = - b a , x 1 x 2 = - b + D 2 · a · - b - D 2 · a = - b + D · - b - D 4 · a 2 = - b 2 - D 2 4 · a 2 = b 2 - D 4 · a 2 = = D = b 2 - 4 · a · c = b 2 - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = 4 · a · c 4 · a 2 = c a .

Kada je diskriminant kvadratne jednadžbe jednak nuli, jednačina će imati samo jedan korijen. Da bismo mogli primijeniti Vietin teorem na takvu jednačinu, možemo pretpostaviti da jednačina, s diskriminantom jednakim nuli, ima dva identična korijena. Zaista, kada D=0 korijen kvadratne jednadžbe je: - b 2 · a, zatim x 1 + x 2 = - b 2 · a + - b 2 · a = - b + (- b) 2 · a = - 2 · b 2 · a = - b a i x 1 · x 2 = - b 2 · a · - b 2 · a = - b · - b 4 · a 2 = b 2 4 · a 2 , a pošto je D = 0, tj. 2 - 4 · a · c = 0, odakle je b 2 = 4 · a · c, zatim b 2 4 · a 2 = 4 · a · c 4 · a 2 = c a.

Najčešće se u praksi Vietina teorema primjenjuje na redukovanu kvadratnu jednačinu oblika x 2 + p x + q = 0, gdje je vodeći koeficijent a jednak 1. U tom smislu, Vietin teorem je formuliran posebno za jednadžbe ovog tipa. Ovo ne ograničava općenitost zbog činjenice da se svaka kvadratna jednačina može zamijeniti ekvivalentnom jednačinom. Da biste to učinili, morate podijeliti oba njegova dijela brojem različitom od nule.

Dajemo još jednu formulaciju Vietine teoreme.

Teorema 2

Zbir korijena u datoj kvadratnoj jednadžbi x 2 + p x + q = 0će biti jednak koeficijentu x, koji se uzima sa suprotnim predznakom, proizvod korijena će biti jednak slobodnom članu, tj. x 1 + x 2 = − p, x 1 x 2 = q.

Teorema suprotna Vietinoj teoremi

Ako pažljivo pogledate drugu formulaciju Vietine teoreme, to možete vidjeti za korijene x 1 I x 2 redukovana kvadratna jednačina x 2 + p x + q = 0 vrijedit će sljedeće relacije: x 1 + x 2 = − p, x 1 · x 2 = q. Iz ovih relacija x 1 + x 2 = − p, x 1 x 2 = q slijedi da x 1 I x 2 su korijeni kvadratne jednadžbe x 2 + p x + q = 0. Tako dolazimo do tvrdnje koja je suprotna Vietinoj teoremi.

Sada predlažemo da ovu izjavu formaliziramo kao teoremu i izvršimo njen dokaz.

Teorema 3

Ako su brojevi x 1 I x 2 su takvi da x 1 + x 2 = − p I x 1 x 2 = q, To x 1 I x 2 su korijeni redukovane kvadratne jednadžbe x 2 + p x + q = 0.

Dokazi 2

Zamjena kvota str I q do njihovog izražavanja kroz x 1 I x 2 omogućava transformaciju jednačine x 2 + p x + q = 0 u ekvivalent .

Ako zamijenimo broj u rezultirajuću jednačinu x 1 umjesto x, tada dobijamo jednakost x 1 2 − (x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 = 0. Ovo je jednakost za sve x 1 I x 2 pretvara u pravu brojčanu jednakost 0 = 0 , jer x 1 2 − (x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 = x 1 2 − x 1 2 − x 2 x 1 + x 1 x 2 = 0. To znači da x 1- korijen jednačine x 2 − (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 = 0, Pa šta x 1 je također korijen ekvivalentne jednačine x 2 + p x + q = 0.

Zamjena u jednadžbi x 2 − (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 = 0 brojevi x 2 umjesto x omogućava nam da dobijemo jednakost x 2 2 − (x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 = 0. Ova jednakost se može smatrati istinitom, jer x 2 2 − (x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 = x 2 2 − x 1 x 2 − x 2 2 + x 1 x 2 = 0. Ispostavilo se da x 2 je korijen jednadžbe x 2 − (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 = 0, a time i jednačine x 2 + p x + q = 0.

Dokazano je obrnuto od Vietine teoreme.

Primjeri korištenja Vietine teoreme

Počnimo analizirati najtipičnije primjere na tu temu. Počnimo s analizom problema koji zahtijevaju primjenu teoreme inverzne Vietinoj teoremi. Može se koristiti za provjeru brojeva proizvedenih proračunima da se vidi da li su korijeni date kvadratne jednadžbe. Da biste to učinili, morate izračunati njihov zbir i razliku, a zatim provjeriti valjanost odnosa x 1 + x 2 = - b a, x 1 · x 2 = a c.

Ispunjenje oba odnosa pokazuje da su brojevi dobijeni tokom proračuna korijeni jednačine. Ako vidimo da barem jedan od uslova nije ispunjen, onda ovi brojevi ne mogu biti korijeni kvadratne jednadžbe date u iskazu problema.

Primjer 1

Koji od parova brojeva 1) x 1 = − 5, x 2 = 3, ili 2) x 1 = 1 - 3, x 2 = 3 + 3, ili 3) x 1 = 2 + 7 2, x 2 = 2 - 7 2 je par korijena kvadratne jednadžbe 4 x 2 − 16 x + 9 = 0?

Rješenje

Nađimo koeficijente kvadratne jednačine 4 x 2 − 16 x + 9 = 0. Ovo je a = 4, b = − 16, c = 9. Prema Vietinoj teoremi, zbir korijena kvadratne jednadžbe mora biti jednak - b a, to je, 16 4 = 4 , a proizvod korijena mora biti jednak c a, to je, 9 4 .

Provjerimo dobijene brojeve tako što ćemo izračunati zbir i proizvod brojeva iz tri zadana para i uporediti ih sa dobijenim vrijednostima.

U prvom slučaju x 1 + x 2 = − 5 + 3 = − 2. Ova vrijednost se razlikuje od 4, stoga provjeru nije potrebno nastaviti. Prema teoremi suprotnoj Vietinoj teoremi, možemo odmah zaključiti da prvi par brojeva nije korijen ove kvadratne jednadžbe.

U drugom slučaju, x 1 + x 2 = 1 - 3 + 3 + 3 = 4. Vidimo da je prvi uslov ispunjen. Ali drugi uslov nije: x 1 · x 2 = 1 - 3 · 3 + 3 = 3 + 3 - 3 · 3 - 3 = - 2 · 3. Vrijednost koju smo dobili je drugačija od 9 4 . To znači da drugi par brojeva nisu korijeni kvadratne jednadžbe.

Idemo dalje na razmatranje trećeg para. Ovdje x 1 + x 2 = 2 + 7 2 + 2 - 7 2 = 4 i x 1 x 2 = 2 + 7 2 2 - 7 2 = 2 2 - 7 2 2 = 4 - 7 4 = 16 4 - 7 4 = 9 4. Oba uslova su ispunjena, što znači da x 1 I x 2 su korijeni date kvadratne jednadžbe.

odgovor: x 1 = 2 + 7 2 , x 2 = 2 - 7 2

Također možemo koristiti obrnutu Vietinu teoremu da pronađemo korijene kvadratne jednadžbe. Najjednostavniji način je odabir cjelobrojnih korijena date kvadratne jednadžbe sa cjelobrojnim koeficijentima. Mogu se razmotriti i druge opcije. Ali to može značajno zakomplicirati proračune.

Za odabir korijena koristimo činjenicu da ako je zbroj dva broja jednak drugom koeficijentu kvadratne jednadžbe, uzetoj sa predznakom minus, a umnožak ovih brojeva jednak je slobodnom članu, onda su ti brojevi jednaki korijene ove kvadratne jednadžbe.

Primjer 2

Kao primjer koristimo kvadratnu jednačinu x 2 − 5 x + 6 = 0. Brojevi x 1 I x 2 može biti korijen ove jednačine ako su dvije jednakosti zadovoljene x 1 + x 2 = 5 I x 1 x 2 = 6. Odaberimo ove brojeve. To su brojevi 2 i 3, pošto 2 + 3 = 5 I 2 3 = 6. Ispada da su 2 i 3 korijeni ove kvadratne jednadžbe.

Obrat Vietinog teorema može se koristiti za pronalaženje drugog korijena kada je prvi poznat ili očigledan. Da bismo to učinili, možemo koristiti relacije x 1 + x 2 = - b a, x 1 · x 2 = c a.

Primjer 3

Razmotrimo kvadratnu jednačinu 512 x 2 − 509 x − 3 = 0. Potrebno je pronaći korijene ove jednačine.

Rješenje

Prvi korijen jednadžbe je 1, pošto je zbir koeficijenata ove kvadratne jednadžbe nula. Ispostavilo se da x 1 = 1.

Sada pronađimo drugi korijen. Za ovo možete koristiti relaciju x 1 x 2 = c a. Ispostavilo se da 1 x 2 = − 3,512, gdje x 2 = - 3,512.

odgovor: korijene kvadratne jednadžbe navedene u iskazu problema 1 I - 3 512 .

Korištenjem teoreme inverzne Vietinoj teoremi moguće je odabrati korijene samo u jednostavnim slučajevima. U drugim slučajevima, bolje je tražiti korištenjem formule za korijene kvadratne jednadžbe kroz diskriminant.

Zahvaljujući obrnutom Vietinom teoremu, možemo konstruirati i kvadratne jednadžbe koristeći postojeće korijene x 1 I x 2. Da bismo to učinili, moramo izračunati zbir korijena koji daje koeficijent za x sa suprotnim predznakom date kvadratne jednadžbe, i proizvodom korijena, koji daje slobodni član.

Primjer 4

Napišite kvadratnu jednačinu čiji su korijeni brojevi − 11 I 23 .

Rješenje

Pretpostavimo to x 1 = − 11 I x 2 = 23. Zbir i proizvod ovih brojeva bit će jednaki: x 1 + x 2 = 12 I x 1 x 2 = − 253. To znači da je drugi koeficijent 12, slobodni termin − 253.

Napravimo jednačinu: x 2 − 12 x − 253 = 0.

Odgovori: x 2 − 12 x − 253 = 0 .

Možemo koristiti Vietin teorem za rješavanje problema koji uključuju predznake korijena kvadratnih jednadžbi. Veza između Vietine teoreme povezana je sa predznacima korijena redukovane kvadratne jednadžbe x 2 + p x + q = 0 na sljedeći način:

• ako kvadratna jednadžba ima realne korijene i ako je član presjeka q je pozitivan broj, tada će ovi korijeni imati isti znak “+” ili “-”;
• ako kvadratna jednadžba ima korijene i ako je član presjeka q je negativan broj, tada će jedan korijen biti “+”, a drugi “-”.

Obje ove izjave su posljedica formule x 1 x 2 = q i pravila za množenje pozitivnih i negativnih brojeva, kao i brojeva sa različitim predznacima.

Primjer 5

Da li su korijeni kvadratne jednadžbe x 2 − 64 x − 21 = 0 pozitivno?

Rješenje

Prema Vietinoj teoremi, korijeni ove jednadžbe ne mogu biti pozitivni, jer moraju zadovoljiti jednakost x 1 x 2 = − 21. Ovo je nemoguće sa pozitivom x 1 I x 2.

odgovor: br

Primjer 6

Na kojim vrijednostima parametara r kvadratna jednačina x 2 + (r + 2) x + r − 1 = 0 imaće dva prava korena sa različitim predznacima.

Rješenje

Počnimo s pronalaženjem vrijednosti kojih r, za koji će jednadžba imati dva korijena. Hajde da nađemo diskriminanta i vidimo šta r poprimiće pozitivne vrijednosti. D = (r + 2) 2 − 4 1 (r − 1) = r 2 + 4 r + 4 − 4 r + 4 = r 2 + 8. Vrijednost izraza r 2 + 8 pozitivno za svaku stvarnu r, dakle, diskriminant će biti veći od nule za bilo koju realnu r. To znači da će originalna kvadratna jednadžba imati dva korijena za bilo koju realnu vrijednost parametra r.

Sada da vidimo kada korijeni imaju različite znakove. To je moguće ako je njihov proizvod negativan. Prema Vietinoj teoremi, proizvod korijena redukovane kvadratne jednadžbe jednak je slobodnom članu. To znači da će ispravno rješenje biti te vrijednosti r, za koji je slobodni član r − 1 negativan. Riješimo linearnu nejednačinu r − 1< 0 , получаем r < 1 .

odgovor: na r< 1 .

Vieta formule

Postoji niz formula koje su primjenjive za izvođenje operacija s korijenima i koeficijentima ne samo kvadratnih, već i kubnih i drugih vrsta jednadžbi. Zovu se Vietine formule.

Za algebarsku jednačinu stepena n oblika a 0 · x n + a 1 · x n - 1 + . . . + a n - 1 x + a n = 0 smatra se da jednačina ima n pravim korenima x 1 , x 2 , … , x n, među kojima mogu biti isti:
x 1 + x 2 + x 3 + . . . + x n = - a 1 a 0 , x 1 · x 2 + x 1 · x 3 + . . . + x n - 1 · x n = a 2 a 0 , x 1 · x 2 · x 3 + x 1 · x 2 · x 4 + . . . + x n - 2 · x n - 1 · x n = - a 3 a 0 , . . . x 1 · x 2 · x 3 · . . . · x n = (- 1) n · a n a 0

Definicija 1

Vietine formule nam pomažu da dobijemo:

• teorema o dekompoziciji polinoma na linearne faktore;
• određivanje jednakih polinoma kroz jednakost svih njihovih odgovarajućih koeficijenata.

Dakle, polinom a 0 · x n + a 1 · x n - 1 + . . . + a n - 1 · x + a n i njegovo širenje u linearne faktore oblika a 0 · (x - x 1) · (x - x 2) · . . . · (x - x n) su jednaki.

Ako otvorimo zagrade u posljednjem proizvodu i izjednačimo odgovarajuće koeficijente, dobićemo Vietine formule. Uzimajući n = 2, možemo dobiti Vietinu formulu za kvadratnu jednačinu: x 1 + x 2 = - a 1 a 0, x 1 · x 2 = a 2 a 0.

Definicija 2

Vietina formula za kubičnu jednačinu:
x 1 + x 2 + x 3 = - a 1 a 0 , x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 = a 2 a 0 , x 1 x 2 x 3 = - a 3 a 0

Lijeva strana Vietine formule sadrži takozvane elementarne simetrične polinome.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter