Predavanje: Razlomci, procenti, racionalni brojevi

Racionalni brojevi su oni koji se mogu izraziti kao obični razlomak.

Dakle, šta su uopće razlomci?

Razlomak- broj koji pokazuje određeni broj udjela u cjelini, odnosno jedinicama.

Razlomci mogu biti decimalni ili obični. Kao matematička operacija, frakcija- ovo nije ništa drugo do podela. Bilo koji razlomak se sastoji od brojilac(deljiv), koji je na vrhu, imenilac(djelitelj), koji se nalazi ispod, i razlomak, koji direktno obavlja funkciju dijeljenja. Imenilac razlomka pokazuje koliko jednaki dijelovi podijeliti neku cjelinu. Brojilac pokazuje koliko je jednakih dijelova uzeto iz cjeline.

Razlomak se može miješati, odnosno može imati i razlomak i cijeli broj.

Na primjer, 1; 5,03.

Običan razlomak može imati proizvoljan brojnik i imenilac.

Na primjer, 1/5, 4/7, 7/11, itd.

Decimalni razlomak uvijek ima brojeve 10, 100, 1000, 10000, itd. u nazivniku.

Na primjer, 1/10 = 0,1; 6/100 = 0,06, itd.

Možete izvoditi iste matematičke operacije nad razlomcima kao i nad cijelim brojevima:

1. Sabiranje i oduzimanje razlomaka

Za ove razlomke najmanji broj koji je djeljiv sa jednim i drugim imeniocem je 30.

Da biste oba razlomka doveli do nazivnika od 30, morate pronaći dodatni faktor. Da biste dobili nazivnik od 30 u prvom razlomku, treba ga pomnožiti sa 6. Da biste dobili imenilac od 30 u drugom razlomku, treba ga pomnožiti sa 5. Da bismo osigurali da se vrijednost razlomka ne promijeni, množimo i brojnik i imenilac ovim brojevima. Kao rezultat ovoga dobijamo:

Da biste dodali ili oduzeli brojeve sa istim nazivnicima, ostavite nazivnik kao 30 i dodajte brojioce:

2. Množenje razlomaka

Kada množite dva razlomka, trebali biste pomnožiti njihove brojnike, zatim pomnožiti nazivnike i napisati rezultat:

3. Podjela razlomaka

Kada dijelite dva razlomka, trebate okrenuti drugi razlomak i izvršiti operaciju množenja:

4. Smanjenje razlomaka

Ako su brojnik i imenilac višekratnici nekog identičnog broja, onda se takav razlomak može smanjiti dijeljenjem i brojnika i nazivnika datim brojem.

U originalnom razlomku i brojnik i imenilac su djeljivi brojem 3, tako da se cijeli razlomak može smanjiti za ovaj broj.

5. Poređenje razlomaka

Kada uspoređujete razlomke, morate koristiti nekoliko pravila:

- Ako se napravi poređenje između razlomaka koji imaju isti nazivnik, ali različit brojilac, tada će razlomak s većim brojnikom biti veći. Odnosno, ovo poređenje se svodi na poređenje brojilaca.

- Ako razlomci imaju iste brojioce, ali različite nazivnike, onda se nazivnici moraju uporediti. Razlomak čiji je imenilac manji biće veći.

- Ako razlomci imaju različite brojioce i nazivnike, onda se moraju svesti na zajednički nazivnik.

Zajednički imenilac je 42, dakle, dodatni faktor za prvi razlomak je 7, a dodatni faktor za drugi razlomak je 6. Dobijamo:

Sada se poređenje svodi na prvo pravilo. Razlomak sa većim nazivnikom je veći:

Interes

Svaki broj koji je stoti deo celine naziva se jedan postotak.

1% = 1/100 = 0,01.

Da biste razlomak pretvorili u postotak, morate ga pretvoriti u decimalu, a zatim pomnožiti sa 100%.

Na primjer,

Procenti se koriste u tri glavna slučaja:

1. Ako trebate pronaći određeni postotak broja. Zamislite da svaki mjesec primate 10% plate svojih roditelja. Međutim, ako ne znate matematiku, nećete moći izračunati koliko će vam biti jednaka mjesečna primanja. Dakle, ovo je prilično lako učiniti.

Zamislimo da vaši roditelji primaju 100.000 rubalja svakog mjeseca. Da biste pronašli iznos koji biste trebali primati mjesečno, trebate podijeliti dobit svojih roditelja sa 100 i pomnožiti sa 10%, što biste trebali dobiti:

100000: 100 * 10 = 10000 (rubalji).

2. Ako trebate saznati koliko vaši roditelji primaju mjesečno, ako znate da vam daju 6.000 rubalja, a to je, pak, 3%, onda se ova akcija s kamatama naziva pronalaženje broja po njegovom postotku. Da biste to učinili, rezultat je potrebno pomnožiti sa 100 i podijeliti sa svojim postotkom:

6000 * 100: 3 = 200 000 (rubalji).

3. Ako popijete 1 litar vode u toku dana, a vi, na primjer, trebate popiti 2 litre vode, onda možete lako pronaći procenat vode koju pijete. Da biste to učinili, trebate podijeliti 1 litru sa 2 litre i pomnožiti sa 100%.

1: 2 * 100% = 50%.

U ovom članku ćemo početi istraživati racionalni brojevi. Ovdje ćemo dati definicije racionalnih brojeva, dati potrebna objašnjenja i dati primjere racionalnih brojeva. Nakon toga ćemo se fokusirati na to kako odrediti da li je dati broj racionalan ili ne.

Navigacija po stranici.

Definicija i primjeri racionalnih brojeva

U ovom dijelu ćemo dati nekoliko definicija racionalnih brojeva. Uprkos razlikama u formulacijama, sve ove definicije imaju isto značenje: racionalni brojevi ujedinjuju cijele brojeve i razlomke, baš kao što cijeli brojevi ujedinjuju prirodne brojeve, njihove suprotnosti i broj nula. Drugim riječima, racionalni brojevi generaliziraju cijele brojeve i razlomci brojeva.

Počnimo sa definicije racionalnih brojeva, što se percipira najprirodnije.

Iz navedene definicije proizilazi da je racionalan broj:

• Bilo koji prirodni broj n. Zaista, možete predstaviti bilo koji prirodni broj kao običan razlomak, na primjer, 3=3/1.
• Bilo koji cijeli broj, posebno broj nula. Zapravo, bilo koji cijeli broj se može napisati kao pozitivan razlomak, negativan razlomak ili nula. Na primjer, 26=26/1, .
• Bilo koji zajednički razlomak (pozitivan ili negativan). Ovo direktno potvrđuje data definicija racionalnih brojeva.
• Bilo koji mešoviti broj. Zaista, uvijek se može zamisliti mješoviti broj kao nepravilan razlomak. Na primjer, i.
• Bilo koji konačni decimalni razlomak ili beskonačan periodični razlomak. To je zbog činjenice da se navedeni decimalni razlomci pretvaraju u obične razlomke. Na primjer, , i 0,(3)=1/3.

Takođe je jasno da bilo koji beskonačan neperiodični decimalni razlomak NIJE racionalan broj, jer se ne može predstaviti kao običan razlomak.

Sada možemo lako dati primjeri racionalnih brojeva. Brojevi 4, 903, 100 321 su racionalni brojevi jer su prirodni brojevi. Cijeli brojevi 58, −72, 0, −833,333,333 su također primjeri racionalnih brojeva. Obični razlomci 4/9, 99/3 su također primjeri racionalnih brojeva. Racionalni brojevi su takođe brojevi.

Iz gornjih primjera jasno je da postoje i pozitivni i negativni racionalni brojevi, a racionalni broj nula nije ni pozitivan ni negativan.

Gornja definicija racionalnih brojeva može se formulisati u sažetijem obliku.

Definicija.

Racionalni brojevi su brojevi koji se mogu napisati kao razlomak z/n, gdje je z cijeli broj, a n prirodan broj.

Dokažimo da je ova definicija racionalnih brojeva ekvivalentna prethodnoj definiciji. Znamo da liniju razlomka možemo smatrati znakom dijeljenja, a zatim iz svojstava dijeljenja cijelih brojeva i pravila za dijeljenje cijelih brojeva, slijedi valjanost sljedećih jednakosti i. Dakle, to je dokaz.

Navedimo primjere racionalnih brojeva na osnovu ovu definiciju. Brojevi −5, 0, 3 i su racionalni brojevi, jer se mogu zapisati kao razlomci sa celim brojnikom i prirodnim imeniocem oblika i, respektivno.

Definicija racionalnih brojeva može se dati u sljedećoj formulaciji.

Definicija.

Racionalni brojevi su brojevi koji se mogu napisati kao konačan ili beskonačan periodični decimalni razlomak.

Ova definicija je također ekvivalentna prvoj definiciji, budući da svaki obični razlomak odgovara konačnom ili periodičnom decimalnom razlomku i obrnuto, a bilo koji cijeli broj može biti povezan s decimalnim razlomkom sa nulama iza decimalnog zareza.

Na primjer, brojevi 5, 0, −13 su primjeri racionalnih brojeva jer se mogu napisati kao sljedeći decimalni razlomci 5,0, 0,0, −13,0, 0,8 i −7, (18).

Završimo teoriju ove tačke sa sljedećim izjavama:

• cijeli brojevi i razlomci (pozitivni i negativni) čine skup racionalnih brojeva;
• svaki racionalni broj se može predstaviti kao razlomak sa cijelim brojicom i prirodnim nazivnikom, a svaki takav razlomak predstavlja određeni racionalni broj;
• svaki racionalni broj se može predstaviti kao konačan ili beskonačan periodični decimalni razlomak, a svaki takav razlomak predstavlja racionalni broj.

Da li je ovaj broj racionalan?

U prethodnom pasusu smo saznali da je svaki prirodni broj, bilo koji cijeli broj, bilo koji obični razlomak, bilo koji mješoviti broj, bilo koji konačni decimalni razlomak, kao i svaki periodični decimalni razlomak racionalan broj. Ovo znanje nam omogućava da “prepoznamo” racionalne brojeve iz skupa zapisanih brojeva.

Ali šta ako je broj dat u obliku nekog , ili kao, itd., kako odgovoriti na pitanje da li je ovaj broj racionalan? U mnogim slučajevima je veoma teško odgovoriti. Naznačimo neke smjerove razmišljanja.

Ako je broj naveden u obrascu numerički izraz, koji sadrži samo racionalne brojeve i aritmetičke znakove (+, −, · i:), tada je vrijednost ovog izraza racionalan broj. Ovo proizilazi iz toga kako su definirane operacije s racionalnim brojevima. Na primjer, nakon izvođenja svih operacija u izrazu, dobijamo racionalni broj 18.

Ponekad, nakon pojednostavljivanja izraza i više složenog tipa, postaje moguće utvrditi da li je dati broj racionalan.

Idemo dalje. Broj 2 je racionalan broj, jer je svaki prirodan broj racionalan. Šta je sa brojem? Da li je to racionalno? Ispostavilo se da ne, to nije racionalan broj, to je iracionalan broj (dokaz ove činjenice kontradiktorno je dat u udžbeniku algebre za 8. razred, naveden dolje u listi literature). To je takođe dokazano Kvadratni korijen prirodnog broja je racionalan broj samo u onim slučajevima kada korijen sadrži broj koji je savršen kvadrat nekog prirodnog broja. Na primjer, i su racionalni brojevi, jer 81 = 9 2 i 1 024 = 32 2, a brojevi i nisu racionalni, jer brojevi 7 i 199 nisu savršeni kvadrati prirodni brojevi.

Da li je broj racionalan ili ne? U ovom slučaju, lako je uočiti da je, dakle, ovaj broj racionalan. Da li je broj racionalan? Dokazano je da je k-ti korijen cijelog broja racionalan broj samo ako je broj pod predznakom korijena k-ti stepen nekog cijelog broja. Dakle, to nije racionalan broj, jer ne postoji cijeli broj čiji je peti stepen 121.

Metoda kontradikcije vam omogućava da dokažete da logaritmi nekih brojeva iz nekog razloga nisu racionalni brojevi. Na primjer, dokažimo da - nije racionalan broj.

Pretpostavimo suprotno, to jest, recimo da je to racionalan broj i da se može napisati kao običan razlomak m/n. Tada dajemo sljedeće jednakosti: . Posljednja jednakost je nemoguća, jer se na lijevoj strani nalazi neparan broj 5 n, a na desnoj strani je paran broj 2 m. Stoga je naša pretpostavka netačna, dakle nije racionalan broj.

U zaključku, posebno je vrijedno napomenuti da se prilikom utvrđivanja racionalnosti ili iracionalnosti brojeva treba suzdržati od iznenadnih zaključaka.

Na primjer, ne biste trebali odmah tvrditi da je proizvod iracionalnih brojeva π i e iracionalan broj; ovo je „naizgled očigledno“, ali nije dokazano. Ovo postavlja pitanje: "Zašto bi proizvod bio racionalan broj?" A zašto ne, jer možete dati primjer iracionalnih brojeva, čiji proizvod daje racionalan broj: .

Takođe je nepoznato da li su brojevi i mnogi drugi brojevi racionalni ili ne. Na primjer, postoje iracionalni brojevi, čiji je iracionalni stepen racionalan broj. Za ilustraciju, predstavljamo stepen oblika , baza ovog stepena i eksponent nisu racionalni brojevi, već , a 3 je racionalan broj.

Bibliografija.

• Matematika. 6. razred: obrazovni. za opšte obrazovanje institucije / [N. Ya. Vilenkin i drugi]. - 22. izdanje, rev. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 str.: ilustr. ISBN 978-5-346-00897-2.
• algebra: udžbenik za 8. razred. opšte obrazovanje institucije / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; uređeno od S. A. Telyakovsky. - 16. ed. - M.: Obrazovanje, 2008. - 271 str. : ill. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematika (priručnik za polaznike tehničkih škola): Proc. dodatak.- M.; Više škola, 1984.-351 str., ilustr.

Matematika. Algebra. Geometrija. Trigonometrija

ALGEBRA: Brojevi

2.2. Cijeli brojevi i racionalni brojevi. Interes

Obični razlomci.

Obična frakcija

je broj oblika , gdje su m i n cijeli brojevi. Broj m se zove brojilac razlomka, n- imenilac. Ako je n = 1, tada razlomak ima oblik , ali češće pišu jednostavno m, tj. Bilo koji prirodni broj može se predstaviti kao običan razlomak sa nazivnikom 1.

Razlomak se zove ispravno, ako mu je brojilac manji od nazivnika, i pogrešno ako je njegov brojilac veći ili jednak nazivniku. Sve vrste nepravilan razlomak može se izraziti kao zbir prirodnog broja i pravog razlomka (ili kao prirodan broj ako je m višekratnik n).

Uobičajeno je da se zbir prirodnog broja i pravog razlomka piše bez predznaka za sabiranje, odnosno umjesto pisanja . Broj napisan u ovom obliku se zove mješoviti broj. Sastoji se od cijelog broja i razlomka.

Jednakost razlomaka. Smanjenje frakcija.

Broje se dva razlomka jednaka ako je ad = bc. Iz definicije jednakosti slijedi da

= , jer . Glavno svojstvo razlomka:Ako se brojnik i nazivnik razlomka pomnože ili podijele istim prirodnim brojem, dobićete razlomak jednak datom. Koristeći osnovnu osobinu razlomka, ponekad je moguće zamijeniti dati razlomak drugim čiji su brojnik i nazivnik manji od podataka. Ova zamjena se zove smanjenje razlomci Ako su brojnik i imenilac međusobno prosti brojevi, onda redukcija nije moguća i takav se razlomak naziva nesvodivo.

Aritmetičke operacije nad običnim razlomcima.

Neka su data dva razlomka i

, . Te razlomke možete zamijeniti drugim jednakim njima, tako da dobijeni razlomci imaju iste nazivnike. Ova transformacija se zove dovodeći razlomke na zajednički nazivnik. Obično pokušavaju svesti razlomke na najmanji zajednički imenilac, što je jednako N.O.K.().

1.Dodatak obični razlomci se rade ovako:

A) ako su imenioci isti, tada se brojnici sabiraju i ostavljaju isti nazivnik:;

2. Oduzimanje obični razlomci se izvode na sljedeći način:

A) ako su imenioci isti, onda

b) ako su imenioci razlomaka različiti, tada se razlomci prvo svode na najmanji zajednički imenilac, a zatim se primjenjuje pravilo a).

3. Množenjeobični razlomci se izvode na sljedeći način:

4. Podjela običnih razlomaka vrši se na sljedeći način:

.

Decimalni razlomci. Pretvaranje decimalnog razlomka u običan razlomak.

Decimala je još jedan oblik pisanja razlomka sa nazivnikom. Na primjer, . Ako se imenilac razlomka rastavlja samo sa 2 i 5, tada se razlomak može zapisati kao decimalni; Ako je razlomak nesvodljiv i dekompozicija njegovog nazivnika na proste faktore uključuje i druge proste faktore, onda se ovaj razlomak ne može zapisati kao decimalni.

U decimalnom razlomku možete dodati i odbaciti nule na desnoj strani - dobićete razlomak jednak tome.

Zove se razlomak koji ima beskonačan broj decimalnih mjesta beskonačni decimalni razlomak.

Teorema 10.

Svaki obični razlomak se može predstaviti kao beskonačan decimalni razlomak.

Grupa znamenki koja se sekvencijalno ponavlja (minimum) iza decimalne tačke u decimalnom zapisu broja naziva se tačka, a beskonačni decimalni razlomak koji ima tačku naziva se periodični.

Neka je dat periodičnim decimalnim razlomkom: , gdje - m-cifreni broj, onda

, YU
YU - formula za pretvaranje periodičnog decimalnog razlomka u obični razlomak.

Interes.

Među decimalnim razlomcima, najčešće korišteni razlomak je 0,01, koji se naziva postotak i označava se sa 1

%. Dakle 1% = 0,01; 25% = 0,25; 450% = 4,5 itd.

PRIMJER Radnik je morao proizvesti 60 dijelova po smjeni. Na kraju radnog dana ispostavilo se da je završio 125

% zadataka. Koliko je delova napravio radnik?

Rješenje: 1) 125

% = 1,25

2)60H 1,25 = 75.

ODGOVOR: 75 delova.

Koordinatna linija.

Uzmimo pravu liniju l, na njoj označimo tačku O koju ćemo uzeti za ishodište, postaviti pravac i jedinični segment. U ovom slučaju kažu da je dato koordinatna linija. Svaki prirodni broj ili razlomak odgovara jednoj tački na pravoj l. Ako tačka M prave l odgovara određenom broju r, onda se taj broj naziva koordinata tačka M i označena je sa M(r). Zovu se brojevi a i -a suprotno. Pozivaju se brojevi koji odgovaraju tačkama koje se nalaze na koordinatnoj liniji u datom pravcu pozitivno; nazivaju se brojevi koji odgovaraju tačkama koje se nalaze na koordinatnoj liniji u smjeru suprotnom od datog negativan. Broj 0 se ne smatra ni pozitivnim ni negativnim. Tačka O, koja odgovara broju 0, razdvaja tačke sa pozitivnim koordinatama od tačaka sa negativnim koordinatama na koordinatnoj liniji.

Zadati pravac na koordinatnoj liniji se zove pozitivno(obično ide desno), a smjer suprotan datom je negativan

.

Cijeli brojevi i racionalni brojevi.

Prirodni brojevi 1, 2, 3, ... se također nazivaju pozitivnim cijelim brojevima. Brojevi -1, -2, -3, ..., suprotni prirodnim brojevima, nazivaju se negativni cijeli brojevi. Broj 0 je također cijeli broj. Cijeli brojevi- prirodni brojevi, njihove suprotnosti i 0.

Cijeli brojevi i razlomci (pozitivni i negativni) čine skup racionalni brojevi.

Autorska prava © 2005-2013 Xenoid v2.0

Korištenje materijala stranice je moguće uz aktivnu vezu.

Tema racionalnih brojeva je prilično opsežna. Možete pričati o tome beskrajno i pisati čitava djela, svaki put se iznenađujući novim mogućnostima.

Kako bismo izbjegli greške u budućnosti, u ovoj lekciji ćemo se malo dublje upustiti u temu racionalnih brojeva, iz nje izvući potrebne informacije i nastaviti dalje.

Sadržaj lekcije

Šta je racionalan broj

Racionalni broj je broj koji se može predstaviti kao razlomak, gdje a— ovo je brojilac razlomka, b je imenilac razlomka. Štaviše b ne smije biti nula jer dijeljenje sa nulom nije dozvoljeno.

Racionalni brojevi uključuju sljedeće kategorije brojeva:

• cijeli brojevi (na primjer −2, −1, 0 1, 2, itd.)

• decimalni razlomci (na primjer 0,2, itd.)

• beskonačni periodični razlomci (na primjer 0, (3) itd.)

Svaki broj u ovoj kategoriji može se predstaviti kao razlomak.

Primjer 1. Cijeli broj 2 se može predstaviti kao razlomak. To znači da se broj 2 ne odnosi samo na cijele, već i na racionalne.

Primjer 2. Mješoviti broj se može predstaviti kao razlomak. Ovaj razlomak se dobija pretvaranjem mešovitog broja u nepravilan razlomak

To znači da je mješoviti broj racionalan broj.

Primjer 3. Decimala 0,2 može se predstaviti kao razlomak. Ovaj razlomak je dobiven pretvaranjem decimalnog razlomka 0,2 u običan razlomak. Ako u ovom trenutku imate poteškoća, ponovite temu.

Pošto se decimalni razlomak 0,2 može predstaviti kao razlomak, to znači da i on pripada racionalnim brojevima.

Primjer 4. Beskonačni periodični razlomak 0, (3) može se predstaviti kao razlomak. Ovaj razlomak se dobija pretvaranjem čistog periodičnog razlomka u običan razlomak. Ako u ovom trenutku imate poteškoća, ponovite temu.

Pošto se beskonačni periodični razlomak 0, (3) može predstaviti kao razlomak, to znači da i on pripada racionalnim brojevima.

U budućnosti ćemo sve brojeve koji se mogu predstaviti kao razlomak sve češće nazivati ​​jednom frazom - racionalni brojevi.

Racionalni brojevi na koordinatnoj liniji

Gledali smo u koordinatnu liniju kada smo proučavali negativne brojeve. Podsjetimo da je ovo prava linija na kojoj leži mnogo tačaka. Kao što slijedi:

Ova slika prikazuje mali fragment koordinatne linije od −5 do 5.

Označavanje cijelih brojeva oblika 2, 0, −3 na koordinatnoj liniji nije teško.

Stvari su mnogo interesantnije s drugim brojevima: s običnim razlomcima, mješovitim brojevima, decimalima itd. Ovi brojevi leže između cijelih brojeva i tih brojeva ima beskonačno mnogo.

Na primjer, označimo racionalni broj na koordinatnoj liniji. Ovaj broj leži tačno između nule i jedan

Pokušajmo razumjeti zašto se razlomak odjednom nalazi između nule i jedan.

Kao što je gore spomenuto, između cijelih brojeva leže drugi brojevi - obični razlomci, decimale, mješoviti brojevi itd. Na primjer, ako povećate dio koordinatne linije sa 0 na 1, možete vidjeti sljedeću sliku

Može se vidjeti da između cijelih brojeva 0 i 1 postoje drugi racionalni brojevi, koji su poznati decimalni razlomci. Ovdje možete vidjeti naš razlomak koji se nalazi na istom mjestu kao i decimalni razlomak 0,5. Pažljivo ispitivanje ove figure daje odgovor na pitanje zašto se razlomak nalazi upravo tamo.

Razlomak znači dijeljenje 1 sa 2. A ako podijelimo 1 sa 2, dobićemo 0,5

Decimalni razlomak 0,5 može se prerušiti u druge razlomke. Iz osnovnog svojstva razlomka znamo da ako se brojilac i imenilac razlomka pomnože ili podijele istim brojem, onda se vrijednost razlomka ne mijenja.

Ako se brojnik i imenilac razlomka pomnože sa bilo kojim brojem, na primjer brojem 4, onda ćemo dobiti novi razlomak, a ovaj razlomak je također jednak 0,5

To znači da se na koordinatnoj liniji razlomak može postaviti na isto mjesto gdje se razlomak nalazio

Primjer 2. Pokušajmo označiti racionalan broj na koordinatama. Ovaj broj se nalazi tačno između brojeva 1 i 2

Vrijednost razlomka je 1,5

Ako povećamo presjek koordinatne linije sa 1 na 2, vidjet ćemo sljedeću sliku:

Može se vidjeti da između cijelih brojeva 1 i 2 postoje drugi racionalni brojevi, koji su poznati decimalni razlomci. Ovdje možete vidjeti naš razlomak, koji se nalazi na istom mjestu kao i decimalni razlomak 1.5.

Povećali smo određene segmente na koordinatnoj liniji da vidimo preostale brojeve koji leže na ovom segmentu. Kao rezultat toga, otkrili smo decimalne razlomke koji imaju jednu znamenku iza decimalnog zareza.

Ali to nisu bili jedini brojevi koji su ležali na ovim segmentima. Na koordinatnoj liniji leži beskonačno mnogo brojeva.

Nije teško pretpostaviti da između decimalnih razlomaka koji imaju jednu cifru iza decimalnog zareza postoje i drugi decimalni razlomci koji imaju dvije cifre iza decimalnog zareza. Drugim riječima, stoti dio segmenta.

Na primjer, pokušajmo vidjeti brojeve koji se nalaze između decimalnih razlomaka 0,1 i 0,2

Još jedan primjer. Decimalni razlomci koji imaju dvije znamenke iza decimalnog zareza i nalaze se između nule i racionalnog broja 0,1 izgledaju ovako:

Primjer 3. Označimo racionalan broj na koordinatnoj liniji. Ovaj racionalni broj će biti veoma blizu nuli

Vrijednost razlomka je 0,02

Ako segment povećamo od 0 do 0,1, vidjet ćemo gdje se tačno nalazi racionalni broj

Može se vidjeti da se naš racionalni broj nalazi na istom mjestu kao i decimalni razlomak 0,02.

Primjer 4. Označimo racionalni broj 0 na koordinatnoj liniji, (3)

Racionalni broj 0, (3) je beskonačan periodični razlomak. Njegov razlomak nikada ne prestaje, on je beskonačan

A pošto broj 0,(3) ima beskonačan razlomak, to znači da nećemo moći pronaći tačno mjesto na koordinatnoj liniji gdje se ovaj broj nalazi. Ovo mjesto možemo naznačiti samo približno.

Racionalni broj 0,33333... nalazit će se vrlo blizu običnog decimalnog razlomka 0,3

Ova slika ne pokazuje tačnu lokaciju broja 0,(3). Ovo je samo ilustracija koja pokazuje koliko periodični razlomak 0.(3) može biti blizak redovnom decimalnom razlomku 0.3.

Primjer 5. Označimo racionalan broj na koordinatnoj liniji. Ovaj racionalni broj će se nalaziti u sredini između brojeva 2 i 3

Ovo je 2 (dva cijela broja) i (jedna sekunda). Razlomak se također naziva "pola". Stoga smo na koordinatnoj liniji označili dva cijela segmenta i još jedan polovični segment.

Ako mješoviti broj pretvorimo u nepravilan razlomak, dobićemo običan razlomak. Ovaj razlomak na koordinatnoj liniji će se nalaziti na istom mjestu kao i razlomak

Vrijednost razlomka je 2,5

Ako povećamo presjek koordinatne linije sa 2 na 3, vidjet ćemo sljedeću sliku:

Može se vidjeti da se naš racionalni broj nalazi na istom mjestu kao i decimalni razlomak 2,5

Minus ispred racionalnog broja

U prethodnoj lekciji, koja se zvala, naučili smo kako dijeliti cijele brojeve. I pozitivni i negativni brojevi mogu djelovati kao dividenda i djelitelj.

Razmotrimo najjednostavniji izraz

(−6) : 2 = −3

U ovom izrazu, dividenda (−6) je negativan broj.

Sada razmotrite drugi izraz

6: (−2) = −3

Ovdje je djelitelj (−2) već negativan broj. Ali u oba slučaja dobijamo isti odgovor -3.

Uzimajući u obzir da se bilo koje dijeljenje može napisati kao razlomak, primjere o kojima smo gore govorili možemo zapisati i kao razlomak:

A budući da je u oba slučaja vrijednost razlomka ista, minus u brojniku ili nazivniku može se učiniti zajedničkim postavljanjem ispred razlomka

Stoga možete staviti znak jednakosti između izraza i i jer imaju isto značenje

U budućnosti, kada radimo sa razlomcima, ako naiđemo na minus u brojniku ili nazivniku, ovaj ćemo minus učiniti zajedničkim tako što ćemo ga staviti ispred razlomka.

Nasuprot racionalnim brojevima

Kao i cijeli broj, racionalni broj ima svoj suprotan broj.

Na primjer, za racionalni broj, suprotan broj je . Nalazi se na koordinatnoj liniji simetrično u odnosu na lokaciju u odnosu na ishodište koordinata. Drugim riječima, oba ova broja su jednako udaljena od početka

Pretvaranje mješovitih brojeva u nepravilne razlomke

Znamo da da bismo mješoviti broj pretvorili u nepravilan razlomak, moramo cijeli dio pomnožiti sa nazivnikom razlomaka i dodati ga brojiocu razlomaka. Dobijeni broj će biti brojnik novog razlomka, ali imenilac ostaje isti.

Na primjer, pretvorimo mješoviti broj u nepravilan razlomak

Pomnožite cijeli dio sa nazivnikom razlomaka i dodajte brojnik razlomaka:

Izračunajmo ovaj izraz:

(2 × 2) + 1 = 4 + 1 = 5

Rezultirajući broj 5 bit će brojnik novog razlomka, ali imenilac će ostati isti:

Ovaj postupak je u potpunosti napisan na sljedeći način:

Da biste vratili originalni mješoviti broj, dovoljno je odabrati cijeli dio u razlomku

Ali ova metoda pretvaranja mješovitog broja u nepravilan razlomak je primjenjiva samo ako je mješoviti broj pozitivan. Za negativan broj ovu metodu neće raditi.

Razmotrimo razlomak. Odaberimo cijeli dio ovog razlomka. Dobijamo

Da biste vratili originalni razlomak, morate mješoviti broj pretvoriti u nepravilan razlomak. Ali ako koristimo staro pravilo, naime, pomnožimo cijeli dio sa nazivnikom razlomaka i dodamo brojnik razlomka na rezultirajući broj, dobićemo sljedeću kontradikciju:

Primili smo djelić, ali trebali smo primiti djelić.

Zaključujemo da je mješoviti broj pogrešno pretvoren u nepravilan razlomak:

Da biste ispravno pretvorili negativan mješoviti broj u nepravilan razlomak, trebate cijeli dio pomnožiti sa nazivnikom razlomaka, a iz rezultirajućeg broja oduzimati brojnik razlomka. U ovom slučaju će nam sve doći na svoje mjesto

Negativan mješoviti broj je suprotan mješovitom broju. Ako se pozitivan mješoviti broj nalazi na desnoj strani i izgleda ovako

(br. 2475) Boca šampona košta 200 rubalja Šta najveći broj boce se mogu kupiti za 1000 rubalja tokom akcije, kada je popust 15%?

(br. 2491) Hemijska olovka košta 20 rubalja. Koji je najveći broj takvih olovaka koji se mogu kupiti za 700 rubalja nakon povećanja cijene za 15%?

(br. 2503) Sveska košta 40 rubalja. Koji je najveći broj takvih notebook računara koji se mogu kupiti za 550 rubalja nakon što se cijena smanji za 15%?

(br. 2513) Prodavnica kupuje saksije za cvijeće po veleprodajnoj cijeni od 100 rubalja po komadu. Trgovinska marža iznosi 15%. Koji je najveći broj takvih lonaca koji se mogu kupiti u ovoj trgovini za 1300 rubalja?

(br. 2595) Karta za voz za odraslu osobu košta 550 rubalja. Cijena studentske karte iznosi 50% cijene karte za odrasle. Grupu čini 18 školaraca i 4 odrasle osobe. Koliko rubalja koštaju karte za cijelu grupu?

(br. 2601) Cijena za kuhalo za vodu je povećana za 21% i iznosila je 3.025 rubalja. Koliko je rubalja koštao proizvod prije povećanja cijene?

(br. 2617) Majica je koštala 800 rubalja. Nakon što je cijena smanjena, počela je koštati 680 rubalja. Za koji postotak je smanjena cijena majice?

(br. 6193) Grad N ima 250.000 stanovnika. Među njima 15% su djeca i adolescenti. Među odraslim osobama 35% ne radi (penzioneri, domaćice, nezaposleni). Koliko odraslih radi?

(br. 6235) Klijent je kod banke podigao kredit od 3.000 rubalja. za godinu dana sa 12%. On mora otplatiti kredit tako što će svaki mjesec polagati isti iznos novca u banku kako bi nakon godinu dana vratio cijeli pozajmljeni iznos sa kamatama. Koliko mjesečno treba uplatiti u banku?

(br. 24285) Porez na dohodak iznosi 13% od zarade. Nakon odbijanja poreza na dohodak, Marija Konstantinovna je dobila 13.050 rubalja. Koliko je rubalja plata Marije Konstantinovne?

(br. 24261) Porez na dohodak iznosi 13% od zarade. Plata Ivana Kuzmiča je 14.500 rubalja. Koliko će rubalja dobiti nakon odbitka poreza na dohodak?

(br. 2587) Veleprodajna cijena udžbenika je 170 rubalja. Maloprodajna cijena je 20% viša od veleprodajne cijene. Koji je najveći broj takvih udžbenika koji se mogu kupiti po maloprodajnoj cijeni od 7.000 rubalja?